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Seminario de Resolución de Problemas: Identidad de Gauss e identidad de suma de cubos

Introducción

En la entrada anterior comenzamos a platicar acerca de identidades algebraicas útiles en la resolución de problemas matemáticos. Vimos algunas identidades básicas y platicamos acerca del teorema del binomio de Newton. En esta entrada veremos dos identidades más: la identidad de Gauss para suma de cuadrados y la identidad para factorizar a^3+b^3+c^3-3abc. Damos más de una demostración de cada una de ellas para seguir explorando ideas algebraicas.

Identidad de cuadrados de Gauss

Proposición. Para a,b,c,d números reales se cumple que

    \[(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.\]

Demostración 1. Simplemente desarrollamos. Por un lado,

    \begin{align*}(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.\end{align*}

Por otro lado, (ac-bd)^2+(ad+bc)^2 es

    \begin{align*}&a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2\\= &a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.\end{align*}

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La siguiente demostración nos ayuda a entender un poco mejor la identidad y tiene una idea que se puede aplicar en varios contextos.

Demostración 2. Vamos a dar un pequeño brinco a los números complejos, pues ahí podemos hacer la factorización x^2+y^2=(x+yi)(x-yi).

Usando esa identidad:

    \begin{align*}&(a^2+b^2)(c^2+d^2) \\=&(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)\\=&(a+bi)(c+di)(a-bi)(c-di)\\=&((ac-bd)+(ad+bc)i) ((ac-bd)-(ad+bc)i)\\=&(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.\end{align*}

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La idea que se puede recuperar de la demostración anterior es la siguiente: a veces una identidad no se puede factorizar en los números reales (racionales, enteros, etc), pero sí en los números complejos (otro sistema numérico más grande). Aunque el problema hable de números reales, es posible que podamos ir a los complejos y regresar a los reales con información.

Problema ejemplo para identidad de Gauss

Problema. Muestra que si tienes un número x de la forma r^2+7s^2, con r y s números enteros, entonces el número x^{2020} también es de esa forma.

Sugerencia pre-solución. Aquí, el exponente 2020 es sospechoso, y sugiere que en realidad el problema debe ser más general. Haz algunos casos pequeños para buscar un patrón de cómo se comporta el producto de dos números de esa forma. Después, para estudiar las potencias, usa el principio de inducción.

Solución. Notemos que

    \[x=r^2+7s^2=(r+\sqrt{7}si)(r-\sqrt{7}si)\]

Tomemos otro número de esa forma, digamos

    \[y=t^2+7u^2= (t+\sqrt{7}ui)(t-\sqrt{7}ui).\]

Al hacer el producto de x y y, aparecerá un factor

    \[(r+\sqrt{7}si)(t+\sqrt{7}ui)=((rt-7su)+(ru+st)\sqrt{7}i)\]

y un factor

    \[(r-\sqrt{7}si)(t-\sqrt{7}ui)=((rt-7su)-(ru+st)\sqrt{7}i),\]

que multiplicados son iguales a

    \[(rt-7su)^2+7(ru+st)^2.\]

Con todo esto, concluimos que el producto de cualesquiera dos números de la forma buscada, también es de la forma buscada. De aquí, x^2 es de la forma buscada, e inductivamente x^n es de la forma buscada para todo entero n\geq 1. En particular, x^{2020} es de la forma que se quiere.

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Identidad para a^3+b^3+c^3-3abc

Proposición. Para a,b,c números reales, se tiene que

    \[a^3+b^3+c^3-3abc\]

es igual a

    \[(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).\]

Esta identidad también tiene varias demostraciones, que en conjunto guardan varias ideas. Veamos dos de ellas.

Demostración 1. Simplemente hacemos el producto de la segunda expresión para verificar que nos de la primera. Claramente aparece un único a^3 y por simétría aparecen b^3 y c^3 exactamente una vez. También, claramente aparece tres veces la expresión -abc. Todas las expresiones que aparecen son cúbicas y ya contamos las «de la forma» x^3 y xyz, así que por simetría basta ver qué pasa con cada expresión de la forma x^2y. Estas se obtienen ya sea de elegir x en la primera y -xy en la segunda, o bien y en la primera y x^2 en la segunda, de modo que todas ellas se cancelan.

Sólo para asegurarnos que hicimos todo bien, deberíamos haber contado 3\cdot 6=18 monomios. Hay tres de la forma x^3, tres de la forma xyz y cada uno de los seis la forma x^2y ya lo encontramos 2 veces, una vez positivo y una vez negativo. Así, nuestra cuenta abarca 3+3+6\cdot 3= 18 monomios, así que ya contamos todos los términos.

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Hay una segunda demostración, que usa ideas de álgebra lineal. Daremos la idea general, y más adelante, cuando hablemos de matrices y determinantes, platicaremos de estas ideas más a detalle.

Demostración. Calculemos el determinante D de la matriz

    \[\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{pmatrix}\]

de dos formas distintas. Por un lado, podemos sumar los renglones 2 y 3 al primer renglón sin que cambie el determinante, así,

    \[D=\begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c\\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix}.\]

De aquí, podemos factorizar a+b+c pues está en cada entrada del primer renglón

    \[D=(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix}.\]

Finalmente, desarrollando el determinante que queda usando el primer renglón, tenemos que

    \begin{align*}D&=(a+b+c)((a^2-bc)-(ca-b^2)+(c^2-ab))\\&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).\end{align*}

Por otro lado, usando el truco para desarrollar un determinante de 3\times 3 por diagonales,

    \begin{align*}D&=a^3+b^3+c^3-abc-abc-abc\\&= a^3+b^3+c^3-3abc.\end{align*}

Igualando ambas expresiones para D, obtenemos la identidad deseada.

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Problema ejemplo de factorización de a^3+b^3+c^3-3abc

Problema. Sean a,b,c números reales. Muestra que a^3+b^3+c^3=3abc si y sólo si a+b+c=0 o a=b=c.

Sugerencia pre-solución. Necesitarás la identidad anterior y un análisis de casos. También, para uno de los casos necesitarás usar la factorización de x^2-2xy+y^2 algunas veces.

Solución. De acuerdo a la identidad de la sección anterior, a^3+b^3+c^3=3abc si y sólo si

    \[(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0.\]

Notemos que

    \[a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2},\]

que siempre es mayor o igual que cero y es igual a 0 si y sólo si a-b=b-c=c-a=0, si y sólo si a=b=c.

Así, a^3+b^3+c^3=3abc si y sólo si alguno de los factores que lo conforman es cero, lo cual pasa si y sólo si a+b+c=0 o a=b=c.

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Más problemas

Puedes ver más problemas que usan identidades algebraicas en la entrada anterior de este tema. Además, puedes encontrar más problemas de identidades algebraicas en la Sección 4.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Álgebra Lineal I: Formas cuadráticas, propiedades, polarización y Gauss

Introducción

En la entrada anterior hablamos acerca de formas bilineales y comenzamos a hablar de formas cuadráticas. Discutimos cómo a partir de estas nociones a la larga podremos hablar de geometría y cálculo en espacios vectoriales. El objetivo de esta entrada es entender mejor a las formas cuadráticas y su relación con formas bilineales.

Lo primero que haremos es demostrar la identidad de polarización, que a grandes rasgos dice que hay una biyección entre las formas bilineales simétricas y las formas cuadráticas. Veremos algunos ejemplos concretos de esta biyección. A partir de ella demostraremos algunas propiedades de formas cuadráticas. Finalmente, hablaremos brevemente de un bello resultado de Gauss que caracteriza las formas cuadráticas en \mathbb{R}^n en términos de formas lineales, de las cuales discutimos mucho cuando hablamos de espacio dual.

Como pequeño recordatorio de la entrada anterior, una forma bilineal de un espacio vectorial V es una transformación b:V\times V \to \mathbb{R} tal que cada que fijamos una coordenada, es lineal en la otra. Esta forma es simétrica si b(x,y)=b(y,x) para cada par de vectores x,y en V. Una forma cuadrática de V es una transformación q:V\to \mathbb{R} tal que q(x)=b(x,x) para alguna forma bilineal b.

Formas cuadráticas y polarización

En la entrada anterior enunciamos el siguiente teorema, que mostraremos ahora.

Teorema (identidad de polarización). Sea q:V\to \mathbb{R} una forma cuadrática. Existe una única forma bilineal simétrica b:V\times V \to \mathbb{R} tal que q(x)=b(x,x) para todo vector x. Esta forma bilineal está determinada mediante la identidad de polarización

    \[b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.\]

Demostración. Tomemos una forma cuadrática q de V. Por definición, está inducida por una forma bilineal B de V, es decir, q(x)=B(x,x). Definamos la transformación b mediante

    \[b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}.\]

Comencemos probando que b es una transformación bilineal simétrica. Notemos que:

    \begin{align*}b(x,y)&=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2}\\&=\frac{B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)}{2}\\&=\frac{B(x,x)+B(x,y)+B(y,x)+B(y,y)-B(x,x)-B(y,y)}{2}\\&=\frac{B(x,y)+B(y,x)}{2}.\end{align*}

De aquí es muy claro que b es forma bilineal, pues fijando x, set tiene que b(x,y) es combinación lineal de dos formas lineales en y; y fijando y, se tiene que b(x,y) es combinación lineal de dos formas lineales en x. Además, de esta igualdad (o directo de la definición de b) es claro que b(x,y)=b(y,x).

También de esta igualdad obtenemos que

    \[b(x,x)=B(x,x)=q(x).\]

Para mostrar la unicidad, notemos que cualquier forma bilineal simétrica b' tal que b'(x,x)=q(x) debe satisfacer, como en las cuentas que hicimos arriba, que

    \begin{align*}q(x+y)&=b'(x+y,x+y)\\&=q(x)+q(y)+b'(x,y)+b'(y,x)\\&=q(x)+q(y)+2b'(x,y).\end{align*}

De aquí, despejando b', se obtiene que debe tener la forma de b.

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El teorema anterior justifica la siguiente definición.

Definición. Dada una forma cuadrática q de V, a la única forma bilineal simétrica b de V tal que q(x)=b(x,x) le llamamos la forma polar de q.

Ejemplo. En el espacio vectorial \mathbb{R}^n, la transformación q:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} dada por

    \[q(x_1,\ldots,x_n)=x_1^2+\ldots+x_n^2.\]

es una forma cuadrática. Su forma polar es la forma bilineal producto punto que manda a x=(x_1,\ldots,x_n) y y=(y_1,\ldots,y_n) a

    \[b(x,y)=x_1y_1+\ldots+x_ny_n.\]

Esto coincide con la construcción dada por la identidad de polarización, ya que

    \begin{align*}q(x+y)-q(x)-q(y)&=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^2-x_i^2-y_i^2 \\&= \sum_{i=1}^n x_iy_i\end{align*}

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Ejemplo. En el espacio vectorial \mathbb{R}[x] de polinomios con coeficientes reales, la transformación Q dada por

    \[Q(p)=p(0)p(1)+p(2)^2\]

es una forma cuadrática. Para encontrar a su forma bilineal polar, usamos la identidad de polarización

    \begin{align*}B(p,q)&=\frac{Q(p+q)-Q(p)-Q(q)}{2}\\&=\frac{(p+q)(0)(p+q)(1)+(p+q)(2)^2-p(0)p(1)-p(2)^2-q(0)q(1)-q(2)^2}{2}\\&=\frac{p(0)q(1)+q(0)p(1)+2p(2)q(2)}{2}\\&=\frac{p(0)q(1)}{2}+\frac{p(1)q(0)}{2}+p(2)q(2).\end{align*}

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Propiedades de formas cuadráticas

Si q es una forma cuadrática, x es un vector y c es un real, tenemos que q(cx)=c^2q(x), pues sale una c por cada una de las coordenadas de la forma bilineal asociada. En particular, q(-x)=q(x).

La identidad de polarización nos permite probar otras propiedades de formas bilineales y formas cuadráticas.

Proposición. Sea q una forma cuadrática en V con forma polar b. Entonces:

  • Para todo par de vectores x y y en V, se tiene que

        \[b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x-y)}{4}.\]

  • (Ley del paralelogramo) Para todo par de vectores x y y en V, se tiene que

        \[q(x+y)+q(x-y)=2(q(x)+q(y)).\]

  • (Teorema de Pitágoras) Para vectores x y y tales que b(x,y)=0, se tiene que

        \[q(x+y)=q(x)+q(y).\]

  • (Diferencia de cuadrados) Para todo par de vectores x y y en V, se tiene que b(x+y,x-y)=q(x)-q(y).

Demostración. Por la identidad de polarización tenemos que

    \[b(x,y)=\frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}{2},\]

y como q(y)=q(-y), tenemos también por la identidad de polarización que

    \begin{align*}-b(x,y)&=b(x,-y)\\&=\frac{q(x-y)-q(x)-q(y)}{2}.\end{align*}

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos la primer propiedad. Sumando ambas obtenemos la ley del paralelogramo.

El teorema de Pitágoras es una consecuencia directa de la identidad de polarización.

La identidad de diferencia de cuadrados es una consecuencia de la primer propiedad aplicada a los vectores x+y y x-y, y de usar que q(2x)=4q(x) y que q(2y)=4q(y).

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Forma de las formas cuadráticas

Otra consecuencia de la identidad de polarización es que establece una biyección entre las formas cuadráticas y las formas simétricas bilineales. Esta asociación nos permite decir cómo se ven exactamente las formas cuadráticas en espacios vectoriales de dimensión finita.

Toda forma cuadrática viene de una forma bilineal simétrica. En la entrada anterior, mencionamos que para definir una forma bilineal simétrica en un espacio vectorial V de dimensión n, basta tomar una base \{e_1,\ldots,e_n\} de V y decidir los valores b_{ij} de b(e_i,e_j) para 1\leq i \leq j \leq n. Como b es simétrica, para j<i se tendría que b(e_i,e_j)=b(e_j,e_i), es decir, que b_{ji}=b_{ij}.

De esta forma, para todo vector v en V podemos encontrar el valor de q(v) expresando v en la base \{e_1,\ldots,e_n\}, digamos,

    \[v=a_1e_1+\ldots+a_ne_n,\]

de donde

    \[q(v)=\sum_{i=1}^n b_{ii} a_i^2 + 2 \sum_{1\leq i < j \leq n} b_{ij} a_i a_j.\]

Ejemplo. Toda forma cuadrática en \mathbb{R}^3 se obtiene de elegir reales a,b,c,d,e,f y definir

    \[q(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2eyz+2fzx.\]

La forma polar de q es la forma bilineal B tal que para la base canónica e_1,e_2,e_3 de \matbb{R}^3 hace lo siguiente

    \begin{align*}B(e_1,e_1)&=a\\B(e_2,e_2)&=b\\B(e_3,e_3)&=c\\ B(e_1,e_2)&=B(e_2,e_1)=d\\ B(e_2,e_3)&=B(e_3,e_2)=e\\B(e_3,e_1)&=B(e_1,e_3)=f.\end{align*}

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Teorema de Gauss de formas cuadráticas (opcional)

Para esta sección, fijemos al espacio vectorial como \mathbb{R}^n. Hay una forma muy natural de construir formas cuadráticas a partir de formas lineales. Tomemos números reales \alpha_1,\ldots, \alpha_r y formas lineales l_1,\ldots,l_r. Consideremos

    \[q(x)=\alpha_1l_1(x)^2+\ldots+\alpha_r l_r(x)^2.\]

Se tiene que q es una forma cuadrática. La demostración de ello es sencillo y se queda como tarea moral.

Lo que descubrió Gauss es que todas las formas cuadráticas se pueden expresar de esta forma, y de hecho, es posible hacerlo usando únicamente formas lineales que sean linealmente independientes y coeficientes 1 y -1.

Teorema (clasificación de Gauss de formas cuadráticas). Sea q una forma cuadrática en \mathbb{R}^n. Entonces, existen enteros no negativos r y s, y formas lineares l_1,\ldots,l_r,m_1,\ldots,m_s en (\mathbb{R}^n)^\ast, todas ellas linealmente independientes, tales que

    \[q=l_1^2+\ldots+l_r^2-m_1^2-\ldots-m_s^2.\]

Hay un pequeño refinamiento de este teorema, demostrado por Sylvester.

Teorema (teorema de la inercia de Sylverster). Los números r y s en el teorema de clasificación de Gauss de formas cuadráticas son únicos.

Ejemplo. Tomemos la forma cuadrática en \mathbb{R}^3 dada por q(x,y,z)=xy+yz+zx. Por el teorema de Gauss, esta forma se debe de poder poner como combinación lineal de cuadrados de formas lineales independientes. En efecto, tenemos que:

    \[xy+yz+zx=\left(\frac{2x+y+z}{2}\right)^2-\left(\frac{y-z}{2}\right)^2-x^2,\]

en donde

    \begin{align*}(x,y,z)&\mapsto \frac{2x+y+z}{2},\\(x,y,z) &\mapsto \frac{y-z}{2}\quad \text{ y }\\(x,y,z)&\mapsto x\end{align*}


son formas lineales linealmente independientes.

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Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que las formas cuadráticas de los ejemplos del teorema de polarización en efecto son formas cuadráticas.
  • Muestra que q(x,y)=3x^2-y^2+7y no es una forma cuadrática.
  • Muestra que si \alpha_1,\ldots, \alpha_r son reales y tomamos formas lineales l_1,\ldots,l_r en \mathbb{R}^n, entonces

        \[q(x)=a_1l_1(x)^2+\ldots+\alpha_r l_r(x)^2\]

    es una forma cuadrática.
  • ¿Quién es la forma polar de la forma cuadrática Q(f)=\int_{0}^1 f^2(x)\, dx en el espacio vectorial de funciones continuas en el intervalo [0,1]?

Una demostración algorítmica del teorema de Gauss se puede encontrar en la Sección 10.1 del libro de Álgebra Lineal de Titu Andreescu.

Más adelante…

En esta entrada estudiamos a fondo la identidad de polarización; esto nos permitió concluir que existe una biyección entre las funciones bilineales simétricas y las fromas cuadráticas. También, pusimos mucho énfasis en ejemplos concretos de esta biyección.

Con esto estamos listos para empezar a pensar en cómo haríamos geometría o cálculo en espacios vectorias. Abordaremos estos temas al final de esta unidad. En la siguiente entrada hablaremos del producto interior.

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