Demostración de a mentis del último teorema de Fermat

Afirmación

No hay soluciones para a^n+b^n=c^n con n> 2 y a, b, c en los enteros positivos.

Demostración

La afirmación anterior es simétrica en a, b y c. En efecto, al intercambiarlos tenemos enunciados que son lógicamente equivalentes. Por ejemplo:

No hay soluciones para b^n+c^n=a^n con n> 2 y b, c, a en los enteros positivos.

Así, por la simetría, podemos suponer que a\geq b\geq c. Usando que b> 0:

a^n+b^n \geq c^n +b^n > c^n

De esta forma, el lado izquierdo siempre es más grande y por lo tanto la afirmación es cierta.

QED

¿Qué está mal?

Fibonacci en Pascal: Dos pruebas

En esta entrada quiero dar dos demostraciones de un hecho sensacional: si se suman los números que están en las diagonales del triángulo de Pascal, entonces se van obteniendo los números de Fibonacci. Esto se ve más claro en la siguiente imagen. Cada diagonal es lo que está entre dos líneas rosas (¿moradas?). Arriba a la derecha están las sumas.

FiboPascal

Este dato curioso lo acabo de mandar a la página de FB Art of Mathematics. A quien maneja la página le gustó e hizo una imagen más bonita que puedes ver dando clic al nombre de la página.

Originalmente, me contaron de esta propiedad cuando tomaba entrenamientos de Olimpiada de Mate en el DF. La Prueba 1 de abajo fue la que se dio en el entrenamiento: usar inducción y la regla para formar el triángulo de Pascal. Sin embargo, el problema me gustó tanto que busqué una prueba alternativa. Esa es la Prueba 2 que pongo a continuación. Esa es mi favorita por que simplemente hay que contar algo de dos maneras distintas y el resultado sale inmediatamente.

La Prueba 2 forma parte de una colección más grande de pruebas de doble conteo que publiqué en Tzaloa (la revista de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas). Pueden ver la revista en línea en este enlace: Tzaloa 2011-3

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Algunos puntos sobre plagio y la tesis de moda

Habiendo escrito un par de tesis y revisado otra, con el trabajo que ello conlleva, creo poder decir un par de cosas acerca del tema de plagio que se discute actualmente. Sé que entre los varios defectos que tiene “el susodicho” este asunto parece “pequeño” en comparación. Pero síganme la corriente un rato, y si al terminar de leer están en desacuerdo con algún punto, me encantaría saberlo en los comentarios (aquí o en el Facebook) para ver otros puntos de vista.

 Sobre el acto en sí

1. La tesis, en la versión presentada, cumple prácticamente todas las definiciones actuales de plagio académico: hay (mucho) material que el autor no deja claro si es suyo o no.

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Solución alternativa al 6A de la IMO 2016

En esta entrada les contaré una solución sencilla a una de las partes del Problema 6 de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de este año. El problema dice lo siguiente:

Se tienen n\geq 2 segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersectan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará n-1 veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.

A) Demuestra que si n es impar, Mafalda siempre puede lograr su objetivo.
B) Demuestra que si n es par, Mafalda nunca logrará su objetivo

Es un lindo problema de geometría combinatoria y se puede jugar con él. El objetivo de esta entrada es dar una solución muy sencilla a la Parte A que fue propuesta durante las reuniones de jurado.  Para disfrutar un poco esta solución es recomendable intentarlo un rato antes de pasar a la siguiente sección. La solución de la Parte B y otras soluciones se pueden ver en www.imo-official.org (hay que buscarlas en el menú de Problemas).

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Solución alternativa al Problema 3 de la Centro 2016

El problema

En esta entrada veremos una solución al Problema 3 de la Centro 2016 distinta a la solución oficial. El problema dice lo siguiente:

El polinomio Q(x)=x^3-21x+35 tiene tres raíces reales diferentes p, q y r. Encuentra reales a y b para los cuales el polinomio P(x)=x^2+ax+b permuta cíclicamente (en algún orden) a  p, q y r.

Si quieres intentar el problema, este es el momento. A partir de la siguiente sección se comenzará a hablar de las soluciones.

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