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Álgebra Superior II: Construcción de los enteros y su suma

Introducción

Ya que se construyeron los números naturales, podríamos intentar usarlos para plantear ecuaciones con ellos y ver si se pueden resolver. Un tipo de ecuaciones muy sencillas son las de la forma $a=b+x$, en donde $a$ y $b$ son valores dados y lo que se espera es encontrar el valor de $x$. En los números naturales no hemos definido la resta, así que no es tan sencillo resolver esta ecuación como simplemente decir que la solución es $a-b$.

Lo que sí hicimos en entradas anteriores es ver que la ecuación $a=b+x$ con $a$ y $b$ en $\mathbb{N}$ tiene una solución $x$ en $\mathbb{N}$ si y sólo si $a\geq b$. Cuando $a<b$, no existe solución. Por ejemplo, no existe ninguna $x \in \mathbb{N}$ tal que $3 = 7 + x$.

Pensando esto de manera más intuitiva, $\mathbb{N}$ está conformado por el cero y demás números estrictamente positivos, pero en ocasiones eso no basta para realizar algunas cuentas. Consideremos el siguiente problema:

Una rana está en una posición inicial $0$ y salta dos unidades hacia la derecha. A continuación salta $3$ unidades hacia la izquierda. Luego vuelve a saltar $2$ unidades hacia la derecha y seguido de esto vuelve a saltar $3$ unidades a la izquierda. Una última vez, la rana salta $2$ unidades a la derecha seguidas de $3$ unidades a la izquierda. ¿En qué posición se encuentra la rana ahora?

La cuenta intuitiva, usando los números que conocemos desde educación básica, nos dice que la rana queda en la posición $-3$. Sin embargo, este es un número negativo, y dentro de nuestra construcción de $\mathbb{N}$ nunca hemos hablado de estos números.

La necesidad de que existan soluciones para las ecuaciones sencillas que mencionamos arriba y de que existan números para hacer cuentas como las de la rana es motivación suficiente para querer construir el conjunto de números enteros, denotado $\mathbb{Z}$. Lo que buscamos es que toda ecuación de la forma $a=b+x$ tenga una solución. Es decir, querremos que el conjunto de entero satisfaga que «para cualesquiera $a,b\in \mathbb{Z}$ existe $x\in \mathbb{Z}$ tal que $a= b+x$».

En esta entrada y las siguientes, describiremos la construcción de $\mathbb{Z}$, de sus operaciones y de su orden. Para hacer esto de la manera más formal posible, aprovecharemos la construcción que ya hemos hecho de $\mathbb{N}$.

A grandes rasgos, debemos de pasar por los siguientes pasos.

  1. Definiremos una relación en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, en donde dos parejas $(a,b)$ y $(c,d)$ de enteros estarán relacionadas si $a+d=b+c$.
  2. Veremos que esto es una relación de equivalencia. Un número entero será una clase de equivalencia de esta relación, es decir, en símbolos será un conjunto de la siguiente forma: \[ \overline{(a,b)}:= \left\{ (c,d) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N} : \left(a + d = b +c \right) \right\}, \] en donde $a$ y $b$ son números naturales.
  3. El conjunto de los números enteros será la colección de todas las clases de equivalencia arriba mencionadas, en símbolos: \[ \mathbb{Z} := \left\{ \overline{(a,b)} : (a,b) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N} \right\}.\]
  4. A este conjunto le daremos operaciones de suma, producto y un orden. Enunciaremos y demostraremos varias de sus propiedades.

Ya que hagamos todo esto, podremos pasar a una siguiente etapa de esta unidad, en donde daremos una introducción a la teoría de números, que es un área de las matemáticas que se dedica a estudiar propiedades aritméticas de $\mathbb{Z}$.

¿Qué es un número entero?

Comencemos tomando una pareja ordenada $(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ con $a\geq b$. Para esta pareja, la ecuación

\begin{equation}
a = b + x
\end{equation}

tiene una solución en $\mathbb{N}$. Sin embargo, existen más parejas que tienen la misma solución, es decir, parejas $(c,d)$ tales que las ecuaciones $a=b+x$ y $c=d+x$ tienen la misma solución $x \in \mathbb{N}$. Por ejemplo, si tomamos $a = 7$, $b = 3$ la ecuación correspondiente es $$7=3+x,$$ cuya solución es $x=4$. Si tomamos $c = 15$ y $d = 11$, entonces la ecuación es $$15=11+x,$$ cuya solución también es $x=4$.

En realidad, muchas más parejas de naturales pueden encontrarse tales que la solución $x$ sea la misma en las ecuaciones representadas por su pareja ordenada asociada. En el ejemplo anterior, otras parejas con la misma solución serían $(5, 1)$, $(31, 27)$, $(100, 96)$, etc. Lo que buscamos al construir a los números enteros es «agrupar» a las parejas con la misma solución $x$. Sin embargo, para que más adelante podamos también «considerar a los negativos», tendremos que cambiar un poco el enfoque.

La siguiente proposición nos permite describir quiénes son todas las parejas $(c,d) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ que tienen la misma solución.

Proposición. Sean $(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ y $(c,d) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ con $a\geq b$ y $c\geq d$. Se tiene que las ecuaciones $a=b+x$ y $c=d+x$ tienen la misma solución $x$ si y sólo si $a+d = b+c$.

Demostración. $\Longrightarrow )$ Comencemos suponiendo que las ecuaciones $a=b+x$ y $c=d+x$ tienen una misma solución $x$. Esto en símbolos quiere decir que

\begin{align*} a &= b+x \\ d + x &= c \end{align*}

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos lo siguiente (aquí ya estamos usando las propiedades conmutativa y asociativa de la suma):

$$a + d + x = b + c + x.$$

En entradas anteriores ya demostramos que se cumple la ley de la cancelación en $\mathbb{N}$. Cancelando $x$ de ambos lados de la igualdad anterior, obtenemos $$a+d=b+c,$$ que era lo que queríamos.

$\Longleftarrow )$ Ahora comencemos con parejas $(a,b)$ y $(c,d)$ tales que $a+d=b+c$. Sea $k \in \mathbb{N}$ una solución de la ecuación $a = b + x$. Es decir, $a = b + k$. Sumando $d$ de ambos lados y usando la hipótesis, tenemos lo siguiente

\begin{align*} b + d + k &= a + d\\
&= b+c.
\end{align*}

Usando la ley de la cancelación en el término $b$, obtenemos que $d+k=c$, es decir, que $k$ también es solución de la ecuación $c=d+x$.

$\square$

La proposición anterior motiva entonces la siguiente definición para todas las parejas $(a,b)$, no sólo para aquellas con $a\geq b$.

Definición. Sean $(a,b)$ y $(c,d)$ parejas de números naturales. Diremos que $(a,b)\sim(c,d)$ si y sólo si $a + d = b + c$.

Probemos una propiedad fundamental de $\sim$.

Proposición. La relación $\sim$ en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ es una relación de equivalencia.

Demostración. Debemos demostrar que $\sim$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

  1. Reflexividad. Veamos que para toda $(a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ se cumple que $(a,b)\sim (a,b)$. Por la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$, $a + b = b + a$. Así, $(a,b) \sim (a,b)$.
  2. Simetría. Veamos que para cualesquiera $(a,b),(c,d) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N}$, si $(a,b)\sim (c,d)$, entonces $(a,b) \sim (c,d)$. Sean $(a,b)$ y $(c,d)$. Si $(a,b)=(c,d)$, entonces $a+d = b+c$. Nuevamente por la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$, se desprende que $c + b = d + a$. Esto es precisamente la definición de $(c,d)\sim(a,b)$.
  3. Transitividad. Veamos que para cualesquiera $(a,b), (c,d),(e,f) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ tales que $(a,b)\sim (c,d)$ y $(c,d)\sim (e,f)$, se obtiene que $(a,b)\sim (e,f)$. Sean $(a,b)$, $(c,d)$ y $(e,f)$ tales que $(a,b)\sim (c,d)$ y $(c,d)\sim (e,f)$. Esto quiere decir que $a+d=b+c$ y que $c+f=d+e$. Sumando ambas ecuaciones, se obtiene $$a+f+c+d=b+e+c+d.$$ Usando la ley de cancelación en $c+d$ obtenemos la ecuación $$a+f=b+e,$$ la cual precisamente corresponde a la relación $(a,b)\sim (e,f)$.

$\square$

Con sólo estas dos proposiciones ya debería quedar más claro de dónde sale la noción formal de número entero, que es la siguiente.

Definición. Un número entero es una clase de equivalencia de $\sim$, es decir, es un conjunto de la siguiente forma:

\begin{equation}
\overline{(a,b)} := \left\{(c,d)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N} : a+d = b+c \right\}.
\end{equation}

Ejemplo. ¿Quién es el número entero $\overline{(0,0)}$? Es el conjunto de parejas $(c,d)$ para las cuales $0+d=c+0$, es decir, aquellas en donde $c=d$. De esta forma, $$\overline{(a,b)}=\{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\}.$$

¿Cuándo dos números enteros son iguales? Para esto, debe suceder como conjuntos que $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$. Como $\sim$ es reflexiva, se tiene que $(a,b)\in \overline{(a,b)}$. Así, $(a,b)$ debe estar en $\overline{(c,d)}$ para que pueda darse la igualdad de conjuntos. Es decir, se necesita que $(a,b)\sim (c,d)$. Es fácil convencerse de que esto es una condición necesaria y suficiente.

El conjunto de los números enteros

En la definición de número entero podemos ir cambiando la pareja $(a,b)$ para ir obteniendo distintos conjuntos. Como $\sim$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, al variar sobre todas las posibles parejas, estos conjuntos del estilo $\overline{(a,b)}$ forman una partición de $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$. Si quieres recordar por qué, puedes ver las entradas correspondientes en el curso de Álgebra Superior I. El conjunto de todas las clases de equivalencia será nuestro conjunto de números naturales.

Definición. Para $(a,b) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$, el conjunto de los números enteros será la colección de todas las clases de equivalencia arriba mencionadas. En símbolos, definimos lo siguiente:

\begin{equation}
\mathbb{Z} := \left\{ \overline{(a,b)} : (a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N} \right\}.
\end{equation}

De ahora en adelante, abreviaremos la notación de clase de equivalencia por $\overline{(a,b)}$ (sin la tilde), para facilitar escribir las demostraciones. Otra notación usada comúnmente en la literatura es $[(a,b)]$, sin la tilde.

La suma de los números enteros

Hasta ahora los elementos del conjunto $\mathbb{Z}$ son clases de equivalencia y esto está algo alejado de nuestra noción de números. Definamos operaciones en $\mathbb{Z}$ para que de nuevo los pensemos como un sistema numérico. Comenzamos definiendo la suma de enteros como sigue.

Definición. La suma en los enteros es la función $ \widehat+ : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} $ tal que $$\overline{(a,b)} \enspace \widehat+ \overline{(c,d)} = \overline{(a+c,b+d)}.$$

De manera intuitiva, lo que esta suma refleja es que si tenemos dos ecuaciones $a = b + x$ y $c = d + y$, y las sumamos, entonces se obtiene la ecuación:

$$ a + c = (b + d) + (x + y),$$ la cual correspondería a la clase de equivalencia $\overline{(a+c,b+d)}$.

En la definición utilizamos símbolos distintos para la suma. El símbolo $+$ se refiere al símbolo de suma en $\mathbb{N}$ al cual estamos muy bien acostumbrados. El símbolo $\widehat +$ se refiere al símbolo en $\mathbb{Z}$ que estamos definiendo y que será la suma en $\mathbb{Z}$, para la cual aún tenemos que probar que se cumplan las propiedades que queremos. De ahora en adelante simplemente estaremos usando el símbolo $+$ para ambas, así que es muy importante que en cada momento te preguntes si se refiere al símbolo en $\mathbb{N}$ o en $\mathbb{Z}$, lo cual será claro por el contexto.

Un problema que podríamos tener con la definición de suma es que no estuviera bien definida. Es decir, que si tomamos diferentes representantes de la clase de equivalencia, al hacer la suma obtengamos un resultado diferente. A continuación mostramos que esto en realidad no es un problema.

Proposición. La suma en los enteros está bien definida. Es decir, si $(a,b)\sim (a’,b’)$ y $(c,d)\sim (c’,d’)$, entonces $(a+d,b+c)\sim(a’+d’,b’+c’)$.

Demostración. Las hipótesis corresponden a que $a+b’=b+a’$ y a que $c+d’=d+c’$, que escribiremos como $d+c’=c+d’$. Sumando la primera igualdad con la tercera, reordenando y agrupando términos, obtenemos que $$(a+d)+(b’+c’)=(b+c)+(a’+d’),$$

lo que significa que, como se quería, $(a+d , b+c) \sim (a’+d’, b’+c’).$ Es decir, $\overline{(a+d , b+c)} = \overline{(a’+d’ , b’+c’)}$, de modo que el resultado final de la suma no depende de los representantes que elegimos para hacerla.

$\square$

Propiedades de la suma en $\mathbb{Z}$

Como estamos definiendo una nueva operación de suma, hay que revisar de nuevo que tenga las propiedades que se necesitan para poder trabajar con ella de la manera usual. En esta sección hacemos esto.

Proposición. Se satisfacen las siguientes propiedades para la operación de suma en $\mathbb{Z}$.

  • Asociatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ se satisface que $$(\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)})+\overline{(e,f)}=\overline{(a,b)}+(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}).$$
  • Conmutatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se satisface que $$\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}.$$
  • Neutro. Existe un elemento neutro, es decir, existe un entero $\overline{(m,n)}$ tal que para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ se cumple que $$\overline{(a,b)}+\overline{(m,n)}=\overline{(a,b)}.$$
  • Inversos. Para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ existe un entero $\overline{(c,d)}$ tal que la suma $\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}$ es el neutro de la propiedad anterior.

Demostración. La asociatividad se sigue de la siguiente cadena de igualdades.

\begin{align*}
(\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)})+\overline{(e,f)}&=\overline{(a+c,b+d)}+\overline{(e,f)}\\
&=\overline{((a+c)+e,(b+d)+f)}\\
&=\overline{(a+(c+e),b+(d+f))}\\
&=\overline{(a,b)}+\overline{(c+d,d+f)}\\
&=\overline{(a,b)}+(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}).
\end{align*}

En la primera, segunda, penúltima y última igualdades estamos usando la definición de suma en $\mathbb{Z}$. En la tercer igualdad estamos usando la asociatividad de la suma en $\mathbb{N}$.

Para demostrar la conmutatividad de la suma en $\mathbb{Z}$ usamos la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$ en la segunda igualdad de la siguiente cadena:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}&=\overline{(a+c,b+d)}\\
&=\overline{(c+a,d+b)}\\
&=\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}.
\end{align*}

El elemento neutro de la suma en $\mathbb{Z}$ es el entero $\overline{(0,0)}$ pues, en efecto, si tomamos cualquier entero $\overline{(a,b)}$, tenemos que $$\overline{(a,b)}+\overline{(0,0)}=\overline{(a+0,b+0)}=\overline{(a,b)}.$$

Aquí estamos usando que en los naturales el $0$ es neutro para la suma.

Finalmente, dado cualquier entero $\overline{(a,b)}$, notamos que su inverso aditivo sería el entero $\overline{(b,a)}$. En efecto, su suma sería $$\overline{(a,b)}+\overline{(b,a)}=\overline{(a+b,a+b)}=\overline{(0,0)}.$$

La primer igualdad está usando la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$ y la última el hecho de que $(a+b,a+b)\sim (0,0)$.

$\square$

Como los inversos aditivos se usan frecuentemente, usamos un símbolo especial para ellos: el símbolo de menos. Usamos también este símbolo en la definición de la función resta.

Definición. Para un entero $\overline{(a,b)}$ definimos $-\overline{(a,b)}:=\overline{(b,a)}$.

Para restar enteros, simplemente a un entero le sumamos el inverso del otro.

Definición. La resta de dos enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ es el entero

\begin{align*}
\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}:&=\overline{(a,b)}+(-\overline{(c,d)})\\
&=\overline{(a,b)}+\overline{(d,c)}\\
&=\overline{(a+d,b+c)}.
\end{align*}

Cerrando el círculo

Finalizamos esta entrada observando que en $\mathbb{Z}$ ahora sí cualquier ecuación de la forma $r = w + s$ tiene una solución $w$ sin importar los valores de $r$ y $s$.

Proposición. Para cualesquiera enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se tiene que existe un entero $\overline{(x,y)}$ tal que $$\overline{(a,b)}=\overline{(x,y)}+\overline{(c,d)}.$$

Demostración. La solución es el entero $\overline{(x,y)}=\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$. En efecto, usando las propiedades de la suma en $\mathbb{Z}$ y la definición de resta, tenemos que:

\begin{align*}
\overline{(x,y)}+\overline{(c,d)}&=(\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)})+\overline{(c,d)}\\
&=\overline{(a,b)}+(-\overline{(c,d)}+\overline{(c,d)})\\
&=\overline{(a,b)}+\overline{(0,0)}\\
&=\overline{(a,b)}.
\end{align*}

Tarea moral

  1. Repasa por qué las clases de equivalencia inducidas por una relación de equivalencia sobre un conjunto $X$ forman una partición del conjunto $X$.
  2. Encuentra la solución a la siguiente ecuación en los enteros $$\overline{(5,3)}=\overline{(x,y)}+\overline{(1,8)}.$$ Tu respuesta debe ser un número entero, es decir, un conjunto de parejas de naturales. ¿Cuáles son esas parejas?
  3. Para cualesquiera enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$, muestra que la solución $\overline{(x,y)}$ a la ecuación $$\overline{(a,b)}=\overline{(x,y)}+\overline{(c,d)}$$ es única. Concluye que tanto el neutro aditivo de $\mathbb{Z}$, como los inversos aditivos en $\mathbb{Z}$ son únicos.
  4. Demuestra que para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ se tiene que $-(-\overline{(a,b)})=\overline{(a,b)}$.
  5. Demuestra que para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se tiene que $$-(\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)})=(-\overline{(a,b)})+(-\overline{(c,d)}).$$

Más adelante

En esta entrada definimos a los enteros, al conjunto de números enteros y a la operación de suma. Vimos también que la suma tiene buenas propiedades. La estructura algebraica de $\mathbb{Z}$ es todavía más rica. Dentro de $\mathbb{Z}$ también se puede definir un producto y una relación de orden. Haremos esto en las siguientes entradas, enunciaremos las propiedades que tienen y las demostraremos.

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Álgebra Superior II: Raíces en los complejos y raíces de la unidad.

Introducción

En esta entrada veremos cómo resolver, en $\mathbb{C}$, la ecuación $w^n=z$, en donde $z$ es un complejo y $n$ es un entero positivo. Puedes pensar esto como que aprenderemos a obtener raíces en los complejos, pero sólo para $n$ entero. Más adelante hablaremos de la función exponencial compleja que nos permitirá elevar a otro tipo de exponentes.

Nuestra herramienta principal será la fórmula de De Moivre, que ya demostramos en una entrada anterior. Encontrar raíces $n$-ésimas es una herramienta más en nuestra caja para trabajar con números complejos, que hasta el momento ya incluye resolver ecuaciones cuadráticas complejas y sistemas de ecuaciones lineales complejos.

Introducción a raíces en los complejos

Pensemos en un ejemplo sencillo. ¿Cuáles son los complejos $w$ tales que $w^4=1$? En $\mathbb{R}$ tenemos dos de ellos: $1$ y $-1$. Como $$(-i)^4=i^4=(-1)^2=1,$$ en $\mathbb{C}$ tenemos otras dos soluciones: $i$ y $-i$. Así que tenemos $4$ soluciones en $\mathbb{C}$: $1$, $-1$, $i$ y $-i$.

Para mostrar que son las únicas en este sencillo caso, podemos hacer lo siguiente. Expresamos $1$ en forma polar $1=\text{cis}(0)$ y también, en forma polar, una solución $w=s\text{cis}(\alpha)$, con $\theta$ en $[0,2\pi)$. Por el teorema de De Moivre, tenemos que $$1=w^4=s^4\text{cis}(4\alpha).$$

Así, la norma $s$ de $w$ debe satisfacer $s^4=1$, y además $\text{cis}(4\alpha)$ debe ser $1$, por lo que $4\alpha$ debe ser un múltiplo entero de $2\pi$. La norma es un real positivo, así que la única solución para $s$ es $1$. Ahora, ¿cuántos argumentos $\alpha$ en $[0,2\pi)$ hacen que $4\alpha$ sea un múltiplo entero de $2\pi$?

Para determinar esto, notemos que $4\alpha$ está en $[0,8\pi)$, y ahí hay exactamente cuatro múltiplos enteros de $2\pi$, que son $$0,2\pi, 4\pi, 6\pi.$$ Esto es justo lo que limita las soluciones a que sean a lo más $4$.

Podemos continuar para verificar que en efecto son las soluciones que ya encontramos. Las soluciones para $\alpha$ en cada caso son $$0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}.$$ Concluimos entonces que las soluciones complejas de $w^4=1$ son, en forma polar,
\begin{align*}
w_1&=\text{cis}(0)\\
w_2&=\text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right)\\
w_3&=\text{cis}\left(\pi\right)\\
w_4&=\text{cis}\left(\frac{3\pi}{2}\right),
\end{align*}

que son exactamente $1,i,-1,-i$.

$\square$

El teorema de raíces en los complejos

La discusión anterior funciona en general para cualquier entero positivo $n$ y para cualquier complejo $\mathbb{C}$. Siempre tenemos exactamente $n$ soluciones y sabemos cómo se ven en forma polar.

Teorema. Sea $z=r\text{cis}(\theta)$ un número complejo, distinto de cero, dado en forma polar y $n$ un entero positivo. Existen exactamente $n$ elementos distintos de $\mathbb{C}$ tales que $w^n = z$. Están dados en forma polar por $$w_j=r^{1/n} \text{cis}\left(\frac{\theta}{n} + j\frac{2\pi}{n}\right)$$ para $j=0,1,2\ldots,n-1$.

Demostración. Tomemos una solución $w$ y la escribimos en forma polar $w=s\text{cis}(\alpha)$, con $\alpha$ en $[0,2\pi)$. Usando que $w$ es solución y la fórmula de De Moivre, obtenemos que $$r\text{cis}(\theta)=s^n\text{cis}(n\alpha).$$ Como $s$ tiene que ser real positivo, obtenemos que $s=r^{1/n}$ (aquí estamos usando la raíz $n$-ésima en los reales).

El ángulo $n\alpha$ está en el intervalo $[0,2n\pi)$, y debe diferir en un múltiplo entero de $2\pi$ del ángulo $\theta$. Como $\theta$ está en $[0,2\pi)$, las únicas posibilidades para $n\alpha$ pueden ser los $n$ valores $$\theta, \theta+2\pi,\ldots, \theta+2(n-1)\pi,$$ de donde las soluciones para $\alpha$ son $$\frac{\theta}{n},\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n}, \ldots, \frac{\theta}{n} + (n-1)\frac{2\pi}{n},$$ respectivamente. Como son ángulos distintos en $[0,2\pi)$, obtenemos las posibles soluciones distintas $$r^{1/n} \text{cis}\left(\frac{\theta}{n} + j\frac{2\pi}{n}\right)\quad \text{para $j=0,\ldots,n-1$}.$$

Verificar que en efecto son soluciones es sencillo, ya sea revirtiendo los pasos que hicimos, o usando directamente la fórmula de De Moivre. Esta verificación queda como tarea moral.

$\square$

Observa que el teorema dice que para obtener una raíz podemos empezar del complejo de norma $r^{1/n}$ y argumento $\frac{\theta}{n}$, y de ahí obtener el resto de las raíces en los complejos «rotando repetidamente $\frac{2\pi}{n}$ en el plano complejo». Esto muestra que las raíces forman los vértices de un $n$-ágono regular.

Nos costó un poco de trabajo mostrar que teníamos a lo más $n$ soluciones. En realidad, cualquier ecuación polinomial de grado $n$, es decir, de la forma $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0$$ tiene a lo más $n$ soluciones. Esto lo veremos con toda generalidad en la última unidad, cuando hablemos de polinomios.

Ejemplos de obtener raíces en los complejos

Ejemplo. Encontremos todas las raíces séptimas del complejo $128\text{cis}\left(\frac{14\pi}{13}\right)$. Para empezar, notemos que $128^{1/7}=2$, de modo que todas las raíces tienen norma $2$.

Una de las raíces tiene argumento $\frac{14\pi}{7\cdot 13}=\frac{2\pi}{13}$ y el argumento del resto difiere en múltiplos enteros de $\frac{2\pi}{7}$. De esta forma, las raíces son

\begin{align*}
w_1&=2\text{cis}\left(\frac{2\pi}{13}\right)\\
w_2&=2\text{cis}\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{2\pi}{7}\right)=2\text{cis}\left(\frac{40\pi}{91}\right)\\
w_3&=2\text{cis}\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{4\pi}{7}\right)=2\text{cis}\left(\frac{66\pi}{91}\right)\\
w_4&=2\text{cis}\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{6\pi}{7}\right)=2\text{cis}\left(\frac{92\pi}{91}\right)\\
w_5&=2\text{cis}\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{8\pi}{7}\right)=2\text{cis}\left(\frac{118\pi}{91}\right)\\
w_6&=2\text{cis}\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{10\pi}{7}\right)=2\text{cis}\left(\frac{144\pi}{91}\right)\\
w_7&=2\text{cis}\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{12\pi}{7}\right)=2\text{cis}\left(\frac{170\pi}{91}\right).
\end{align*}

$\square$

Problema. Sabemos que $(2-3i)^4=-119+120i$. Encuentra las otras raíces cuartas de $-119+120i$.

Solución. Podríamos pasar $-119+120i$ a forma polar y usar el método anterior. Esto funciona y dará una solución. Pero veamos una solución alternativa más corta, que nos ayuda a entender mejor el teorema de raíces en los complejos.

De acuerdo con lo que probamos, las raíces varían únicamente en argumento, al que se le va sumando $\frac{\pi}{2}$. Es decir, si tenemos una raíz en el plano complejo, las demás se obtienen de ir rotando $\frac{\pi}{2}$ (recuerda que esto es $90^\circ$) desde el origen. Al ir rotando el punto $(2,-3)$ en el plano complejo en este ángulo, obtenemos los puntos $(-3,-2)$, $(-2,3)$ y $(3,2)$, de modo que las otras tres raíces son $-3-2i$, $-2+3i$ y $3+2i$.

Otra forma más de pensarlo es la siguiente. Si ya tenemos una raíz cuarta $w$ de un complejo $z$, entonces todas las raíces se obtienen multplicando por $1,i,-1, -i$. En efecto, por ejemplo, $$(iw)^4=i^4w^4=w^4=1.$$ Así, para el problema que nos interesa, las soluciones son

\begin{align*}w_1&=2-3i\\w_2&=i(2-3i)=3+2i\\w_3&=-(2-3i)=-2+3i\\w_4&=-i(2-3i)=-3-2i,\end{align*}
lo cual coincide con lo que habíamos encontrado antes.

$\square$

Raíces $n$-ésimas de la unidad

Un caso particular importante de la teoría desarrollada en la sección anterior es cuando $z$ es $1$. Sea $n$ un entero positivo y $w$ un complejo tal que $w^n=1$. A $w$ se le conoce como una raíz $n$-ésima de la unidad.

Teorema (de las raíces $n$-ésimas de la unidad). Sea $n$ un entero positivo. Existen exactamente $n$ raíces $n$-ésimas de la unidad distintas. Si $\omega$ es la que tiene el menor argumento positivo, entonces dichas raíces son $$1,\omega, \omega^2,\ldots, \omega^{n-1}.$$

La demostración se sigue fácilmente del teorema de raíces $n$-ésimas y queda como tarea moral. Cualquier raíz $n$-ésima $\omega$ tal que sus primeras potencias generen todas las raíces $n$-ésimas de la unidad se le conoce como una raíz primitiva.

Las raíces $n$-ésimas de la unidad tienen una interpretación geométrica bonita. Forman los vértices del $n$-ágono regular con $n$ vértices, sobre la circunferencia unitaria, donde uno de los vértices es $1$.

Ejemplo. Obtengamos las raíces quintas de la unidad. Primero, obtengamos la de menor argumento positivo, que por el teorema de raíces en los complejos, es $$\omega = \text{cis}\left(\frac{2\pi}{5}\right).$$ El resto de las raíces son entonces $\omega^2$, $\omega^3$, $\omega^4$ y $1$. Las podemos encontrar en el plano complejo como vértices del siguiente pentágono regular:

Ejemplo de raíces en los complejos: raíces quintas de la unidad
Raíces quintas de la unidad

Cualquiera de $\omega$, $\omega^2$, $\omega^3$ y $\omega^4$ son raíces primitivas, pero $1$ no es raíz primitiva pues sus potentcias sólo son él mismo.

$\square$

Las raíces $n$-ésimas de la unidad se utilizan en muchos contextos. Aunque se puede trabajar con ellas de forma explícita, muchas veces se utilizan sólo las propiedades algebraicas que cumplen. A continuación enunciamos algunas.

Teorema. Sea $\omega$ una raíz primitva $n$-ésima de la unidad. Las raíces $n$-ésimas de la unidad $$\omega_i = \omega^i $$ para $i=0,\ldots,n-1$ satisfacen las siguientes propiedades:

  • Para $n>1$, se tiene que $\omega_0+\ldots+\omega_{n-1}=0$.
  • Para $k=0,1,\ldots,n-1$, se tiene que $$(\omega_k)^{-1}=\overline{\omega_k}=\omega_{n-k}.$$
  • Se tiene que $\omega_0\cdot\ldots\cdot \omega_{n-1} = (-1)^{n+1}$.

Demostración. Empezamos con el primer inciso. Si $n>1$, tenemos que $1$ no es raíz primitiva, así que para el primer inciso sabemos que $\omega\neq 1$. Usamos la fórmula para suma de términos en una progresión geométrica:
\begin{align*}
\omega_0+\omega_1&+\ldots+\omega_{n-1}\\
&= 1+\omega+\ldots+\omega^{n-1}\\
&=\frac{1-\omega^n}{1-\omega}\\
&=\frac{1-1}{1-\omega}\\
&=0.
\end{align*}

Para la segunda parte, notemos que $$\omega_k\omega_{n-k}=\omega^k\omega^{n-k}=\omega^n=1,$$ lo cual prueba una de las igualdades. La otra igualdad se sigue del hecho general que el inverso de un complejo de norma $1$ es su conjugado, cuya demostración queda como tarea moral.

La tercera parte se sigue de la propiedad anterior. Al multiplicar todas las raíces de la unidad, podemos emparejar a cada raíz con su conjugado para obtener producto $1$. Las únicas excepciones es cuando emparejamos a un complejo consigo mismo, es decir, para cuando $\omega_k=\overline{\omega_k}$, lo cual sucede sólo cuando $\omega_k$ es real. Las únicas posibilidades son $1$ ó $-1$. El $1$ no tiene problema pues colabora con un factor $1$. Si $n$ es impar, $-1$ no es raíz $n$-ésima, así que no contribuye al producto. Si $n$ es par sí. Esto muestra lo que queremos pues $(-1)^{n+1}$ es $1$ si $n$ es impar y $-1$ si es par.

$\square$

Para un entero positivo $n$, llamemos $(U_n,\cdot)$ al conjunto de raíces $n$-ésimas de la unidad equipadas con el producto complejo.

Teorema. Para cada entero positivo $n$, se tiene que $(U_n,\cdot)$ es un grupo y es isomorfo a $(\mathbb{Z}_n,+)$.

Demostración. El producto de cualesquiera dos raíces $n$-ésimas es también una raíz $n$-ésima. Por el teorema anterior, los inversos multiplicativos de las raíces $n$-ésimas también son raíces $n$-ésimas. Esto basta para mostrar que se forma un grupo.

Para la segunda parte, notamos que ambos grupos son el grupo cíclico de $n$ elementos. Una correspondencia entre ellos está dada por mandar $[1]_n$ a cualquier raíz primitiva.

$\square$

Tarea moral

  • Encuentra las raíces cúbicas de $8-8i$ y dibújalas en el plano complejo.
  • Verifica que las soluciones obtenidas en el teorema de raíces $n$-ésimas en efecto son soluciones.
  • Muestra el teorema de las raíces $n$-ésimas de la unidad.
  • Prueba que si $z$ es un complejo de norma $1$, entonces su inverso es su conjugado.
  • Sea $\omega$ una raíz $n$-ésima primitiva de la unidad. Muestra que $w^k$ es una raíz primitiva si y sólo si $n$ y $k$ son primos relativos, es decir, $\MCD{n,k}=1$. Sugerencia: Usa lo que sabemos de soluciones a ecuaciones diofantinas lineales.
  • Encuentra de manera explícita la parte real y la parte imaginaria de todas las raíces quintas de la unidad.
    Sugerencia: La ecuación $w^5-1=0$ se puede factorizar como $$(w-1)(w^4+w^3+w^2+w+1)$$ y $w^4+w^3+w^2+w+1$ se puede factorizar como $$\left(w^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}w+1\right)\left(w^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2}w+1\right).$$ Usa lo que sabemos de resolver ecuaciones cuadráticas cojmplejas.

Álgebra Superior II: Sistemas de ecuaciones lineales complejos

Introducción

En la entrada anterior comenzamos a hablar acerca de resolver, en los complejos, ecuaciones de distintos tipos. Además, profundizamos en cómo resolver las ecuaciones cuadráticas complejas. En esta entrada platicaremos acerca de los sistemas de ecuaciones lineales complejos.

Resolveremos a detalle el caso de dos variables y dos ecuaciones. Después, hablaremos un poco acerca de sistemas de ecuaciones con más variables. Un estudio cuidadoso de los sistemas de ecuaciones lineales con más variables se hace en los cursos de álgebra lineal. Un muy buen texto para aprender estos temas es el libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

Sistemas de ecuaciones lineales complejos con dos incógnitas

Si $a,b$ son elementos de $\mathbb{C}$ y $a\neq 0$, la ecuación lineal $$ax=b$$ tiene una única solución, dada por $x=\frac{b}{a}$, la cual está bien definida pues todo complejo distinto de $0$ tiene inverso multiplicativo.

Si tenemos los números complejos $a,b,c,d,e$ y $f$, el sistema de ecuaciones lineales en los complejos

\begin{align*}
ax+by &= c\\
dx+ey&=f
\end{align*}

puede comportarse de tres formas distintas:

  • Su solución existe y es única.
  • Tiene una infinidad de soluciones.
  • No tiene solución.

Si tiene al menos soluciones distintas, tenemos entonces que tiene una infinidad. Cuando la solución del sistema es única, el sistema se puede resolver por los métodos básicos con los que se resuelve un sistema en $\mathbb{R}$:

  • Por substitución: de la primera ecuación se despeja la variable $x$ y su valor se pone en la segunda ecuación. De ahí, obtenemos una ecuación en $y$. Se despeja $y$ para obtener su valor y con ello se obtiene el valor de $x$.
  • Igualando coeficientes: multiplicamos la primer ecuación por $d$ y la segunda por $-a$. Al sumar ambas ecuaciones resultantes, queda una ecuación lineal en $y$.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales complejos

Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema
\begin{align*}
2x+iy&= 3+4i\\
ix+5y&= 9 – 4i.
\end{align*}

Solución. Para empezar, multiplicamos la segunda ecuación por $2i$, de donde obtenemos el sistema
\begin{align*}
2x+iy&= 3+4i\\
-2x+10iy&=8+18i.
\end{align*}

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos que $11iy=11+22i$. Multiplicando por $-\frac{i}{11}$ de ambos lados, obtenemos $$y=2-i.$$

Substituyendo en la segunda ecuación, notamos que $$2x=3+4i-i(2-i)=2+2i,$$ de donde $x=1+i$. De aquí, la única solución puede ser $x=1+i$ y $y=2-i$, que se puede verificar que en efecto satisfacen la ecuación.

$\square$

Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema
\begin{align*}
(3+2i)x+iy&= 3+3i\\
(-4+6i)x-2y&= -6 + 6i.
\end{align*}

Solución. Multiplicando la primer ecuación por $2i$ obtenemos que es equivalente a la ecuación $$(-4i+6i)x-2y=-6+6i,$$ es decir, ambas ecuaciones difieren sólo por un factor $2i$, así que son la misma. Si elegimos cualquier valor de $y$, podemos encontrar un valor de $x$ que cumpla con la ecuación. Por ejemplo, tomando $y=1$, de la ecuación obtenemos que $x=1$. Así, esta ecuación tiene una infinidad de soluciones, dadas por elegir un $y$ y definir $x=\frac{3+3i-iy}{3+2i}.$

$\square$

Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema
\begin{align*}
(1+2i)x+(-2+i)y&= 3+6i\\
3x+3iy&= 8.
\end{align*}

Solución. Supongamos que existe alguna solución para $x$ y $y$. Multipliquemos la primer ecuación por $3$ y la segunda por $1+2i$. Obtenemos que
\begin{align*}
(3+6i)x+(-6+3i)y&= 9+18i\\
(3+6i)x+(-6+3i)y&= 8+16i.
\end{align*}

De aquí, $9+18i=8+16i$, lo cual es una contradicción. Así, esta ecuación no tiene soluciones.

$\square$

Método del determinante

Un método más general para resolver sistemas de ecuaciones lineales complejos con dos incógnitas, que nos dice todo lo que puede suceder, es el siguiente. De hecho, exactamente el mismo teorema funciona para $\mathbb{R}$.

Teorema. Sean $a,b,c,d,e$ y $f$ en $\mathbb{C}$. Para el sistema \begin{align*}
ax+by &= c\\
dx+ey&=f
\end{align*}

definimos a su determinante como el número complejo $ae-bd$. Entonces:

  • Si el determinante es distinto de $0$, el sistema tiene una solución única para $x$ y $y$ dada por
    \begin{align*}
    x&=\frac{ce-bf}{ae-bd}\\
    y&=\frac{af-cd}{ae-bd}.
    \end{align*}
  • Si el determinante es $0$, entonces el sistema no tiene solución, o tiene una infinidad.

Demostración. Cuando el determinante no es $0$, resolvemos el sistema por igualación de coeficientes. Multiplicando la primer ecuación por $-d$, la segunda por $a$ y sumando, obtenemos que $$(ae-bd)y=af-cd.$$ Como el determinante no es cero, $$y=\frac{af-cd}{ae-bd}.$$ Así mismo, multiplicando la primer ecuación por $e$, la segunda por $-b$ y sumando, obtenemos de manera análoga que $$x=\frac{ce-bf}{ae-bd}.$$ Así, si existe una solución, debe tener estos valores. Queda como tarea moral verificar que estos valores cumplen.

Cuando el determinante es $0$, tenemos que $ae=bd$. Si $a=b=e=d=0$, para que exista una solución se necesita forzosamente que $c=f=0$, y de hecho en este caso cualquier pareja $x,y$ funciona. Si en este caso alguno de $c$ o $f$ no es $0$, el sistema no tiene solución.

Así, continuando el análisis podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a\neq 0$. De este modo, $e=\frac{bd}{a}$, por lo que la segunda ecuación es equivalente a $$dx+\frac{bd}{a}y=f,$$ que es $adx+bdy=af$.

Si $d=0$, tenemos, de la ecuación anterior, que $af=0$ y del determinante que $ae=bd=0$. Como $a\neq 0$, se necesita que $e=f=0$, de modo que en realidad sólo tenemos una ecuación, la primera. Como $a\neq 0$, podemos elegir cualquier valor de $y$ y de ahí despejar el valor de $x$, obteniendo una infinidad de soluciones.

Si $d\neq 0$, entonces la ecuación $adx+bdy=af$ es equivalente a la ecuación $ax+by=\frac{af}{d}$. La primer ecuación y esta implican que si hay solución, entonces $\frac{af}{d}=c$. De ser así ,sólo tenemos una ecuación, pero repetida. Por el mismo argumento de arriba, hay una infinidad de soluciones.

$\square$

Sistemas de ecuaciones lineales complejos con más incógnitas

Los sistemas lineales complejos con más incógnitas se pueden resolver con las mismas técnicas que aquellos en los reales. En cursos como álgebra lineal verás cómo resolver un sistema lineal en general y cómo saber cómo se ven todas sus soluciones. Sin embargo, puedes aprovechar lo que ya sabes del álgebra de los complejos para resolver distintos sistemas lineales.

Problema. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

\begin{align*}
3a+(2+i)b+(1+2i)c&=1+i\\
3b+(2+i)c&=2+2i\\
3c&=3+3i.
\end{align*}

Solución. Resolvemos el sistema por substitución. Nos conviene empezar con la tercer ecuación, que tiene únicamente una variable. De ella obtenemos que $c=1+i$. Substituyendo en la segunda ecuación, obtenemos que $$3b+(2+i)(1+i)=2+2i,$$ de donde $$3b+1+3i=2+2i,$$ así que $$3b=1-i,$$ entonces $$b=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.$$

Con los valores de $b$ y $c$ podemos substituir en la primer ecuación. Notando que
\begin{align*}
(2+i)\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)=1-\frac{1}{3}i\\
(1+2i)(1+i)=-1+3i\\
(1+i)-\left(1-\frac{1}{3}i\right)-(-1+3i)=1-\frac{5}{3}i,
\end{align*}

obtenemos que $$a=\frac{1}{3}-\frac{5}{9}i.$$

En resumen,
\begin{align*}
a&=\frac{1}{3}-\frac{5}{9}i\\
b&=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\\
c&=1+i
\end{align*}

es la única posible solución, y se puede mostrar que en efecto satisface las tres ecuaciones.

$\square$

Problema. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

\begin{align*}
(1+5i)a+b+c+d+e&=2\\
a+(1+5i)b+c+d+e&=2\\
a+b+(1+5i)c+d+e&=2\\
a+b+c+(1+5i)d+e&=2\\
a+b+c+d+(1+5i)e&=2.
\end{align*}

Solución. Sumando todas las ecuaciones, tenemos que $$(5+5i)(a+b+c+d+e)=10,$$ de donde obtenemos que
\begin{align*}
a+b+c+d+e&=\frac{2}{1+i}\\
&=1-i.
\end{align*}

De la primera ecuación, obtenemos que \begin{align*}2&=(a+b+c+d+e)+5ia\\&=1-i+5ia,\end{align*} por lo que $$a=\frac{1+i}{5i}=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}i.$$ Por simetría, el resto de las variables también tiene este valor, de modo que $$a=b=c=d=e= \frac{1}{5}-\frac{1}{5}i$$ es la única solución.

$\square$

Tarea moral

  • Verifica que las soluciones de los ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales complejos de dos variables en efecto son soluciones.
  • Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones \begin{align*}2x+(1+i)y &= 4\\ (5-i)x+(3+2i)y &=0.\end{align*}
  • En el teorema del método del determinante, cuando el determinante no es cero, encontramos una solución. Verifica que en efecto satisface el sistema original.
  • Verifica que las soluciones de los ejemplos en varias variables en efecto satisfacen el sistema original.
  • Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones \begin{align*} x+(1+i)y &= 4\\ y+(2+i)z &= 5\\ z + (3+i)x &= 6.\end{align*}

Álgebra Superior II: Ecuaciones cuadráticas complejas

Introducción a ecuaciones en complejos

En entradas anteriores ya platicamos acerca de la construcción de los números complejos. Vimos que, con las operaciones de suma y resta que definimos, $\mathbb{C}$ es un campo. Además, introdujimos las nociones de conjugación compleja y de norma compleja. Como ya entendemos un poco de las operaciones que tenemos en $\mathbb{C}$, podemos empezar a hablar de otro de los temas que interesa al álgebra: resolver ecuaciones. Comenzaremos hablando acerca de ecuaciones cuadráticas complejas.

En entradas posteriores de este parcial, y del siguiente, veremos cómo resolver otro tipo de ecuaciones en los números complejos:

  • Sistemas de ecuaciones lineales complejos.
  • Ecuaciones de la forma $z^n=w$.
  • La ecuación cúbica $ax^3+bx^2+cx+d=0$.
  • La ecuación de grado 4 $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$.

En realidad, los números complejos son la estructura numérica correcta para resolver todo tipo de polinomios, es decir, expresiones como las de los últimos tres incisos anteriores. Esto se debe al teorema fundamental del álgebra, que dice lo siguiente.

Teorema (fundamental del álgebra). Sea $n$ un entero positivo y $a_0,\ldots,a_n$ en $\mathbb{C}$ con $a_n\neq 0$. La ecuación en números $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0$$ tiene por lo menos una solución $x$ en $\mathbb{C}$.

La demostración de este teorema en el curso será optativa, y la veremos sólo si tenemos tiempo suficiente. Antes de poder hacer esto, tenemos que seguir discutiendo sobre los números complejos (en esta unidad) y a los polinomios (en la siguiente unidad). Si en algún momento llevas un curso de análisis complejo, también demostrarás el teorema fundamental del álgebra, con ideas un poco más profundas.

Otra aclaración. Si el teorema fundamental del álgebra dice que toda ecuación polinomial tiene solución, ¿por qué sólo estudiamos hasta la ecuación de grado cuatro? La razón es que para grados dos, tres y cuatro podemos dar las soluciones a estas ecuaciones de manera algebraica, es decir, podemos expresar las soluciones con una fórmula (de cierto tipo) en términos de los coeficientes de la ecuación. En el caso de que la ecuación sea de grado 5 en adelante, en cierto sentido matemático no se puede. La demostración de esto la puedes ver en un curso de álgebra moderna intermedio, en el que se discuta teoría de Galois.

Raíces cuadradas en los complejos

Las ecuaciones cuadráticas complejas se resuelven de una forma parecida a lo que hacemos en $\mathbb{R}$: usando la fórmula cuadrática. Es decir, si tenemos la ecuación $ax^2+bx+c=0$ con $a,b,c$ en $\mathbb{C}$ y $a\neq 0$, veremos más abajo que la podemos resolver mediante la fórmula $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Esta expresión necesita que podamos encontrar la raíz cuadrada de un número complejo arbitrario. Vamos a mostrar que esto siempre es posible. Comencemos notando que el único complejo $z$ tal que $z^2=0$ es el $0$: si hubiera uno $z\neq 0$, multiplicando en ambos lados por $z^{-1}$ tendríamos que $z=0\cdot z^{-1}=0$, una contradicción.

Teorema. Sea $w\neq 0$ un número complejo. Entonces la ecuación $$z^2=w$$ tiene exactamente dos soluciones para $z$ en $\mathbb{C}$ y son inversos aditivos entre ellas.

Demostración. Tomemos $w=a+bi$ un número complejo. Supongamos que $z=x+yi$ es tal que $z^2=w=a+bi$. Tenemos que
\begin{align*}
a+bi=z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+2xyi,
\end{align*}

de donde $x^2-y^2=a$ y $2xy=b$. Elevando al cuadrado y sumando ambas ecuaciones, tenemos que
\begin{align*}
a^2+b^2&=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2\\
&=(x^2+y^2)^2.
\end{align*}

Como $a$ y $b$ son números reales, tenemos que $a^2+b^2$ es un número real no negativo. Del mismo modo, $x^2+y^2$ es un real no negativo. De esta forma, sacando raíz cuadrada en la ecuación anterior, obtenemos que $$x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}=\Vert w \Vert.$$

Sabemos además que $x^2-y^2=a=\text{Re}(w)$. Si sumamos ambas ecuaciones obtenemos $$x^2=\frac{\Vert w\Vert + \Rea(w)}{2}$$ y restándolas obtenemos $$y^2=\frac{\Vert w\Vert – \Rea(w)}{2}.$$

Recordemos que $\Vert w\Vert \geq |\Rea(w)|$ para todo complejo $w$, de modo que los términos del lado derecho de las igualdades anteriores son siempre positivos. Por esta razón, podemos sacar raíz de ambos lados. Pero ahora no hay nada que nos garantice que $x$ y $y$ sean positivos, así que hay que considerar dos casos en cada raíz, reflejados por el símbolo $\pm$ en las siguientes expresiones:

\begin{align*}
x&=\pm \sqrt{\frac{\Vert w\Vert + \Rea(w)}{2}}\\
y&=\pm \sqrt{\frac{\Vert w\Vert – \Rea(w)}{2}}.
\end{align*}

Hay que tener cuidado. No se valen las cuatro posibilidades de elecciones de signo. Notemos que de la ecuación $2xy=b$ tenemos que $xy$ tiene el mismo signo que $b=\Ima(w)$, así que si $\Ima(w)>0$ tienen que elegirse $x$ y $y$ con signos iguales y si $\Ima(w)<0$, tienen que elegirse con signos diferentes. Independientemente de la elección, las dos posibilidades dan dos soluciones para $z=x+iy$ que son inversas aditivas entre sí.

$\square$

Por notación. si tenemos un número complejo $w$, llamamos $\sqrt{w}$ a cualquiera de sus raíces cuadradas. Por el teorema anterior, su otra raíz es $-\sqrt{w}$.

Hay que tener cuidado. Para cuando $r$ es un real positivo, la notación $\sqrt{r}$ se refiere, por definición, a la raíz positiva. Cuando $w$ es un complejo arbitrario, no hay una forma «canónica» o «natural» de definir cuál de las dos raíces es «la correcta». Lo importante es que hay dos, y que son inversas aditivas entre sí.

Ejemplos de cómo obtener raíces cuadradas complejas

Antes de discutir cómo resolver ecuaciones cuadráticas complejas en general, veamos algunos ejemplos de cómo se usa el teorema anterior de manera práctica.

Problema. Encuentra las raíces cuadradas de $i$.

Solución. Tenemos que $\Vert i \Vert = 1$ y que $\Rea(i) = 0$, así que las soluciones $z=x+yi$ están dadas mediante

\begin{align*}
x&=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\\
y&=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} .
\end{align*}

Como $\Ima(i)=1>0$, tenemos que elegir a $x$ y $y$ con los mismos signos entre sí, así que las soluciones son
\begin{align*}
z_1&=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\\
z_2&=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i.
\end{align*}

$\square$

Problema. Encuentra las raíces cuadradas de $-21-20i$.

Solución. Tenemos que
\begin{align*}
\Vert -21-20i \Vert &= \sqrt{21^2+20^2}\\
&=\sqrt{841}\\
&=29,
\end{align*}

y que $\Rea(-21-20i)=-21$. Así, las soluciones $z=x+iy$ están dadas mediante

\begin{align*}
x&=\pm \sqrt{\frac{29-21}{2}}=\pm\sqrt{4}=\pm 2\\
y&=\pm \sqrt{\frac{29+21}{2}}=\pm\sqrt{25}=\pm 5.
\end{align*}

Como $\Ima(-21-20i)=-20<0$, debemos elegir $x$ y $y$ de distinto signo, de donde obtenemos las soluciones

\begin{align*}
z_1&=2-5i\\
z_2&=-2+5i.
\end{align*}

$\square$

Solución de ecuaciones cuadráticas complejas

Una vez que sabemos obtener la raíz cuadrada de un número complejo, tenemos todo lo necesario para resolver ecuaciones cuadráticas complejas en general. Consideremos $a,b$ y $c$ en $\mathbb{C}$ con $a\neq 0$. Veamos cómo resolver la ecuación $$ax^2+bx+c=0.$$

Para empezar, dividimos entre $a$ de ambos lados y restamos $\frac{c}{a}$, también, de ambos lados. Se obtiene que $$x^2+\frac{b}{a} x = -\frac{c}{a}.$$ El siguiente paso es un truco algebraico útil que se llama «completar el cuadrado». Pensamos a los términos del lado izquierdo como los primeros dos de un binomio cuadrado y nos preguntamos, ¿qué término faltaría? El término faltante es $\frac{b^2}{4a^2}$. Sumando este término en ambos lados, llegamos a $$x^2+\frac{b}{a} x + \frac{b^2}{4a^{2}} = \frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$

La razón por la cual completamos el cuadrado es para poder escribir la expresión anterior como

$$(x+\frac{b}{2a})^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2},$$

y aquí llegamos al punto en el que necesitamos obtener raíces cuadradas. Afortunadamente, ya sabemos que podemos hacer esto siempre en $\mathbb{C}$ y obtener $$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}},$$ de donde concluimos que las soluciones son

$$x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}.$$

Todos estos pasos son reversibles. Resumimos toda esta discusión en el siguiente resultado.

Teorema. Para $a,b,c$ en $\mathbb{C}$ y $a\neq 0$, la ecuación compleja $ax^2+bx+c=0$ tiene dos soluciones en $\mathbb{C}$ dadas por
\begin{align*}
x_1&=-\frac{b}{2a}+\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\
x_2&=-\frac{b}{2a}- \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}.
\end{align*}

Estas soluciones son iguales si y sólo si $b^2=4ac$ y en otro caso son distintas.

Ejemplos sobre resolución de ecuaciones cuadráticas complejas

Problema. Resuelve en $\mathbb{C}$ la ecuación $$x^2-5x+(7+i)=0.$$

Solución. Para usar la fórmula cuadrática, necesitaremos obtener la raíz $$\sqrt{\frac{25-4(7+i)}{4}}= \sqrt{-\frac{3}{4}-i}.$$

Como $$\left \lVert -\frac{3}{4}-i\right\lVert=\frac{\sqrt{25}}{4}=\frac{5}{4}$$ y $$\Rea\left(-\frac{3}{4}-i\right)=-\frac{3}{4},$$ las raíces $a+bi$ están dadas por

\begin{align*}
a=\pm\sqrt{\frac{\frac{5}{4}-\frac{3}{4}}{2}}=\pm\frac{1}{2}\\
b= \pm\sqrt{\frac{\frac{5}{4}+\frac{3}{4}}{2}}=\pm 1.
\end{align*}

Como $\Ima\left(-\frac{3}{4}-i\right)=-1<0$, para obtener las raíces tenemos que elegir signos distintos, es decir, que las raíces son \begin{align*}&\frac{1}{2} – i\\-&\frac{1}{2} +i.\end{align*}

Continuando con el problema original, concluimos, por la fórmula cuadrática, que las dos raíces son

\begin{align*}
x_1&=\frac{5}{2} + \frac{1}{2} – i = 3-i\\
x_2&=\frac{5}{2} – \frac{1}{2} + i =2+i.
\end{align*}

$\square$

La fórmula cuadrática funciona siempre para resolver ecuaciones cuadráticas complejas, pero a veces es demasiado. No hay que olvidar que tenemos toda el álgebra de $\mathbb{C}$ a nuestra disposición.

Problema. Resuelve en $\mathbb{C}$ la ecuación $$x^2-(3+8i)x=0.$$

Solución. En vez de usar la fórmula cuadrática, factorizamos la expresión del lado izquierdo para obtener que $$x(x-(3+8i))=0.$$

Para que un producto en $\mathbb{C}$ sea $0$, uno de los factores debe ser $0$. Así, $x=0$ ó $x-(3+8i)=0$, de donde las soluciones son \begin{align*}x_1&=0\\x_2&=3+8i.\end{align*}

$\square$

Tarea moral

  • Verifica que los números complejos que obtuvimos en los ejemplos de raíces cuadráticas en efecto satisfacen que su cuadrado es el número original.
  • Encuentra las raíces de $3+4i$, de $8-5i$, de $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}i$ y de $2-\sqrt{5}i$.
  • Verifica que las soluciones que obtuvimos en los ejemplos de ecuaciones cuadráticas complejas en efecto satisfacen la ecuación cuadrática dada.
  • Resuelve la ecuación cuadrática compleja $$ix^2+7x-7-i=0.$$
  • Si $w$ y $z$ son números complejos, ¿quienes son las raíces de $wz$? Las raíces cuadradas de $w$ son dos, las de $z$ son dos, y los posibles productos de ellas son cuatro números. ¿Por qué esto no contradice que $wz$ tiene dos raíces?

Puedes practicar este tema con los videos y ejercicios disponibles en la página de Khan Academy. Para ello, visita su sección de ecuaciones cuadráticas en los complejos.

Álgebra Lineal I: Problemas de ortogonalidad, ecuaciones e hiperplanos

Introducción

En esta entrada ejercitaremos los conceptos introducidos recientemente. Abordamos los temas de espacio ortogonal e hiperplanos. Para ello, resolveremos problemas de ortogonalidad relacionados con encontrar una base para el espacio ortogonal y de escribir subespacios en términos de ecuaciones e intersecciones de hiperplanos.

Problemas resueltos de espacio ortogonal

Problema. Sea $S=\{x^3+x, x^2+x ,-x^3+x^2+1\} \subseteq \mathbb{R}_3[x]$.
Describe $S^{\bot}$ dando una base de este espacio.

Solución. Una forma lineal $l$ sobre $\mathbb{R}_3[x]$ es de la forma

$l(a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=aa_0+ba_1+ca_2+da_3$

para algunos $a, b,c,d\in \mathbb{R}$, pues basta decidir quiénes son $a=l(1)$, $b=l(x)$, $c=l(x^2)$ y $d=l(x^3)$.

La condición $l\in S^{\bot}$ es equivalente a

$l(x^3+x)=l(x^2+x)=l(-x^3+x^2+1)=0.$

Esto es
\begin{align*}
l(x^3+x)&=b+d=0\\
l(x^2+x)&=b+c=0\\
l(-x^3+x^2+1)&=a+c-d=0.
\end{align*}

La matriz asociada al sistema es

$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$

y su forma escalonada reducida es

$A_{red}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}.$

Así, $d$ es variable libre y \begin{align*} a&=0\\ b&=-d\\ c&=d.\end{align*}

De aquí, el conjunto de soluciones del sistema es
$$\{(0,-u,u,u) : u\in \mathbb{R}\}.$$

Las correspondientes formas lineales son $$l_u(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=u(-a_1+a_2+a_3).$$

Este es un subespacio de dimensión $1$, así que para determinar una base para $S^{\bot}$, basta con elegir una de estas formas lineales con $u\neq 0$, por ejemplo, para $u=1$ tenemos
$$l_1(a_o+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=-a_1+a_2+a_3.$$

$\square$

Problema. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$, sea $V^\ast$ su espacio dual y tomemos subconjuntos $S, S_1, S_2\subseteq V^\ast$ tales que $S_1\subseteq S_2$. Prueba lo siguiente.

  1. $S_2^{\bot}\subseteq S_1^{\bot}$.
  2. $S\subseteq (S^{\bot})^{\bot}$.

Solución.

  1. Sea $l\in S_2^{\bot}$. Por definición $l(s)=0$ para toda $s\in S_2$.
    Luego, si $s\in S_1$, entonces $s\in S_2$ y así $l(s)=0$. Por consiguiente $l\in S_1^{\bot}$. Concluimos $S_2^{\bot}\subseteq S_1^{\bot}$.
  2. Sea $s\in S$. Para cualquier $l\in S^{\bot}$ se cumple que $l(s)=0$ y así $s\in (S^{\bot})^{\bot}$

$\square$

Observación. El problema anterior también es cierto si suponemos que $S, S_1, S_2\subseteq V$ tales que $S_1\subseteq S_2$ y la prueba es idéntica a la anterior.

Observación. Por muy tentador que sea pensar que la igualdad se da en el inciso 2 del problema anterior, esto es totalmente falso: $(S^{\bot})^{\bot}$ es un subespacio de $V$ (o de $V^\ast$), mientras que no hay razón para que $S$ lo sea, pues este es solamente un subconjunto arbitrario de $V$ (o $V^\ast$). Como vimos en una entrada anterior, la igualdad se da si $S$ es un subespacio de $V$ (o de $V^\ast$) cuando $V$ es un subespacio de dimensión finita.

Problemas resueltos de ecuaciones lineales y de hiperplanos

Veamos ahora problemas de ortogonalidad relacionados con encontrar expresiones para un subespacio en términos de ecuaciones lineales y de hiperplanos.

Problema. Sea $W$ el subespacio de $\mathbb{R}^4$ generado por los vectores

$v_1=(1,1,0,1)$
$v_2=(1,2,2,1).$

Encuentra ecuaciones lineales en $\mathbb{R}^4$ cuyo conjunto solución sea $W$.

Solución. Necesitamos encontrar una base para $W^{\bot}$.
Recordemos que $W^{\bot}$ consiste de todas las formas lineales

$l(x,y,z,t)=ax+by+cz+dt$

tales que $l(v_1)=l(v_2)=0$, es decir
\begin{align*}
a+b+d&=0\\
a+2b+2c+d&=0.
\end{align*}

La matriz asociada al sistema anterior es

$A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}$

y por medio de reducción gaussiana llegamos a que su forma reducida escalonada es

$A_{red}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1\\
0 & 1 & 2 & 0\end{pmatrix}.$

De aquí, $c$ y $d$ son variables libres y $a$ y $b$ son variables pivote determinadas por
\begin{align*}a&=2c-d\\b&=-2c.\end{align*}

Por lo tanto,
\begin{align*}
l(x,y,z,t)&=(2c-d)x-2cy+cz+dt\\
&=c(2x-2y+z)+d(-x+t).
\end{align*}

Así, deducimos que una base para $W^{\bot}$ está dada por

$l_1(x,y,z,t)=2x-2y+z$ y $l_2(x,y,z,t)=-x+t$

y por consiguiente $W=\{v\in \mathbb{R}^4 : l_1(v)=l_2(v)=0\}$, de donde $$l_1(v)=0, l_2(v)=0$$ son ecuaciones cuyo conjunto solución es $W$.

$\square$

Problema. Considera el espacio vectorial $V=\mathbb{R}_3[x]$. Escribe el subespacio vectorial generado por $p(x)=1-2x^2$ y $q(x)=x+x^2-x^3$ como la intersección de dos hiperplanos linealmente independientes en $V$.

Solución. Sea $\mathcal{B}=\{1,x,x^2,x^3\}=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ la base canónica de $V$.

Entonces

\begin{align*}
p(x)&=e_1-2e_3\\
q(x)&=e_2+e_3-e_4.
\end{align*}

Escribir $W=\text{span}(p(x),q(x))$ como intersección de dos hiperplanos es equivalente a encontrar dos ecuaciones que definan a $W$, digamos $l_1(v)=l_2(v)=0$ pues entonces $$W=H_1 \cap H_2,$$ donde $H_1=\ker(l_1)$ y $H_2=\ker(l_2)$.

Así que sólo necesitamos encontrar una base $l_1,l_2$ de $W^{\bot}$.

Recordemos que una forma lineal en $\mathbb{R}_3[x]$ es de la forma $$l_1(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)=ax_1+bx_2+cx_3+dx_4$$

para algunos $a,b,c,d \in \mathbb{R}$.

Esta forma lineal $l$ pertenece a $W^{\bot}$ si y sólo si $$l(p(x))=l(q(x))=0,$$ o bien

\begin{align*}
a-2c&=0\\
b+c-d&=0.
\end{align*}

Podemos fijar $c$ y $d$ libremente y despejar $a$ y $b$ como sigue:

\begin{align*}a&=2c\\b&=-c+d.\end{align*}

Por consiguiente

\begin{align*}
l(x_1e_1&+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)\\
&=2cx_1+(-c+d)x_2+cx_3+dx_4\\
&=c2x_1-x_2+x_3)+d(x_2+x_4).
\end{align*}

Así deducimos que una base $l_1,l_2$ de $W^{\bot}$ está dada por

\begin{align*}
l_1(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)&=2x_1-x_2+x_3\\
l_2(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)&=x_2+x_4.
\end{align*}

y así $W=H_1\cap H_2$, donde

\begin{align*}
H_1&=\ker(l_1)=\{a+bx+cx^2+dx^3\in V : 2a-b+c=0\}\\
H_2&=\ker(l_2)=\{a+bx+cx^2+dx^3\in V : b+d=0\}.
\end{align*}


$\square$

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