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Álgebra Superior II: Raíces en los complejos

Introducción

En esta entrada veremos cómo resolver en \mathbb{C} la ecuación w^n=z, en donde z es un complejo y n es un entero positivo. Puedes pensar esto como que aprenderemos a obtener raíces en los complejos, pero sólo para n entero. Más adelante hablaremos de la función exponencial compleja, que nos permitirá elevar a otro tipo de exponentes.

Nuestra herramienta principal será la fórmula de De Moivre, que demostramos en una entrada anterior. Encontrar raíces n-ésimas es una herramienta más en nuestra caja para trabajar con números complejos, que hasta el momento ya incluye resolver ecuaciones cuadráticas complejas y sistemas de ecuaciones lineales complejos.

Introducción a raíces en los complejos

Pensemos en un ejemplo sencillo. ¿Cuáles son los complejos w tales que w^4=1? En \mathbb{R} tenemos dos de ellos: 1 y -1. Como

    \[(-i)^4=i^4=(-1)^2=1,\]

en \mathbb{C} tenemos otras dos soluciones: i y -i. Así, hasta ahora tenemos 4 soluciones en \mathbb{C}: 1, -1, i y -i.

Para mostrar que son las únicas en este sencillo caso, podemos hacer lo siguiente. Expresamos 1 en forma polar 1=\cis(0). Expresamos en forma polar una solución w=s\cis(\alpha), con \theta en [0,2\pi). Por el teorema de De Moivre, tenemos que

    \[1=w^4=s^4\cis(4\alpha).\]

Así, la norma s de w debe satisfacer s^4=1, y además \cis(4\alpha) debe ser 1, por lo que 4\alpha debe ser un múltiplo entero de 2\pi. La norma es un real positivo, así que la única solución para s es 1. Ahora, ¿cuántos argumentos \alpha en [0,2\pi) hacen que 4\alpha sea un múltiplo entero de 2\pi?

Para determinar eso, notemos que 4\alpha está en [0,8\pi), y ahí hay exactamente cuatro múltiplos enteros de 2\pi, que son

    \[0,2\pi, 4\pi, 6\pi.\]

Esto es justo lo que limita las soluciones a que sean a lo más 4.

Podemos continuar para verificar que en efecto son las soluciones que ya encontramos. Las soluciones para \alpha en cada caso son

    \[0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}.\]

Concluimos entonces que las soluciones complejas a w^4=1 son, en forma polar,

    \begin{align*}w_1&=\cis(0)\\w_2&=\cis\left(\frac{\pi}{2}\right)\\w_3&=\cis\left(\pi\right)\\w_4&=\cis\left(\frac{3\pi}{2}\right),\end{align*}

que son exactamente 1,i,-1,-i.

El teorema de raíces en los complejos

La discusión anterior funciona en general, para cualquier entero positivo n y para cualquier complejo \mathbb{C}. Siempre tenemos exactamente n soluciones, y sabemos cómo se ven en forma polar.

Teorema. Sea z=r\cis(\theta) un número complejo no cero dado en forma polar y n un entero positivo. Existen exactamente n elementos distintos de \mathbb{C} tales que w^n = z. Están dados en forma polar por

    \[w_j=r^{1/n} \cis\left(\frac{\theta}{n} + j\frac{2\pi}{n}\right)\]

para j=0,1,2\ldots,n-1.

Demostración. Tomemos una solución w y la escribimos en forma polar w=s\cis(\alpha), con \alpha en [0,2\pi). Usando que w es solución y la fórmula de De Moivre, obtenemos que

    \[r\cis(\theta)=s^n\cis(n\alpha).\]

Como s tiene que ser real positivo, obtenemos que s=r^{1/n} (aquí estamos usando la raíz n-ésima en los reales).

El ángulo n\alpha está en el intervalo [0,2n\pi), y debe diferir en un múltiplo entero de 2\pi del ángulo \theta. Como \theta está en [0,2\pi), las únicas posibilidades para n\alpha pueden ser los n valores

    \[\theta, \theta+2\pi,\ldots, \theta+2(n-1)\pi,\]

de donde las soluciones para \alpha son

    \[\frac{\theta}{n},\frac{\theta}{n}+\frac{2\pi}{n}, \ldots, \frac{\theta}{n} + (n-1)\frac{2\pi}{n},\]

respectivamente. Como son ángulos distintos en [0,2\pi), obtenemos las posibles soluciones distintas

    \[r^{1/n} \cis\left(\frac{\theta}{n} + j\frac{2\pi}{n}\right)\quad \text{para $j=0,\ldots,n-1$}.\]

Verificar que en efecto son soluciones es sencillo, ya sea revirtiendo los pasos que hicimos, o usando directamente la fórmula de De Moivre. Esta verificación queda como tarea moral.

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Observa que el teorema dice que para obtener una raíz podemos empezar del complejo de norma r^{1/n} y argumento \frac{\theta}{n}, y de ahí obtener el resto de las raíces en los complejos “rotando repetidamente \frac{2\pi}{n} en el plano complejo”. Esto muestra que las raíces forman los vértices de un n-ágono regular.

Nos costó un poco de trabajo mostrar que teníamos a lo más n soluciones. En realidad, cualquier ecuación polinomial de grado n, es decir, de la forma

    \[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0\]

tiene a lo más n soluciones. Esto lo veremos en toda su generalidad en la última unidad, cuando hablemos de polinomios.

Ejemplos de obtener raíces en los complejos

Ejemplo. Encontremos todas las raíces séptimas del complejo 128\cis\left(\frac{14\pi}{13}\right). Para empezar, notamos que 128^{1/7}=2, de modo que todas las raíces tienen norma 2.

Una de las raíces tiene argumento \frac{14\pi}{7\cdot 13}=\frac{2\pi}{13}, y el argumento del resto difiere en múltiplos enteros de \frac{2\pi}{7}. De esta forma, las raíces son

    \begin{align*}w_1&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}\right)\\w_2&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{2\pi}{7}\right)=2\cis\left(\frac{40\pi}{91}\right)\\w_3&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{4\pi}{7}\right)=2\cis\left(\frac{66\pi}{91}\right)\\w_4&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{6\pi}{7})\right=2\cis\left(\frac{92\pi}{91}\right)\\w_5&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{8\pi}{7}\right)=2\cis\left(\frac{118\pi}{91}\right)\\w_6&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{10\pi}{7}\right)=2\cis\left(\frac{144\pi}{91}\right)\\w_7&=2\cis\left(\frac{2\pi}{13}+\frac{12\pi}{7}\right)=2\cis\left(\frac{170\pi}{91}\right).\end{align*}

\square

Problema. Sabemos que (2-3i)^4=-119+120i. Encuentra las otras raíces cuartas de -119+120i.

Solución. Podríamos pasar -119+120i a forma polar y usar el método anterior. Esto funciona y dará una solución. Pero veamos una solución alternativa más corta, que nos ayuda a entender mejor el teorema de raíces en los complejos.

De acuerdo con lo que probamos, las raíces varían únicamente en argumento, al que se le va sumando \frac{\pi}{2}. Es decir, si tenemos una raíz en el plano complejo, las demás se obtienen de ir rotando \frac{\pi}{2} (recuerda que esto es 90^\circ) desde el origen. Al ir rotando el punto (2,-3) en el plano complejo en este ángulo, obtenemos los puntos (-3,-2), (-2,3) y (3,2), de modo que las otras tres raíces son -3-2i, -2+3i y 3+2i.

Otra forma más de pensarlo es la siguiente. Si ya tenemos una raíz cuarta w de un complejo z, entonces todas las raíces se obtienen multplicando por 1,i,-1, -i. En efecto, por ejemplo,

    \[(iw)^4=i^4w^4=w^4=1.\]

Así, para el problema que nos interesa, las soluciones son

    \begin{align*}w_1&=2-3i\\w_2&=i(2-3i)=3+2i\\w_3&=-(2-3i)=-2+3i\\w_4&=-i(2-3i)=-3-2i,\end{align*}


lo cual coincide con lo que habíamos encontrado antes.

\square

Raíces n-ésimas de la unidad

Un caso particular importante de la teoría desarrollada en la sección anterior es cuando z es 1. Sea n un entero positivo. A un complejo w tal que w^n=1 se le conoce como una raíz n-ésima de la unidad.

Teorema (de las raíces n-ésimas de la unidad). Sea n un entero positivo. Existen exactamente n raíces n-ésimas de la unidad distintas. Si \omega es la que tiene el menor argumento positivo, entonces dichas raíces son

    \[1,\omega, \omega^2,\ldots, \omega^{n-1}.\]

La demostración se sigue fácilmente del teorema de raíces n-ésimas, y queda como tarea moral. Cualquier raíz n-ésima \omega tal que sus primeras potencias generen todas las raíces n-ésimas de la unidad se le conoce como una raíz primitiva.

Las raíces n-ésimas de la unidad tienen una interpretación geométrica bonita. Forman los vértices del n-ágono regular con n vértices, sobre la circunferencia unitaria, y donde uno de los vértices es 1.

Ejemplo. Obtengamos las raíces quintas de la unidad. Primero, obtengamos la de menor argumento positivo, que por el teorema de raíces en los complejos, es

    \[\omega = \cis\left(\frac{2\pi}{5}\right).\]

El resto de las raíces son entonces \omega^2, \omega^3, \omega^4 y 1. Las podemos encontrar en el plano complejo como vértices del siguiente pentágono regular:

Ejemplo de raíces en los complejos: raíces quintas de la unidad
Raíces quintas de la unidad

Cualquiera de \omega, \omega^2, \omega^3 y \omega^4 son raíces primitivas, pero 1 no es raíz primitiva pues sus potentcias sólo son él mismo.

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Las raíces n-ésimas de la unidad se utilizan en muchos contextos. Aunque se puede trabajar con ellas de forma explícita, muchas veces se utilizan sólo las propiedades algebraicas que cumplen. A continuación enunciamos algunas.

Teorema. Sea \omega una raíz primitva n-ésima de la unidad. Las raíces n-ésimas de la unidad

    \[\omega_i = \omega^i\]

para i=0,\ldots,n-1 satisfacen las siguientes propiedades:

  • Para n>1, se tiene que \omega_0+\ldots+\omega_{n-1}=0.
  • Para k=0,1,\ldots,n-1, se tiene que

        \[(\omega_k)^{-1}=\overline{\omega_k}=\omega_{n-k}.\]

  • Se tiene que \omega_0\cdot\ldots\cdot \omega_{n-1} = (-1)^{n+1}.

Demostración. Empezamos con el primer inciso. Si n>1, tenemos que 1 no es raíz primitiva, así que para el primer inciso sabemos que \omega\neq 1. Usamos la fórmula para suma de términos en una progresión geométrica:

    \begin{align*}\omega_0+\omega_1&+\ldots+\omega_{n-1}\\&= 1+\omega+\ldots+\omega^{n-1}\\&=\frac{1-\omega^n}{1-\omega}\\&=\frac{1-1}{1-\omega}\\&=0.\end{align*}

Para la segunda parte, notemos que

    \[\omega_k\omega_{n-k}=\omega^k\omega^{n-k}=\omega^n=1,\]

lo cual prueba una de las igualdades. La otra igualdad se sigue del hecho general que el inverso de un complejo de norma 1 es su conjugado, cuya demostración queda como tarea moral.

La tercera parte se sigue de la propiedad anterior. Al multiplicar todas las raíces de la unidad, podemos emparejar a cada raíz con su conjugado para obtener producto 1. Las únicas excepciones es cuando emparejamos a un complejo consigo mismo, es decir, para cuando \omega_k=\overline{\omega_k}, lo cual sucede sólo cuando \omega_k es real. Las únicas posibilidades son 1 ó -1. El 1 no tiene problema pues colabora con un factor 1. Si n es impar, -1 no es raíz n-ésima, así que no contribuye al producto. Si n es par sí. Esto muestra lo que queremos pues (-1)^{n+1} es 1 si n es impar y -1 si es par.

\square

Para un entero positivo n, llamemos (U_n,\cdot) al conjunto de raíces n-ésimas de la unidad equipadas con el producto complejo.

Teorema. Para cada entero positivo n, se tiene que (U_n,\cdot) es un grupo y es isomorfo a (\mathbb{Z}_n,+).

Demostración. El producto de cualesquiera dos raíces n-ésimas es también una raíz n-ésima. Por el teorema anterior, los inversos multiplicativos de las raíces n-ésimas también son raíces n-ésimas. Esto basta para mostrar que se forma un grupo.

Para la segunda parte, notamos que ambos grupos son el grupo cíclico de n elementos. Una correspondencia entre ellos está dada por mandar [1]_n a cualquier raíz primitiva.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Encuentra las raíces cúbicas de 8-8i y dibújalas en el plano complejo.
  • Verifica que las soluciones obtenidas en el teorema de raíces n-ésimas en efecto son soluciones.
  • Muestra el teorema de las raíces n-ésimas de la unidad.
  • Prueba que si z es un complejo de norma 1, entonces su inverso es su conjugado.
  • Sea \omega una raíz n-ésima primitiva de la unidad. Muestra que w^k es una raíz primitiva si y sólo si n y k son primos relativos, es decir, \MCD{n,k}=1. Sugerencia: Usa lo que sabemos de soluciones a ecuaciones diofantinas lineales.
  • Encuentra de manera explícita la parte real y la parte imaginaria de todas las raíces quintas de la unidad.
    Sugerencia: La ecuación w^5-1=0 se puede factorizar como

        \[(w-1)(w^4+w^3+w^2+w+1)\]

    y w^4+w^3+w^2+w+1 se puede factorizar como

        \[\left(w^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}w+1\right)\left(w^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2}w+1\right).\]

    Usa lo que sabemos de resolver ecuaciones cuadráticas cojmplejas.

Álgebra Superior II: Sistemas de ecuaciones lineales complejos

Introducción

En la entrada anterior comenzamos a hablar acerca de resolver en los complejos ecuaciones de distintos tipos. Además, profundizamos en cómo resolver las ecuaciones cuadráticas complejas. En esta entrada platicaremos acerca de los sistemas de ecuaciones lineales complejos.

Resolveremos con detalle el caso de dos variables y dos ecuaciones. Después, hablaremos un poco acerca de sistemas de ecuaciones con más variables. Un estudio cuidadoso de los sistemas de ecuaciones lineales con más variables se hace en los cursos de álgebra lineal. Un muy buen texto para aprender estos temas es el libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

Sistemas de ecuaciones lineales complejos con dos incógnitas

Si a,b son elementos de \mathbb{C} y a\neq 0, la ecuación lineal

    \[ax=b\]

tiene una única solución, dada por x=\frac{b}{a}, la cual está bien definida pues todo complejo distinto de 0 tiene inverso multiplicativo.

Si tenemos números complejos a,b,c,d,e,f, el sistema de ecuaciones lineales en los complejos

    \begin{align*}ax+by &= c\\dx+ey&=f\end{align*}

puede comportarse de tres formas distintas:

  • Su solución existe y es única
  • Tiene una infinidad de soluciones
  • No tiene solución

Si tiene al menos soluciones distintas, tenemos entonces que tiene una infinidad. Cuando la solución del sistema es única, el sistema se puede resolver por los métodos básicos con los que se resuelve un sistema en \mathbb{R}:

  • Por substitución: de la primera ecuación se despeja la variable x y su valor se pone en la segunda ecuación. De ahí, obtenemos una ecuación en y. Se despeja y para obtener su valor y con ello se obtiene el valor de x
  • Igualando coeficientes: multiplicamos la primer ecuación por d y la segunda por -a. Al sumar ambas ecuaciones resultantes, queda una ecuación lineal en y.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales complejos

Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema

    \begin{align*}2x+iy&= 3+4i\\ix+5y&= 9 - 4i.\end{align*}

Solución. Para empezar, multiplicamos la segunda ecuación por 2i, de donde obtenemos el sistema

    \begin{align*}2x+iy&= 3+4i\\-2x+10iy&=8+18i.\end{align*}

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos que 11iy=11+22i. Multiplicando por -\frac{i}{11} de ambos lados, obtenemos

    \[y=2-i.\]

Substituyendo en la segunda ecuación, notamos que

    \[2x=3+4i-i(2-i)=2+2i,\]

de donde x=1+i. De aquí, la única solución puede ser x=1+i y y=2-i, que se puede verificar que en efecto satisfacen la ecuación.

\square

Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema

    \begin{align*}(3+2i)x+iy&= 3+3i\\(-4+6i)x-2y&= -6 + 6i.\end{align*}

Solución. Multiplicando la primer ecuación por 2i obtenemos que es equivalente a la ecuación

    \[(-4i+6i)x-2y=-6+6i,\]

es decir, ambas ecuaciones difieren sólo por un factor 2i, así que son la misma. Si elegimos cualquier valor de y, podemos encontrar un valor de x que cumpla con la ecuación. Por ejemplo, tomando y=1, de la ecuación obtenemos que x=1. Así, esta ecuación tiene una infinidad de soluciones, dadas por elegir un y y definir x=\frac{3+3i-iy}{3+2i}.

\square

Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema

    \begin{align*}(1+2i)x+(-2+i)y&= 3+6i\\3x+3iy&= 8.\end{align*}

Solución. Supongamos que existe alguna solución para x y y. Multipliquemos la primer ecuación por 3 y la segunda por 1+2i. Obtendríamos que

    \begin{align*}(3+6i)x+(-6+3i)y&= 9+18i\\(3+6i)x+(-6+3i)&= 8+16i.\end{align*}

De aquí, 9+18i=8+16i, lo cual es una contradicción. Así, esta ecuación no tiene soluciones.

\square

Método del determinante

Un método más general para resolver sistemas de ecuaciones lineales complajos con dos incógnitas, que nos dice todo lo que puede suceder, es el siguiente. De hecho, exactamente el mismo teorema funciona para \mathbb{R}.

Teorema. Sean a,b,c,d,e,f en \mathbb{C}. Para el sistema

    \begin{align*}ax+by &= c\\dx+ey&=f\end{align*}

definimos a su determinante como el complejo ae-bd. Entonces:

  • Si el determinante no es 0, entonces el sistema tiene una solución única para x y y dada por

        \begin{align*}x&=\frac{ce-bf}{ae-bd}\\y&=\frac{af-cd}{ae-bd}.\end{align*}

  • Si el determinante es 0, entonces el sistema no tiene solución, o tiene una infinidad.

Demostración. Cuando el determinante no es 0, resolvemos el sistema por igualación de coeficientes. Multiplicando la primer ecuación por -d, la segunda por a y sumando, obtenemos que

    \[(ae-bd)y=af-cd.\]

Como el determinante no es cero,

    \[y=\frac{af-cd}{ae-bd}.\]

Así mismo, multiplicando la primer ecuación por e, la segunda por -b y sumando, obtenemos de manera análoga que

    \[x=\frac{ce-bf}{ae-bd}.\]

Así, si existe una solución, debe tener estos valores. Se puede verificar de manera sencilla que estos valores cumplen, y se queda como tarea moral.

Cuando el determinante es 0, tenemos que ae=bd. Si a=b=e=d=0, para que exista una solución se necesita forzosamente c=f=0, y de hecho en este caso cualquier pareja x,y funciona. Si en este caso alguno de c o f no es 0, el sistema no tiene solución.

Así, continuando el análisis podemos suponer sin pérdida de generalidad que a\neq 0. De este modo, e=\frac{bd}{a}, de modo que la segunda ecuación es equivalente a

    \[dx+\frac{bd}{a}y=f,\]

que es adx+bdy=af.

Si d=0, tendríamos de la ecuación anterior af=0 y del determinante ae=bd=0. Como a\neq 0, se necesita que e=f=0, de modo que en realidad sólo tenemos una ecuación, la primera. Como a\neq 0, podemos elegir cualquier valor de y y de ahí despejar el valor de x, obteniendo una infinidad de soluciones.

Si d\neq 0, entonces la ecuación adx+bdy=af es equivalente a la ecuación ax+by=\frac{af}{d}. La primer ecuación y esta implican que si hay solución, entonces \frac{af}{d}=c. De ser así ,sólo tenemos una ecuación, pero repetida. Por el mismo argumento de arriba, hay una infinidad de soluciones.

\square

Sistemas de ecuaciones lineales complejos con más incógnitas

Los sistemas lineales complejos con más incógnitas se pueden resolver con las mismas técnicas que aquellos en los reales. En cursos como álgebra lineal verás cómo resolver en sistema lineal en general y cómo saber cómo se ven todas sus soluciones. Sin embargo, puedes aprovechar lo que ya sabes del álgebra de los complejos para resolver distintos sistemas lineales.

Problema. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

    \begin{align*}3a+(2+i)b+(1+2i)c&=1+i\\3b+(2+i)c&=2+2i\\3c&=3+3i.\end{align*}

Solución. Resolvemos el sistema por substitución. Nos conviene empezar con la tercer ecuación, que tiene únicamente una variable. De ella obtenemos que c=1+i. Substituyendo en la segunda ecuación, obtenemos que

    \[3b+(2+i)(1+i)=2+2i,\]

de donde

    \[3b+1+3i=2+2i,\]

así que

    \[3b=1-i,\]

así que

    \[b=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\]

Con los valores de b y c podemos substituir en la primer ecuación. Notando que

    \begin{align*}(2+i)\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)=1-\frac{1}{3}i\\(1+2i)(1+i)=-1+3i\\(1+i)-\left(1-\frac{1}{3}i\right)-(-1+3i)=1-\frac{5}{3}i,\end{align*}

obtenemos que

    \[a=\frac{1}{3}-\frac{5}{9}i.\]

En resumen,

    \begin{align*}a&=\frac{1}{3}-\frac{5}{9}i\\b&=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\\c&=1+i\end{align*}

es la única posible solución, y se puede mostrar que en efecto satisface las tres ecuaciones.

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Problema. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

    \begin{align*}(1+5i)a+b+c+d+e&=2\\a+(1+5i)b+c+d+e&=2\\a+b+(1+5i)c+d+e&=2\\a+b+c+(1+5i)d+e&=2\\a+b+c+d+(1+5i)e&=2.\end{align*}

Solución. Sumando todas las ecuaciones, tenemos que

    \[(5+5i)(a+b+c+d+e)=10,\]

de donde obtenemos que

    \begin{align*}a+b+c+d+e&=\frac{2}{1+i}\\&=1-i.\end{align*}

De la primera ecuación, obtenemos que

    \begin{align*}2&=(a+b+c+d+e)+5ia\\&=1-i+5ia,\end{align*}

por lo que

    \[a=\frac{1+i}{5i}=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}i.\]

Por simetría, el resto de las variables también tiene este valor, de modo que

    \[a=b=c=d=e= \frac{1}{5}-\frac{1}{5}i\]

es la única solución.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que las soluciones de los ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales complejos de dos variables en efecto son soluciones.
  • Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

        \begin{align*}2x+(1+i)y &= 4\\ (5-i)x+(3+2i)y=0\end{align*}

  • En el teorema del método del determinante, cuando el determinante no es cero, encontramos una solución. Verifica que en efecto satisface el sistema original.
  • Verifica que las soluciones de los ejemplos en varias variables en efecto satisfacen el sistema original.
  • Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

        \begin{align*} x+(1+i)y &= 4\\ y+(2+i)z &= 5\\ z + (3+i)x &= 6\end{align*}

Álgebra Superior II: Ecuaciones cuadráticas complejas

Introducción a ecuaciones en complejos

En entradas anteriores ya platicamos acerca de la construcción de los números complejos. Vimos que con las operaciones de suma y resta que definimos, \mathbb{C} es un campo. Además, introdujimos las nociones de conjugación compleja y de norma compleja. Como ya entendemos un poco de las operaciones que tenemos en \mathbb{C}, podemos empezar a hablar de otro de los temas que le interesa al álgebra: resolver ecuaciones. Comenzaremos hablando acerca de ecuaciones cuadráticas complejas.

En entradas posteriores de este parcial, y del siguiente, veremos cómo resolver otro tipo de ecuaciones en los números complejos:

  • Sistemas de ecuaciones lineales complejos.
  • Ecuaciones de la forma z^n=w.
  • La ecuación cúbica ax^3+bx^2+cx+d=0.
  • La ecuación de grado 4 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0.

En realidad, los números complejos son la estructura numérica correcta para resolver todo tipo de polinomios, es decir, expresiones como las de los últimos tres incisos anteriores. Esto se debe al teorema fundamental del álgebra, que dice lo siguiente.

Teorema (fundamental del álgebra). Sea n un entero positivo y a_0,\ldots,a_n en \mathbb{C} con a_n\neq 0. La ecuación en números

    \[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0\]

tiene por lo menos una solución x en \mathbb{C}.

La demostración de este teorema en el curso será optativa, y la veremos sólo si tenemos tiempo suficiente. Antes de poder hacer eso, tenemos que seguir discutiendo a los números complejos (en esta unidad) y a los polinomios (en la siguiente unidad). Si en algún momento llevas un curso de análisis complejo, también demostrarás el teorema fundamental del álgebra, con ideas un poco más profundas.

Otra aclaración. Si el teorema fundamental del álgebra dice que toda ecuación polinomial tiene solución, ¿por qué sólo estudiamos hasta la ecuación de grado cuatro? La razón es que para grados dos, tres y cuatro podemos dar las soluciones a estas ecuaciones de manera algebraica, es decir, podemos expresar a las soluciones con una fórmula (de cierto tipo) en términos de los coeficientes de la ecuación. En el caso de que la ecuación sea de grado 5 en adelante, en cierto sentido matemático no se puede. La demostración de esto la puedes ver en un curso de álgebra moderna intermedio, en el que se discuta teoría de Galois.

Raíces cuadradas en los complejos

Las ecuaciones cuadráticas complejas se resuelven de una forma parecida a lo que hacemos en \mathbb{R}: usando la fórmula cuadrática. Es decir, si tenemos la ecuación ax^2+bx+c=0 con a,b,c en \mathbb{C} y a\neq 0, veremos más abajo que la podemos resolver mediante la fórmula

    \[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\]

Esta expresión necesita que podamos encontrar la raíz cuadrada de un número complejo arbitrario. Vamos a mostrar que esto siempre es posible. Comencemos notando que el único complejo z tal que z^2=0 es el 0: si hubiera uno z\neq 0, multiplicando en ambos lados por z^{-1} tendríamos que z=0\cdot z^{-1}=0, una contradicción.

Teorema. Sea w\neq 0 un número complejo. Entonces la ecuación

    \[z^2=w\]

tiene exactamente dos soluciones para z en \mathbb{C} y son inversos aditivos entre ellas.

Demostración. Tomemos w=a+bi un complejo. Supongamos que z=x+yi es tal que z^2=w=a+bi. Tenemos que

    \begin{align*}a+bi=z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+2xyi,\end{align*}

de donde x^2-y^2=a y 2xy=b. Elevando al cuadrado y sumando ambas ecuaciones, tenemos que

    \begin{align*}a^2+b^2&=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2\\&=(x^2+y^2)^2.\end{align*}

Como a y b son números reales, tenemos que a^2+b^2 es un real no negativo. Del mismo modo, x^2+y^2 es un real no negativo. De esta forma, sacando raíz cuadrada en la ecuación anterior, obtenemos que

    \[x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}=\Vert w \Vert.\]

Sabemos además que x^2-y^2=a=\text{Re}(w). Si sumamos ambas ecuaciones obtenemos

    \[x^2=\frac{\Vert w\Vert + \Rea(w)}{2}\]

y restándolas obtenemos

    \[y^2=\frac{\Vert w\Vert - \Rea(w)}{2}.\]

Recordemos que \Vert w\Vert \geq  |\Rea(w)| para todo complejo w, de modo que los términos del lado derecho de las igualdades anteriores son siempre positivos. Por esta razón, podemos sacar raíz de ambos lados. Pero ahora no hay nada que nos garantice que x y y sean positivos, así que hay que considerar dos casos en cada raíz, reflejados por el símbolo \pm en las siguientes expresiones:

    \begin{align*}x&=\pm \sqrt{\frac{\Vert w\Vert + \Rea(w)}{2}}\\y&=\pm \sqrt{\frac{\Vert w\Vert - \Rea(w)}{2}}.\end{align*}

Hay que tener cuidado. No se valen las cuatro posibilidades de elecciones de signo. Notemos que de la ecuación 2xy=b tenemos que xy tiene el mismo signo que b=\Ima(w), así que si \Ima(w)>0 tienen que elegirse x y y con signos iguales y si \Ima(w)<0, tienen que elegirse con signos diferentes. Independientemente de la elección, las dos posibilidades dan dos soluciones para z=x+iy que son inversas aditivas entre sí.

\square

Por notación. si tenemos un complejo w, llamamos \sqrt{w} a cualquiera de sus raíces cuadradas. Por el teorema anterior, su otra raíz es -\sqrt{w}.

Hay que tener cuidado. Para cuando r es un real positivo, la notación \sqrt{r} se refiere, por definición, a la raíz positiva. Cuando w es un complejo arbitrario, no hay una forma “canónica” o “natural” de definir cuál de las dos raíces es “la correcta”. Lo importante es que hay dos, y que son inversas aditivas entre sí.

Ejemplos de obtener raíces cuadradas complejas

Antes de discutir cómo resolver ecuaciones cuadráticas complejas en general, veamos algunos ejemplos de cómo se usa el teorema anterior de manera práctica.

Problema. Encuentra las raíces cuadradas de i.

Solución. Tenemos que \Vert i \Vert = 1 y que \Rea(i) = 0, así que las soluciones z=x+yi están dadas mediante

    \begin{align*}x&=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\\y&=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} .\end{align*}

Como \Ima(i)=1>0, tenemos que elegir a x y y con los mismos signos entre sí, así que las soluciones son

    \begin{align*}z_1&=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\\z_2&=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i.\end{align*}

\square

Problema. Encuentra las raíces cuadradas de -21-20i.

Solución. Tenemos que

    \begin{align*}\Vert -21-20i \Vert &= \sqrt{21^2+20^2}\\&=\sqrt{841}\\&=29,\end{align*}

y que \Rea(-21-20i)=-21. Así, las soluciones z=x+iy están dadas mediante

    \begin{align*}x&=\pm \sqrt{\frac{29-21}{2}}=\pm\sqrt{4}=\pm 2\\y&=\pm \sqrt{\frac{29+21}{2}}=\pm\sqrt{25}=\pm 5.\end{align*}

Como \Ima(-21-20i)=-20<0, debemos elegir x y y de distinto signo, de donde obtenemos las soluciones

    \begin{align*}z_1&=2-5i\\z_2&=-2+5i.\end{align*}

\square

Solución de ecuaciones cuadráticas complejas

Una vez que sabemos obtener la raíz cuadrada de un número complejo, tenemos todo lo necesario para resolver ecuaciones cuadráticas complejas en general. Consideremos a,b,c en \mathbb{C} con a\neq 0 y veamos cómo resolver la ecuación

    \[ax^2+bx+c=0.\]

Para empezar, dividiremos entre a de ambos lados de la ecuación, y restamos \frac{c}{a} de ambos lados de la ecuación. De aquí, se obtiene

    \[x^2+\frac{b}{a} x = -\frac{c}{a}.\]

El siguiente paso es un truco algebraico útil que se llama “completar el cuadrado”. Pensamos a los términos del lado izquierdo como los primeros dos de un binomio cuadrado y nos preguntamos, ¿qué término faltaría? El término faltante es \frac{b^2}{4a^2}. Sumando este término en ambos lados, llegamos a

    \[x^2+\frac{b}{a} x + \frac{b^2}{4a} = \frac{b^2-4ac}{a^2}.\]

La razón por la cual completamos el cuadrado es para poder escribir la expresión anterior como

    \[\left(x+\frac{b}{2a}}\right)^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2},\]

y aquí llegamos al punto en el que necesitamos obtener raíces cuadradas. Afortunadamente, ya sabemos que podemos hacer esto siempre en \mathbb{C} y obtener

    \[x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}},\]

de donde concluimos que las soluciones son

    \[x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}.\]

Todos estos pasos son reversibles. Resumimos toda esta discusión en el siguiente resultado.

Teorema. Para a,b,c en \mathbb{C} y a\neq 0, la ecuación compleja ax^2+bx+c=0 tiene dos soluciones en \mathbb{C} dadas por

    \begin{align*}x_1&=-\frac{b}{2a}+\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\x_2&=-\frac{b}{2a}- \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}.\end{align*}

Estas soluciones son iguales si y sólo si b^2=4ac y en otro caso son distintas.

Ejemplos resolución de ecuaciones cuadráticas complejas

Problema. Resuelve en \mathbb{C} la ecuación

    \[x^2-5x+(7+i)=0.\]

Solución. Para usar la fórmula cuadrática, necesitaremos obtener la raíz

    \[\sqrt{\frac{25-4(7+i)}{4}}= \sqrt{-\frac{3}{4}-i}.\]

Como

    \[\left \lVert -\frac{3}{4}-i\right\lVert=\frac{\sqrt{25}}{4}=\frac{5}{4}\]

y

    \[\Rea\left(-\frac{3}{4}-i\right)=-\frac{3}{4},\]

las raíces a+bi están dadas por

    \begin{align*}a=\pm\sqrt{\frac{\frac{5}{4}-\frac{3}{4}}{2}}=\pm\frac{1}{2}\\b= \pm\sqrt{\frac{\frac{5}{4}+\frac{3}{4}}{2}}=\pm 1.\end{align*}

Como \Ima\left(-\frac{3}{4}-i\right)=-1<0, para obtener las raíces tenemos que elegir signos distintos, es decir, que las raíces son

(1)   \begin{align*}&\frac{1}{2} - i\\-&\frac{1}{2} +i.\end{align**}

Continuando con el problema original, concluimos, por la fórmula cuadrática, que las dos raíces son

    \begin{align*}x_1&=\frac{5}{2} + \frac{1}{2} - i = 3-i\\x_2&=\frac{5}{2} -  \frac{1}{2} + i =2+i.\end{align*}

\square

La fórmula cuadrática funciona siempre para resolver ecuaciones cuadráticas complejas, pero a veces es demasiado. No hay que olvidar que tenemos toda el álgebra \mathbb{C} a nuestra disposición.

Problema. Resuelve en \mathbb{C} la ecuación

    \[x^2-(3+8i)x=0.\]

Solución. En vez de usar la fórmula cuadrática, factorizamos la expresión del lado izquierdo para obtener que

    \[x(x-(3+8i))=0.\]

Para que un producto en \mathbb{C} sea 0, uno de los factores debe ser 0. Así, x=0 ó x-(3+8i)=0, de donde las soluciones son

    \begin{align*}x_1&=0\\x_2&=3+8i.\end{align*}

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que los números complejos que obtuvimos en los ejemplos de raíces cuadráticas en efecto satisfacen que su cuadrado es el número original.
  • Encuentra las raíces de 3+4i, de 8-5i, de \frac{1}{2}-\frac{1}{3}i y de 2-\sqrt{5}i.
  • Verifica que las soluciones que obtuvimos en los ejemplos de ecuaciones cuadráticas complejas en efecto satisfacen la ecuación cuadrática dada.
  • Resuelve la ecuación cuadrática compleja

        \[ix^2+7x-7-i=0.\]

  • Si w y z son números complejos, ¿quienes son las raíces de wz? Las raíces cuadradas de w son dos, las de z son dos, y los posibles productos de ellas son cuatro números. ¿Por qué esto no contradice que wz tiene dos raíces?

Puedes practicar este tema con los videos y ejercicios disponibles en la página de Khan Academy. Para ello, visita su sección de ecuaciones cuadráticas en los complejos.

Álgebra Lineal I: Problemas de ortogonalidad, ecuaciones e hiperplanos

Introducción

En esta entrada ejercitaremos los conceptos introducidos recientemente. Abordamos los temas de espacio ortogonal e hiperplanos. Para ello, resolveremos problemas de ortogonalidad relacionados con encontrar una base para el espacio ortogonal y de escribir subespacios en términos de ecuaciones e intersecciones de hiperplanos.

Problemas resueltos de espacio ortogonal

Problema. Sea S=\{x^3+x, x^2+x ,-x^3+x^2+1\} \subseteq \mathbb{R}_3[x].
Describe S^{\bot} dando una base de este espacio.

Solución. Una forma lineal l sobre \mathbb{R}_3[x] es de la forma

l(a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=aa_0+ba_1+ca_2+da_3

para algunos a, b,c,d\in \mathbb{R}, pues basta decidir quiénes son a=l(1), b=l(x), c=l(x^2) y d=l(x^3).

La condición l\in S^{\bot} es equivalente a

l(x^3+x)=l(x^2+x)=l(-x^3+x^2+1)=0.

Esto es

    \begin{align*}l(x^3+x)&=b+d=0\\l(x^2+x)&=b+c=0\\l(-x^3+x^2+1)&=a+c-d=0.\end{align*}

La matriz asociada al sistema es

A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 1\\0 & 1 & 1 & 0\\1 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}

y su forma escalonada reducida es

A_{red}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}.

Así, d es variable libre y

    \begin{align*} a&=0\\ b&=-d\\ c&=d.\end{align*}

De aquí, el conjunto de soluciones del sistema es

    \[\{(0,-u,u,u) : u\in \mathbb{R}\}.\]

Las correspondientes formas lineales son

    \[l_u(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=u(-a_1+a_2+a_3).\]

Este es un subespacio de dimensión 1, así que para determinar una base para S^{\bot}, basta con elegir una de estas formas lineales con u\neq 0, por ejemplo, para u=1 tenemos

    \[l_1(a_o+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=-a_1+a_2+a_3.\]

\square

Problema. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, sea V^\ast su espacio dual y tomemos subconjuntos S, S_1, S_2\subseteq V^\ast tales que S_1\subseteq S_2. Prueba lo siguiente.

  1. S_2^{\bot}\subseteq S_1^{\bot}.
  2. S\subseteq (S^{\bot})^{\bot}.

Solución.

  1. Sea l\in S_2^{\bot}. Por definición l(s)=0 para toda s\in S_2.
    Luego, si s\in S_1, entonces s\in S_2 y así l(s)=0. Por consiguiente l\in S_1^{\bot}. Concluimos S_2^{\bot}\subseteq S_1^{\bot}.
  2. Sea s\in S. Para cualquier l\in S^{\bot} se cumple que l(s)=0 y así s\in (S^{\bot})^{\bot}

\square

Observación. El problema anterior también es cierto si suponemos que S, S_1, S_2\subseteq V tales que S_1\subseteq S_2 y la prueba es idéntica a la anterior.

Observación. Por muy tentador que sea pensar que la igualdad se da en el inciso 2 del problema anterior, esto es totalmente falso: (S^{\bot})^{\bot} es un subespacio de V (o de V^\ast), mientras que no hay razón para que S lo sea, pues este es solamente un subconjunto arbitrario de V (o V^\ast). Como vimos en una entrada anterior, la igualdad se da si S es un subespacio de V (o de V^\ast) cuando V es un subespacio de dimensión finita.

Problemas resueltos de ecuaciones lineales y de hiperplanos

Veamos ahora problemas de ortogonalidad relacionados con encontrar expresiones para un subespacio en términos de ecuaciones lineales y de hiperplanos.

Problema. Sea W el subespacio de \mathbb{R}^4 generado por los vectores

v_1=(1,1,0,1)
v_2=(1,2,2,1).

Encuentra ecuaciones lineales en \mathbb{R}^4 cuyo conjunto solución sea W.

Solución. Necesitamos encontrar una base para W^{\bot}.
Recordemos que W^{\bot} consiste de todas las formas lineales

l(x,y,z,t)=ax+by+cz+dt

tales que l(v_1)=l(v_2)=0, es decir

    \begin{align*}a+b+d&=0\\a+2b+2c+d&=0.\end{align*}

La matriz asociada al sistema anterior es

A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 1\\1 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}

y por medio de reducción gaussiana llegamos a que su forma reducida escalonada es

A_{red}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & 1\\0 & 1 & 2 & 0\end{pmatrix}.

De aquí, c y d son variables libres y a y b son variables pivote determinadas por

    \begin{align*}a&=2c-d\\b&=-2c.\end{align*}

Por lo tanto,

    \begin{align*}l(x,y,z,t)&=(2c-d)x-2cy+cz+dt\\&=c(2x-2y+z)+d(-x+t).\end{align*}

Así, deducimos que una base para W^{\bot} está dada por

l_1(x,y,z,t)=2x-2y+z y l_2(x,y,z,t)=-x+t

y por consiguiente W=\{v\in \mathbb{R}^4 : l_1(v)=l_2(v)=0\}, de donde

    \[l_1(v)=0, l_2(v)=0\]

son ecuaciones cuyo conjunto solución es W.

\square

Problema. Considera el espacio vectorial V=\mathbb{R}_3[x]. Escribe el subespacio vectorial generado por p(x)=1-2x^2 y q(x)=x+x^2-x^3 como la intersección de dos hiperplanos linealmente independientes en V.

Solución. Sea \mathcal{B}=\{1,x,x^2,x^3\}=\{e_1,e_2,e_3,e_4\} la base canónica de V.

Entonces

    \begin{align*}p(x)&=e_1-2e_3\\q(x)&=e_2+e_3-e_4.\end{align*}

Escribir W=\text{span}(p(x),q(x)) como intersección de dos hiperplanos es equivalente a encontrar dos ecuaciones que definan a W, digamos l_1(v)=l_2(v)=0 pues entonces

    \[W=H_1 \cap H_2,\]

donde H_1=\ker(l_1) y H_2=\ker(l_2).

Así que sólo necesitamos encontrar una base l_1,l_2 de W^{\bot}.

Recordemos que una forma lineal en \mathbb{R}_3[x] es de la forma

    \[l_1(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)=ax_1+bx_2+cx_3+dx_4\]


para algunos a,b,c,d \in \mathbb{R}.

Esta forma lineal l pertenece a W^{\bot} si y sólo si

    \[l(p(x))=l(q(x))=0,\]

o bien

    \begin{align*}a-2c&=0\\b+c-d&=0.\end{align*}

Podemos fijar c y d libremente y despejar a y b como sigue:

    \begin{align*}a&=2c\\b&=-c+d.\end{align*}

Por consiguiente

    \begin{align*}l(x_1e_1&+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)\\&=2cx_1+(-c+d)x_2+cx_3+dx_4\\&=c2x_1-x_2+x_3)+d(x_2+x_4).\end{align*}

Así deducimos que una base l_1,l_2 de W^{\bot} está dada por

    \begin{align*}l_1(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)&=2x_1-x_2+x_3\\l_2(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)&=x_2+x_4.\end{align*}

y así W=H_1\cap H_2, donde

    \begin{align*}H_1&=\ker(l_1)=\{a+bx+cx^2+dx^3\in V : 2a-b+c=0\}\\H_2&=\ker(l_2)=\{a+bx+cx^2+dx^3\in V : b+d=0\}.\end{align*}


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Entradas relacionadas

Seminario de Resolución de Problemas: El teorema del valor intermedio

Introducción

El teorema del valor intermedio nos dice que si f: [a, b] \to \mathbb{R} es una función continua, entonces para todo y entre f(a) y f(b), existe un número c \in [a, b] tal que f(c)=y. La forma de pensar este teorema es que “las funciones continuas no se pueden saltar valores que quedan entre dos valores que ya tomaron”, o bien “las funciones continuas no dan brincos en su imagen”.

Veamos algunos problemas que se resuelven usando este teorema

Una aplicación directa del teorema del valor intermedio

Problema 1. Muestra que la ecuación 2x^3+7x^2-27x=-18 tiene una solución en el intervalo [-7,-5].

Sugerencia pre-solución. Formula un problema equivalente definiendo una función continua f para la cual si f(x)=0, entonces x es solución a la ecuación.

Solución. La ecuación la podemos ver como 2x^3+7x^2-27x+18=0. Consideremos la función

    \[f(x)=2x^3+7x^2-27x+18.\]

Como f(x) es una función polinomial, sabemos que es continua en \mathbb{R}, así que es continua en el intervalo [-7,-5]. Lo que queremos ver es que existe un c entre -7 y -5, tal que f(c)=0. Para esto, tenemos que evaluar la función en -7 y en -5.

Tenemos que:

f(-7)=-136 y f(-5)=78.

Tenemos que 0 está entre -136 y 78. Así, por el teorema del valor intermedio, debe de existir un número c entre -7 y -5 de tal forma que f(c)=0. Por lo tanto 2x^3+7x^2-27x=-18 tiene una solución entre -5 y -7.

\square

Notemos que no se encontró el valor de la raíz de la ecuación, sin embargo mostramos la existencia de esta. Esta es una de las características del teorema del valor intermedio: exhibir la existencia de algo sin necesidad de encontrarlo explícitamente.

Definir una buena función

En ocasiones podemos definir dos funciones para un problema y hacerlas interactuar para obtener una sola función continua que nos permite resolver un problema.

Problema 2. Un montañista empezó a escalar una montaña el sábado a las 8:00 hrs y llegó a la cima a las 18:00 hrs del mismo día. Decidió pasar la noche en la cima de la montaña. El día domingo empezó a descender a las 8:00 hrs y llegó al punto de partida a las 18:00 hrs. Prueba que hubo una hora en la que en ambos días estuvo a la misma altura de la montaña.

Sugerencia pre-solución. Plantea el problema usando dos funciones continuas que denoten la altura conforme pasa el tiempo en ambos días. Tienes mucha flexibilidad, así que usa notación efectiva para simplificar los cálculos.

Solución. Veamos que para este problema, podemos establecer dos funciones continuas para describir el cambio de altura con respecto al tiempo en horas, una para el ascenso y otra para el descenso del montañista en ambos días.

Sean h_1(t), y h_2(t) las funciones que representan el ascenso y el descenso del montañista respectivamente. En otras palabras, h_1(t) y h_2(t) denotan la altura en la que está el montañista tras t horas después de haber comenzado su ascenso y descenso, respectivamente. Como amabas funciones son continuas en el intervalo de tiempo [0, 10] (esto es porque tardó 10 horas para ascender y 10 horas para descender), tenemos que la función g(t)=h_2(t)-h_1(t) tiene que ser continua en [0, 10] también.

Ahora bien, sea M la altura en la cima de la montaña. Tenemos lo siguiente:

h_1(0)=0, h_1(10)=M y h_2(0)=M, h_2(10)=0.

Así, g(0)=M y g(10)=-M. A su vez, 0 está entre -M y M, por lo que aplicando el teorema del valor intermedio, debe de existir un t_0 en el intervalo [0, 10] tal que g(t_0)=0.

Y como

g(t)=h_2(t)-h_1(t),

entonces

g(t_0)=h_2(t_0)-h_1(t_0)

0=h_2(t_0)-h_1(t_0)

h_1(t_0)=h_2(t_0).

Con esto podemos concluir que en el tiempo t_0 el día domingo estuvo a la misma altura que el día sábado al tiempo t_0.

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Definir un buen intervalo

En algunas ocasiones no es directo qué valores tenemos que usar como los extremos del intervalo al que aplicaremos el teorema del valor intermedio. Un ingrediente adicional que se necesita en el siguiente problema es elegir de manera correcta el extremo derecho.

Problema 3. Prueba que si n es un entero positivo y x_0 > 0, entonces existe un único número positivo x tal que x^n=x_0.

Sugerencia pre-solución. Necesitarás modificar el problema un poco. Se quiere encontrar una solución a x^n=x_0. Limítate a encontrarla en el intervalo [0,c] para una buena elección de c.

Solución. Sea c un número mayor que 1 de tal forma que 0<x_0<c. Si consideramos la función f(x)=x^n, tenemos que dicha función es continua en el intervalo [0, c], y tenemos que

f(0)=0 y f(c)=c^n.

Como

    \[0<x_0<c<c^n,\]

tenemos que x_0 está en el intervalo (0,c), y por el teorema del valor intermedio, tenemos que existe x en el intervalo (0,c) tal que f(x)=x_0, que usando la definición de f quiere decir que

    \[x^n=x_0.\]

No puede existir otro además de x_0 ya que la función f(x)=x^n es creciente en el intervalo [0,c].

\square

Más ejemplos

Puedes encontrar más problemas que se pueden resolver usando el teorema del valor intermedio en el libro Problem Solving Strategies de Loren Larson, en la Sección 6.2.