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Álgebra Superior II: Problemas de operaciones con polinomios

Introducción

En una entrada anterior ya construimos el anillo de polinomios con coeficientes reales. Para hacer esto, tomamos las sucesiones que consisten casi de puros ceros, y les pusimos operaciones de suma y producto. Ahora repasaremos esto resolviendo algunos problemas de operaciones con polinomios.

Problema de suma de polinomios

Comenzamos con un ejemplo de suma de polinomios del libro de Álgebra Superior de Bravo, Rincón y Rincón.

Ejercicio 399. Haz la suma de los siguientes polinomios:

    \begin{align*}p(x)&=(-85,0,-37,-35, 97, 50, \overline{0})\\q(x)&=(56,49,0,57,\overline{0}).\end{align*}

En el video se hace la suma de dos formas distintas. Primero, se hace la suma directamente de la definición, es decir, sumando los polinomios entrada a entrada como sucesiones. Después, se hace la suma en la notación de x y potencias, que tal vez conozcas mejor.

Es importante entender que la notación de sucesiones sirve para establecer los fundamentos de los polinomios, pero no es práctica para hacer operaciones con polinomios concretas. Dependiendo del tipo de problema que se quiere resolver, a veces hay que usar una notación u otra.

Suma de polinomios

Problemas de producto de polinomios

A continuación se resuelven dos ejercicios de producto de polinomios.

Ejercicio. Multiplicar los polinomios (2,0,3,\overline{0}) y (0,1,\overline{0}).

En el video se hace la multiplicación usando directamente la definición, paso a paso. Sin embargo, los pasos para realizar la multiplicación se pueden realizar en una tabla, como la que usamos en entradas anteriores. Después del video ponemos la tabla correspondiente a la multiplicación.

Para hacer la multiplicación con una tabla, ponemos a las entradas del primer polinomio en la primer fila de una tabla, y a las del segundo polinomio en la primer columna de la tabla. Luego, hacemos las multiplicaciones “en cada casilla” como sigue:

\bm{2}\bm{0}\bm{3}
\bm{0}000
\bm{1}203

De aquí, se puede leer el producto “por diagonales”. La primer diagonal es 0, la segunda 2+0=2, la tercera 0+0=0 y la cuarta 3. Concluimos que el polinomio es

    \[(0,2,0,3,\overline{0}).\]

Veamos un ejemplo más, usando la notación de x y sus potencias.

Ejercicio. Encuentra el producto de polinomios (1+3x)(1-2x+3x^2).

Problema de división de polinomios

Finalmente, hacemos un ejemplo de división de polinomios. La técnica que se hace en el video es la de “dividir con casita”, que es una forma visual de representar el algoritmo de la división para polinomios. Hablaremos un poco más adelante de este algoritmo, y de por qué siempre nos da un residuo cero o de grado menor.

Cuando se hace la “división con casita”, hay que recordar dejar los espacios correspondientes a los términos que tengan coeficiente 0.

Ejercicio. Divide el polinomio x^5+x^3+3x entre el polinomio x^2-x+1.

División de polinomios

Álgebra Superior II: El anillo de polinomios con coeficientes reales

Introducción

Estamos listos para la cuarta y última parte del curso, en donde construiremos el anillo de polinomios con coeficientes reales. Los elementos de este anillo son polinomios, los cuales se aparecen en numerosas áreas de las matemáticas. Tras su construcción, aprenderemos varias herramientas para trabajar con ellos.

En las tres primeras partes del curso ya trabajamos con otras estructuras algebraicas. Hasta ahora, hemos hablado de lo siguiente:

  • Naturales: Construimos a partir de teoría de conjuntos al conjunto \mathbb{N} de números naturales, sus operaciones y orden. De lo más relevante es que dentro de los naturales podemos hacer definiciones por recursión y pruebas por indución.
  • Enteros: Con \mathbb{N} construimos a los enteros \mathbb{Z}, sus operaciones y orden. Hablamos de divisibilidad y factorización. Esto dio pie a construir \mathbb{Z}_n, los enteros módulo n, junto con su aritmética. Aprendimos a resolver ecuaciones en \mathbb{Z} y sistemas de congruencias.
  • Racionales y reales: Mencionamos brevemente cómo se construye \mathbb{Q} a partir de \mathbb{Z} y cómo se construye \mathbb{R} a partir de \mathbb{Q}. Tanto \mathbb{R} como \mathbb{Q} son campos, así que ahí se pueden hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
  • Complejos: A partir de \mathbb{R} construimos el campo \mathbb{C} de los números complejos. Definimos suma, multiplicación, inversos, norma y conjugados. Luego, desarrollamos herramientas para resolver varios tipos de ecuaciones en \mathbb{C}. Finalmente, construimos las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Quizás a estas alturas del curso ya veas un patrón de cómo estamos trabajando. Aunque varias de estas estructuras ya las conocías desde antes, hay una primer parte importante que consiste en formalizar cómo se construyen. Luego, vimos cómo se definen las operaciones en cada estructura y qué propiedades tienen. Haremos algo muy parecido con los polinomios.

Intuición de los polinomios

La idea de esta entrada es llegar a los polinomios que ya conocemos, es decir, a expresiones como la siguiente:

    \[4+5x+\frac{7}{2}x^2-x^4+3x^5.\]

Lo que tenemos que formalizar es qué significa esa “x”, y cómo le hacemos para sumar y multiplicar expresiones de este tipo.

Intuitivamente, lo que queremos ese que en la suma “se sumen términos del mismo grado” y que en el producto “se haga la distribución y se agrupen términos del mismo grado”. Por ejemplo, queremos que la suma funcione así

    \begin{align*}(1+&x-x^2+3x^3)+(-7+3x+x^2+2x^3+x^4)\\&=(1-7)+(1+3)x+(-1+1)x^2+(3+2)x^3+(0+1)x^4\\&=-6+4x+0x^2+5x^4+x^4\\&=-6+4x+5x^3+x^4,\end{align*}

y que la multiplicación funcione así

    \begin{align*}(2&+3x)(5+x+x^2)\\&=2(5+x+x^2)+3x(5+x+x^2)\\&=(10+2x+2x^2)+(15x+3x^2+3x^3)\\&=10+(2+15)x+(2+3)x^2+3x^3\\&=10+17x+5x^2+3x^3.\end{align*}

El exponente más grande de una x puede ser tan grande como queramos, pero no se vale que los polinomios tengan una infinidad de términos. Así, queremos descartar cosas del estilo

    \[1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots,\]

en donde sumamos indefinidamente.

Construcción de polinomios

Para construir polinomios formalmente, tenemos que elegir de dónde van a venir sus coeficientes. Puede ser \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{Z} o incluso \mathbb{Z}_7, digamos. Nosotros nos enfocaremos en construir los polinomios con coeficientes en \mathbb{R}, que tiene la ventaja de ser un campo. Algunas de las propiedades que probaremos se valen para cualquier elección de coeficientes, pero otras no. No profundizaremos en estas diferencias, pero es bueno que lo tengas en mente para tu formación matemática posterior.

Definición. Dado un conjunto X, una sucesión de elementos de X es una función a:\mathbb{N}\to X. Para n en \mathbb{N}, a a(n) usualmente lo denotamos simplemente por a_n, y a la sucesión a por \{a_n\}.

Definición. El soporte de una sucesión es el conjunto de naturales n tales que a_n\neq 0.

Podemos “visualizar” los primeros términos de una sucesión así:

    \[(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots),\]

en donde podemos poner tantos términos como queramos y los puntos suspensivos indican que “sigue y sigue”. Por supuesto, usualmente esta visualización no puede guardar toda la información de la sucesión, pero puede ayudarnos a entenderla un poco mejor.

Ejemplo. Si tomamos la función identidad \text{id}:\mathbb{N}\to \mathbb{N}, obtenemos la sucesión

    \[(0,1,2,3,4,5,6,7,\ldots).\]

Al tomar la función a:\mathbb{N}\to \mathbb{Z} tal que a_n=(-1)^n, obtenemos la sucesión

    \[(1,-1,1,-1,1,-1,\ldots).\]

\square

Los polinomios son aquellas sucesiones de reales que “después de un punto tienen puros ceros”.

Definición. Un polinomio con coeficientes reales es una sucesión \{a_n\} de reales tal que a_n\neq 0 sólo para una cantidad finita de naturales n.

En otras palabras, un polinomio es una sucesión con soporte finito. Si visualizamos a un polinomio como una sucesión, entonces es de la forma

    \[(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots),\]

en donde a partir de un punto ya tenemos puros ceros a la derecha. Por conveniencia, marcaremos ese punto con un \overline{0}.

Ejemplo. La sucesión

    \[\left(5,7,\frac{7}{2},0,-1,3,0,0,0,\ldots\right),\]

en la que después del 3 ya todos los términos son ceros, representa a un polinomio. Con la convención de arriba, podemos escribirlo como

    \[\left(5,7,\frac{7}{2},0,-1,3,\overline{0}\right).\]

Su soporte consiste de aquellas posiciones en las que la sucesión no es cero, que son 0,1,2,4,5.

La sucesión

    \[(1,-1,1,-1,1,-1,\ldots)\]

dada por a_n=(-1)^n no es un polinomio, pues podemos encontrar una infinidad de términos no cero.

\square

Para que las definiciones de la siguiente sección te hagan sentido, puedes pensar de manera informal que la sucesión

    \[(a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \ldots),\]

representa al polinomio

    \[a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+\ldots.\]

La última condición en la definición de polinomio es la que garantiza que “tenemos un número finito de sumandos”.

Definición. Definimos al conjunto de polinomios con coeficientes reales como

    \[\mathbb{R}[x]:=\{ p: p \text{ es polinomio con coeficientes reales}\}.\]

La igualdad se polinomios de define término a término.

Definición. Sean a=\{a_n\} y b=\{b_n\} en \mathbb{R}[x]. Decimos que a=b si para todo natural se tiene a_n=b_n.

En las siguientes secciones definiremos las operaciones de suma y producto en \mathbb{R}[x].

Suma y producto de polinomios

Los polinomios se suman “entrada a entrada”.

Definición. Dados dos polinomios a=\{a_n\} y b=\{b_n\} en \mathbb{R}[x], definimos su suma como el polinomio

    \[a+b:=\{a_n+b_n\},\]

o bien, en términos de sucesiones, como la sucesión a+b:\mathbb{N}\to \mathbb{R} tal que (a+b)(n)=a(n)+b(n).

Observa que nos estamos apoyando en la suma en \mathbb{R} para esta definición.

Ejemplo. Los polinomios

    \[\left(0,2,0,4,-1,\frac{2}{3},\overline{0}\right)\]

y

    \[\left(1,-2,-1,-4,-2,\overline{0}\right)\]

tienen como suma al polinomio

    \[\left(0+1,2-2,0-1,4-4,-1-2,\frac{2}{3}+0,0+0,\ldots\right),\]

que es

    \[\left(1,0,-1,0,-3,\frac{2}{3},\overline{0}\right).\]

\square

La suma de dos polinomios sí es un polinomio pues claramente es una sucesión, y su soporte se queda contenido en la union de los soportes de los sumandos.

La siguiente definición guarda la idea de que para multiplicar queremos distribuir sumandos y agrupar términos del mismo grado. Tiene sentido si piensas en la asociación intuitiva informal que discutimos al final de la sección anterior.

Definición. Dados dos polinomios a=\{a_n\} y b=\{b_n\} en \mathbb{R}[x], definimos su producto como el polinomio

    \[ab:=\{c_n\},\]

en donde c_n está dado por

    \[c_n:=\sum_{i+j=n} a_ib_j,\]

en otras palabras,

    \[c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\ldots+a_{n-1}b_1+a_nb_0.\]

Aquí nos estamos apoyando en la suma y producto en \mathbb{R} para definir la multiplicación de polinomios.

Una forma práctica de hacer el producto es mediante una tabla. En la primer fila ponemos al primer polinomio y en la primer columna al segundo. Las entradas interiores son el producto de la fila y columna correspondiente. Una vez que hacemos esto, la entrada c_j del producto es la suma de los elementos en la j-ésima “diagonal”.

Ejemplo. Multipliquemos a los polinomios

    \[a=(3,-2,0,1,\overline{0})\]

y

    \[b=(0,2,7,\overline{0}).\]

Ponemos a a y b en la primer fila y columna respectivamente de la siguiente tabla:

3-201
0
2
7

Luego, en cada entrada interior de la tabla ponemos el producto de los coeficientes correspondientes:

3-201
03 \cdot 0-2 \cdot 00\cdot 01\cdot 0
23 \cdot 2-2 \cdot 20\cdot 21\cdot 2
73 \cdot 7-2 \cdot 70\cdot 71\cdot 7

Después, hacemos las operaciones:

3-201
00000
26-402
321-1407

Finalmente, para encontrar el coeficiente c_j del producto, hacemos la suma de las entradas en la j-ésima diagonal dentro de la tabla, es decir:

    \begin{align*}c_0&=0\\c_1&=6+0=6\\c_2&=21-4+0=17\\c_3&=-14+0+0=-14\\c_4&=0+2=2\\c_5&=7.\end{align*}

De esta forma, el polinomio producto es

    \[(0,6,17,-14,2,7,\overline{0}).\]

Es muy recomendable que notes que esto coincide con el producto (por ahora informal)

    \begin{align*}(3-&2x+x^3)(2x+7x^2)\\&=6x+17x^2-14x^3+2x^4+7x^5.\end{align*}

\square

El anillo de polinomios con coeficientes reales

Los polinomios y los enteros se parecen, en el sentido de que como estructura algebraica comparten muchas propiedades. La idea de esta sección es formalizar esta afirmación.

Teorema. El conjunto \mathbb{R}[x] con las operaciones de suma y producto arriba definidos forman un anillo.

Demostración. Por una parte, tenemos que mostrar que la suma es asociativa, conmutativa, que tiene neutro e inversos aditivos. Por otra parte, tenemos que mostrar que el producto es asociativo. Finalmente, tenemos que mostrar que se vale la ley distributiva.

Tomemos dos polinomios a=\{a_n\}, b=\{b_n\} y un natural n. El término n de a+b es a_n+b_n y el de b+a es b_n+a_n, que son iguales por la conmutatividad de la suma en \mathbb{R}. De manera similar, se muestra que la suma es asociativa.

El polinomio (\overline{0}) es la identidad de la suma. Esto es sencillo de mostrar y se queda como tarea moral. Además, si a=\{a_n\} es un polinomio, entonces \{-a_n\} es una sucesión con el mismo soporte (y por lo tanto finito), que cumple que

    \[\{a_n\}+\{-a_n\}=(0,0,0,\ldots)=(\overline{0}),\]

así que la suma tiene inversos aditivos.

Ahora probemos la asociatividad del producto. Tomemos tres polinomios a=\{a_n\}, b=\{b_n\}, c=\{c_n\} y un natural n. Hagamos el producto (ab)c. Para cada i, el i-ésimo término de ab es un cierto d_i dado por

    \[d_i = \sum_{k+l=i} a_k b_l.\]

El n-ésimo término de (ab)c es entonces

    \begin{align*}\sum_{i+j=n}d_ic_j &= \sum_{i+j=n}\sum_{k+l=i} a_kb_lc_j\\&=\sum_{k+l+j=n}a_kb_lc_j.\end{align*}

Un argumento análogo muestra que el n-esimo término de a(bc) es también

    \begin{align*}\sum{k+l+j=n}a_kb_lc_j,\end{align*}

lo cual muestra que la multiplicación es asociativa.

Lo último que nos queda por probar es la ley distributiva. Tomemos tres polinomios a=\{a_n\}, b=\{b_n\}, c=\{c_n\} y un natural n. Usamos las propiedades de las operaciones en \mathbb{R} para ver que el n-ésimo término de a(b+c) es

    \begin{align*}\sum_{i+j=n} a_i(b_j+c_j)&=\sum_{i+j=n} (a_ib_j+ a_i c_j)\\&=\sum_{i+j=n} a_ib_j + \sum_{i+j=n} a_ic_j.\end{align*}

A la derecha tenemos el n-ésimo término de ab sumado con el n-ésimo término de ac, así que coincide con el n-ésimo término de la suma ab+ac. Esto muestra que a(b+c) y ab+ac son iguales término a término y por lo tanto son iguales como polinomios.

\square

Como de costumbre, al inverso aditivo de un polinomio a le llamamos -a, y definimos a-b:=a+(-b).

Proposición. La multiplicación en \mathbb{R}[x] es conmutativa.

Demostración. Tomemos dos polinomios a=\{a_n\} y b=\{b_n\}. Tenemos que ver que ab y ba son iguales término a término. Tomemos entonces un natural n. El término c_n de ab es

    \[c_n=\sum_{i+j=n} a_ib_j,\]

y el término d_n de ba es

    \[d_n=\sum_{i+j=n} b_ia_j.\]

Por la conmutatividad de la suma y el producto en \mathbb{R}, tenemos que c_n=d_n.

\square

Proposición. La multiplicación en \mathbb{R}[x] tiene identidad.

Demostración. El polinomio (1,\overline{0}) es la identidad multiplicativa. Esto es sencillo de mostrar y se queda como tarea moral.

\square

Proposición. Si a y b son polinomios en \mathbb{R}[x] distintos del polinomio (\overline{0}), entonces su producto también.

Demostración. Para ello, tomemos el mayor natural m tal que a_m\neq 0 y el mayor natural n tal que b_n\neq 0. Estos existen pues a y b no son el polinomio (\overline{0}), y su soporte es finito.

Cualquier pareja de naturales k y l tales que k+l=m+n con k\leq m-1 cumple l\geq n+1. Así, si k+l=m+n tenemos que:

  • Si k\leq m-1, entonces b_l=0 y por lo tanto a_kb_l=0
  • Si k\geq m+1, entonces a_k=0 y por lo tanto a_kb_l=0
  • Finalmente, si k=m, entonces l=n y

        \[a_kb_l=a_mb_n\neq 0.\]

De esta forma, el (m+n)-ésimo término de ab es

    \[\sum_{k+l=m+n} a_k b_l=a_mb_n\neq 0,\]

de modo que ab no es el polinomio (\overline{0}).

\square

Corolario. En \mathbb{R}[x] se vale la regla de cancelación, es decir, si a,b,c son polinomios, a\neq 0 y ab=ac, entonces b=c.

Demostración. De la igualdad ab=ac obtenemos la igualdad a(b-c)=0. Como a\neq 0, por la proposición anterior debemos tener b-c=0, es decir, b=c.

\square

A un anillo conmutativo cuya multiplicación tiene identidad y en donde se vale la regla de cancelación se le conoce como un dominio entero.

Teorema. El anillo \mathbb{R}[x] es un dominio entero.

Con esto terminamos la construcción de \mathbb{R}[x] y de sus operaciones. Cuando trabajamos con los polinomios de manera práctica resulta engorroso mantener esta notación de sucesiones. En la siguiente entrada justificaremos el uso de la notación “usual” de los polinomios, en la que usamos la letra “x” y exponentes.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Justifica por qué el soporte del producto de dos polinomios es finito.
  • Muestra que la suma en \mathbb{R}[x] es asociativa.
  • Verifica que el polinomio (\overline{0}) es la identidad aditiva en \mathbb{R}[x].
  • Verifica que el polinomio (1,\overline{0}) es la identidad multiplicativa en \mathbb{R}[x].
  • Considera los polinomios a=\left(\frac{1}{3},4,\frac{5}{7},8,\overline{0}\right) y b=\left(0,0,\frac{2}{5},\frac{3}{4},\overline{0}). Determina

Seminario de Resolución de Problemas: La integral

Introducción

Ya hemos cubierto varios temas de cálculo y resolución de problemas. Comenzamos platicando acerca de continuidad y de dos teoremas importantes para funciones continuas: el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo. Después, hablamos acerca de derivadas y de dos teoremas importantes para funciones diferenciables: el teorema de Rolle y el teorema del valor medio. Luego, vimos que la diferenciabilidad también nos ayuda a encontrar límites de cocientes y potencias de formas indefinidas mediante la regla de L’Hôpital. En esta entrada y la siguiente hablaremos de la integral y cómo las ideas detrás de su construcción, así como sus propiedades, pueden ayudar a resolver problemas.

Para entender esta sección bien, es importante que conozcas la construcción de la integral de Riemann en una variable, así como sus propiedades principales. También supondremos que conoces las técnicas usuales para resolver integrales. Esto se hace durante el primer año de un curso de cálculo a nivel licenciatura. También puedes revisarlo en la literatura clásica, como el libro de Cálculo de Spivak.

Usar la integral como un área

La integral es por definición un límite de sumas superiores o inferiores. Hay problemas en los que podemos aprovechar esto para entender una suma o una sucesión. A grandes rasgos lo que hacemos es:

  • Interpretar la sucesión o serie como una suma de areas correspondiente a una suma superior o inferior de cierta integral \int f(x) \,dx.
  • Usar lo que sabemos de integración para poder decir algo del área dada por \int f(x)\, dx
  • Regresar esta información al problema original.

Veamos un ejemplo de esto.

Problema. Calcula el siguiente límite

    \[\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n-1}\right).\]

La cantidad de términos de este límite depende de n, así que no podemos hacerlos uno por uno. No hay una forma sencilla de hacer la suma. Tampoco parece que podamos usar la regla de L’Hôpital. Lo que haremos es entender a la expresión dentro del límite de manera geométrica.

Sugerencia pre-solución. Haz una figura con la que puedas relacionar el límite que buscamos con cierta área que puedas expresar en términos de una integral.

Solución. Consideremos la gráfica de la función f(x)=\frac{1}{x} en el intervalo [n,2n] y el área debajo de esta gráfica, que mostramos en verde a continuación.

Integral de 1/x en el intervalo de n a 2n.
Gráfica de 1/x en el intervalo [n,2n]

Notemos que la suma que aparece en el problemas corresponde a sumar las áreas de los rectángulos de base 1 y alturas \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots, \frac{1}{2n-1}, que podemos encontrar en azul en la siguiente figura.

Cota con suma superior
Dar una cota inferior para nuestra expresión.

Así, obtenemos que podemos acotar inferiormente nuestra suma de la siguiente manera:

    \begin{align*}\frac{1}{n}+\ldots+\frac{1}{2n-1} &> \int_n^{2n} \frac{1}{x}\, dx\\&= (\log x) \Big|_n^{2n} \\&= \log 2.\end{align*}

De manera similar, podemos pensar ahora en rectángulos que queden por debajo de la gráfica de la función, y que en total su area es menor que el valor de la integral. Los mostramos a continuación en color rojo:

Cota con suma inferior
Dar una cota superior para nuestra expresión (un poco cambiada)

De aquí, podemos dar la siguiente cota:

    \begin{align*}\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n} &< \int_n^{2n} \frac{1}{x}\, dx\\&= (\log x) \Big|_n^{2n} \\&= \log 2.\end{align*}

Si juntamos ambas desigualdades, deducimos que

    \[\log 2< \frac{1}{n}+\ldots+\frac{1}{2n-1}<\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}\right) + \log 2.\]

Ahora sí podemos hacer n\to \infty. Como ambos lados de la desigualdad convergen a \log 2, tenemos que la sucesión que nos interesa también debe converger a \log 2.

\square

Traducir a una integral y usar técnicas de integración

Hay varias técnicas que podemos usar para realizar integrales: cambio de variable, integración trigonométrica, integración por partes, integración por fracciones parciales, etc. En algunas ocasiones podemos transformar un problema a una integral, aplicar una de estas técnicas, y luego regresar al contexto original. Veamos un ejemplo de esto.

Problema. Demuestra que para cualquier par de enteros positivos m y n tenemos que

    \[\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}\frac{1}{k+m+1} = \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} \frac{1}{k+n+1}.\]

Sugerencia pre-solución. Intenta formular un problema equivalente aprovechando que para cualquier entero no negativo r se tiene que \frac{1}{r+1}=\int_0^1 t^r \, dt. Tendrás que usar esto varias veces, usar la fórmula de binomio de Newton y después aprovechar una simetría para hacer un cambio de variable.

Solución. Notemos que

    \[\frac{1}{k+m+1}=\int_0^1 t^{k+m} \, dt.\]

Substituyendo en la expresión de la izquierda, obtenemos que la suma buscada es

    \[\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\int_0^1t^{k+m}\, dt.\]

Usando la linealidad de la integral y la fórmula del binomio de Newton tenemos que esta suma es igual a

    \begin{align*}&\int_0^1 \sum_{k=1}^n (-1)^k \binom{n}{k} t^{k+m}\, dt \\=& \int_0^1 t^m(1-t)^n \, dt.\end{align*}

Con el cambio de variable s=1-t, la integral anterior es igual a

    \[\int_0^1 s^n(1-s)^m.\]

Pero por un argumento inverso al que hicimos para llegar a la primer integral, esta segunda integral es igual a

    \[\sum_{k=0}^m (-1)^k\binom{m}{k}\frac{1}{k+n+1}.\]

Esto es justo el lado derecho en la identidad que queríamos.

\square

El teorema de Lebesgue

No todas las funciones son integrables con la definición de Riemann (que aquí simplemente llamaremos “ser integrable”), pues puede ser que el límite de las sumas superiores no sea igual al de las sumas inferiores. Un resultado profundo en cálculo es el criterio de Lebesgue, que caracteriza aquellas funciones acotadas que tienen integral de Riemann en un intervalo.

Teorema (criterio de Lebesgue). Una función acotada f:[a,b]\to \mathbb{R} es integrable si y sólo si su conjunto de discontinuidades tiene medida 0.

El teorema de Lebesgue da una prueba sencilla de que si f y g son integrables, entonces su producto también, lo cual no es fácil de probar a partir de la definición. A continuación esbozamos esta prueba.

Las discontinuidades de f^2 están contenidas en las de f, de modo que si f es integrable, por el teorema de Lebesgue f^2 también. Además, suma y resta de integrables es sencillo ver que es integrable, de modo que (f+g)^2 también lo es. Para concluir, notamos que

    \[fg=\frac{(f+g)^2-f^2-g^2}{2},\]

de modo que fg es integrable.

Veamos un problema que combina varias de las ideas de cálculo que hemos visto.

Problema. Si f:[a,b]\to \mathbb{R} es una función tal que f+\sin(f) es integrable, entonces f también es integrable.

Sugerencia pre-solución. Usa el criterio de Lebesgue. Necesitarás estudiar las discontinuidades con cuidado, para lo cual es útil recordar cómo interactúan las funciones continuas con las sucesiones convergentes.

Solución. Como f+\sin(f) es integrable, entonces es acotada. Así, f también lo es. La función g(x)=x+\sin(x) tiene derivada 1+\cos(x)\geq 0 y que es 0 sólo en un conjunto discreto de puntos, de modo que es estrictamente creciente. Además, los límites en -\infty y \infty son -\infty e \infty respectivamente. Por el teorema del valor intermedio, pasa por todos los reales. Así, g es una función biyectiva.

Mostraremos que las discontinuidades de f están contenidas en las de f+\sin(f), o bien, dicho de otra forma, que si f+\sin(f) es continua en x, entonces f también. Tomemos una sucesión \{x_n\} que converge a x. Como f+\sin(f) es continua en x, tenemos que \{f(x_n)+\sin(f(x_n))\} converge a f(x)+\sin(f(x))=g(f(x)).

Como f es una función acotada, la sucesión \{f(x_n)\} es acotada, y para ver que converge a un límite, basta ver que toda subsucesión convergente converge al mismo límite. Tomemos una subsucesión convergente digamos, al límite L. Tendríamos que g(L)=g(f(x)), y como g es biyectiva tendríamos que L=f(x). En otras palabras, toda subsucesión convergente de \{f(x_n)\} converge a f(x). De esta forma, \{f(x_n)\} converge a f(x). Con esto concluimos que f es continua en x.

Concluimos que el conjunto de discontinuidades de f está contenido en el de f+\sin(f), el cual tiene medida 0. De este modo, el de f también tiene medida 0 y por el criterio de Lebesgue, es integrable.

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Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con la integral en la Sección 6.8 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Álgebra Superior II: La conjugación compleja

Introducción

En una entrada anterior definimos al conjunto \mathbb{C} números complejos. Vimos que sus elementos tenían la forma a+bi, donde a y b son números reales. Introdujimos las operaciones de suma y producto, y vimos que con estas operaciones \mathbb{C} es un campo. En esta entrada hablaremos acerca de la conjugación compleja.

Definición. Tomemos un complejo z=a+bi. El conjugado de z es el complejo a-bi y lo denotamos por \overline{z}.

Ejemplo. Si tenemos a z=5+8i, entonces \overline{z}=5-8i. Si tenemos z=\sqrt{3}-8\pi i, entonces \overline{z}=\sqrt{3}+8\pi i.

En la entrada anterior justificamos que podíamos abandonar la notación de parejas, sin embargo en ocasiones seguirá siendo útil pensar al complejo a+bi como el punto (a,b) del plano. Si lo pensamos así, la conjugación compleja manda al punto (a,b) al punto (a,-b), es decir, se comporta como una reflexión en el eje x.

La conjugación compleja se comporta como una reflexión en el eje x
La conjugación compleja se comporta como una reflexión en el eje x

Conjugación y operaciones complejas

La conjugación compleja se comporta bien con las operaciones en \mathbb{C}. Ese es el contenido de la siguiente proposición.

Proposición 1. Si w y z son complejos, entonces

  • El conjugado de la suma es la suma de los conjugados, es decir, \overline{w+z}=\overline{w}+\overline{z} y
  • El conjugado del producto es el producto de los conjugados, es decir, \overline{wz}=\overline{w}\overline{z}.

Demostración. Escribimos w=a+bi y z=c+di con a,b,c,d reales. Tenemos que

    \begin{align*}\overline{w+z}&=\overline{(a+c)+(b+d)i}\\&=(a+c)-(b+d)i\\&=(a-bi)+(c-di)\\&=\overline{w}+\overline{z},\end{align*}

lo cual prueba la primera parte, y que

    \begin{align*}\overline{wz}&=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}\\&=(ac-bd)-(ad+bc)i\\&=(ac-(-b)(-d))+(a(-d)+b(-c))i\\&=(a-bi)(c-di)\\&=\overline{w}\overline{z},\end{align*}

que prueba la segunda parte.

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Se pueden mostrar resultados análogos para la conjugación compleja de la resta y cociente. Esto está en la tarea moral.

Ejemplo. Considera a los complejos 5+4i, 3+2i, 1-i. Vamos a determinar el conjugado de su suma de dos formas distintas. Por un lado, si los sumamos obtenemos el complejo

    \[(5+3+1)+(4+2-1)i=9+5i,\]

cuyo conjugado es 9-5i.

Por otro lado, podemos conjugar a cada uno de los números independientemente para obtener 5-4i, 3-2i y 1+i. Al hacer la suma de estos complejos, obtenemos

    \[(5+3+1)+(-4-2+1)i=9-5i.\]

En ambos casos obtenemos lo mismo.

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La conjugación compleja es autoinversa

Proposición 2. La operación “conjugar” es autoinversa, y por lo tanto es biyectiva.

Demostración. En efecto, si z=a+bi, entonces

    \[\overline{\overline{z}}=\overline{a-bi}=a+bi=z.\]

Si quisiéramos ver que conjugar es suprayectivo, tomamos z en \mathbb{C} y tenemos que \overline{\overline{z}}=z, de modo que z está en la imagen de la operación conjugación.

Si quisiéramos ver que conjugar es inyectivo, tomamos w y z en \mathbb{C} tales que \overline{w}=\overline{z}. Aplicando conjugación a esta igualdad, y usando la primer parte de la proposición, tenemos que w=z.

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Operaciones de un complejo con su conjugado

Para un número complejo z=a+bi, a a le llamamos la parte real de z y a b le llamamos la parte imaginaria. Usamos la notación a=\text{Re}(z) y b=\text{Im}(z), respectivamente. Cuidado: la parte imaginaria es un número real. Se llama imaginaria porque es la que acompaña a i.

Si hacemos operaciones de un complejo con su conjugado, obtenemos valores especiales.

Proposición 3. Sea z un número complejo. Entonces:

  • z+\overline{z}=2\text{Re}(z)
  • z-\overline{z}=2\text{Im}(z) i
  • z\overline{z}=\text{Re}(z)^2+\text{Im}(z)^2

La demostración de la Proposición 3 es sencilla, y se deja como tarea moral.

Ejemplo. Si tomamos al complejo 3+4i y le sumamos su conjugado 3-4i, obtenemos el número real 6, que es dos veces la parte real de 3+4i.

Si hacemos la multiplicación (3+4i)(3-4i), obtenemos también un número real:

    \[3^2-(4i)^2=9-(-16)=25.\]

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Como corolario de la Proposición 3, obtenemos lo siguiente.

Corolario. Si z=\overline{z}, entonces z es un número real.

Demostración. Por la primer parte de la Proposición 3, tenemos que 2z=z+\overline{z}=2\text{Re}(z), de modo que z=\text{Re}(z) y por lo tanto z es un número real.

Ejercicio. Muestra que el complejo

    \[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2} i \right)  \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2} i \right)\]

es un número real.

Solución. Podríamos hacer las cuentas y verificar que la parte imaginaria es 0. Sin embargo, basta con notar que la expresión es el producto de un complejo con su conjugado, es decir, es de la forma z\overline{z}. De manera directa, por la última parte de la Proposición 3 obtenemos que es un número real.

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La conjugación compleja es (casi) el único automorfismo que fija a los reales

En las secciones anteriores vimos que la conjugación compleja deja fijos a los reales y que respeta las operaciones. En esta sección veremos que es la única operación en \mathbb{C} que hace esto y que no sea la identidad.

Teorema. Si \eta:\mathbb{C}\to \mathbb{C} es una función biyectiva. tal que

  • \eta no es la identidad,
  • \eta(a)=a para todo a real,
  • \eta(w+z)=\eta(w)+\eta(z) para todo par de complejos w y z, y
  • \eta(wz)=\eta(w)\eta(z) para todo par de complejos w y z,

entonces \eta es la conjugación compleja.

Demostración. Tomando z=a+bi, tenemos que

    \begin{align*}\eta(a+bi)&=\eta(a)+\eta(bi)\\&=\eta(a)+\eta(b)\eta(i)\\&=a+b\eta(i),\end{align*}

así que basta determinar quién es \eta(i). Por otro lado, como -1 es real, tenemos también que

    \begin{align*}-1&=\eta(-1)\\&=\eta(i\cdot i)\\&=\eta(i)\eta(i)\\&=\eta(i)^2,\end{align*}

de modo que \eta(i) es una raíz de -1 y por lo tanto es i o -i. Si \eta(i)=i, tendríamos que \eta es la identidad, que contradice nuestras hipótesis. Así, \eta(i)=-i y por lo tanto \eta es la conjugación compleja.

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Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Considera los complejos w_j=5+(2-j)i, en donde j es un entero en \{0,1,2,3,4}. Encuentra el valor de la suma w_0+w_1+w_2+w_3+w_4 y del producto w_0w_1w_2w_3w_4.
  • Toma complejos w y z. Muestra que \overline{w-z}=\overline{w}-\overline{z} y que si z\neq 0, entonces \overline{w/z}=\overline{w}/ \overline{z}.
  • Haz la demostración de la Proposición 3
  • ¿Cuáles complejos satisfacen que z^2=\overline{z}?
  • Sea z un complejo distinto de 0. ¿Qué obtienes cuando realizas la división z/\overline{z}?

En el blog hay una entrada acerca de aplicaciones de la aritmética de números complejos a la resolución de problemas en matemáticas. No formará parte de la evaluación del curso, pero puede ayudarte a entender más profundamente lo que estamos haciendo y a motivar la teoría que desarrollamos.

Álgebra Superior II: Simplificación, suma y producto de complejos

Introducción

En una entrada de blog anterior, construimos el campo de los números complejos y definimos sus operaciones básicas. Ahora resolveremos algunos problemas de operaciones con complejos.

Haremos dos tipos de problemas. El primer tipo se trata de simplificar expresiones en números complejos para que se vuelvan de la forma x+yi con x y y números reales. El segundo tipo es de realizar operaciones de suma, resta, producto y división de complejos, y luego simplificar.

Simplificación de expresiones complejas

Comenzamos con un video de simplificar expresiones de números complejos.

Expresar en la forma a+bi las expresiones…

Problemas de operaciones con complejos

Ahora vemos varios ejemplos de realizar sumas con números complejos.

Sumar números complejos

En todos los ejemplos del video, realizamos sólo sumas de dos números, pero se podrían realizar sumas con cualquier cantidad de sumandos. Por ejemplo, podemos considerar la suma

    \[(5+2i)+(8+i)-(1-7i).\]

¿Cuál sería el resultado de esta operación?

Finalmente, a continuación se muestra un video en donde see realizan operaciones de productos y de divisiones de números complejos.

Productos y divisiones de números complejos

En el video se define al conjugado del número complejo z=a+bi, que se denota por \overline{z} y se obtiene de cambiarle el signo a la parte imaginaria. Por ejemplo, \overline{4-5i}=4+5i. Si multiplicas a un número complejo a+bi por su conjugado, obtienes el real a^2+b^2. Esto es útil para quitar las partes imaginarias de los denominadores de expresiones fraccionales con complejos.

Más ejemplos y práctica extra

En otro curso, el Seminario de Resolución de Problemas, escribimos una entrada de cómo se pueden usar los números complejos para la resolución de problemas matemáticos. Ahí hay teoría más avanzada, pero puedes echarle un ojo para que veas lo que veremos más adelante en el curso.

En la página de Khan Academy en Español, puedes aprender más acerca de los números complejos, así como hacer muchos ejercicios de práctica.