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Teoría de los Conjuntos I: Suma en los naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

Como lo dijimos en la entrada anterior buscamos la manera de definir a la suma en el conjunto de los naturales y esto nos lo permitirá el teorema de recursión. En esta nueva entrada presentaremos la definición formal de la suma y demostraremos algunas de las propiedades que satisface.

Suma

Definición: Dado $n\in \mathbb{N}$ fijo pero arbitrario y $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ dada por $g(m)=s(m)$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$, existe una única función (esto lo podemos asegurar por el teorema de recursión) tal que $f_n(0)=n$ y $f_n(s(k))=g(f_n(k))=s(f_n(k))$ para cualquier $k\in \mathbb{N}$.

Está definición nos dice como sumar a un número natural con un $n$ fijo, por lo que requerimos definir una operación binaria que nos diga como sumar a dos números naturales cualesquiera.

Definición: Sea $g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ dada por $g(m)=s(m)$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$. Definimos a la suma de los naturales como la función $+: \mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tal que $+(m,n)=m+n=f_n(m)$ para cualesquiera $n,m\in \mathbb{N}$.

La función $+$ satisface las siguientes condiciones:

  1. $0+n=n$ para cualquier $n\in \mathbb{N}$,
  2. $s(m)+n=s(m+n)$ para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$.

Esto último se sigue de que $+(m,n)=f_n(m)$ y $f_n$ satisface tales condiciones.

Teorema: La función $+$ es única.

Demostración:

Sea $+$ la función que definimos arriba y supongamos que existe $h:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ que satisface $h(0,n)=n$ y $h(s(m), n)= s(h(m,n))$. Veamos que $+=h$.

Definamos para cada $n\in\mathbb{N}$ la función $h_n:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ por medio de $h_n(0)=h(0,n)$ y $h_n(m)=h(m,n)$. Notemos que para todo $n\in\mathbb{N}$, $h_n(0)=n$ y $h_n(s(m))=h(s(m),n)=s(h(m,n))=s(h_{n}(m))$, y por el teorema de recursión se sigue que $h_n=f_n$.

Así, para $n,m\in\mathbb{N}$ arbitrarios, $+(m,n)=f_n(m)=h_n(m)=h(m,n)$ y en consecuencia, $+=h$.

$\square$

Dado que seguimos trabajando con conjuntos y hemos definido una nueva operación binaria, podemos preguntarnos si esta operación conmuta, es asociativa o si cumple alguna otra propiedad tal como lo hace el producto cartesiano. Notaremos que para demostrar estas propiedades ocuparemos en todo momento el principio de inducción.

Asociatividad de la suma

Teorema: Para cualesquier $m,n,k\in \mathbb{N}$, $m+(n+k)=(m+n)+k$.

Demostración: Procederemos por inducción sobre $m$ y dejaremos fijos a $n$ y $k$.

Base de inducción: Si $m=0$, $0+(n+k)=n+k=(0+n)+k$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que se cumple para $m$, es decir, $m+(n+k)= (m+n)+k$

Paso inductivo: Veamos que se cumple para $s(m)$, es decir, $s(m)+(n+k)=(s(m)+n)+k$.

\begin{align*}
s(m)+(n+k)&=s(m+(n+k)) \tag{Definición $+$}\\
&= s((m+n)+k) \tag{Hipótesis de inducción}\\
&= s(m+n)+k\tag{Definición $+$}\\
&= (s(m)+n)+k\tag{Definición $+$}
\end{align*}

Por lo tanto, $+$ es asociativa.

$\square$

Conmutatividad de la suma

Ahora vamos a ver que la suma conmuta, para ello demostraremos los siguientes lemas:

Lema 1: Para cualquier $m\in \mathbb{N}$, $0+m=m+0$.

Demostración:

Procederemos por inducción sobre $n$.

Base de inducción: Si $m=0$, tenemos que $0+0=0+0$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$ se satisface que $0+k=k+0$.

Paso de inductivo: Veamos que se cumple para $s(k)$, es decir, $0+s(k)=s(k)+0$.

\begin{align*}
s(k)+0 &=s(k+0)\tag{Definición $+$}\\
&= s(0+k)\tag{Hipótesis de inducción}\\
&= s(k)\tag{Definición $+$}\\
&= 0+s(k)\tag{Definición $+$}\\
\end{align*}

Por lo tanto, $0+m=m+0$, para cualquier $m\in \mathbb{N}$.

$\square$

Lema 2: Para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, $s(n)+m=n+s(m)$.

Demostración:

Procederemos por inducción sobre $m$.

Base de inducción: Si $n=0$, tenemos que $s(0)+m=s(0+m)= s(m)=0+s(m)$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$ se satisface que $s(k)+m=k+s(m)$.

Paso de inductivo: Veamos que se cumple para $s(k)$, es decir, $s(s(k))+m=s(k)+s(m)$.

\begin{align*}
s(s(k))+m &=s(s(k)+m) \tag{Definición $+$}\\
&= s(k+s(m)) \tag{Hipótesis de Inducción}\\
&= s(k)+s(m) \tag{Definición $+$}
\end{align*}

Por lo tanto, para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, $s(n)+m=n+s(m)$.

$\square$

Proposición: Para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, $n+m=m+n$.

Demostración:

Por inducción sobre $m$.

Base de inducción: Si $m=0$, entonces $n+0=0+n$. (Lo probamos por inducción en el primer lema 1).

Hipótesis de inducción: Supongamos que para $k$ se cumple que $n+k=k+n$.

Paso inductivo: Veamos que para $s(k)$ se satisface que $n+s(k)= s(k)+n$.

\begin{align*}
s(k)+n&= s(k+n)\tag{Definición $+$}\\
&= s(n+k)\tag{Hipótesis de Inducción}\\
&= s(n)+k\tag{Definición $+$}\\
&= n+s(k)\tag{Lema 2}
\end{align*}

Por lo tanto, $+$ es conmutativa.

$\square$

Ley de cancelación

En álgebra, cuando tenemos una ecuación como la siguiente:

$x+5=y+5$,

dado que $5=5$, entonces ponemos $x=y$, esto tiene una justificación y la llamaremos ley de cancelación de la suma. El teorema dice lo siguiente:

Teorema: Si $n+k=m+k$, entonces $n=m$.

Demostración:

Demostraremos que si $n\not=m$, entonces $n+k\not=m+k$. Procederemos por inducción sobre $k$.

Base de inducción: Supongamos que $n\not=m$. Luego, $n+0=0+n=n$ y $m+0=0+m=m$ y así, $n+0=n\not=m=m+0$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$, se satisface que si $n\not=m$, entonces $n+k\not=m+k$.

Paso inductivo: Veamos que se cumple para $s(k)$, es decir, si $n\not=m$, entonces $n+s(k)\not=m+s(k)$.

Supongamos que $n\not=m$. Luego,

\begin{align*}
n+s(k)&= s(n)+k\tag{Lema 2}\\
&= s(n+k)\tag{Definición $+$}\\
&\not= s(m+k)\tag{Hipótesis de inducción}\\
&= s(m)+k\tag{Definición $+$}\\
&= m+s(k)\tag{Lema 2}
\end{align*}

Por lo tanto, se cumple la ley de cancelación para la suma.

$\square$

A continuación probaremos un resultado que podría parecer natural para todos, $s(m)=m+1$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$.

Teorema: Para cualquier $m\in \mathbb{N}$, $s(m)=m+1$.

Demostración:

Procederemos por inducción sobre $m$.

Base de inducción: Si $m=0$, entonces $s(0)=1=0+1$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para $k\in \mathbb{N}$ se cumple que $s(k)=k+1$.

Paso inductivo: Veamos que la propiedad se satisface para $s(k)$, es decir, $s(s(k))= s(k)+1$.

\begin{align*}
s(k)+1&= s(k+1)\tag{Definición $+$}\\
&= s(s(k))\tag{Hipótesis de inducción}
\end{align*}

Por lo tanto, $s(m)=m+1$ para cualquier $m\in \mathbb{N}$.

$\square$

A partir de este momento usaremos el hecho de que $s(m)=m+1$.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido de esta sección:

  • Demuestra que si $n,m\in \mathbb{N}$ tales que $n\not=m$, entonces $s(n)\not= s(m)$.
  • Demuestra usando el principio de inducción que para cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$, $m + n \geq n$.
  • Prueba que para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$ tales que $m+n=0$, entonces $m=0$ y $n=0$.

Más adelante

En la siguiente entrada definiremos al producto en el conjunto de los números naturales.

Enlaces

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Álgebra Superior I: Suma y producto de naturales y sus propiedades

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

La función suma

Usaremos el teorema de recursión que revisamos en la entrada pasada para definir la función suma entre números naturales.

Primero, recordemos qué nos menciona este teorema:

Teorema (Recursión Débil): Sea $X$ un conjunto y $x_{0}\in X$. Supongamos que tenemos una función $f:X\to X$. Entonces existe una única función $\phi:\mathbb{N}\to X$ tal que:

  • $\phi(0)=x_{0}$
  • $\phi(\sigma(n))=f(\phi(n)).$

Ahora, definamos la función suma como sigue: La función sumar $n$ unidades a un número estará dada por $s_n:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ dada por:

  • $s_n(0) = n$
  • $s_n(\sigma(m)) = \sigma(s_n(m))$

Notación: Para cada par de números naturales $n,m$, escribiremos $$s_n(m) = n+m. $$
Y por el teorema de recursión, esta es una función bien definida. Ahora veamos cuál es esta función. La primera condición nos dice que la función evaluada en el $0$ es $n$. Ahora veamos cómo es que esta función se define para los siguientes números, nota que si aplicamos la segunda condición, obtenemos que $$s_n(\sigma(0)) = \sigma(s_n(0)).$$ Recordando cómo definimos la función sucesora, sustituimos $\sigma(0)$ por $1$ para obtener que $$s_n(1) = \sigma(s_n(0)) = \sigma(n).$$ De tal manera que $$s_n(1) = n+1 .$$ De manera similar se puede comprobar que $$s_n(2)=n+2 .$$ Y de manera recursiva, podemos demostrar que $$\begin{align*}
s_n(3) &= n+3 \\
s_n(4) &= n+4 \\
s_n(5) &= n+5 \\
&\vdots \\
s_n(m) &= n+m \\
&\vdots
\end{align*}$$ Como podrás observar, la función $s_n$ corresponde a sumarle a un número $n$ unidades. Formalmente así es como se defina la suma entre dos números. Veamos a continuación algunas propiedades de la suma. Como dato adicional, nota que para todo número natural $n$, $s_n(1)=\sigma(n)$

Propiedades de la suma

Proposición. La suma es asociativa, esto quiere decir, para $n,m,k \in \mathbb{N}$ se cumple que: $$ s_n(s_m(k)) = s_{n+m}(k) .$$
Demostración. Sean $n,m,k \in \mathbb{N}$. Lo que queremos demostrar es que $$n+(m+k) = (n+m)+k.$$ Para ello, nota que bastará probar que $s_n \circ s_m = s_{n+m}$. Para ello notemos que

  1. $s_n(s_m(0)) = s_n(m) = m+n$
  2. $s_n(s_m(\sigma(k))) = s_n(\sigma(s_m(k))) = \sigma(s_n(s_m(k)))$

Por otro lado, por definición de la suma:

  1. $s_{n+m}(0) = n+m$
  2. $s_{n+m}(\sigma(k)) = \sigma(s_{n+m}(k))$

Esto quiere decir que tanto $s_n \circ s_m$ como $s_{n+m}$ cumplen las dos condiciones del teorema de recursión, y este nos asegura que $$s_{n+m} = s_n \circ s_m$$ pues el teorema asegura que la función que cumple dichas dos condiciones es única.

$\square$

Proposición. La suma es conmutativa. Es decir, para $n,m,k \in \mathbb{N}$ se cumple que: $$s_n(m) = s_m(n).$$

Demostración. Sea $n \in \mathbb{N}$ . Haremos la demostración por inducción sobre $m$.
Base inductiva. Notemos que $s_n(0) = n$. Por otro lado, se puede demostrar sin mucha dificultad que $s_0(n) = n$ (se deja como tarea moral la demostración de este enunciado). De esta manera $$s_n(0) = s_0(m). $$

Hipótesis de inducción. Supongamos que $m \in \mathbb{N}$ es tal que $$s_n(m) = s_m(n). $$

Paso inductivo. Ahora demostraremos que $$s_n(\sigma(m)) = s_{\sigma(m)}(n). $$Para ello notemos que $$s_n(\sigma(m)) = \sigma(s_n(m))$$Ahora, aplicando la hipótesis de inducción, tenemos que $$\sigma(s_n(m)) = \sigma(s_m(n)). $$ Ahora, nota que $$ \begin{align*}
\sigma(s_m(n)) &= s_m(\sigma(n)) \\

& = s_m(s_1(n))\\

&= s_{m+1}(n) \\

&= s_{\sigma(m)}(n)
\end{align*}$$

Estas últimas dos igualdades son válidas debido a la asociatividad de la suma. Es una vez concluido esto último que podemos seguir la cadena de igualdades. Esto resulta en que $s_n(\sigma(m)) = s_{\sigma(m)}(n). $ Como se quería demostrar.

$\square$

La multiplicación

Cuando apenas estamos aprendiendo a sumar, alguna vez nos encontramos con una abreviación de sumar los mismos términos. Por ejemplo, nos dicen que si tenemos tres grupos de perros, cada uno con cinco perros, entonces podríamos contar el número total de perros con la siguiente expresión:

$5+5+5$

$3$ grupos de perros con $5$ perros cada uno

Quizá no es tan tardado en escribir $5+5+5$, y llegaríamos a la conclusión de que hay $15$ perros en total. Pero ahora ¿Qué pasaría si tenemos trescientos grupos de perros con cinco perros cada uno? Pues la notación se complica, pues para escribirlo, deberíamos anotar $5+5\underbrace{+\dots+}_{296 \text{ veces}}5+5$, es decir, sumar $5$ unas $300$ veces.

$300$ grupos de perros con $5$ perros cada uno

Es por esto que se llega a la noción de multiplicación, pues al considerar la primera suma, bien podemos escribir: $$5+5+5 = 3 \times 5.$$ Y la segunda suma: $$5+5\underbrace{+\dots+}_{296 \text{ veces}}5+5 = 300 \times 5 .$$

Ahora, nota que la primera suma se puede expresar como $$(5+5)+5 = (2 \times 5) + 5 $$ De manera que sabemos que $$3 \times 5 = (s(1) \times 5) + 5 $$

De igual forma $$(s(298)\times 5) + 5 = 300 \times 5$$ Eso generalizando a cualquier número $n \in \mathbb{N}$ lo escribiríamos como $$s(n) \times 5 = (n \times 5) + 5 $$ Y para cualquier número $m \in \mathbb{N}$: $$s(n) \times m = (n \times m) + m $$

Definición de la multiplicación

Sean $n, m \in \mathbb{N}$, la multiplicación entre números naturales la definiremos como la función $\times : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal que:

$$\begin{align*}
0 &\times n = 0 \\
s(n) &\times m = (n \times m) + m
\end{align*} $$

Nota que esta es una definición recursiva, pues la definición de la multiplicación del sucesor de un elemento depende de la multiplicación del mismo elemento.

Usando el hecho de que sabemos que la multiplicación con el $0$ siempre es $0$, podemos obtener una propiedad interesante al ver qué pasa cuando multiplicamos cualquier elemento con el $1$, pues resultará que la multiplicación se comportará como la identidad cuando multiplicamos con el $1$.

Proposición. Para cualquier número natural $m$, $1 \times m = m$.

Demostración. Notemos que por definición $$0 \times m = 0$$, de manera que $$1 \times m = s(0) \times m $$

A su vez, podemos usar la otra propiedad de la multiplicación para sustituir el término $s(0)$: $$s(0) \times m = (0 \times m)+m=m $$ Llegando así al resultado deseado.

$\square$

Otra proposición interesante es que esta operación es conmutativa, y es algo que sabemos por sentido común, pues podríamos escribir que $$3 \times 5 = 5 +5+5 = 15=3+3+3+3+3=5\times 3 $$ Nuestro sentido común nos lo dice, sin embargo para demostrar esto, deberemos usar inducción matemática.

Proposición. La multiplicación de números naturales es conmutativa.

Demostración. Para esto notemos que podemos definir la multiplicación de cada número natural $m$ en términos de el teorema débil de recursividad como:
$$\begin{cases}
f_m(0) &= 0\\
f_m(n+1) &= m \times n + m
\end{cases}
$$
Ahora definamos la función $g_m(n) = n \times m$ y veamos que es la misma que $f$.
Notemos que cualquier suma de $0$ consigo misma es $0$, haciendo que $g_m(0)=0$ esto se puede demostrar por inducción y resulta una tarea que puede poner en práctica tus habilidades para este tipo de demostraciones.

Notemos que adicionalmente:
$$\begin{align*}
g_m(n+1) &= (n+1) \times m\\
&= (n \times m) + m \\
&= g_m(n)+m
\end{align*} $$
Demostrando que $g_m$ también cumple la definición de $f_m$. Como el teorema de recursión débil nos garantiza que $f_m$ es única, entonces $g_m=f_m$, esto quiere decir que $m \times n = n \times m$.

Como esto sucede para cualquier número natural $m$, entonces es cierta la siguiente afirmación: «$\forall m,n \in \mathbb{N}, m\times n = n \times m$»

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra que para todo número natural $n$, $s_n(1)=\sigma(n)$.
  2. Demuestra que para todo número natural $n$, $s_0(n)=n$.
  3. Demuestra que la multiplicación es asociativa.
  4. Demuestra que $0 \times n = n \times 0$.

Más adelante…

Ahora que hemos visto la suma y multiplicación de los números naturales, hablaremos un poco más de los conjuntos y su relación con los números naturales introduciendo «el tamaño de los conjuntos» o «cardinalidad»

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Introducción

Uno de los momentos del curso de Álgebra Lineal I en el que se da un brinco de abstracción es cuando se introduce el espacio dual. En ese momento, empiezan a aparecer objetos que tratamos simultáneamente como funciones y como vectores: las formas lineales. De repente puede volverse muy difícil trasladar incluso conceptos muy sencillos (como el de suma vectorial, o el de indepencia lineal) a este contexto. En esta entrada intentaremos dejar esto mucho más claro.

Igualdad de funciones

Para hablar del dual de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$, necesitamos hablar de las funciones $l:V\to F$. Antes de cualquier cosa, debemos de ponernos de acuerdo en algo crucial. ¿Cuándo dos funciones son iguales?

Definición. Dos funciones $f:A\to B$ y $g:C\to D$ son iguales si y sólo si pasan las siguientes tres cosas:

  • $A=C$, es decir, tienen el mismo dominio.
  • $B=D$, es decir, tienen el mismo codominio
  • $f(a)=g(a)$ para todo $a\in A$, es decir, tienen la misma regla de asignación.

Los dos primeros puntos son importantes. El tercer punto es crucial, y justo es lo que nos permitirá trabajar y decir cosas acerca de las funciones. Implica dos cosas:

  • Que si queremos demostrar la igualdad de dos funciones, en parte necesitamos demostrar que se da la igualdad de las evaluaciones para todos los elementos del conjunto.
  • Que si ya nos dan la igualdad de las funciones, entonces nos están dando muchísima información, pues nos están diciendo la igualdad de todas las evaluaciones posibles.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo. Tomemos las funciones $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ con las reglas de asignación $f(x,y)=2x+3y$ y $g(x,y)=6x-y$. ¿Son iguales? Los primeros dos puntos en la definición de igualdad se cumplen, pues tienen el mismo dominio y codominio. Entonces, debemos estudiar si tienen la misma regla de asignación.

Al evaluar en $(1,1)$ obtenemos que $f(1,1)=2+3=5$ y que $g(1,1)=6-1=5$. Al evaluar en $(2,2)$ obtenemos que $f(2,2)=4+6=10$ y que $g(2,2)=12-2=10$. Hasta aquí parecería que todo va bien, pero dos ejemplos no son suficientes para garantizar que $f=g$. Necesitaríamos la igualdad en todos los valores del dominio, es decir, en todas las parejas $(x,y)$.

Al evaluar en $(2,0)$ obtenemos que $f(2,0)=4+0=4$ y que $g(2,0)=12-0=12$. Los valores de las funciones fueron distintos, así que las funciones son distintas.

$\square$

Ejemplo. Imagina que $A$ y $B$ son dos números tales que las dos funciones $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ con las siguientes reglas de asignación son iguales:

\begin{align*}
f(x,y)&=2x-5y+A\\
g(x,y)&=Bx-5y+3.
\end{align*}

¿Cuáles tendrían que ser los valores de $A$ y $B$? Por supuesto, una exploración «a simple vista» sugiere que tendríamos que poner $B=2$ y $A=3$. Pero, ¿cómo vemos formalmente esto? ¿Cómo nos aseguramos de que sea la única posibilidad? Lo que tenemos que hacer es usar nuestra definición de igualdad de funciones. Para ello, podemos utilizar los valores $(x,y)$ que nosotros queremos pues la igualdad de funciones garantiza la igualdad en todas las evaluaciones. Así, podemos ponernos creativos y proponer $(3,5)$ para obtener que:

\begin{align*}
f(3,5)&=6-25+A=-19+A\\
g(3,5)&=3B-25+3=3B-22.
\end{align*}

Como las funciones son iguales, debe pasar que $f(3,5)=g(3,5)$, por lo que $-19+A=3B-22$. ¿Esto es suficiente para saber quién es $A$ y $B$? Todavía no, aún hay muchas posibiliades. Propongamos entonces otro valor de $(x,y)$ para evaluar. Veamos qué sucede con $(-2,1)$. Obtenemos:

\begin{align*}
f(-2,1)&=-4-5+A=-9+A\\
g(-2,1)&=-2B-5+3=-2B-2.
\end{align*}

Ahora tenemos más información de $A$ y $B$. Sabemos que $-9+A=-2B-2$. Reordenando ambas cosas que hemos obtenido hasta ahora, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{align*}
A-3B=-3\\
A+2B=7.
\end{align*}

Restando la primera de la segunda obtenemos $5B=10$, de donde $B=2$. Sustituyendo en la segunda obtenemos $A+4=7$, de donde $A=3$, justo como queríamos.

$\square$

En el ejemplo anterior pudimos haber sido más astutos y evitarnos el sistema de ecuaciones. Recordemos que la igualdad $f(x,y)=g(x,y)$ se tiene para todas todas las parejas $(x,y)$, así que nos conviene usar parejas que 1) Sean sencillas de usar y 2) Nos den suficiente información.

Ejemplo. En el ejemplo anterior hicimos un par de sustituciones que finalmente sí nos llevaron a los valores que queríamos. Pero hay «mejores» sustituciones. Si hubiéramos usado la pareja $(0,0)$ obtendríamos inmediatemente $A$ pues: $$A=0-0+A=f(0,0)=g(0,0)=0-0+3=3,$$ de donde $A=3$. Ya sabiendo $A$, pudimos usar la pareja $(1,0)$ para obtener $$B+3=B-0+3=g(1,0)=2-0+3=5.$$ De aquí se obtene nuevamente $B=2$.

$\square$

Veamos un último ejemplo, en el que es imposible encontrar un valor fijo que haga que dos funciones que nos dan sean iguales.

Ejemplo. Veamos que es imposible encontrar un número real $A$ para el cual las dos funciones $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ con las siguientes reglas de asignación sean iguales:

\begin{align*}
f(x,y)&=x^2+Ay^2\\
g(x,y)&=Axy.
\end{align*}

Imaginemos, de momento, que esto sí es posible. Entonces, tendríamos la igualdad de funciones y por lo tanto tendríamos la igualdad para todas las evaluaciones. Evaluando en $(1,0)$ obtendríamos que $$0=A\cdot 1 \cdot 0 = g(1,0)=f(1,0)=1^2+A\cdot 0^2=1.$$ Esto nos lleva a la contradicción $0=1$, lo cual muestra que ningún valor de $A$ podría funcionar.

$\square$

La forma lineal cero

Otra noción básica, pero que es importante de entender, es la noción de la forma lineal cero.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. Sea $0$ el neutro aditivo del campo $F$. La forma lineal cero es la función $L_0:V\to F$ que manda a cualquier vector $v$ de $V$ a $0$, es decir, cuya regla de asignación es $L_0(v)=0$ para todo $v$ en $V$.

En álgebra lineal rápidamente nos queremos deshacer de notación estorbosa, pues muchas cosas son claras a partir del contexto. Pero esto tiene el problema de introducir amgüedades que pueden ser confusas para alguien que apenas está comenzando a estudiar la materia. Lo que prácticamente siempre se hace es que a la forma lineal cero le llamamos simplemente $0$, y dejamos que el contexto nos diga si nos estamos refiriendo al neutro aditivo de $F$, o a la forma lineal cero $L_0$.

En esta entrada intentaremos apegarnos a llamar a la forma lineal cero siempre como $L_0$, pero toma en cuenta que muy probablemente más adelante te la encuentres simplemente como un $0$. Combinemos esta noción con la de igualdad.

Ejemplo. ¿Cómo tienen que ser los valores de $A$, $B$ y $C$ para que la función $l:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con la siguiente regla de asignación sea igual a la forma lineal cero $L_0$? $$f(x,y,z)=(A+1)x+(B+C)y+(A-C)z$$

Debemos aprovechar la definición de igualdad de funciones: sabemos que la igualdad se da para las ternas que nosotros queramos. Evaluando en $(1,0,0)$ obtenemos $$A+1 = f(1,0,0)=L_0(1,0,0)=0.$$

Aquí a la derecha estamos usando que la forma lineal cero siempre es igual a cero. De manera similar, evaluendo en $(0,1,0)$ y $(0,0,1)$ respectivamente obtenemos que \begin{align*}B+C&=f(0,1,0)=L_0(0,0,0)=0\\A-C&=f(0,0,1)=L_0(0,0,0)=0.\end{align*}

Ya tenemos información suficiente para encontrar $A$, $B$ y $C$. De la primer ecuación que obtuvimos, se tiene $A=-1$. De la tercera se tiene $C=A=-1$ y de la segunda se tiene $B=-C=1$.

Pero, ¡momento! Estos valores de $A$, $B$, $C$ funcionan para las tres ternas que dimos. ¿Funcionarán para cualquier otra terna? Si elebimos $A=-1$, $B=1$ y $C=-1$ entonces tendríamos $$f(x,y,z)=0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z.$$ En efecto, sin importar qué valores de $(x,y,z)$ pongamos, la expresión anterior dará cero. Así, se daría la igualdad de reglas de correspondencia entre $f$ y $L_0$ y como tienen el mismo dominio y codominio concluiríamos que $f=L_0$.

$\square$

Suma y producto escalar de formas lineales

Otro aspecto que puede causar confusión es la suma de funciones y el producto escalar. En la duda, siempre hay que regresar a la definición. Enunciaremos los conceptos para formas lineales. Pero en realidad podemos definir la suma de funciones de manera similar siempre que el codominio sea un lugar en donde «se puede sumar». Similarmente, podríamos definir el producto escalar de un elemento con una función siempre que sepamos cómo multiplicar a ese elemento con cada elemento del codominio.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. Sean $l:V\to F$ y $m:V\to F$ formas lineales. Definimos la suma de $l$ con $m$, a la cual denotaremos por $l+m$, como la función $l+m:V\to F$ con la siguiente regla de asignación:$$(l+m)(v)=l(v)+m(v),$$ para cualquier $v$ en $V$.

De nuevo nos estamos enfrentando a un posible problema de ambigüedad de símbolos: por un lado estamos usando $+$ para referirnos a la suma en el campo $F$ y por otro lado para referirnos a la suma de funciones que acabamos de definir.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. Sea $l:V\to F$ una forma lineal y sea $r$ un elemento de $F$. Definimos el producto escalar de $r$ con $F$, al cual denotaremos por $r\cdot l$ como la función $r\cdot l:V\to F$ con la siguiente regla de asignación:$$(r\cdot l)(v)=r\cdot (l(v))$$ para cualquier $v$ en $V$.

Así, estamos usando tanto la suma en $F$ como el producto en $F$ para definir una nueva suma de funciones y un nuevo producto entre un real y una función. En el caso del producto escaler, como con muchos otros productos, usualmente quitamos el punto central y ponemos $rl$ en vez de $r\cdot l$.

Ejemplo. Tomemos las funciones $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con las siguientes reglas de asignación:

\begin{align*}
f(x,y,z)&=2x-y+z\\
g(x,y,z)&=3x+y-5z.
\end{align*}

Mostraremos que la función $3f+(-2)g$ es igual a la función $h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con regla de asignación $h(x,y,z)=-5y+13z$. Lo haremos con todo el detalle posible. Primero, notamos que las dos funciones tienen dominio $\mathbb{R}^3$ y codominio $\mathbb{R}$ así que nos podemos enfocar en la regla de asignación. Debemos ver que ambas coinciden para todas las ternas $(x,y,z)$ en $\mathbb{R}^3$. Tomemos entonces una de estas ternas $(x,y,z)$.

Por definición de producto escalar de funciones, tenemos que $$(3f)(x,y,z)=3(f(x,y,z))=3(2x-y+z)=6x-3y+3z.$$. Aquí estamos usando la distributividad en los reales. Por definición de producto escalar de funciones, tenemos que $$ ((-2)g)(x,y,z)=(-2)(g(x,y,z))=(-2)(3x+y-5z)=-6x-2y+10z.$$ Una vez más estamos usando distributividad. Luego, por definición de suma de funciones obtenemos que

\begin{align*}
(3f+(-2)g)(x,y,z)&=(3f)(x,y,z)+(-2g)(x,y,z)\\
&= (6x-3y+3z)+(-6x-2y+10z)\\
& = -5y+13z\\
&= h(x,y,z).
\end{align*}

$\square$

Usualmente tomamos atajos para seguir simplificando la notación. Por ello, típicamente a veces vemos escrito todo lo anterior simplemente como: $$3(2x-y+z)-2(2x+y-5z)=-5y+13z.$$ De hecho esto es muy práctico, pues se puede mostrar que las funciones «sí podemos operarlas como si fueran expresiones en $x$, $y$, $z$ y usáramos las reglas usuales». Así, podemos «trabajar simbólicamente» y concluir rápidamente que $$(x+y)+(3x+2z)-3(x+y-z)$$ en verdad tiene la misma regla de asignación que $-2y+5z$.

Ahora sí, ¿quién es el espacio dual?

Si tenemos un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ podemos construirnos otro espacio vectorial con otro conjunto base y otras operaciones que no son las del espacio original. Una forma de hacer esto es construir el espacio dual, al que llamaremos $V^\ast$. Los elementos de $V^\ast$ son las formas lineales de $V$, es decir, funciones lineales con dominio $V$ y codominio $F$. Debemos acostumbrarnos a pensar simultáneamente a un elemento de $V^\ast$ tanto como un vector (de $V^\ast$) como una función (de $V$ a $F$).

Para verdaderamente pensar a $V^\ast$ como un espacio vectorial, debemos establecer algunas cosas especiales:

  • La suma vectorial de $V^\ast$ será la suma de funciones que platicamos en la sección anterior.
  • El producto escalar vectorial de $V^\ast$ será el producto escalar que platicamos en la sección anterior.
  • El neutro aditivo vectorial de $V^\ast$ será la forma lineal $L_0$, y se puede verificar que en efecto $l+L_0=l$ para cualquier forma lineal $l$.

Por supuesto, típicamente a la suma vectorial le llamaremos simplemente «suma» y al producto escalar vectorial simplemente «producto escalar». Aquí estamos haciendo énfasis en lo de «vectorial» sólo para darnos cuenta de que nuestras operaciones de funciones se transformaron en operaciones para el espacio vectorial que estamos definiendo.

El espacio dual cumple muchas propiedades bonitas, pero ahorita no nos enfocaremos en enunciarlas y demostrarlas. Esto se puede encontrar en la página del curso de Álgebra Lineal I en el blog. Lo que sí haremos es irnos a los básicos y entender cómo se verían algunas definiciones básicas de álgebra lineal en términos de lo que hemos discutido hasta ahora.

Combinaciones lineales de formas lineales

Para hablar de las nociones de álgebra lineal para formas lineales, hay que pensarlas como vectores y como funciones. ¿Qué sería una combinación lineal de las formas lineales $l_1,\ldots,l_r$ del espacio vectorial, digamos, $\mathbb{R}^n$. Debemos tomar elementos $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ en $\mathbb{R}$ y construir la función $\ell=\alpha_1l_1+\ldots+\alpha_rl_r$. Aquí estamos usando la suma vectorial y el producto escalar vectorial que quedamos que serían la suma como funciones y el producto escalar como funciones. Así, obtenemos un elemento $\ell$ que por un lado es un vector del espacio dual, y por otro es una función $\ell:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$. ¿Cuál es la regla de asignación? Es precisamente la dada por las definiciones de suma y producto escalar para funciones. Para ser muy precisos, se puede mostrar inductivamente que su regla de asignación es:

\begin{align*}
(\alpha_1l_1+&\ldots+\alpha_rl_r)(x_1,\ldots,x_n)=\\
&\alpha_1(l_1(x_1,\ldots,x_n))+\ldots+\alpha_r(l_r(x_1,\ldots,x_n)).
\end{align*}

Entendiendo esto, ahora sí podemos preguntarnos si una forma lineal es combinación lineal de otras.

Ejemplo. La forma lineal $h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ con regla de asignación $h(x,y)=2x-y$ es combinación lineal de las formas lineales $f(x,y):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ y $g(x,y):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ con reglas de asignación

\begin{align*}
f(x,y)&=x+y\\
g(x,y)&=x-y.
\end{align*}

En efecto, tenemos que es igual a la combinación lineal $\frac{1}{2}f + \frac{3}{2} g$, pues su regla de asignación es:

$$\left(\frac{1}{2}f + \frac{3}{2} g\right)(x,y)=\left(\frac{x+y}{2}\right)+\left(\frac{3x-3y}{2}\right)=2x-y,$$

que es justo la regla de asignación de $h$. Así, $h=\frac{1}{2}f+\frac{3}{2}g$.

$\square$

Independencia lineal de formas lineales

Veamos un ejemplo más de cómo entender nociones de álgebra lineal cuando hablamos de formas lineales (o funciones en general). ¿Cómo sería el concepto de independencia lineal para formas lineales $l_1,\ldots,l_r$? A partir de una combinación lineal de ellas igualada a la forma lineal cero $L_0$, debemos mostrar que todos los coeficientes son iguales a cero. Es decir, a partir de $$\alpha_1l_1+\ldots+\alpha_rl_r=L_0,$$ debemos mostrar que $\alpha_1=\ldots=\alpha_r=0.$$ Usualmente el truco en estas situaciones es que ya nos están dando una igualdad de funciones. Entonces, podemos evaluar en los valores que nosotros queramos de ambos lados de la igualdad pues funciones iguales tienen todas sus evaluaciones iguales. Esto se parece a los ejemplos de la sección de igualdad de funciones.

Ejemplo. Vamos a demostrar que las formas lineales de $\mathbb{R}^4$ dadas por $f(w,x,y,z)=4w+2x+z$, $g(w,x,y,z)=4w+2z+y$, $h(w,x,y,z)=4w+2y+x$, $k(w,x,y,z)=w+x+y+z$ son linealmente independientes. Tomemos una combinación lineal de ellas igualda a cero (¡recordemos que en este espacio vectorial el cero es la forma lineal $L_0$!):

$$Af+Bg+Ch+Dk=L_0.$$

Debemos demostrar que $A=B=C=D=0$. ¿Cómo hacemos esto? Lo que haremos es evaluar: pondremos valores convenientes de $(w,x,y,z)$ en la igualdad anterior para obtener información de $A$, $B$, $C$, $D$. Poniendo $(1,0,0,0)$ obtenemos que:

\begin{align*}
0&=L_0(1,0,0,0)\\
&= (Af+Bg+Ch+Dk)\\
&=Af(1,0,0,0)+ Bg(1,0,0,0) +Ch(1,0,0,0) +Dk(1,0,0,0) \\
&=4A + 4B + 4C + D.
\end{align*}

Así, $4A+4B+4C+D=0$. Usando esta ecuación y las evaluaciones $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$ y $(0,0,0,1)$, obtenemos todo lo siguiente:

\begin{align*}
4A+4B+4C+D&=0\\
2A+C+D&=0\\
B+2C+D&=0\\
A+2B+D&=0.
\end{align*}

De aquí se puede mostrar (como puedes verificar como ejercicio) que la única solución posible es $A=B=C=D=0$. De este modo, las formas lineales $f,g,h,k$ son linealmente independientes.

$\square$

Más adelante

Esta es más una entrada auxiliar que una entrada que forma parte del flujo de la teoría principal. Sin embargo, espero que te haya servido para dejar más claros los conceptos de cuándo tenemos formas lineales iguales, cómo se operan, cuándo varias formas lineales son linealmente independientes, etc.

Tarea moral…

  1. Verifica que para cualquier forma lineal $l:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ y la forma lineal cero $L_0:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ en efecto se tiene que $l+L_0=l$. Usa las definiciones de la forma lineal cero, de la igualdad de funciones y de la suma de funciones.
  2. Verifica que $V^\ast$ con las operaciones de suma, producto escalar y el neutro aditivo que dimos en efecto es un espacio vectorial. ¿Cómo tendrían que ser los inversos aditivos?
  3. Considera las formas lineales $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ dadas por $f(x,y,z)=x+3y+z$ y $g(x,y,z)=-x+5y-z$.
    1. Demuestra que es imposible encontrar reales $A$ y $B$ ambos distintos de cero tales que $Af+Bg$ sea la forma lineal cero.
    2. Encuentra reales $A$ y $B$ tales que $Af+Bg$ sea la forma lineal $h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con regla de asignación $h(x,y,z) = -x + 21 – z$.
    3. Demuestra que es imposible encontrar reales $A$ y $B$ tales que $Af+Bg$ sea la forma lineal $j:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con regla de asignación $j(x,y,z)= -2x + 4y -3z$.
    4. ¿Será posible encontrar reales $A$ y $B$ tales que $Af+Bg$ sea la forma lineal $k:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con regla de asignación $k(x,y,z)=5x+5y+5z$?
  4. Para cada uno de los siguientes casos, determina si las formas lineales son linealmente independientes:
    1. $f(x,y)=5x+3y$, $g(x,y)=x-3y$.
    2. $f(x,y,z)=5x+2y-z$, $g(x,y,z)=z$, $h(x,y,z)=x-y-z$.
    3. $f(w,x,y,z)=w+y$, $g(w,x,y,z)=3x-2z$, $h(w,x,y,z)=x+y+z$, $k=(w,x,y,z)=w+2x-3z$.
  5. Considera el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales $\mathbb{R}[x]$. Considera la función $\text{ev}_k:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}$ que a cada polinomio lo manda a su evaluación en $k$, es decir, con regla de asignación $\text{ev}_k(p)=p(k)$.
    1. Demuestra que cualquier $\text{ev}_k$ es una forma lineal.
    2. Sean $k_1,\ldots,k_r$ reales distintos. Muestra que $\text{ev}_{k_1},\ldots,\text{ev}_{k_r}$ son formas lineales linealmente independientes.

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Cálculo Diferencial e Integral I: Suma, producto, cociente y composición de funciones

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

Ya que hemos visto el concepto de función, en esta entrada veremos cómo están definidas las operaciones de suma, producto y cociente. De igual modo definiremos la composición entre un par de funciones. Para dejar más claras dichas operaciones daremos ejemplos.

Operaciones de funciones

Definición (operaciones): Sean $f: D_{f}\subseteq \r \rightarrow \r$, $\quad g: D_{g}\subseteq \r \rightarrow \r$. Definimos las siguientes operaciones como:

  • $f+g: D_{f} \cap D_{g} \subseteq \r \rightarrow \r$
    $$(f+g)(x)= f(x)+g(x)$$
  • $\alpha f: D_{f}\subseteq \r \rightarrow \r \quad$ y $\quad \alpha \in \r$
    $$(\alpha f)(x)= \alpha f(x)$$
  • $fg: D_{f} \cap D_{g} \subseteq \r \rightarrow \r$
    $$(fg)(x)= f(x)g(x)$$
  • $\begin{multline*} \frac{f}{g}: D_{f/g} \subseteq \r \rightarrow \r \end{multline*}$
    \begin{equation*}
    \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}
    \end{equation*}
    donde $D_{f/g}=D_{f} \cap (D_{g} – \left\{x \in D_{g}: g(x)=0 \right\})$

Notación: Cuando escribamos $f-g$ hacemos referencia a:
$$f-g=f+ (-g)$$

Ejemplos

Consideremos a las siguientes funciones:
\begin{align*}
f: \r – \left\{-1\right\} &\rightarrow \r & g: \r &\rightarrow \r & h: \r &\rightarrow \r^{+}
\end{align*}
\begin{align*}
f(x)&= \frac{1}{x+1}& g(x)&= x^{3}+3 & h(x)&=x^{2}+2x+1
\end{align*}
Notación: Usamos $\r^{+}$ para referirnos al conjunto de los números reales positivos.

Realizaremos las siguientes operaciones para ejemplificar lo visto anteriormente:

  • $$(f+g)(x)= f(x)+g(x)= \frac{1}{x+1} + x^{3}+3$$
    con $D_{f+g}=D_{f} \cap D_{g}= \r \cap (\r- \left\{-1\right\})= \r- \left\{-1\right\}$
  • $$(fg)(x)= f(x)g(x)=\left(\frac{1}{x+1}\right)(x^{3}+3)=\frac{x^{3}+3}{x+1}$$
    con $D_{fg}=D_{f} \cap D_{g}= \r \cap (\r- \left\{-1\right\})= \r- \left\{-1\right\}$
  • Si $\alpha = – 4$:
    $$(\alpha g)(x)= \alpha g(x)= -4(x^{3}+3)=-4x^{3}-12$$
    con $D_{\alpha g}= D_{g}= \r$
  • $$\left(\frac{g}{h}\right)(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{x^{3}+3}{x^{2}+2x+1}$$
    como $D_{g/h}=D_{g} \cap (D_{h} – \left\{x \in D_{h}: h(x)=0 \right\})$
    Observemos que $x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2}$ por lo que $(x+1)^{2}=0$ cuando $x=-1$.
    Así el dominio sería:
    $$D_{g/h}=\r \cap (\r- \left\{-1 \right\})= \r – \left\{-1\right\}$$
  • $$(h-g)(x)=h(x)-g(x)=x^{2}+2x+1-(x^{3}+3)=x^{2}+2x+1-x^{3}-3$$
    con $D_{h-g}= D_{h} \cap D_{g}= \r \cap \r= \r$

Composición de funciones

Definición (composición): Consideremos a las funciones $g: A \rightarrow B$ y $f: B \rightarrow C$ definimos a la composición de $f$ en $g$ como:

$$f \circ g: A \rightarrow C$$
$$f \circ g(x)= f(g(x))$$
observamos así que $g(x) \in B$.
En el siguiente diagrama podemos ver más claramente cómo funciona la composición $f \circ g$:

PASO 1

Primero tomamos $x \in A$ a la cual le aplicamos la función $g$ para así obtener $g(x) \in B$.

PASO 2

Ahora tomamos a $g(x) \in B$ para aplicarle la función $f$ y finalmente obtener $f(g(x)) \in C$.

DIAGRAMA PARA $f \circ g$

Así la composición de $f \circ g$ se vería como en el diagrama anterior.

Observación: La composición no es conmutativa, es decir, ocurre que:
$$f \circ g \neq g \circ f$$

Ejemplos

Retomando las funciones:
\begin{align*}
f(x)&= \frac{1}{x+1}& g(x)&= x^{3}+3 & h(x)&=x^{2}+2x+1
\end{align*}

Realicemos las siguientes composiciones de funciones para tener más claro cómo funciona lo antes explicado:

  • Ejemplo 1:
    \begin{align*}
    (g \circ f)(x)&= g(f(x))\\
    &= g\left(\frac{1}{x+1} \right)\\
    &= \left( \frac{1}{x+1} \right)^{3} +3\\
    &= \frac{1}{(x+1)^{3}}+3
    \end{align*}
    Así tenemos que la composición obtenida es:
    \begin{equation*}
    (g \circ f)(x)=\frac{1}{(x+1)^{3}}+3
    \end{equation*}
  • Ejemplo 2:
    \begin{align*}
    (f \circ h)(x)&= f(h(x))\\
    &= f((x^{2}+2x+1))\\
    &= \frac{1}{(x^{2}+2x+1)+1}\\
    &=\frac{1}{x^{2}+2x+2}
    \end{align*}
    Por lo que la composición quedaría como:
    \begin{equation*}
    (f \circ h)(x) = \frac{1}{x^{2}+2x+2}
    \end{equation*}

Tarea moral

  • Si tenemos a las funciones $f : \r \rightarrow \r$ y $g : \r \rightarrow \r^{+}$ definidas como siguen:
    $$ f(x) = x-8$$
    $$g(x)= x^{4}$$
    Realiza las siguientes operaciones:
    • $f + g$
    • $f – g$
    • $fg$
    • $\frac{g}{f}$
    • $g \circ f$
  • Da una función $f$ y una función $g$ que ejemplifiquen que la composición no es conmutativa:
    $$f \circ g \neq g \circ f$$
  • Demuestra que la composición es asociativa, es decir,
    $$f\circ (g \circ h)= (f\circ g) \circ h$$

Más adelante

Ahora que ya hemos definido las operaciones entre funciones y la composición, en la siguiente entrada veremos qué características debe cumplir una función para poder decir si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. De igual manera veremos el concepto de función inversa donde haremos uso de la composición de funciones y algunas condiciones.

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Álgebra Superior II: Algoritmo de la división en los enteros

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

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Introducción

Gracias a todo lo trabajado con anterioridad y en particular a la entrada anterior de inmersión de los naturales en los enteros, ya podemos pensar al conjunto de enteros como el conjunto $\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$. Además, dentro de esta estructura tenemos operaciones de suma, resta y producto. Sin embargo, aún no tenemos una operación de «división». Hay dos caminos que podemos seguir. Uno es algo parecido a lo que hicimos para tener una operación de resta: podemos construir ciertas clases de equivalencia sobre parejas de enteros, definir operaciones, orden, etcétera. Esto es lo que se hace para construir el conjunto $\mathbb{Q}$ de números racionales, del cual hablaremos más adelante. Otro camino es quedarnos en $\mathbb{Z}$ e intentar decir todo lo que podamos, aunque no tengamos una operación de división. Eso es lo que haremos ahora mediante lo que se conoce como el algoritmo de la división.

Por ejemplo, si tenemos los números $-20$ y $5$, entonces sí «podemos hacer la división» de manera exacta. Dicho de otra forma, sí existe un entero $k$ tal que $-20=5k$. Ese entero es $k=-4$. Sin embargo, si tenemos los números $20$ y $3$ no podemos hacer la división, en el sentido de que no existe un entero $k$ tal que $20=3k$. Sin embargo, sí podemos lograr que $3k$ quede muy cerca de $20$. Por ejemplo, podemos escribir $20=3\cdot 6 + 2$, es decir, el $20$ se queda únicamente a dos unidades de tres veces un entero.

Lo que nos dice el algoritmo de la división es que dados dos enteros $a$ y $b$, siempre sucederá que $a$ puede ser escrito como $b$ veces un entero, más un residuo «pequeño» en términos de $b$. También nos dice que esta forma de escribir a $a$ será única.

La intuición del algoritmo de la división

Lo que nos permite hacer el algoritmo de la división es saber «cuántas veces cabe un entero en otro». En general, vamos a poder escribir $a=qb+r$ y esto querrá decir que «$b$ cabe $q$ veces en $a$ y sobran $r$». Lo que nos gustaría es hacer esto de manera que sobre lo menos posible.

Un ejemplo sencillo sería el siguiente. Tomemos $a=7$ y $b=2$. Si nos preguntáramos: ¿cuántos equipos de $2$ personas se necesitan para repartir a $7$ personas?, una posible respuesta sería: podemos formar $2$ equipos de dos personas cada uno y dejar fuera a $3$ personas. Esto se escribiría como $7=2\cdot 2 + 3$. Sin embargo, una mejor respuesta (y la que deja a menos personas fuera) es la siguiente: podemos formar $3$ equipos de dos personas cada uno, y dejar a alguien fuera. Esto corresponde algebraicamente a la igualdad $7=3\cdot 2 + 1$. Esta forma de escribir al $7$ es mejor pues el residuo es más pequeño.

Hay algunos casos que suenan un poco raros. Por ejemplo, tomemos $a = 2$, $b = 3$. Podría parecer que la división de $2$ entre $3$ da cero pues «el $3$ el mayor que el $2$ y no hay modo de que $3$ quepa en $2$». Esto es cierto: $3$ cabe cero veces en $2$. Pero hay un residuo que no se ha mencionado, que en este caso es $2$. La forma de escribir esto algebraicamente será $2=3\cdot 0 + 2$. Aquí el $0$ quiere decir que «el $3$ cabe cero veces en el $2$» y el $2$ de la derecha quiere decir que «sobran $2$». Si lo pensamos como equipos, no nos alcanzaría para crear ni un sólo equipo de $3$ personas teniendo sólo $2$.

Otro caso extraño es cuando tenemos números negativos. Por ejemplo, si $a=-7$ y $b=3$ entonces la forma en la que queremos expresar a $a$ es como sigue: $-7=(-3)\cdot 3 + 2$. Lo hacemos de esta manera pues siempre querremos que el residuo que queda sea positivo. Y de entre los residuos que se pueden obtener, lo mejor es que sobren únicamente $2$.

Resulta que la cantidad que sobra siempre se puede garantizar que sea «chica». Si estamos repartiendo $a$ en cachos de tamaño $b$, siempre podremos garantizar que lo que sobra esté entre $0$ y $|b|-1$. En símbolos, el algoritmo de la división dice que dados $a, b \in \mathbb{Z}$, con $b\neq 0$, es posible encontrar $q$ y $r$ únicos, tales que $a = bq + r,$ con $0 \leq r < |b|$. A $q$ se le llama el cociente y a $r$ le llamamos el residuo.

Que no espante el valor absoluto que se le añade a la $b$. Aún no hemos definido qué es, pero lo explicaremos un poco más abajo. Sin embargo, antes de enunciar y demostrar el teorema daremos un ejemplo con números un poco más grandes y su intuición numérica.

Otro ejemplo para entender el algoritmo de la división en $\mathbb{Z}$

Comencemos planteando el problema para $a=3531$ y $b=8$. Es decir, queremos encontrar $q$ y $r$ enteros tales que $3531 = 8q + r$, donde además $0 \leq r < 8$. Ya que $r$ debe ser un número muy pequeño entre $0$ y $8$, podemos ir dando valores a $r$ hasta que $3531-r$ se pueda escribir como $8$ veces un entero.

Si $r = 0$, habríamos de verificar si $3531$ se puede escribir como $8$ veces un entero. Nuestra intuición nos dice que esto no debería poderse, pues $3531$ es un número impar, pero $8$ veces un entero siempre será un número par.

Si $r = 1$, entonces querríamos ver si $8q = 3530$. Pero esto tampoco se puede pues con $q=441$ tenemos $8q=3528<3530$ y con $q=442$ tenemos $8q=3536>3530$ y entonces ya se pasa. Si $r = 2$, buscaríamos si $8q = 3529$, pero de nuevo este es un número impar.

Finalmente, si $r = 3$, entonces queremos ver si se puede lograr $3528= 8q$. Esto sí se puede: se toma $q=441$. Así, hemos logrado determinar que con $q = 441$, $r = 3$ se cumple que $3531 = 8q + r$, con lo que terminamos el problema.

Geométricamente, esto significa que $3531$, en la recta de los números enteros, estará situado entre números que sean $8$ veces un entero, a saber, $8\cdot 441$ y $8\cdot 442$:

$$ \ldots < 8\cdot 441 < 3531 < 8\cdot 442 < \ldots \text{.}$$

Más precisamente, como $3531$ es un entero positivo, el problema consistió en encontrar el entero que sea $8$ veces un entero más cercano por la izquierda y añadir $3$ unidades. Esto también lo podemos enunciar como que «$3531$ está a $3$ unidades a la derecha de un número que es $8$ veces un entero»:

$$ 8\cdot 441 < 8\cdot 441 + 1 < 8\cdot 441 +2 < 3531 < 8\cdot 441 +4 < 8\cdot 441 +5 < 8\cdot 441 +6 < 8\cdot 441 +7 < 8\cdot 442 \text{.}$$

En realidad esto funciona sin importar los valores de $a$ y $b$. Dado un entero $b$, podemos poner los enteros de la forma $mb$ en la recta numérica y siempre podremos situar al entero $a$ entre dos de ellos:

$$qb \leq a < (q+1)b, \qquad q\in \mathbb{Z}.$$

Si $b>0$, los múltiplos de $b$ en la recta numérica se verían así:

$$\ldots -4b, -3b, -2b, -b, 0, b, 2b, 3b, 4b, \ldots $$

De este modo, $q$ sería el mayor múltiplo de $b$ más cercano a $a$, sin excederse de $a$.

Enunciado y demostración del algoritmo de la división en $\mathbb{Z}$

Para poder enunciar el algoritmo de la división sin importar el signo de $a$ y $b$, debemos introducir un símbolo adicional.

Definición. Si $b \in \mathbb{Z}$, definimos el valor absoluto de $b$, denotado por $|b|$, como sigue: $$|b| = \left\lbrace \begin{matrix} b & \text{si $b\geq 0$}\\ -b & \text{si $ b < 0$} \end{matrix}\right.$$

En el algoritmo de la división nos darán dos números enteros $a$ y $b$. Para la restricción $0 \leq r \leq |b|$, sucederá que, no importa si $b$ sea un número positivo o negativo, nosotros nos fijaremos en el número siempre positivo que resulta de aplicarle valor absoluto a $b$. El resultado dice lo siguiente.

Teorema. Sean $a$ y $b$ en $\mathbb{Z}$ con $b\neq 0$. Entonces existen únicos enteros $q$ y $r$ enteros únicos tales que $$ a = qb + r$$ y $0 \leq r < |b|$.

Para la demostración del algoritmo de la división, necesitaremos el principio del buen orden. Como recordatorio, dice que todo subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$ tiene un elemento mínimo.

Demostración. Primero hay que demostrar que siempre existen $q$ y $r$ enteros que satisfacen las condiciones que queremos. Vamos a suponer que $b>0$. El caso $b<0$ es muy parecido y quedará como tarea moral.

Lo que haremos es considerar al conjunto $S$ de todos los elementos de la forma $a-tb$ en donde $t$ es un entero, y tales que sean mayores o iguales a cero. Primero veremos que $S$ en efecto es un conjunto no vacío.

  • Si $a\geq 0$, tomamos $t=0$ y obtenemos la expresión $a-tb=a\geq 0$.
  • Si $a<0$, tomamos $t=a$ y obtenemos $a-tb=a-ab=a(1-b)$. Como $b>0$, entonces $b\geq 1$ y por lo tanto $(1-b)\leq 0$. Como $a<0$, obtenemos $a(1-b)\geq 0$, como queríamos.

Como $S$ es un conjunto no vacío de naturales, debe tener un elemento mínimo, al que le llamaremos $r$. Como $r$ está en $S$, obtenemos que $r=a-qb$ para algún entero $q$. Esto es un buen primer paso, pues nos muestra que $a=qb+r$. Sin embargo, todavía nos falta demostrar la importante desigualdad $0\leq r < |b|$. Como $b>0$, debemos mostrar $0\leq r < b$. Como $r$ está en $S$, obtenemos de manera inmediata que $r\geq 0$.

Sólo nos falta mostrar que $r<b$. Supongamos, con el fin de encontrar una contradicción, que $r\geq b$. Si este fuera el caso, sucedería que $r-b\geq 0$ además tendríamos la siguiente cadena de igualdades: $$r-b=a-tb-b=a-(t+1)b.$$

Esto lo que nos diría es que $r-b$ también está en $S$. ¡Pero eso es una contradicción!. Por construcción, $r$ era el menor elemento de $S$ y $r-b$ es un número menor que $r$ y que también está en $S$. Esta contradicción salió de suponer que $r\geq b$, así que en realidad debe pasar $r<b$, como queríamos.

Con esto queda demostrada la existencia de los enteros $q$ y $r$, tales que $a = bq + r$, con $0 \leq r < b$. Falta ver la unicidad. Supongamos que existen $q’$ y $r’$ enteros que también cumplen $$a = bq’ + r’$$ con $0\leq r’ < b$.

Demostramos primero que $r = r’$. Al hacer la resta $r-r’$ por un lado notamos que como mucho, puede valer $(b-1)-0=b-1$, lo cual pasa cuando $r=b-1$ y $r’=0$. Así mismo, por lo menos debe valer $0-(b-1)=-b+1$, lo cual sucede cuando $r=0$ y $r’=b-1$. Pero esta resta también se puede escribir de la siguiente manera: $$r-r’=(a-qb)-(a-q’b)=(q’-q)b.$

El único número de la forma $bk$ en $\{-b+1,-b+2,\ldots,0,\ldots,b-2,b-2\}$ es el entero $0$, pues justo no alcanza para llegar a $b$ ni a $-b$. De esta forma, $r-r’=0$, es decir $r=r’$. Y de aquí, obtenemos que $(q’-q)b=r-r’=0$. Como $b\neq 0$, obtenemos $q’-q=0$ y por lo tanto $q’=q$. Esto termina la demostración de la unicidad.

$\square$

Quizás el uso del principio del buen orden de la impresión de que la demostración anterior es «muy sofisiticada». En realidad, esto no es así. Simplemente es la forma en la que se formaliza una idea muy intuitiva: si el residuo queda mayor a $b$, entonces todavía le podemos «transferir» un sumando $b$ de $r$ a $qb$. El principio del buen orden simplemente nos garantiza que en algún momento este proceso de «transferir» sumandos $b$ debe de concluir.

Más adelante…

Cuando aplicamos el algoritmo de la división nos puede pasar un caso muy especial: que $r$ sea igual a cero. En otras palabras, en este caso podemos escribir $a=qb$ y por lo tanto $b$ cabe en $a$ «de manera exacta». Este caso es muy interesante y amerita un profundo estudio. Cuando esto sucede, decimos que $a$ es múltiplo de $b$, o bien que $b$ divide a $a$. En la siguiente entrada estudiaremos con más detalle la relación de divisibilidad en $\mathbb{Z}$. Un poco más adelante hablaremos de los ideales de $\mathbb{Z}$, que son un tipo de subconjuntos fuertemente relacionados con la noción de divisibilidad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra $q$ y $r$ enteros tales que $-1873 = 31q + r$ y $0\leq r < 31$.
  2. Demuestra las siguientes propiedades de la función valor absoluto de $\mathbb{Z}$:
    • $|a|\geq 0$ para cualquier entero $a$.
    • $|ab|=|a||b|$ para cualesquiera enteros $a$ y $b$.
    • $|a+b|\leq |a|+|b|$ para cualesquiera enteros $a$ y $b$.
  3. En general, ¿cómo se calcula $q$, para $a<0$? ¿y para $b<0$? Completa los detalles de la demostración del algoritmo de la división para cuando $b<0$.
  4. Encuentra un número que al dividirse entre $2$ deje residuo $1$, que al dividirse entre $3$ deje residuo $2$ y que al dividirse entre $4$ deje residuo $3$.
  5. Demuestra que cualquier entero se puede escribir de la forma $3q+r$ en donde $r$ es $-1$, $0$ ó $1$.

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