Introducción
En la entrada anterior dimos la definición de espacio vectorial y vimos varios ejemplos de espacios vectoriales. Ahora hablaremos de subespacios vectoriales o simplemente, subespacios. A grandes rasgos, podemos pensar a un subespacio como un subconjunto de un espacio vectorial que también es un espacio vectorial con las mismas operaciones de
.
Definición de subespacios vectoriales y primeras consecuencias
Definición. Sea un espacio vectorial sobre un campo
. Un subespacio vectorial de
, o simplemente un subespacio de
, es un subconjunto no vacío
de
cerrado bajo las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar de
. En otras palabras,
es un subespacio de
si se cumplen las siguientes dos propiedades:
- (Cerradura de la suma vectorial) Para cualesquiera
y
elementos de
, se cumple que
está en
.
- (Cerradura de la multiplicación por escalar) Para cualquier escalar
en
y vector
en
se cumple que
está en
.
En la entrada anterior ya vimos un ejemplo. Si tenemos un campo y nos fijamos el espacio vectorial
de polinomios, entonces para cualquier entero
el subconjunto
de
de polinomios de grado a lo más
es cerrado bajo la suma de polinomios y bajo el producto escalar. De esta forma,
es un subespacio de
. Más abajo veremos muchos ejemplos de subespacios, pero primero nos enfocaremos en algunas consecuencias de la definición.
Observación. Se cumple todo lo siguiente:
- Si
es un subespacio de un espacio vectorial
, entonces
debe tener al vector
de
(es decir, la identidad aditiva de la suma vectorial). Esto se debe a que
es no vacío, así que tiene por lo menos un elemento
. Si tomamos al
de
y usamos la propiedad (2) de subespacio con
y
obtenemos que
está en
.
- Si
es un subespacio de un espacio vectorial
y
está en
, entonces
también. Esto se debe a que por la propiedad (2) de subespacio tenemos que
está en
.
- Si
es un espacio vectorial sobre
y
es un subespacio de
, entonces
también es un espacio vectorial sobre
con las mismas operaciones que
. Por un lado, el neutro e inversos aditivos existen por los dos incisos anteriores. Para el resto de las propiedades, se usa que se cumplen para elementos de
y por lo tanto también para los de
(pues es un subconjunto).
- Si
y
son dos subespacios de un espacio vectorial
, entonces la intersección
también lo es.
La primera propiedad nos puede ayudar en algunas ocasiones (no siempre) a darnos cuenta rápidamente si un subconjunto no es subespacio vectorial: si no tiene al vector , entonces no es subespacio.
La tercera propiedad tiene una consecuencia práctica muy importante: para mostrar que algo es un espacio vectorial, basta con mostrar que es un subespacio de algo que ya sabemos que es un espacio vectorial.
Problema. Muestra que , el conjunto de funciones continuas de
a
, es un espacio vectorial sobre
con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por escalar.
Solución. En la entrada anterior vimos que el conjunto de funciones de
a los reales es un espacio vectorial sobre
con las operaciones de suma de funciones y multiplicación escalar. El conjunto
es un subconjunto de
.
Por argumentos de cálculo, la suma de dos funciones continuas es una función continua. Así mismo, al multiplicar una función continua por un real obtenemos de nuevo una función continua. De esta forma, es un subespacio de
.
Por la observación (3) de la discusión previa, obtenemos que es un espacio vectorial sobre
con las operaciones de suma de funciones y multiplicación por escalar.
Definiciones alternativas de subespacios vectoriales
Algunos textos manejan definiciones ligeramente distintas a la que nosotros dimos. Sin embargo, todas ellas son equivalentes.
Proposición. Sea un espacio vectorial sobre el campo
y
un subconjunto de
. Los siguientes enunciados son equivalentes.
es un subespacio de
de acuerdo a nuestra definición.
- Para cualesquiera vectores
y
en
y escalares
y
en
, se tiene que
está en
.
- Para cualesquiera vectores
y
en
y cualquier escalar
en
se tiene que
está en
.
Demostración. (1) implica (2). Supongamos que es un subespacio de
. Tomemos vectores
en
y escalares
en
. Como
es cerrado bajo producto escalar, se tiene que
está en
. De manera similar,
está en
. Como
es cerrado bajo sumas, se tiene que
está en
.
(2) implica (3). Supontamos que satisface (2) y tomemos
en
y cualquier escalar
en
. Tomando
y
en (2), tenemos que
está en
.
(3) implica (1). Supongamos que satisface (3). Hay que ver que
es cerrado bajo sumas y producto escalar. Si tomamos
y
en
y al escalar
de
, por (3) obtenemos que
está en
, lo cual muestra la cerradura de la suma. Si tomamos cualquier escalar
y al vector
, entonces por (3) se tiene que
está en
. Esto muestra la cerradura bajo producto escalar.
La consecuencia práctica de la proposición anterior es que basta verificar (2) o (3) para garantizar que es un subespacio.
Problema. Considera el espacio vectorial de matrices en
. Muestra que el subconjunto
de matrices simétricas forman un subespacio de
.
Solución. Lo demostraremos probando el punto (3) de la proposición. Sea un escalar en
y sean
y
matrices en
, es decir, tales que
y
. Debemos mostrar que
está en
, es decir, que
. Usando propiedades de la transpuesta y la hipótesis sobre
y
tenemos que:
Más ejemplos de subespacios vectoriales
A continuación presentamos más ejemplos de subespacios vectoriales. En cada ejemplo damos un espacio vectorial y un subconjunto . Para cada uno de los casos, piensa por qué la suma de dos elementos de
es de nuevo un elemento de
y por qué el producto de un escalar por un elemento de
es un elemento de
. También puedes usar la última proposición para probar ambas cosas simultáneamente.
- Si tomamos
, el subconjunto
de matrices que cumplen que la suma de entradas en su diagonal principal es igual a
es un subespacio.
- En el espacio vectorial
, el subconjunto
de vectores cuya primera y tercer entrada son iguales a
forman un subespacio.
- Las funciones acotadas del intervalo
a
forman un subconjunto
que es un subespacio de las funciones del intervalo
a
.
- El subconjunto
de vectores
de
tales que
.
- Si tomamos
, entonces este es un subespacio de
.
- Si tomamos
, entonces este es un subespacio de
.
- El subconjunto
de funciones diferenciables de
a
tales que su derivada evaluada en
es igual a
es un subespacio del espacio de funciones continuas de
a
.
- Las matrices triangulares superiores de
forman un subespacio
del espacio
. Las matrices triangulares inferiores también. Como la intersección de estos subespacios es el conjunto de matrices diagonales, obtenemos que las matrices diagonales también son un subespacio (aunque claro, esto también se puede probar directamente de la definición).
Ejemplos de subconjuntos que no son subespacios vectoriales
Aunque ya vimos muchos ejemplos de subespacios, resulta que en realidad es un poco raro que un subconjunto de un espacio vectorial sea un subespacio. Los ejemplos de subconjuntos que no son subespacios vectoriales abundan. Veamos algunos y qué tipo de cosas pueden salir mal.
- El subconjunto
no es un subespacio de
. Podemos dar el siguiente argumento: ya demostramos que un subespacio debe tener al vector cero. En este caso,
debería tener a
para ser subespacio. Pero
. Así,
no está en
y por lo tanto
no es subespacio.
- Alternativamente, en el ejemplo anterior podemos ver que
está en
, pero
no.
- El subconjunto
de
no es un subespacio, pues
está en
. Tomando
y
, vemos que
no es cerrado bajo sumas pues
no está en
.
- Las matrices del subconjunto
de
, es decir, las matrices invertibles, no conforman un subespacio. Por un lado, ya vimos que el neutro aditivo de la suma debe estar en un subespacio, pero la matriz
no es invertible, así que no está en
.
- El subconjunto
de funciones
diferenciables tales que su derivada en
es igual a
no es un subespacio de las funciones continuas de
a
. Hay muchas formas de verlo. Podemos darnos cuenta que
es una de las funciones en
pues
y
. Sin embargo,
no está en
.
- El subconjunto
de polinomios de
con coeficientes no negativos no es un subespacio de
. El polinomio
sí está en
y la suma de cualesquiera dos elementos de
está en
. Sin embargo, falla la multiplicación escalar pues
está en
, pero
no.
- La unión del eje
, el eje
y el eje
de
es un subconjunto
de
que no es un subespacio. Cualquier producto escalar queda dentro de
, pero la suma no es cerrada.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Demuestra que los siguientes conjuntos
son subespacios del espacio vectorial indicado.
- El subconjunto
de vectores
de
tales que
.
- La colección
de funciones continuas
tales que
es un subespacio del espacio de funciones de
a
.
es un subespacio de las matrices en
.
- El subconjunto
- Demuestra que los siguientes conjuntos
no son subespacios del espacio vectorial indicado.
- El subconjunto
de vectores
de
tales que
no es un subespacio de
.
- El subconjunto
de matrices en
cuyo producto de todas las entradas es igual a
no es un subespacio de
- Cuando
es un subconjunto finito y con al menos dos polinomios con coeficientes complejos y de grado a lo más
, es imposible que sea un subespacio de
.
- El subconjunto
- Sea
un espacio vectorial y
un entero positivo. Demuestra que si
son subespacios de
, entonces la intersección
- Escribe por completo la demostración de que cualquier subespacio de un espacio vectorial es también un espacio vectorial con las mismas operaciones.
- Demuestra que si
es un espacio vectorial,
es un subespacio de
y
es un subespacio de
, entonces
es un subespacio de
.
Más adelante…
En esta entrada definimos el concepto de subespacio de un espacio vectorial. En la siguiente hablaremos de algunas operaciones que se les puede hacer a los subespacios vectoriales para «combinarlos» y obtener más subespacios. Una operación muy imporante es la de suma de subespacios, que puede tener dos o más sumandos. La operación de suma de subespacios es particularmente especial cuando los subespacios están en posición de suma directa. Para irte dando una idea de qué quiere decir esto, dos subespacios están en posición de suma directa si su único elemento en común es el vector . El caso general de más subespacios se enuncia de forma distinta y también lo veremos en la siguiente entrada.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal I
- Entrada anterior del curso: Espacios vectoriales
- Siguiente entrada del curso: Suma y suma directa de subespacios