Veintiocho

Hace poco un amigo en Israel me preguntó “en el fondo ¿qué se celebra cuando uno celebra su cumpleaños?”. Por supuesto, la fecha está asociada con la fecha de nacimiento, pero ¿cuál es el significado? Cada quien tiene derecho a tener su propia respuesta y celebrar por su propia razón. Hay quienes piensan que es una celebración anual del hecho de haber nacido, como las celebraciones de día de la independencia. Hay quienes, desde un punto de vista nihilista, opinan que celebrar un año más de vida es celebrar un año menos de vida. También se puede opinar que, como en año nuevo, es una celebración para recibir a un año que va llegando.

En realidad nunca me lo había preguntado yo mismo y creo que con el paso de los años he cambiado de opinión. Este año ha sido particulamente bueno, y me parece que hay una alternativa más: en el cumpleaños también se puede celebrar y agradecer todo lo que ocurrió en el año anterior.

Desde ese punto de vista, hace falta hacer una aclaración. Cumplir una edad específica quiere decir haber vivido esa cantidad de años. El ejemplo más fácil es cuando cumplimos un año: llevamos exactamente 12 meses en el mundo. De esta forma, al cumplir 28 años se puede pensar, si se quiere, que es momento de agradecer lo que pasó en el año 28 de vida.

Quizás mi mejor forma de expresar este agradecimiento es a través de las matemáticas. En teoría de números, el 28 es un número especial: es un número perfecto. Se conoce como “números perfectos” a aquellos que son iguales a la suma de sus divisores positivos propios.  El número 28 cumple esto pues sus divisores propios son 1, 2, 4, 7 y 14.

Quizás sea algo extremo decir que uno vivió un año perfecto. De hecho quizás hasta puede ser peligroso creer que nada puede mejorar. Pero para mi este año fue muy cercano a esto. Tras terminar el doctorado, el año comenzó con una vida propiamente profesional como investigador, a través de un postdoc. Esto me llevó a tierras lejanas, en donde he conocido una cultura y un lenguaje muy diferentes y muy interesantes. El año también trajo un gran reconocimiento de la trayectoria que he recorrido mediante un premio internacional. Y como cereza en el pastel, el proyecto de Olimpiadas Universitarias que impulsé finalmente llegó a una de las metas que tuve desde el inicio: que México llegara a la cima de la competencia.

Ahora, es cierto, este año extrañé a mi familia y amigos, y me encantaría poder estar más cercanos a ellos. Cerca de los proyectos en México. Pero con respecto a esto, estoy seguro de que esta es una etapa temporal, y de que las experiencias vividas serán fundamentales para mi vida cuando regrese.

Ahora comienza el año 29 de vida. El número 29 también tiene otras propiedades matematicas interesantes, por ejemplo, es un número primo.  Y otros números también lo son. Quizás una de las partes bonitas de mi profesión es poder encontrarle a los números algún significado más allá de una cadena de cifras. Una especie de zodiaco matemático que nos hace creer, sin justificación formal, que una particularidad abstracta se traducirá en una especie de amuleto.

Esperemos que los siguientes años sean interesantes, como cada uno de los números. Ya veremos qué nos trae el futuro.

Demostración de a mentis del último teorema de Fermat

Afirmación

No hay soluciones para a^n+b^n=c^n con n> 2 y a, b, c en los enteros positivos.

Demostración

La afirmación anterior es simétrica en a, b y c. En efecto, al intercambiarlos tenemos enunciados que son lógicamente equivalentes. Por ejemplo:

No hay soluciones para b^n+c^n=a^n con n> 2 y b, c, a en los enteros positivos.

Así, por la simetría, podemos suponer que a\geq b\geq c. Usando que b> 0:

a^n+b^n \geq c^n +b^n > c^n

De esta forma, el lado izquierdo siempre es más grande y por lo tanto la afirmación es cierta.

QED

¿Qué está mal?

Fibonacci en Pascal: Dos pruebas

En esta entrada quiero dar dos demostraciones de un hecho sensacional: si se suman los números que están en las diagonales del triángulo de Pascal, entonces se van obteniendo los números de Fibonacci. Esto se ve más claro en la siguiente imagen. Cada diagonal es lo que está entre dos líneas rosas (¿moradas?). Arriba a la derecha están las sumas.

FiboPascal

Este dato curioso lo acabo de mandar a la página de FB Art of Mathematics. A quien maneja la página le gustó e hizo una imagen más bonita que puedes ver dando clic al nombre de la página.

Originalmente, me contaron de esta propiedad cuando tomaba entrenamientos de Olimpiada de Mate en el DF. La Prueba 1 de abajo fue la que se dio en el entrenamiento: usar inducción y la regla para formar el triángulo de Pascal. Sin embargo, el problema me gustó tanto que busqué una prueba alternativa. Esa es la Prueba 2 que pongo a continuación. Esa es mi favorita por que simplemente hay que contar algo de dos maneras distintas y el resultado sale inmediatamente.

La Prueba 2 forma parte de una colección más grande de pruebas de doble conteo que publiqué en Tzaloa (la revista de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas). Pueden ver la revista en línea en este enlace: Tzaloa 2011-3

Sigue leyendo

Algunos puntos sobre plagio y la tesis de moda

Habiendo escrito un par de tesis y revisado otra, con el trabajo que ello conlleva, creo poder decir un par de cosas acerca del tema de plagio que se discute actualmente. Sé que entre los varios defectos que tiene “el susodicho” este asunto parece “pequeño” en comparación. Pero síganme la corriente un rato, y si al terminar de leer están en desacuerdo con algún punto, me encantaría saberlo en los comentarios (aquí o en el Facebook) para ver otros puntos de vista.

 Sobre el acto en sí

1. La tesis, en la versión presentada, cumple prácticamente todas las definiciones actuales de plagio académico: hay (mucho) material que el autor no deja claro si es suyo o no.

Sigue leyendo

Solución alternativa al 6A de la IMO 2016

En esta entrada les contaré una solución sencilla a una de las partes del Problema 6 de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de este año. El problema dice lo siguiente:

Se tienen n\geq 2 segmentos en el plano tales que cada par de segmentos se intersectan en un punto interior a ambos, y no hay tres segmentos que tengan un punto en común. Mafalda debe elegir uno de los extremos de cada segmento y colocar una rana mirando hacia el otro extremo. Luego silbará n-1 veces. En cada silbido, cada rana saltará inmediatamente hacia adelante hasta el siguiente punto de intersección sobre su segmento. Las ranas nunca cambian las direcciones de sus saltos. Mafalda quiere colocar las ranas de tal forma que nunca dos de ellas ocupen al mismo tiempo el mismo punto de intersección.

A) Demuestra que si n es impar, Mafalda siempre puede lograr su objetivo.
B) Demuestra que si n es par, Mafalda nunca logrará su objetivo

Es un lindo problema de geometría combinatoria y se puede jugar con él. El objetivo de esta entrada es dar una solución muy sencilla a la Parte A que fue propuesta durante las reuniones de jurado.  Para disfrutar un poco esta solución es recomendable intentarlo un rato antes de pasar a la siguiente sección. La solución de la Parte B y otras soluciones se pueden ver en www.imo-official.org (hay que buscarlas en el menú de Problemas).

Sigue leyendo