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Álgebra Lineal II: Problemas de formas bilineales, cuadráticas y teorema de Gauss

Introducción

En las entradas anteriores nos dedicamos a recordar las definiciones y algunas propiedades de formas bilineales y cuaráticas en $\mathbb{R}^n$ con el fin de enunciar y demostrar el teorema de Gauss. La prueba da un método para representar cualquier forma cuadrática de este modo, pero es mucho más claro cómo se hace este método mediante ejemplos. En esta entrada veremos un par de problemas para seguir repasando formas bilineales y cuadráticas y luego veremos al teorema de Gauss en acción.

Ver que una función es una forma bilineal

Problema. Tomemos $V= \mathbb{R}^n$ y vectores $x,y$ en $V$ de coordenadas $x=(x_1, . . . , x_n)$ y $y =(y_1, . . . , y_n)$. Tomemos reales $a_1,\ldots, a_n$. Definamos a $b:V\times V\to \mathbb{R}$ como sigue:
\begin {align*} b(x,y)=a_1x_1y_1+ . . . + a_nx_ny_n.\end{align*}

Probemos que así definida, $b$ es una forma bilineal.

Solución. Para probar que $b$ es bilineal, probaremos que la función $b(x, \cdot)$ es lineal para cada $x \in \mathbb{R}^n$ fijo.

Sean $p,q \in \mathbb{R}^n$ y $\lambda \in \mathbb{R}$. Tenemos que:
\begin{align*} b(x,\lambda p+q)=a_1x_1(\lambda p_1 + q_1) + a_2x_2(\lambda p_2 + q_2)+ \dots a_nx_n(\lambda p_n + q_n).\end{align*}

Como todos los miembros de esta operación son números reales, utilicemos las propiedades distributiva y conmutativa. Obtenemos:

\begin{align*} b(x,\lambda p+q)=&\lambda a_1x_1p_1 + \lambda a_2x_2 p_2 + \dots + \lambda a_nx_n p_n + a_1x_1q_1+a_2x_2q_2+ \dots + a_nx_nq_n \\
&=\lambda (a_1x_1p_1 + a_2x_2 p_2 + \dots + a_nx_n p_n)+ (a_1x_1q_1+a_2x_2q_2+ \dots + a_nx_nq_n)\\&=\lambda b(x,p) + b(x,q). \end{align*}

La demostración de que la función $b(\cdot,y)$ también es lineal para cada $y\in \mathbb{R}^n$ fijo es análoga.

$\square$

En particular, si tenemos que $a_1, \ldots, a_n =1$, obtenemos que $b$ es el producto interno canónico de $\mathbb{R}^n$, es decir el producto punto.

Ver que una función no es una forma cuadrática

Problema. Sea $q: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dada como sigue

\begin{align*} q(x,y)=x^2+y^2-8x. \end{align*}

¿Es $q$ una forma cuadrática?

Solución. La respuesta es que no. Con el fin de encontrar una contradicción, supongamos que $q$ sí es una forma cuadrática. Entonces su forma polar $b$ debe cumplir:

\begin{align*} b((x,y),(x,y))=x^2+y^2-8x.\end{align*}

Aplicando lo anterior al par $(-x,-y)$ obtendríamos:

\begin{align*} b((-x,-y),(-x,-y))=x^2+y^2+8x.\end{align*}

Por otro lado, sacando escalares en ambas entradas:

\begin{align*} b((-x,-y),(-x,-y))&=(-1)(-1)b((x,y),(x,y))\\&=b((x,y),(x,y)).\end{align*}

Juntando las igualdades, concluimos que

\begin{align*} x^2+y^2-8x=x^2+y^2+8x \end{align*}

por lo que

\begin{align*} 16x=0. \end{align*}

Pero esto no es cierto en general pues falla, por ejemplo, para la pareja $(1,0)$. Este error nació de suponer que $q$ era una forma cuadrática. Por lo tanto $q$ no es forma cuadrática.

$\square$

El teorema de Gauss en acción

Para simplificar el lenguaje, si logramos escribir a una forma cuadrática $q$ como nos dice el teorema de Gauss, es decir, de la forma \begin{align*} q(x)= \sum_{i=1}^r \alpha _i (l_i(x))^2,\end{align*} entonces diremos que $q$ es combinación cuadrática de las $l_i$ con coeficientes $\alpha_i$.

Problema. Toma la forma cuadrática $q$ de $\mathbb{R}^3$ definida como sigue:

\begin{align*} q(x,y,z)= 4xy+yz+xz \end{align*}

Escribe a $q$ como combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes.

Solución. Revisando la demostración dada en la entrada anterior, tenemos tres casos:

  • Que la forma cuadrática sea la forma cuadrática cero.
  • Que tenga «términos puros».
  • Que no tenga «términos puros», es decir, que tenga sólo «términos cruzados».

Como en este caso la forma $q$ no es la forma cero, ni aparecen términos $x^2$, $y^2$ o $z^2$, estamos en el tercer caso. La estrategia era tomar dos de las variables y separar los términos que sí las tengan de los que no. Luego, hay que usar las identidades:

\begin{align} AXY+BX+CY=A\left(X+\frac{C}{A}\right) \left(Y+\frac{B}{A}\right)-\frac{BC}{A},\end{align}

\begin{align} DE= \frac{1}{4}(D+E)^2 – \frac{1}{4} (D-E)^2.\end{align}

Tomemos por ejemplo $x$ y $y$. En la forma cuadrática todos los términos tienen $x$ ó $y$, así que podemos usar la identidad $(1)$ para escribir (nota que reordenamos algunos términos para hacer más cómodas las cuentas con las identidades):

\begin{align*}
4xy+zx+zy&= 4 \left(x+\frac{z}{4}\right) \left(y+\frac{z}{4}\right)-\frac{z^2}{4}
\end{align*}

Luego, continuamos mediante la identidad $(2)$:

\begin{align*}
= \left(x+y+\frac{z}{2}\right)^2 – (x-y)^2- \frac{1}{4} z^2.
\end{align*}

Esta expresión ya tiene la forma buscada. Tenemos que $q$ es combinación cuadrática de las formas lineales $x+y+\frac{z}{2}$, $x-y$ y $z$. Verifica que en efecto estas formas lineales son linealmente independientes.

$\square$

Cambiando el orden de los pasos

Problema. ¿Qué pasaría si en el ejemplo anterior en vez de hacer el paso inductivo con $x$ y $y$ hacemos el paso inductivo con $y$ y $z$?

Solución. Las cuentas cambian y obtenemos una nueva forma de escribir a $q$. En efecto, aplicando las identidades $(1)$ y $(2)$ pero ahora a $y$ y $z$ obtendríamos:

\begin{align*}
yz+4xy+xz&= (y+x) (z+4x)-4x^2\\
&=\frac{1}{4}(y+z+5x)^2-\frac{1}{4}(y-z-3x)^2-4x^2.
\end{align*}

Esta es otra forma válida de expresar a $q$ como combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes. Lo que nos dice es que la expresión para $q$ no necesariamente es única.

Sin embargo, un poco más adelante veremos que aunque haya muchas formas de expresar a $q$, en todas ellas permanece constante cuántos sumandos positivos y cuántos negativos hay.

$\square$

Cuidado con la independencia lineal

Problema. Toma la forma cuadrática $q$ de $\mathbb{R}^3$ definida como sigue:

\begin{align*} q(x,y,z)= (x – y)^2+(y – z)^2+ (z – x)^2 \end{align*}

Escribe a $q$ como combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes.

Solución. Sería fácil asumir que $q$ ya está de la forma deseada, sin embargo, una revisión rápida nos deja ver qué $x – y$, $y-z$ y $z-x$ no son linealmente independientes en $(\mathbb{R}^3)^*$.

Primero desarrollemos todo

\begin{align*} q(x,y,z)= 2x^2+2y^2+2z^2 -2xy-2xz-2yz \end{align*}

Ahora sí hay «términos puros» pues en particular el coeficiente de $x^2$ no es cero.

En este caso hay que pensar a $q$ como polinomio de segundo grado en $x$ para completar un cuadrado:

\begin{align*} 2x^2+&2y^2+2z^2 -2xy-2xz-2yz\\
&= 2 \left( x- \frac{y+z}{2}\right)^2 – \frac{(y+z)^2}{2} + 2y^2 +2z^2-2yz \end{align*}

La demostración asegura que inductivamente los términos sin $x$ (en este caso $ – \frac{(y+z)^2}{2} + 2y^2 +2z^2-2yz$)se pueden escribir como una combinación cuadrática de formas lineales linealmente independientes. Es decir, a ese término ahora podemos aplicar nuevamente el procedimiento hasta llegar a un caso pequeño.

Sin embargo, para nuestra suerte, una pequeña manipulación muestra que
\begin{align*} – \frac{(y+z)^2}{2} + 2y^2 +2z^2-2yz = \frac{3}{2}(y – z)^2.\end{align*}

También, afortunadamente, $y-z$ es linealmente independiente con $x- \frac{y+z}{2}$. De este modo, una posible combinación cuadrática es la siguiente:

\begin{align*} q(x,y,z)= 2 \left( x- \frac{y+z}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}(y – z)^2 \end{align*}

$\square$

El algoritmo

Con esto visto, podemos describir un algoritmo para encontrar una combinación cuadrática en 4 pasos.

  1. Desarrollar todos los términos $q$ si es necesario.
  2. Revisar qué forma tiene $q$ con respecto a los 3 casos que se vieron en la demostración.
  3. Reproducir el caso elegido de la demostración, dependiendo de la forma de $q$.
  4. Dentro de este paso, puede ser necesario repetir desde el paso 1.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Principio de recursión en los números naturales

Introducción

En esta entrada revisaremos el concepto de recursión en un sentido matemático y revisaremos algunos ejemplos. Probablemente ya hayas escuchado el término, pues verás que es una herramienta útil para definir funciones en términos de las evaluaciones pasadas.

La suma de los primeros n números naturales

Carl Friedrich Gauss fue un matemático alemán del siglo XVIII el cual es uno de los más importantes en distintas disciplinas matemáticas como la teoría de números, la geometría y estadística. Sus aportes son varios en estas y más áreas por lo que nos tomaría varios años de estudio para llegar a muchos de sus resultados. En esta ocasión veremos uno de sus razonamientos más famosos el cual muchos le atribuyen cuando este solo estaba en el colegio cuando aún era niño.

Se dice que el profesor de su clase de matemáticas había castigado a todo el salón haciéndoles sumar los números naturales del $1$ al $100$. La historia dice que no pasó mucho tiempo (y mucho menos del esperado por el profesor) hasta que Gauss llegó con la respuesta «5050». El razonamiento que tuvo fue el siguiente: Para llegar a la suma, pondremos los números del $1$ al $100$ en una lista, y debajo los mismos números pero al revés, es decir, del $100$ al $1$, y notemos que sumando uno a uno los números de las dos listas como los hemos acomodado, queda un mismo número:

$$\begin{array}{cccccc}
&1 & 2 & \dots &99 & 100 \\
+&100 & 99 & \dots &2 & 1 \\
=&101 & 101 & \dots &101 & 101\\
\end{array}$$

De manera que si tenemos los primeros $100$ números, entonces el número resultante de la suma es $101$, de manera que si sumamos estos números, estaríamos sumando $100$ veces el número $101$, pero como hemos sumado dos veces la lista, entonces deberemos dividir entre $2$ para obtener la suma real. Dicho de otra forma: $$ \sum_{i=0}^{100} i = \frac{100(100+1)}{2} .$$
Si recuerdas, esta es la fórmula que probamos en la entrada pasada, pues en el caso general: $$ \sum_{i=0}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} $$

Viendo la suma como recursión

Sigamos pensando en el ejemplo. Para cada $n \in \mathbb{N}$, llamemos $$S_n = \sum_{i=0}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} .$$ Y nota que para cada número natural $n$ se cumple que:

  1. $S_0=0$
  2. Si $n>0$ entonces $S_n = S_{n-1}+n$

Nota ahora que podemos definir a $S_n$ únicamente en términos de la suma de su antecesor con el número. Esto quiere decir que si nos pidieran calcular $S_{51},S_{52},S_{53}$, primero podemos calcular $S_{51}$ sumando todos los números del $0$ al $51$, pero una vez tengamos ese resultado, no es necesario volver a sumar todos los números para $S_{52}$, sino que basta saber quién es $S_{51}$ y sumarle $52$ para obtener el término deseado, lo mismo para el siguiente número de la sucesión $S_{53}=S_{52}+53$. A $S$ se le puede ver como una función $S:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ donde $S_n$ hace referencia a la función $S$ valuada en $n$, esto quiere decir que $S(n)=S_n$. A esta función se le llamará una función recursiva.

Definición. Una función $\phi: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ se dice tener la propiedad de recursión si existe $a \in \mathbb{N} $ y una función $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ tal que:

  1. $\phi(0)=a$
  2. Si $n>0$ entonces $\phi(\sigma(n)) = f(\phi(n))$

Veamos esta definición por partes. Retomemos nuestro ejemplo de la suma de los primeros números naturales. La función que es recursiva es $\phi$, esta función debe satisfacer dos condiciones. La primera condición es que se defina a dónde «manda» el $0$, es decir, hace falta saber cómo empezar la definición recursiva, en este caso, se trata de cómo definimos el comportamiento de la función en el primer número del conjunto de los números naturales. La segunda condición se pone más interesante, pues lo que nos dice es que existe una función $f$ tal que la función $\phi$ evaluada en el sucesor de $n$ ($\sigma(n)=n+1$) es la función $f$ valuada en $\phi (n)$. Lo que quiere decir esta oración es que «Si quieres saber quién es $\phi(n+1)$ y ya sabes quién es $\phi (n)$, entonces basta hacerle algo a ese resultado (valuar ese resultado en $f$) para obtener lo querido».

En nuestro ejemplo de la función $S$ (en la definición, esta sería la función $\phi$), la función $f$ es aquella que a cada suma parcial le agrega el número correspondiente. Esto quiere decir que $f$ es la función: $$\begin{align*} f(S(n)) &= S(n)+n \\&= S(n+1)=S(\sigma(n))\end{align*}.$$

Teorema de recursión débil

El siguiente teorema nos garantiza no solo la existencia de funciones recursivas, sino que además nos garantiza que esta es una herramienta para conjuntos distintos al de los números naturales:

Teorema (Recursión Débil): Sea $X$ un conjunto y $x_{0}\in X$. Supongamos que tenemos una función $f:X\to X$. Entonces existe una única función $\phi:\mathbb{N}\to X$ tal que:

  • $\phi(0)=x_{0}$
  • $\phi(\sigma(n))=f(\phi(n)).$

La demostración de este teorema se verá en el curso de Álgebra Superior II. Y a grandes rasgos nos garantiza el hecho de que las definiciones de las funciones por recursión son matemáticamente válidas. En otras palabras, muestra que somos capaces de definir y usar funciones recursivas.

Algunos ejemplos

Veamos otro ejemplo de este tipo de funciones. Sea $n \in \mathbb{N}$ Definamos $$ n! = n*(n-1)*(n-2)*\dots*2*1.$$ Por ejemplo, $3!=3*2*1=6$. Nota que esta es una función que podemos describir como recursiva al establecer las siguientes condiciones:

  1. $0!=1$
  2. $n!=(n-1)!*n.$

Como veremos en siguientes entradas, esta función llamada factorial se utilizará mucho en conteo y combinatoria, pues nos hablará de el número de formas de combinar un conjunto con algún número de elementos.

El siguiente ejemplo requiere de una pequeña definición:

Definición. Sea $a$ una función. La función $a$ es una sucesión si $a : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ es una función entre números naturales.

Esta definición nos indica que a las funciones entre números naturales también se les conoce como sucesiones, muchas veces este no será el nombre común al que se refieran a las funciones de $ \mathbb{N} $ en $ \mathbb{N} $ pero si en alguna ocasión ves el término, sabrás a qué se refiere. También es común, al estar hablando de sucesiones, de escribir las evaluaciones de $a$ en cada término $n$ simplemente como $a_n$ es decir $a_n=a(n)$.

Supongamos ahora que tenemos la sucesión definida como $$a_n=5n+2$$. Los cinco primeros términos de esta sucesión son:$$a_0=2$$ $$a_1=7$$ $$a_2=12$$ $$a_3=17$$ $$a_4=22$$ Notemos que podemos escribir esto de forma recursiva, para ello, notemos que únicamente en cada paso estamos sumando un 5, de manera que $$a_{n+1}=a_n+5.$$Adicionalmente, ya sabemos cuánto vale en el $0$, así la siguiente proposición demuestra este hecho:

Proposición $a_n$ puede definirse de forma recursiva como:

  1. $a_0=2$
  2. $a_{n+1}=a_n+5.$

Demostración (por inducción)

Base inductiva. Es claro que $$a_0 = 2 = 0*5+2$$ De manera que se cumple la base de inducción.

Hipótesis inductiva. Supongamos que para $n\geq 0$ se cumple que $$a_n = a_{n-1}+5=5n+2.$$

Paso inductivo. Para demostrar que $$a_{n+1}=a_n+5$$ como dice la proposición, notemos que por definición de la sucesión, $$a_{n+1}=5(n+1)+2=5n+2+5.$$
Ahora, por hipótesis de inducción, $$a_n=5n+2.$$De esta forma, $$a_{n+1}=5(n+1)+2)+5=a_n+5. $$ tal como se quería demostrar.

$\square$

Tarea Moral

  1. Muestra que hay una única función $\phi$ entre número naturales tal que:
    1. $\phi(0)=10$
    2. $\phi(\sigma(n))=2\phi(n)$
  2. Da una definición explícita de la función del inciso anterior.
  3. Da una definición recursiva para las siguientes sucesiones:
    • $a_n=2n$
    • $a_n=2n+1$
    • $a_n=2^n$
    • $a_n=0$

Más adelante…

En esta entrada dimos la idea de lo que significa la recursión en las matemáticas, en la siguiente entrada usaremos esta idea para empezar a definir las operaciones básicas en los números naturales: la suma y el producto.

Entradas relacionadas

  • Ir a Álgebra Superior I
  • Entrada anterior del curso: Problemas de inducción
  • Siguiente entrada del curso: Suma y producto de naturales y sus propiedades

Seminario de Resolución de Problemas: Identidad de Gauss e identidad de suma de cubos

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos a platicar acerca de identidades algebraicas útiles en la resolución de problemas matemáticos. Vimos algunas identidades básicas y platicamos acerca del teorema del binomio de Newton. En esta entrada veremos dos identidades más: la identidad de Gauss para suma de cuadrados y la identidad para factorizar $a^3+b^3+c^3-3abc$. Damos más de una demostración de cada una de ellas para seguir explorando ideas algebraicas.

Identidad de cuadrados de Gauss

Proposición. Para $a,b,c,d$ números reales se cumple que $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.$$

Demostración 1. Simplemente desarrollamos. Por un lado,
\begin{align*}
(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.
\end{align*}

Por otro lado, $ (ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ es
\begin{align*}
&a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2\\
= &a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.
\end{align*}

$\square$

La siguiente demostración nos ayuda a entender un poco mejor la identidad y tiene una idea que se puede aplicar en varios contextos.

Demostración 2. Vamos a dar un pequeño brinco a los números complejos, pues ahí podemos hacer la factorización $x^2+y^2=(x+yi)(x-yi)$.

Usando esa identidad:
\begin{align*}
&(a^2+b^2)(c^2+d^2) \\
=&(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)\\
=&(a+bi)(c+di)(a-bi)(c-di)\\
=&((ac-bd)+(ad+bc)i) ((ac-bd)-(ad+bc)i)\\
=&(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.
\end{align*}

$\square$

La idea que se puede recuperar de la demostración anterior es la siguiente: a veces una identidad no se puede factorizar en los números reales (racionales, enteros, etc), pero sí en los números complejos (otro sistema numérico más grande). Aunque el problema hable de números reales, es posible que podamos ir a los complejos y regresar a los reales con información.

Problema ejemplo para identidad de Gauss

Problema. Muestra que si tienes un número $x$ de la forma $r^2+7s^2$, con $r$ y $s$ números enteros, entonces el número $x^{2020}$ también es de esa forma.

Sugerencia pre-solución. Aquí, el exponente $2020$ es sospechoso, y sugiere que en realidad el problema debe ser más general. Haz algunos casos pequeños para buscar un patrón de cómo se comporta el producto de dos números de esa forma. Después, para estudiar las potencias, usa el principio de inducción.

Solución. Notemos que $$x=r^2+7s^2=(r+\sqrt{7}si)(r-\sqrt{7}si)$$ Tomemos otro número de esa forma, digamos $$y=t^2+7u^2= (t+\sqrt{7}ui)(t-\sqrt{7}ui).$$ Al hacer el producto de $x$ y $y$, aparecerá un factor $$ (r+\sqrt{7}si)(t+\sqrt{7}ui)=((rt-7su)+(ru+st)\sqrt{7}i)$$ y un factor $$ (r-\sqrt{7}si)(t-\sqrt{7}ui)=((rt-7su)-(ru+st)\sqrt{7}i),$$ que multiplicados son iguales a $$(rt-7su)^2+7(ru+st)^2.$$ Con todo esto, concluimos que el producto de cualesquiera dos números de la forma buscada, también es de la forma buscada. De aquí, $x^2$ es de la forma buscada, e inductivamente $x^n$ es de la forma buscada para todo entero $n\geq 1$. En particular, $x^{2020}$ es de la forma que se quiere.

$\square$

Identidad para $a^3+b^3+c^3-3abc$

Proposición. Para $a,b,c$ números reales, se tiene que $$a^3+b^3+c^3-3abc$$ es igual a $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$

Esta identidad también tiene varias demostraciones, que en conjunto guardan varias ideas. Veamos dos de ellas.

Demostración 1. Simplemente hacemos el producto de la segunda expresión para verificar que nos de la primera. Claramente aparece un único $a^3$ y por simétría aparecen $b^3$ y $c^3$ exactamente una vez. También, claramente aparece tres veces la expresión $-abc$. Todas las expresiones que aparecen son cúbicas y ya contamos las «de la forma» $x^3$ y $xyz$, así que por simetría basta ver qué pasa con cada expresión de la forma $x^2y$. Estas se obtienen ya sea de elegir $x$ en la primera y $-xy$ en la segunda, o bien $y$ en la primera y $x^2$ en la segunda, de modo que todas ellas se cancelan.

Sólo para asegurarnos que hicimos todo bien, deberíamos haber contado $3\cdot 6=18$ monomios. Hay tres de la forma $x^3$, tres de la forma $xyz$ y cada uno de los seis la forma $x^2y$ ya lo encontramos $2$ veces, una vez positivo y una vez negativo. Así, nuestra cuenta abarca $3+3+6\cdot 3= 18$ monomios, así que ya contamos todos los términos.

$\square$

Hay una segunda demostración, que usa ideas de álgebra lineal. Daremos la idea general, y más adelante, cuando hablemos de matrices y determinantes, platicaremos de estas ideas más a detalle.

Demostración. Calculemos el determinante $D$ de la matriz $$\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{pmatrix}$$ de dos formas distintas. Por un lado, podemos sumar los renglones $2$ y $3$ al primer renglón sin que cambie el determinante, así, $$D=\begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c\\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix}.$$ De aquí, podemos factorizar $a+b+c$ pues está en cada entrada del primer renglón $$D=(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix}.$$

Finalmente, desarrollando el determinante que queda usando el primer renglón, tenemos que
\begin{align*}
D&=(a+b+c)((a^2-bc)-(ca-b^2)+(c^2-ab))\\
&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).
\end{align*}

Por otro lado, usando el truco para desarrollar un determinante de $3\times 3$ por diagonales,
\begin{align*}
D&=a^3+b^3+c^3-abc-abc-abc\\
&= a^3+b^3+c^3-3abc.
\end{align*}

Igualando ambas expresiones para $D$, obtenemos la identidad deseada.

$\square$

Problema ejemplo de factorización de $a^3+b^3+c^3-3abc$

Problema. Sean $a,b,c$ números reales. Muestra que $a^3+b^3+c^3=3abc$ si y sólo si $a+b+c=0$ o $a=b=c$.

Sugerencia pre-solución. Necesitarás la identidad anterior y un análisis de casos. También, para uno de los casos necesitarás usar la factorización de $x^2-2xy+y^2$ algunas veces.

Solución. De acuerdo a la identidad de la sección anterior, $a^3+b^3+c^3=3abc$ si y sólo si $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0.$$

Notemos que $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2},$$ que siempre es mayor o igual que cero y es igual a $0$ si y sólo si $a-b=b-c=c-a=0$, si y sólo si $a=b=c$.

Así, $a^3+b^3+c^3=3abc$ si y sólo si alguno de los factores que lo conforman es cero, lo cual pasa si y sólo si $a+b+c=0$ o $a=b=c$.

$\square$

Más problemas

Puedes ver más problemas que usan identidades algebraicas en la entrada anterior de este tema. Además, puedes encontrar más problemas de identidades algebraicas en la Sección 4.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Álgebra Lineal I: Formas cuadráticas, propiedades, polarización y Gauss

Introducción

En la entrada anterior hablamos acerca de formas bilineales y comenzamos a hablar de formas cuadráticas. Discutimos cómo a partir de estas nociones a la larga podremos hablar de geometría y cálculo en espacios vectoriales. El objetivo de esta entrada es entender mejor a las formas cuadráticas y su relación con formas bilineales.

Lo primero que haremos es demostrar la identidad de polarización, que a grandes rasgos dice que hay una biyección entre las formas bilineales simétricas y las formas cuadráticas. Veremos algunos ejemplos concretos de esta biyección. A partir de ella demostraremos algunas propiedades de formas cuadráticas. Finalmente, hablaremos brevemente de un bello resultado de Gauss que caracteriza las formas cuadráticas en $\mathbb{R}^n$ en términos de formas lineales, de las cuales discutimos mucho cuando hablamos de espacio dual.

Como pequeño recordatorio de la entrada anterior, una forma bilineal de un espacio vectorial $V$ es una transformación $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que cada que fijamos una coordenada, es lineal en la otra. Esta forma es simétrica si $b(x,y)=b(y,x)$ para cada par de vectores $x,y$ en $V$. Una forma cuadrática de $V$ es una transformación $q:V\to \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b(x,x)$ para alguna forma bilineal $b$.

Formas cuadráticas y polarización

En la entrada anterior enunciamos el siguiente teorema, que mostraremos ahora.

Teorema (identidad de polarización). Sea $q:V\to \mathbb{R}$ una forma cuadrática. Existe una única forma bilineal simétrica $b:V\times V \to \mathbb{R}$ tal que $q(x)=b(x,x)$ para todo vector $x$. Esta forma bilineal está determinada mediante la identidad de polarización $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.$$

Demostración. Tomemos una forma cuadrática $q$ de $V$. Por definición, está inducida por una forma bilineal $B$ de $V$, es decir, $q(x)=B(x,x)$. Definamos la transformación $b$ mediante $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.$$ Comencemos probando que $b$ es una transformación bilineal simétrica. Notemos que:
\begin{align*}
b(x,y)&=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}\\
&=\frac{B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)}{2}\\
&=\frac{B(x,x)+B(x,y)+B(y,x)+B(y,y)-B(x,x)-B(y,y)}{2}\\
&=\frac{B(x,y)+B(y,x)}{2}.
\end{align*}

De aquí es muy claro que $b$ es forma bilineal, pues fijando $x$, set tiene que $b(x,y)$ es combinación lineal de dos formas lineales en $y$; y fijando $y$, se tiene que $b(x,y)$ es combinación lineal de dos formas lineales en $x$. Además, de esta igualdad (o directo de la definición de $b$) es claro que $b(x,y)=b(y,x)$.

También de esta igualdad obtenemos que $$b(x,x)=B(x,x)=q(x).$$

Para mostrar la unicidad, notemos que cualquier forma bilineal simétrica $b’$ tal que $b'(x,x)=q(x)$ debe satisfacer, como en las cuentas que hicimos arriba, que
\begin{align*}
q(x+y)&=b'(x+y,x+y)\\
&=q(x)+q(y)+b'(x,y)+b'(y,x)\\
&=q(x)+q(y)+2b'(x,y).
\end{align*}

De aquí, despejando $b’$, se obtiene que debe tener la forma de $b$.

$\square$

El teorema anterior justifica la siguiente definición.

Definición. Dada una forma cuadrática $q$ de $V$, a la única forma bilineal simétrica $b$ de $V$ tal que $q(x)=b(x,x)$ le llamamos la forma polar de $q$.

Ejemplo. En el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$, la transformación $q:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ dada por $$q(x_1,\ldots,x_n)=x_1^2+\ldots+x_n^2.$$ es una forma cuadrática. Su forma polar es la forma bilineal producto punto que manda a $x=(x_1,\ldots,x_n)$ y $y=(y_1,\ldots,y_n)$ a $$b(x,y)=x_1y_1+\ldots+x_ny_n.$$

Esto coincide con la construcción dada por la identidad de polarización, ya que \begin{align*}q(x+y)-q(x)-q(y)&=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^2-x_i^2-y_i^2 \\&= \sum_{i=1}^n x_iy_i\end{align*}

$\square$

Ejemplo. En el espacio vectorial $\mathbb{R}[x]$ de polinomios con coeficientes reales, la transformación $Q$ dada por $$Q(p)=p(0)p(1)+p(2)^2$$ es una forma cuadrática. Para encontrar a su forma bilineal polar, usamos la identidad de polarización
\begin{align*}
B(p,q)&=\frac{Q(p+q)-Q(p)-Q(q)}{2}\\
&=\frac{(p+q)(0)(p+q)(1)+(p+q)(2)^2-p(0)p(1)-p(2)^2-q(0)q(1)-q(2)^2}{2}\\
&=\frac{p(0)q(1)+q(0)p(1)+2p(2)q(2)}{2}\\
&=\frac{p(0)q(1)}{2}+\frac{p(1)q(0)}{2}+p(2)q(2).
\end{align*}

$\square$

Propiedades de formas cuadráticas

Si $q$ es una forma cuadrática, $x$ es un vector y $c$ es un real, tenemos que $q(cx)=c^2q(x)$, pues sale una $c$ por cada una de las coordenadas de la forma bilineal asociada. En particular, $q(-x)=q(x)$.

La identidad de polarización nos permite probar otras propiedades de formas bilineales y formas cuadráticas.

Proposición. Sea $q$ una forma cuadrática en $V$ con forma polar $b$. Entonces:

  • Para todo par de vectores $x$ y $y$ en $V$, se tiene que $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x-y)}{4}.$$
  • (Ley del paralelogramo) Para todo par de vectores $x$ y $y$ en $V$, se tiene que $$q(x+y)+q(x-y)=2(q(x)+q(y)).$$
  • (Teorema de Pitágoras) Para vectores $x$ y $y$ tales que $b(x,y)=0$, se tiene que $$q(x+y)=q(x)+q(y).$$
  • (Diferencia de cuadrados) Para todo par de vectores $x$ y $y$ en $V$, se tiene que $b(x+y,x-y)=q(x)-q(y).$

Demostración. Por la identidad de polarización tenemos que $$b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2},$$ y como $q(y)=q(-y)$, tenemos también por la identidad de polarización que \begin{align*}-b(x,y)&=b(x,-y)\\&=\frac{q(x-y)-q(x)-q(y)}{2}.\end{align*}

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos la primer propiedad. Sumando ambas obtenemos la ley del paralelogramo.

El teorema de Pitágoras es una consecuencia directa de la identidad de polarización.

La identidad de diferencia de cuadrados es una consecuencia de la primer propiedad aplicada a los vectores $x+y$ y $x-y$, y de usar que $q(2x)=4q(x)$ y que $q(2y)=4q(y)$.

$\square$

Forma de las formas cuadráticas

Otra consecuencia de la identidad de polarización es que establece una biyección entre las formas cuadráticas y las formas simétricas bilineales. Esta asociación nos permite decir cómo se ven exactamente las formas cuadráticas en espacios vectoriales de dimensión finita.

Toda forma cuadrática viene de una forma bilineal simétrica. En la entrada anterior, mencionamos que para definir una forma bilineal simétrica en un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$, basta tomar una base $\{e_1,\ldots,e_n\}$ de $V$ y decidir los valores $b_{ij}$ de $b(e_i,e_j)$ para $1\leq i \leq j \leq n$. Como $b$ es simétrica, para $j<i$ se tendría que $b(e_i,e_j)=b(e_j,e_i)$, es decir, que $b_{ji}=b_{ij}$.

De esta forma, para todo vector $v$ en $V$ podemos encontrar el valor de $q(v)$ expresando $v$ en la base $\{e_1,\ldots,e_n\}$, digamos, $$v=a_1e_1+\ldots+a_ne_n,$$ de donde $$q(v)=\sum_{i=1}^n b_{ii} a_i^2 + 2 \sum_{1\leq i < j \leq n} b_{ij} a_i a_j.$$

Ejemplo. Toda forma cuadrática en $\mathbb{R}^3$ se obtiene de elegir reales $a,b,c,d,e,f$ y definir $$q(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2eyz+2fzx.$$ La forma polar de $q$ es la forma bilineal $B$ tal que para la base canónica $e_1,e_2,e_3$ de $\matbb{R}^3$ hace lo siguiente

\begin{align*}
B(e_1,e_1)&=a\\
B(e_2,e_2)&=b\\
B(e_3,e_3)&=c\\
B(e_1,e_2)&=B(e_2,e_1)=d\\
B(e_2,e_3)&=B(e_3,e_2)=e\\
B(e_3,e_1)&=B(e_1,e_3)=f.
\end{align*}

$\square$

Teorema de Gauss de formas cuadráticas (opcional)

Para esta sección, fijemos al espacio vectorial como $\mathbb{R}^n$. Hay una forma muy natural de construir formas cuadráticas a partir de formas lineales. Tomemos números reales $\alpha_1,\ldots, \alpha_r$ y formas lineales $l_1,\ldots,l_r$. Consideremos $$q(x)=\alpha_1l_1(x)^2+\ldots+\alpha_r l_r(x)^2.$$ Se tiene que $q$ es una forma cuadrática. La demostración de ello es sencillo y se queda como tarea moral.

Lo que descubrió Gauss es que todas las formas cuadráticas se pueden expresar de esta forma, y de hecho, es posible hacerlo usando únicamente formas lineales que sean linealmente independientes y coeficientes $1$ y $-1$.

Teorema (clasificación de Gauss de formas cuadráticas). Sea $q$ una forma cuadrática en $\mathbb{R}^n$. Entonces, existen enteros no negativos $r$ y $s$, y formas lineares $l_1,\ldots,l_r,m_1,\ldots,m_s$ en $(\mathbb{R}^n)^\ast$, todas ellas linealmente independientes, tales que $$q=l_1^2+\ldots+l_r^2-m_1^2-\ldots-m_s^2.$$

Hay un pequeño refinamiento de este teorema, demostrado por Sylvester.

Teorema (teorema de la inercia de Sylverster). Los números $r$ y $s$ en el teorema de clasificación de Gauss de formas cuadráticas son únicos.

Ejemplo. Tomemos la forma cuadrática en $\mathbb{R}^3$ dada por $q(x,y,z)=xy+yz+zx$. Por el teorema de Gauss, esta forma se debe de poder poner como combinación lineal de cuadrados de formas lineales independientes. En efecto, tenemos que: $$xy+yz+zx=\left(\frac{2x+y+z}{2}\right)^2-\left(\frac{y-z}{2}\right)^2-x^2,$$ en donde
\begin{align*}
(x,y,z)&\mapsto \frac{2x+y+z}{2},\\
(x,y,z) &\mapsto \frac{y-z}{2}\quad \text{ y }\\
(x,y,z)&\mapsto x
\end{align*}
son formas lineales linealmente independientes.

$\square$

Tarea moral

  • Verifica que las formas cuadráticas de los ejemplos del teorema de polarización en efecto son formas cuadráticas.
  • Muestra que $q(x,y)=3x^2-y^2+7y$ no es una forma cuadrática.
  • Muestra que si $\alpha_1,\ldots, \alpha_r$ son reales y tomamos formas lineales $l_1,\ldots,l_r$ en $\mathbb{R}^n$, entonces $$q(x)=a_1l_1(x)^2+\ldots+\alpha_r l_r(x)^2$$ es una forma cuadrática.
  • ¿Quién es la forma polar de la forma cuadrática $Q(f)=\int_{0}^1 f^2(x)\, dx$ en el espacio vectorial de funciones continuas en el intervalo $[0,1]$?

Una demostración algorítmica del teorema de Gauss se puede encontrar en la Sección 10.1 del libro de Álgebra Lineal de Titu Andreescu.

Más adelante…

En esta entrada estudiamos a fondo la identidad de polarización; esto nos permitió concluir que existe una biyección entre las funciones bilineales simétricas y las fromas cuadráticas. También, pusimos mucho énfasis en ejemplos concretos de esta biyección.

Con esto estamos listos para empezar a pensar en cómo haríamos geometría o cálculo en espacios vectorias. Abordaremos estos temas al final de esta unidad. En la siguiente entrada hablaremos del producto interior.

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