Álgebra Superior II: Norma en los complejos y distancia

Introducción a norma en los complejos

Ya definimos a \mathbb{C} y a sus operaciones. También definimos y dimos las propiedades de la conjugación compleja. Ahora hablaremos de la norma en los números complejos.

Definición. Para un complejo w=a+bi, su norma es \sqrt{a^2+b^2}. Denotamos a la norma de w por \Vert w \Vert.

Ejemplo. La norma del complejo \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i es

    \[\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)^2+ \left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{1}=1.\]

La norma del complejo -3i es \sqrt{0^2+(-3)^2}=\sqrt{9}=3.

\square

Cuando pensamos a los complejos como los elementos del plano, identificando al complejo a+bi con el punto (a,b), la norma es una forma de medir qué tan alejado está un número complejo del origen.

Además, a partir de la noción de norma podemos definir la noción de distancia, que dice qué tan lejos están dos complejos entre sí.

Definición. Para complejos w y z definimos la distancia entre w y z como la norma de w-z, es decir, \Vert w-z\Vert. La denotamos por d(w,z)

Propiedades básicas de la norma en los complejos

La norma en los complejos está relacionada con otras operaciones que hemos definido como sigue:

Teorema 1. Sean w y z números complejos. Entonces:

  1. La norma es la raíz del producto de un complejo por su conjugado, es decir, \Vert z \Vert = \sqrt{z\overline{z}}
  2. \Vert z \Vert es un real no negativo.
  3. Se tiene que \Vert z \Vert = 0 si y sólo si z=0.
  4. La norma es multiplicativa, es decir, \Vert zw \Vert = \Vert z \Vert \Vert w \Vert.

Demostración. Si z=a+ib, entonces \overline{z}=a-ib, y por lo tanto

    \begin{align*}\sqrt{z\overline{z}}&=\sqrt{a^2-(ib)^2}\\&=\sqrt{a^2+b^2}\\&=\Vert z \Vert.\end{align*}

La norma de z=a+ib es la suma del cuadrado de dos reales. Cada uno de ellos es no negativo, así que esa suma es no negativa. De este modo, al sacar raíz cuadrada obtenemos un número real y no negativo. Para que este número sea cero, necesitamos que a^2=b^2=0, es decir, que a=b=0, lo cual sucede justo cuando z=0.

Para mostrar la última propiedad, se pueden tomar dos complejos explícitos y hacer las cuentas. Sin embargo, también podemos probarla usando la primera y la conmutatividad del producto de complejos como sigue:

    \[\Vert zw \Vert ^2= zw\overline{zw} = z\overline{z} w\overline{w}= \Vert z \Vert^2 \Vert w \Vert ^2.\]

Sacando raíz cuadrada de ambos lados obtenemos el resultado deseado.

\square

Ejercicios que usan las propiedades básicas

Veamos algunas formas en las que podemos usar las propiedades anteriores de la norma en los complejos.

Ejercicio. Muestra que z y \overline{z} tienen la misma norma.

Solución. Usando la propiedad 1 del Teorema 1, que \overline{\overline{z}}=z y la conmutatividad del producto en \mathbb{C} tenemos que

    \[\Vert \overline{z}\Vert = \sqrt{\overline{z}z}=\sqrt{z\overline{z}} = \Vert z \Vert.\]

\square

El siguiente es un corolario de la propiedad 4 del Teorema 1, que se puede mostrar usando inducción. Su prueba queda como tarea moral.

Corolario. Para z un complejo y n un natural, se tiene que

    \[\Vert z^n \Vert = \Vert z \Vert ^n.\]

Ejercicio. Determina la norma del complejo

    \[\left(3+4i\right)^{20}.\]

Solución. Tomemos u=3+4i. El problema nos pide determinar \Vert u^{20} \Vert. Una forma de hacerlo es realizar primero la operación u^{20}, pero esto parece ser complicado. En vez de eso, usamos el Corolario. Para ello, notamos que

    \[\Vert u \Vert = \sqrt{3^2+4^2}= \sqrt{25}=5.\]

De este forma, por el corolario, la norma que buscamos es

    \[\Vert u^{20} \Vert = \Vert u \Vert ^{20}= 5^{20}.\]

\square

Ejercicio. Sea z un complejo. Muestra que todos los siguientes complejos tienen la misma norma:

    \[z, -z, iz, -iz.\]

Solución. Se sigue de la propiedad 4 del Teorema 1 y de que

    \[\Vert -1 \Vert = \Vert i \Vert = \Vert -i \Vert = 1.\]

\square

Ejercicio. Muestra que para un real r su norma compleja coincide con su valor absoluto.

Solución. Usando la propiedad 1 del Teorema 1 y que \overline{r}=r, tenemos que

    \[\Vert r \Vert = \sqrt{\overline{r}r}=\sqrt{r^2}=|r|.\]

\square

La desigualdad del triángulo

¿Cómo se comporta la norma con la suma de los complejos? Esto lo responde el siguiente teorema, que enuncia una de las propiedades más importantes de la norma en los complejos.

Teorema 2 (desigualdad del triángulo). Para complejos w y z se tiene que

    \[\Vert w+z \Vert \leq \Vert w \Vert + \Vert z \Vert.\]

La igualdad se da si y sólo si w es un múltiplo real de z, es decir, si y sólo si existe un real r tal que w=rz.

Antes de demostrar este teorema, probemos un pequeño resultado auxiliar.

Lema. Si z es un complejo, entonces |\text{Re}(z)| \leq \Vert z \Vert y |\text{Im}(z)|\leq \Vert z \Vert. La primer igualdad se da si y sólo si z es real y la segunda si y sólo si z es imaginario puro, es decir, su parte real es 0.

Demostración. Tomemos z=a+ib. Tenemos que a^2\leq a^2+b^2, de modo que sacando raíces cuadradas tenemos que

    \[|\text{Re}(z)| = |a| = \sqrt{a^2}\leq \sqrt{a^2+b^2}=\Vert z \Vert.\]

La igualdad se da si y sólo si b=0, lo cual sucede si y sólo si z es real.

La demostración de la segunda parte es análoga, y queda como tarea moral.

\square

Ahora sí, demostremos la desigualdad del triángulo con todo y el análisis de los casos de igualdad.

Demostración del Teorema 2. Tenemos que:

    \begin{align*}\Vert w+z \Vert^2 &= (w+z)\overline{(w+z)}\\&=(w\overline{w}+w\overline{z}+\overline{w}z+z\overline{z})\\&=\Vert w \Vert^2 + 2\text{Re}(w\overline{z}) + \Vert z \Vert^2\end{align*}

Aquí podemos seguir usando la desigualdad del Lema (notemos que se obtiene igualdad si y sólo si w\overline{z} es real)

    \begin{align*}&\leq  \Vert w \Vert^2 + 2\Vert w\overline{z}\Vert + \Vert z \Vert^2\\&=\Vert w \Vert ^2 + 2 \Vert w \Vert \Vert z \Vert + \vert z \Vert^2\\&=\left(\Vert w \Vert + \Vert z \Vert \right)^2\end{align*}

Esta cadena de desigualdades se resume a

    \[\Vert w+z \Vert^2  \leq  \left(\Vert w \Vert + \Vert z \Vert \right)^2,\]

de donde sacando raíz cuadrada en ambos lados, obtenemos lo deseado.

Como observamos durante la demostración, la igualdad se da si y sólo si w\overline{z} es un número real, es decir, si y sólo si existe un real s tal que w\overline{z}=s. Multiplicando por z de ambos lados, obtenemos que

    \[w\Vert z \Vert^2 = sz.\]

Si z=0, entonces w=0 y por lo tanto w es trivialmente un múltiplo real de z. Si z\neq 0, entonces w=\frac{s}{\Vert z \Vert ^2}\cdot z también es un múltiplo real de z, con r=\frac{s}{\Vert z \Vert ^2}. Esto termina el análisis de los casos de igualdad.

\square

Propiedades de la distancia

En la introducción definimos la distancia entre dos complejos w y z como la norma de w-z, en símbolos, d(w,z)=\Vert w-z \Vert. A partir de los teoremas 1 y 2, obtenemos las siguientes propiedades para la distancia, las cuales nos dicen que d es una métrica en \mathbb{C}.

Teorema 3. Para cualesquiera tres complejos x,y,z tenemos que

  1. d(x,y) es un real no negativo.
  2. d(x,y)=0 si y sólo si x=y.
  3. d(x,y)=d(y,x).
  4. d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).

Demostrar este teorema es sencillo a partir de lo que ya vimos, así que su demostración queda como tarea moral.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Muestra la propiedad 4 del Teorema 1 usando de manera explícita las partes reales e imaginarias de los complejos z y w.
  • Demuestra el corolario de normas de potencias de complejos.
  • Determina la norma del complejo (12-5i)^{10}.
  • Determina la norma del complejo (1+2i)(-3+4i)(5-6i)(-7-8i).
  • Demuestra la segunda parte del Lema.
  • Demuestra el Teorema 3.
  • Sean w=(3+4i)(5-i) y z=(5-i)(4+2i). Determina d(w,z).

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