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Hola. Soy Leonardo Martínez. Soy Profesor de Tiempo Completo en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Hice un doctorado en Matemáticas en la UNAM, un postdoc en Israel y uno en Francia. Además, me gusta colaborar con proyectos de difusión de las matemáticas como la Olimpiada Mexicana de Matemáticas.

Álgebra Superior I: Conectores: negaciones, conjunciones y disyunciones

Introducción

En la entrada de introducción a este curso ya acordamos que una proposición matemática (o simplemente proposición) es un enunciado que puede ser verdadero o falso (pero no ambos), y que habla de objetos matemáticos.

Ahora hablaremos de algunas reglas que nos permiten comenzar con una o más proposiciones y combinarlas para obtener otras proposiciones. Hablaremos de la negación, de la conjunción y de la disyunción. De manera informal, la primera antepone un “no es cierto que” a cualquier proposición, y le cambia su veracidad. La segunda y tercera combinan dos proposiciones en una sola. De manera informal, ponen “y” y “o” entre las oraciones, respectivamente.

A estas reglas se les conoce como conectores o conectivos. Discutiremos cada uno de ellos de manera intuitiva y después definiremos qué quieren decir de manera formal.

Conectores lógicos

De tu experiencia previa, ya sabes que hay formas en las que podemos combinar, por ejemplo, a números enteros para obtener nuevos números. Si tomamos el número 2 y el número 3 y les aplicamos la operación “suma”, entonces debemos entreponer un signo + entre ellos para obtener la expresión 2+3. Esta expresión es de nuevo un número entero: el 5. Así como hacemos operaciones entre números, también podemos hacer operaciones entre proposiciones.

Un conector lógico (o simplemente conector) es una regla que permite tomar una o más proposiciones, “operarlas” y de ahí construir una nueva proposición “resultado”. Como lo que más nos importa de las proposiciones es si son verdaderas o falsas, entonces lo más importante de cada conector que demos es decir cómo se determina la veracidad de la proposición que obtuvimos como resultado. En estas entradas hablaremos a detalle de los siguientes conectores:

  • Negaciones: Usan el símbolo \neg. Toman una proposición P y la convierten en la proposición \neg P cuyo valor de verdad es opuesto al de P.
  • Conjunciones: Usan el símbolo \land. Toman dos proposiciones P y Q y las convierten en la proposición P\land Q, que para ser verdadera necesita que tanto P como Q sean verdaderas.
  • Disyunciones: Usan el símbolo \lor. Toman dos proposiciones P y Q y las convierten en la proposición P\lor Q, que para ser verdadera necesita que alguna de P o Q lo sean (o ambas).
  • Implicaciones: Usan el símbolo \Rightarrow. Toman dos proposiciones P y Q y las convierten en la proposición P\Rightarrow Q, que para ser verdadera se necesita o bien que P sea falsa (y Q puede ser lo que sea), o bien que tanto P como Q sean verdaderas.
  • Dobles implicaciones: Usan el símbolo \Leftrightarrow. Toman dos proposiciones P y Q y las convierten en la proposición P \Leftrightarrow Q, que para ser verdadera necesita que P\Rightarrow Q sea verdadera y que Q\Rightarrow P sea verdadera.

Ahora profundizaremos en las primeras tres y las últimas dos las dejaremos para más adelante.

Negaciones

Lo que hacen las negaciones a nivel de texto es anteponer un “no es cierto que” a una proposición. Por ejemplo si comenzamos con la proposición

    \[A=\text{"El cielo es azul."}\]

entonces su negación es

    \[\neg A=\text{"No es cierto que el cielo es azul."}\]

Observa que si pensamos a A como una proposición verdadera, entonces la proposición \neg A es falsa.

Hay que tener cuidado. El efecto que hacen las negaciones simplemente es anteponer “no es cierto que” a una proposición. Puede ser tentador intentar poner un “no” en alguna parte de la oración de manera arbitraria, pero esto puede llevar a problemas. Por ejemplo, la negación de la oración

    \[B=\text{"El número $2$ es par y múltiplo de $3$."}\]

es simplemente

    \[\text{"No es cierto que el número $2$ es par y múltiplo de $3$."}\]

Si hacemos la negación con poco cuidado, podríamos llegar a

    \[\text{"El número $2$ no es par ni múltiplo de $3$."}\]

que no funciona, pues no tiene el valor opuesto de verdad: la oración original es falsa, y esta también.

Más adelante hablaremos con cuidado del conector “y” que usamos en el ejemplo anterior. Veremos cómo se pueden negar de manera correcta a las proposiciones que lo usan.

Tabla de verdad de negaciones

De manera formal, dada una proposición P definimos a la negación de P, que denotamos por \neg P como la proposición que tiene valor opuesto de verdad al de P. De esta forma, por definición, se tiene que \neg P es la proposición con la siguiente tabla de verdad:

P\neg P
0 1
10 

Ya que al aplicar una negación obtenemos una nueva proposición, entonces ahora podemos volverle a aplicar negación a la nueva proposición obtenida. Así, si comenzamos con

    \[P=\text{"El cielo es azul."}\]

y lo negamos, obtenemos

    \[\neg P = \text{"No es cierto que el cielo es azul."}\]

y luego podemos negar de nuevo para obtener

    \[\neg(\neg P) = \text{"No es cierto que no es cierto que el cielo es azul."}\]

Como la negación cambia el valor de verdadero a falso y viceversa, entonces P y \neg(\neg P) tienen el mismo valor de verdad. Esto lo podemos verificar en la siguiente tabla de verdad, llenando primero la segunda columna y luego la tercera a partir de la segunda.

P\neg P\neg(\neg P)
01 0
101 

Observa que las columnas de P y de \neg(\neg P) tienen exactamente los mismos valores. Diremos entonces que P=\neg(\neg P). Observa cómo se parece mucho a la igualdad -(-x)=x en los números reales. En la siguiente entrada hablaremos con más formalidad de cuándo podemos decir que dos proposiciones P y Q son iguales.

Conjunciones

Lo que hacen las conjunciones a nivel de texto es anteponer un “y” entre dos proposiciones. Por ejemplo si comenzamos con las proposiciones

    \[P=\text{"El número $20$ es impar."}\]

y

    \[Q=\text{"El número $9$ es un número cuadrado."}\]

entonces la conjunción de ambas es

    \[P\land Q=\text{"El número $20$ es impar y el número $9$ es cuadrado."}\]

Para que esta nueva proposición sea verdadera, debe suceder que cada una de las proposiciones que la conforman deben serlo. En este caso en específico, esto no ocurre. La proposición Q es verdadera, pero la proposición P es falsa. De este modo, la conjunción es falsa.

Veamos algunos ejemplos más. Tomemos las siguientes proposiciones:

    \[A=\text{"Los gatos son felinos."}\]

    \[B=\text{"Todas las blorg son rojas."}\]

    \[C=\text{"El número $3$ es mayor que el número $1$."}\]

    \[D=\text{"Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$."}\]

    \[E=\text{"La luna es azul."}\]

Para determinar la veracidad de cada una de estas, tendríamos que ponernos de acuerdo en la definición de varios términos como “felinos”, “blorg”, “es mayor que”, “cuadrado”, “luna”, etc. Pero por practicidad, daremos por hecho que A, B y C son proposiciones verdaderas y que D y E son falsas.

La conjunción de A con B es

    \[A\land B = \text{"Los gatos son felinos y todas las blorg son rojas."}\]

Como cada una de las proposiciones que conforman la conjunción es verdadera, entonces la conjunción lo es.

La conjunción de B con E es

    \[B\land E = \text{"Todas las blorg son rojas y la luna es azul".}\]

Por muy cierto que sea que todas las blorg sean rojas, la conjunción no es verdadera pues E es falsa.

Una vez que formamos una conjunción, esta es ahora una nueva proposición. Por lo tanto, se vuelve candidata a aplicarle negaciones y conjunciones. De esta forma, tiene sentido pensar en la proposición \neg(A\land B), en donde los paréntesis implican que primero se hace esa operación. A nivel textual también usaremos los paréntesis para no confundirnos, de modo que escribiremos:

    \begin{align*}\neg(A\land B) &= \text{"No es cierto que (los gatos son felinos y todas}\\ &\text{las blorg son rojas)."}\end{align*}

También tiene sentido pensar en la proposición (\neg C) \land E. O bien en la proposición A\land( (\neg C) \land E). Puedes practicar pasar estas oraciones a texto con paréntesis.

Tabla de verdad de conjunciones

Para formalizar la discusión anterior, definimos a la conjunción de dos proposiciones P y Q como la proposición P\land Q que es verdadera únicamente cuando tanto P como Q son verdaderas. Así, por definición, su tabla de verdad es la siguiente:

PQP\land Q
000 
010 
100 
111 

¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural. Para responderla, podemos hacer la tabla de verdad considerando tanto a las columnas P\land Q como Q\land P y llenándolas por separado.

PQP\land QQ \land P
00 00 
010 0 
100  0
111 1 

Observa que las columnas correspondientes a P\land Q y Q\land P son iguales, de modo que podemos concluir que P\land Q=Q\land P. Hay otras preguntas muy naturales: ¿qué pasa si hacemos la conjunción de más de dos proposiciones? ¿son iguales (P\land Q) \land R y P\land(Q \land R)? ¿qué pasa si combinamos a la negación con la conjunción? Esto lo veremos más adelante.

Disyunciones

Lo que hacen las disyunciones a nivel de texto es anteponer un “o” entre dos proposiciones. Por ejemplo si comenzamos con las proposiciones

    \[P=\text{"El número $10$ es impar."}\]

y

    \[Q=\text{"El número $7$ es un número primo."}\]

entonces la conjunción de ambas es

    \[P\lor Q=\text{"El número $10$ es impar o el número $7$ es primo."}\]

Para que esta nueva proposición sea verdadera, es suficiente con que una de las proposiciones que la conforman lo sea. En este caso en específico, esto sí ocurre. La proposición Q es verdadera, de modo que aunque la proposición P sea falsa, la disyunción resulta ser verdadera.

Retomemos las proposiciones de la sección anterior para ver más ejemplos.

    \[A=\text{"Los gatos son felinos."}\]

    \[B=\text{"Todas las blorg son rojas."}\]

    \[C=\text{"El número $3$ es mayor que el número $1$."}\]

    \[D=\text{"Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$."}\]

    \[E=\text{"La luna es azul."}\]

Recuerda que estamos dando por hecho que A, B y C son proposiciones verdaderas y que D y E son falsas.

La disyunción de A con B es

    \[A\lor B = \text{"Los gatos son felinos o todas las blorg son rojas."}\]

Como A es verdadera, esto basta para decir que A\lor B es verdadera. Como B también es verdadera, también esto bastaba para decir que A\lor B es verdadera. No hay ningún problema con que tanto A como B sean verdaderas.

La conjunción de D con E es

    \[C\lor E = \text{"Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$ o la luna es azul".}\]

Aquí tanto D como E son falsas, de modo que la disyunción también lo es.

Las disyunciones también crean proposiciones nuevas, a las que se les pueden aplicar negaciones, conjunciones y disyunciones. El uso del paréntesis se vuelve crucial. Observa que usando las proposiciones ejemplo de arriba, tenemos que

  • (D\land C) \lor A es verdadera
  • D\land (C \lor A) es falsa

Tabla de verdad de disyunciones

Para formalizar la discusión anterior, definimos a la disyunción de dos proposiciones P y Q como la proposición P\lor Q que es verdadera cuando por lo menos una de las proosiciones P y Q lo es. Así, por definición, su tabla de verdad es la siguiente:

PQP\lor Q
000 
011 
101 
111 

¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural, y ya puedes responderla por tu cuenta. Intenta hacer esto haciendo una tabla de vedad que incluya tanto a las columnas P\lor Q como Q\lor P.

En la sección anterior vimos la importancia de poner paréntesis en las expresiones. Esta importancia también podemos verificarla mediante la siguiente tabla de verdad, en donde consideramos tres proposiciones P, Q y R y estudiamos qué sucede con (P\land Q) \lor R y con P \land (Q \lor R). Como hay 2 posibilidades para cada uno de P, Q, R, debemos tener 2\cdot 2 \cdot 2 = 8 filas.

Llenamos primero las primeras dos columnas usando lo que sabemos de P\land Q y Q\lor R.

PQRP\land QQ \lor R(P\land Q) \lor RP \land (Q \lor R)
000 00 
0010 1 
0100 1
0110 1 
10000
10101
11011
11111

Y ahora sí podemos llenar las últimas dos porque ya sabemos cómo es el valor de verdad de cada una de las proposiciones que las conforman.

PQRP\land QQ \lor R(P\land Q) \lor RP \land (Q \lor R)
000 00 00
0010 1 10
0100 110
0110 1 10
1000000
1010111
1101111
1111111

Observa que las columnas correspondientes a (P\land Q) \lor R y P \land (Q \lor R) no son iguales, pues difieren en algunos renglones, por ejemplo, en el segundo renglón. De este modo, podemos concluir que hay ocasiones en las que (P\land Q) \lor R y P \land (Q \lor R) no son iguales, así que el orden de las operaciones suele ser importante.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Escribe en texto y usando paréntesis la proposición (A\land B) \lor (\neg D), usando A, B y D como las proposiciones ejemplo que dimos.
  2. Mediante una tabla de verdad, justifica la igualdad P\lor Q = Q \lor P.
  3. Mediante una tabla de verdad, justifica la igualdad (P\lor Q) \lor R = P \lor (Q \lor R).
  4. Haz una tabla de verdad para verificar que las proposiciones \neg(P \land Q) y (\neg P) \land (\neg Q) no son iguales. Es decir, debes de hacer todos los casos y ver que las columnas difieren en uno o más renglones.
  5. Haz una tabla de verdad para verificar que las proposiciones (P\land Q) \land (R \land S) y (((P\land Q) \land R) \land S) son iguales. Va a ser una tabla grande, de 16 renglones.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de la negación, la conjunción y la disyunción. Vimos cómo justificar algunas de sus propiedades mediante tablas de verdad, como A\land B=B\land A. En la siguiente entrada usaremos esta técnica y otras más para probar otras propiedades interesantes de estos conectores.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Tipos de enunciados matemáticos

Introducción

En esta entrada platicamos de varios tipos de enunciados con los que te vas a encontrar frecuentemente en trayectoria matemática a nivel universitario. Para entender correctamente las definiciones siguientes, es muy importante que ya estés familiarizado con el concepto de proposición matemática que tratamos con anterioridad.

Axiomas

En las matemáticas, los axiomas son enunciados que tomamos como verdaderos. No son proposiciones, en el sentido de que su veracidad está definida por convención. Son el punto de partida que establece las reglas del juego de cierta área de las matemáticas.

Cuando estés en cálculo, se verán los axiomas que deben satisfacer los números reales. Cuando estés en álgebra lineal, ser verán los axiomas de espacio vectorial. En geometría moderna se verán los axiomas de Euclides. En este curso hablaremos un poco de axiomas para la teoría de conjuntos y para los números naturales.

Algunos ejemplos son los siguientes (no es necesario que entiendas exactamente qué dicen):

  • Para cada dos puntos, hay una línea que pasa por ellos.
  • Cada número natural tiene un único sucesor.
  • Para cualquier elemento a en G, existe un elemento b en G tal que ab=G.
  • Para cualquier colección A_1,\ldots,A_n de abiertos, se tiene que

        \[A_1 \cap A_2 \cap \ldots A_n\]

    también es abierto.

Los axiomas no requieren ser justificados o demostrados. Simplemente acordamos su validez.

Definiciones

Las definiciones no son proposiciones matemáticas y no tiene sentido decir que son verdaderas o falsas. Simplemente son enunciados que le ponen un nombre a un objeto matemático con ciertas propiedades para poder referirnos a él de manera sencilla más adelante. En ocasiones, estas definiciones hacen referencia a cómo se expresa el concepto matemático en símbolos y frecuentemente para ello se usa la palabra “denotar”.

Hay varias formas en las que se pueden escribir definiciones matemáticas. Las siguientes son algunas (no es necesario que las entiendas completamente).

  • Un número entero es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual a sí mismo.
  • Un cuadrilátero es un cuadrado si las longitudes de sus cuatro lados son iguales y los cuatro ángulos en sus vértices son rectos.
  • Para dos conjuntos A y B definimos a su unión como el conjunto que consiste de los elementos que están en cualquiera de los dos conjuntos. Lo denotamos por A\cup B.
  • Un grupo es un conjunto con una operación binaria asociativa, con neutro y con inversos.
  • Una operación binaria es asociativa si (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)

Las definiciones son muy útiles pues ayudan a acortar el lenguaje e ir construyendo ideas más complejas e interesantes. Toma en cuenta lo siguiente con respecto a las definiciones.

  • Cuando se tienen enunciados del estilo “tomemos C un cuadrado”, o “sea G un grupo”, o incluso “consideremos A\cup B“, de manera instantánea ya se pueden tomar como verdaderas todas las propiedades dadas por la definición. Así, de manera inmediata es verdadero que los lados de C miden lo mismo y que A\cup B tiene tanto a los elementos de A como a los de B. También es verdadero que G tiene una operación asociativa. Y por la definición de “asociativa”, de manera inmediata es verdadero que (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c). Observa cómo se van haciendo deducciones sucesivas de hechos verdaderos.
  • Cuando se requiera verificar si un objeto satisface una definición, entonces hay que verificar que sean ciertas todas las propiedades enunciadas en la definición. Así, no basta ver que C tiene lados iguales para ver que es un cuadrado. También hay que ver que sus ángulos son todos ellos rectos.

Proposiciones

Las proposiciones son simplemente proposiciones matemáticas en el sentido de la entrada anterior. Son enunciados matemáticos que se puede determinar si son verdaderos o falsos. Usualmente, cuando se encuentran en un curso o en un texto, es porque ya se verificó su veracidad. En estos contextos, tras enunciar una proposición se suele dar una demostración, que es un concepto del que hablaremos a profundidad más adelante.

Una vez que tenemos axiomas y definiciones, es posible empezar a relacionar distintos conceptos mediante proposiciones. A continuación se tienen algunos ejemplos:

  • Si un cuadrilátero tiene todos sus ángulos rectos y tiene dos lados consecutivos iguales, entonces es un cuadrado.
  • La suma de dos números pares siempre da un número par.
  • Existe una función continua que no es diferenciable.
  • Siempre se cumple que (A\cup B)^c = A^c \cap B^c.
  • La suma de dos números que sean múltiplos de 3 nunca es un múltiplo de 3.
  • Todas las funciones diferenciables son continuas.

Todas las proposiciones arriba enunciadas son verdaderas, excepto una de ellas. Observa que usan palabras como “y”, “si… entonces…”, “todas”, etc. Varias de estas palabras tienen un significado matemático muy preciso que discutiremos más adelante. Después veremos cómo determinar la veracidad de algunas de estas proposiciones y qué tipo de argumentos hay que dar para demostrarlas.

Lemas

Un lema es prácticamente una proposición. Los lemas tienen este nombre más bien con un fin práctico. Lo que se está avisando es que hay que poner atención a esa proposición, pues probablemente sea utilizada como resultado auxiliar una o varias veces más adelante.

Como los lemas son proposiciones matemáticas, entonces pueden ser verdaderos o falsos. Por esta razón, para poder afirmar que un lema es verdadero, es necesario dar una demostración en donde se justifique o se deduzca desde elementos más básicos (como definiciones, axiomas o proposiciones) la validez del mismo.

Teoremas

Los teoremas también son básicamente proposiciones. Su nombre también cumple un fin práctico. Cuando se le pone el nombre de “teorema” a una proposición, es para dar a entender que es una proposición muy importante dentro de la teoría. Usualmente para llegar a un teorema se necesitan probar varios resultados auxiliares.

Hay algunos teoremas que se vuelven tan relevantes que adquieren nombre propio. Algunos ejemplos de teoremas son los siguientes (son ejemplos nada más, tampoco es fundamental que entiendas exactamente qué están diciendo):

  • Un espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a su espacio dual.
  • Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo de catetos con longitudes a y b e hipotenusa c se cumple que a^2+b^2=c^2.
  • Teorema de Hall: Si una familia de al menos n+1 convexos en \mathbb{R}^n se intersecta de n+1 en n+1 elementos, entonces toda la familia se intersecta.
  • Teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio no constante con coeficientes en \mathbb{C} tiene por lo menos una raíz en \mathbb{C}.

Los investigadores en matemáticas y áreas afines se dedican a encontrar este tipo de resultados relevantes. Una frase conocida de Alfréd Rényi es: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Corolarios

Un corolario, de nuevo, es prácticamente una proposición. Sin embargo, en el desarrollo de la teoría matemática los corolarios usualmente son resultados que se siguen fácilmente de resultados previos, sobre todo de teoremas. A continuación, algunos ejemplos.

  • Un corolario del teorema de Pitágoras es “La hipotenusa es más larga que cualquiera de los catetos”.
  • Un corolario de teorema fundamental del álgebra es “Un polinomio no constante de grado n tiene exactamente n raíces complejas contando multiplicidades”.
  • Un corolario del teorema de Hall es que si en una mesa hay manchas circulares del mismo radio, y cualesquiera tres de ellas se pueden cubrir con un plato, entonces todas las manchas se pueden cubrir usando sólo un plato.

Puedes pensar en los corolarios como la “cereza del pastel”.

Conjeturas

Las conjeturas también son proposiciones matemáticas: son enunciados que se puede determinar si son verdaderos o falsos. Sin embargo, a diferencia de los lemas, proposiciones, teoremas y corolarios (que se sabe que son verdaderos), lo que ocurre con las conjeturas es que todavía no hay nadie que haya determinado si son verdaderas o falsas.

Las conjeturas juegan un papel importante en la teoría de muchas áreas de las matemáticas, pues son resultados que se espera que sean verdaderos, pero para los cuales aún es necesario el desarrollo de nuevas técnicas en la investigación matemática.

Recapitulación

En resumen, los lemas, proposiciones, teoremas y corolarios son todos ellos proposiciones matemáticas. Pueden ser verdaderas o falsas. Los que encuentres en textos y cursos prácticamente serán verdaderos. Para asegurar que son verdaderos, requieren de una demostración, es decir, de una serie de argumentos y deducciones. Usualmente te los encontrarás en el siguiente “esquema”:

Lema -> Proposición -> Teorema -> Corolario

Los axiomas y definiciones no son proposiciones. Los axiomas son enunciados matemáticos que damos por hecho. Las definiciones nos ayudan a referirnos a objetos matemáticos con ciertas propiedades de manera más sencilla.

Las conjeturas son proposiciones matemáticas que todavía nadie sabe si son verdaderas o no. Los investigadores en matemáticas desarrollan nuevas técnicas para resolver estos problemas.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Busca en internet por lo menos otros tres teoremas.
  2. Investiga por lo menos otras tres conjeturas que todavía no hayan sido resueltas.
  3. Encuentra en internet una noticia de alguna conjetura matemática que haya sido resuelta recientemente.

Más adelante…

Ya platicamos del tipo de enunciados que existen en las matemáticas y dimos algunos ejemplos. En el transcurso del curso veremos muchos ejemplos más. Después de este paréntesis, es importante que retomemos la teoría de lógica para poder hablar de algo fundamental al momento de determinar la veracidad de proposiciones matemáticas: las demostraciones. Antes de llegar ahí, es importante hablar de conectores lógicos, de cuantificadores y de condicionales.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Introducción al curso y proposiciones matemáticas

Introducción

En este curso se desarrollarán varias de las habilidades matemáticas fundamentales a nivel superior. Trabajaremos en lo siguiente:

  • Conocer a detalle las reglas lógicas que usamos en matemáticas y cómo nos permiten demostrar resultados a partir de pequeños bloques.
  • Definir manera formal que son los conjuntos, las relaciones y las funciones y aprender a justificar mediante argumentos formales las propiedades que tienen.
  • Construir el conjunto de los números naturales y aprovecharlo para poner en práctica todo lo aprendido anteriormente.
  • Desarrollar habilidades fuertes para responder preguntas del estilo “¿De cuántas formas puede ocurrir…?” “¿Cuántos objetos matemáticos hay tales que…?”
  • Introducir los conceptos de espacio vectorial, vectores y matrices y ver cómo nos ayuda para entender a los sistemas de ecuaciones lineales.

La primer parte del curso es fundamental, pues en todas las demás asignaturas de matemáticas a nivel superior se usan argumentos formales una y otra vez. En esta primera parte comenzarás a entender qué es el “pensamiento matemático” y conocerás la estructura lema-proposición-teorema-corolario que es muy usada a través de diferentes áreas.

Falso y verdadero

Nuestra experiencia con la vida cotidiana nos da una intuición de qué significa que algo sea verdadero o falso. Entendemos por verdadero algo que es verificable o que coincide con la realidad, por ejemplo: “Marte es un planeta”.

Algo falso es lo contrario: una cosa que es posible verificar que no es cierta, o que no coincide con lo que experimentamos. Un ejemplo sería “El sol es de color azul”.

En el mundo real, a veces estos conceptos de veracidad pueden tener muchos matices. En el caso del pensamiento matemático esto no es así. Lo que se hace en matemáticas es acordar (o dar por hecho) que ciertos enunciados son verdaderos y, a partir de ellos ver cuáles muchos otros enunciados verdaderos y enunciados falsos se pueden obtener como conclusión.

De esta forma, entenderemos a verdadero y falso como propiedades que puede tener un enunciado. Daremos reglas que nos permiten combinar enunciados de diferentes formas para obtener un “enunciado compuesto” y deducir su veracidad. A la larga, lo que nos interesa es poder deducir que una afirmación es verdadera a partir de la veracidad de afirmaciones más chicas y simples. Es como armar un castillo con pequeños bloques.

Proposiciones

Entenderemos por una proposición a un enunciado que se puede decir si es verdadero o falso, pero no ambas a la vez. Algunos ejemplos de proposiciones de la vida real serían las siguientes:

  • “La tierra gira alrededor del sol”
  • “Los tacos más ricos son los del señor de los tacos de canasta”
  • “Un kilómetro es igual a 100 metros”
  • “La receta sale mejor si se le pone el doble de leche”

Observa que para que algo sea una proposición no es necesario que sea verdadero. Sólo basta con que se pueda decir si es verdadero o no. Así, “Un kilómetro es igual a 100 metros” es una proposición porque se puede decidir si es falsa o verdadera. Y es falsa. También observa que algunas proposiciones necesitan más contexto para poder decir si son verdaderas o falsas. Coinsidera la oración “La receta sale mejor si se le pone el doble de leche”. Por supuesto, tendríamos que saber de qué receta hablamos o qué quiere decir que “salga mejor”, para poder decidir si es verdadera o falsa.

Sin embargo, los siguientes enunciados no son proposiciones.

  • ¡Feliz cumpleaños!
  • Este enunciado es falso
  • ¿Es cierto que 7 es un número primo?

El primero no está afirmando la veracidad de nada, sólo expresa un sentimiento. El problema con el segundo enunciado es que si es verdadero, entonces es falso y viceversa. El tercero parecería sí ser algo que podemos decir si es verdadero o falso. Pero ten mucho cuidado. Compara los siguientes dos:

  • ¿Es cierto que 7 es un número primo?
  • El número 7 es primo.

El primer enunciado es una pregunta y no está afirmando nada, sólo está preguntando. El segundo sí está afirmando algo y podemos decir si es verdadero o falso. ¿Cómo le hacemos para saber si es verdadero o falso? En la vida cotidiana puede ser muy fácil de responder a partir de la experiencia. Pero en el contexto matemático será fundamental primero definir qué quiere decir “primo” e incluso definir qué quiere decir “7” para que podamos responder la pregunta.

El enunciado “El número 7 es primo” es un ejemplo de una proposición matemática, es decir, una proposición en la que se habla de objetos matemáticos y sus relaciones entre sí. Es posible que simplemente les llamemos “proposiciones”, pues será claro que estaremos en el contexto matemáticos. Otros ejemplos de proposiciones matemáticas son las siguientes:

  • El valor de la integral \int_0 ^1 x^2\, dx es \frac{1}{5}.
  • Existen 10 formas de elegir dos vocales distintas sin que se repitan y sin que nos importe el orden de elección.
  • Si x>0, entonces x+1\geq 2\sqrt{x}.

¿Puedes decir cuáles de estas proposiciones matemáticas son falsas y cuáles son verdaderas?

Proposiciones matemáticas en símbolos

En cursos de álgebra en la educación media superior nos enseñan la utilidad de introducir variables para referirnos a las cosas. Cuando ponemos x^2+x+1 estamos pensando en que x es un número que podría tomar cualquier valor del sistema que estemos usando (por ejemplo, los números reales). Los símbolos matemáticos son muy útiles pues nos ayudan a cubrir muchos casos de manera simultánea y a escribir de manera abreviada nuestros resultados.

Aplicaremos todas estas ideas para estudiar a las proposiciones matemáticas. A una proposición arbitraria le pondremos un nombre de letra, por ejemplo P, Q, R, p, q, r, etc. Así, podemos hacer cosas como decir lo siguiente:

  • P=”Todos los múltiplos de cuatro son números pares”
  • Para cualquier proposición P, tenemos que con P se puede deducir P.

Observa que en el primer caso se está tomando un valor de P específico, pero en el segundo estamos aprovechando la letra para hablar de algo así como “todas” las proposiciones de una manera práctica.

Proposiciones matemáticas en tablas de verdad

Una proposición tiene únicamente dos opciones: ser verdadera o ser falsa. Ahora estamos trabajando únicamente con una proposición, pero en general nos conviene tener una tabla en donde reflejemos todas las posibilidades que tenemos para las proposiciones que nos dan. Esto lo haremos mediante una tabla de verdad.

En una tabla de verdad tenemos dos tipos de columnas. Las que están a la izquierda, en donde consideramos todas las posibilidades para nuestras proposiciones y las que están a la derecha, en donde escribimos proposiciones compuestas que queremos saber si son falsas o verdaderas de acuerdo a cómo fueron las proposiciones iniciales. Para simplificar la presentación, en las tablas de verdad se usa 0 como falso y 1 como verdadero.

El siguiente es un ejemplo muy sencillo. Para una proposición P arbitraria tenemos dos opciones que sea falsa (0) o que sea verdadera (1). Esto lo ponemos en la primer columna, que está en gris. A la derecha ponemos P hasta arriba.

PP
0
1

Para llenar la tabla nos preguntamos, ¿qué podemos decir de P conociendo la información que tenemos de P? Por supuesto, la pregunta es muy simple: cuando P es falso, P es falso. Cuando P es verdadero, P es verdadero. Así, la forma de llenar la tabla de verdad sería la siguiente:

PP
00
11

Este fue un ejemplo muy sencillo. Lo que nos gustaría hacer en esta primera parte del curso es aprender a combinar más de una proposición para obtener proposiciones matemáticas más interesantes. Dentro de algunas entradas habrás conocido símbolos suficientes y adquirido habilidades para llenar tablas de verdad como la siguiente:

PQ\neg P\neg Q\neq P \land Q(\neg P \land Q \Rightarrow \neg Q)
00
01
10
11

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Piensa en 5 enunciados que sean proposiciones. Intenta ser variado con tus ejemplos.
  2. Piensa en 5 enunciados que no sean proposiciones.
  3. Escribe 5 proposiciones matemáticas.
  4. Piensa en 5 enunciados que son proposiciones, pero que es muy muy difícil decir si son ciertos o no. Por ejemplo “En el mundo hay una persona con 12548 cabellos”.
  5. Escribe 5 proposiciones matemáticas que te parezcan “obvias” o muy directas. Por ejemplo, “La suma 2+2 es igual a 4“. Identifica en ellas los términos que aparecen y pregúntate si realmente sabes cómo está definido ese término. Por ejemplo, ¿qué es 2? ¿qué es 4? ¿qué es el símbolo +?

Más adelante…

En la siguiente entrada platicaremos de los tipos de enunciados matemáticos que existen, y con los cuales te encontrarás muy frecuentemente en el transcurso de tu formación matemática. Hablaremos de axiomas, definiciones, lemas, proposiciones, teoremas, corolarios y otros. Platicaremos acerca de ellos de manera un poco informal y veremos en dónde entran en los conceptos que estamos platicando.

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Diez años en la Olimpiada Internacional de Matemáicas

Hoy comenzó mi participación en la décima Olimpiada Internacional de Matemáticas en la que participo. Diez ediciones. Diez años. Diez países. Miles de chicos que he visto dar lo mejor de sí con el fin de aprender más y más de la resolución de problemas matemáticos. La verdad es algo que nunca me hubiera imaginado, sobre todo porque nunca participé en la competencia como concursante.Todas estas participaciones han estado llenas de experiencias increíbles:

  • 2011 Países Bajos: Mi primer año en la IMO. Participé como colíder. Fue la primera vez que fui a Europa.
  • 2012 Argentina: Mi primer año como líder del equipo mexicano. Se obtuvo la segunda medalla de oro para México en la competencia.
  • 2013 Colombia: Mi segundo año como líder del equipo. Se obtuvo la puntuación más alta y el mejor lugar que hemos obtenido históricamente en la competencia. Por primera vez quedamos en Top 20.
  • 2014 Sudáfrica: Tercer año como líder del equipo. Por primera vez hubo cuatro estudiantes que obtuvieron de plata para arriba. Fue la primera vez que fui a África.
  • 2015 Tailandia: Cuarto y último año como líder del equipo. Cerré con oro esa participación como líder de equipo, pues se consiguió entrar al top 20 (por segunda vez en la historia) y se consiguió la tercera medalla de oro para México (la última desde entonces).
  • 2016 Hong Kong: Primera vez que asisto al evento como Observador A, para pasar la batuta de líder. Fui designado como Chair de la Olimpiada Matemática de la Cuenca del Pacífico (APMO), ya que a México se designó como país organizador de la misma.
  • 2017 Brazil: Una nueva y excelente experiencia, ahora como evaluador (coordinador) en el evento. Me acuerdo mucho que ese año varios me pidieron una foto porque me ubicaban de El Blog de Leo. Segundo año de Chair de la APMO.
  • 2018 Rumanía: Segundo año como evaluador. Tercer año como Chair de la APMO.
  • 2019 Gran Bretaña: Esta IMO fue muy emotiva, pues fue el evento 60 de la competencia. Hubo juegos mecánicos el día de la premiación. Tercera vez como evaluador. Último año como Chair de la APMO y orgulloso de dejar para el futuro el portal http://www.apmo-official.org/ para recopilar la información histórica de la competencia.
  • 2020 Online, organizada por Rusia: La de ahora. Por supuesto, con la particularidad de que ahora todo es a distancia. Pero igual ha estado siendo muy divertido como evaluador: hay un cierto sistema que hay que aprender a usar, los archivos siguen llegando en muchos idiomas y las discusiones matemáticas son bastante interesantes.

Le agradezco muchísimo a la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, que me impulsó a participar en estos primeros años. Y por supuesto, a los organizadores de muchas de las ediciones por la confianza que depositan en mi para ser evaluador.

Álgebra Lineal I: Problemas de bases y dimensión de espacios vectoriales

Introducción

En las entradas anteriores vimos cómo se puede definir la dimensión de un espacio vectorial. Para ello, necesitamos encontrar una base. En el caso finito, la dimensión del espacio es la cardinalidad de una base. Esto está bien definido pues todas las bases tienen la misma cardinalidad. A continuación solucionaremos algunos ejemplos para reforzar los temas vistos.

Recordatorio de truco para mostrar que algo es base

En varios de los problemas usamos el siguiente resultado. Ya lo enunciamos y demostramos previamente. Pero como es sumamente útil, lo volvemos a enunciar, en términos más prácticos.

Proposición. Sea V un espacio vectorial que ya sepamos que tiene dimensión finita n. Sea B=\{v_1,v_2,\dots, v_n\} un conjunto de n vectores de v. Entonces, cualquiera de las siguientes afirmaciones implica las otras dos:

  1. B es un conjunto linealmente independiente en V
  2. B es un conjunto generador para V.
  3. B es una base de V

Por supuesto, el tercer punto implica los otros dos por la definición de base. Lo que es realmente útil en situaciones teóricas y prácticas es que si ya sabemos que un espacio tiene dimensión n, y tenemos un conjunto de n vectores, entonces basta verificar que o bien (1) o bien (2). Con esto tendremos la otra afirmación gratuitamente.

Al usar este resultado, es muy importante verificar las hipótesis. Es decir, para usarlo se necesita:

  • Argumentar por qué la dimensión de un espacio vectorial es cierto entero n.
  • Argumentar que se está estudiando un conjunto con n vectores.
  • Demostrar ya sea (1) o (2).

Problemas resueltos

Problema. Muestra que las siguientes cuatro matrices A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} son una base del espacio vectorial M_2(\mathbb{R}).

Solución. Ya sabemos que M_2(\mathbb{R}) es un espacio vectorial de dimensión 4, pues una base está conformada por las matrices E_{11}, E_{12}, E_{21} y E_{22} de la base canónica. El conjunto que tenemos consiste de 4 matrices. Así, para mostrar que conforman una base, es suficiente con que mostremos que son un conjunto linealmente independiente.

Supongamos que existen reales a,b,c,d tales que

    \[aA+bB+cC+dD=O_2.\]

Haciendo las operaciones entrada por entrada en esta igualdad, obtenemos que esto sucede si y sólo si a,b,c,d son soluciones al sistema de ecuaciones

    \[\begin{cases}a+c&=0\\b-d&=0\\b+d&=0\\a-c&=0.\]

Podríamos encontrar todas las soluciones a este sistema usando reducción gaussiana. Sin embargo, afortunadamente para este sistema hay una forma más sencilla de proceder. Sumando la primera y cuarta igualdad, obtenemos 2a=0, de donde a=0 y entonces por la primer ecuación c=0. De manera simétrica, b=d=0. De esta forma, la única combinación lineal de A,B,C,D que da la matriz cero es la trivial. Concluimos que A,B,C,D son linealmente independientes, y por lo tanto son una base de M_2(\mathbb{R}).

\square

En el problema anterior resultó más práctico mostrar que las matrices eran linealmente independientes, pero también pudimos simplemente mostrar que generaban a M_2(\mathbb{R}). Por la proposición que enunciamos, cualquiera de los dos implica que en este contexto las matrices forman una base.

Veamos ahora un ejemplo en el que es más conveniente mostrar que el conjunto propuesto es generador.

Problema. Encuentra una base de \mathbb{R}_4[x] que tenga al polinomio

    \[p(x)=1+x+x^2+x^3+x^4.\]

Solución. Ya sabemos que \mathbb{R}_4[x] tiene dimensión 5, pues una base es el conjunto de polinomios \mathcal{B}=\{1,x,x^2,x^3,x^4\}.

Proponemos al conjunto

    \[\mathcal{B}'=\{1,x,x^2,x^3,p(x)\}\]

como solución al problema.

Como \mathcal{B}' es un conjunto con 5 elementos, basta con mostrar que es un conjunto que genera a \mathbb{R}_4[x]. Para ello, notemos que \mathcal{B}' puede generar al polinomio x^4 pues se obtiene mediante la combinación lineal

    \[x^4=p(x)-1-x-x^2-x^3.\]

De esta forma, \mathcal{B}' puede generar todo lo que puede generar \mathcal{B}. En símbolos:

    \[\mathbb{R}_4[x]\subseteq \text{span}(\mathcal{B})\subseteq \text{span}(\mathcal{B}') \subseteq \mathbb{R}_4[x].\]

Concluimos que \text{span}(\mathcal{B}') = \mathbb{R}_4[x]. Esto muestra que \mathcal{B}' es una base de \mathbb{R}_4[x] que tiene al polinomio p(x).

\square

Problema. Exactamente uno de los vectores u=(9,5,1) y v=(9,-5,1) puede ser escrito como combinación lineal de los vectores columna de la matriz

    \[A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.\]

Determina cuál de ellos es y exprésalo como una combinación lineal de los vectores columna de A.

Solución. Un vector b se puede escribir como combinación lineal de las columnas de una matriz A si y sólo si el sistema lineal de ecuaciones AX=b tiene solución. En efecto, si X=(x,y,z), recordemos que

    \[AX=xC_1+yC_2+zC_3,\]

en donde C_1, C_2 y C_3 son las columnas de la matriz A.

De esta forma, una forma de proceder es plantear los sistemas de ecuaciones AX=u y AX=v, y ver cuál de ellos tiene solución. Esto se puede hacer y dará la solución al problema.

Sin embargo, aprovecharemos este problema para introducir un truco más. Como queremos resolver ambos sistemas, podemos hacer reducción gaussiana en la matriz aumentada (A|u|v), en donde estamos agregando dos vectores columna nuevos. De la forma escalonada reducida podremos leer todo lo que queremos. La matriz que nos interesa es

    \begin{align*}\begin{pmatrix}3 & 0 & 3 & 9 & 9 \\ 2 & 1 & 1 & 5 & -5\\ 1 & 2 & -1 & 1 & 1\end{pmatrix}.\end{align*}

Usando la herramienta online de eMathHelp para calcular la forma escalonada reducida de esta matriz, obtenemos

    \begin{align*}(A_{red}|u'|v')=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\end{align*}

Estamos listos para hacer el análisis. Tomando la submatriz conformada por las primeras cuatro columnas (las correspondientes a A_{red} y u'), vemos que no queda pivote en la última columna. De este modo, sí hay una solución para AX=u.

Para obtener una solución, basta trabajar con esta submatriz y usar nuestros argumentos usuales de sistemas de ecuaciones lineales. La variable z es libre. Las variables x y y son pivote. Haciendo z=0 obtenemos x=3 y y=-1. Concluimos que

    \[\begin{pmatrix} 9 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + (-1) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.\]

Esto sería suficiente para terminar el problema, pues el enunciado garantiza que uno y sólo uno de los vectores es combinación lineal de las columnas.

Pero estudiemos el otro caso para ver qué sucede. Tomando la submatriz conformada por las columnas 1, 2, 3, 5 de (A_{red}|u'|v') (correspondientes a A_{red} y v'), vemos que sí hay un pivote en la última columna: el de la tercera fila. Entonces, no hay solución para AX=v.

\square

El problema anterior ayuda a fortalecer mucho nuestra intuición para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el sistema AX=b tiene solución si y sólo si el vector b es combinación lineal de los vectores columna de A. Cada solución al sistema corresponde a una de estas combinaciones lineales.

Problema. Para n un entero positivo y k un entero de 0 a n, definimos al polinomio P_k(x)=x^k(1-x)^{(n-k)}. Muestra que P_0(x),\ldots, P_n(x) es una base para el espacio \mathbb{R}_n[x].

Solución. Como \mathbb{R}_n[x] tiene dimensión n+1 y estamos considerando un conjunto de n+1 polinomios, entonces basta mostrar que este conjunto es linealmente independiente. Supongamos que hay una combinación lineal de ellos que es igual a cero, digamos

    \[\alpha_0 (1-x)^n + \alpha_1 x(1-x)^{n-1} + \ldots + \alpha_{n-1} x^{n-1} (1-x) + \alpha_n x^n=0.\]

Si evaluamos la expresión anterior en x=1, casi todos los sumandos se anulan, excepto el último. De aquí, obtenemos que \alpha_n 1^n=0, de donde \alpha_n=0. La expresión se convierte entonces en

    \[\alpha_0 (1-x)^n + \alpha_1 x(1-x)^{n-1} + \ldots + \alpha_{n-1} x^{n-1} (1-x)=0.\]

Factorizando 1-x de todos los sumandos y usando que el polinomio 1-x\neq 0, podemos “cancelar” al factor 1-x. En otras palabras, podemos “dividir” la combinación lineal entre 1-x para obtener

    \[\alpha_0 (1-x)^{n-1} + \alpha_1 x(1-x)^{n-2} + \ldots + \alpha_{n-1} x^{n-1}=0.\]

De aquí podemos seguir aplicando el mismo argumento: evaluamos en 1, concluimos que el último coeficiente es igual a 0, y entonces podemos dividir subsecuentemente entre 1-x. De esta forma, obtenemos \alpha_n=\alpha_{n-1}=\ldots=\alpha_0=0. Concluimos entonces que los polinomios propuestos son linealmente independientes, y por lo tanto forman una base de \mathbb{R}_n[x].

\square

El argumento del último párrafo se puede formalizar todavía más usando inducción sobre n. Piensa en lo complicado que hubiera sido mostrar de manera directa que los polinomios propuestos generan a \mathbb{R}_n[x]. Gracias a la proposición que discutimos al inicio, esto lo obtenemos de manera automática.

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