(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Nos concentraremos en una igualdad que nos permite encontrar el transformado de un vector, o de modo más preciso: su codificación en términos de alguna base, a partir del producto de la matriz asociada a la transformación y el vector de coordenadas de dicho vector.
Nuestra principal motivación es que es más fácil manejar los vectores de coordenadas que los vectores mismos y las matrices en vez de las transformaciones lineales.

Resulta importante recordar que las matrices pasaron de ser tan solo un ejemplo de espacio vectorial a la forma en que se manejan las transformaciones en lugar de la regla de correspondencia usualmente ocupada en funciones.

Las propiedades lineales de las matrices cobran protagonismo en la demostración de la siguiente proposición por lo que se sugiere tenerlas presentes y revisarlas si es que se considera necesario . Es importante dedicarle a este resultado el suficiente tiempo y atención pues nos será de mucha utilidad tanto en la teoría como en los ejercicios posteriores.

Proposición (3.3.1.): Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas $B$ y $\Gamma$ y $T\in \mathcal{L}(V,W)$.
Entonces para todo $v\in V$ se cumple que $[ T(v) ]_{\Gamma} = [ T ]_{B}^{\Gamma} [ v ]_{B}$.

Demostración: Sea $v\in V$.

Notemos primero que el resultado se cumple cuando $v$ es uno de los vectores de la base $B$. Digamos que $\B = (v_1,v_2,…,v_n)$ con $v_1,v_2,…,v_n\in V$.

Af. 1. Para toda $j\in\{1,2,…,n\}$ se cumple que $[T]_B^{\Gamma} [v_j ]_{B} =[T(v_j) ]_{\Gamma}$

Justificación. Sea $j\in \{ 1,2,…,n\}$.

Como $v_j= 0v_1+…+1v_j+…+0v_n$:

$[ T ]_{B}^{\Gamma} [ v_j  ]_{B}$ $=[T ]_{B}^{\Gamma} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ $= col_j [T ]_{B}^{\Gamma}$ $=[ T(v_j) ]_{\Gamma}.$

Ahora bien, sea $v\in V$. Sabemos que existen $\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_n\in K$ tales que $v=\sum_{j=1}^{n} \lambda_j v_j $. Recordemos que, de acuerdo a la observación de la entrada 3.1, el vector de coordenadas abre sumas y saca escalares. Así,

$\begin{align*}
[ T(v) ]_{\Gamma}&=\left[ T \left( \sum_{j=1}^{n} \lambda_j v_j \right) \right]_{\Gamma} \tag{$v=\sum_{j=1}^{n} \lambda_j v_j $}\\
&=\left[ \sum_{j=1}^{n} \lambda_j T(v_j) \right]_{\Gamma} \tag{$T\in\mathcal{L}(V,W)$}\\
&=\sum_{j=1}^{n} \lambda_j [ T(v_j) ]_{\Gamma}\tag{Obs. entrada 3.1}\\
&=\sum_{j=1}^{n} \left( \lambda_j [ T ]_{B}^{\Gamma}[v_j ]_{B} \right)\tag{Af. 1}\\
&=[ T ]_{B}^{\Gamma} \left( \sum_{j=1}^{n} \left( \lambda_j[ v_j ]_{B} \right) \right) \tag{prop. matriz}\\
&=[ T]_{B}^{\Gamma} \left[ \sum_{j=1}^{n}\lambda_j v_j \right]_{B} \tag{Obs. entrada 3.1}\\
&=[ T ]_{B}^{\Gamma} [ v ]_{B}\tag{$v=\sum_{j=1}^{n} \lambda_j v_j $}\\
\therefore [T(v) ]_{\Gamma}=[ T ]_{B}^{\Gamma}[v ]_{B}.
\end{align*}$

Ejemplos

• Sean $B = ((1,2),(1,1))$ y $\Gamma = ((3,1),(-1,2))$ bases ordenadas de $\mathbb{R}^2$.
  Sea $T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2)$ tal que $[ T ]_{B}^{\Gamma}=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.
  Entonces: $[T(x,y) ]_{\Gamma} = \begin{pmatrix} 2y \\ 5x-3y \end{pmatrix}.$

Sea $(x,y)\in\mathbb{R^2}$:
$(x,y)= \lambda (1,2) + \mu (1,1)=(\lambda + \mu , 2\lambda + \mu)$ para algunos $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$.
Así:
$\lambda + \mu = x$ $…(1)$
$2\lambda + \mu = y$ $…(2)$

Restando$(1)$ a $(2)$ tenemos que $\lambda = y-x$ $…(3)$.
De sustituir $(3)$ en $(1)$ y despejar $\mu$ obtenemos que $\mu =2x-y$.
Por lo tanto, $[(x,y) ]_{B}= \begin{pmatrix} y-x \\ 2x-y \end{pmatrix}$.

Por la proposición 3.3.1, $[T(x,y) ]_{\Gamma} = [T ]_{B}^{\Gamma}$$[ (x,y) ]_{B}=$$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y-x \\ 2x-y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y \\ 5x-3y \end{pmatrix}$.

Además, de lo anterior concluimos que $T(x,y)=2y(3,1)+(5x-3y)(-1,2)$$=(6y,2y)+(-5x+3y,10x-6y)$$=(-5x+9y,10x-4y)$.

Tarea Moral

1. Sean $K=\mathbb{R}$, $T:\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\longrightarrow\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ con $T(A)=A^t$ y $B=\Gamma = (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$ la base canónica. Considera $v= \begin{pmatrix} -7 & \frac{1}{2} \\ \pi & 0 \end{pmatrix}$. Calcula $[ T ]_{B}^{\Gamma}$ y úsala para encontrar $[ T(v) ]_{\Gamma}$.
   
2. Sean $K=\mathbb{R}$, $V=\{ a+bx+cx^2|a,b,c \in \mathbb{R} \}$, $T: V \longrightarrow V$ con $T(f(x))=3(f'(x))(2-x)+4f(x)$, $B=(1,x,x^2)$ la base canónica y $\Gamma = (1+2x+3x^2,-1+4x+2x^2,-2+x+x^2)$.
   Considera $v=-5+11x-2x^2$. Calcula $[ T ]_{B}^{\Gamma}$ y úsala para encontrar $[T(v) ]_{\Gamma}$.

Más adelante…

Ahora que hemos entendido cómo es la matriz asociada a una transformación lineal recordemos que las transformaciones lineales se pueden multiplicar por escalares y se pueden sumar entre sí. Es natural entonces preguntarse: ¿cómo se relaciona la matriz asociada a una transformación con la matriz asociada al producto de dicha transformación con algún escalar?, ¿cómo se relacionan las matrices asociadas a dos transformaciones lineales con la matriz asociada a la suma de dichas transformaciones?

Pequeño adelanto: resultará igual realizar la operación de la(s) transformación(es) y después fijarse en la matriz asociada, que tomar la(s) matriz(ces) asociada(s) a la(s) transformación(es) y posteriormente realizar las operaciones correspondientes en las matrices.

Entradas relacionadas

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• Entrada anterior del curso: 3.2. MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL: definición y ejemplos
• Siguiente entrada del curso: 3.4. MATRIZ DE UNA COMBINACIÓN LINEAL DE TRANSFORMACIONES: ejemplos y propiedades

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Cuando aprendimos sobre transformaciones lineales, vimos cómo una regla sencilla puede convertir un vector en otro dentro de un espacio. Pero, ¿cómo podemos representar esa transformación de manera compacta, ordenada y útil para hacer cálculos? Aquí es donde entra la matriz asociada a una transformación lineal: una herramienta poderosa que traduce la acción de transformar en un lenguaje que ya conocemos muy bien.

Relacionar una transformación lineal con una matriz nos permite aprovechar todas las ventajas del álgebra matricial: sumar, multiplicar, invertir, y entender cómo se comportan los vectores al pasar por la transformación. Descubrir que detrás de cada transformación hay una matriz que la representa es como encontrar el “manual de instrucciones” que hace el trabajo detrás de escena. Ahora aprenderemos cómo construir ese manual y por qué es tan útil.

Nota: Dada $A=\begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{m \times n}(K)$ con $K$ un campo, la columna $j$ de $A$ se denotará por $col_j(A)= \begin{pmatrix} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$.

MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definición: Sean $V,W$ $K$-espacios vectoriales de dimensión finita, $B = (v_1,v_2,…,v_n)$, $\Gamma = (w_1,w_2,…,w_m)$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente y $T\in\mathcal{L}(V,W)$. Llamamos matriz de $T$ respecto a $B$ y $\Gamma$ a la matriz $[ T ]^{\Gamma}_{B}$$\in\mathcal{M}_{m\times n}(K)$ donde para toda $j\in \{ 1,2,…n \}$ tenemos que $col_j( [ T ]^{\Gamma}_{B} )=[ T(v_j) ]_{\Gamma}$.

Observación: Si $[ T ]^{\Gamma}_{B}= \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1j} & … & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mj} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, entonces $T(v_j)= a_{1j}w_1 + … + a_{mj}w_m$.

Ejemplos

• Sean $V=\{ a+bx+cx^2 + dx^3 | a,b,c,d\in\mathbb{R} \}$, $W=\{ e+fx+gx^2 | e,f,g\in\mathbb{R} \}$ y $T:V\longrightarrow W$ donde $\forall p(x)\in V (T(p(x))=p'(x)$.
  Sean $B =(1,x,x^2,x^3)$, $\Gamma =(1,x,x^2)$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente.
  Entonces se cumple que:
  $[T ]^{\Gamma}_{B}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $\forall p(x)\in V \;([ T(p(x))]_{\Gamma} = [ T]^{\Gamma}_{B} [ p(x) ]_{B})$

Justificación. Tenemos que:
$T(1)=1’=0$. Así, $T(1)=(0)1+0x+0^2$.
$T(x)=x’=1$. Así, $T(x)=(1)1+0x+0x^2$.
$T(x^2)=(x^2)’=2x$. Así, $T(x^2)=(0)1+2x+0x^2$.
$T(x^3)=(x^3)’=3x^2$. Así, $T(x^3)=(0)1+0x+3x^2$.

$[T ]^{\Gamma}_{B} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}_{3 \times 4}$

Ahora bien, sea $p(x)=a + bx + cx^2 + dx^3 \in V$.
Entonces $[p(x)]_{B} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$ y $T(p(x))=p'(x)=b+2cx+3dx^2$.

Por lo tanto, $[T ]^{\Gamma}_{B} [ p(x) ]_{B} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 2c \\ 3d \end{pmatrix} =[ T(p(x))]_{\Gamma}$.

• Sean $V=\{ a+bx+cx^2 + dx^3 | a,b,c,d\in\mathbb{R} \}$, $W=\{ e+fx+gx^2 | e,f,g\in\mathbb{R} \}$.
  Sean $B =(1,x,x^2,x^3)$, $\Gamma =(1,x,x^2)$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente. Si $S\in \mathcal{L}(V,W)$ es tal que $[S ]^{\Gamma}_{B} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, entonces $\forall a+bx+cx^2+dx^3\in V \;(S(a+bx+cx^2+dx^3)$$=(a-b+4d)+(b+2c+d)x+(a+c+2d)x^2)$

Justificación. Sea $a+bx+cx^2+dx^3\in V$.
$S(1)=1(1)+0x+1x^2=1+x^2$
$S(x)=-1(1)+1x+0x^2=-1+x$
$S(x^2)=0(1)+2x+1x^2=2x+x^2$
$S(x^3)=4(1)+1x+2x^2=4+x+2x^2$

Entonces $S(a+bx+cx^2+dx^3)=aS(1)+bS(x)+cS(x^2)+dS(x^3)$$=a(1+x^2)+b(-1+x)+c(2x+x^2)+d(4+x+2x^2)$$=a+ax^2-b+bx+2cx+cx^2+4d+dx+2dx^2$$=(a-b+4d)+(b+2c+d)x+(a+c+2d)x^2$

• Sea $T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ donde $\forall (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 (T(x,y,z)=(2x+y,x-y+3z))$.
  Sean $B = ((1,2,0),(0,3,4),(1,-1,0))$ y $\mathcal{C}_3=(e_1,e_2,e_3)$ bases ordenadas de $\mathbb{R}^3$
  Sean $\Gamma = ((1,-1),(0,1))$ y $\mathcal{C}_2=(e_1,e_2)$ bases ordenadas de $\mathbb{R}^2$.
  Entonces $[T ]^{\mathcal{C}_2}_{B} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ -1 & 9 & 2 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$
  $[ T ]^{\mathcal{C}_2}_{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$
  $[T ]^{\Gamma}_{B} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 12 & 3 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$
  $[ T ]^{\Gamma}_{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$

Justificación. Calculemos una a una:

$T(1,2,0)=(4,-1)=4e_1-1e_2$
$T(0,3,4)=(3,9)=3e_1+9e_2$
$T(1,-1,0)=(1,2)=1e_1+2e_2$
Entonces $[ T ]^{\mathcal{C}_2}_{B} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ -1 & 9 & 2 \end{pmatrix}$

$T(e_1)=(2,1)=2e_1+1e_2$
$T(e_2)=(1,-1)=1e_1-1e_2$
$T(e_3)=(0,3)=0e_1+3e_2$
Entonces $[ T ]^{\mathcal{C}_2}_{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

$T(1,2,0)=(4,-1)=4(1,-1)+3(0,1)$
$T(0,3,4)=(3,9)=3(1,-1)+12(0,1)$
$T(1,-1,0)=(1,2)=1(1,-1)+3(0,1)$
Entonces $[ T]^{\Gamma}_{B} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 12 & 3 \end{pmatrix}$

$T(e_1)=(2,1)=2(1,-1)+3(0,1)$
$T(e_2)=(1,-1)=1(1,-1)+0(0,1)$
$T(e_3)=(0,3)=0(1,-1)+3(0,1)$
Entonces $[ T ]^{\Gamma}_{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Tarea Moral

1. Sea $T: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$ con $T(x_1,x_2,…,x_n)=(x_n,x_{n-1},…,x_1)$
   Sea $B=\Gamma = (e_1,e_2,…,e_n)$ la base canónica
   Calcula $[T]^{\Gamma}_{B}.$
2. Sea $T: \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\longrightarrow \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ con $T(A)=A^t$.
   Sean $B=\Gamma=(E_{11},E_{1,2},E_{2,1},E_{22})$ la base canónica y
   $v=\begin{pmatrix} -7 & \frac{1}{2} \\ \pi & 0 \end{pmatrix}.$
   Calcula $[ T ]^{\Gamma}_{B}$ y $[ v ]_{B}$. Calcula $[ T(v)]_{\Gamma}$ y $[ T ]_{B}^{\Gamma} [ v ]_{B}$ y compáralos.

Más adelante…

En la siguiente entrada nos centraremos en un único resultado:
Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita con $B$ y $\Gamma$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente y $T\in \mathcal{L}(V,W)$.
Entonces para todo $v\in V$ se cumple que $[ T(v)]_{\Gamma} =[ T ]_{B}^{\Gamma} [ v ]_{B}.$

Entradas relacionadas

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• Entrada anterior del curso: 3.1. BASE ORDENADA Y VECTOR DE COORDENADAS: definiciones y ejemplos
• Siguiente entrada del curso: 3.3. MATRICES DE UNA TRANSFORMACIÓN Y VECTORES DE COORDENADAS: relación entre sí

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Cuando trabajamos con transformaciones lineales, elegir una base ordenada es como elegir el lenguaje en el que vamos a describir lo que ocurre. Un mismo objeto puede nombrarse diferente si se dice en español, inglés o en otro idioma, pero sigue siendo el mismo objeto. De manera similar, un vector o una transformación lineal puede representarse de distintas formas dependiendo de la base, y sin embargo su esencia no cambia.

Los vectores de coordenadas nos permiten expresar con precisión a cualquier vector respecto a una base específica, igual que las palabras nos permitirán describir una idea según el idioma que usamos. La gran ventaja de ello es que con los vectores de coordenadas codificamos a cualquier vector en un espacio vectorial de dimensión finita como una $n$-ada, donde $n$ es la dimensión del espacio vectorial en que se encuentra y de esta forma podemos entender a un espacio de dimensión finita sobre un campo $K$ a través del espacio vectorial $K^n$.

BASE ORDENADA DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$. Una base ordenada de $V$ es una $n$ – ada de vectores de $V$ $(v_1,v_2,…,v_n)$, con $v_1,v_2,…,v_n\in V$ distintos, tal que $\{ v_1,v_2,…,v_n\}$ es una base de $V$.

Nota: En ocasiones la base ordenada $(v_1,v_2,…,v_n)$ se denota simplemente por $\{ v_1,v_2,…,v_n\}$, haciendo la convención de que los subíndices de dichos vectores indican el orden en que se van a considerar.

VECTOR DE COORDENADAS RESPECTO A UNA BASE

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$. Sean $\beta =(v_1,v_2,…,v_n)$ una base ordenada de $V$ y $v\in V$. Si $v=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+…+\lambda_nv_n$ tenemos que el vector de coordenadas de $v$ respecto a $\beta$ es:

$[ v ]_{\beta} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n\times 1} (K).$

o bien,

$[v]_\beta=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots ,\lambda_n)^t.$

Observación: Para cualesquiera $u\in V$ y $\lambda\in K$ tenemos que $[ u+\lambda v ]_{\beta} =[ u ]_{\beta} + \lambda [ v ]_{\beta}$.
Justificación. Como $v=\sum_{i=1}^{n}\mu_iv_i$ y para ciertos $\mu_1,\mu_2,…,\mu_n\in K$ y $u=\sum_{i=1}^{n}\gamma_iv_i$ para ciertos $\gamma_1,\gamma_2,…,\gamma_n\in K$, tenemos que $u+\lambda v=\sum_{i=1}^{n}(\gamma_i+\lambda\mu_i)v_i$.
Así, por la definicion de vector de coordenadas $[ u+\lambda v ]_\beta$ es

$[u+\lambda v]_\beta=(\gamma_1+\lambda\mu_1,\gamma_1,\cdots ,\gamma_n+\lambda\mu_n)^t=(\gamma_1,\cdots ,\gamma_n)^t+\lambda(\mu_1,\cdots ,\mu_n)^t=[u]_\beta+\lambda [v]_\beta.$

Ejemplos

• Sean $V=K^n$ con $K$ un campo.
  Sea $\mathcal{C}$ la base canónica.
  Dado $v = (x_1, x_2, …, x_n)\in K^n$.
  $[ v ]_\mathcal{C} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$

Justificación. $v = (x_1,x_2,…,x_n) = x_1 e_1 + x_2 e_2 + … + x_n e_n$.

• Sean $V=\{ a+bx+cx^2|a,b,c\in K \}$.
  Sean $\mathcal{C}=(1,x,x^2)$, $\mathcal{\beta_1} = (x, x^2,1)$ y $\mathcal{\beta_2} = (1,1-x,1+x-x^2)$ bases ordenadas.
  Dado $p(x)=a+bx+cx^2\in V$.
  $[ p(x) ]_\mathcal{C} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$
  $[ p(x) ]_\mathcal{\beta_1} = \begin{pmatrix} b \\ c \\ a \end{pmatrix}$
  $[ p(x) ]_\mathcal{\beta_2} = \begin{pmatrix} a+b+2c \\ -b-c \\ -c \end{pmatrix}$

Justificación. Tenemos que $p(x)=a1+bx+cx^2$.
Luego $p(x)=bx+cx^2+a1$.
Y $p(x)=(a+b+2c)1+(-b-c)(1-x)-c(1+x-x^2)$.

• Sean $V=\{ a+bx+cx^2|a,b,c\in K \}$.
  Sea $\beta = (3,3+x,3+x^2)$.
  Sea $q(x)\in V$ tal que $[ q(x) ]_\beta = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$.
  Entonces $q(x)=63+3x+6x^2$.

Justificación. Tenemos que $q(x)=(12)3+3(3+x)+6(3+x^2)$ $=63+3x+6x^2$.

Tarea Moral

1. Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$ con una base ordenada $\beta$.
   a) Demuestra que la transformación lineal $\phi_{\beta} : V \longrightarrow K^n$ definida para todo $x \in V$ como $\phi_{\beta} (x) = [x]_{\beta}$ es un isomorfismo de $V$ con respecto a la base $\beta$. Reflexiona acerca de cómo este resultado ayuda a estudiar al espacio vectorial $V$ a partir del espacio de $n$-adas $K^n$.
2. Considera $K=\mathbb{R}$ y $V=\{ a+bx+cx^2|a,b,c\in K \}$ y $\beta$ la base ordenada $\beta=(x^2,-x^2+x,-x+1)$. Encuentra $[p(x)]_\beta$ para $p(x)=a+bx+cx^2\in V.$
3. Considera $K=\mathbb{R}$ y $V=\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ y $\beta$ la base ordenada $\gamma=(A,B,C,D)$ con $A=\begin{pmatrix}1&-2\\1&1\end{pmatrix}$,$B=\begin{pmatrix}0&2\\1&-3\end{pmatrix}$,$C=\begin{pmatrix}-3&6\\-2&1\end{pmatrix}$ y $D=\begin{pmatrix}1&-2\\1&5\end{pmatrix}$. Encuentra $[E]_\gamma$ para $E=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&1\end{pmatrix}$.

Más adelante…

Al introducir bases que requieren un orden y recordar que toda transformación lineal está definida por el efecto que tiene en una base de su dominio, podemos lograr nuestro objetivo: introducir matrices para representar nuestras transformaciones.

Las matrices pasan entonces de ser solo un ejemplo de espacio vectorial a ser la herramienta esencial para el manejo de las transformaciones lineales. De hecho, son la herramienta que permite usar transformaciones lineales en informática.

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