Álgebra Superior II: Construcción de números complejos

Introducción

En una entrada anterior esbozamos las construcciones de los números racionales y los números reales. Es hora de construir a los números complejos. Para ello, debemos definir el conjunto \mathbb{C} sobre el cual trabajaremos, y después definiremos sus operaciones.

La forma intuitiva de pensar a \mathbb{C} es pensando que comenzamos con \mathbb{R}, los reales, y que en ellos introducimos a un nuevo elemento i que satisface que i^2=-1. Este, en efecto, es un nuevo elemento, pues en \mathbb{R} siempre tenemos que x^2\geq 0.

Una vez que introducimos a este elemento i, queremos que las operaciones de suma y producto estén definidas y den también números en \mathbb{C}. De este modo, necesitamos que para cualquier real b se tenga que bi también esté en los complejos, y que para cualesquiera reales a y b también tengamos que a+bi esté en los complejos.

Resulta que esto “es suficiente”, en el sentido de que ya no hay que meter más números para que las operaciones estén bien definidas. En efecto si tenemos dos números de la forma a+bi y c+di con a,b,c,d reales, entonces su suma

    \[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]

también es de esa forma, así como su producto

    \begin{align*}(a+bi)(c+di)&=ac+bci+adi+bdi^2\\&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{align*}


Por supuesto, por lo pronto esto solamente es una discusión informal. En las siguientes secciones veremos cómo formalizar estas ideas.

Los números complejos se comportan muy bien en términos algebraicos y en términos de análisis. En términos algebraicos, esto se comenzará a notar en la última parte del curso en donde veremos que cualquier polinomio tiene por lo menos una raíz compleja. En cursos posteriores, como el de álgebra lineal, verás otras de las propiedades algebraicas de los polinomios. Más adelante, si llevas un curso de variable compleja verás las bellas propiedades analíticas que tienen los números complejos.

El campo de los números complejos

La construcción del conjunto de números complejos es bastante sencilla. Para hacerla, simplemente consideramos a las parejas de números reales

    \[\mathbb{C}=\{(a,b): a,b\in \mathbb{R}\}.\]

Por el momento a cada (a,b) lo puedes pensar de manera informal como al complejo a+bi. Lo interesante de los números complejos no es el conjunto de sus elementos en sí, sino las operaciones que están definidos en él. Definimos las siguientes operaciones.

Definición. Para (a,b) y (c,d) en \mathbb{C}, definimos su suma como el complejo

    \[(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).\]

Dentro del paréntesis se usa la suma de \mathbb{R}.

Definición. Para (a,b) y (c,d) en \mathbb{C}, definimos su producto como el complejo

    \[(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\]

Dentro del paréntesis se usan la suma y producto de \mathbb{R}. La definición de producto está motivada por la discusión que hicimos en la introducción.

Teorema. El conjunto \mathbb{C} con las operaciones suma y producto que definimos es un campo.

Demostración. La suma es conmutativa y asociativa pues está definida entrada a entrada y lo es en \mathbb{R}. Tiene neutro (0,0) pues

    \[(a,b)+(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b)\]

y para (a,b) su inverso aditivo es (-a,-b).

Vayamos ahora con el producto. Probemos que es conmutativo. Para dos complejos (a,b) y (c,d) tenemos que

    \[(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\]

y que

    \[(c,d)(a,b)=(ca-db,cb+da).\]

Ambos resultados son iguales pues la suma y producto en \mathbb{R} son conmutativas.

Probemos que que el producto es asociativo. Para ello tomemos tres complejos (a,b), (c,d) y (e,f). Tenemos que

    \begin{align*}[(a,b)(c,d)](e,f)&=(ac-bd,ad+bc)(e,f)\\&=(ace-bde-adf-bcf,acf-bdf+ade+bce),\end{align*}

y que

    \begin{align*}(a,b)[(c,d)(e,f)]&=(a,b)(ce-df,cf+de)\\&=(ace-adf-bcf-bde,acf+ade+bce-bdf),\end{align*}

Ambas expresiones son iguales pues la suma en \mathbb{R} es conmutativa.

El complejo (1,0) actúa como neutro multiplicativo, pues

    \[(a,b)(1,0)=(a\cdot 1 - b\cdot 0, a\cdot 0 + b\cdot 1)=(a,b).\]

Además, si tomamos un complejo (a,b)\neq (0,0) y lo multiplicamos por \left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right) obtenemos

    \begin{align*}(a,b)\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}\right)&= \left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}, \frac{-ab}{a^2+b^2}+\frac{ba}{a^2+b^2}\right)\\ &= (1,0),\end{align*}

lo cual muestra que tenemos inversos multiplicativos.

Sólo falta demostrar la propiedad distributiva. Su verificación se deja como tarea moral.

\square

La copia de los reales en los números complejos

Dentro de \mathbb{C} hay una copia de los números reales. Esta consiste en, a cada real a, asociarle el número complejo \varphi(a)=(a,0). Esta asociación es claramente biyectiva. Además, si a y b son números reales, tenemos que

    \[(a,0)+(b,0)=(a+b,0)=\varphi(a+b)\]

y

    \begin{align*}(a,0)(b,0) &= (ab-0\cdot 0, a\cdot 0 + b\cdot 0)\\ &= (ab,0) = \varphi(ab).\end{align*}


Además los neutros se van a neutros y los inversos a inversos. Esto muestra que \varphi es una asociación biyectiva entre \mathbb{R} y los complejos de la forma (a,0) y que respeta la estructura de campo de \mathbb{R}.

Por otro lado, notemos que

    \[(0,1) (0,1)= (0\cdot 0 - 1\cdot 1, 0\cdot 1 + 1\cdot 0).\]

En otras palabras, al elevar el complejo (0,1) al cuadrado obtenemos el número (-1,0), que es precisamente \varphi(-1).

Tras toda esta discusión, estamos justificados entonces en llamar simplemente 1 al complejo (1,0), en llamar i al complejo (0,1), y por lo tanto en llamar a+bi al complejo (a,b). A partir de aquí ya podemos olvidar la notación de parejas y tratar a los números complejos como lo discutimos en la introducción.

Operaciones en la notación a+bi

La notación a+bi para números complejos es bastante práctica. Podemos trabajar con los complejos “igualito que en \mathbb{R}, pero suponiendo que i^2=-1“.

Como i^4=(-1)^2=1, tenemos que las potencias de i se ciclan cada cuatro:

    \[1, i, i^2, i^3, i^4, i^5, i^6, \ldots\]

son

    \[1,i, -1, -i, 1, i,\ldots .\]

Ya mencionamos en la introducción que para complejos a+bi y c+di se tiene que

    \[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]

y que

    \[(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,\]

de modo que cualquier composición de sumas y productos de números complejos se puede simplificar a la forma x+yi con x y y reales.

Ejemplo. Simplifica la expresión (1+i)(1-i)+(2+i)(3-4i).

Solución. Haciendo el producto del primer sumando tenemos (1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=2. Haciendo el producto del segundo sumando tenemos

    \begin{align*}(2+i)(3-4i)&=6+3i-8i-4i^2\\&=6-5i+4\\&=10-5i.\end{align*}


De esta forma, el resultado de la operación es

    \[2+(10-5i)=12-5i.\]

\square

En complejos también podemos usar expresiones fraccionales, como \frac{3+2i}{5-i}. Si queremos pasar estas expresiones a la forma x+yi con x y y reales, tenemos que pensar a \frac{1}{5-i} como “el inverso multiplicativo de 5-i“, que como vimos en la demostración de que \mathbb{C} es un campo, es

    \[\frac{5}{5^2+(-1)^2}+\frac{1}{5^2+(-1)^2}i=\frac{5}{26}+\frac{1}{26} i.\]

Una vez hecho esto, tenemos que

    \begin{align*}\frac{3+2i}{5-i}&=(3+2i)\left( \frac{5}{26}+\frac{1}{26} i \right)\\&=\frac{13}{26} + \frac{13}{26} i\\&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i.\end{align*}

Otra forma de pensarlo es que a una expresión de la forma \frac{a+bi}{c+di} la podemos simplificar “multiplicando arriba y abajo” por c-di. De esta forma, obtenemos

    \begin{align*}\frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di} = \left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right) + \left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.\end{align*}

Ambos métodos dan el mismo resultado.

Lo que viene

Al tomar un número complejo z=a+bi y calcular su inverso, aparecen de manera natural las expresiones a-bi y a^2+b^2. Estas expresiones son fundamentales.

  • A a-bi se le conoce como el conjugado de z, y se denota por \overline{z}.
  • A \sqrt{a^2+b^2} se le conoce como la norma de z y se denota por |z|.

En la siguiente ocasión hablaremos de las propiedades de estas dos operaciones y cómo están relacionadas entre sí. Más adelante veremos cómo nos ayudan a resolver ecuaciones cuadráticas en los números complejos.

Si quieres, puedes revisar esta entrada sobre aplicaciones interesantes de los números complejos en la resolución de problemas. Tiene teoría que no hemos visto, pero te puede servir de motivación para aprender lo que veremos a continuación.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Demuestra que en los complejos se satisface la ley distributiva.
  • Verifica que bajo la asociación \varphi en efecto los neutros se van a los neutros y los inversos a inversos.
  • Realiza la operación (1+i)(2+i)(1+2i)(2+2i) y expresa el resultado de la forma x+yi con x y y reales.
  • Realiza la operación

        \[\frac{3+5i}{2+i}-\frac{1+2i}{4-3i}\]

    y expresa el resultado de la forma x+yi con x y y reales.
  • Realiza la operación

        \[1+(1+i)+(1+i)^2+(1+i)^3+(1+i)^4\]

    y expresa el resultado de la forma x+yi con x y y reales.

1 comentario en “Álgebra Superior II: Construcción de números complejos

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