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Álgebra Moderna I: Lemas previos al teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Introducción

Como dijimos en la primera entrada de esta unidad, uno de los temas a los que queremos llegar es el Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos, para poder demostrar el teorema necesitamos los siguientes lemas. Los enumeramos para que sea más sencillo identificarlos.

El primer lema nos dice que si tomamos un elemento de orden máximo $g$ en $G$ y un $p$-subgrupo, tal que $\left< g\right>$ no es un subgrupo de $G$ y luego tomamos un elemento de orden mínimo $h$ en $G\setminus\left< g\right>$ el orden de $h$ es $p$.

El segundo lema nos dice que si tenemos un elemento de orden máximo $g$ en $G$, podemos ver a $G$ como el producto directo interno del generado de $g$ y un $H$ subgrupo de $G$.

El tercer lema nos dice que cualquier $p$-subgrupo abeliano es producto directo interno de grupos cíclicos.

En esta entrada enunciamos y probamos los primeros dos lemas importantes, el tercero está en la siguiente entrada.

El orden de un elemento mínimo

Lema 1. Sean $p\in\z^+$ un primo y $G$ un $p$-grupo abeliano. Sea $g\in G$ un elemento de orden máximo. Si $\left<g\right> \lneq G$ y $h$ es un elemento de orden mínimo en $G\setminus \left<g\right>$, entonces $o(h)=p$ y $\left< g\right> \cap \left< h\right> = \{e\}$.

Demostración.
Sean $p\in \z^+$ primo, $G$ un $p$-grupo abeliano.

Por la definición de $p$-grupo $|G| = p^n$ para algún $n\in \n$.

Sea $g\in G$ de orden máximo. Como $|G|=p^n$, sabemos que $o(g)\Big| |G| = p^n$ y así $o(g) = p^m$ con $m\leq n$.

Observemos que
\begin{align}\label{eq:uno}
a^{pm} = e \text{ para toda } a\in G,
\end{align}
ya que para toda $a\in G$, $o(a)=p^l$ con $l\leq m$ (debido a que $o(g)=p^m$ es máximo).

Supongamos que $\left< g \right> \lneq G$. Consideremos un elemento $h$ de orden mínimo en $G\setminus \left< g \right>$.

Veamos primero que $o(h)=p$.

Sabemos que $o(h) = p^t$ para alguna $t\leq n$.

Sabemos que $o(h^p) = p^{t-1} < p^t = o(h)$. Así, por la elección de $h$, $h^p\in\left< g \right>$. Tenemos que
\begin{align}\label{eq:dos}
h^{p} = g^s \text{ para algún } s\in N.
\end{align}

Entonces $(g^s)^{p^{m-1}} = (h^p)^{p^{m-1}} = h^{p^m} = e$ por (\ref{eq:uno}). Así
\begin{align}\label{eq:tres}
o(g^s) < p^m \text{ y } g^s \text{ no genera a } \left< g \right>.
\end{align}

Sabemos que $\displaystyle o(g^s) = \frac{o(g)}{(s,o(g))}$. Si $p$ no divide a $s$, como $o(g)$ es una potencia de $p$ tendríamos que $(s, o(g)) = 1$ y así $o(g^s) = o(g) = p^m$ contradiciendo (\ref{eq:tres}). Así $p|s.$

Concluimos que $s = pq$ para algún $q\in\z$.

Consideremos $a = g^{-q}h$. Tenemos que
\begin{align*}\label{eq:cuatro}
a^p = g^{-pq} h^p = g^{-s} h^p &= g^{-s}g^s &\text{ por (\ref{eq:dos})} \\
& = e.
\end{align*}

Además, si $a\in \left< g \right>$ tendríamos que $h = ag^q \in\left< g\right>$ lo cual contradice la elección de $h$.

Hemos encontrado entonces un elemento $a\not\in \left< g \right>$ con $a^p = e$, y por lo tanto $a\not\in \left< g \right>$ con $o(a) = p$. Así, $h$ debe ser también de orden $p$.

Veamos ahora que $\left< g \right> \cap \left< h\right> = \{e\}$.

Sabemos que $\left<g\right>\cap\left<h\right>$ es un subgrupo de $\left<h\right>$ y $\left<h\right>$ es de orden $p$, entonces $\left<g\right>\cap \left<h\right>$ es de orden $1$ o $p$. Si $|\left<g\right>\cap \left<h\right>|= p$ tendríamos que $\left<h\right>\subseteq \left<g\right>$, de donde $h \in \left<g\right>$, lo que contradice la elección de $h$.

Concluimos que $\left<g\right>\cap \left<h\right> = \{e\}$.

$\blacksquare$

$G$ como producto de $\left< g\right>$ y un subgrupo cualquiera

Lema 2. Sean $p\in \z^+$ un primo y $G$ un $p$-grupo abeliano. Supongamos que $g\in G$ es un elemento de orden máximo. Entonces $G$ es el producto directo interno de $\left< g\right>$ y un subgrupo $H$ de $G$.

Demostración.
Sean $p\in\z^+$ primo, $G$ un $p$-grupo abeliano. Por la definición de $p$-grupo $|G| = p^n$ para algún $n\in\n$.

Demostraremos por el segundo principio de inducción.

H.I. Supongamos que para todo grupo abeliano $\tilde{G}$ con $|\tilde{G}| = p^k$ y $0\leq k < n$ se tiene que si $\tilde{g}\in \tilde{G}$ es de orden máximo, entonces $\tilde{G}$ es el producto directo interno de $\left< \tilde{g}\right>$ y un subgrupo $\tilde{H}$ de $\tilde{G}$.

Sea $g\in G$ de orden máximo. Como $|G| = p^n$, sabemos que $o(g)\Big||G| = p^n$ y así $o(g) = p^m$ con $m\leq n$.

Si $G = \left<g\right>$ no hay nada que probar.

Si $\left< g \right> \lneq G$ consideremos un elemento $h$ de orden mínimo en $G\setminus \left<g\right>.$

Por el lema 1, sabemos que $o(h) = p$ y que $\left<g\right> \cap \left<h\right> = \{e\}$. Sea $H = \left< h \right>.$

Observemos que $gH$ es un elemento de orden máximo en $G/H$ ya que por (\ref{eq:uno}), $(aH)^{p^m} = a^{p^m}H = H$ para todo $a\in G$. Además $(gH)^{o(g)} =g^{o(g)}H = H $ por lo que $o(gH) \leq o(g) = p^m$, y si $o(gH)< p^m$ tendríamos que
\begin{align*}
H = (gH)^{p^{m-1}} = g^{p^{m-1}} H
\end{align*}
y así $g^{p^{m-1}} \in \left< g \right> \cap H = \{e\}$ contradiciendo que $o(g) = p^m$.

Concluimos así que $gH$ es un elemento de orden máximo en $G/H$, con $G/H$ un $p$-grupo abeliano de orden menor que el de $G$.

Por H.I. sabemos que $G/H$ es el producto directo interno de $\left<gH \right>$ y un subgrupo $\tilde{H}$ de $G/H$.

Por el teorema de la correspondencia $\tilde{H} = K/H$ para algún $H\leq K \leq G$.

Veamos que $G$ es el producto directo interno de $\left< g\right>$ y $K$.

Si $x\in \left<g\right> \cap K$, entonces $xH\in \left<gH\right>\cap K/H = \left<gH\right> \cap \tilde{H}$ y como $G/H$ es el producto directo de $\left<gH\right>$ y $\tilde{H}$, entonces $\left<gH\right>\cap \tilde{H} = \{H\}$. Así $xH \in \{H\}$ y entonces $x\in H$.

Tenemos que $x\in \left<g\right>\cap H = \{e\}$ probando que $x = e$.

Así $\left<g\right> \cap K = \{e\}$. Por otro lado, si $y\in G$, sabemos que $yH\in G/H = \left<gH\right>\tilde{H} = \left<gH\right>K/H$. Tenemos que
\begin{align*}
yH &= (gH)^tkH \text{ para algunos } t\in\z, k\in K\\
&= g^tkH.
\end{align*}

Entonces $(g^tk)^{-1}y = \tilde{h}$ con $\tilde{h}\in H$. Así $y = g^t k \tilde{h}$. Como $H\leq K$ tenemos que $k\tilde{h} \in K$, entonces $y\in\left<g\right>K$.

Concluimos que $\left<g\right> \cap K = \{e\}$ y $\left<g\right> K = G$ por lo que $G$ es el producto directo interno de $\left<g\right>$ y $K$.

$\blacksquare$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Considera los siguientes grupos:
    • $S_4.$
    • $\z_{11}.$
    • $A_5.$
    • $Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}.$
  2. De ser $p$-subgrupos abelianos, aplica el lema 1. De no serlo, considera un $p$-subgrupo de ellos. Busca un elemento de orden máximo tal que $\left< g\right>$ no es un subgrupo de $G$ y encuentra $h$ elemento de orden mínimo tal que su orden sea $p$.
  3. De ser $p$-subgrupos abelianos, aplica el lema 2. De no serlo, considera un $p$-subgrupo de ellos. Busca un elemento de orden máximo $g$ en $G$, y describe a $G$ como el producto directo interno $\left<g\right>$ y un $H$ subgrupo de $G$.

Más adelante…

No hay mucho más que decir sobre estos lemas, su función es clara y se verá en la siguiente entrada. Como estos lemas ya están demostrados, la demostración del Teorema Fundamental de los Grupos abelianos es más directa. En la siguiente entrada enunciaremos y demostraremos el Lema 3 y por fin podremos enfrentarnos al Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos.

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Álgebra Moderna I: Producto directo interno

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Introducción

Continuamos con el estudio del producto de grupos. En la entrada anterior definimos el producto directo externo de grupos, luego vimos unas funciones naturales y definimos los subgrupos $G^*_i$. Demostramos que para un grupo $G = G_1 \times \dots \times G_n$ se cumple que:

  1. $G_i^* \unlhd G \quad \forall i\in\{1,\dots,n\}$.
  2. $\displaystyle G_i^* \cap \left( \prod_{j\neq i} G_j^*\right) = \{e_G\} \text{ para toda }i\in\{1,\dots,n\}$.
  3. $\displaystyle G = \prod_{i = 1}^n G_i^*$.

Al final, esta proposición nos dice que si $G$ es el producto directo externo de varios grupos, también lo podemos ver como producto de otros subgrupos normales que cumplen el inciso 2.

En esta entrada queremos generalizar esta idea: ahora $G$ será un grupo cualquiera, tomaremos subgrupos normales $H_i$, con $i\in \{1,\dots,n\}$ de $G$ que cumplan estas propiedades y probaremos que $G$ se puede ver como el producto de estos subgrupos.

En el producto directo externo, encontrábamos $G$ a partir de otros grupos. Ahora podremos describir a $G$ como producto de algunos de sus subgrupos normales, por eso se llama producto directo interno.

Producto de subgrupos

Comencemos definiendo nuestro nuevo producto entre subgrupos normales de $G$.

Definición. Sean $G$ un grupo, $H_1,\dots, H_n$ subgrupos de $G$. Decimos que $G$ es el producto directo interno de $H_1,\dots, H_n$ si

  1. $H_i \unlhd G$ para toda $i\in\{1,\dots, n\}$.
  2. $\displaystyle H_i\cap \left(\prod_{j\neq i} H_j\right) = \{e\}$ para toda $i\in\{1,\dots, n\}$.
  3. $\displaystyle G = \prod_{i=1}^n H_i$.

Observación 5. $G_1\times\cdots\times G_n$ es el producto directo interno de los $G_i^*$.

Observación 6. Si $G$ es el producto directo interno de $H_1,\cdots,H_n$, entonces $xy=yx$ para toda $x\in H_i, y\in H_j$ con $i\neq j$.

Demostración.
Sea $G$ producto directo de $H_1,\dots, H_n$, sean $x\in H_i, y\in H_j$, con $j\neq i$, entonces
\begin{align*}
xyx^{-1}y^{-1} = x(yx^{-1}y^{-1}) \in H_i,
\end{align*}
porque $x \in H_i$ y $yx^{-1}y^{-1}\in H_i$ pues $H_i \unlhd G$.

Por otro lado,
\begin{align*}
xyx^{-1}y^{-1} = (xyx^{-1})y^{-1} \in H_j,
\end{align*}
pues, análogamente, $xyx^{-1} \in H_j$ pues $H_j\unlhd G$ y $y^{-1} \in H_j.$

Así $\displaystyle xyx^{-1}y^{-1} \in (H_i \cap H_j) \subseteq \left( H_i\cap \prod_{k\neq i} H_k\right) = \{e\}$. Entonces $xyx^{-1}y^{-1} = e$.

Por lo tanto $xy = yx$.

$\blacksquare$

Ejemplo. Sea $G = \left< a \right>$ con $o(a) = 12$. Busquemos $H_1, \dots, H_n$ para alguna $n\in \n$ tales que $G$ sea el producto directo interno de estos $H$s.

Sean $H_1 = \left< a^3\right>, H_2 = \left< a^4\right>$. Como $G$ es abeliano, $H_1\unlhd G, H_2 \unlhd G$. Además
\begin{align*}
H_1\cap H_2 = \{e,a^3,a^6, a^9\} \cap \{e, a^4, a^8\} = \{e\}.
\end{align*}

Como
\begin{align*}
a = ae = a a^{12} = a^{13} = a^9a^4 \in H_1H_2
\end{align*}
y así $G = \left< a \right> \subseteq H_1H_2 \subseteq G$. Como claramente $H_1H_2\subseteq G$, entonces $G=H_1H_2$.

Por lo tanto $G$ es el producto directo interno de $H_1$ y $H_2$.

Observación 7. Sean $G$ un grupo, $H_1,\dots, H_n$ subgrupos de $G$. Si $G$ es el producto directo interno de $H_1,\dots, H_n$, entonces
\begin{align*}
\varphi : H_1\times \cdots \times H_n \to G
\end{align*}
con $\varphi(h_1,\dots,h_n) = h_1\cdots h_n$ para toda $(h_1,\dots,h_n) \in H_1\times\cdots\times H_n$ es un isomorfismo.

Es consecuencia, si $G$ es finito tenemos que $|G| = |H_1|\cdots|H_n|$.

Descomposición de $G$ en $p$-subgrupos

Algunos subgrupos importantes que vimos son los $p$-subgrupos de Sylow, para $p$ primo. Ahora los usaremos junto con el Producto directo interno para describir a $G$ como el producto de sus $p$-subgrupos de Sylow, esto nos recuerda mucho al Teorema Fundamental de la Aritmética.

Teorema. Sea $G$ un grupo finito con $p_1,\dots, p_t$ los distintos factores primos del orden de $G$ y $P_1, \dots, P_t$ subgrupos de Sylow de $G$ asociados a $p_1,\dots,p_t$ respectivamente. Si $P_i\unlhd G$ para toda $i\in\{1,\dots, t\}$, entonces $G$ es el producto directo interno de $P_1,\dots, P_t$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo finito de orden $n$. Sean $p_1,\dots, p_t$ los distintos factores primos de $n$ y $P_1,\dots, P_t$ subgrupos de $G$ con $P_i$ un $p_i$-subgrupo de Sylow de $G$ con $P_i \unlhd G$ para toda $i\in \{1,\dots, t\}$.

Veamos que para todo $S\subseteq \{1,\dots, t\}$, $\displaystyle \prod_{j\in S} P_j$ es un producto directo interno por inducción sobre $\# S$.

Caso Base. Supongamos que $\# S = 1$,
$S = \{i\} \subseteq \{1,\dots, t\}$ y $P_i$ es el producto directo interno de $P_i$.

H.I. Supongamos que si $T\subseteq \{1,\dots, t\}$ con $\# T < \# S$, entonces $\displaystyle \prod_{j\in T} P_j$ es un producto directo interno.

Sea $\displaystyle H = \prod_{j\in S}P_j$. Veamos que $H$ es el producto directo interno de los $P_j$ con $j\in S$.

Por hipótesis se cumplen las condiciones $1$ y $3$ de la definición de producto directo interno. Veamos que se cumple $2$.

Sean $i\in S$, $\displaystyle x\in P_i\cap \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} P_j$.

Como $x\in P_i$, entonces $o(x) \Big| |P_i|$.

Como $\displaystyle x\in \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} P_j$, entonces el orden de $x$ divide al orden del producto: $\displaystyle o(x) \Big| \left|\prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} P_j\right| = \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} |P_j|$ donde la última igualdad se debe a que $\displaystyle \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} P_j$ es un producto directo interno por H.I. y por la observación 7.

Pero $|P_i| = p_i^{\alpha_i}$, $\displaystyle \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} |P_j| = \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} P_j^{\alpha_j}$ con $\alpha_j\in \n^+$ para toda $j\in S$, entonces son primos relativos. Así $o(x) = 1$. Por lo que $\displaystyle x\in P_i \cap \prod_{\substack{j\in S\\ j\neq i}} P_j = \{e\}$.

Hemos probado entonces que $\displaystyle \prod_{\substack{j\in S}} P_j$ es un producto directo interno para toda $S\subseteq \{1,\dots,t\}$. En particular para $S = \{1,\dots, t\}$ tenemos que $\displaystyle \prod_{j = 1}^t P_j$ es un producto directo interno. Por la observación 7,
\begin{align*}
\left| \prod_{j = 1}^t P_j \right| = \prod_{j=1}^t |P_j| = n = |G|
\end{align*}
ya que $P_1,\dots,P_t$ son subgrupos de Sylow asociados a los distintos factores primos de $G$.

Como $\displaystyle \prod_{j=1}^t P_j$ es un subgrupo de $G$ de orden $|G|$ tenemos que $\displaystyle G = \prod_{j=1}^t P_j$.

Por lo tanto $G$ es el producto directo interno de $P_1,\dots, P_t$.

$\blacksquare$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Demuestra las observaciones 5 y 7.
    • $G_1\times\cdots\times G_n$ es el producto directo interno de los $G_i^*$.
    • Sean $G$ un grupo, $H_1,\dots, H_n$ subgrupos de $G$. Si $G$ es el producto directo interno de $H_1,\dots, H_n$, entonces
      \begin{align*}
      \varphi : H_1\times \cdots \times H_n \to G
      \end{align*}
      con $\varphi(h_1,\dots,h_n) = h_1\cdots h_n$ para toda $(h_1,\dots,h_n) \in H_1\times\cdots\times H_n$ es un isomorfismo.
  2. Regresa a la entrada de Ejemplo de Sylow y considera $S_4$.
    • De existir, busca $H_1, \dots, H_n$ tal que $S_4$ sea producto directo de $H_1,\dots , H_n.$
    • Usando los $p$-subgrupos de Sylow que encontramos, describe a $S_4$ como producto directo interno de ellos. Aplica el último teorema visto.
  3. Aplica el último teorema visto con $\z_6$ y $T = S_3 \times \z_4$, encuentra los primos $p_1, \dots , p_n$ que conforman al orden del grupo y los $P_1, \dots , P_n$ subgrupos de Sylow que corresponden a estos primos. Al final, representa a los grupos como producto directo interno de estos $p$-subgrupos de Sylow.

Más adelante…

La descomposición de un grupo en $p$-subgrupos que vimos es una probada de lo que veremos en el Teorema fundamental de grupos abelianos finitos, la relación de los primos que componen al orden del grupo con los $p$-subgrupos del mismo grupo. Pero antes de poder enunciarlo, necesitamos enunciar algunos teoremas que nos ayudarán y que se sirven de los Productos directos interno y externo que hemos estado viendo.

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Geometría Moderna II: Puntos autocorrespondientes y regla geométrica de la falsa posición

Por Armando Arzola Pérez

Introducción

Se seguirá viendo resultados y problemas relacionados con la razón cruzada, en esta entrada se abordará los Puntos autocorrespondientes y la regla geométrica de la falsa posición.

Puntos Autocorrespondientes

Sean $A,B,C$ y $A’,B’,C’$ dos conjuntos de puntos en una misma línea recta, por ende para un punto cualquiera $D$ en la recta le corresponde un punto $D’$ que nos dará como resultado $\{ ABCD \}=\{ A’B’C’D’ \}$.

Problema 1. El problema cae en la siguiente incógnita ¿Existirá un punto $D$ que se corresponda al mismo?, de tal forma que $\{ ABCD \}=\{ A’B’C’D \}$.

Demostraremos que puede haber uno, dos o ningún punto, a este punto existente se le llamará «punto autocorrespondiente» con respecto a las dos razones cruzadas.

Demostración. Trácese cualquier circunferencia en el plano y tómese un punto $X$ en esta, y únanse los puntos $A,B,C,A’,B’,C’$ a $X$, y las intersecciones con la circunferencia y estas rectas se denotarán como $A_1, B_1, C_1, A_1′, B_1′, C_1’$.

Puntos autocorrespondientes 1

Notese que tenemos un hexagono inscrito con lados $A_1C_1’$, $A_1B_1’$, $C_1A_1’$, $B_1C_1’$, $B_1A_1’$, $B_1’C_1$, y la existencia del punto $D$ depende de que este hexágono cumpla el Teorema de Pascal.
El Teorema de Pascal dice que «Los puntos de intersección de los lados opuestos de un hexágono inscrito en una circunferencia son colineales». Es de esta forma que la intersección de $A_1B_1’$ y $A_1’B_1$ se cortan en $P$, $B_1’C_1$ y $B_1C_1’$ en $Q$, $A_1C_1’$ y $A_1’C_1$ en $R$, de esta forma se tiene la recta $PQ$ la cual corta a la circunferencia en $D_1$ y $E_1$.

Puntos autocorrespondientes 2

Ahora las rectas $XD_1$ y $XE_1$ cortarán la recta de los haces en los puntos $D$ y $E$ correspondientemente, estos son los dos puntos buscados. Sea $S$ la intersección de $PQ$ con $A_1A_1’$.

Puntos autocorrespondientes 3

Entonces se tienen las siguientes igualdades:

$\{ ABCD \}=X\{ A_1B_1C_1D_1\}$

por propiedad 1 de razón cruzada de la circunferencia se tiene:

$X\{ A_1B_1C_1D_1\}=A_1’\{ A_1B_1C_1D_1\}$

Por razón cruzada se tiene:

$A_1’\{ A_1B_1C_1D_1\}=\{SPRD_1\}= A_1\{ A_1’B_1’C_1’D_1 \}$

Por razón cruzada por la circunferencia:

$A_1\{ A_1’B_1’C_1’D_1 \} = X\{ A_1’B_1’C_1’D_1\} = \{ A’B’C’D \}$

Por lo tanto, $\{ ABCD \}=\{ A’B’C’D \}$ y es equivalente para $E$.

$\square$

Ahora, si $PQ$ es tangente a la circunferencia, solo existirá un punto autocorrespondiente, y si la recta $PQ$ no corta a la circunferencia, entonces no existe ningún punto autocorrespondiente.

Regla geométrica de la falsa posición

Esta regla viene del siguiente problema:

Problema 2. Construir un triángulo el cual sus lados pasan por los vértices de un triángulo dado y cuyos vértices se encuentran en los lados de otro triángulo dado.

Solución. El triángulo a encontrar debe tener sus lados, los cuales deben pasar por los vértices del triángulo $PQR$, y sus vértices en los lados del triángulo $ABC$.

Falsa posición 1

Sea un punto $D$ en $QR$, trácese $DA$ que corte a $PR$ en $E$, $EB$ que corte $PQ$ en $F$, y $FC$ que corte a $QR$ en $D’$, si $D$ y $D’$ son el mismo ya tendríamos el triángulo buscado. Por lo cual se vuelve a hacer lo mismo para $D_1$ obteniendo $D_1’$ y $D_2$ obteniendo $D_2’$, si estos son puntos iguales ya lo tendríamos resuelto, pero no es así, por ende se construirán los puntos autocorrespondientes a partir de $D,D_1,D_2,D’,D_1′,D_2’$.
Si estos puntos $M$ y $N$ existen, y pasamos por uno de ellos, en este caso $M$ para construir el triángulo buscado, nos daríamos cuenta de que regresamos a $M$ y estaría solucionado, pero como menciones estos triángulos existen si existen los puntos autocorrespondientes.

$\square$

Falsa posición 2

Más adelante…

Se verán tres teoremas importantes respecto al tema de Razón Cruzada, los cuales son Teoremas de Pascal, Brianchon y Pappus.

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2.1. TRANSFORMACIÓN LINEAL: definición y ejemplos

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

INTRODUCCIÓN

¿Por qué el uso de la palabra «transformación»?
Como veremos, una transformación lineal es una función que va de un espacio lineal a otro espacio lineal. Y toda función, básica e informalmente, transforma un elemento del dominio en uno del codominio.

Ahora bien, no es una función «cualquiera». Y aunque solo son dos condiciones las que se piden, son suficientes y necesarias para realizar estas transformaciones de un vector de un espacio en un vector de otro espacio con un comportamiento que permite aplicaciones my útiles tanto en matemáticas, como en física, ingenierías e incluso arte digital. Sus propiedades gracias a esas dos condiciones hacen de este tipo de funciones el punto focal del Álgebra Lineal.

TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definición: Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales. Una función $T:V\longrightarrow W$ es una transformación lineal de $V$ en $W$ si:
$1)$ $\forall u,v\in V(T(u+v)=T(u)+T(v))$
$2)$ $\forall \lambda\in K(\forall v\in V(T(\lambda v)=\lambda T(v)))$

Nota: Al conjunto de las transformaciones lineales de $V$ a $W$ se le denota como $\mathcal{L}(V,W)$.

Observación: Si $T$ abre sumas, entonces manda al neutro de $V$ en el neutro de $W$, pues $\theta_W+T(\theta_V)=T(\theta_V)=T(\theta_V+\theta_V)=T(\theta_V)+T(\theta_V)$$\Rightarrow\theta_W+T(\theta_V)=T(\theta_V)+T(\theta_V)\Rightarrow\theta_W=T(\theta_V)$
En particular, las transformaciones lineales envían neutros en neutros.

Ejemplos

  • Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial.
    $T:V\longrightarrow V$ donde $\forall v\in V(T(v)=\theta_V)$ es una transformación lineal de $V$ en $V$

Justificación. Sean $\lambda\in K$ y $u,v\in V$.

Entonces $T(u+v)=\theta_V=\theta_V+\theta_V=T(u)+T(v)$ y
$\lambda T(v)=\lambda\theta_V=\theta_V=T(\lambda v)$

  • Sea $K$ un campo. $T:K[x]\longrightarrow K[x]$ donde $\forall p(x)\in K[x](T(p(x))=p'(x))$ es una transformación lineal de $K[x]$ en $K[x]$

Justificación. Sean $\lambda\in K$ y $p(x),q(x)\in K[x]$.

Entonces $T(p(x)+q(x))=(p(x)+q(x))’=p'(x)+q'(x)=T(p(x))+T(q(x))$ y
$T(\lambda p(x))=(\lambda p(x))’=\lambda p'(x)=\lambda T(p(x))$

Proposición: Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales, $T:V\longrightarrow W$.
$T$ es lineal si y sólo si $\forall\lambda\in K$ $\forall u,v\in V$ $(T(\lambda u+v)=\lambda T(u)+T(v))$

Demostración: $\Longrightarrow )$ Sean $T:V\longrightarrow W$ lineal, $\lambda\in K$, $u,v\in V$.

$\begin{align*}
T(\lambda u+v)&=T(\lambda u)+T(v)\tag{$1$}\\
&=\lambda T(u)+T(v)\tag{$2$}\\
\therefore T(\lambda u+v)&=\lambda T(u)+T(v)
\end{align*}$

$\Longleftarrow )$ Sea $T$ tal que $\forall\lambda\in K$ $\forall u,v\in V$ $(T(\lambda u+v)=\lambda T(u)+T(v))$. Sean $\lambda\in K$ y $u,v\in V$.

$\begin{align*}
T(u+v)&=T(1_K u+v)\tag{}\\
&=1_KT(u)+T(v)\tag{hip}\\
&=T(u)+T(v)\tag{}\\
\therefore T(u+v)&=T(u)+T(v)
\end{align*}$

$\begin{align*}
T(\lambda u)&=T(\lambda u+\theta_V)\tag{}\\
&=\lambda T(u)+T(\theta_V)\tag{hip}\\
&=\lambda T(u)+\theta_W\tag{Obs.}\\
&=\lambda T(u)\tag{}\\
\therefore T(\lambda u)&=\lambda T(u)
\end{align*}$

$\therefore T$ es lineal

Ejemplos

  • $T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2$ donde $\forall (x,y,z)\in\mathbb{R}^3(T(x,y,z)=(x+y+z,2x-7y))$ es una transformación lineal de $\mathbb{R}^3$ en $\mathbb{R}^3$.

Justificación. Sean $(x,y,z),(u,v,w)\in\mathbb{R}^3$ y $\lambda\in\mathbb{R}$.

$T(\lambda(x,y,z)+(u,v,w))=T((\lambda x,\lambda y,\lambda z)+(u,v,w))$$=T(\lambda x + u,\lambda y + v,\lambda z + w)$$=(\lambda x + u+\lambda y + v+\lambda z + w,2(\lambda x + u)-7(\lambda y + v))$$=(\lambda(x+y+z)+u+v+w,2\lambda x-7\lambda y+2u-7v)$$=\lambda (x+y+z,2x-7y)+(u+v+w,2u-7v)$$=\lambda T(x,y,z)+T(u,v,w)$

  • Sea $K$ un campo.
    Si $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(K)$, entonces $T:K^n\longrightarrow K^m$ donde $\forall X\in K^n(T(X)=AX)$ es una transformación lineal de $K^n$ en $K^m$.

Justificación. Sean $X,Y\in K^n,\lambda\in K$.

$T(\lambda X+Y)=A(\lambda X+Y)=\lambda AX + AY=\lambda T(X)+T(Y)$.

Tarea Moral

  1. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales sobre un campo $F$.
    Sea $T: V \longrightarrow W$ una transformación lineal. Demuestra que para todo $v_1,v_2,…,v_n\in V$ y para todo $\lambda_1, \lambda_2,…,\lambda_n\in F$ con $n\in\mathbb{N}^{+}$ se tiene que $T(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + … + \lambda_n v_n) = \lambda_1 T(v_1) + \lambda_2 T(v_2) + … + \lambda_n T(v_n)$.
  2. Sup. que $T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ es lineal y que $T(1,0)=(2,4)$ y $T(1,1)=(8,5)$. Determina la regla general de $T$, es decir, para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$.

Más adelante…

Veremos ahora 4 elementos de una transformación lineal.
Núcleo e imagen son dos conjuntos relevantes para dominio y codominio.
Nulidad y rango son dos números que nos revelan dimensiones… así es, veremos que núcleo e imagen son subespacios vectoriales.

Entradas relacionadas

1.11. SUMA Y SUMA DIRECTA DE SUBESPACIOS: definiciones y ejemplos

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

INTRODUCCIÓN

La suma entre espacios vectoriales se construye con la suma de vectores, sin embargo, al ser subespacios, lo que resulta de esta operación, dónde vive y cómo se comporta es algo que que debe analizarse de forma particular.

La suma directa, una vez que aprendemos a distinguirla y manejarla, nos permite expresar a nuestro espacio vectorial en términos de suma de subespacios. De este modo es más clara la estructura que tienen todos los elementos del espacio.

SUMA DE SUBESPACIOS

Definición: Sean $V$ un $K$ – espacio vetorial y $U,W$ subespacios de $V$. La suma de $U$ y $W$ es $U+W=\{u+w|u\in U, w\in W\}$ (donde $+$ es la suma del espacio $V$).

Nota: La generalización para $U_1,U_2,…,U_m$ ($m$ subespacios de $V$) es:
$U_1+U_2+…+U_m=\{u_1+u_2+…+u_m|u_1\in U_1,u_2\in U_2,…,u_m\in U_m\}$

Propiedades

Justificación. Veamos que $U+W$ contiene a $\theta_V$ y conserva suma y producto por escalar.

Como $U,W\leqslant V$, entonces $\theta_V\in U,W$.
Así, $\theta_V =\theta_V+\theta_V\in U+W$
$\therefore \theta_V\in U+W$

Como $U,W\subseteq V$, entonces $u_1,u_2,w_1,w_2\in V$. Así que $\lambda (u_2+w_2)=\lambda u_2 + \lambda_2 w_2$
Y como $U,W\leqslant V$, entonces tanto $U$ como $W$ conservan suma y producto por escalar. Así que $(u_1+w_1)+(\lambda u_2 + \lambda w_2) \in U+W$
Por lo cual, $(u_1+w_1)+\lambda(u_2+w_2)=(u_1+w_1)+(\lambda u_2 + \lambda w_2) \in U+W$
$\therefore (u_1+w_1)+\lambda(u_2+w_2)\in U+W$

Justificación. Recordando que $\theta_V\in U,W$ (porque $U,V\leqslant V$) tenemos que $\forall u\in U(u=u+\theta_V\in U+W)$ y $\forall w\in W(w=\theta_V+w\in U+W)$

Justificación. Sea $\tilde{V}\leqslant V$ tal que $U,W\subseteq \tilde{V}$
Sea $u+w\in U+W$.
Entonces $u\in U\subseteq \tilde{V}$ y $w\in W\subseteq \tilde{V}$.
De donde $u,w\in\tilde{V}$ y como $\tilde{V}\leqslant V$, entonces $\tilde{V}$ es cerrada bajo suma. Así, $u+w\in\tilde{V}$.
$\therefore U+W\in\tilde{V}$

Teorema: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $U,W$ subespacios de $V$. Entonces $dim_K(U+W)=dim_KU+dim_KW-dim_K(U\cap W)$

Demostración: Sea $\beta=\{v_1,v_2,…,v_m\}$ una base de $U\cap W$.
Podemos completar a una base de $U$ y a una base de $W$.

Sea $A=\{v_1,v_2,…,v_m,u_1,u_2,…,u_r\}$ una base de $U$.
Sea $\Gamma =\{v_1,v_2,…,v_m,w_1,w_2,…,w_s\}$ una base de $W$.

Entonces, $dim_KA=m+r$ y $dim_K\Gamma =m+s$.

Veamos que $\Delta =A\cup\Gamma =\{v_1,v_2,…,v_m,u_1,u_2,…,u_r,w_1,w_2,…,w_s\}$ es base de $U+W$.

Tenemos que $A$ es base de $U$, por lo que $A\subseteq U$.
Tenemos que $\Gamma$ es base de $W$, por lo que $\Delta\subseteq W$.
Así, $\Delta =A\cup\Gamma \subseteq U\cup W$. Y como $U,W\subseteq U+W$, entonces $U\cup W\subseteq U+W$
Tenemos que $\Delta\subseteq U+W$ y sabemos que $U+W\leqslant V$, así que $\langle\Delta\rangle\subseteq U+W$

Ahora bien, sea $u+w\in U+W$.
Entonces $u\in U=\langle A\rangle\subseteq\langle A\cup\Gamma\rangle =\langle\Delta\rangle$ y $w\in W=\langle\Gamma\rangle\subseteq\langle A\cup\Gamma\rangle =\langle\Delta\rangle$.
De donde $u,w\in\langle\Delta\rangle$ y como $\langle\Delta\rangle\leqslant V$, entonces $u+w\in\langle\Delta\rangle$
Por lo tanto, $U+W\subseteq\langle\Delta\rangle$

$\therefore\langle\Delta\rangle =U+W$

Sean $\kappa_1,\kappa_2,…,\kappa_m,\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_r,\mu_1,\mu_2,…,\mu_s\in K$ tales que:
$\sum_{i=1}^m(\kappa_iv_i) +\sum_{i=1}^r(\lambda_iu_i) +\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)=\theta_V$ $…(1)$

Como $W\leqslant V$, entonces $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)\in W$ $…(2)$
Como $U=\langle A\rangle$, entonces $-\sum_{i=1}^m(\kappa_iv_i)-\sum_{i=1}^r(\lambda_iu_i)\in U$ $…(3)$

De $(1)$ tenemos que $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)=-\sum_{i=1}^m(\kappa_iv_i)-\sum_{i=1}^r(\lambda_iu_i)$ y por $(2)$ y $(3)$ concluímos que $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)\in U,W$.

Así, $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)\in U\cap W=\langle\beta\rangle$ y por tanto existen $\gamma_1,\gamma_2,…,\gamma_m\in K$ tales que $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)=\sum_{i=1}^m(\gamma_iv_i)$ $…(4)$

De $(4)$ tenemos que $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)-\sum_{i=1}^m(\gamma_iv_i)=\theta_V$, y como $\Gamma$ es l.i. por ser base, entonces $\forall i\in\{1,2,…,s\}(\mu_i=0_K)$ y $\forall i\in\{1,2,…,m\}(-\gamma_i=0_K)$. Por lo tanto, $\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)=\theta_V$ $…(5)$

De $(1)$ y $(5)$ tenemos que $\sum_{i=1}^m(\kappa_iv_i) +\sum_{i=1}^r(\lambda_iu_i) +\theta_V=\sum_{i=1}^m(\kappa_iv_i) +\sum_{i=1}^r(\lambda_iu_i) +\sum_{i=1}^s(\mu_iw_i)=\theta_V$. De donde $\sum_{i=1}^m(\kappa_iv_i) +\sum_{i=1}^r(\lambda_iu_i)=\theta_V$, y como $A$ es l.i. por ser base, entonces $\forall i\in\{1,2,…,m\}(\kappa_i=0_K)$ y $\forall i\in\{1,2,…,r\}(-\lambda_i=0_K)$ $…(6)$

De $(5)$ y $(6)$ tenemos que $\kappa_1,=\kappa_2=…=\kappa_m=\lambda_1=\lambda_2=…=\lambda_r=\mu_1=\mu_2=…=\mu_s=0_K$

$\therefore\Delta$ es l.i.

Por lo tanto $\Delta$ es base de $U+W$.

Como $A$ es base de $U$, ent. $dim_KU=m+r$
Como $\Gamma$ es base de $W$, ent. $dim_KW=m+s$
Como $\beta$ es base de $U\cap W$, ent. $dim_K(U\cap W)=m$
Como $\Delta$ es base de $U+W$, ent. $dim_K(U+W)=m+r+s=(m+r)+(m+s)-m$

Por lo tanto $dim_K(U+W)=dim_KU+dim_KW-dim_K(U\cap W)$

Ejemplos

Justificación. Es claro que $U_1,U_2,U_3\leqslant V$. Veamos el resultado de cada suma entre estos subespacios.
$U_1+U_2=\{(x,0)+(0,y)|x,y\in\mathbb{R}\}=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{R}\}=V$
$U_2+U_3=\{(0,y)+(a,a)|y,a\in\mathbb{R}\}=\{(a,a+y)|a,y\in\mathbb{R}\}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}=V$
$U_3+U_1=\{(a,a)+(x,0)|a,x\in\mathbb{R}\}=\{(a+x,a)|a,x\in\mathbb{R}\}=\{(b,a)|b,a\in\mathbb{R}\}=V$

Sabemos que $dim_KV=2$
Como $\{(1,0)\}$ es base de $U_1$, entonces $dim_KU_1=1$
Como $\{(0,1)\}$ es base de $U_2$, entonces $dim_KU_2=1$
Así, $2=dim_KV=dim_K(U_1+U_2)=dim_KU_1+dim_KU_2-dim_K(U_1\cap U_2)$$=1+1-dim_K(U_1\cap U_2)=2-dim_K(U_1\cap U_2)$, de donde $0=dim_K(U_1\cap U_2)=dim_K\{(0,0)\}$

Justificación. Sabemos que $dim_KV=3$
Veamos que $dim_K(U+W)=3$

Como $\{(1,0,0),(0,1,0)\}$ es base de $U$, entonces $dim_KU=2$
Como $\{(0,1,0),(0,0,1)\}$ es base de $W$, entonces $dim_KW=2$
Como $\{(0,1,0)\}$ es base de $U\cap W$, entonces $dim_K(U\cap W)=1$
Así, $dim_K(U+W)=dim_KU+dim_KW-dim_K(U\cap W)$$=2+2-dim_K(U\cap W)=4-1=3$, de donde $dim_K(U+W)=3=dim_KV$

$\therefore U+W=V$.

SUMA DIRECTA

Definición: Sean $V$ un $K$ – espacio vetorial y $U,W$ subespacios de $V$. Decimos que $U+W$ es una suma directa si cada $v\in U+W$ se escribe como $v=u+w$ (con $u\in U,w\in W$) de forma única. En ese caso, escribiremos a $U+W$ como $U\oplus W$.

Nota: La generalización para $U_1,U_2,…,U_m$ ($m$ subespacios de $V$) es:
$U_1+U_2+…+U_m$ es suma directa si cada $v\in U_1+U_2+…+U_m$ se escribe como $v=u_1+u_2+…+u_m$ (con $u_1\in U_1,u_2\in U_2,…,u_m\in U_m\}$) de forma única y se denotaría como $U_1\oplus U_2\oplus …\oplus U_m$.

Ejemplo

Justificación. Es claro que $U,W\leqslant V$.
Sea $(a,b)\in\mathbb{R}^2$.
Entonces $a,b\in\mathbb{R}$.

Como $(a,b)=\left( \frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2} ,\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}\right)=\left( \frac{a+b}{2} ,\frac{a+b}{2}\right)+\left( \frac{a-b}{2} ,-\frac{a-b}{2}\right)\in U+W$
De donde $\mathbb{R}^2\subseteq U+W$.

Veamos que si $u\in U, w\in W$ son tales que $(a,b)=u+w$, entonces $u,w$ son únicos.

Sean $u\in U, w\in W$ son tales que $(a,b)=u+w$.
Entonces $u=(x,x)$ con $x\in\mathbb{R}$ y $w=(y,-y)$ con $y\in\mathbb{R}$, donde $(a,b)=(x,x)+(y,-y)=(x+y,x-y)$

Entonces $a=x+y$ y $b=x-y$. De donde $x=a-y$ y $b=(a-y)-y=a-2y$.
Así, como $a,b$ son reales arbitrarios pero fijos y $b=a-2y$, entonces $y$ es única.
Así, como $a,y$ son fijos y $x=a-y$, entonces $x$ es única.

Como $u=(x,x)$ y $w=(y,-y)$ con $x$ y $y$ únicos, entonces $u$ y $w$ son únicos.

$\therefore U+W$ es suma directa.

Sabemos que $U+W\subseteq V$ y demostramos que $V\subseteq U+W$
$\therefore U\oplus W=V$

Proposición: Sean $V$ un $K$ – espacio vectorial y $U,W$ subespacios de $V$. Entonces $U+W$ es suma directa si y sólo si $U\cap W=\{\theta_V\}$

Demostración: Veamos ambas implicaciones.

$\Rightarrow )$ Sup. que $U+W$ es suma directa.

Como $U,W\leqslant$, entonces $\theta_V\in U,W$. Por lo que $\{\theta_V\}\subseteq U\cap W$.

Sea $v\in U\cap W\setminus U\oplus W$.
Sabemos que $\theta_V+v,v+\theta_V\in U\oplus W$ y son formas de escribir a $v$.
Como $U+W$ es suma directa, entonces la forma de escribir a $v$ debe ser única.
Por lo tanto, $v=\theta_V$

$\therefore U\cap W=\{\theta_V\}$

$\Leftarrow )$ Sup. que $U\cap W=\theta_V$

Sea $v\in U+W$ tal que $u_1+w_1=v=u_2+w_2$ con $u_1,u_2\in U$ y $w_1,w_2\in W$

Como $U,W\leqslant V$, entonces $u_1-u_2\in U$ y $w_2-w_1\in W$.
Como $u_1+w_1=u_2+w_2$, entonces $u_1-u_2=w_2-w_1$.
Por lo tanto, $u_1-u_2,w_2-w_1\in U\cap W=\{\theta_V\}$

Así, $u_1-u_2=\theta_V\leftarrow u_1=u_2$ y $w_2-w_1=\theta_V\leftarrow w_2=w_1$.
Es decir, cada elementos en $U+W$ se escribe de forma única.

$\therefore U+W$ es suma directa.

Tarea Moral

Más adelante…

A partir de la siguiente entrada, analizaremos un tipo de funciones muy especial y útil que va de espacios vectoriales a espacios vectoriales y aunque la definición solo le pide abrir dos operaciones, esto implica muchas propiedades que vuelven a este tipo de función el eje central del Álgebra Lineal.

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