Archivo de la etiqueta: problemas resueltos

Seminario de Resolución de Problemas: Factorización de polinomios

Por Fabian Ferrari

Introducción

En la entradas anteriores se trataron algunos temas de identidades algebraicas y se profundizó en el binomio de Newton y la identidad de Gauss. En esta y la siguiente entrada hablaremos de polinomios. Por ahora, comenzaremos recordando las nociones básicas de la aritmética de polinomios y hablando un poco de la factorización de polinomios. Más adelante hablaremos del poderoso teorema de la identidad.

Recordatorio de polinomios

Tenemos que un polinomio de grado $n$ , donde $n$ es un número entero no negativo, es una expresión algebraica de la forma

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} .$

Dicha expresión también podemos denotarla como

$P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0},$

en donde $a_{n}$ es distinto de $0$ .

Los elementos ${a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{0}}$ se conocen como coeficientes. Si $a_{n} = 1$ , decimos que el polinomio es mónico.

Nota: El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros, se le conoce como el polinomio cero y no tiene grado.

Si dos polinomios son idénticos coeficiente por coeficiente, decimos que dichos polinomios son iguales. Esta noción será de utilidad más adelante en la entrada del teorema de la identidad.

Si todos los coeficientes de un polinomio son enteros, decimos que es un polinomio sobre los enteros. Si los coeficientes son números reales, entonces es un polinomio sobre los reales. De manera similar definimos a los polinomios sobre los racionales, los complejos o incluso sobre $Z_{n}$ . Aunque parezca irrelevante, conocer las características de los coeficientes de un polinomio, nos da mucha información sobre su constitución. Hay resultados que, por ejemplo, se valen para los polinomios sobre los complejos, pero no para los polinomios sobre los reales.

Otra cosa que es de nuestro interés son las operaciones en los polinomios, y es que al igual que los números enteros, podemos sumar, multiplicar y dividir polinomios.

Algoritmo de la división para polinomios

Para los polinomios, al igual que en los números enteros, existe un algoritmo de la división. Este nos ayudará posteriormente para cuando queramos hacer factorización en polinomios.

Teorema. Sean los polinomios $P (x)$ y $Q (x)$ definidos sobre un campo $K$ con $Q (x)$ distinto de cero. Entonces existen dos únicos polinomios $C (x)$ y $R (x)$ tales que

$P (x) = C (x) Q (x) + R (x),$

donde $C (x)$ y $R (x)$ son el coeficiente y el residuo respectivamente, resultado de dividir $P (x)$ entre $Q (x)$ , y se tiene que $R (x)$ es el polinomio $0$ o bien tiene grado menor o igual al grado de $C (x)$ .

Ejemplo. Dados los polinomios $P (x) = x^{2} - 3 x - 28$ y $Q (x) = x - 5$ , tenemos que $C (x) = x + 2$ y $R (x) = - 18$ .

En efecto,

$x^{2} - 3 x - 28 = (x + 2) (x - 5) - 18.$

Algoritmo de Euclides para polinomios

Al igual que en los enteros, el algoritmo de la división es de ayuda para determinar el máximo común divisor entre dos polinomios: simplemente seguimos los pasos del algoritmo de Euclides. Es por ello que tenemos el siguiente resultado.

Teorema. Si tenemos dos polinomios $P (x)$ y $Q (x)$ sobre un campo $K$ , tenemos que existen polinomios $S (x)$ y $T (x)$ tales que

$MCD (P, Q) = P S + Q T .$

Aquí $MCD (P, Q)$ es el máximo común divisor de $P (x)$ y $Q (x)$ .

Otra forma de ver o de entender el máximo común divisor entre dos polinomios es como el producto de todos aquellos factores que tienen en común.

Problema: Encuentra polinomios $F (x)$ y $G (x)$ tales que

$(x^{8} - 1) F (x) + (x^{5} - 1) G (x) = x - 1.$

Sugerencia pre-solución. Recuerda cómo encontrar el máximo común divisor de dos enteros usando el algoritmo de Euclides. Además, usa una factorización para cancelar el factor $x - 1$ de la derecha.

Solución. Definamos

$\begin{aligned} A (x) & = x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 \\ B (x) & = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1. \end{aligned}$

Notemos que la ecuación es equivalente a

$A (x) F (x) + B (x) G (x) = 1.$

Tendría que suceder entonces que $A (x)$ y $B (x)$ sean primos relativos.

Aplicando el algoritmo de la división repetidamente, tenemos lo siguiente:

$\begin{aligned} A (x) & = x^{3} B (x) + (x^{2} + x + 1) \\ B (x) & = x^{2} (x^{2} + x + 1) + (x + 1) \\ x^{2} + x + 1 & = x (x + 1) + 1. \end{aligned}$

Esto muestra que $A (x)$ y $B (x)$ son primos relativos, así que la combinación lineal que buscamos debe existir. Para encontrarla de manera explícita, invertimos los pasos. Trabajando hacia atrás, tenemos que

$\begin{aligned} 1 & = (x^{2} + x + 1) - x (x + 1) \\ = (x^{2} + x + 1) - x (B (x) - x^{2} (x^{2} + x + 1)) \\ = (x^{2} + x + 1) (x^{3} + 1) - x B (x) \\ = (x^{3} + 1) (A (x) - x^{3} (B (x)) - x B (x) \\ = (x^{3} + 1) A (x) - x^{3} (x^{3} + 1) B (x) - x B (x) \\ = (x^{3} + 1) A (x) + (- x^{6} - x^{3} - x) B (x) \end{aligned}$

Así que podemos tomar a $F (x) = x^{3} + 1$ y $G (x) = - x^{6} - x^{3} - x$ .

El teorema del factor

Sea $P (x)$ un polinomio sobre un dominio entero $D$ . Decimos que un elemento $a$ de $D$ es raíz del polinomio $P (x)$ si $P (a) = 0$ . Si aplicamos el algoritmo de la división en los polinomios $P (x)$ y $x - a$ obtenemos el siguiente teorema, que es fundamental en la factorización de polinomios.

Teorema El elemento $a$ es raíz de $P (x)$ si y solo si $(x - a)$ es factor de $P (x)$ .

Veamos cómo aplicar este teorema en un ejemplo concreto.

Problema. Dado $ω = \cos (\frac{2 π}{n}) + i \sin (\frac{2 π}{n})$ , prueba que

$x^{n - 1} + \dots + x + 1 = (x - ω) (x - ω^{2}) \cdot \dots \cdot (x - ω^{n - 1}) .$

Sugerencia pre-solución. Recuerda los resultados básicos de aritmética de los números complejos.

Solución. Por De Moivre tenemos que si

$ω = \cos (\frac{2 π}{n}) + i \sin (\frac{2 π}{n}) = e^{\frac{2 π i}{n}}$

entonces ${1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}}$ son raíces de $x^{n} - 1 = 0$ . Además, como $e^{π i} = - 1$ , tenemos que $ω^{n} = 1$ .

Así, tenemos que $ω^{n + 1} = ω$ y de manera general $ω^{n + k} = ω^{k}$ .

Por otro lado,

$x^{n} - 1 = (x - 1) (x^{n - 1} + \dots + x + 1)$

Y como ${1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}}$ son raíces de $x^{n} - 1$ , tenemos entonces que ${ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}}$ deben de ser las raíces de $x^{n - 1} + \dots + x + 1.$

Aplicando repetidamente el teorema del factor, tenemos que

$x^{n - 1} + \dots + x + 1 = (x - ω) (x - ω^{2}) \cdot \dots \cdot (x - ω^{n - 1}) .$

Un problema para números algebraicos

Un número real es algebraico si es raíz de un polinomio sobre los números enteros.

Problema. Prueba que $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ es un número algebraico.

Sugerencia pre-solución. Realiza operaciones de suma, resta y producto con $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ y con enteros. Ve si puedes encontrar un patrón de cómo se comportan.

Solución. Tenemos que encontrar un polinomio $P (x)$ sobre los número enteros de tal forma que $P (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 0$ .

Si consideramos $x = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ , entonces $x^{2} = 5 + 2 \sqrt{6}$

Para $P (x) = x^{2} - 5$ , tenemos que $P (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 2 \sqrt{6}$

Así,

$(P (\sqrt{2} + \sqrt{3}))^{2} = (2 \sqrt{6})^{2} = 144.$

Ahora, si consideramos el polinomio

$Q (x) = (P (x))^{2} - 144.$

Tenemos que

$Q (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (P (\sqrt{2} + \sqrt{3}))^{2} - 144 = 0.$

Por lo tanto como el polinomio $Q (x) = x^{4} - 10 x^{2} - 119$ es un polinomio sobre los enteros, y como $Q (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = 0$ concluimos que $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ es un número algebraico.

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de aritmética y factorización de polinomios en la Sección 4.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: Identidad de Gauss e identidad de suma de cubos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

1 respuesta

[latexpage]

Introducción

En la entrada anterior comenzamos a platicar acerca de identidades algebraicas útiles en la resolución de problemas matemáticos. Vimos algunas identidades básicas y platicamos acerca del teorema del binomio de Newton. En esta entrada veremos dos identidades más: la identidad de Gauss para suma de cuadrados y la identidad para factorizar $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$ . Damos más de una demostración de cada una de ellas para seguir explorando ideas algebraicas.

Identidad de cuadrados de Gauss

Proposición. Para $a, b, c, d$ números reales se cumple que $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} .$

Demostración 1. Simplemente desarrollamos. Por un lado,
$\begin{array}{r} (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} . \end{array}$

Por otro lado, $(a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$ es
$\begin{aligned} a^{2} c^{2} - 2 a b c d + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + 2 a b c d + b^{2} c^{2} \\ = & a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} . \end{aligned}$

La siguiente demostración nos ayuda a entender un poco mejor la identidad y tiene una idea que se puede aplicar en varios contextos.

Demostración 2. Vamos a dar un pequeño brinco a los números complejos, pues ahí podemos hacer la factorización $x^{2} + y^{2} = (x + y i) (x - y i)$ .

Usando esa identidad:
$\begin{aligned} (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \\ = & (a + b i) (a - b i) (c + d i) (c - d i) \\ = & (a + b i) (c + d i) (a - b i) (c - d i) \\ = & ((a c - b d) + (a d + b c) i) ((a c - b d) - (a d + b c) i) \\ = & (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} . \end{aligned}$

La idea que se puede recuperar de la demostración anterior es la siguiente: a veces una identidad no se puede factorizar en los números reales (racionales, enteros, etc), pero sí en los números complejos (otro sistema numérico más grande). Aunque el problema hable de números reales, es posible que podamos ir a los complejos y regresar a los reales con información.

Problema ejemplo para identidad de Gauss

Problema. Muestra que si tienes un número $x$ de la forma $r^{2} + 7 s^{2}$ , con $r$ y $s$ números enteros, entonces el número $x^{2020}$ también es de esa forma.

Sugerencia pre-solución. Aquí, el exponente $2020$ es sospechoso, y sugiere que en realidad el problema debe ser más general. Haz algunos casos pequeños para buscar un patrón de cómo se comporta el producto de dos números de esa forma. Después, para estudiar las potencias, usa el principio de inducción.

Solución. Notemos que $x = r^{2} + 7 s^{2} = (r + \sqrt{7} s i) (r - \sqrt{7} s i)$ Tomemos otro número de esa forma, digamos $y = t^{2} + 7 u^{2} = (t + \sqrt{7} u i) (t - \sqrt{7} u i) .$ Al hacer el producto de $x$ y $y$ , aparecerá un factor $(r + \sqrt{7} s i) (t + \sqrt{7} u i) = ((r t - 7 s u) + (r u + s t) \sqrt{7} i)$ y un factor $(r - \sqrt{7} s i) (t - \sqrt{7} u i) = ((r t - 7 s u) - (r u + s t) \sqrt{7} i),$ que multiplicados son iguales a $(r t - 7 s u)^{2} + 7 (r u + s t)^{2} .$ Con todo esto, concluimos que el producto de cualesquiera dos números de la forma buscada, también es de la forma buscada. De aquí, $x^{2}$ es de la forma buscada, e inductivamente $x^{n}$ es de la forma buscada para todo entero $n \geq 1$ . En particular, $x^{2020}$ es de la forma que se quiere.

Identidad para $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

Proposición. Para $a, b, c$ números reales, se tiene que $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$ es igual a $(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) .$

Esta identidad también tiene varias demostraciones, que en conjunto guardan varias ideas. Veamos dos de ellas.

Demostración 1. Simplemente hacemos el producto de la segunda expresión para verificar que nos de la primera. Claramente aparece un único $a^{3}$ y por simétría aparecen $b^{3}$ y $c^{3}$ exactamente una vez. También, claramente aparece tres veces la expresión $- a b c$ . Todas las expresiones que aparecen son cúbicas y ya contamos las «de la forma» $x^{3}$ y $x y z$ , así que por simetría basta ver qué pasa con cada expresión de la forma $x^{2} y$ . Estas se obtienen ya sea de elegir $x$ en la primera y $- x y$ en la segunda, o bien $y$ en la primera y $x^{2}$ en la segunda, de modo que todas ellas se cancelan.

Sólo para asegurarnos que hicimos todo bien, deberíamos haber contado $3 \cdot 6 = 18$ monomios. Hay tres de la forma $x^{3}$ , tres de la forma $x y z$ y cada uno de los seis la forma $x^{2} y$ ya lo encontramos $2$ veces, una vez positivo y una vez negativo. Así, nuestra cuenta abarca $3 + 3 + 6 \cdot 3 = 18$ monomios, así que ya contamos todos los términos.

Hay una segunda demostración, que usa ideas de álgebra lineal. Daremos la idea general, y más adelante, cuando hablemos de matrices y determinantes, platicaremos de estas ideas más a detalle.

Demostración. Calculemos el determinante $D$ de la matriz $(\begin{matrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix})$ de dos formas distintas. Por un lado, podemos sumar los renglones $2$ y $3$ al primer renglón sin que cambie el determinante, así, $D = | \begin{matrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} | .$ De aquí, podemos factorizar $a + b + c$ pues está en cada entrada del primer renglón $D = (a + b + c) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} | .$

Finalmente, desarrollando el determinante que queda usando el primer renglón, tenemos que
$\begin{aligned} D & = (a + b + c) ((a^{2} - b c) - (c a - b^{2}) + (c^{2} - a b)) \\ = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) . \end{aligned}$

Por otro lado, usando el truco para desarrollar un determinante de $3 \times 3$ por diagonales,
$\begin{aligned} D & = a^{3} + b^{3} + c^{3} - a b c - a b c - a b c \\ = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c . \end{aligned}$

Igualando ambas expresiones para $D$ , obtenemos la identidad deseada.

Problema ejemplo de factorización de $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

Problema. Sean $a, b, c$ números reales. Muestra que $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ si y sólo si $a + b + c = 0$ o $a = b = c$ .

Sugerencia pre-solución. Necesitarás la identidad anterior y un análisis de casos. También, para uno de los casos necesitarás usar la factorización de $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ algunas veces.

Solución. De acuerdo a la identidad de la sección anterior, $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ si y sólo si $(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a) = 0.$

Notemos que $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = \frac{(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}}{2},$ que siempre es mayor o igual que cero y es igual a $0$ si y sólo si $a - b = b - c = c - a = 0$ , si y sólo si $a = b = c$ .

Así, $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ si y sólo si alguno de los factores que lo conforman es cero, lo cual pasa si y sólo si $a + b + c = 0$ o $a = b = c$ .

Más problemas

Puedes ver más problemas que usan identidades algebraicas en la entrada anterior de este tema. Además, puedes encontrar más problemas de identidades algebraicas en la Sección 4.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Seminario de Resolución de Problemas: La integral

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Deja un comentario

Introducción

Ya hemos cubierto varios temas de cálculo y resolución de problemas. Comenzamos platicando acerca de continuidad y de dos teoremas importantes para funciones continuas: el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo. Después, hablamos acerca de derivadas y de dos teoremas importantes para funciones diferenciables: el teorema de Rolle y el teorema del valor medio. Luego, vimos que la diferenciabilidad también nos ayuda a encontrar límites de cocientes y potencias de formas indefinidas mediante la regla de L’Hôpital. En esta entrada y la siguiente hablaremos de la integral y cómo las ideas detrás de su construcción, así como sus propiedades, pueden ayudar a resolver problemas.

Para entender esta sección bien, es importante que conozcas la construcción de la integral de Riemann en una variable, así como sus propiedades principales. También supondremos que conoces las técnicas usuales para resolver integrales. Esto se hace durante el primer año de un curso de cálculo a nivel licenciatura. También puedes revisarlo en la literatura clásica, como el libro de Cálculo de Spivak.

Usar la integral como un área

La integral es por definición un límite de sumas superiores o inferiores. Hay problemas en los que podemos aprovechar esto para entender una suma o una sucesión. A grandes rasgos lo que hacemos es:

Interpretar la sucesión o serie como una suma de areas correspondiente a una suma superior o inferior de cierta integral $\int f (x) d x$ .
Usar lo que sabemos de integración para poder decir algo del área dada por $\int f (x) d x$
Regresar esta información al problema original.

Veamos un ejemplo de esto.

Problema. Calcula el siguiente límite $lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \dots + \frac{1}{2 n - 1}) .$

La cantidad de términos de este límite depende de $n$ , así que no podemos hacerlos uno por uno. No hay una forma sencilla de hacer la suma. Tampoco parece que podamos usar la regla de L’Hôpital. Lo que haremos es entender a la expresión dentro del límite de manera geométrica.

Sugerencia pre-solución. Haz una figura con la que puedas relacionar el límite que buscamos con cierta área que puedas expresar en términos de una integral.

Solución. Consideremos la gráfica de la función $f (x) = \frac{1}{x}$ en el intervalo $[n, 2 n]$ y el área debajo de esta gráfica, que mostramos en verde a continuación.

Integral de 1/x en el intervalo de n a 2n. — Gráfica de $1 / x$ en el intervalo $[n, 2 n]$

Notemos que la suma que aparece en el problemas corresponde a sumar las áreas de los rectángulos de base $1$ y alturas $\frac{1}{n}$ , $\frac{1}{n + 1}$ , $\dots$ , $\frac{1}{2 n - 1}$ , que podemos encontrar en azul en la siguiente figura.

Cota con suma superior — Dar una cota inferior para nuestra expresión.

Así, obtenemos que podemos acotar inferiormente nuestra suma de la siguiente manera:

$\begin{aligned} \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{2 n - 1} & > \int_{n}^{2 n} \frac{1}{x} d x \\ = (\log x) |_{n}^{2 n} \\ = \log 2. \end{aligned}$

De manera similar, podemos pensar ahora en rectángulos que queden por debajo de la gráfica de la función, y que en total su area es menor que el valor de la integral. Los mostramos a continuación en color rojo:

Cota con suma inferior — Dar una cota superior para nuestra expresión (un poco cambiada)

De aquí, podemos dar la siguiente cota:

$\begin{aligned} \frac{1}{n + 1} + \dots + \frac{1}{2 n} & < \int_{n}^{2 n} \frac{1}{x} d x \\ = (\log x) |_{n}^{2 n} \\ = \log 2. \end{aligned}$

Si juntamos ambas desigualdades, deducimos que $\log 2 < \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{2 n - 1} < (\frac{1}{n} - \frac{1}{2 n}) + \log 2.$

Ahora sí podemos hacer $n \to \infty$ . Como ambos lados de la desigualdad convergen a $\log 2$ , tenemos que la sucesión que nos interesa también debe converger a $\log 2$ .

Traducir a una integral y usar técnicas de integración

Hay varias técnicas que podemos usar para realizar integrales: cambio de variable, integración trigonométrica, integración por partes, integración por fracciones parciales, etc. En algunas ocasiones podemos transformar un problema a una integral, aplicar una de estas técnicas, y luego regresar al contexto original. Veamos un ejemplo de esto.

Problema. Demuestra que para cualquier par de enteros positivos $m$ y $n$ tenemos que $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) \frac{1}{k + m + 1} = \sum_{k = 0}^{m} (- 1)^{k} (\binom{m}{k}) \frac{1}{k + n + 1} .$

Sugerencia pre-solución. Intenta formular un problema equivalente aprovechando que para cualquier entero no negativo $r$ se tiene que $\frac{1}{r + 1} = \int_{0}^{1} t^{r} d t$ . Tendrás que usar esto varias veces, usar la fórmula de binomio de Newton y después aprovechar una simetría para hacer un cambio de variable.

Solución. Notemos que $\frac{1}{k + m + 1} = \int_{0}^{1} t^{k + m} d t .$ Substituyendo en la expresión de la izquierda, obtenemos que la suma buscada es $\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) \int_{0}^{1} t^{k + m} d t .$ Usando la linealidad de la integral y la fórmula del binomio de Newton tenemos que esta suma es igual a
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) t^{k + m} d t \\ = & \int_{0}^{1} t^{m} (1 - t)^{n} d t . \end{aligned}$

Con el cambio de variable $s = 1 - t$ , la integral anterior es igual a $\int_{0}^{1} s^{n} (1 - s)^{m} .$ Pero por un argumento inverso al que hicimos para llegar a la primer integral, esta segunda integral es igual a $\sum_{k = 0}^{m} (- 1)^{k} (\binom{m}{k}) \frac{1}{k + n + 1} .$

Esto es justo el lado derecho en la identidad que queríamos.

El teorema de Lebesgue

No todas las funciones son integrables con la definición de Riemann (que aquí simplemente llamaremos «ser integrable»), pues puede ser que el límite de las sumas superiores no sea igual al de las sumas inferiores. Un resultado profundo en cálculo es el criterio de Lebesgue, que caracteriza aquellas funciones acotadas que tienen integral de Riemann en un intervalo.

Teorema (criterio de Lebesgue). Una función acotada $f : [a, b] \to R$ es integrable si y sólo si su conjunto de discontinuidades tiene medida $0$ .

El teorema de Lebesgue da una prueba sencilla de que si $f$ y $g$ son integrables, entonces su producto también, lo cual no es fácil de probar a partir de la definición. A continuación esbozamos esta prueba.

Las discontinuidades de $f^{2}$ están contenidas en las de $f$ , de modo que si $f$ es integrable, por el teorema de Lebesgue $f^{2}$ también. Además, suma y resta de integrables es sencillo ver que es integrable, de modo que $(f + g)^{2}$ también lo es. Para concluir, notamos que $f g = \frac{(f + g)^{2} - f^{2} - g^{2}}{2},$ de modo que $f g$ es integrable.

Veamos un problema que combina varias de las ideas de cálculo que hemos visto.

Problema. Si $f : [a, b] \to R$ es una función tal que $f + \sin (f)$ es integrable, entonces $f$ también es integrable.

Sugerencia pre-solución. Usa el criterio de Lebesgue. Necesitarás estudiar las discontinuidades con cuidado, para lo cual es útil recordar cómo interactúan las funciones continuas con las sucesiones convergentes.

Solución. Como $f + \sin (f)$ es integrable, entonces es acotada. Así, $f$ también lo es. La función $g (x) = x + \sin (x)$ tiene derivada $1 + \cos (x) \geq 0$ y que es $0$ sólo en un conjunto discreto de puntos, de modo que es estrictamente creciente. Además, los límites en $- \infty$ y $\infty$ son $- \infty$ e $\infty$ respectivamente. Por el teorema del valor intermedio, pasa por todos los reales. Así, $g$ es una función biyectiva.

Mostraremos que las discontinuidades de $f$ están contenidas en las de $f + \sin (f)$ , o bien, dicho de otra forma, que si $f + \sin (f)$ es continua en $x$ , entonces $f$ también. Tomemos una sucesión ${x_{n}}$ que converge a $x$ . Como $f + \sin (f)$ es continua en $x$ , tenemos que ${f (x_{n}) + \sin (f (x_{n}))}$ converge a $f (x) + \sin (f (x)) = g (f (x))$ .

Como $f$ es una función acotada, la sucesión ${f (x_{n})}$ es acotada, y para ver que converge a un límite, basta ver que toda subsucesión convergente converge al mismo límite. Tomemos una subsucesión convergente digamos, al límite $L$ . Tendríamos que $g (L) = g (f (x))$ , y como $g$ es biyectiva tendríamos que $L = f (x)$ . En otras palabras, toda subsucesión convergente de ${f (x_{n})}$ converge a $f (x)$ . De esta forma, ${f (x_{n})}$ converge a $f (x)$ . Con esto concluimos que $f$ es continua en $x$ .

Concluimos que el conjunto de discontinuidades de $f$ está contenido en el de $f + \sin (f)$ , el cual tiene medida $0$ . De este modo, el de $f$ también tiene medida $0$ y por el criterio de Lebesgue, es integrable.

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con la integral en la Sección 6.8 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Álgebra Superior II: Norma y distancia en los complejos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

3 respuestas

Introducción

Ya definimos a $C$ y sus operaciones. También definimos y dimos las propiedades de la conjugación compleja. Ahora hablaremos de la norma en los números complejos.

Definición. Dado el número complejo $w = a + b i$ , su norma es $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Denotamos a la norma de $w$ por $‖ w ‖$ .

Ejemplo. La norma del complejo $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i$ es $\sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}} = \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{1}{2})} = \sqrt{1} = 1.$ La norma del complejo $- 3 i$ es $\sqrt{0^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{9} = 3.$

$△$

Cuando pensamos a los números complejos como elementos del plano, identificando al complejo $a + b i$ con el punto $(a, b)$ , la norma es una forma de medir qué tan alejado está del origen.

A partir de la noción de norma podemos definir la noción de distancia, que dice qué tan lejos están dos complejos entre sí.

Definición. Para dos números complejos $w$ y $z$ definimos la distancia entre $w$ y $z$ como la norma de $w - z$ , es decir, $‖ w - z ‖$ . La denotamos por $d (w, z)$

Propiedades básicas de la norma en los complejos

La norma en los complejos está relacionada con otras operaciones definidas como sigue:

Teorema 1. Sean $w$ y $z$ números complejos. Entonces:

La norma es la raíz del producto de un complejo por su conjugado, es decir, $‖ z ‖ = \sqrt{z \overset{―}{z}} .$
$‖ z ‖$ es un número real no negativo.
$‖ z ‖ = 0$ si y sólo si $z = 0$ .
La norma es multiplicativa, es decir, $‖ z w ‖ = ‖ z ‖ ‖ w ‖$ .

Demostración. Si $z = a + i b$ , entonces $\overset{―}{z} = a - i b$ , y por lo tanto

$\begin{aligned} \sqrt{z \overset{―}{z}} & = \sqrt{a^{2} - (i b)^{2}} \\ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ = ‖ z ‖ . \end{aligned}$

La norma de $z = a + i b$ es la suma del cuadrado de dos reales. Cada uno de ellos es no negativo, así que esa suma es no negativa. De este modo, al sacar raíz cuadrada obtenemos un número real y no negativo. Para que este número sea cero, necesitamos que $a^{2} = b^{2} = 0$ , es decir, que $a = b = 0$ , lo cual sucede justo cuando $z = 0$ .

Para mostrar la última propiedad, se pueden tomar dos números complejos explícitos y hacer las cuentas. Sin embargo, también podemos probarla usando la primer propiedad y la conmutatividad del producto, de números complejos, como sigue:

$‖ z w ‖^{2} = z w \overset{―}{z w} = z \overset{―}{z} w \overset{―}{w} = ‖ z ‖^{2} ‖ w ‖^{2} .$

Sacando raíz cuadrada de ambos lados obtenemos el resultado deseado.

Ejercicios que usan las propiedades básicas

Veamos algunas formas en las que podemos usar las propiedades anteriores, de la norma, en los complejos.

Ejercicio 1. Muestra que $z$ y $\overset{―}{z}$ tienen la misma norma.

Solución. Usando que $\overset{―}{\overset{―}{z}} = z$ , la propiedad 1 del Teorema 1 y la conmutatividad del producto en $C$ tenemos que $‖ \overset{―}{z} ‖ = \sqrt{\overset{―}{z} z} = \sqrt{z \overset{―}{z}} = ‖ z ‖ .$

$△$

El siguiente es un corolario de la propiedad 4 del Teorema 1, que se puede mostrar usando inducción. La prueba de este corolario se deja como tarea moral.

Corolario. Para $z$ un complejo y $n$ un natural, se tiene que $‖ z^{n} ‖ = ‖ z ‖^{n} .$

Ejercicio 2. Determina la norma del complejo ${(3 + 4 i)}^{20} .$

Solución. Tomemos $u = 3 + 4 i$ . El problema nos pide determinar $‖ u^{20} ‖$ . Una forma de hacerlo es realizar primero la operación $u^{20}$ , pero esto parece ser complicado. En vez de eso, usamos el Corolario anterior. Para ello, notamos que $‖ u ‖ = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5.$

De este forma, por el corolario, la norma que buscamos es $‖ u^{20} ‖ = ‖ u ‖^{20} = 5^{20} .$

$△$

Ejercicio 3. Sea $z$ un número complejo. Muestra que los siguientes números complejos tienen la misma norma: $z, - z, i z, - i z .$

Solución. Se sigue de la propiedad $4$ del Teorema 1 y de que $‖ - 1 ‖ = ‖ i ‖ = ‖ - i ‖ = 1.$

Ejercicio 4. Muestra que para un número real, $r$ , su norma compleja coincide con su valor absoluto.

Solución. Usando la propiedad 1 del Teorema 1 y que $\overset{―}{r} = r$ , tenemos que $‖ r ‖ = \sqrt{\overset{―}{r} r} = \sqrt{r^{2}} = | r | .$

La desigualdad del triángulo

¿Cómo se comporta la norma con la suma de los complejos? Lo responderemos en esta sección. Pero antes, de pasar al teorema 2 que contiene la respuesta, veamos un pequeño resultado auxiliar.

Lema. Si $z$ es un número complejo, entonces $| Re (z) | \leq ‖ z ‖$ y $| Im (z) | \leq ‖ z ‖$ . La primer igualdad se da si y sólo si $z$ es un número real y la segunda si y sólo si $z$ es un número imaginario puro, es decir, si su parte real es $0$ .

Demostración. Tomemos $z = a + i b$ . Tenemos que $a^{2} \leq a^{2} + b^{2}$ , de modo que sacando raíces cuadradas tenemos que $| Re (z) | = | a | = \sqrt{a^{2}} \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}} = ‖ z ‖ .$ La igualdad se da si y sólo si $b = 0$ , lo cual sucede si y sólo si $z$ es real.

La demostración de la segunda parte es análoga, y queda como tarea moral.

Teorema 2 (desigualdad del triángulo). Para dos números complejos $w$ y $z$ se tiene que $‖ w + z ‖ \leq ‖ w ‖ + ‖ z ‖ .$ La igualdad se da si y sólo si $w$ es un múltiplo real de $z$ , es decir, si y sólo si existe un real $r$ tal que $w = r z$ .

Demostración. Tenemos que:
$\begin{aligned} ‖ w + z ‖^{2} & = (w + z) \overset{―}{(w + z)} \\ = (w \overset{―}{w} + w \overset{―}{z} + \overset{―}{w} z + z \overset{―}{z}) \\ = ‖ w ‖^{2} + 2 Re (w \overset{―}{z}) + ‖ z ‖^{2} . \end{aligned}$

Podemos continuar usando la desigualdad del Lema anterior (notemos que se obtiene la igualdad si y sólo si $w \overset{―}{z}$ es real)

$\begin{aligned} \leq ‖ w ‖^{2} + 2 ‖ w \overset{―}{z} ‖ + ‖ z ‖^{2} \\ = ‖ w ‖^{2} + 2 ‖ w ‖ ‖ z ‖ + | z ‖^{2} \\ = {(‖ w ‖ + ‖ z ‖)}^{2} . \end{aligned}$

Esta cadena de desigualdades se resume a $‖ w + z ‖^{2} \leq {(‖ w ‖ + ‖ z ‖)}^{2},$ de donde sacando raíz cuadrada en ambos lados, obtenemos lo deseado.

Como observamos durante la demostración, la igualdad se da si y sólo si $w \overset{―}{z}$ es un número real, es decir, si y sólo si existe un real $s$ tal que $w \overset{―}{z} = s$ . Multiplicando por $z$ de ambos lados, obtenemos que $w ‖ z ‖^{2} = s z .$ Si $z = 0$ , entonces $w = 0$ y por lo tanto $w$ es trivialmente un múltiplo real de $z$ . Si $z \neq 0$ , entonces $w = \frac{s}{‖ z ‖^{2}} \cdot z$ también es un múltiplo real de $z$ , con $r = \frac{s}{‖ z ‖^{2}}$ . Esto termina el análisis, de los casos, de la igualdad.

Propiedades de la distancia

En la introducción definimos la distancia entre dos números complejos $w$ y $z$ como la norma de $w - z$ , en símbolos, $d (w, z) = ‖ w - z ‖$ . Para formalizar ideas veamos la siguiente definición.

Definición. Sea $X$ un conjunto y $e : X \times X \to R^{+} \cup {0}$ una función, $e$ es una métrica en $X$ si, para todo $x$ , $y$ y $z \in X$ , satisface que:

$e (x, y) \geq 0$ .
$e (x, y) = 0$ si, y sólo si, $x = y$ .
$e (x, y) = e (y, x)$ .
$e (x, y) \leq e (x, z) + e (y, z)$ .

Observa que a partir de los teoremas 1 y 2, la distancia $d$ cumple las propiedades de esta definición, por lo que decimos que $d$ es una métrica en $C$ . Así tenemos el siguiente teorema.

Teorema 3. Sean $w$ y $z$ dos números complejos cualesquiera y $d (w, z) = | | w - z | |$ . Entonces $d$ es una métrica en $C$ .

Demostrar este teorema es sencillo a partir de lo que ya vimos, así que su demostración queda como tarea moral.

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra la propiedad 4 del Teorema 1 usando de manera explícita las partes reales e imaginarias de los complejos $z$ y $w$ .
Demuestra el corolario de normas de potencias de complejos.
Determina la norma del complejo $(12 - 5 i)^{10}$ .
Determina la norma del complejo $(1 + 2 i) (- 3 + 4 i) (5 - 6 i) (- 7 - 8 i)$ .
Demuestra la segunda parte del Lema.
Demuestra el Teorema 3.
Sean $w = (3 + 4 i) (5 - i)$ y $z = (5 - i) (4 + 2 i)$ . Determina $d (w, z)$ .

Entradas relacionadas

Ir a: Álgebra Superior II
Entrada anterior del curso: Problemas de conjugación compleja
Entrada siguiente del curso: Ecuaciones cuadráticas complejas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Lineal I: Problemas de ortogonalidad, ecuaciones e hiperplanos

Por Ayax Calderón

11 respuestas

Introducción

En esta entrada ejercitaremos los conceptos introducidos recientemente. Abordamos los temas de espacio ortogonal e hiperplanos. Para ello, resolveremos problemas de ortogonalidad relacionados con encontrar una base para el espacio ortogonal y de escribir subespacios en términos de ecuaciones e intersecciones de hiperplanos.

Problemas resueltos de espacio ortogonal

Problema 1. Sea $S = {x^{3} + x, x^{2} + x, - x^{3} + x^{2} + 1} \subseteq R_{3} [x]$ .
Describe $S^{⊥}$ dando una base de este espacio.

Solución. Una forma lineal $l$ sobre $R_{3} [x]$ es de la forma

$l (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}) = a a_{0} + b a_{1} + c a_{2} + d a_{3}$

para algunos $a, b, c, d \in R$ , pues basta decidir quiénes son $a = l (1)$ , $b = l (x)$ , $c = l (x^{2})$ y $d = l (x^{3})$ .

La condición $l \in S^{⊥}$ es equivalente a

$l (x^{3} + x) = l (x^{2} + x) = l (- x^{3} + x^{2} + 1) = 0.$

Esto es
$\begin{aligned} l (x^{3} + x) & = b + d = 0 \\ l (x^{2} + x) & = b + c = 0 \\ l (- x^{3} + x^{2} + 1) & = a + c - d = 0. \end{aligned}$

La matriz asociada al sistema es

$A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \end{matrix})$

y su forma escalonada reducida es

$A_{r e d} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \end{matrix}) .$

Así, $d$ es variable libre y $\begin{aligned} a & = 0 \\ b & = - d \\ c & = d . \end{aligned}$

De aquí, el conjunto de soluciones del sistema es
${(0, - u, u, u) : u \in R} .$

Las correspondientes formas lineales son $l_{u} (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}) = u (- a_{1} + a_{2} + a_{3}) .$

Este es un subespacio de dimensión $1$ , así que para determinar una base para $S^{⊥}$ , basta con elegir una de estas formas lineales con $u \neq 0$ , por ejemplo, para $u = 1$ tenemos
$l_{1} (a_{o} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}) = - a_{1} + a_{2} + a_{3} .$

$△$

Problema 2. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ , sea $V^{*}$ su espacio dual y tomemos subconjuntos $S, S_{1}, S_{2} \subseteq V^{*}$ tales que $S_{1} \subseteq S_{2}$ . Prueba lo siguiente.

$S_{2}^{⊥} \subseteq S_{1}^{⊥}$ .
$S \subseteq (S^{⊥})^{⊥}$ .

Solución.

Sea $l \in S_{2}^{⊥}$ . Por definición $l (s) = 0$ para toda $s \in S_{2}$ .
Luego, si $s \in S_{1}$ , entonces $s \in S_{2}$ y así $l (s) = 0$ . Por consiguiente $l \in S_{1}^{⊥}$ . Concluimos $S_{2}^{⊥} \subseteq S_{1}^{⊥}$ .
Sea $s \in S$ . Para cualquier $l \in S^{⊥}$ se cumple que $l (s) = 0$ y así $s \in (S^{⊥})^{⊥}$

Observación. El problema anterior también es cierto si suponemos que $S, S_{1}, S_{2} \subseteq V$ tales que $S_{1} \subseteq S_{2}$ y la prueba es idéntica a la anterior.

Observación. Por muy tentador que sea pensar que la igualdad se da en el inciso 2 del problema anterior, esto es totalmente falso: $(S^{⊥})^{⊥}$ es un subespacio de $V$ (o de $V^{*}$ ), mientras que no hay razón para que $S$ lo sea, pues este es solamente un subconjunto arbitrario de $V$ (o $V^{*}$ ). Como vimos en una entrada anterior, la igualdad se da si $S$ es un subespacio de $V$ (o de $V^{*}$ ) cuando $V$ es un subespacio de dimensión finita.

Problemas resueltos de ecuaciones lineales y de hiperplanos

Veamos ahora problemas de ortogonalidad relacionados con encontrar expresiones para un subespacio en términos de ecuaciones lineales y de hiperplanos.

Problema 1. Sea $W$ el subespacio de $R^{4}$ generado por los vectores

$v_{1} = (1, 1, 0, 1)$
$v_{2} = (1, 2, 2, 1) .$

Encuentra ecuaciones lineales en $R^{4}$ cuyo conjunto solución sea $W$ .

Solución. Necesitamos encontrar una base para $W^{⊥}$ .
Recordemos que $W^{⊥}$ consiste de todas las formas lineales

$l (x, y, z, t) = a x + b y + c z + d t$

tales que $l (v_{1}) = l (v_{2}) = 0$ , es decir
$\begin{aligned} a + b + d & = 0 \\ a + 2 b + 2 c + d & = 0. \end{aligned}$

La matriz asociada al sistema anterior es

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \end{matrix})$

y por medio de reducción gaussiana llegamos a que su forma reducida escalonada es

$A_{r e d} = (\begin{matrix} 1 & 0 & - 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \end{matrix}) .$

De aquí, $c$ y $d$ son variables libres y $a$ y $b$ son variables pivote determinadas por
$\begin{aligned} a & = 2 c - d \\ b & = - 2 c . \end{aligned}$

Por lo tanto,
$\begin{aligned} l (x, y, z, t) & = (2 c - d) x - 2 c y + c z + d t \\ = c (2 x - 2 y + z) + d (- x + t) . \end{aligned}$

Así, deducimos que una base para $W^{⊥}$ está dada por

$l_{1} (x, y, z, t) = 2 x - 2 y + z$ y $l_{2} (x, y, z, t) = - x + t$

y por consiguiente $W = {v \in R^{4} : l_{1} (v) = l_{2} (v) = 0}$ , de donde $l_{1} (v) = 0, l_{2} (v) = 0$ son ecuaciones cuyo conjunto solución es $W$ .

$△$

Problema 2. Considera el espacio vectorial $V = R_{3} [x]$ . Escribe el subespacio vectorial generado por $p (x) = 1 - 2 x^{2}$ y $q (x) = x + x^{2} - x^{3}$ como la intersección de dos hiperplanos linealmente independientes en $V$ .

Solución. Sea $B = {1, x, x^{2}, x^{3}} = {e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}}$ la base canónica de $V$ .

Entonces

$\begin{aligned} p (x) & = e_{1} - 2 e_{3} \\ q (x) & = e_{2} + e_{3} - e_{4} . \end{aligned}$

Escribir $W = span (p (x), q (x))$ como intersección de dos hiperplanos es equivalente a encontrar dos ecuaciones que definan a $W$ , digamos $l_{1} (v) = l_{2} (v) = 0$ pues entonces $W = H_{1} \cap H_{2},$ donde $H_{1} = \ker (l_{1})$ y $H_{2} = \ker (l_{2})$ .

Así que sólo necesitamos encontrar una base $l_{1}, l_{2}$ de $W^{⊥}$ .

Recordemos que una forma lineal en $R_{3} [x]$ es de la forma $l_{1} (x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3} + x_{4} e_{4}) = a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} + d x_{4}$

para algunos $a, b, c, d \in R$ .

Esta forma lineal $l$ pertenece a $W^{⊥}$ si y sólo si $l (p (x)) = l (q (x)) = 0,$ o bien

$\begin{aligned} a - 2 c & = 0 \\ b + c - d & = 0. \end{aligned}$

Podemos fijar $c$ y $d$ libremente y despejar $a$ y $b$ como sigue:

$\begin{aligned} a & = 2 c \\ b & = - c + d . \end{aligned}$

Por consiguiente

$\begin{aligned} l (x_{1} e_{1} & + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3} + x_{4} e_{4}) \\ = 2 c x_{1} + (- c + d) x_{2} + c x_{3} + d x_{4} \\ = c 2 x_{1} - x_{2} + x_{3}) + d (x_{2} + x_{4}) . \end{aligned}$

Así deducimos que una base $l_{1}, l_{2}$ de $W^{⊥}$ está dada por

$\begin{aligned} l_{1} (x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3} + x_{4} e_{4}) & = 2 x_{1} - x_{2} + x_{3} \\ l_{2} (x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2} + x_{3} e_{3} + x_{4} e_{4}) & = x_{2} + x_{4} . \end{aligned}$

y así $W = H_{1} \cap H_{2}$ , donde

$\begin{aligned} H_{1} & = \ker (l_{1}) = {a + b x + c x^{2} + d x^{3} \in V : 2 a - b + c = 0} \\ H_{2} & = \ker (l_{2}) = {a + b x + c x^{2} + d x^{3} \in V : b + d = 0} . \end{aligned}$

$△$

Entradas relacionadas

Ir a Álgebra Lineal I
Entrada anterior del curso: Ortogonalidad, ecuaciones e hiperplanos
Siguiente entrada del curso: Ortogonalidad y transformación transpuesta

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM»

El blog de Leo

Aprendiendo, creando y compartiendo matemáticas

Archivo de la etiqueta: problemas resueltos

Seminario de Resolución de Problemas: Factorización de polinomios

Introducción

Recordatorio de polinomios

Algoritmo de la división para polinomios

Algoritmo de Euclides para polinomios

El teorema del factor

Un problema para números algebraicos

Más problemas

Seminario de Resolución de Problemas: Identidad de Gauss e identidad de suma de cubos

Introducción

Identidad de cuadrados de Gauss

Problema ejemplo para identidad de Gauss

Identidad para $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

Problema ejemplo de factorización de $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

Más problemas

Seminario de Resolución de Problemas: La integral

Introducción

Usar la integral como un área

Traducir a una integral y usar técnicas de integración

El teorema de Lebesgue

Más problemas

Álgebra Superior II: Norma y distancia en los complejos

Introducción

Propiedades básicas de la norma en los complejos

Ejercicios que usan las propiedades básicas

La desigualdad del triángulo

Propiedades de la distancia

Más adelante…

Tarea moral

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Álgebra Lineal I: Problemas de ortogonalidad, ecuaciones e hiperplanos

Introducción

Problemas resueltos de espacio ortogonal

Problemas resueltos de ecuaciones lineales y de hiperplanos

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Introducción

Recordatorio de polinomios

Algoritmo de la división para polinomios

Algoritmo de Euclides para polinomios

El teorema del factor

Un problema para números algebraicos

Más problemas

Introducción

Identidad de cuadrados de Gauss

Problema ejemplo para identidad de Gauss

Identidad para a3+b3+c3−3abc

Problema ejemplo de factorización de a3+b3+c3−3abc

Más problemas

Introducción

Usar la integral como un área

Traducir a una integral y usar técnicas de integración

El teorema de Lebesgue

Más problemas

Introducción

Propiedades básicas de la norma en los complejos

Ejercicios que usan las propiedades básicas

La desigualdad del triángulo

Propiedades de la distancia

Más adelante…

Tarea moral

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Introducción

Problemas resueltos de espacio ortogonal

Problemas resueltos de ecuaciones lineales y de hiperplanos

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Identidad para $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$

Problema ejemplo de factorización de $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$