INTRODUCCIÓN
Analizaremos 4 nuevos conceptos. Dos de ellos son conjuntos y los otros dos son dimensiones de esos conjuntos.
Al ir avanzando en el análisis del concepto de núcleo, podrás ver que una de las aplicaciones inmediatas es pensar al núcleo como el conjunto formado por las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo asociado a la matriz que representa la transformación lineal. Pero todo con calma…
NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Definición: Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales y $T\in\mathcal{L}(V,W)$.
El núcleo de $T$ es $Núc(T)=\{v\in V|T(v)=\theta_W\}$.
La imagen de $T$ es $Im(T)=\{T(v)|v\in V\}$.
Nota: El núcleo de una transformación $T$, también suele llamarse kernel y se denota como $ker(T)$.
- Sean $K$ un campo y $T:K^\infty\longrightarrow K^\infty$ lineal donde $\forall (x_1,x_2,x_3,…)\in K^\infty (T(x_1,x_2,x_3,…)=(x_2,x_3,x_4,…))$.
$Núc(T)=\{(x_1,0_K,0_K,…)\in K^\infty | x_1\in K\}$ ; $Im(T)=K^\infty$
Justificación. Para el núcleo de $T$: $T(x_1,x_2,x_3,…)=(0_K,0_K,0_K,…)$ syss $(x_2,x_3,x_4,…)=(0_K,0_K,0_K,…)$ syss $x_i=0_K$ para toda $i\in\{2,3,4,…\}$
Para la imagen de $T$: Sea $(y_1,y_2,y_3,…)\in K^\infty$. $T(0_K,y_1,y_2,…)=(y_1,y_2,y_3,…)$
- Sea $T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ donde $\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2(T(x,y)=(x,0))$
$Núc(T)=\{(0,y)\in\mathbb{R}^2|y\in\mathbb{R}\}$ ; $Im(T)=\{(x,0)\mathbb{R}^2|x\in\mathbb{R}\}$
Justificación. Para el núcleo de $T$: $T(x,y)=(0,0)$ syss $(x,0)=(0,0)$ syss $x=0$
Para la imagen de $T$: Sea $(a,0)\in \{ (x,0)\in\mathbb{R}^2|x\in\mathbb{R}^2\}$. $T(a,0)=(a,0)$.
- Sean $K$ campo, $A\in\mathcal{M}_{m\times n}(K)$ y $T:K^n\longrightarrow K^m$ donde $\forall X\in K^n(T(X)=AX)$
$Núc(T)$ es el conjunto de las soluciones del sistema homogéneo con matriz de coeficientes $A$ ; $Im(T)$ es el espacio generado por las columnas de $A$
Justificación. Para el núcleo de $T$: $T(X)=\theta_{m\times 1}$ syss $AX=\theta_{m\times 1}$ syss $X$ es solución del sistema homogéneo con matriz de coeficientes $A$
Para la imagen de $T$: $Im(T)=\{AX:X\in K^n\}$$=\left\{ \begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n & \vdots & a_{mn} \end{pmatrix} \end{equation*} : x_1,x_2,…,x_n\in K \right\}$$=\left\{ \begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11}x_1 + … + a_{1n}x_n \\ … \\ a_{m1}x_1 + … + a_{mn}x_n \end{pmatrix} \end{equation*} : x_1,x_2,…,x_n\in K \right\}$$=\left\{ \begin{equation*} x_1\begin{pmatrix} a_{11}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} + … + x_n\begin{pmatrix} a_{1n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} \end{equation*} : x_1,x_2,…,x_n\in K \right\}$$=\langle\begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix},…,\begin{pmatrix} a_{11}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} \end{equation*} \rangle$
Proposición: Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales, $T\in\mathcal{L}(V,W)$. Se cumple que:
a) $Núc(T)\leqslant V$
b) $Im(T)\leqslant W$
Demostración: Para cada inciso es necesario demostrar dos propiedades:
a) P.D. $\theta_V\in Núc(T)$ y $\forall\lambda\in K$ $\forall u,v\in Núc(T) (\lambda u + v\in Núc(T))$
Por la Obs. tenemos que $T(\theta_V)=\theta_W$, por lo tanto, $\theta_V\in Núc(T)$
Sean $\lambda\in K$ y $u,v\in Núc(T)$.
Entonces $T(u)=\theta_W=T(v)$
Además, $T(\lambda u+v)=\lambda T(u)+T(v)$ por ser $T$ lineal.
Así, $T(\lambda u+v)=\lambda\theta_W +\theta_W=\theta_W$.
De donde $\lambda u + v\in Núc(T)$
b) P.D. $\theta_W\in Im(T)$ y $\forall\lambda\in K$ $\forall u,v\in Im(T) (\lambda u + v\in Im(T))$
Por la Obs. tenemos que $\theta_V\in V$ cumple que $T(\theta_V)=\theta_W$, por lo tanto, $\theta_W\in Im(T)$.
Sean $\lambda\in K$ y $w,z\in Im(T)$.
Entonces $\exists x,y\in Núc(T) (T(x)=w\wedge T(y)=z)$
Además, $T(\lambda u+v)=\lambda T(u)+T(v)$ por ser $T$ lineal.
Así, $T(\lambda u+v)=\lambda\theta_W +\theta_W=\theta_W$.
De donde $\lambda u + v\in Núc(T)$
NULIDAD Y RANGO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Definición: Sea $T$ una transformación lineal con $Núc (T)$ de dimensión finita. Decimos que la dimensión de $Núc(T)$ es la nulidad de $T$.
Definición: Sea $T$ una transformación lineal con $Im (T)$ de dimensión finita. Decimos que la dimensión de $Im(T)$ es el rango de $T$.
Ejemplo
- Sea $K=\mathbb{R}$ y sean $V=\mathcal{P}_3$ y $W=\mathcal{P}_2$ $K$ – espacios vectoriales.
Sea $T:V\longrightarrow W$ donde $\forall p(x)\in T(p(x))=p'(x)$
La nulidad de $T$ es $1$ y su rango es $3$
Justificación. Los polinomios con derivada cero son únicamente las constantes. Así, $Núc(T)=\{a|a\in\mathbb{R}\}$ que tiene dimensión $1$.
Todo polinomio de grado $2$ se puede obtener derivando un polinomio de grado $3$. Basta con integrar el polinomio de grado $2$ para encontrar la estructura de los polinomios de grado $3$ que cumplen lo deseado. De modo que $W\subseteq Im(T)$ y como $Im(T)\subseteq W$ por definición, entonces $Im(T)=W$ que tiene dimensión $3$
Por lo tanto, el núcleo y la imagen son de dimensión finita y la nulidad de $T$ es $1$ y su rango es $3$
Tarea Moral
- Sean $V$ y $W$ esp. vect. y sea $T:V\longrightarrow W$ lineal. Sea $\{ y_1, y_2, …, y_k\}$ un subconjunto l.i. de $Im(T)$.
Si $S=\{ x_1,x_2,…,x_k \}$ se selecciona de tal forma que $\forall i\in \{ 1,2,…,k\}(T(x_i)=y_i)$, demostrar que $S$ es l.i. - Para la transformación lineal $T:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^2$ con $T(a_1,a_2,a_3)=(a_1 + 2a_2, 2a_3 – a_1)$ encuentra bases para $Nuc(T)$ e $Im(T)$.
- Sea $P: \mathcal{M}_{m\times m}(F) \longrightarrow \mathcal{M}_{m\times m}(F)$ definida por $\forall A\in \mathcal{M}_{m\times m}(F) \left( P(A)_{i,j}=\frac{A_{i,j} + A_{i,j}^{t}}{2} \right)$.
Más adelante…
En la siguiente entrada veremos el vínculo que existe entre la dimensión del núcleo, de la imagen y del espacio vectorial (dominio) de una transformación lineal. Esta relación numérica nos permite calcular cualquiera de estas dimensiones si tenemos conocimiento de las otras dos.
Entradas relacionadas
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- Entrada anterior del curso: 2.1. TRANSFORMACIÓN LINEAL: definición y ejemplos
- Siguiente entrada del curso: 2.3. TEOREMA DE LA DIMENSIÓN: demostración e implicaciones