Introducción
Hace algunas entradas, comenzamos dando una motivación usando a los enteros. En esta, nos encontramos de nuevo con la necesidad de retomarlos para darle introducción al tema principal de la entrada. Sabemos que $(\z, +)$ es un grupo, de ahí podemos tomar los subgrupos de las clases módulo $n$. Supongamos que tenemos las clases de equivalencia módulo $a$ y módulo $b$ respectivamente, $a,b\in \z$. Éstas se definen de esta manera:
\begin{align*}
\bar{a} = a + \z, \quad \bar{b} = b + \z.
\end{align*}
Si queremos sumar dos clases de equivalencia, usamos la suma usual en $\z$. Digamos
\begin{align*}
\bar{a} + \bar{b} = \overline{a+b}.
\end{align*}
Aunque lo escribamos así, en realidad lo que estamos haciendo, es definir la suma $+_n$ en $\z_n$ usando $+_\z$ que es la suma del grupo $(\z,+)$. Entonces lo anterior quedaría:
\begin{align*}
\bar{a} +_n \bar{b} = \overline{a+_\z b}.
\end{align*}
El caso es que $+_n$ es una operación bien definida y $(\z_n,+_n)$ es un grupo.
Otra manera de escribirlo sería:
\begin{align*}
(a+\z) +_n (b+\z) = (a+_\z b) + \z.
\end{align*}
Donde, en este caso $+$ es notación.
Entonces, ahora nos preguntamos, ¿cómo podemos generalizar esta propiedad?
Tomemos $G$ un grupo y $H$ un subgrupo y consideremos dos clases laterales izquierdas de $H$, digamos $aH$ y $bH$, lo que queremos es
\begin{align*}
aH \cdot_H bH = ab H.
\end{align*}
Donde $\cdot_H$ es el nuevo producto que queremos definir y $ab$ se hace con el producto en $G$.
Lo siguiente que queremos probar es si ese producto ($\cdot_H$) está bien definido. Para ello tenemos que tomar otro representante de las clases, para simplificarlo, tomemos sólo una $\tilde{a}H = aH$.
Entonces, queremos que $abH = \tilde{a}bH$, esto sucedería sólo de la siguiente manera,
\begin{align*}
abH = \tilde{a}b H \Leftrightarrow\;& (ab)^{-1} \tilde{a}b\in H\\
\Leftrightarrow\;& b^{-1}a^{-1}\tilde{a}b\in H.
\end{align*}
Entonces, ¿cómo sabemos que $b^{-1}a^{-1}\tilde{a}b\in H$? De por sí, sabemos que $a^{-1}\tilde{a} \in H$, pues $\tilde{a}H= aH$. Entonces, todo se reduce a que necesitamos que al conjugar elementos de $H$ sigamos obteniendo elementos en $H$.
Así que en esta entrada buscaremos definir un producto entre dos clases izquierdas usando el producto en $G$.
El grupo normal
Primero necesitamos definir formalmente qué es un conjugado en nuestro contexto.
Definición. Sea $G$ un grupo, $H$ subgrupo de $G$, $b,c \in G$. Decimos que $b$ es conjugado de $c$ si $b = aca^{-1}$ para alguna $a\in G$.
Dado $a\in G$ el conjugado de $H$ por el elemento $a$ es
$$aHa^{-1} = \{aha^{-1}|h\in H\}.$$
Observación. $aHa^{-1}$ es un subgrupo de $G$, para toda $a \in G$.
La demostración de esta observación te queda de tarea moral.
Definición. Sea $G$ un grupo, $N$ subgrupo de $G$. Decimos que $N$ es normal en $G$ si $ana^{-1} \in N$ para toda $a\in G$, $n\in N$.
Notación. $N\unlhd G$.
Ahora, veamos una proposición. Recordemos que en una entrada pasada vimos que las clases laterales izquierdas no siempre coinciden con las clases laterales derechas y dimos algunos ejemplos. La siguiente proposición nos dirá que con subgrupos normales, la igualdad de clases derechas e izquierdas siempre se da.
Proposición. Sea $G$ un grupo, $N$ subgrupo de $G$. Las siguientes condiciones son equivalentes:
- $N\unlhd G$.
- $a N a^{-1} = N$ para todo $a\in G$.
- Toda clase laterial izquierda de $N$ en $G$ es una clase lateral derecha de $N$ en G.
Demostración. Sea $G$ un grupo, $N \leq G$.
$|1) \Rightarrow 2)]$ Supongamos que $N \unlhd G$. Sea $a\in G$.
P.D. $aNa^{-1} = N$.
Probaremos esto por doble contención.
$\subseteq]$ Como $N\unlhd G$, $ana^{-1} \in N$ para toda $n\in N$. Entonces el conjunto $aNa^{-1} = \{ana^{-1}|n\in N\}$ está contenido en $N$.
$\supseteq]$ Sea $n\in N$, como $N\unlhd G$, $a^{-1}na = a^{-1}n(a^{-1})^{-1} \in N$. Entonces $n = a(a^{-1}n a)a^{-1} \in a N a^{-1}$.
Por lo tanto $aNa^{-1} = N$.
$|2) \Rightarrow 3)]$ Supongamos que para todo $a \in G$, entonces $aNa^{-1} = N$. Sea $a\in G$.
P.D. $aN = Na$.
De nuevo, probaremos esto por doble contención.
$\subseteq]$ Tomemos $an \in aN$ con $n\in N$, como $ana^{-1} \in aNa^{-1}$ y $ aNa^{-1}= N$ por hipótesis. Entonces $an = (ana^{-1}) a \in Na$.
$\supseteq]$ Tomemos $na \in Na$ con $n\in N$, como $a^{-1}na \in a^{-1}Na$ y $a^{-1}Na = N$ por hipótesis. Entonces $na = a(a^{-1}na) \in aN$.
Por lo tanto $aN = Na$.
$|3)\Rightarrow 1)]$ Supongamos que para todo $a\in G$, existe $b\in G$ tal que $aN = Nb$. Sea $a \in G$ y $n \in N$.
P.D. $ana^{-1} \in N$.
Por hipótesis $aN = Nb$ para alguna $b\in G$. Pero $a \in aN = Nb$, entonces $Na = Nb$.
Así $an\in aN = Na$ y entonces $an = \tilde{n}a$ para alguna $\tilde{n}\in N$. Entonces
\begin{align*}
ana^{-1} = (an)a^{-1} = (\tilde{n}a)a^{-1} = \tilde{n} \in N
\end{align*}
Por lo tanto $N \unlhd G$.
Así 1), 2) y 3) son equivalentes.
$\blacksquare$
Observación. (Conmutatividad parcial)
Si $N\unlhd G$, dados $n\in N$ y $a\in G$. Si $an = \tilde{n}a$ para alguna $\tilde{n}\in N$, también $na = a \bar{n}$ para alguna $\bar{n} \in N$.
Ejemplos
- $A_n \unlhd S_n$ ya que si $\beta \in A_n$ y $\alpha\in S_n$.
\begin{align*}
sgn(\alpha\beta\alpha^{-1}) &= sgn\alpha \; sgn\beta \:sgn \,\alpha^{-1}\\
& = sgn\alpha \;(+1) \;sgn \alpha \\
& = +1
\end{align*}
Por lo tanto $\alpha\beta\alpha^{-1}\in A_n$. - Consideremos
\begin{align*}
Q &= \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\\
H &= \{\pm 1, \pm i\}
\end{align*}
Las clases laterales izquierdas de $H$ en $Q$ son: $H$ y $jH$.
Las clases laterales derechas de $H$ en $Q$ son: $H$ y $Hj$.
Además $jH = \{\mp j, \mp k\} = Hj$. Por lo tanto $H \unlhd Q$. - Consideremos $D_{2(4)}$ las simetrías del cuadrado. Sea $a$ la rotación $\frac{\pi}{2}$, $b$ la reflexión on respecto al eje $x$.
Sea $H = \{e, b\}$.
Si tomamos la transformación $aba^{-1}$ podemos desarrollarla algebráicamente y visualmente. Primero lo haremos de manera algebráica y la visual la podrás encontrar en una imagen más abajo.
Así, como vimos cuando trabajamos con el grupo diédrico:
$aba^{-1} = aab = a^2b \not\in H$
reflexión con respecto al eje $y$.
Por lo tanto $H \not\unlhd D_{2(4)}$.

Tarea moral
- Sean $W = \left< (1\;2)(3\;4)\right>$, $V = \{(1), (1\;2)(3\;4),(1\;3)(2\;4),(1\;4)(2\;3)\}\leq S_4$. Verifica si $W$ es normal en $V$, si $V$ es normal en $S_4$ y si $W$ es normal en $S_4$ ¿qué puedes concluir con ello?
- Sea $G$ un grupo, $H$ y $N$ subgrupos de $G$ con $N$ normal en $G$, prueba o da un contraejemplo:
- $N\cap H$ es normal en $H$.
- $N\cap H$ es normal en $G$.
- Demuestra o da un contraejemplo: Si $G$ es un grupo tal que cada subgrupo de él es normal, entonces $G$ es abeliano.
- Sea $G$ un grupo finito con un único subgrupo $H$ de orden $|H|$. ¿Podemos concluir que $H$ es normal en $G$?
Más adelante…
Como ya es costumbre, después de dar las definiciones y de practicarlas un poco con ejemplos, toca profundizar y hablar más sobre las proposiciones y teoremas que involucran los subgrupos normales. En la siguiente entrada veremos esto.
Entradas relacionadas
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