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Cálculo Diferencial e Integral I: Sucesiones de números reales

Introducción

En la unidad anterior se revisó el concepto de función, sus características y diversas clasificaciones, los conocimientos adquiridos nos ayudarán a dar inicio a esta nueva unidad referente a un tipo especial de funciones que tienen como domino los números naturales y codominio los números reales, éstas son llamadas sucesiones.

En esta entrada nos enfocaremos en entender la definición y estudiar algunos ejemplos que nos permitan familiarizarnos de forma adecuada con este nuevo concepto.

Definición de sucesión

Es probable que recuerdes ejercicios del tipo «Encuentra el siguiente término de la sucesión 1.1, 4.2, 9.3, 16.4, __, 36.6». Para resolver estos problemas hacíamos uso de nuestra creatividad con el fin de poder encontrar el patrón que nos permitiera generar cada uno de los números y, para lograrlo, resultaba fundamental establecer una especie de orden: el primer término, luego el segundo, seguido del tercero, etc. En nuestro ejemplo tenemos lo siguiente:

Primer término: 1.1
Segundo término: 4.2
Tercer término: 9.3
Cuarto término: 16.4
Quinto término: __
Sexto término: 36.6

Considerando esto, es podíamos notar que la sucesión está determinada por $n^2 + \frac{n}{10}$ donde $n$ hace referencia al término $n$-ésimo. Finalmente, calculábamos el término faltante, en nuestro caso el quinto, que sería $5^2+\frac{5}{10} = 25.5$. Sin embargo, ahora estudiaremos las sucesiones desde una perspectiva distinta donde conoceremos desde un inicio esta regla de asignación que nos permite generar la sucesión y más bien nos importará determinar las características que ésta posea.

Definición. Una sucesión de números reales o sucesión en $\RR$ es una función $f$ definida en el conjunto de números naturales $\mathbb{N}$ con codominio en los reales $\RR$.

Notemos que en la definición especificamos que estamos hablando de sucesión de números reales, pues, en principio, podemos definir funciones de $\mathbb{N}$ a cualquier otro conjunto $A$, sin embargo, aquí solo trataremos el caso donde tal conjunto $A$ es el conjunto de números reales.

Retomando el ejemplo anterior y considerando la definición dada, podemos ser más formales y establecer que la anterior sucesión es una función $f: \mathbb{N} \to \RR$ donde $f(n) = n^2 + \frac{n}{10}$.

Dado que el dominio de las sucesiones siempre son los números naturales, podemos optar por una notación más práctica y denotar a las sucesiones como $\{a_n\}$. De esta forma, el primer término de nuestro ejemplo es $a_1 = 1^2+\frac{1}{10} =1.1$, el segundo término es $a_2 = 4.2$ y así sucesivamente. De forma más general, el $n$-ésimo término de la sucesión $\{a_n\}$ es $a_n = n^2 + \frac{n}{10}$.

Observación. $\{a_n\}$ denota a la sucesión en sí, mientras que $a_n$ hacer referencia al $n$-ésimo término de la sucesión.

Ejemplos de sucesiones

Ahora revisaremos algunos ejemplos de sucesiones.

Ejemplo. Sea $c \in \mathbb{R}$, la sucesión $\{a_n \}$ generada por $a_n = c$ para todo $n \in \mathbb{N}$ la llamamos sucesión constante. Así, la sucesión constante siempre toma el mismo valor y es de la forma $$c, c, \cdots, c, \cdots$$

Ejemplo. La sucesión $\{a_n\}$ generada por $a_n = 2n$ es la sucesión de números pares. Donde sus términos son $$2, 4, 6, \cdots, 2k, \cdots$$

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ la sucesión generada por $a_n = (-1)^n$. Los términos de la sucesión son $$-1,1,-1,\cdots, -1^k, \cdots$$

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ la sucesión generada por $a_n =\frac{1}{n}$. De esta forma, sus términos son $$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{k}, \cdots$$

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ la sucesión generada por $a_n = 2^n$. Con lo cual sus términos son $$2, 4, 16, \cdots, 2^k \cdots$$

Ejemplo. Una de las sucesiones más famosas es la sucesión de Fibonacci $\{f_n\}$ la cual se define de forma inductiva.

\begin{align*}
f_1 & = 1 \\
f_2 & = 1 \\
f_{n+1} & = f_{n-1}+f_{n} \quad \forall n \geq 2
\end{align*}

A modo ilustrativo calcularemos los primeros 5 elementos de la sucesión $\{f_n\}$.
$$f_1 = 1, \quad f_2 = 1, \quad f_3 = 1+1 = 2, \quad f_4 = 1+2 = 3, \quad f_5 = 2+3 = 5$$

Ejemplo. Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida inductivamente de la siguiente forma:

\begin{align*}
a_1 & = 1 \\
a_n & = n \cdot a_{n-1} \quad \forall n \geq 2
\end{align*}

De esta forma, los primeros 5 términos de la sucesión son $$1, 2, 6, 24, 120$$

Al $n$-ésimo término de esta sucesión se le denota comúnmente como $n!$ y su valor está dado por $$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1.$$ Adicionalmente, se define $0! = 1$.

Operaciones con sucesiones

Las reglas de suma, resta, producto y cociente de funciones particularmente aplican a las sucesiones pues éstas también son funciones. Considerando esto, dadas dos sucesiones $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ y si $c \in \mathbb{R}$, definimos:

  1. Suma: $\{a_n\} + \{b_n\} = \{a_n + b_n\}$

  2. Resta: $\{a_n\} – \{b_n\} = \{a_n – b_n\}$

  3. Multiplicación: $\{a_n\} \cdot \{b_n\} = \{a_n \cdot b_n\}$

  4. Multiplicación por escalar: $ c \cdot \{a_n\} = \{ c \cdot a_n \}$

  5. Cociente: Si además $b_n \neq 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$, entonces $$\frac{ \{a_n\} }{ \{b_n\} } = \left\{ \frac{a_n}{b_n} \right\}$$

A continuación veremos algunos ejemplos

Ejemplos.

  1. $\{ n^2 \} + \{ \frac{n}{10} \} = \{ n^2 + \frac{n}{10} \}$
    Términos de la sucesión: $$1.1, 4.2, 9.3, \cdots, k^2 + \frac{k}{10}, \cdots$$
  2. $\{ n \} – \{ n + 1\} = \{ -1 \}$
    Términos de la sucesión: $$-1, -1, -1, \cdots, -1, \cdots$$
  3. $\{n-1\} \cdot \{n+1\} = \{n^2-1\}$
    Términos de la sucesión: $$0, 3, 8, \cdots, k^2-1, \cdots$$
  4. $ 5 \cdot \{ n\} = \{ 5n \}$
    Términos de la sucesión: $$5, 10, 15, \cdots, 5k, \cdots$$
  5. $\frac{ \{ n \} }{ \{ (-1)^n \} } = \left\{ \frac{n}{(-1)^n} \right\}$
    Términos de la sucesión: $$-1, 2, -3, \cdots, \frac{k}{(-1)^k}, \cdots$$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

  • Considera la sucesión de Fibonacci definida en esta entrada. Encuentra $f_1 = 8$.
  • Consideremos la sucesiones $\{ a_n \}$ y $\{b_n\}$ donde $a_n = n^2-5n+10$ y $b_n = \frac{1}{n}$. Determina los primeros 8 términos de las siguientes sucesiones:
    • $\{ a_n \} \cdot \{b_n\}$
    • $\{ a_n \} + \{b_n\}$
    • $\frac{\{ a_n \}}{\{b_n\}}$
    • $8 \cdot \{ a_n \} – 10 \cdot \{ \frac{1}{b_n}\}$

Más adelante…

En la siguiente entrada se hará la revisión del concepto de sucesión convergente para lo cual veremos la definición de límite aplicado a sucesiones el cual será clave para el estudio de todos los temas subsecuentes en el curso pues será el antecesor de la definición del límite de una función bajo el cual se fundamenta el concepto de derivada de un función y, con ello, una amplia gama de aplicaciones.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes

Introducción

Al comienzo de la segunda unidad, revisamos las propiedades más importantes de las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. En particular, vimos que para encontrar la solución general basta con encontrar dos soluciones particulares que sean linealmente independientes, y la combinación lineal de estas será la solución general a la ecuación.

Pondremos en práctica lo aprendido anteriormente para resolver ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, es decir, de la forma $a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=0$, donde $a$, $b$ y $c$ son constantes y $a \neq 0$. Observaremos que las soluciones deben ser de la forma $e^{rt}$, y si hallamos los valores de $r$ que satisfagan la ecuación diferencial, entonces podremos encontrar la solución general.

Finalmente analizaremos tres distintos casos que se presentan cuando buscamos la solución general a la ecuación diferencial, los cuales dependen de la ecuación $ar^{2}+br+c=0$, que aparece durante el desarrollo de la solución. Por supuesto, estos casos dependerán de las raíces de dicha ecuación.

Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces reales diferentes

Analizamos cómo deben ser las soluciones a la ecuación $a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=0$, y suponiendo que $y_{0}(t)=e^{rt}$ es una solución, hallamos la solución general a la ecuación. En particular, revisamos el caso cuando las dos raíces de la ecuación $ar^{2}+br+c=0$ son reales y distintas, y resolvemos un ejemplo.

Raíces reales repetidas

En este video revisamos el caso cuando las dos raíces de la ecuación $ar^{2}+br+c=0$ son iguales, y resolvemos un ejemplo para mostrar lo desarrollado.

Raíces complejas

En el último video de esta entrada revisamos el caso cuando las dos raíces de la ecuación $ar^{2}+br+c=0$ son complejas, vemos que las soluciones complejas se comportan de manera similar a las soluciones con valores reales, y como buscamos soluciones reales, transformamos la solución compleja en una real.

Tarea moral

  • Resuelve el problema de valor inicial $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-6\frac{dy}{dt}+y=0$ ; $y(0)=1$, $\frac{dy}{dt}(0)=0$.
  • Prueba que $\{e^{rt}, te^{rt}\}$ es un conjunto linealmente independiente. Por tanto, para el caso cuando $ar^{2}+br+c=0$ tiene raíces repetidas, la solución general a la ecuación $a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=0$ efectivamente es la que se muestra en el video correspondiente.
  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=0$ ; $y(0)=1$, $\frac{dy}{dt}(0)=0$.
  • Prueba que si $r_{1}=w + iz$ y $r_{2}=w – iz$, entonces $\{e^{r_{1}t}, e^{r_{2}t}\}$ es un conjunto linealmente independiente. Por tanto, para el caso cuando $ar^{2}+br+c=0$ tiene raíces complejas, la solución general a la ecuación $a\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+cy=0$ es la combinación lineal de estas dos funciones.
  • Prueba que $W[e^{wt}\cos{zt}, e^{wt}\sin{zt}]\neq 0$ para el caso del ejercicio anterior, y por tanto la combinación lineal de estas dos funciones es la solución general a la ecuación diferencial.
  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+\frac{dy}{dt}+2y=0$ ; $y(0)=1$, $\frac{dy}{dt}(0)=0$.

Más adelante

En la siguiente entrada comenzaremos a estudiar el caso no homogéneo de las ecuaciones lineales de segundo orden, es decir, ecuaciones de la forma $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=g(t)$ donde la función $g$ no es la constante cero.

En particular, resolveremos este tipo de ecuaciones por el método de variación de parámetros, que es análogo al método de variación de parámetros para resolver ecuaciones no lineales de primer orden.

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Ecuaciones Diferenciales l: Ecuación de Bernoulli y ecuación de Riccati

Introducción

Para concluir con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales, en esta entrada presentaremos dos tipos de ecuaciones más, conocidas como la ecuación diferencial de Bernoulli y la ecuación diferencial de Riccati.

Al tratarse de la última entrada sobre el desarrollo de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, presentaremos un breve resumen sobre el tipo de ecuaciones que estudiamos y su respectivo método de resolución.

Ecuación diferencial de Bernoulli

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli en el siglo XVll.

Definición: La ecuación diferencial

\begin{align}
a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) y^{n} \label{1} \tag{1}
\end{align}

donde $n$ es cualquier número real, se llama ecuación de Bernoulli.

Si a la ecuación de Bernoulli la dividimos por la función $a_{1}(x) \neq 0$ obtenemos

$$\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{a_{0}(x)}{a_{1}(x)} y = \dfrac{g(x)}{a_{1}(x)} y^{n}$$

Definimos las siguientes funciones

$$P(x)=\dfrac{a_{0}(x)}{a_{1}(x)} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x)=\dfrac{g(x)}{a_{1}(x)}$$

Entonces una ecuación de Bernoulli se puede reescribir como

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n} \label{2} \tag{2}
\end{align}

La ecuación (\ref{2}) es también una definición común de ecuación de Bernoulli.

Puedes observar que si $n = 0$, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal no homogénea:

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Y si $n = 1$, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal homogénea:

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y &= Q(x) y \\
\dfrac{dy}{dx} + [P(x) -Q(x)] y &= 0 \\
\dfrac{dy}{dx} + R(x) y &= 0
\end{align*}

Donde definimos $R(x) = P(x) -Q(x)$, ambas ecuaciones ya las sabemos resolver.

Nuestro objetivo será resolver la ecuación de Bernoulli para el caso en el que $n \neq 0$ y $n \neq 1$. Una propiedad de las ecuaciones de Bernoulli es que la sustitución $u(x) = y^{1 -n}$ la convierte en una ecuación lineal y de esta manera podremos resolverla usando el método de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales. Para mostrar este hecho consideremos la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{2}).

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n}$$

Dividimos toda la ecuación por $y^{n}$.

\begin{align}
\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} + P(x) y^{1-n} = Q(x) \label{3} \tag{3}
\end{align}

Si definimos $u = y^{1-n}$, al derivar esta función obtenemos

$$\dfrac{du}{dx} = (1 -n) y^{-n} \dfrac{dy}{dx} = (1 -n) \dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$$

De donde

$$\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -n} \dfrac{du}{dx}$$

Sustituimos este resultado y $y^{1-n} = u$ en la ecuación (\ref{3}):

\begin{align}
\dfrac{1}{1-n} \dfrac{du}{dx} + P(x)u = Q(x) \label{4} \tag{4}
\end{align}

Multiplicamos por $1 -n$ en ambos lados de la ecuación

$$\dfrac{du}{dx} + (1 -n)P(x)u = (1 -n)Q(x)$$

Definimos $R(x) = (1 -n)P(x)$ y $S(x) = (1 -n)Q(x)$. En términos de estas funciones la ecuación (\ref{4}) se puede escribir de la siguiente forma:

\begin{align}
\dfrac{du}{dx} + R(x)u = S(x) \label{5} \tag{5}
\end{align}

Puedes notar que la ecuación (\ref{5}) corresponde a una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea.

En conclusión, una ecuación de Bernoulli (\ref{2}) bajo la sustitución $u(x) = y^{1 -n}(x)$ se vuelve una ecuación diferencial lineal en la forma (\ref{5}) y por tanto podemos aplicar el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales.

Los pasos que se recomiendan seguir para resolver una ecuación diferencial de Bernoulli se presentan a continuación.

Método para resolver ecuaciones de Bernoulli

  1. El primer paso es escribir a la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{2}).
  1. Dividimos toda la ecuación por $y^{n}$ y consideramos el cambio de variable $u = y^{1 -n}$ y la respectiva derivada $\dfrac{du}{dx} = (1 -n)\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$.
  1. Sustituimos $y^{1 -n} = u$ y $\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -n}\dfrac{du}{dx}$ en la ecuación resultante del paso anterior y haciendo un poco de álgebra podremos reducir la ecuación de Bernoulli en una ecuación lineal de primer orden no homogénea.
  1. Resolvemos la ecuación resultante usando el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales lo que nos permitirá obtener la función $u(x)$.
  1. Regresamos a la variable original.

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos estos pasos.

Ejemplo: Resolver la ecuación de Bernoulli $3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} = 2xy (y^{3} -1)$

Solución: El primer paso es escribir la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{2}):

\begin{align*}
3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} &= 2xy (y^{3} -1) \\
\dfrac{dy}{dx} & =\dfrac{2xy (y^{3} -1)}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2xy^{4}}{3(1 + x^{2})} -\dfrac{2xy}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) y &= \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) y^{4}
\end{align*}

La última relación muestra a la ecuación en la forma (\ref{2}) con $n = 4$, ahora dividamos toda la ecuación por $y^{4}$.

\begin{align}
\dfrac{1}{y^{4}} \dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1+x^{2})} \right) y^{-3} = \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \label{6} \tag{6}
\end{align}

Consideremos la sustitución $u=y^{1-n}=y^{1-4}=y^{-3}=\dfrac{1}{y^{3}}$ y $\dfrac{du}{dx} = -3 y^{-4} \dfrac{dy}{dx}$.

De donde

\begin{align*}
\dfrac{1}{y^{4}} \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{3} \dfrac{du}{dx} \hspace{1.5cm} y \hspace{1.5cm} y^{-3} = u
\end{align*}

Sustituimos estos resultados en la ecuación (\ref{6})

\begin{align*}
-\dfrac{1}{3} \dfrac{du}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) u &= \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{du}{dx} +\left( -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right) u &= -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \label{7} \tag{7}
\end{align*}

La última ecuación es una expresión en la forma (\ref{5}), con esto hemos logrado reducir la ecuación de Bernoulli en una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea. Establecemos las siguientes funciones

\begin{align*}
R(x) = -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} S(x) = -\dfrac{2x}{1 + x^{2}}
\end{align*}

A partir de aquí aplicamos el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Primero calculemos el factor integrante dado como $\mu (x) = e^{\int {R(x)dx}}$. Resolvamos la integral del exponente omitiendo la constante de integración

\begin{align*}
\int {R(x)dx} &= -\int \dfrac{2x}{1 + x^{2}} dx \\
&= -\ln|1 + x^{2}|
\end{align*}

Sustituyendo en el factor integrante

$$\mu (x) = e^{-\ln|1 + x^{2}|} = \dfrac{1}{1+x^{2}}$$

Por lo tanto el factor integrante es $\mu (x) = \dfrac{1}{1 + x^{2}}$. Multipliquemos a la ecuación (\ref{7}) por el factor integrante:

$$\dfrac{1}{1 + x^{2}} \dfrac{du}{dx} -\dfrac{1}{1 + x^{2}} \left( \dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right) u = -\dfrac{1}{1 + x^{2}} \left( \dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right)$$

Identificamos que el lado izquierdo de la ecuación es la derivada del producto del factor integrante por la función $u(x)$, de esta manera

$$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{u}{1 + x^{2}} \right) = -\dfrac{2x}{(1 + x^{2})^{2}}$$

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$. Por tratarse del último paso ahora sí consideramos a la constante de integración

$$\int \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{u}{1 + x^{2}} \right) dx = -\int \dfrac{2x}{(1 + x^{2})^{2}} dx$$

En el lado izquierdo aplicamos el teorema fundamental del cálculo y en el lado derecho consideramos la sustitución $a(x) = 1 + x^{2}$ para resolver la integral, el resultado obtenido es

\begin{align*}
\dfrac{u}{1 + x^{2}} &= \dfrac{1}{1 + x^{2}} + c \\
u &= 1 + (1 + x^{2}) c \\
u &= 1 + c + x^{2}c
\end{align*}

Regresamos a la variable original $u = \dfrac{1}{y^{3}}$

\begin{align*}
\dfrac{1}{y^{3}} &= 1 + c + x^{2}c \\
y^{3} &= \dfrac{1}{cx^{2} + c + 1}
\end{align*}

La ultima ecuación corresponde a la forma implícita de la solución, para obtener la solución explícita sacamos la raíz cúbica obteniendo finalmente

$$y=\sqrt[3]{cx^{2} + c + 1}$$

Por lo tanto, la solución general a la ecuación diferencial de Bernoulli

$$3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} = 2xy (y^{3} -1)$$

es

$$y(x) = \sqrt[3]{cx^{2} + c + 1}$$

$\square$

Ahora revisemos la ecuación de Riccati.

Ecuación diferencial de Riccati

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinara no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVlll por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati.

Definición: La ecuación diferencial

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2} \label{8} \tag{8}
\end{align}

se llama ecuación de Riccati.

Resolver la ecuación de Ricatti requiere del conocimiento previo de una solución particular de la ecuación, llamemos a dicha solución $y_{1}(x)$. Si hacemos la sustitución

\begin{align}
y(x) = y_{1}(x) + u(x) \label{9} \tag{9}
\end{align}

La ecuación de Riccati adquiere la forma de una ecuación de Bernoulli, de tarea moral verifica este hecho. Ya vimos que para resolver una ecuación de Bernoulli debemos reducirla a una ecuación lineal no homogénea así que veamos directamente cómo reducir una ecuación de Riccati a una ecuación lineal no homogénea.

Sea $y_{1}(x)$ una solución particular de la ecuación de Riccati y consideremos la sustitución

\begin{align}
y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)} \label{10} \tag{10}
\end{align}

Derivando esta ecuación obtenemos

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy_{1}}{dx} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \label{11} \tag{11}
\end{align}

Como $y_{1}(x)$ es una solución a la ecuación de Riccati entonces se cumple que

\begin{align}
\dfrac{dy_{1}}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} \label{12} \tag{12}
\end{align}

Sustituyendo (\ref{12}) en (\ref{11}) obtenemos la siguiente ecuación:

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \label{13} \tag{13}
\end{align}

Ahora podemos igualar la ecuación (\ref{13}) con la ecuación de Riccati (\ref{8})

\begin{align*}
q_{1}(x) + q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2} &= q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2} &= q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{2}(x) y_{1} -q_{2}(x) y + q_{3}(x)y^{2}_{1} -q_{3}(x) y^{2} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{2}(x)(y_{1} -y) + q_{3}(x)(y^{2}_{1} -y^{2})
\end{align*}

En la última ecuación sustituimos la función (\ref{10}):

\begin{align*}
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{2}(x) \left[ y_{1} -\left( y_{1} + \dfrac{1}{u} \right) \right] + q_{3}(x) \left [ y^{2}_{1} -\left( y_{1} + \dfrac{1}{u} \right) ^{2} \right ] \\
&= q_{2}(x) \left( y_{1} -y_{1} -\dfrac{1}{u} \right) + q_{3}(x) \left( y^{2}_{1} -y^{2}_{1} -2 y_{1} \dfrac{1}{u} -\dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= q_{2}(x) \left( -\dfrac{1}{u} \right ) + q_{3}(x) \left( -2\dfrac{y_{1}}{u} -\dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= -\dfrac{q_{2}(x)}{u} -2 q_{3}(x) \dfrac{y_{1}}{u} -\dfrac{q_{3}(x)}{u^{2}}
\end{align*}

Esto es

$$\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} = -\dfrac{q_{2}(x)}{u} -2 q_{3}(x) \dfrac{y_{1}}{u} -\dfrac{q_{3}(x)}{u^{2}}$$

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $u^{2}$

\begin{align*}
\dfrac{du}{dx} &= -q_{2}(x)u -2q_{3}(x) y_{1}u -q_{3}(x) \\
\dfrac{du}{dx} &= -\left( q_{2}(x) + 2q_{3}(x) y_{1} \right) u -q_{3}(x) \\
\dfrac{du}{dx} + \left( q_{2}(x) + 2q_{3}(x) y_{1} \right) u &= -q_{3}(x)
\end{align*}

Definimos las funciones $R(x) = q_{2}(x) + 2q_{3}(x) y_{1}$ y $S(x) = -q_{3}(x)$ de manera que la última ecuación queda como

\begin{align}
\dfrac{du}{dx} + R(x) u = S(x) \label{14} \tag{14}
\end{align}

De esta manera queda demostrado que la sustitución

$$y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$$

Convierte a la ecuación de Riccati en una ecuación diferencial lineal y por tanto puede ser resuelta con el método de resolución de ecuaciones lineales.

Como es usual, desarrollemos una serie de pasos a seguir para resolver las ecuaciones de Riccati.

Método para resolver ecuaciones de Riccati

Con el fin de evitar memorizar los resultados anteriores se recomienda seguir la siguiente serie de pasos para resolver una ecuación diferencial de Riccati.

  1. El primer paso es escribir a la ecuación de Riccati en la forma (\ref{8}) y estar seguros de que conocemos previamente una solución particular $y_{1}(x)$ de la ecuación.
  1. Como queremos reducir la ecuación de Riccati en una ecuación lineal no homogénea consideramos la sustitución $y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$, con $y_{1}(x)$ la solución particular dada.
  1. Debido a que $y_{1}(x)$ es solución a la ecuación de Riccati, el siguiente paso es derivar la sustitución $y = y_{1} + \dfrac{1}{u}$ y en el resultado sustituir $\dfrac{dy_{1}}{dx}$ por la ecuación de Riccati para la solución particular, esto es

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy_{1}}{dx} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx}$$

  1. Igualamos la ecuación anterior con la ecuación de Riccati original en la forma (\ref{8}) y hacemos la sustitución $y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$.
  1. Hecho lo anterior y haciendo un poco de álgebra podremos reducir la ecuación de Riccati en una ecuación lineal de primer orden y así aplicar el método de resolución para este tipo de ecuaciones.
  1. Una vez obtenida la función $u(x)$ la sustituimos en $y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$ para así finalmente obtener la solución $y(x)$.

Realicemos un ejemplo para poner en practica este método.

Ejemplo: Resolver la ecuación de Riccati $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2}$ considerando la solución particular $y_{1} = \dfrac{2}{x}$.

Solución: Vemos que la ecuación diferencial que queremos resolver ya prácticamente tiene la forma de la ecuación (\ref{8}), pero para que sea mas claro consideremos la siguiente forma:

$$\dfrac{dy}{dx} = \left( -\dfrac{4}{x^{2}} \right) + \left( -\dfrac{1}{x} \right) y + y^{2}$$

El problema ya nos da la solución particular $y_{1}(x) = \dfrac{2}{x}$ (verifica que, en efecto, es una solución a la ecuación de Riccati). El segundo paso es hacer la sustitución $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$. Por la ecuación (\ref{13}) tenemos

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{1}{x} \left( \dfrac{2}{x} \right) + \left( \dfrac{2}{x} \right)^{2} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx}$$

Igualando el resultado anterior con la ecuación de Riccati tenemos

\begin{align*}
-\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2} &= -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{1}{y^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
-\dfrac{y}{x} + y^{2} &= \dfrac{2}{x^{2}} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{y}{x} -y^{2}
\end{align*}

En la última ecuación sustituimos $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$

\begin{align*}
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{1}{x} \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u} \right) -\left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u} \right)^{2} \\
&= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{1}{xu} -\left( \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{4}{xu} + \dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{1}{xu} -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{4}{xu} -\dfrac{1}{u^{2}} \\
&= -\dfrac{3}{xu} -\dfrac{1}{u^{2}} \\
\end{align*}

De donde

$$\dfrac{du}{dx} + \dfrac{3}{x}u = -1$$

Esta expresión tiene la forma de una ecuación diferencial lineal (\ref{14}), de donde podemos determinar que

$$R(x) = \dfrac{3}{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} S(x) = -1$$

Ya que hemos reducido la ecuación de Riccati en una ecuación lineal no homogénea a partir de aquí usamos el método de resolución de ecuaciones lineales.

Calculemos el factor integrante $\mu(x) = e^{\int R(x)dx}$.

\begin{align*}
\int {R(x)dx} = \int {\dfrac{3}{x}dx} = 3\ln| x |
\end{align*}

Entonces, el factor integrante es

$\mu (x) = e^{3 \ln|x|} = x^{3}$

Multiplicamos la ecuación lineal por el factor integrante

\begin{align*}
x^{3} \dfrac{du}{dx} + x^{3} \left( \dfrac{3}{x} \right ) u &= -x^{3} \\
x^{3} \dfrac{du}{dx} + 3x^{2}u &= -x^{3}
\end{align*}

Identificamos el lado izquierdo de la ecuación como la derivada del producto del factor integrante $\mu (x)$ por la función $u(x)$, esto es

$$\dfrac{d}{dx} \left( x^{3}u \right) = -x^{3}$$

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$

\begin{align*}
\int {\dfrac{d}{dx} \left( x^{3}u \right) dx} &= \int {-x^{3}dx} \\
x^{3}u &= -\dfrac{x^{4}}{4} + c \\
u &= -\dfrac{x}{4} + \dfrac{c}{x^{3}}
\end{align*}

Ya determinamos el valor de $u(x)$ ahora sólo lo sustituimos en la función $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$

Por lo tanto, la solución general a la ecuación de Bernoulli

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2}$$

es

$$y(x) = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{\dfrac{c}{x^{3}} -\dfrac{x}{4}}$$

$\square$

Hemos concluido con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Para concluir con esta entrada presentaremos un breve resumen sobre los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales que estudiamos y su método de resolución correspondiente.

Resumen de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden

  1. Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

Condiciones de linealidad:

  • La variable dependiente $y$ y todas sus derivadas son de primer grado.
  • Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente $x$ y/o de constantes.

Si $Q(x) = 0$ la ecuación es homogénea y su solución es

$$y(x) = ke^{-\int{P(x)}dx}$$

Si $Q(x) \neq 0$ la ecuación es no homogénea y su solución es

$$y(x) = e^{-\int P(x)dx} \left( \int{e^{\int P(x) dx} Q(x) dx} + k \right)$$

Método del factor integrante: Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$

Método de variación de parámetros: La solución tiene la forma $y(x) = k(x) e^{-\int{P(x)} dx}$ con $k(x) = \int{e^{\int{P(x)} dx} Q(x)}$

Por lo tanto, una lineal puede resolverse: a) Aplicando directamente la formula general; b) por medio de un factor integrante, y c) usando variación de parámetros.

  1. Ecuaciones diferenciales de variables separables

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g(x)}{f(x)}$$

Método de solución: integración directa.

  1. Ecuaciones diferenciales homogéneas

$$M(x, y) + N(x, y) \dfrac{dy}{dx} = 0$$

Es homogénea si

\begin{align*}
M(tx, ty) = t^{n}M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(tx, ty) = t^{n}N(x, y)
\end{align*}

Método de solución: Cambio de variable $y = ux$ y $\dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx}$ para reducirla a una ecuación de variables separables.

  1. Ecuaciones diferenciales exactas

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

Se verifica que es exacta usando del criterio de diferencial exacta.

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

Si lo es, definimos

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)
\end{align*}

Método de solución:

  • Tomar $\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y)$ o $\dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)$.
  • Integrar en $x$ o integrar en $y$.
  • Derivar con respecto a $y$ o con respecto a $x$.
  • Igualar el resultado a $N(x, y)$ o igualar a $M(x, y)$.
  • Integrar.
  1. Factores integrantes

$\mu (x, y)$ es factor integrante si $\mu (x, y) M(x, y) dx + \mu (x, y) N(x, y) dy = 0$ es exacta.

Si el factor integrante es función de $x$:

$$\mu (x) = exp \left[ \int{ \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx} \right]$$

Si el factor integrante es función de $y$:

$$\mu (y) = exp \left[ \int{ \dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) dx} \right]$$

Método de solución: Se multiplica la ecuación diferencial por el factor integrante y se resuelve por exactas o por variables separables según el caso.

  1. Ecuación diferencial de Bernoulli

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n}$$

Método de solución: Para $n \neq 0$ y $n \neq 1$ hacemos el cambio de variable $u = y^{1 -n}$ y $\dfrac{du}{dx} = (1 -n)\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$ para reducirla a una ecuación lineal

  1. Ecuación diferencial de Riccati

$$\dfrac{dy}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2}$$

Método de solución: Conocida una solución particular $y_{1}$ se hace la sustitución $y = y_{1} + u$ para reducir la ecuación a una ecuación de Bernoulli o la sustitución $y = y_{1} + \dfrac{1}{u}$ para reducirla directamente a una ecuación lineal no homogénea.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Resuelve las siguientes ecuaciones de Bernoulli.
  • $\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{x}y = \dfrac{2}{3}x^{4}y^{4}$
  • $3x \dfrac{dy}{dx} -2y = x^{3}y^{-2}$
  • $x^{2} \dfrac{dy}{dx} -2xy = 3y^{4} \hspace{0.8cm}$ con la condición inicial $\hspace{0.5cm} y(1) = \dfrac{1}{2}$
  1. Resuelve las siguientes ecuaciones de Riccati.
  • $x^{3} \dfrac{dy}{dx} = x^{4}y^{2} -2x^{2}y -1 \hspace{0.8cm}$ con solución particular $\hspace{0.5cm} y_{1} = \dfrac{1}{x^{2}}$
  • $\dfrac{dy}{dx} = xy^{2} + y + \dfrac{1}{x^{2}} \hspace{0.8cm}$ con solución particular $\hspace{0.5cm} y_{1} = -\dfrac{1}{x}$
  1. Demuestra que la sustitución

$$y(x) = y_{1}(x) + u(x)$$

convierte a una ecuación de Riccati en una ecuación de Bernoulli.

Más adelante…

Con esta entrada concluimos el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, a lo largo de la unidad vimos una descripción cualitativa y posteriormente una descripción analítica en la que desarrollamos varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales tanto lineales como no lineales. Lo natural es continuar con el estudio de las ecuaciones diferenciales de segundo orden pero antes es importante hacer un estudio con mayor detalle sobre el teorema de existencia y unicidad con el cual justificaremos toda la teoría desarrollada a lo largo de la unidad.

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Geometría Moderna I: Cuadriláteros cíclicos

Introducción

Definición 1. Si los vértices de un polígono están en una misma circunferencia decimos que está inscrito en ella o que es cíclico.

Sabemos que para un triángulo cualquiera siempre existe una única circunferencia en la que el triángulo está inscrito y cuyo centro es el punto en el que concurren las mediatrices de los lados del triángulo. Para un cuadrilátero cualquiera esto no siempre es posible, aquí veremos algunas condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero sea cíclico y algunos otros resultados.

Algunas caracterizaciones

Teorema 1. (a) Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si los ángulos opuestos son suplementarios.

Demostración. Sea$\square ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en $(O, r)$, los ángulos opuestos $\angle ADC$ y $\angle CBA$ son subtendidos por los arcos $\overline{AC}$ y $\overline{CA}$ respectivamente y por el Teorema de la medida del ángulo inscrito tenemos que $\measuredangle ADC + \measuredangle CBA = \dfrac{\measuredangle AOC}{2} + \dfrac{\measuredangle COA}{2} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$.

De manera análoga se ve que $\angle BAD$ y $\angle DCB$ son suplementarios, por lo tanto, los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios.

Ahora supongamos que los ángulos opuestos $\angle ADC$ y $\angle CBA$ de $\square ABCD$ son suplementarios, consideremos el par de puntos fijos $A$ y $C$ entonces el lugar geométrico de los puntos $D’$ tales que el ángulo $\measuredangle AD’C = \pi – \measuredangle CBA$ son dos arcos de circunferencia que son simétricos con respecto a $\overline{AC}$.

Por otra parte, en el circuncírculo $(O, OB)$ de $\triangle ABC$, sabemos que todos los puntos $D’ \in \overset{\LARGE{\frown}}{CA}$ cumplen que $\measuredangle AD’C = \pi – \measuredangle ABC$ (entrada ángulos en la circunferencia, tarea moral, ejercicio 2) y como $(O, OB)$ es única se tiene que $A, B, C, D \in (O, OB)$.

Por lo tanto, $\square ABCD$ es cíclico.

$\blacksquare$

(b) Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si uno de los pares de ángulos formados uno con una diagonal y un lado y el otro con la otra diagonal y el lado opuesto son iguales.

(c) Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si las mediatrices de los cuatro lados del cuadrilátero son concurrentes.

La prueba de estas dos últimas proposiciones queda como ejercicio.

Definición 2. Sean $l_{1}$, $l_{2}$ y $l_{3}$, $l_{4}$ dos pares de rectas tales que la bisectriz del primer par es transversal al segundo par y forma ángulos internos iguales entonces decimos que $l_{3}$ y $l_{4}$ son antiparalelas con respecto a $l_{1}$ y  $l_{2}$.

Observación. Dos rectas paralelas también pueden ser antiparalelas entre sí, por ejemplo, en un trapecio isósceles la bisectriz del par de lados que no son paralelos es perpendicular al par de lados paralelos.

En el caso de dos rectas paralelas diferentes decimos que su bisectriz es la recta que equidista de ellas. Con esto podemos decir que en un rectángulo cualquier par de lados opuestos son antiparalelos con respecto al otro.

Teorema 2. Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si un par de lados opuestos es antiparalelo respecto al otro par de lados opuestos.

Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sean $E$ la intersección de $\overline{AB}$ con $\overline{CD}$, $F$ y $G$ los puntos en que la bisectriz de $\angle DEA$ interseca a $\overline{DA}$ y $\overline{BC}$ respectivamente.

Por el Teorema 1 (a) sabemos que $\measuredangle DCB + \measuredangle BAD = \pi$ pero $\measuredangle FAE + \measuredangle DAB = \pi$, por lo tanto $\measuredangle DCB = \measuredangle FAE$ y como $\measuredangle FED = \measuredangle AEF$ los triángulos $\triangle AEF$ y $\triangle CEG$ son similares.

Luego $\measuredangle EFA = \measuredangle CGE$ pero $\measuredangle EFA = \measuredangle GFD$ por ser opuestos por el vértice por lo tanto $\measuredangle GFD = \measuredangle CGF$.

$\blacksquare$

La prueba para la proposición reciproca es exactamente la misma, pero intercambiando la dirección de los argumentos.

Corolario. Si se prolongan los lados de un cuadrilátero cíclico las bisectrices de los ángulos formados por los lados opuestos son perpendiculares entre sí.

Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sean $E$ la intersección de $\overline{AB}$ con $\overline{CD}$, $F$ y $G$ los puntos en que la bisectriz de $\angle DEA$ interseca a $\overline{DA}$ y $\overline{BC}$ respectivamente y $H$ la intersección de $\overline{DA}$ con $\overline{BC}$ como en la imagen anterior.

Como $\square ABCD$ es cíclico por el Teorema 2 se tiene que $\measuredangle GFD = \measuredangle CGF$ por lo tanto $\triangle GHF$ es isósceles y por lo tanto la bisectriz de $\angle GHF$ coincide con la mediatriz de $\overline{FG}$ por lo tanto las bisectrices de $\angle BHA$ y $\angle CEB$ son perpendiculares.

$\blacksquare$

Teorema de Ptolomeo

Teorema 3. En todo cuadrilátero convexo la suma de los productos entre lados opuestos es mayor o igual a el producto de las diagonales.

Demostración. Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero, construyamos sobre el segmento $\overline{AB}$ un triángulo $\triangle ABE$ semejante a $\triangle ADC$ tal que $\measuredangle ABE = \measuredangle CAD$ y $\measuredangle BAE = \measuredangle CAD$ entonces tenemos que  $\dfrac{EA}{CA} = \dfrac{BA}{DA}$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{EA}{BA} = \dfrac{CA}{DA}$.

De la última igualdad y dado que $\measuredangle CAE = \measuredangle BAD$, por criterio lado, ángulo, lado, los triángulos $\triangle EAC$ y $\triangle BAD$ son semejantes entonces de la primera y segunda relaciones de semejanza tenemos que
$\dfrac{EB}{CD} = \dfrac{AB}{AD}$ y $\dfrac{EC}{BD} = \dfrac{AC}{AD}$  $\Leftrightarrow$ $EB = \dfrac{AB \times CD}{AD}$ y $EC = \dfrac{AC \times BD}{AD}$.

Ahora notemos que tenemos dos casos:

Caso 1. $B \in \overline{EC}$ $\Leftrightarrow$ $\measuredangle CBA + \measuredangle ADC = \measuredangle CBA + \measuredangle ABE = \pi$ $\Leftrightarrow$ $\square ABCD$ es cíclico, y en tal caso $EC = EB + BC$ $\Leftrightarrow$ $\dfrac{AC \times BD}{AD} = \dfrac{AB \times CD}{AD} + BC$ $\Leftrightarrow$ $AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC$.

Caso 2. $E$, $B$ y $C$ son tres puntos no colineales $\Leftrightarrow$ $\measuredangle CBA + \measuredangle ADC = \measuredangle CBA + \measuredangle ABE \ne \pi$ $\Leftrightarrow$ $\square ABCD$ no es cíclico, entonces aplicando la desigualdad del triángulo a $\triangle EBC$ tenemos que $EC < EB + BC$ $\Leftrightarrow$ $AC \times BD < AB \times CD + AD \times BC$.

Finalmente tenemos que $AB \times CD + AD \times BC \geq AC \times BD$.

$\blacksquare$

Nota: El Teorema de Ptolomeo es el caso en el que se da la igualdad y notemos que el reciproco también es cierto pues si suponemos que la igualdad $AB \times CD + AD \times BC = AC \times BD$ es cierta, pero $\square ABCD$ no es cíclico entonces se da la desigualdad lo que es una contradicción.

Problema. Construir un cuadrilátero convexo y cíclico dados sus cuatro lados $a$, $b$, $c$ y $d$.

Solución. Notemos primero que es necesario que la suma de cualesquiera tres de los lados dados sea mayor que el lado restante pues si un lado es mayor que la suma de los otros tres no es posible construir ningún cuadrilátero y si es igual entonces solo es posible construir un cuadrilátero degenerado donde todos los vértices están alineados y en tal caso el cuadrilátero no será cíclico.

Supongamos que $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$ y $DA = d$, la prueba del Teorema anterior nos sugiere una manera de resolver este problema, trazamos el segmento $\overline{BC}$ y lo extendemos del lado de $B$ hasta un punto $E$ tal que $EB = \dfrac{ac}{d}$, el cual es posible construir pues sabemos construir el producto de dos magnitudes y el inverso de una magnitud dadas.

Aquí estamos usando que $B \in \overline{EC}$ $\Leftrightarrow$ $\square ABCD$ es cíclico y que los triángulos $\triangle ABE$ y $\triangle ADC$ son semejantes como en la prueba anterior. La razón de semejanza está dada por $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{BE}{CD} = \dfrac{ac}{dc} = \dfrac{a}{d}$.

Esto último nos dice que la razón entre las distancias de $A$ a los puntos $E$ y $C$ es una razón fija por lo tanto $A$ esta en la circunferencia de Apolonio determinada por $O$, $C$ y la razón $\dfrac{a}{d}$.

Por otro lado, el vértice $A$ se encuentra en la circunferencia con centro en $B$ y radio $a$, por lo tanto, $A$ esta determinado por la intersección de $(B, a)$ y la circunferencia de Apolonio mencionada.

Ahora que conocemos la diagonal $\overline{AC}$ podemos completar el triángulo $\triangle ACD$ trazando circunferencias $(A, d)$ y $(C, c)$, una de las intersecciones será el cuarto vértice del cuadrilátero buscado.

$\blacksquare$

Algunas propiedades

Teorema 4. Las perpendiculares trazada desde los puntos medios de un cuadrilátero cíclico a los correspondientes lados opuestos son concurrentes.

Demostración. Sea $\square ABCD$ cíclico y sean $E$, $F$, $G$ y $H$ los puntos medios de $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$ respectivamente consideremos $O$ y $J$ el circuncentro y el centroide respectivamente de $\square ABCD$.

Notemos que la recta que pasa por $\overline{OF}$ es perpendicular a $\overline{BC}$ pues $\triangle BOC$ es un triángulo isósceles donde $BO = OC$ y $\overline{OF}$ es la mediana relativa a  $\overline{BC}$ y por tanto coincide con la altura trazada desde $O$.

La perpendicular a $\overline{BC}$ desde $H$ interseca a $\overline{BC}$ en $H’$, $HH´$ interseca a la recta determinada por $O$ y $J$ en $M$.

Como $\overline{OF} \parallel \overline{HH’}$ $\measuredangle JFO = \measuredangle JHM$ y además $\measuredangle OJF = \measuredangle MJH$ por ser opuestos por el vértice, así tenemos que $\triangle JFO$ y $\triangle JHM$ son semejantes y como $J$ biseca a $HF$ entonces $JO = JM$, en otras palabras, $\overline{HH}$’ pasa por $M$ que es el punto simétrico de $O $ respecto a $J$.

De manera similar podemos ver que las rectas $\overline{EE’}$, $\overline{FF’}$ y $\overline{GG’}$ pasan por $M$, por lo tanto, son concurrentes.

$\blacksquare$

Definición 3. Nos referiremos al simétrico del circuncentro de un cuadrilátero cíclico respecto de su centroide como el anticentro del cuadrilátero cíclico.

Lema. En un triángulo la distancia de uno de sus lados al circuncentro es igual a la mitad de la distancia del vértice opuesto al ortocentro del triángulo.

Demostración. Sean $\triangle ABC$, $O$ y $H$ el circuncentro y ortocentro del triángulo respectivamente, consideremos también $D$ el punto diametralmente opuesto a $C$ y $E$ el pie de la perpendicular a $\overline{BC}$ desde $O$ como en la imagen.

$\triangle BCD$ es recto pues $\overline{CD}$ es diámetro, entonces $\overline{DB} \parallel \overline{OE}$ y como $O$ es el punto medio de $\overline{CD}$ entonces $\overline{OB}$ es un segmento medio de $\triangle ABC$ (entrada rectas y puntos notables del triangulo, tarea moral, ejercicio 2) y así $OE = \dfrac{DB}{2}$.

Por otro lado, $\overline{AH}$ y $\overline{DB}$ son ambos perpendiculares a $\overline{BC}$ así que $\overline{AH} \parallel \overline{DB}$ y como $\angle DAC$ es recto entonces $\overline{DA} \parallel \overline{BH}$, así que $\square ADBH$ es un paralelogramo, por lo tanto, $AH = DB = 2OE$.

$\blacksquare$

Teorema 5. Los ortocentros de los triángulos determinados por los cuatro vértices de un cuadrilátero cíclico forman un cuadrilátero simétrico al cuadrilátero original respecto del anticentro.

Demostración. Sean $\square ABCD$ cíclico y $H_{a}$, $H_{b}$, $H_{c}$ y $H_{d}$ los ortocentros de $\triangle BCD$, $\triangle ACD$, $\triangle ABD$ y $\triangle ABC$ respectivamente y $F$ el punto medio de $\overline{BC}$.

Por el Lema anterior y considerando los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle DBC$ tenemos que $AH_{d} = 2OF = DH_{a}$, además $\overline{AH_{d}}$ y $\overline{DH_{a}}$ son perpendiculares a $\overline{BC}$ por lo tanto $\overline{AH_{d}} \parallel \overline{DH_{a}}$ de esto se sigue que $\square AH_{d}H_{a}D$ es un paralelogramo, así que las diagonales $\overline{AH_{a}}$ y $\overline{DH_{d}}$ se intersecan en su punto medio.

De manera análoga se ve que $\overline{AH_{a}}$ y los segmento $\overline{BH_{b}}$, $\overline{CH_{c}}$, se intersecan en su punto medio. Por lo tanto, estos cuatro segmentos se bisecan mutuamente, es decir el punto de intersección $X$ es el centro de simetría de $\square ABCD$ y $\square H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}$.

Ahora en $\triangle AH_{d}D$ consideremos la recta que pasa por $H$ el punto medio de $\overline{DA}$ y el centro de simetría $X$, como esta recta también pasa por el punto medio de $\overline{H_{d}D}$ entonces es paralela a $\overline{AH_{d}}$, por lo tanto, $\overline{HX}$ es la perpendicular a $\overline{BC}$ desde $H$ por el Teorema 4 sabemos que $\overline{HH’}$ pasa por $M$ el anticentro de $\square ABCD$, donde $H’$ es el pie de la perpendicular a $\overline{BC}$ por $H$.

De manera análoga $\overline{EX}$, $\overline{FX}$ y $\overline{GX}$ pasan por $M$, por lo tanto, $X = M$.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Demuestra los incisos (b) y (c) del Teorema 1.
  2.  Sea $\ ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sea $E$ el punto medio de $\overset{\LARGE{\frown}}{BA}$, es decir el punto $E \in \overset{\LARGE{\frown}}{BA}$ tal que $\overset{\LARGE{\frown}}{BE} = \overset{\LARGE{\frown}}{EA}$, $F$, $G$ y $H$ los puntos medios de $\overset{\LARGE{\frown}}{CB}$, $\overset{\LARGE{\frown}}{DC}$ y $\overset{\LARGE{\frown}}{AD}$ respectivamente, muestra que $\overline{EG}$ y $\overline{FH}$ son perpendiculares.
  1. Como podrás haber notado nuestra construcción del cuadrilátero cíclico no es única pues partimos de una suposición arbitraria, que $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$ y $DA = d$ para $a$, $b$, $c$ y $d$ dados. Analiza cuantos cuadriláteros cíclicos más es posible construir y cuantas diagonales distintas resultan de estos cuadriláteros.
  2. Demuestra que los centroides de los cuatro triángulos determinados por los cuatro vértices de un cuadrilátero cíclico son los vértices de otro cuadrilátero cíclico.
  3. Demuestra que los incentros de los cuatro triángulos determinados por los cuatro vértices de un cuadrilátero cíclico forman un rectángulo.
  4. Muestra que la suma de los cuadrados de las distancias del anticentro de un cuadrilátero cíclico a los cuatro vértices es igual al cuadrado del diámetro de la circunferencia en la que esta inscrito dicho cuadrilátero.
  5. Muestra que el anticentro de un cuadrilátero cíclico es el ortocentro del triangulo formado por los puntos medios de las diagonales y el punto en que estas rectas coinciden.

Más adelante…

En la siguiente entrada resolveremos problemas con la ayuda del Teorema de Ptolomeo.

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Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones diferenciales exactas

Introducción

Hemos comenzado con el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden, en la entrada anterior presentamos las ecuaciones de variables separables y las ecuaciones homogéneas, en esta entrada presentaremos las ecuaciones diferenciales exactas.

Ecuaciones diferenciales exactas

Definición: Si $z = f(x, y)$ es una función de dos variables con primeras derivadas parciales continuas en una región $U$ del plano $XY$, entonces su diferencial es

\begin{align}
dz = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy \tag{1} \label{1}
\end{align}

Existe un caso especial en el que $f(x, y) = c$, donde $c$ es una constante, en este caso la diferencial, de acuerdo a la ecuación (\ref{1}), es

\begin{align}
\dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy = 0 \tag{2} \label{2}
\end{align}

Esto significa que dada una familia de curvas $f(x, y) = c$ es posible generar una ecuación diferencial de primer orden si se calcula la diferencial de ambos lados de la igualdad.

Ejemplo: Sea $f(x, y) = 8x^{2}y -x^{3} + y^{2} = c$ una familia de curvas, calcular su diferencial.

Solución: De acuerdo a la definición de la diferencial de una función de dos variables (\ref{1}), necesitamos calcular $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $\dfrac{\partial f}{\partial y}$, por una lado

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 16xy -3x^{2}$$

Y por otro lado

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = 8x^{2} + 2y$$

Por lo tanto, la diferencial de la función $f(x, y) = 8x^{2}y -x^{3} + y^{2} = c$ es

$$(16xy -3x^{2}) dx + (8x^{2} + 2y) dy = 0$$

$\square$

Definición: Una expresión diferencial $M(x, y) dx + N(x, y) dy$ es una diferencial exacta en una región $U$ del plano $XY$ si ésta corresponde a la diferencial de alguna función $f(x, y)$ definida en $U$.

En el ejemplo anterior vimos que $(16xy -3x^{2}) dx + (8x^{2} + 2y) dy$ corresponde a la diferencial de la función $f(x, y) = 8x^{2}y -x^{3} + y^{2}$, por lo tanto $(16xy -3x^{2}) dx + (8x^{2} + 2y) dy$ es una diferencial exacta.

No todas las ecuaciones de primer orden escritas en la forma $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ corresponden a una diferencial de alguna función $f(x, y) = c$, pero en el caso de serlo entonces la función $f(x, y) = c$ sería una solución implícita de la ecuación $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$. Este tipo de ecuaciones tienen un nombre especial.

Definición: Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

\begin{align}
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 \tag{3} \label{3}
\end{align}

se dice que es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Ejemplo: Sea la función $f(x, y) = e^{x} + xy + e^{y} = c$ una familia de curvas. Mostrar que la ecuación diferencial $(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy = 0$ es una ecuación exacta con respecto a la función $f(x, y)$.

Solución: Para verificar que es una ecuación exacta debemos verificar que el término $(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy$ sea una diferencial exacta.

Consideremos a la función $f(x, y) = e^{x} + xy + e^{y} = c$, por un lado

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = e^{x} + y$$

Y por otro lado

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = e^{y} + x$$

Por lo tanto, la diferencial de la función $f(x, y) = e^{x} + xy + e^{y} = c$ es

$$(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy = 0$$

esto nos indica que el término $(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy$ es una diferencial exacta ya que corresponde a la diferencial de la función $f(x, y) = e^{x} + xy + e^{y} = c$. Por lo tanto, la ecuación $(e^{x} + y)dx + (e^{y} + x)dy = 0$ es una ecuación exacta. No sólo hemos mostrado que es una ecuación exacta sino que incluso ahora podemos decir que la ecuación $e^{x} + xy + e^{y} = c$ es una solución implícita de la ecuación diferencial.

$\square$

En este ejemplo hemos dado a la función $f(x, y) = c$ pero, como puedes notar, dada una ecuación diferencial exacta resolverla implica hallar dicha función $f$. Entonces, ¿cómo podemos saber si una ecuación diferencial es exacta si previamente no se conoce la función $f(x, y) = c$? y en caso de que de alguna manera seamos capaces de mostrar que la ecuación diferencial es exacta, ¿cómo podemos hallar a la función $f(x, y) = c$?.

Antes de aprender a resolver las ecuaciones diferenciales exactas veamos un teorema que nos permite saber si la ecuación diferencial es exacta o no. Si la ecuación es exacta entonces tenemos garantizado la existencia de una función $f$ tal que $f(x, y) = c$, dicha función será la solución a la ecuación exacta.

Teorema (Criterio para una diferencial exacta): Sean $M(x, y)$ y $N(x, y)$ funciones continuas y con primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular $U$ definida por $a < x <b$ y $c < y < d$. Entonces, una condición necesaria y suficiente para que $M(x, y) dx + N(x, y) dy$ sean una diferencial exacta es que

\begin{align}
\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x} \tag{4} \label{4}
\end{align}

Demostración: Supongamos que $M(x, y) dx + N(x, y) dy$ es exacta, entonces por definición existe alguna función $f$ tal que para toda $x$ en $U$ se satisface lo siguiente

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = \dfrac{\partial f}{\partial x} dx + \dfrac{\partial f}{\partial y} dy$$

para cumplir la igualdad se debe satisfacer que $M(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $N(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial y}$.

Si derivamos parcialmente la expresión $M(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}$ con respecto a $y$ en ambos lados obtenemos

\begin{align*}
\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)
= \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}
= \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}
= \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)
= \dfrac{\partial N}{\partial x}
\end{align*}

Donde $\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ se cumple debido a que las primeras derivadas parciales de $M(x, y)$ y $N(x, y)$ son continuas en $U$.

Si es posible encontrar una función $f$ para la que $M(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}$ y $N(x, y) = \dfrac{\partial f}{\partial y}$ entonces la condición $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$ es necesaria y suficiente. Encontrar la función $f$ en realidad corresponde a un método de resolución de ecuaciones exactas y lo desarrollaremos a continuación.

$\square$

Solución a las ecuaciones exactas

La ecuación diferencial que queremos resolver es una ED de la forma

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

Por el teorema anterior sabemos que siempre y cuando se cumpla que $\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$, entonces debe existir una función $f$ para la que

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)
\end{align*}

Para obtener la función $f(x, y)$ debemos integrar la primer ecuación con respecto a $x$ manteniendo a $y$ constante o integrar la segunda ecuación con respecto a $y$ manteniendo a $x$ constante, vamos a hacer el primer caso y como tarea moral realiza el siguiente procedimiento tomando el segundo caso, notarás que el resultado es equivalente.

Tomando el primer caso, vamos a integrar la primer ecuación con respecto a $x$

\begin{align*}
\int{\dfrac{\partial f}{\partial x} dx} &= \int{M(x, y) dx} \\
f(x, y) &= \int{M(x, y) dx} + g(y) \tag{5} \label{5} \\
\end{align*}

Donde usamos el teorema fundamental del cálculo y la función $g(y)$ corresponde a la constante de integración, es constante en $x$ pero sí puede variar en $y$ ya que en este caso la estamos considerando como una constante para hacer la integral. Ahora vamos a derivar este último resultado con respecto a $y$ y utilizar el hecho de que $\dfrac{df}{dy} = N(x, y)$.

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial y} &= \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx} + g(y) \right) \\
&= \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) + \dfrac{dg}{dy} \\
&= N(x, y)
\end{align*}

De la última igualdad despejamos $\dfrac{dg}{dy} = g^{\prime}(y)$

\begin{align}
g^{\prime}(y) = N(x, y) -\dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) \tag{6} \label{6}
\end{align}

Lo que nos interesa en obtener la función $f(x, y)$, así que podemos integrar la ecuación (\ref{6}) con respecto a $y$ y sustituir $g(y)$ en la ecuación (\ref{5}). Como sabemos, la solución implícita es $f(x, y) = c$. Integremos la ecuación (\ref{6}).

\begin{align}
g(y) = \int{N(x, y) dy} -\int{ \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) \right] dy} \tag{7} \label{7}
\end{align}

Sustituimos la ecuación (\ref{7}) en la ecuación (\ref{5}) e igualamos el resultado a la constante $c$.

\begin{align}
f(x, y) = \int{M(x, y) dx} + \int{N(x, y) dy} -\int{ \left[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) \right] dy} = c \tag{8} \label{8}
\end{align}

De esta manera habremos encontrado una solución implícita de la ecuación diferencial exacta. Como siempre, no se recomienda memorizar esta expresiones sino seguir una serie de pasos para resolver las ecuaciones. Más adelante desarrollaremos estos pasos a seguir.

Una observación interesante es que la función $g^{\prime}(y)$ es independiente de $x$, la manera de comprobarlo es con el siguiente resultado

\begin{align*}
\dfrac{\partial g}{\partial x} &= \dfrac{\partial}{\partial x} \left[ N(x, y) -\dfrac{\partial}{\partial y} \left( \int{M(x, y) dx}\right) \right] \\
&= \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial}{\partial x} \left(\dfrac{\partial}{\partial y}\int{M(x, y) dx}\right) \\
&= \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial}{\partial y} \left(\dfrac{\partial}{\partial x}\int{M(x, y) dx}\right) \\
&= \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \\
&= 0
\end{align*}

Las ecuaciones (\ref{5}), (\ref{7}) y (\ref{8}) son el resultado de tomar el primer caso, si realizas el segundo caso en el que a la ecuación $\dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)$ la integras con respecto a $y$ y al resultado lo derivas con respecto a $x$ obtendrás las expresiones análogas a (\ref{5}), (\ref{7}) y (\ref{8}), dichas expresiones son:

\begin{align}
f(x, y) &= \int{N(x, y) dy} + h(x) \tag{9} \label{9}
\end{align}

\begin{align}
h(x) = \int{M(x, y) dx} -\int{ \left[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\int{N(x, y) dy}\right) \right] dx} \tag{10} \label{10}
\end{align}

y

\begin{align}
f(x, y) = \int{N(x, y) dy} + \int{M(x, y) dx} -\int{ \left[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\int{N(x, y) dy}\right) \right] dx} = c \tag{11} \label{11}
\end{align}

Método de solución de ecuaciones diferenciales exactas

No se recomienda memorizar las formulas, en su lugar se propone realizar una serie de pasos que nos permitan resolver las ecuaciones diferenciales. En este caso presentamos la siguiente serie de pasos que se recomiendan seguir para resolver una ecuación diferencial exacta.

  1. El primer paso es verificar que la ecuación diferencial $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ sea exacta para garantizar la existencia de la función $f$, tal que $f(x, y) = c$. Para verificar este hecho usamos el criterio para una diferencial exacta que consiste en verificar que se cumple la relación

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

  1. Una vez que verificamos que la ecuación es exacta, tenemos garantizado que existe una función $f$ tal que $f(x, y) = c$ es una solución implícita de la ecuación diferencial. Para determinar dicha función definimos

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)
\end{align*}

  1. El siguiente paso es integrar alguna de las ecuaciones anteriores en su respectiva variable, se recomienda integrar la que sea más sencilla de resolver, de esta manera tendremos

\begin{align*}
f(x, y) &= \int{M(x, y) dx} + g(y) \hspace{1cm} o \hspace{1cm} f(x, y) = \int{N(x, y) dy} + h(x)
\end{align*}

  1. Después derivamos parcialmente a la función $f(x, y)$ con respecto a la variable $y$ o $x$ según la elección hecha en el paso anterior de manera que obtengamos los siguientes resultados.

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\int{M(x, y) dx}\right) + \dfrac{dg}{dy} = N(x, y)$$

o bien

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\int{N(x, y) dy}\right) + \dfrac{dh}{dx} = M(x, y)$$

  1. De los resultados anteriores obtendremos una expresión para $\dfrac{dg}{dy}$ o para $\dfrac{dh}{dx}$, debemos integrar estas expresiones para obtener las funciones $g(y)$ o $h(x)$.
  1. El último paso es sustituir las funciones $g(y)$ o $h(x)$ en la ecuación $f(x, y) = c$ lo que nos devolverá en general una solución implícita de la ecuación diferencial exacta.

Veamos un ejemplo en el que apliquemos este método para que todo quede más claro.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial $(4 x^{3} -4xy^{2} + y) dx + (4y^{3} -4x^{2}y + x) dy = 0$

Solución: La ecuación que queremos resolver es de la forma $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$, comparando ambas ecuaciones podemos establecer que

\begin{align*}
M(x, y) = 4 x^{3} -4xy^{2} + y \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(x, y) = 4y^{3} -4x^{2}y + x
\end{align*}

De acuerdo al método de resolución de ecuaciones diferenciales exactas, el primer paso es verificar que la ecuación es exacta, para ello veamos que se satisface la ecuación (\ref{4}).

\begin{align*}
\dfrac{\partial M}{\partial y} = -8xy + 1 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial N}{\partial x}= -8xy +1
\end{align*}

De ambos resultados verificamos que

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

Por lo tanto, la ecuación diferencial sí es exacta, esto nos garantiza la existencia de una función $f$ tal que $f(x, y) = c$ es solución, entonces podemos definir

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) = 4x^{3} -4xy^{2} + y \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y) = 4y^{3} -4x^{2}y + x
\end{align*}

El tercer paso nos indica que debemos integrar una de las ecuaciones anteriores, en este caso elegiremos integrar la ecuación $\dfrac{\partial f}{\partial x} = 4x^{3} -4xy^{2} + y$ con respecto a la variable $x$.

\begin{align*}
\int{ \dfrac{\partial f}{\partial x} dx} &= \int{ ( 4x^{3} -4xy^{2} + y) dx}
\end{align*}

Del lado izquierdo aplicamos el teorema fundamental del cálculo y del lado derecho resolvemos la integrar, el resultado es

$$f(x,y) = x^{4} -2x^{2}y^{2} + xy + g(y)$$

Recuerda que la función $g(y)$ es la constante que engloba a todas las constantes que aparecen al integrar y decimos que es constante porque no depende de la variable $x$ pero es posible que pueda depender de la variable $y$.

El cuarto paso es derivar la última ecuación con respecto a la variable $y$ ya que deseamos conocer a $\dfrac{dg}{dy} = g^{\prime}(y)$.

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = -4x^{2}y + x + \frac{dg}{dy}$$

Y sabíamos que

$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = 4y^{3} -4x^{2}y + x$$

Igualando ambas ecuaciones obtenemos lo siguiente

$$-4x^{2}y + x + \dfrac{dg}{dy} = 4y^{3} -4x^{2}y + x$$

Para que esta igualdad se cumpla es necesario que

$$\dfrac{dg}{dy} = 4y^{3}$$

Ahora que ya conocemos a $\dfrac{dg}{dy} = g^{\prime}(y)$, la integramos con respecto a $y$. Esto corresponde al penúltimo paso.

\begin{align*}
\int {\dfrac{dg}{dy} dy} &= {\int 4y^{3} dy} \\
g(y) &= y^{4}
\end{align*}

El último paso es sustituir el resultado $g(y)$ en la función $f(x, y) = c$. En la integración anterior omitimos a las constantes porque podemos englobarlas en la constante $c$.

$$f(x,y) = x^{4} -2x^{2}y^{2} + xy + y^{4} = c$$

de donde

$$(x^{2} -y^{2})^{2} + xy= c$$

Por lo tanto, la solución (implícita) de la ecuación diferencial exacta

$$(4 x^{3} -4xy^{2} + y) dx + (4y^{3} -4x^{2}y + x) dy = 0$$

es

$$(x^{2} -y^{2})^{2} + xy= c$$.

$\square$

¿Y que ocurre si la ecuación diferencial no cumple con el criterio de diferencial exacta?. Cundo una ecuación no es exacta es posible hallar una función, que al multiplicarla por la ecuación, ésta se vuelva exacta, si esto ocurre a dicha función la llamamos factor integrante. ¿Te resulta familiar este nombre?.

Factores integrantes

En entradas anteriores vimos que multiplicar la ecuación diferencial lineal

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

por un factor integrante $\mu(x)$ hace que el lado izquierdo de la ecuación sea igual a la derivada del producto de $\mu(x)$ con $y(x)$ permitiendo resolver la ecuación con sólo integrar, esta idea de multiplicar por un factor integrante también nos será de ayuda al trabajar con ecuaciones diferenciales de la forma $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ que no son exactas. Lo que se espera es que multiplicando por un factor integrante $\mu (x, y)$ a la ecuación no exacta ésta se vuelva una ecuación exacta.

Consideremos la ecuación

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

pero que no es exacta, esto significa que el lado izquierdo de la ecuación no corresponde a la diferencial de alguna función $f(x, y)$. Supongamos que existe una función $\mu (x, y)$ tal que al multiplicar la ecuación diferencial por esta función se convierta en una ecuación diferencial exacta. Es decir, la ecuación

$$\mu (x, y) M(x, y) dx + \mu (x, y) N(x, y) dy = 0$$

ahora es exacta y puede ser resuelta con el método anteriormente descrito. Lo que veremos ahora es un método para encontrar este factor integrante $\mu (x, y)$.

Supongamos que la ecuación diferencial exacta que queremos resolver es

\begin{align}
\mu (x, y) M(x, y) dx + \mu (x, y) N(x, y) dy = 0 \tag{12} \label{12}
\end{align}

Por el criterio de diferencial exacta, la ecuación (\ref{12}) es una ecuación exacta si

$$\dfrac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \dfrac{\partial (\mu N)}{\partial x}$$

Usando la regla del producto, la ecuación anterior se puede escribir como

$$\mu \dfrac{\partial M}{\partial y} + \dfrac{\partial \mu}{\partial y} M = \mu \dfrac{\partial N}{\partial x} + \dfrac{\partial \mu}{\partial x} N$$

Reordenando los términos obtenemos la siguiente expresión

\begin{align}
\dfrac{\partial \mu}{\partial x} N -\dfrac{\partial \mu}{\partial y} M = \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) \mu \label{13} \tag{13}
\end{align}

La dificultad al intentar determinar la incógnita $\mu (x, y)$ de la ecuación anterior es que debemos resolver una ecuación diferencial parcial lo cual en este momento no sabemos hacer, para simplificar el problema vamos a considerar la hipótesis de que la función $\mu$ es dependiente de sólo una variable, consideremos por ejemplo que $\mu$ depende sólo de $x$, así se cumple que $\dfrac{\partial \mu}{\partial x} = \dfrac{d \mu}{dx}$ y $\dfrac{\partial \mu}{\partial y} = 0$, con esto la ecuación (\ref{13}) se puede escribir como

\begin{align}
\dfrac{d \mu}{dx} = \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) \mu \label{14} \tag{14}
\end{align}

Seguimos en problemas si el cociente $\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)$ depende tanto de $x$ como de $y$. En el caso en el que dicho cociente sólo es dependiente de $x$, entonces la ecuación es separable así como lineal.

Supongamos que la ecuación (\ref{14}) sólo depende de la variable $x$, entonces dividimos toda la ecuación por $\mu$ para separar las variables

\begin{align*}
\dfrac{1}{\mu} \dfrac{d \mu}{dx} = \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)
\end{align*}

Ahora integremos ambos lados de la ecuación con respecto a la variable $x$

\begin{align*}
\int{ \dfrac{1}{\mu}\dfrac{d \mu}{dx} dx} &= \int \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx \\
\ln|\mu (x)| &= \int \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx
\end{align*}

Apliquemos la exponencial en ambos lados de la ecuación

\begin{align}
\mu (x) &= exp \left[ \int \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx \right] \label{15} \tag{15}
\end{align}

Por su puesto, es totalmente análogo el caso en el que el factor integrante es sólo función de la variable $y$, en este caso se cumple que $\dfrac{\partial \mu}{\partial x} = 0$ y $\dfrac{\partial \mu}{\partial y} = \dfrac{d \mu}{dy}$, de manera que la ecuación (\ref{13}) queda de la siguiente manera

\begin{align}
\dfrac{d \mu}{dy} = \dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) \mu \label{16} \tag{16}
\end{align}

En el caso en el que el coeficiente $\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right)$ sólo dependa de la variable $y$ entonces se puede resolver la ecuación (\ref{16}) obteniendo

\begin{align}
\mu (y) = exp \left[ \int{\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) dy} \right] \label{17} \tag{17}
\end{align}

Resumiendo, para el caso en el que la ecuación diferencial $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ no es exacta probamos los siguientes dos casos:

  • Si $\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)$ es una función sólo de $x$, entonces un factor integrante para la ecuación (\ref{12}) es:

$$\mu (x) = exp \left[ \int{\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx} \right]$$

  • Si $\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right)$ es una función sólo de $y$, entonces un factor integrante para la ecuación (\ref{12}) es:

$$\mu (y) = exp \left[ \int{\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) dy} \right]$$

Realicemos un ejemplo para aclarar dudas.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial no exacta.

$$\left( 1 -\dfrac{y}{x} e^{\frac{y}{x}} \right) dx + e^{\frac{y}{x}} dy = 0$$

Solución: Primero vamos a verificar que no es una ecuación exacta, definamos

\begin{align*}
M(x, y) = 1 -\dfrac{y}{x} e^{\frac{y}{x}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(x, y) = e^{\frac{y}{x}}
\end{align*}

Calculando las derivadas parciales correspondientes tenemos

\begin{align*}
\dfrac{\partial M}{\partial y} = -\dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial N}{\partial x} = -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}}
\end{align*}

Vemos que no son iguales, por lo tanto la ecuación diferencial no es exacta. Para hacerla exacta debemos encontrar un factor integrante que dependa de $x$ o de $y$, para ello primero debemos ver si el cociente $\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)$ es una función sólo de $x$ o si el cociente $\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right)$ es una función sólo de $y$. Calculemos ambos cocientes usando los resultados anteriores.

$$\dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) = \left( 1 -\dfrac{y}{x} e^{\frac{y}{x}} \right)^{-1} \left( -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} + \dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} + \dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \right) = \dfrac{\dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}}}{1 -\dfrac{y}{x} e^{\frac{y}{x}}}$$

y

$$\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) = e^{-\frac{y}{x}} \left( -\dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} + \dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \right) = -\dfrac{1}{x}$$

Es claro que el cociente que nos sirve es $\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right)$ ya que éste es el cociente que sólo depende de la variable $x$. Ahora calculemos el factor integrante

\begin{align*}
\mu (x) &= exp \left[ \int{\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx} \right] \\
&= exp \left[\int{-\dfrac{1}{x}} dx \right] \\
&= -e^{\ln |x|} \\
&= x^{-1}
\end{align*}

Por lo tanto, el factor integrante es $\mu (x)= \dfrac{1}{x}$. Multipliquemos ambos lados de la ecuación original por el factor integrante

\begin{align*}
\dfrac{1}{x} \left( 1 -\dfrac{y}{x} e^{\frac{y}{x}} \right) dx + \dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} dy &= 0 \\
\left( \dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \right) dx +\dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} dy &= 0
\end{align*}

Veamos que en efecto la última expresión corresponde a una ecuación diferencial exacta, para ello establecemos

\begin{align*}
M_{1}(x, y) = \dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N_{1}(x, y) = \dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}}
\end{align*}

Calculando las derivadas parciales correspondientes tenemos

\begin{align*}
\dfrac{\partial M_{1}}{\partial y} = -\dfrac{1}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} -\dfrac{y}{x^{3}} e^{\frac{y}{x}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial N_{1}}{\partial x} = -\dfrac{1}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} -\dfrac{y}{x^{3}} e^{\frac{y}{x}}
\end{align*}

En efecto

$$\dfrac{\partial M_{1}}{\partial y} = \dfrac{\partial N_{1}}{\partial x}$$

Entonces ahora la ecuación sí es exacta, esto nos garantiza que existe una función $f$ tal que $f(x, y) = c$ es solución a la ecuación, dicha función debe satisfacer que

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} = M_{1}(x, y) = \dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N_{1}(x,y) = \dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}}
\end{align*}

Es nuestra elección que ecuación integrar pero es claro que la función $N_{1} = \dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}}$ es la más sencilla de integrar, así que integremos esta ecuación con respecto a $y$

\begin{align*}
\int{ \dfrac{\partial f}{\partial y} dy} &= \int{ \dfrac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} dy} \\
f(x, y) &= e^{\frac{y}{x}} + h(x)
\end{align*}

Derivemos parcialmente este resultado con respecto a la variable $x$

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} + \dfrac{dh}{dx}$$

Sabemos que $\dfrac{\partial f}{\partial x} = M_{1}(x, y) = \dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}}$, igualemos ambas ecuaciones

$$\dfrac{1}{x} -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} = -\dfrac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} + \dfrac{dh}{dx}$$

Para que se cumpla la igualdad es necesario que

$$\dfrac{dh}{dx} = \dfrac{1}{x}$$

Integremos esta ecuación con respecto a $x$ omitiendo las constantes

\begin{align*}
\int{ \dfrac{dh}{dx} dx} &= \int {\dfrac{1}{x} dx} \\
h(x) &= \ln |x|
\end{align*}

Sustituimos la función $h(x)$ en la función $f(x, y)$ e igualamos a una constante $c$

$$f(x, y) = e^{\frac{y}{x}} + \ln |x|= c$$

Apliquemos la función exponencial

\begin{align*}
e^{\left( e^{\frac{y}{x}} + \ln (x) \right)} &= e^{c} \\
e^{e^{\frac{y}{x}}} e^{\ln (x)} &= k \\
e^{e^{\frac{y}{x}}} x &= k
\end{align*}

Donde $k = e^{c}$. Por lo tanto, la solución a la ecuación diferencial

$$\left( 1 -\dfrac{y}{x} e^{\frac{y}{x}} \right) dx + e^{\frac{y}{x}} dy = 0$$

es

$$x e^{e^{\frac{y}{x}}} = k$$

$\square$

Hasta aquí concluimos nuestro estudio sobre las ecuaciones diferenciales exactas.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales exactas (verifica que son exactas).
  • $(2x -5y + 2)dx + (1- 6y -5x)dy = 0$
  • $\left( y -\dfrac{y}{x^{2}}e^{\frac{y}{x}} \right) dx + \left( x + \dfrac{1}{x}e^{\frac{y}{x}} \right) dy = 0$
  • $\left( \sin{y} + \dfrac{y}{x^{2}} \sin{\dfrac{y}{x}} \right) dx + \left( x \cos{y} -\dfrac{1}{x} \sin{\dfrac{y}{x}} \right) dy = 0$
  1. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales no exactas.
  • $(e^{x} \cos{y}) dx + (-xe^{x} \sin{y}) dy = 0$
  • $(2x \sin{y} + ye^{xy}) dx + (x \cos{y} + e^{xy}) dy = 0$
  1. En el procedimiento realizado para resolver ecuaciones diferenciales exactas vimos que hay dos posibilidades para llegar a resultados equivalentes. Desarrolla el otro camino y deduce las expresiones (\ref{9}), (\ref{10}) y (\ref{11}).

Más adelante…

En nuestro estudio sobre la ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden hemos estudiado las ecuaciones separables, las ecuaciones homogéneas y las ecuaciones exactas, para finalizar este tema en la siguiente entrada presentaremos la ecuación de Bernoulli, la ecuación de Riccati y finalmente haremos un breve resumen sobre las ecuaciones que hemos estudiado y su correspondiente método de resolución.

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