Introducción
Las funciones continuas son bonitas pues tienen la propiedad del valor intermedio y además alcanzan sus valores extremos. Las funciones diferenciables en un intervalo también tienen un par de teoremas que hablan acerca de algo que sucede «dentro del intervalo». Estos son el teorema de Rolle, del cual platicamos en la entrada anterior, y el teorema del valor medio. Ambos nos permiten encontrar en el intervalo un punto en el que la derivada tiene un valor específico.
Teorema de Rolle. Sean reales y
una función continua en el intervalo
y diferenciable en el intervalo
. Supongamos que
. Entonces existe un punto
tal que
.
Teorema del valor medio. Sean reales y
una función continua en el intervalo
y diferenciable en el intervalo
. Entonces existe un punto
tal que
En la entrada anterior vimos aplicaciones del teorema de Rolle a resolución de problemas matemáticos. En esta entrada hablaremos brevemente de la intuición geométrica del teorema del valor medio, de algunas de sus consecuencias inmediatas y de cómo usar al teorema y sus consecuencias para resolver problemas concretos.
La intuición geométrica del teorema del valor medio
El teorema del valor medio dice que una función diferenciable en y continua en
cumple que hay un punto
tal que el valor de la derivada en
es igual a la pendiente de la recta que une los puntos del plano
y
. En la siguiente figura, se marca en azul el punto
en donde la pendiente de la tangente es lo que queremos, es decir, la pendiente entre los puntos rojos.

En varios problemas en los que se usa el teorema del valor medio, o bien en los cuales se pide demostrar enunciados parecidos a lo que dice el teorema del valor medio, es conveniente hacer una figura para entender la intuición geométrica del problema.
Consecuencias del teorema del valor medio
Si y
son funciones continuas en
y diferenciables en
entonces se pueden deducir los siguientes resultados a partir del teorema del valor medio. No profundizamos en las demostraciones, y dejamos su verificación como un ejercicio de práctica.
Proposición. Si para toda
en
, entonces
es constante.
Proposición. Si para toda
en
, entonces existe una constante
tal que
para toda
.
Proposición. Si para toda
en
, entonces
es una función estrictamente creciente. Si
en
, entonces
es una función estrictamente decreciente.
Cuando y
, tenemos resultados análogos que dicen que es no decreciente y no creciente, respectivamente.
Veamos algunas aplicaciones de los resultados anteriores.
Problema. Sean y
funciones tales que para todo par de reales
y
se cumple que


Sugerencia pre-solución. Identifica cuál de las proposiciones anteriores puedes usar. Hay que tener cuidado con las hipótesis, pues en el enunciado no se habla de la diferenciabilidad de ninguna de las funciones involucradas.
Solución. Podría ser tentador usar la segunda proposición que enunciamos arriba, pero no tenemos hipótesis acerca de la diferenciabilidad de o de
. Sin embargo, vamos a mostrar que sí se puede mostrar que
es diferenciable en todo real, y que su derivada es
en todo real. Para ello, definamos
y notemos que la hipótesis dice que
A partir de aquí, notemos que por la hipótesis, para ,











Veamos cómo el teorema del valor medio nos puede ayudar a demostrar desigualdades.
Problema. Sea una función dos veces diferenciable tal que
para todo
. Demuestra que para todo par de reales
y
con
se tiene que
Sugerencia pre-solución. Haz una figura para convencerte de que el resultado es cierto. En el enunciado del problema, la función está siendo enunciada en tres valores, ,
y
. Esto te dará una pista de dónde usar el teorema del valor medio.
Solución. Por el teorema del valor medio, existe un real en el intervalo
para el cual
De manera similar, existe un real en el intervalo
para el cual
Como para todo real
, tenemos que
es una función creciente, y como
, tenemos entonces que
. De esta forma,

Problemas resueltos con el teorema del valor medio y otras técnicas
Veamos algunos problemas que combinan el teorema del valor medio con otras técnicas de solución de problemas.
Problema. Sea una función diferenciable en
y continua en
con
y
. Muestra que existen puntos distintos
en el intervalo
tales que
Sugerencia pre-solución. Para resolver el problema, hay que combinar el teorema del valor medio con el teorema del valor intermedio. El primer paso del problema es encontrar reales tales que
valga en ellos
,
y
.
Solución. Como ,
y
, por el teorema del valor intermedio existe un real
en
tal que
. De manera similar, existe un real
en
tal que
y un real
en
tal que
.
Aplicando el teorema del valor medio a los intervalos ,
,
y
obtenemos reales
respectivamente tales que
Estos son los valores de que queremos pues
Problema. Sean ,
y
números distintos. Muestra que la siguiente expresión

Sugerencia pre-solución. Encuentra la derivada de la expresión. Puedes aprovechar la simetría para hacer menos cuentas.
Solución. Usando la regla del producto, la derivada del primer sumando es
Por simetría, las derivadas de los otros dos términos tienen el mismo denominador que esta y en el numerador tienen, respectivamente,
Hay otro argumento para resolver el problema anterior, que usa teoría de polinomios. A grandes rasgos, la expresión es un polinomio de grado , que toma tres veces el valor
, de modo que debe ser igual al polinomio constante
.
Más problemas
Hay más ejemplos de problemas relacionados con el teorema del valor medio en la Sección 6.6 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.