Introducción
Ya hablamos de conjuntos generadores y de independencia lineal. Además, ya platicamos también del lema de intercambio de Steinitz. Con estas herramientas, tenemos todo a nuestra disposición para desarrollar la teoría de dimensión de espacios vectoriales.
Para espacios vectoriales en general, esto puede no resultar tan sencillo. Por esta razón, para este tema nos enfocaremos en el caso en el que la dimensión es finita. Sin embargo, también veremos ejemplos de espacios que no son así, y hablaremos un poco de cómo son.
Espacios de dimensión finita
Definición. Se dice que un espacio vectorial es de dimensión finita si tiene un conjunto generador con una cantidad finita de elementos.
Otra forma de interpretar la definición anterior es la siguiente:
es un espacio vectorial de dimensión finita si existe una familia finita de vectores
tal que todos los vectores en
se pueden expresar como combinación lineal de dicha familia. Por ejemplo, los espacios
y
son de dimensión finita. Sin embargo, no todos los espacios vectoriales son de dimensión finita, de hecho la mayoría no lo son.
Problema. Demuestra que el espacio vectorial
de todos los polinomios con coeficientes reales no es un espacio vectorial sobre
de dimensión finita.
Demostración. Supongamos que
tiene un conjunto generador finito, entonces existen polinomios
tales que
. Sea
. Como todos los
tienen grado a lo más
, entonces cualquier combinación lineal de
también tiene grado a lo más
. Se sigue que todo vector en
tiene grado a lo más
, pero eso es imposible, pues
. Por lo tanto
no es de dimensión finita.

Nos gustaría definir la dimensión de un espacio vectorial. Para ilustrar esto es bueno pensar primero en
para distintos valores de
. Una linea (digamos
) debería tener dimensión
, un plano (digamos
) debería tener dimensión 2, y en general
debería tener dimensión
.
Antes de profundizar más en esto, es conveniente mencionar algunas definiciones y problemas prácticos para generar una mejor intuición sobre el rumbo que estamos a punto de tomar.
Definición. Una base de un espacio vectorial
es un subconjunto
de
tal que
es linealmente independiente y generador.
Ejemplos.
- El conjunto
de vectores canónicos en
es una base. Esto se puede verificar con lo que hicimos al inicio del curso, cuando mostramos que cualquier vector
en
se puede escribir de manera única como
con
escalares. Como existe al menos una forma, entonces
. Como es única, en particular la única forma de escribir al vector
es si
. Esto muestra que
es generador y linealmente independiente. - El conjunto
de matrices canónicas en
es una base. - El conjunto
es una base de
.
Encontrar bases de subespacios
Como los subespacios de espacios vectoriales también son espacios vectoriales, entonces también tiene sentido hablar de si un conjunto de vectores es base para un subespacio. Veamos ahora varios problemas para entender mejor esto.
Problema. Dada la matriz 

encuentra una base para el subespacio

de

definido por

Solución. Considera la matriz
. Entonces
si y sólo si
, lo anterior lo escribimos como

De la igualdad anterior obtenemos que

. Por lo tanto

Este es un primer paso, pues nos permite poner al subespacio
en una forma en la que es más fácil de entender. Ahora es más fácil encontrar una base para
. Proponemos al siguiente conjunto de dos matrices:

Por un lado, este es un conjunto generador para
, pues cualquier elemento de
se puede escribir como combinación lineal de elementos en
como sigue:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{pmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_4 \end{pmatrix}=a_1 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + a_4 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\]](https://blog.nekomath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-034ab534824a7c420ed62f891640dfca_l3.png)
Por otro lado,
es un conjunto linealmente independiente pues si
y
son escalares que tan una combinación lineal igual a cero entonces tendríamos
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}.\]](https://blog.nekomath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55fd91c258e67f1edd840e4d193aa6b1_l3.png)
Igualando la primera y última matriz entrada a entrada, tenemos que
.

Es importante que revises el problema anterior con profundidad, pues da una idea de cómo encontrar una base
de un subespacio
de un espacio vectorial
. Una receta que funciona en algunos casos es la siguiente:
- Entender bien el subespacio
del que hay que dar una base. - Expresar a
en términos simples. - Ver cómo son los vectores de
, y de ahí proponer una base
. Para esta parte hay que jugar un poco con conjuntos de vectores, para ver si son suficientes para generar y no son demasiados como para ya no ser linealmente independientes. - Mostrar que
genera a
. - Mostrar que
es linealmente independiente en
.
Veamos más ejemplos.
Problema. Determina una base para el subespacio
de
dado por

Solución. Como
y
, entonces

donde

y

. Por lo tanto

generan a

. También son linealmente independientes, pues la relación

es equivalente a

e implica

.Se sigue que

es una base para

.

Problema. Considera los subespacios
de
definidos por

y

Encuentra una base para cada uno de los subespacios

y

de

.
Solución. Expresando a
en términos de
y
, obtenemos

donde

y

.
Veamos si
son linealmente independientes. La igualdad
es equivalente a
e implica
. Por lo tanto, los vectores
son linealmente independientes y forman una base de
.
Ahora, para
. Es fácil ver que

donde

y

.
Nuevamente,
son linealmente independientes, pues la relación
es equivalente a
e implica
. Por lo tanto
forman una base de
.
Finalmente, el vector
pertenece a
si y sólo si

Se sigue que

y

, o bien

Por lo tanto

es una base de

.

Problema. Sea
el espacio de funciones
generado por las funciones en
.
a) Demuestra que
es una base de
.
b) Demuestra que
es una función en
y exprésala como combinación lineal de los elementos de
.
Solución. a) . Como
es el generado de
, por definición
es generador. Así, basta demostrar que los vectores en
son linealmente independientes. En otras palabras, queremos ver que si
son números reales tales que

para todo

, entonces

.
Tomando
se obtiene que
. Si tomamos
obtenemos
. Por lo tanto
. Finalmente, si tomamos
obtenemos
.
b) Para cada
se tiene

por lo tanto

Por lo tanto

pertence a

y lo expresamos como combinación lineal de los elementos de

de la siguiente manera:


Dimensión finita y bases
Ahora veamos un teorema muy importante en la teoría de la dimensión de espacios vectoriales.
Teorema. Sea
un espacio vectorial de dimensión finita. Entonces
a)
contiene una base con una cantidad finita de elementos.
b) Cualesquiera dos bases de
tienen el mismo número de elementos (en particular, cualquier base tiene una cantidad finita de elementos).
Demostración. a) Como
es de dimensión finita, entonces tiene al menos un conjunto generador finito. Sea
un conjunto generador de
con el menor número posible de elementos. Vamos a demostrar que
es una base para
.
ya es conjunto generador porque así lo escogimos, sólo falta probar que es linealmente independiente.
Supongamos por el contrario que
no es linealmente independiente, entonces existe
tal que
. Por lo tanto
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\text{span}(B\setminus\{v\})=\text{span}(B)=V.\]](https://blog.nekomath.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72730ca04bc12fb2a03643e9785affd6_l3.png)
Pero eso es imposible pues
se tomó de tamaño mínimo. Por lo tanto
es linealmente independiente. Se sigue el resultado deseado.
b) Sea
una base con una cantidad finita de elementos, digamos
. Sea
otra base de
. Por definición de base,
es linealmente independiente y
es un conjunto generador con
elementos.
Por el lema de Steinitz,
es finito y tiene a lo más
elementos. Lo anterior nos muestra que cualquier base tiene a lo más
elementos. De hecho, si
tiene
elementos, el lema de Steinitz garantiza que
.
Ahora volvemos a aplicar el mismo argumento que antes, pero pensando a
como linealmente independiente y a
como generador. Concluimos que
. De este modo,
y por lo tanto toda base de
tiene la misma cantidad de elementos.

El resultado anterior justifica que la siguiente definición esté bien hecha.
Definición. Sea
un espacio vectorial de dimensión finita. Definimos la dimensión
de
como el número de elementos de una base de
.
Ejemplos y problemas de dimensión
Ejemplo. Considera el espacio vectorial
y su base canónica
. Como
es base y tiene
elementos, entonces
.

Ejemplo. Considera el espacio vectorial
de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más
. Una base para
es
, por lo tanto
.

Ejemplo. Considera el espacio vectorial
. Sea
la matriz cuya entrada
es
y el resto de sus entradas son
. Entonces
es una base para
. Así,
.

Problema. Encuentra una base y la dimensión del subespacio

Solución. Notemos que
, pues
. Como
, entonces
es una base de
. Por lo tanto
.

Un lema útil para demostrar que algo es base
Para finalizar esta entrada demostraremos otro teorema muy importante en la teoría de la dimensión de espacios vectoriales. En este resultado usamos de nuevo de manera repetida el lema de intercambio de Steinitz.
Teorema. Sea
un espacio vectorial de dimensión finita
. Entonces
a) Cualquier conjunto linealmente independiente de vectores de
tiene a lo más
elementos.
b) Cualquier conjunto generador de
tiene al menos
elementos.
c) Si
es un subconjunto de
con
elementos, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
es linealmente independiente.
es un conjunto generador.
es una base de
.
Demostración. Sea
una base de
. Por definición
tiene
elementos.
a) Como
es un conjunto generador con
elementos, por el lema de intercambio se tiene que cualquier conjunto linealmente independiente tiene a lo más
elementos.
b) Sea
un conjunto generador de
y supongamos que
tiene
elementos. Como
es linealmente independiente, entonces por el lema de intercambio se tiene que
, lo cual sería una contradicción.
c) Es claro que (3) implica (1) y (2), por lo que solamente probaremos que (1) implica (3) y que (2) implica (3).
Supongamos que
es linealmente independiente, entonces por el lema de intercambio de Steintz podemos agregar
vectores a
de manera que el nuevo conjunto es generador. Claramente el nuevo conjunto es
mismo, pues no le agregamos nada. Por lo tanto
es un conjunto generador y como estamos bajo el supuesto de que
es linealmente independiente, entonces
es una base de
.
Ahora supongamos que
es un conjunto generador que no es linealmente independiente. Entonces existe
tal que
. Se sigue que
es un conjunto generador de
elementos (al generar a
, genera todo lo que generaba
). Pero esto contradice el inciso b). Por lo tanto
es linealmente independiente y por lo tanto es una base de
.

El resultado anterior nos permite pensar a las bases de un espacio vectorial como los conjuntos linealmente independientes «más grandes», o bien como los conjuntos generadores «más chicos». En la siguiente entrada veremos ejemplos prácticos del uso del teorema anterior.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- En todos los problemas en donde se hable de subespacios, verifica que en efecto los conjuntos dados son subespacios del espacio vectorial mencionado.
- En todos los ejemplos y problemas en los que se menciona que algo es base, verifica que en efecto se tiene un conjunto que es generador y linealmente independiente.
- Sea
un espacio vectorial sobre
y de dimensión
. Demuestra que si ves a
como un espacio vectorial sobre
, entonces
. - Sea
un espacio vectorial de dimensión finita y
un subespacio de
. Demuestra que
es de dimensión finita, que
y que la igualdad se da si y sólo si
. - Sean
subespacios de un espacio vectorial
con dimensiones
y
, respectivamente, con
.
a) Demuestra que
.
b) Demuestra que
. - Encuentra la dimensión del subespacio de matrices en
que son simétricas.
Más adelante…
A partir de la definición de dimensión, más adelante construiremos la noción de rango, que nos permite decir «qué tanta información guarda una matriz». La dimensión ayuda también a comprender cuándo hay cierto tipo de transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Una aplicación más de la dimensión es que en muchos casos queremos probar afirmaciones para todos los espacios vectoriales de dimensión finita. Como la dimensión nos permite asociar a cada uno de estos un entero, muchas de estas demostraciones se pueden hacer por inducción.
Entradas relacionadas