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Álgebra Superior II: Problemas de operaciones con polinomios

Introducción

En una entrada anterior ya construimos el anillo de polinomios con coeficientes reales. Para hacer esto, tomamos las sucesiones que consisten casi de puros ceros, después les definimos las operaciones de suma y producto. Ahora practicaremos estos nuevos conceptos, resolviendo algunos problemas de operaciones con polinomios.

Problema de suma de polinomios

Comenzamos con un ejemplo de suma de polinomios del libro de Álgebra Superior de Bravo, Rincón y Rincón.

Ejercicio 399. Haz la suma de los siguientes polinomios:
\begin{align*}
p(x)&=(-85,0,-37,-35, 97, 50, \overline{0})\\
q(x)&=(56,49,0,57,\overline{0}).
\end{align*}

En el video se hace la suma de dos formas distintas. Primero, se hace la suma directamente de la definición, es decir, sumando los polinomios entrada a entrada como sucesiones. Después, se hace la suma en la notación de $x$ y potencias, que tal vez conozcas mejor.

Es importante entender que la notación de sucesiones sirve para establecer los fundamentos de los polinomios, pero no es práctica para hacer operaciones con polinomios concretas. Dependiendo del tipo de problema que se quiere resolver, a veces hay que usar una notación u otra.

Suma de polinomios

Problemas de producto de polinomios

A continuación se resuelven dos ejercicios de producto de polinomios.

Ejercicio. Multiplicar los polinomios $(2,0,3,\overline{0})$ y $(0,1,\overline{0})$.

En el video se hace la multiplicación usando directamente la definición, paso a paso. Sin embargo, los pasos para realizar la multiplicación se pueden realizar en una tabla, como la que usamos en entradas anteriores. Después del video ponemos la tabla correspondiente a la multiplicación.

Para hacer la multiplicación con una tabla, ponemos a las entradas del primer polinomio en la primer fila de una tabla, y a las del segundo polinomio en la primer columna de la tabla. Luego, hacemos las multiplicaciones «en cada casilla» como sigue:

$2$$0$$3$
$0$$0$$0$$0$
$1$$2$$0$$3$

De aquí, se puede leer el producto «por diagonales». La primer diagonal es $0$, la segunda $2+0=2$, la tercera $0+0=0$ y la cuarta $3$. Concluimos que el polinomio es $$(0,2,0,3,\overline{0}).$$

Veamos un ejemplo más, usando la notación de $x$ y sus potencias.

Ejercicio. Encuentra el producto de polinomios $(1+3x)(1-2x+3x^2)$.

Problema de división de polinomios

Finalmente, hacemos un ejemplo de división de polinomios. La técnica que se hace en el video es la de «dividir con casita», que es una forma visual de representar el algoritmo de la división para polinomios. Hablaremos un poco más adelante de este algoritmo, y de por qué siempre nos da un residuo cero o de grado menor.

Cuando se hace la «división con casita», hay que recordar dejar los espacios correspondientes a los términos que tengan coeficiente $0$.

Ejercicio. Divide el polinomio $x^5+x^3+3x$ entre el polinomio $x^2-x+1$.

División de polinomios

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  • Realiza la suma $(-10,0,3,-4,1,\overline{0})+(14,0,0,0,-5,0,3,\overline{0})$.
  • Realiza el producto $(-1,1,\overline{0})(1,1,1,1,\overline{0})$.
  • Realiza el producto $(x^3+4x^2-3)(2x^2+x-3)$.
  • Realiza la división $(x^5+3x^4+x^3+5x^2-5x+1)/(x^2+3x-1)$.
  • Realiza la división $(x^4+2x^3+2x^2+11x)/(x^2+3)$.

Más adelante

Aunque esta entrada la dedicamos para que pudieras practicar tus habilidades operando polinomios, te recomendamos seguir practicando, ya que estas operaciones serán la base de la teoría. A partir de aquí veremos los teoremas importantes sobre los polinomios.

Entradas relacionadas

Seminario de Resolución de Problemas: Factorización de polinomios

Introducción

En la entradas anteriores se trataron algunos temas de identidades algebraicas y se profundizó en el binomio de Newton y la identidad de Gauss. En esta y la siguiente entrada hablaremos de polinomios. Por ahora, comenzaremos recordando las nociones básicas de la aritmética de polinomios y hablando un poco de la factorización de polinomios. Más adelante hablaremos del poderoso teorema de la identidad.

Recordatorio de polinomios

Tenemos que un polinomio de grado $n$, donde $n$ es un número entero no negativo, es una expresión algebraica de la forma

\begin{equation*}
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0.
\end{equation*}

Dicha expresión también podemos denotarla como

\begin{equation*}
P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0,
\end{equation*}

en donde $a_n$ es distinto de $0$.

Los elementos $\right\{a_n, a_{n-1}, … , a_0\left\}$ se conocen como coeficientes. Si $a_n=1$, decimos que el polinomio es mónico.

Nota: El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros, se le conoce como el polinomio cero y no tiene grado.

Si dos polinomios son idénticos coeficiente por coeficiente, decimos que dichos polinomios son iguales. Esta noción será de utilidad más adelante en la entrada del teorema de la identidad.

Si todos los coeficientes de un polinomio son enteros, decimos que es un polinomio sobre los enteros. Si los coeficientes son números reales, entonces es un polinomio sobre los reales. De manera similar definimos a los polinomios sobre los racionales, los complejos o incluso sobre $\mathbb{Z}_n$. Aunque parezca irrelevante, conocer las características de los coeficientes de un polinomio, nos da mucha información sobre su constitución. Hay resultados que, por ejemplo, se valen para los polinomios sobre los complejos, pero no para los polinomios sobre los reales.

Otra cosa que es de nuestro interés son las operaciones en los polinomios, y es que al igual que los números enteros, podemos sumar, multiplicar y dividir polinomios.

Algoritmo de la división para polinomios

Para los polinomios, al igual que en los números enteros, existe un algoritmo de la división. Este nos ayudará posteriormente para cuando queramos hacer factorización en polinomios.

Teorema. Sean los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ definidos sobre un campo $\mathbb{K}$ con $Q(x)$ distinto de cero. Entonces existen dos únicos polinomios $C(x)$ y $R(x)$ tales que

\begin{equation*}
P(x)=C(x)Q(x)+R(x),
\end{equation*}

donde $C(x)$ y $R(x)$ son el coeficiente y el residuo respectivamente, resultado de dividir $P(x)$ entre $Q(x)$, y se tiene que $R(x)$ es el polinomio $0$ o bien tiene grado menor o igual al grado de $C(x)$.

Ejemplo. Dados los polinomios $P(x)=x^2-3x-28$ y $Q(x)=x-5$, tenemos que $C(x)=x+2$ y $R(x)=-18$.

En efecto,

\begin{equation*}
x^2-3x-28=(x+2)(x-5)-18.
\end{equation*}

$\square$

Algoritmo de Euclides para polinomios

Al igual que en los enteros, el algoritmo de la división es de ayuda para determinar el máximo común divisor entre dos polinomios: simplemente seguimos los pasos del algoritmo de Euclides. Es por ello que tenemos el siguiente resultado.

Teorema. Si tenemos dos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ sobre un campo $\mathbb{K}$, tenemos que existen polinomios $S(x)$ y $T(x)$ tales que

\begin{equation*}
\MCD{P, Q}= PS+QT.
\end{equation*}

Aquí $\MCD{P, Q}$ es el máximo común divisor de $P(x)$ y $Q(x)$.

Otra forma de ver o de entender el máximo común divisor entre dos polinomios es como el producto de todos aquellos factores que tienen en común.

Problema: Encuentra polinomios $F(x)$ y $G(x)$ tales que

\begin{equation*}
(x^8-1)F(x)+(x^5-1)G(x)=x-1.
\end{equation}

Sugerencia pre-solución. Recuerda cómo encontrar el máximo común divisor de dos enteros usando el algoritmo de Euclides. Además, usa una factorización para cancelar el factor $x-1$ de la derecha.

Solución. Definamos

\begin{align*}
A(x)&=x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\
B(x)&=x^4+x^3+x^2+x+1.
\end{align*}

Notemos que la ecuación es equivalente a

\begin{equation*}
A(x)F(x)+B(x)G(x)=1.
\end{equation}

Tendría que suceder entonces que $A(x)$ y $B(x)$ sean primos relativos.

Aplicando el algoritmo de la división repetidamente, tenemos lo siguiente:

\begin{align*}
A(x)&=x^3B(x)+(x^2+x+1)\\
B(x)&=x^2(x^2+x+1)+(x+1)\\
x^2+x+1&=x(x+1)+1.
\end{align*}

Esto muestra que $A(x)$ y $B(x)$ son primos relativos, así que la combinación lineal que buscamos debe existir. Para encontrarla de manera explícita, invertimos los pasos. Trabajando hacia atrás, tenemos que

\begin{equation*}
\begin{split}
1 & =(x^2+x+1)-x(x+1)\\
& =(x^2+x+1)-x(B(x)-x^2(x^2+x+1))\\
& =(x^2+x+1)(x^3+1)-xB(x)\\
& =(x^3+1)(A(x)-x^3(B(x))-xB(x)\\
& =(x^3+1)A(x)-x^3(x^3+1)B(x)-xB(x)\\
& =(x^3+1)A(x)+(-x^6-x^3-x)B(x)
\end{split}
\end{equation*}

Así que podemos tomar a $F(x)=x^3+1$ y $G(x)=-x^6-x^3-x$.

$\square$

El teorema del factor

Sea $P(x)$ un polinomio sobre un dominio entero $D$. Decimos que un elemento $a$ de $D$ es raíz del polinomio $P(x)$ si $P(a)=0$. Si aplicamos el algoritmo de la división en los polinomios $P(x)$ y $x-a$ obtenemos el siguiente teorema, que es fundamental en la factorización de polinomios.

Teorema El elemento $a$ es raíz de $P(x)$ si y solo si $(x-a)$ es factor de $P(x)$.

Veamos cómo aplicar este teorema en un ejemplo concreto.

Problema. Dado $\omega=\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$, prueba que

\begin{equation*}
x^{n-1}+\ldots+x+1=(x-\omega)(x-\omega^2)\cdot\ldots\cdot(x-\omega^{n-1}).
\end{equation*}

Sugerencia pre-solución. Recuerda los resultados básicos de aritmética de los números complejos.

Solución. Por De Moivre tenemos que si

\begin{equation*}
\omega=\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)=e^{\frac{2\pi i}{n}}
\end{equation*}

entonces $ \{1, \omega, \omega^2,…,\omega^{n-1}\}$ son raíces de $x^n-1=0$. Además, como $e^{\pi i}=-1$, tenemos que $\omega^n=1$.

Así, tenemos que $\omega^{n+1}=\omega$ y de manera general $\omega^{n+k}=\omega^k$.

Por otro lado,

\begin{equation*}
x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+\ldots+x+1)
\end{equation*}

Y como $ \{1, \omega, \omega^2,\ldots,\omega^{n-1}\}$ son raíces de $x^n-1$, tenemos entonces que $\{\omega, \omega^2,\ldots,\omega^{n-1}\}$ deben de ser las raíces de $$x^{n-1}+\ldots+x+1.$$

Aplicando repetidamente el teorema del factor, tenemos que

\begin{equation*}
x^{n-1}+\ldots+x+1=(x-\omega)(x-\omega^2)\cdot\ldots\cdot(x-\omega^{n-1}).
\end{equation*}

$\square$

Un problema para números algebraicos

Un número real es algebraico si es raíz de un polinomio sobre los números enteros.

Problema. Prueba que $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ es un número algebraico.

Sugerencia pre-solución. Realiza operaciones de suma, resta y producto con $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ y con enteros. Ve si puedes encontrar un patrón de cómo se comportan.

Solución. Tenemos que encontrar un polinomio $P(x)$ sobre los número enteros de tal forma que $P(\sqrt{2}+\sqrt{3})=0$.

Si consideramos $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$, entonces $x^2=5+2\sqrt{6}$

Para $P(x)=x^2-5$, tenemos que $P(\sqrt{2}+\sqrt{3})=2\sqrt{6}$

Así,

\begin{equation*}
(P(\sqrt{2}+\sqrt{3}))^2=(2\sqrt{6})^2=144.
\end{equation*}

Ahora, si consideramos el polinomio

\begin{equation*}
Q(x)=(P(x))^2-144.
\end{equation*}

Tenemos que

\begin{equation*}
Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})=(P(\sqrt{2}+\sqrt{3}))^2-144=0.
\end{equation*}

Por lo tanto como el polinomio $Q(x)=x^4-10x^2-119$ es un polinomio sobre los enteros, y como $Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})=0$ concluimos que $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ es un número algebraico.

$\square$

Más problemas

Puedes encontrar más problemas de aritmética y factorización de polinomios en la Sección 4.2 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Álgebra Superior II: Sistemas de ecuaciones lineales complejos

Introducción

En la entrada anterior comenzamos a hablar acerca de resolver, en los complejos, ecuaciones de distintos tipos. Además, profundizamos en cómo resolver las ecuaciones cuadráticas complejas. En esta entrada platicaremos acerca de los sistemas de ecuaciones lineales complejos.

Resolveremos a detalle el caso de dos variables y dos ecuaciones. Después, hablaremos un poco acerca de sistemas de ecuaciones con más variables. Un estudio cuidadoso de los sistemas de ecuaciones lineales con más variables se hace en los cursos de álgebra lineal. Un muy buen texto para aprender estos temas es el libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

Sistemas de ecuaciones lineales complejos con dos incógnitas

Si $a,b$ son elementos de $\mathbb{C}$ y $a\neq 0$, la ecuación lineal $$ax=b$$ tiene una única solución, dada por $x=\frac{b}{a}$, la cual está bien definida pues todo complejo distinto de $0$ tiene inverso multiplicativo.

Si tenemos los números complejos $a,b,c,d,e$ y $f$, el sistema de ecuaciones lineales en los complejos

\begin{align*}
ax+by &= c\\
dx+ey&=f
\end{align*}

puede comportarse de tres formas distintas:

  • Su solución existe y es única.
  • Tiene una infinidad de soluciones.
  • No tiene solución.

Si tiene al menos soluciones distintas, tenemos entonces que tiene una infinidad. Cuando la solución del sistema es única, el sistema se puede resolver por los métodos básicos con los que se resuelve un sistema en $\mathbb{R}$:

  • Por substitución: de la primera ecuación se despeja la variable $x$ y su valor se pone en la segunda ecuación. De ahí, obtenemos una ecuación en $y$. Se despeja $y$ para obtener su valor y con ello se obtiene el valor de $x$.
  • Igualando coeficientes: multiplicamos la primer ecuación por $d$ y la segunda por $-a$. Al sumar ambas ecuaciones resultantes, queda una ecuación lineal en $y$.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales complejos

Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema
\begin{align*}
2x+iy&= 3+4i\\
ix+5y&= 9 – 4i.
\end{align*}

Solución. Para empezar, multiplicamos la segunda ecuación por $2i$, de donde obtenemos el sistema
\begin{align*}
2x+iy&= 3+4i\\
-2x+10iy&=8+18i.
\end{align*}

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos que $11iy=11+22i$. Multiplicando por $-\frac{i}{11}$ de ambos lados, obtenemos $$y=2-i.$$

Substituyendo en la segunda ecuación, notamos que $$2x=3+4i-i(2-i)=2+2i,$$ de donde $x=1+i$. De aquí, la única solución puede ser $x=1+i$ y $y=2-i$, que se puede verificar que en efecto satisfacen la ecuación.

$\square$

Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema
\begin{align*}
(3+2i)x+iy&= 3+3i\\
(-4+6i)x-2y&= -6 + 6i.
\end{align*}

Solución. Multiplicando la primer ecuación por $2i$ obtenemos que es equivalente a la ecuación $$(-4i+6i)x-2y=-6+6i,$$ es decir, ambas ecuaciones difieren sólo por un factor $2i$, así que son la misma. Si elegimos cualquier valor de $y$, podemos encontrar un valor de $x$ que cumpla con la ecuación. Por ejemplo, tomando $y=1$, de la ecuación obtenemos que $x=1$. Así, esta ecuación tiene una infinidad de soluciones, dadas por elegir un $y$ y definir $x=\frac{3+3i-iy}{3+2i}.$

$\square$

Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema
\begin{align*}
(1+2i)x+(-2+i)y&= 3+6i\\
3x+3iy&= 8.
\end{align*}

Solución. Supongamos que existe alguna solución para $x$ y $y$. Multipliquemos la primer ecuación por $3$ y la segunda por $1+2i$. Obtenemos que
\begin{align*}
(3+6i)x+(-6+3i)y&= 9+18i\\
(3+6i)x+(-6+3i)y&= 8+16i.
\end{align*}

De aquí, $9+18i=8+16i$, lo cual es una contradicción. Así, esta ecuación no tiene soluciones.

$\square$

Método del determinante

Un método más general para resolver sistemas de ecuaciones lineales complejos con dos incógnitas, que nos dice todo lo que puede suceder, es el siguiente. De hecho, exactamente el mismo teorema funciona para $\mathbb{R}$.

Teorema. Sean $a,b,c,d,e$ y $f$ en $\mathbb{C}$. Para el sistema \begin{align*}
ax+by &= c\\
dx+ey&=f
\end{align*}

definimos a su determinante como el número complejo $ae-bd$. Entonces:

  • Si el determinante es distinto de $0$, el sistema tiene una solución única para $x$ y $y$ dada por
    \begin{align*}
    x&=\frac{ce-bf}{ae-bd}\\
    y&=\frac{af-cd}{ae-bd}.
    \end{align*}
  • Si el determinante es $0$, entonces el sistema no tiene solución, o tiene una infinidad.

Demostración. Cuando el determinante no es $0$, resolvemos el sistema por igualación de coeficientes. Multiplicando la primer ecuación por $-d$, la segunda por $a$ y sumando, obtenemos que $$(ae-bd)y=af-cd.$$ Como el determinante no es cero, $$y=\frac{af-cd}{ae-bd}.$$ Así mismo, multiplicando la primer ecuación por $e$, la segunda por $-b$ y sumando, obtenemos de manera análoga que $$x=\frac{ce-bf}{ae-bd}.$$ Así, si existe una solución, debe tener estos valores. Queda como tarea moral verificar que estos valores cumplen.

Cuando el determinante es $0$, tenemos que $ae=bd$. Si $a=b=e=d=0$, para que exista una solución se necesita forzosamente que $c=f=0$, y de hecho en este caso cualquier pareja $x,y$ funciona. Si en este caso alguno de $c$ o $f$ no es $0$, el sistema no tiene solución.

Así, continuando el análisis podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a\neq 0$. De este modo, $e=\frac{bd}{a}$, por lo que la segunda ecuación es equivalente a $$dx+\frac{bd}{a}y=f,$$ que es $adx+bdy=af$.

Si $d=0$, tenemos, de la ecuación anterior, que $af=0$ y del determinante que $ae=bd=0$. Como $a\neq 0$, se necesita que $e=f=0$, de modo que en realidad sólo tenemos una ecuación, la primera. Como $a\neq 0$, podemos elegir cualquier valor de $y$ y de ahí despejar el valor de $x$, obteniendo una infinidad de soluciones.

Si $d\neq 0$, entonces la ecuación $adx+bdy=af$ es equivalente a la ecuación $ax+by=\frac{af}{d}$. La primer ecuación y esta implican que si hay solución, entonces $\frac{af}{d}=c$. De ser así ,sólo tenemos una ecuación, pero repetida. Por el mismo argumento de arriba, hay una infinidad de soluciones.

$\square$

Sistemas de ecuaciones lineales complejos con más incógnitas

Los sistemas lineales complejos con más incógnitas se pueden resolver con las mismas técnicas que aquellos en los reales. En cursos como álgebra lineal verás cómo resolver un sistema lineal en general y cómo saber cómo se ven todas sus soluciones. Sin embargo, puedes aprovechar lo que ya sabes del álgebra de los complejos para resolver distintos sistemas lineales.

Problema. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

\begin{align*}
3a+(2+i)b+(1+2i)c&=1+i\\
3b+(2+i)c&=2+2i\\
3c&=3+3i.
\end{align*}

Solución. Resolvemos el sistema por substitución. Nos conviene empezar con la tercer ecuación, que tiene únicamente una variable. De ella obtenemos que $c=1+i$. Substituyendo en la segunda ecuación, obtenemos que $$3b+(2+i)(1+i)=2+2i,$$ de donde $$3b+1+3i=2+2i,$$ así que $$3b=1-i,$$ entonces $$b=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.$$

Con los valores de $b$ y $c$ podemos substituir en la primer ecuación. Notando que
\begin{align*}
(2+i)\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)=1-\frac{1}{3}i\\
(1+2i)(1+i)=-1+3i\\
(1+i)-\left(1-\frac{1}{3}i\right)-(-1+3i)=1-\frac{5}{3}i,
\end{align*}

obtenemos que $$a=\frac{1}{3}-\frac{5}{9}i.$$

En resumen,
\begin{align*}
a&=\frac{1}{3}-\frac{5}{9}i\\
b&=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\\
c&=1+i
\end{align*}

es la única posible solución, y se puede mostrar que en efecto satisface las tres ecuaciones.

$\square$

Problema. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

\begin{align*}
(1+5i)a+b+c+d+e&=2\\
a+(1+5i)b+c+d+e&=2\\
a+b+(1+5i)c+d+e&=2\\
a+b+c+(1+5i)d+e&=2\\
a+b+c+d+(1+5i)e&=2.
\end{align*}

Solución. Sumando todas las ecuaciones, tenemos que $$(5+5i)(a+b+c+d+e)=10,$$ de donde obtenemos que
\begin{align*}
a+b+c+d+e&=\frac{2}{1+i}\\
&=1-i.
\end{align*}

De la primera ecuación, obtenemos que \begin{align*}2&=(a+b+c+d+e)+5ia\\&=1-i+5ia,\end{align*} por lo que $$a=\frac{1+i}{5i}=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}i.$$ Por simetría, el resto de las variables también tiene este valor, de modo que $$a=b=c=d=e= \frac{1}{5}-\frac{1}{5}i$$ es la única solución.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  • Verifica que las soluciones de los ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales complejos de dos variables en efecto son soluciones.
  • Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones \begin{align*}2x+(1+i)y &= 4\\ (5-i)x+(3+2i)y &=0.\end{align*}
  • En el teorema del método del determinante, cuando el determinante no es cero, encontramos una solución. Verifica que en efecto satisface el sistema original.
  • Verifica que las soluciones de los ejemplos en varias variables en efecto satisfacen el sistema original.
  • Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones \begin{align*} x+(1+i)y &= 4\\ y+(2+i)z &= 5\\ z + (3+i)x &= 6.\end{align*}