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Hola. Soy Leonardo Martínez. Soy Profesor de Tiempo Completo en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Hice un doctorado en Matemáticas en la UNAM, un postdoc en Israel y uno en Francia. Además, me gusta colaborar con proyectos de difusión de las matemáticas como la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.

Álgebra Superior II: Introducción a estructuras algebraicas

Introducción

Finalmente terminamos de construir a los números naturales, sus operaciones y su orden. El siguiente conjunto que nos interesa construir es $\mathbb{Z}$, el conjunto de los números enteros. Haremos esto en breve. Sin embargo, primero haremos un paréntesis para hablar de estructuras algebraicas.

Quizás hayas escuchado hablar de varias de ellas. En cálculo y geometría analítica se habla de los números reales y se comenta que es muy importante que sea un campo. En geometría moderna se habla de transformaciones geométricas y cómo algunas de ellas forman un grupo. También es común escuchar de los anillos de enteros o de polinomios (que estudiaremos más adelante). Y por supuesto, también están los espacios vectoriales, que están fuertemente conectados con resolver sistemas de ecuaciones lineales y hacer cálculo y geometría en altas dimensiones.

Todos estos conceptos (campos, grupos, anillos, espacios vectoriales, etc.) son ejemplos de estructuras algebraicas. Cada tipo de estructura algebraica es muy especial por sí misma y sus propiedades se estudian por separado en distintas materias, notablemente aquellas relacionadas con el álgebra moderna. La idea de esta entrada es dar una muy breve introducción al tema, para que te vayas acostumbrando al uso del lenguaje. Esto te servirá más adelante en tu formación matemática.

Intuición de estructuras algebraicas

De manera intuitiva, una estructura algebraica consiste de tomar un conjunto, algunas operaciones en ese conjunto, y ciertas propiedades que tienen que cumplir las operaciones. Eso suena mucho a lo que hemos trabajado con $\mathbb{N}$: es un conjunto, con las operaciones de suma y producto. Y ya demostramos que estas operaciones tienen propiedades especiales como la conmutatividad, la distributividad y la existencia de neutros.

En realidad podríamos tomar cualquier conjunto y cualquier operación y eso nos daría una cierta estructura.

Ejemplo. Consideremos el conjunto $\mathbb{N}$ con la operación binaria $\star$ tal que $$a\star b=ab+a+b.$$ Tendríamos entonces que $$3\star 1=3\cdot 1+3+1= 7,$$ y que $$10\star 10=10\cdot 10 + 10 + 10 = 120.$$

Es posible que la operación $\star$ tenga ciertas propiedades especiales, y entonces algunas proposiciones matemáticas interesantes consistirían en enunciar las propiedades de $\star$.

$\square$

Aunque tenemos mucha libertad en decidir cuál es el conjunto, cuáles son las operaciones que le ponemos y qué propiedades vamos a pedir, hay algunos ejemplos que se aparecen muy frecuentemente en las matemáticas. Aparecen de manera tan frecuente, que ameritan nombres especiales. Comencemos a formalizar esto.

Operaciones binarias y magmas

Dado un conjunto $S$, una operación binaria toma parejas de elementos de $S$ y los lleva a otro elemento de $S$. En símbolos, es una función $\star: S\times S\to S$. Cuando usamos la notación de función, tendríamos que escribir todo el tiempo $\times(a,b)$ para referirnos a lo que esta operación le hace a cada pareja de elementos $a$ y $b$ en $S$. Sin embargo, esto resulta poco práctico, y es por esta razón que se usa mucho más la notación $a\times b:=\times (a,b)$.

Ejemplo. En $\mathbb{N}$ ya definimos la operación binaria $+$, que toma dos enteros $a$ y $b$ y los manda a $s_a(b)$, donde $s_a:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ es la función que construimos usando el teorema de recursión estableciendo que $s_a(0)=a$ y $s_a(\sigma(n))=\sigma(s_a(n))$.

$\square$

Aquí lo único que nos importa es establecer una operación binaria. No nos importa si tiene otras propiedades adicionales.

Definición. Un magma consiste de un conjunto $S$ con una operación binaria $\ast$.

Otros ejemplos de magma son $\mathbb{N}$ con la operación que dimos en la parte de intuición, o bien $\mathbb{N}$ con el producto que ya definimos. También podemos tener magmas en conjuntos que no sea el de los enteros. Por ejemplo, si $P$ es el conjunto de subconjuntos de $\{0,1,2,3,4\}$, y le damos la operación que manda $A$ y $B$ a $A\cup B\cup \{0\}$, entonces también obtenemos un magma.

Conmutatividad

Cuando tenemos un conjunto $S$ y una operación binaria $\star$ en $S$, puede suceder que de lo mismo hacer $a\star b$ que $b\star a$. Esto ya es una propiedad especial que pueden cumplir las operaciones binarias, y tiene un nombre.

Definición. Decimos que una operación binaria $\star$ en un conjunto $S$ es conmutativa si para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $S$ se cumple que $a\star b=b\star a$.

Observa que la igualdad debe suceder para cualesquiera dos elementos. Basta con que falle para una pareja para que la operación ya no sea conmutativa.

Ejemplo. Una de las propiedades que demostramos de la operación de suma en $\mathbb{N}$ es que $s_a(b)=s_b(a)$, es decir, que $a+b=b+a$. En otras palabras, la operación binaria $+$ en $\mathbb{N}$ es conmutativa. Así mismo, vimos que el producto era conmutativo, es decir, que $p_a(b)=p_b(a)$, que en términos de la operación binaria $\cdot$ quiere decir que $a\cdot b=b\cdot a$.

$\square$

Más adelante veremos que otras funciones de suma y producto también son conmutativas, por ejemplo, las de los enteros, racionales, reales y complejos. Sin embargo, hay algunas operaciones binarias muy importantes en matemáticas que no son conmutativas. Un ejemplo de ello es el producto de matrices. Otro ejemplo es la diferencia de conjuntos.

Ejemplo. Si $P$ es el conjunto de subconjuntos de $\{0,1,2,3,4\}$ y le damos la operación binaria $\setminus$ tal que dados $A$ y $B$ en $P$ los manda a $A\setminus B$, entonces obtenemos un magma. Sin embargo, la operación $\setminus$ no es conmutativa pues, por ejemplo, $$\{1,2,3\}\setminus\{2,3,4\}=\{1\},$$ pero $$\{2,3,4\}\setminus\{1,2,3\}=\{4\}.$$

$\square$

En $\mathbb{N}$ no tenemos una operación de resta, como discutiremos en breve. Pero en el conjunto de los enteros sí, y ese sería otro ejemplo de una operación que no es conmutativa.

Asociatividad y semigrupos

Otra de las propiedades importantes que demostramos de la suma y producto de naturales es que son operaciones asociativas. En general, podemos definir la asociatividad para una operación binaria como sigue.

Definición. Sea $\star$ una operación binaria en un conjunto $S$. Decimos que $\star$ es asociativa si $a\star (b\star c)=(a\star b)\star c$ para cualesquiera tres elementos $a,b,c$ de $S$.

Tanto la suma como el producto de naturales dan una operación asociativa pues ya demostramos que si $a,b,c$ son naturales, entonces $a+(b+c)=(a+b)+c$ y $a(bc)=(ab)c$. Esta propiedad también la tendremos para la suma y producto de enteros, racionales, reales, complejos, polinomios, etc.

A partir de la asociatividad podemos definir la primer estructura algebraica que requiere un poco más de propiedades.

Definición. Un semigrupo es un conjunto $S$ con una operación asociativa $\star$.

Si además $\star$ es una operación conmutativa, entonces decimos que es un semigrupo conmutativo. En realidad, en cualquiera de las definiciones que daremos a continuación podemos agregar el adjetivo «conmutativo» y esto querrá decir que además de las propiedades requeridas, también se cumple que la operación es conmutativa.

En los semigrupos (y demás estructuras con asociatividad) tenemos la ventaja de que podemos «olvidarnos de los paréntesis» sin la preocupación de que haya ambigüedad. Por ejemplo, en los naturales la expresión $3+((2+4)+8)$ se puede escribir simplemente como $3+2+4+8$, pues cualquier otra forma de poner paréntesis, como $(3+2)+(4+8)$, debe dar exactamente el mismo resultado por asociatividad.

Ejemplo. Una operación que no es asociativa es la resta en los enteros. Aunque no hemos definido formalmente esta operación, es intuitivamente claro que $3-(2-1)$ no es lo mismo que $(3-2)-1$.

$\square$

Unidades y magmas unitales

A veces sucede que algunos elementos de un conjunto «no afectan a nadie» bajo una cierta operación binaria dada. Por ejemplo, en los naturales «sumar cero» no cambia a ningún entero.

Definición. Sea $\star$ una operación binaria en un conjunto $S$. Una unidad o neutro para $\star$ es un elemento $e$ en $S$ para el cual se cumple que para cualquier elemento $a$ de $S$ se tenga $a\star e = a$ y $e\star a = a$.

Observa que es muy importante pedir las dos igualdades de la definición. Si una se cumple, no necesariamente tiene que pasar la otra, pues no necesariamente la operación es conmutativa. Por supuesto, si ya se sabe que la operación es conmutativa, entonces basta con ver una de ellas.

En $\mathbb{Z}$ tenemos las operaciones de suma y producto. Para no confundir a sus neutros, a $0$ le llamamos el neutro aditivo para hacer énfasis que es el neutro de la suma. Y a $1$ le llamamos el neutro multiplicativo para hacer énfasis que es el neutro del producto. Entre las propiedades que probamos, en efecto vimos que $a+0=a=0+a$ y que $a\cdot 1 = a = 1\cdot a$ para cualquier entero $a$.

Definición. Un magma unital es un conjunto $S$ con una operación $\star$ que tiene un neutro.

El conjunto de naturales con la operación $\star$ que dimos en la sección de intuición también es un magma unital. ¿Puedes decir quién es su neutro?

Monoides

Se puede pedir más de una propiedad a una operación binaria y entonces obtenemos estructuras algebraicas más especiales.

Definición. Un monoide es un conjunto $S$ con una operación $\star$ que es asociativa y que tiene un neutro.

En otras palabras, un monoide es un magma unital con operación asociativa. O bien, un semigrupo cuya operación tiene unidad. Por supuesto, si la operación además es conmutativa entonces decimos que es un monoide conmutativo.

Ejemplo. Por todo lo que hemos visto en esta entrada, tenemos que $\mathbb{N}$ con la suma es un monoide conmutativo. Así mismo, $\mathbb{N}$ con el producto es un monoide conmutativo.

$\square$

Semianillos

La última idea importante para discutir en esta entrada es que una estructura algebraica puede tener más de una operación binaria, y además de pedir propiedades para cada operación, también se pueden pedir propiedades que satisfagan ambas operaciones en igualdades que las involucran a las dos.

Definición. Un seminanillo es un conjunto $S$ con dos operaciones binarias $\square$ y $\star$ que satisfacen las siguientes propiedades:

  • $\square$ es un monoide conmutativo
  • $\star$ es un monoide
  • Se cumple distributividad, es decir, que para cualesquiera tres elementos $a,b,c$ de $S$ se tiene $a\star(b\square c) = (a\star b)\square(a\star c)$ y $(a\square b)\star c = (a\star c)\square(b\star c)$
  • El neutro $e$ de $\square$ aniquila a los elementos bajo $\star$, es decir, para cualquier elemento $a$ de $S$ se tiene que $a\star 0=0$ y $0\star a = 0$

Un semianillo conmutativo es un semianillo en donde la operación $\star$ también es conmutativa. Las propiedades que hemos de los números naturales nos permiten enunciar el siguiente resultado.

Teorema. El conjunto $\mathbb{N}$ con las operaciones binarias de suma y producto es un semianillo conmutativo.

Tarea moral

  1. Encuentra el neutro de la operación $\star$ dada en la sección de intuición. Verifica que en efecto es un neutro.
  2. Demuestra que el conjunto de los naturales pares $\{0,2,4,6,\ldots\}$ sí tiene un neutro para la operación de suma, pero no para la operación de producto.
  3. Considera el conjunto $P(S)$ de subconjuntos de un conjunto $S$. Considera las operaciones binarias de unión e intersección de elementos de $P(S)$. Muestra que $P(S)$ con estas operaciones es un semianillo conmutativo.
  4. Da un ejemplo de un magma que no sea un magma unital. Da un ejemplo de un magma unital que no sea un monoide.
  5. Da o busca un ejemplo de un semianillo que no sea un semianillo conmutativo.

Más adelante…

Este sólo fue un pequeño paréntesis para comenzar a hablar de operaciones binarias y de estructuras algebraicas. Ahora regresaremos a seguir construyendo de manera formal los sistemas numéricos con los que se trabaja usualmente: los enteros, los racionales, los reales y los complejos.

Un poco más adelante haremos otro paréntesis de estructuras algebraicas, en el que hablaremos de otras propiedades más que puede tener una operación binaria. Una muy importante es la existencia de inversos para la operación binaria. Esto llevará a las definiciones de otras estructuras algebraicas como los grupos, los anillos, los semigrupos con inversos, los quasigrupos y los campos.

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Inversas de matrices de 2×2 con reducción gaussiana

Introducción

Es posible que sepas que una matriz $$A=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$$de $2\times 2$ es invertible si y sólo si $ad-bc=0$, y que en ese caso la inversa está dada por $$B=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}.$$ De hecho, una vez que se propone a $B$ como esta matriz, es sencillo hacer la multiplicación de matrices y verificar que en efecto tanto $AB$ como $BA$ son la matriz identidad de $2\times 2$.

Sin embargo, la idea de esta entrada es deducir que $ad-bc$ tiene que ser distinto de $0$ para que $A$ sea invertible y que, en ese caso, la inversa tiene que ser de la forma que dijimos. En esta deducción no usaremos nunca la definición ni propiedades de determinantes.

El procedimiento

Lo que haremos es aplicar el procedimiento de reducción gaussiana para encontrar inversas, es decir, le haremos reducción gaussiana a la matriz $A’=\begin{pmatrix}
a & b & 1 & 0\\
c & d & 0 & 1
\end{pmatrix}$ obtenida de «pegar» a la matriz $A$ una matriz identidad a su derecha. Es un resultado conocido que si $A$ es invertible, entonces al terminar la reducción gaussiana de $A’$ la matriz de $2\times 2$ que queda a la izquierda será la identidad y la que quede a la derecha será la inversa de $A$.

Empecemos con una matriz $A=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ de $2\times 2$ cualquiera. Si ambos $a$ y $c$ son iguales a $0$, entonces la primer columna de $BA$ es $0$ para toda $B$, y por lo tanto $A$ no puede tener inversa. Así, una primera condición para que $A$ tenga inversa es que $a$ o $c$ sean distintos de cero. Si $a$ fuera $0$, el primer paso de reducción gaussiana sería intercambiar las filas, así que podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a$ no es $0$. De este modo, el primer paso de reducción gaussiana es multiplicar la primer fila por $1/a$ para que el pivote sea $1$: $$\begin{pmatrix}
1 & \frac{b}{a}& \frac{1}{a} & 0\\
c & d & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

El siguiente paso es hacer al resto de las entradas en la columna de ese primer pivote iguales a $0$. Para eso basta restar a la segunda fila $c$ veces la primera:

$$\begin{pmatrix}
1 & \frac{b}{a}& \frac{1}{a} & 0\\
0 & d – \frac{bc}{a} & -\frac{c}{a} & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & \frac{b}{a}& \frac{1}{a} & 0\\
0 & \frac{ad-bc}{a} & -\frac{c}{a} & 1
\end{pmatrix}.$$

Si $ad-bc=0$, entonces el pivote de la segunda fila ya no quedaría en la segunda columna, y la forma escalonada reducida no tendría a la identidad a la izquierda. Así que una segunda condición para que $A$ sea invertible es que $ad-bc$ no sea cero. Notemos que si $ad-bc$ no es cero, entonces tampoco $a$ y $c$ son simultaneamente $0$, así que nuestra condición anterior ya está capturada con pedir que $ad-bc$ no sea cero.

Sabiendo que $ad-bc$ no es cero, el siguiente paso en la reducción gaussiana es multiplicar la segunda fila por $a/(ad-bc)$ para hacer el pivote igual a $1$:

$$\begin{pmatrix}
1 & \frac{b}{a}& \frac{1}{a} & 0\\
0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix}.$$

Finalmente, para que el pivote de la segunda columna sea la única entrada no cero, tenemos que restar a la primera fila la segunda multiplicada por $-b/a$:

$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{1}{a}+\frac{bc}{a(ad-bc)} & -\frac{b}{ad-bc}\\
0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc}\\
0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix}.$$

Así, basta pedir $ad-bc$ para que la reducción gaussiana deje a la identidad en la matriz de $2\times 2$ de la izquierda y, al terminar el procedimiento, tenemos a la derecha a la inversa de $A$ que es la matriz:

$$\begin{pmatrix}
\frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc}\\
-\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b\\
-c & a
\end{pmatrix}.$$

Esto es a lo que queríamos llegar. Por supuesto, el camino fue largo y hay formas de llegar al mismo resultado de manera más corta, pero usando más teoría.

¿Ahora qué?

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Geometría Analítica I: Introducción al curso

Introducción

Bienvenido al curso de Geometría Analítica I. A través de esta serie de entradas cubriremos el temario oficial del programa de la materia tal y como se requiere en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Esto incluye desarrollar no sólo habilidades para ejecutar procedimientos («hacer cuentitas»), sino también aquellas que nos permitan deducir los resultados que obtendremos a través de razonamientos lógicos («demostrar»).

Pre-requisitos del curso

En la mayoría de las entradas seguiremos un flujo matemático, en el cual escribiremos definiciones, proposiciones, ejemplos, teoremas y otro tipo de enunciados matemáticos. Siempre que digamos que algo sucede, es importante argumentar o justificar por qué es esto, es decir, que demos una demostración. Las demostraciones nos ayudarán a justificar que ciertos procedimientos (para encontrar distancias, ángulos, etc.) son válidos.

Para entender un poco más al respecto, te recomendamos leer las siguientes dos entradas, o incluso llevar a la par un curso de Álgebra Superior I:

Además de estos pre-requisitos de pensamiento lógico, también es importante que recuerdes algunos de los conceptos fundamentales de geometría (punto, línea, segmento, triángulo, distancia, etc.). Si bien todo lo construiremos «desde cero», el recordar estos conceptos te ayudará mucho en la intuición de por qué ciertas cosas las definimos como lo haremos, y por qué ciertos enunciados que planteamos «deben ser ciertos».

Finalmente, también supondremos que sabes manejar a buen nivel las operaciones y propiedades en $\mathbb{R}$, los números reales. Por ejemplo, que la suma es conmutativa ($a+b=b+a$), que se distribuye con el producto ($a(b+c)=ab+ac$), etc. Si bien en otros cursos se definen a los reales con toda formalidad, para este curso sólo será importante que sepas hacer estas operaciones.

La idea fundamental

La geometría se trata de figuras, de ver, de medir. El álgebra se trata de sumar, de operar, de comparar. La idea clave que subyace a la geometría analítica, como la veremos en este curso, es la siguiente:

La geometría y el álgebra son complementarias e inseparables, ninguna con más importancia sobre la otra. Podemos entender al álgebra a partir de la geometría, y viceversa.

Un ejemplo muy sencillo que se ve desde la educación básica es que la suma de reales se corresponde con «pegar segmentos». Si en la recta real tenemos un segmento de longitud $a$ y le pegamos un segmento de longitud $b$, entonces el segmento que se obtiene tiene longitud $a+b$. Si bien es obvio, cuando estemos estableciendo los fundamentos tendremos que preguntarnos, ¿por qué pasa? ¿qué es pegar segmentos?

Nuestro objetivo será entender a profundidad muchas de estas equivalencias.

Interactivos

En este curso procuraremos incluir interactivos para que explores las ideas que vayamos introduciendo. Si bien un interactivo no reemplaza a una demostración, lo cierto es que sí ayuda muchísimo a ver más casos en los cuales una proposición o teorema se cumple. Nuestros interactivos están hechos en GeoGebra y necesitarás tener activado JavaScript en tu navegador.

En el siguiente interactivo puedes mover los puntos $A$, $B$ y $C$. Observa como la suma de dos segmentos siempre es igual al tercero. ¿Qué pasa si $B$ «se pasa de $C$»? ¿Cuál segmento es la suma de los otros dos?

Te recomendamos fuertemente que dediques por lo menos un rato a jugar con los interactivos: intenta ver qué se puede mover, qué no, qué cosas piensas que suceden siempre y para cuales crees que haya ejemplos que fallen.

Tarea moral

  1. Escribe en una hoja de papel o en un documento digital qué significan para ti los siguientes términos: punto, línea, círculo, plano, semiplano, elipse, intersección, alineado, longitud, ángulo, dirección, vector. ¿En cuáles de estas palabras tuviste que usar las otras? ¿En cuáles no? Más adelante formalizaremos cada una de estas.
  2. Explora el inicio del siguiente libro digital: Euclides de Byrne
  3. Si aprendes a manejar GeoGebra por tu cuenta, podrás hacer interactivos tú mismo. Si te interesa esto, revisa el siguiente curso de GeoGebra.
  4. ¿Cómo le harías para a cada punto del plano asociarle una pareja de números reales? ¿Cómo le harías para a cada pareja de números reales asociarle un punto en el plano?
  5. Si la suma de números corresponde a pegar segmentos, ¿a qué corresponde la multiplicación de números?

Más adelante…

En esta entrada platicamos de cómo son las notas del curso en general. Platicamos de pre-requisitos y de la idea fundamental que subyace al curso. A partir de la siguiente entrada comenzaremos con el tratamiento teórico de la materia. Hablaremos de dos visiones de geometría: la sintética y la analítica. Veremos un primer resultado que nos dice que, en realidad, ambas están muy relacionadas entre sí.

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Álgebra Lineal II: Introducción al curso

Introducción

En esta serie de entradas continuaremos platicando acerca de álgebra lineal. Son una continuación a las entradas de Álgebra Lineal I que también se encuentran disponibles en el blog. En el transcurso de ellas, cubriremos los temas que establece el temario de la materia Álgebra Lineal II de la Licenciatura en Matemáticas de la UNAM.

Primero comenzaremos dando un pequeño repaso de lo que se ha visto en Álgebra Lineal I y después daremos un pequeño panorama de lo que se cubrirá en este curso.

Algunos recordatorios de Álgebra Lineal I

En el primer curso de álgebra lineal se establecieron muchos fundamentos del área, relacionados con espacios vectoriales, transformaciones lineales, matrices y más. A continuación damos un breve recordatorio de cada unidad temática. Usaremos letras cursivas para mencionar términos que ya deberías conocer. Si algunos de ellos no los recuerdas. Usaremos letras negritas para hacer énfasis en resultados fundamentales del primer curso, que es muy importante que recuerdes qué dicen y cómo se usan. Todo esto lo puedes encontrar en las notas anteriores.

En la primer parte de ese curso, recordamos las definiciones básicas de vector, matriz y transformación lineal, pero únicamente nos enfocamos en un espacio vectorial muy sencillo: $F^n$, que consiste de todos los vectores con $n$ entradas en un campo $F$. Se definieron operaciones de suma y producto escalar en este espacio. También hablamos de cómo multiplicar matrices. Esto fue suficiente para plantear la idea de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, pues de acuerdo al principio de superposición, esto es suficiente. Luego, vimos el algoritmo de reducción gaussiana, que nos permite llevar cualquier matriz a su forma escalonada reducida. Esto resulta fundamental para calcular todo tipo de cosas en álgebra lineal: resolver sistemas de ecuaciones, invertir matrices, encontrar determinantes, encontrar espacios generados, etc.

En la segunda parte introdujimos el concepto de espacio vectorial en general. Hablamos de $F^n$, pero también del espacio de matrices $M_{m,n}(F)$, del espacio de polinomios $F[x]$, de los espacios de polinomios de grado a lo más $n$, $F_n[x]$, y de algunos otros como los de funciones con ciertas propiedades (continuas, diferenciables, limitadas a un intervalo, acotadas, etc.) A partir de las nociones de combinación lineal, independencia lineal y generadores, desarrollamos la teoría de dimensión. Un resultado crucial en dimensión finita es el lema de Steinitz. Tras hablar de un espacio vectorial, comenzamos a hablar de «funciones bonitas» entre ellos. Las primeras que tratamos fueron las transformaciones lineales. Un resultado crucial es que, en dimensión finita y tras elegir una base cada transformación lineal corresponde a una matriz y viceversa. Como bases distintas dan matrices distintas, fue necesario discutir qué sucede al cambiar de base, por lo que se introdujeron matrices de cambio de base. Otro resultado crucial es el teorema rango-nulidad.

La tercera parte fue mucho más geométrica. En ella hablamos de las formas lineales y de las formas bilineales. A partir de las formas lineales construimos a los espacios duales y desarrollamos la teoría de dualidad. Definimos el concepto de hiperplano. Una de las principales aplicaciones de la teoría de dualidad fue mostrar que en dimensión finita todo subespacio es intersección de hiperplanos. En el caso de formas bilineales, nos enfocamos mucho más en aquellas que van a $\mathbb{R}$. A partir de ellas definimos formas cuadráticas. Estudiamos el caso muy especial de espacios euclideanos, que son, a grandes rasgos espacios vectoriales reales con una forma bilineal «bonita». En este tipo de espacios se puede hablar de normas, distancias y ángulos. Los resultados cruciales fueron la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la existencia de bases ortonormales. Para encontrarlas, hablamos del proceso de Gram-Schmidt.

Finalmente, vino la unidad 4 en la que se desarrolló de manera formal el concepto de determinante, tanto para vectores, como para matrices y transformaciones lineales. Para ello fue importante hablar de formas $n$-lineales (que en cierta forma generalizan a las bilineales) con propiedades especiales, como ser alternantes. Se vieron muchas propiedades de los determinantes para entenderlos a profundidad de manera teórica y práctica, en particular la expansión de Laplace. Se vio cómo los determinantes pueden ayudar a resolver sistemas de ecuaciones mediante las fórmulas de Cramer. También, con toda la teoría desarrollada hasta aquí pudimos finalmente entender con mucha profundidad los sistemas de ecuaciones lineales mediante el teorema de Rouché-Capelli. Para cerrar el curso, vimos muy por encima las ideas de eigenvalores, eigenvectores y polinomio característico. Esto nos llevó a la idea de diagonalización. Juntando toda la teoría del curso, llegamos a la cereza del pastel: el teorema espectral para matrices simétricas reales.

La idea general del segundo curso

El teorema espectral para matrices simétricas reales es un resultado precioso: bajo ciertas condiciones nos permite «llevar» una transformación (o matriz) a una «forma sencilla». Nos debe de dar la intuición de que toda la teoría que se desarrolló anteriormente la podemos utilizar para demostrar muchos otros resultados lindos de ese estilo. En Álgebra Lineal II haremos precisamente esto.

En la primer parte del curso profundizaremos en la teoría de eigenespacios, que nos permitirán entender mucho mejor cómo son los eigenvectores. Para hacer eso, será importante introducir un nuevo polinomio: el polinomio mínimo. Mostraremos muchas más propiedades de eigenvectores, eigenvalores, polinomios mínimos y característicos. Usaremos estas ideas para profundizar en las nociones de diagonalización y triangulización y enunciaremos teoremas que nos permitirán saber cuándo una matriz (o transformación) se puede llevar mediante un cambio de base a una forma más sencilla. En esta primer parte también demostraremos el bello teorema de Cayley-Hamilton, que afirma que cualquier matriz se anula en su polinomio característico.

Después de esto, en la segunda parte del curso trabajaremos para entender mejor a las formas bilineales que introdujimos en el primer curso. Ya no sólo nos limitaremos a aquellas que caen a los reales, sino que hablaremos también de aquellas que caen al campo $\mathbb{C}$ de los números complejos. Uno podría pensar que el tratamiento es análogo, pero esto dista mucho de la realidad: se requiere pensar en nuevas definiciones que involucren a los conjugados de las entradas de las matrices.

Tras establecer las propiedades principales que nos interesan en espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$, retomaremos la idea de demostrar teoremas de diagonalización. Ahora tendremos el teorema espectral para matrices reales y el teorema espectral para matrices complejas. Además de garantizarnos una diagonalización, estos teoremas nos garantizan que esa diagonalización es de una forma muy especial. Veremos las consecuencias teóricas que esto tiene.

Finalmente, en la última unidad temática, veremos que aunque las matrices no sean diagonalizables, en realidad no todo está perdido. Hablaremos de la forma canónica de Jordan, que es algo así como una versión débil de diagonalizar. Terminaremos el curso aprovechando todo lo visto hasta ahora para ver que cualquier matriz, sin importar sobre qué campo esté, siempre podrá ser llevada a esta forma tras un cambio de base.

Tarea moral

  1. Recuerda el algoritmo de reducción gaussiana y úsalo para determinar si la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 5 & 3 & -1\end{pmatrix}$ es invertible y, en caso de que sí, encontrar su inversa. Hazlo a mano y comprueba tu respuesta con alguna calculadora de forma escalonada reducida en línea.
  2. Encuentra una base ortogonal para el espacio de polinomios $\mathbb{R}_4[x]$ de grado a lo más $4$ con producto bilineal $\langle p, q \rangle = \sum_{j=0}^4 p(j)q(j)$. Encuentra la forma matricial de la transformación «derivar» en esta base y da su determinante.
  3. Escribe al subespacio de matrices antisimétricas en $M_3(\mathbb{R})$ como intersección de hiperplanos. ¿Qué dimensión tiene?
  4. Encuentra un sistema de $4$ ecuaciones lineales en $5$ variables cuyo espacio de soluciones tenga dimensión $2$. Después, resuélvelo usando los siguientes dos métodos: reducción gaussiana y fórmulas de Cramer.
  5. Explica qué nos garantiza el teorema espectral visto en el curso anterior para las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Encuentra el polinomio característico de cada una de estas matrices. Esboza (sin hacerlo) cómo encontrarías los valores y vectores propios de $A$ y $B$.

Más adelante…

En la siguiente entrada ya comenzaremos con el contenido teórico del curso. Lo primero que haremos es formalizar qué quiere decir «aplicar un polinomio a una transformación lineal» y qué qué quiere decir aplicarlo a una matriz.

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Álgebra Superior I: Conectores: negaciones, conjunciones y disyunciones

Introducción

En la entrada de introducción a este curso ya acordamos que una proposición matemática (o simplemente proposición) es un enunciado que puede ser verdadero o falso (pero no ambos), y que habla de objetos matemáticos.

Ahora hablaremos de algunas reglas que nos permiten comenzar con una o más proposiciones y combinarlas para obtener otras proposiciones. Hablaremos de la negación, de la conjunción y de la disyunción. De manera informal, la primera antepone un «no es cierto que» a cualquier proposición, y le cambia su veracidad. La segunda y tercera combinan dos proposiciones en una sola. De manera informal, ponen «y» y «o» entre las oraciones, respectivamente.

A estas reglas se les conoce como conectores o conectivos. Discutiremos cada uno de ellos de manera intuitiva y después definiremos qué quieren decir de manera formal.

Conectores lógicos

De tu experiencia previa, ya sabes que hay formas en las que podemos combinar, por ejemplo, a números enteros para obtener nuevos números. Si tomamos el número $2$ y el número $3$ y les aplicamos la operación «suma», entonces debemos entreponer un signo $+$ entre ellos para obtener la expresión $2+3$. Esta expresión es de nuevo un número entero: el $5$. Así como hacemos operaciones entre números, también podemos hacer operaciones entre proposiciones.

Un conector lógico (o simplemente conector) es una regla que permite tomar una o más proposiciones, «operarlas» y de ahí construir una nueva proposición «resultado». Como lo que más nos importa de las proposiciones es si son verdaderas o falsas, entonces lo más importante de cada conector que demos es decir cómo se determina la veracidad de la proposición que obtuvimos como resultado. En estas entradas hablaremos a detalle de los siguientes conectores:

  • Negaciones: Usan el símbolo $\neg$. Toman una proposición $P$ y la convierten en la proposición $\neg P$ cuyo valor de verdad es opuesto al de $P$.
  • Conjunciones: Usan el símbolo $\land$. Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P\land Q$, que para ser verdadera necesita que tanto $P$ como $Q$ sean verdaderas.
  • Disyunciones: Usan el símbolo $\lor$. Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P\lor Q$, que para ser verdadera necesita que alguna de $P$ o $Q$ lo sean (o ambas).
  • Implicaciones: Usan el símbolo $\Rightarrow$. Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P\Rightarrow Q$, que para ser verdadera se necesita o bien que $P$ sea falsa (y $Q$ puede ser lo que sea), o bien que tanto $P$ como $Q$ sean verdaderas.
  • Dobles implicaciones: Usan el símbolo $\Leftrightarrow$. Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P \Leftrightarrow Q$, que para ser verdadera necesita que $P\Rightarrow Q$ sea verdadera y que $Q\Rightarrow P$ sea verdadera.

Ahora profundizaremos en las primeras tres y las últimas dos las dejaremos para más adelante.

Negaciones

Lo que hacen las negaciones a nivel de texto es anteponer un «no es cierto que» a una proposición. Por ejemplo si comenzamos con la proposición $$A=\text{«El cielo es azul.»}$$ entonces su negación es $$\neg A=\text{«No es cierto que el cielo es azul.»}$$ Observa que si pensamos a $A$ como una proposición verdadera, entonces la proposición $\neg A$ es falsa.

Hay que tener cuidado. El efecto que hacen las negaciones simplemente es anteponer «no es cierto que» a una proposición. Puede ser tentador intentar poner un «no» en alguna parte de la oración de manera arbitraria, pero esto puede llevar a problemas. Por ejemplo, la negación de la oración $$B=\text{«El número $2$ es par y múltiplo de $3$.»}$$ es simplemente $$\text{«No es cierto que el número $2$ es par y múltiplo de $3$.»}$$ Si hacemos la negación con poco cuidado, podríamos llegar a $$\text{«El número $2$ no es par ni múltiplo de $3$.»}$$ que no funciona, pues no tiene el valor opuesto de verdad: la oración original es falsa, y esta también.

Más adelante hablaremos con cuidado del conector «y» que usamos en el ejemplo anterior. Veremos cómo se pueden negar de manera correcta a las proposiciones que lo usan.

Tabla de verdad de negaciones

De manera formal, dada una proposición $P$ definimos a la negación de $P$, que denotamos por $\neg P$ como la proposición que tiene valor opuesto de verdad al de $P$. De esta forma, por definición, se tiene que $\neg P$ es la proposición con la siguiente tabla de verdad:

$P$$\neg P$
$0$ $1$
$1$$0$ 

Ya que al aplicar una negación obtenemos una nueva proposición, entonces ahora podemos volverle a aplicar negación a la nueva proposición obtenida. Así, si comenzamos con $$P=\text{«El cielo es azul.»}$$ y lo negamos, obtenemos $$\neg P = \text{«No es cierto que el cielo es azul.»}$$ y luego podemos negar de nuevo para obtener $$\neg(\neg P) = \text{«No es cierto que no es cierto que el cielo es azul.»}$$

Como la negación cambia el valor de verdadero a falso y viceversa, entonces $P$ y $\neg(\neg P)$ tienen el mismo valor de verdad. Esto lo podemos verificar en la siguiente tabla de verdad, llenando primero la segunda columna y luego la tercera a partir de la segunda.

$P$$\neg P$$\neg(\neg P)$
$0$$1$ $0$
$1$$0$$1$ 

Observa que las columnas de $P$ y de $\neg(\neg P)$ tienen exactamente los mismos valores. Diremos entonces que $P=\neg(\neg P)$. Observa cómo se parece mucho a la igualdad $-(-x)=x$ en los números reales. En la siguiente entrada hablaremos con más formalidad de cuándo podemos decir que dos proposiciones $P$ y $Q$ son iguales.

Conjunciones

Lo que hacen las conjunciones a nivel de texto es anteponer un «y» entre dos proposiciones. Por ejemplo si comenzamos con las proposiciones $$P=\text{«El número $20$ es impar.»}$$ y $$Q=\text{«El número $9$ es un número cuadrado.»}$$ entonces la conjunción de ambas es $$P\land Q=\text{«El número $20$ es impar y el número $9$ es cuadrado.»}$$ Para que esta nueva proposición sea verdadera, debe suceder que cada una de las proposiciones que la conforman deben serlo. En este caso en específico, esto no ocurre. La proposición $Q$ es verdadera, pero la proposición $P$ es falsa. De este modo, la conjunción es falsa.

Veamos algunos ejemplos más. Tomemos las siguientes proposiciones:

$$A=\text{«Los gatos son felinos.»}$$

$$B=\text{«Todas las blorg son rojas.»}$$

$$C=\text{«El número $3$ es mayor que el número $1$.»}$$

$$D=\text{«Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$.»}$$

$$E=\text{«La luna es azul.»}$$

Para determinar la veracidad de cada una de estas, tendríamos que ponernos de acuerdo en la definición de varios términos como «felinos», «blorg», «es mayor que», «cuadrado», «luna», etc. Pero por practicidad, daremos por hecho que $A$, $B$ y $C$ son proposiciones verdaderas y que $D$ y $E$ son falsas.

La conjunción de $A$ con $B$ es $$A\land B = \text{«Los gatos son felinos y todas las blorg son rojas.»}$$ Como cada una de las proposiciones que conforman la conjunción es verdadera, entonces la conjunción lo es.

La conjunción de $B$ con $E$ es $$B\land E = \text{«Todas las blorg son rojas y la luna es azul».}$$ Por muy cierto que sea que todas las blorg sean rojas, la conjunción no es verdadera pues $E$ es falsa.

Una vez que formamos una conjunción, esta es ahora una nueva proposición. Por lo tanto, se vuelve candidata a aplicarle negaciones y conjunciones. De esta forma, tiene sentido pensar en la proposición $\neg(A\land B)$, en donde los paréntesis implican que primero se hace esa operación. A nivel textual también usaremos los paréntesis para no confundirnos, de modo que escribiremos: \begin{align*}\neg(A\land B) &= \text{«No es cierto que (los gatos son felinos y todas}\\ &\text{las blorg son rojas).»}\end{align*}

También tiene sentido pensar en la proposición $(\neg C) \land E$. O bien en la proposición $A\land( (\neg C) \land E)$. Puedes practicar pasar estas oraciones a texto con paréntesis.

Tabla de verdad de conjunciones

Para formalizar la discusión anterior, definimos a la conjunción de dos proposiciones $P$ y $Q$ como la proposición $P\land Q$ que es verdadera únicamente cuando tanto $P$ como $Q$ son verdaderas. Así, por definición, su tabla de verdad es la siguiente:

$P$$Q$$P\land Q$
$0$$0$$0$ 
$0$$1$$0$ 
$1$$0$$0$ 
$1$$1$$1$ 

¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural. Para responderla, podemos hacer la tabla de verdad considerando tanto a las columnas $P\land Q$ como $Q\land P$ y llenándolas por separado.

$P$$Q$$P\land Q$$Q \land P$
$0$$0$ $0$$0$ 
$0$$1$$0$ $0$ 
$1$$0$$0$  $0$
$1$$1$$1$ $1$ 

Observa que las columnas correspondientes a $P\land Q$ y $Q\land P$ son iguales, de modo que podemos concluir que $P\land Q=Q\land P$. Hay otras preguntas muy naturales: ¿qué pasa si hacemos la conjunción de más de dos proposiciones? ¿son iguales $(P\land Q) \land R$ y $P\land(Q \land R)$? ¿qué pasa si combinamos a la negación con la conjunción? Esto lo veremos más adelante.

Disyunciones

Lo que hacen las disyunciones a nivel de texto es anteponer un «o» entre dos proposiciones. Por ejemplo si comenzamos con las proposiciones $$P=\text{«El número $10$ es impar.»}$$ y $$Q=\text{«El número $7$ es un número primo.»}$$ entonces la conjunción de ambas es $$P\lor Q=\text{«El número $10$ es impar o el número $7$ es primo.»}$$ Para que esta nueva proposición sea verdadera, es suficiente con que una de las proposiciones que la conforman lo sea. En este caso en específico, esto sí ocurre. La proposición $Q$ es verdadera, de modo que aunque la proposición $P$ sea falsa, la disyunción resulta ser verdadera.

Retomemos las proposiciones de la sección anterior para ver más ejemplos.

$$A=\text{«Los gatos son felinos.»}$$

$$B=\text{«Todas las blorg son rojas.»}$$

$$C=\text{«El número $3$ es mayor que el número $1$.»}$$

$$D=\text{«Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$.»}$$

$$E=\text{«La luna es azul.»}$$

Recuerda que estamos dando por hecho que $A$, $B$ y $C$ son proposiciones verdaderas y que $D$ y $E$ son falsas.

La disyunción de $A$ con $B$ es $$A\lor B = \text{«Los gatos son felinos o todas las blorg son rojas.»}$$ Como $A$ es verdadera, esto basta para decir que $A\lor B$ es verdadera. Como $B$ también es verdadera, también esto bastaba para decir que $A\lor B$ es verdadera. No hay ningún problema con que tanto $A$ como $B$ sean verdaderas.

La conjunción de $D$ con $E$ es $$C\lor E = \text{«Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$ o la luna es azul».}$$ Aquí tanto $D$ como $E$ son falsas, de modo que la disyunción también lo es.

Las disyunciones también crean proposiciones nuevas, a las que se les pueden aplicar negaciones, conjunciones y disyunciones. El uso del paréntesis se vuelve crucial. Observa que usando las proposiciones ejemplo de arriba, tenemos que

  • $(D\land C) \lor A $ es verdadera
  • $D\land (C \lor A)$ es falsa

Tabla de verdad de disyunciones

Para formalizar la discusión anterior, definimos a la disyunción de dos proposiciones $P$ y $Q$ como la proposición $P\lor Q$ que es verdadera cuando por lo menos una de las proosiciones $P$ y $Q$ lo es. Así, por definición, su tabla de verdad es la siguiente:

$P$$Q$$P\lor Q$
$0$$0$$0$ 
$0$$1$$1$ 
$1$$0$$1$ 
$1$$1$$1$ 

¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural, y ya puedes responderla por tu cuenta. Intenta hacer esto haciendo una tabla de vedad que incluya tanto a las columnas $P\lor Q$ como $Q\lor P$.

En la sección anterior vimos la importancia de poner paréntesis en las expresiones. Esta importancia también podemos verificarla mediante la siguiente tabla de verdad, en donde consideramos tres proposiciones $P$, $Q$ y $R$ y estudiamos qué sucede con $(P\land Q) \lor R$ y con $P \land (Q \lor R)$. Como hay $2$ posibilidades para cada uno de $P$, $Q$, $R$, debemos tener $2\cdot 2 \cdot 2 = 8$ filas.

Llenamos primero las primeras dos columnas usando lo que sabemos de $P\land Q$ y $Q\lor R$.

$P$$Q$$R$$P\land Q$$Q \lor R$$(P\land Q) \lor R$$P \land (Q \lor R)$
$0$$0$$0$ $0$$0$ 
$0$$0$$1$$0$ $1$ 
$0$$1$$0$$0$ $1$
$0$$1$$1$$0$ $1$ 
$1$$0$$0$$0$$0$
$1$$0$$1$$0$$1$
$1$$1$$0$$1$$1$
$1$$1$$1$$1$$1$

Y ahora sí podemos llenar las últimas dos porque ya sabemos cómo es el valor de verdad de cada una de las proposiciones que las conforman.

$P$$Q$$R$$P\land Q$$Q \lor R$$(P\land Q) \lor R$$P \land (Q \lor R)$
$0$$0$$0$ $0$$0$ $0$$0$
$0$$0$$1$$0$ $1$ $1$$0$
$0$$1$$0$$0$ $1$$1$$0$
$0$$1$$1$$0$ $1$ $1$$0$
$1$$0$$0$$0$$0$$0$$0$
$1$$0$$1$$0$$1$$1$$1$
$1$$1$$0$$1$$1$$1$$1$
$1$$1$$1$$1$$1$$1$$1$

Observa que las columnas correspondientes a $(P\land Q) \lor R$ y $P \land (Q \lor R)$ no son iguales, pues difieren en algunos renglones, por ejemplo, en el segundo renglón. De este modo, podemos concluir que hay ocasiones en las que $(P\land Q) \lor R$ y $P \land (Q \lor R)$ no son iguales, así que el orden de las operaciones suele ser importante.

Tarea moral

  1. Escribe en texto y usando paréntesis la proposición $(A\land B) \lor (\neg D)$, usando $A$, $B$ y $D$ como las proposiciones ejemplo que dimos.
  2. Mediante una tabla de verdad, justifica la igualdad $P\lor Q = Q \lor P$.
  3. Mediante una tabla de verdad, justifica la igualdad $(P\lor Q) \lor R = P \lor (Q \lor R)$.
  4. Haz una tabla de verdad para verificar que las proposiciones $\neg(P \land Q)$ y $(\neg P) \land (\neg Q)$ no son iguales. Es decir, debes de hacer todos los casos y ver que las columnas difieren en uno o más renglones.
  5. Haz una tabla de verdad para verificar que las proposiciones $(P\land Q) \land (R \land S)$ y $(((P\land Q) \land R) \land S)$ son iguales. Va a ser una tabla grande, de $16$ renglones.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de la negación, la conjunción y la disyunción. Vimos cómo justificar algunas de sus propiedades mediante tablas de verdad, como $A\land B=B\land A$. En la siguiente entrada usaremos esta técnica y otras más para probar otras propiedades interesantes de estos conectores.

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