Introducción

Los espacios $L^p$ son posiblemente los espacios normados más importantes que surgen en la teoría de la medida e integración de Lebesgue. Estos generalizan la idea de funciones integrables, y nos permiten medir el «tamaño» de funciones de maneras más flexibles y potentes, además, tienen propiedades súmamente interesantes en el contexto del análisis funcional. En esta entrada definiremos el concepto de espacio $L^p$ y estudiaremos algunas de sus propiedades básicas.

Aprovechando las nociones introducidas anteriormente, definiremos los espacios $L^p$ con toda generalidad sobre espacios de medida abstracta. En lo que sigue, $(X,\mathcal{M},\mu)$ denotará un espacio de medida arbitrario. Si te es más fácil, puedes pensar a $(X,\mathcal{M},\mu)$ como el espacio modelo $(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\lambda)$.

Motivación

Si bien la integral es una forma natural de medir la «masa de una función», es fácil llegar a la conclusión de que no necesariamente es la única manera de hacerlo. Consideremos la función $f(x)=\frac{1}{x}$ definida en $[1,\infty)$. Por un lado, es fácil estimar: $$\int_1^\infty \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x=\lim_{N\to \infty} \int_{1}^{N}\frac{1}{x} \ \mathrm{d}x= \lim_{N\to \infty} \ln (N)=\infty.$$ Sin embargo, si en lugar de considerar solamente a la función, consideramos sus potencias, por ejemplo $2$, es fácil calcular $$\int_1^\infty \left( \frac{1}{x}\right)^2 \ \mathrm{d}x=1<\infty.$$ Es decir, aprovechando la «contracción» que nos ofrece la función $f(x)=x^2$ para $x<1$, podemos darle un sentido alternativo de «masa» a la función $\frac{1}{x}$, que nos arroja un valor mucho más manejable.

Ésta es precisamente la idea detrás de espacio $L^p$: considerar la integral de las potencias de funciones.

Además de ser una forma alternativa de medir la «masa de una función», ésta noción nos da ejemplos de espacios normados con una estructura muy interesante.

Espacios $L^p$

Por razones «algebraicas» que serán claras más adelante, la expresión $$ \left\lVert f \right\lVert_p = \left( \int_X|f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}}.$$

Exhibe propiedades que son «casi» las de una norma, salvo que $\left\lVert f \right\lVert_p=0$ $\iff$ $f=0$, pues en realidad tenemos: $$\left\lVert f \right\lVert_p=0 \iff \int_X|f|^p \ \mathrm{d}\mu =0 \iff |f|^p= 0 \ \ \mu-c.t.p. \iff f=0 \ \ \mu-c.t.p.$$

Por ésta razón, conviene considerar a dos funciones «iguales» si son iguales en casi todo punto. Más formalmente, dada una función medible $f$, podemos considerar $[f]$ la clase de equivalencia de funciones medibles que son iguales en $\mu$-c.t.p. a $f$, es decir $$g\in[f] \ \ \iff \ \ g=f \ \text{ en } \mu- \text{c.t.p.}$$ Cualquier propiedad definida en términos de la integral debe ser preservada dentro de dicha clase de equivalencia, debido a la insensibilidad de la integral ante cambios en conjuntos de medida nula. Por ello, a partir de ahora identificaremos $f$ con $[f]$; es decir, cada vez que hablemos de una función medible $f$, implícitamente nos referiremos a su clase de equivalencia $[f]$.

Definición. Sea $f:X\to[-\infty,\infty]$ una función $\mathcal{M}$-medible y sea $1\leq p<\infty$. Decimos que (la clase de equivalencia de) $f$ pertenece a $ L^p(X,\mathcal{M},\mu)$ si $$\int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu <\infty.$$
De manera abreviada usaremos la notación $f\in L^p(X)$ o simplemente $f\in L^p$ si el espacio de medida es claro del contexto. Para $\mathbb{R}^n$ (o cualquier subconjunto de este), $L^p(\mathbb{R}^n)$ denotará $L^p(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\lambda)$ con la medida de Lebesgue salvo que se especifique lo contrario.

Observación. La definición anterior tiene sentido. Anteriormente probamos que la función $|f|^p$ es medible y al ser no negativa tiene una integral bien definida. Además, esto es cierto para cualquier elemento de la clase de equivalencia $[f]$.

Ejemplo. $L^1$ preserva su significado como el espacio de las funciones integrables (salvo que ahora identificamos funciones iguales en c.t.p.).

$\triangle$

Proposición. La función $\left\lVert \cdot \right\lVert_p :L^p(X,\mathcal{M},\mu)\to [0,\infty)$ dada por:

$$\left\lVert f \right\lVert_p=\left(\int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}}.$$ Es una norma.

Demostración. De la definición de $\left\lVert \cdot \right\lVert_p$, es inmediato que:

• $0\leq \left\lVert f \right\lVert_p < \infty$.
• $\left\lVert cf \right\lVert_p=|c|\left\lVert f \right\lVert_p$ si $c\in \mathbb{R}$.
• $\left\lVert f \right\lVert_p=0$ $\iff$ $f=0$ (es decir $[f]=[0]$) como mencionamos anteriormente.

Probar la desigualdad del triángulo, que en este contexto recibe el nombre de la desigualdad de Minkowski, requiere un par de resultados intermedios que merecen ser enunciados por separado.

$\square$

Lema (desigualdad de Young). Sean $1< p,q<\infty$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Entonces para cualesquiera $a,b>0$: $$ab\leq \frac{a^p}{p}+\frac{a^q}{q}.$$

Demostración. La función $x\to e^x$ es convexa (su segunda derivada es $e^x>0$), de donde:

$$ab=e^{\ln a+\ln b}=e^{\frac{1}{p}\ln a^p+\frac{1}{q}\ln b^q}\leq \frac{1}{p}e^{\ln a^p}+\frac{1}{q}e^{\ln a^q}=\frac{a^p}{p}+\frac{a^q}{q}.$$

$\square$

Teorema (desigualdad de Hölder). Sean $1\leq p,q < \infty$ con $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Si $f\in L^p$ y $g\in L^q$, entonces $fg\in L^1$ y además: $$\int_X |fg| \ \mathrm{d}\mu \leq \left\lVert f \right\lVert_p\left\lVert g \right\lVert_q.$$

Demostración. La desigualdad es inmediata si $f=0$ ó $g=0$ así que supongamos que $f,g\neq 0$. Por la desigualdad de Young tenemos que: \begin{align*}
\int_X \left( \frac{|f|}{\left\lVert f \right\lVert_p} \right)\left( \frac{|g|}{\left\lVert g \right\lVert_q} \right) \ \mathrm{d}\mu &\leq \int_X
\frac{1}{p}\left( \frac{|f|}{\left\lVert f \right\lVert_p} \right)^p \ \mathrm{d}\mu+\int_X
\frac{1}{q}\left( \frac{|g|}{\left\lVert g \right\lVert_q} \right)^q \ \mathrm{d}\mu\\
&= \frac{\left\lVert f \right\lVert_p^p}{p\left\lVert f \right\lVert_p^p}+\frac{\left\lVert g \right\lVert_q^q}{q\left\lVert g \right\lVert_q^q} \\
&= \frac{1}{p}+\frac{1}{q} \\
&= 1.
\end{align*} $$\implies \int_X |fg| \ \mathrm{d}\mu \leq \left\lVert f \right\lVert_p\left\lVert g \right\lVert_q.$$

$\square$

Definición. Dado $1<p<\infty $, el conjugado de Hölder de p es el número $q$ tal que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ($q=\frac{p}{p-1}$). Para $p=1$ convenimos $q=\infty$ y para $p=\infty$ convenimos $q=1$. Más adelante se verá la razón de esta convención.

La desigualdad de Hölder es, por sí sola, un resultado muy importante. La utilizaremos en múltiples ocasiones más adelante. Para ilustrar su aplicación, veamos un ejemplo sencillo: la desigualdad de Hölder en el contexto de la medida de conteo.

Ejercicio. Sean $0\leq a_1,a_2,\dots ,a_n$ y $0\leq b_1,b_2,\dots ,b_n$ números no negativos. Sean $p,q\in (1,\infty)$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Demuestra que:
$$\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\leq\left( \sum_{k=1}^{n}a^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left( \sum_{k=1}^{n}b^q\right)^{\frac{1}{q}}.$$

Solución. Sea $X=\{1,2,\dots,n \}$ con la medida de conteo $\mu$. Consideremos las funciones $f,g:X\to [0,\infty]$ dadas por $f(j)=a_j$ y $g(j)=b_j$ para $j=1,2,\dots, n$. Notemos que: $$\left\lVert f \right\lVert_p=\left( \int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{p} = \left( \sum_{k=1}^{n}|f(k)|^p\right)^{\frac{1}{p}}=\left( \sum_{k=1}^{n}a_k^p\right)^{\frac{1}{p}}<\infty.$$ Y similarmente $$\left\lVert g \right\lVert_q=\left( \int_X |g|^q \ \mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{q} = \left( \sum_{k=1}^{n}|g(k)|^q\right)^{\frac{1}{q}}=\left( \sum_{k=1}^{n}b_k^q\right)^{\frac{1}{q}}<\infty.$$ Además $$\int_X |fg|\ \mathrm{d}\mu=\sum_{k=1}^{n}|f(k)g(k)|=\sum_{k=1}^{n}a_kb_k.$$ Se sigue entonces de la desigualdad de Hölder que $$\sum_{k=1}^{n}a_kb_k=\int_X |fg|\ \mathrm{d}\mu\leq \left\lVert f \right\lVert_p\left\lVert g \right\lVert_q=\left( \sum_{k=1}^{n}a_k^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot \left( \sum_{k=1}^{n}b_k^q\right)^{\frac{1}{q}}$$
Como queríamos probar.

$\triangle$

Teorema (Desigualdad de Minkowski). Sean $f,g\in L^p$ con $1\leq p<\infty$. Entonces $f+g\in L^p$ y $$\left\lVert f +g\right\lVert_p\leq \left\lVert f \right\lVert_p+\left\lVert g \right\lVert_p$$

Demostración. Para $p=1$, esto es una consecuencia de la desigualdad del triángulo convencional. Así que supongamos $p\neq 1$.

Primero notemos que $|f+g|,|f|+|g|\in L^p$ pues: $$|f+g|^p\leq (|f|+|g|)^p\leq (2\max{ |f|,|g|})^p\leq 2^p(\max{ |f|,|g|})^p\leq 2^p (|f|^p+|g|^p).$$

Más aún, como $|f+g|\in L^p$, entonces $|f+g|^{p-1}\in L^q$ donde $q=\frac{p}{p-1}$ es el conjugado de Hölder de $p$ pues: $$\int_X (|f+q|^{p-1})^q \ \mathrm{d}\mu = \int_X |f+q|^p \ \mathrm{d}\mu<\infty.$$
Se sigue entonces:

\begin{align*}
\left\lVert f+g \right\lVert_p^p &= \int_X |f+g|^p \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \int_X |f+g|^{p-1}(|f|+|g|) \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int_X |f+g|^{p-1}|f| \ \mathrm{d}\mu+ \int_X |f+g|^{p-1}|g| \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left( \int_X |f+g|^{p} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{p-1}{p}}\left\lVert f \right\lVert_p+\leq \left( \int_X |f+g|^{p} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{p-1}{p}}\left\lVert g \right\lVert_p \\
&= \left\lVert f+g \right\lVert_p^{p-1}(\left\lVert f \right\lVert_p+\left\lVert g \right\lVert_p)
\end{align*}

De donde

$$\implies \left\lVert f+g \right\lVert_p\leq \left\lVert f \right\lVert_p+\left\lVert g \right\lVert_p.$$

$\square$

Más adelante…

Veremos otra propiedad anlítica fundamental de los espacios $L^p$: son espacios de Banach.

Tarea moral

• Sean $f,g$ funciones $\mathcal{M}$-medibles sobre $X$. Prueba que si $|f|\leq |g|$ en $\mu$-c.t.p. y $g\in L^p(X)$, entonces $f\in L^p(X)$ y además $\left\lVert f \right\lVert_p\leq \left\lVert g \right\lVert_p$.
• Sea $f(x)=x^\alpha$. Determina para qué exponentes $\alpha\in \mathbb{R}$ se cumple:
  • $f\in L^p(0,1)$.
  • $f\in L^p(1,\infty)$.
• Verifica que la desigualdad de Hölder es válida aún cuando $\int |f|^p \ \mathrm{d}\mu$ ó $\int |g|^q \ \mathrm{d}\mu$ son infinitas.
• (generalizaciones de la desigualdad de Hölder).
  • Sean $p,q,r\in [1,\infty)$ tales que $\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$. Prueba que $$\left\lVert fg \right\lVert_r\leq \left\lVert f \right\lVert_p\left\lVert g \right\lVert_q.$$ [SUGERENCIA: Aplica la desigualdad de Hölder con los exponentes adecuados].
  • Sean $1<p_1,p_2,\dots p_n<\infty$ tales que $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p_k}$. Prueba que $$\left\lVert f_1 f_2 \dots f_n \right\lVert_1\leq \left\lVert f_1 \right\lVert_{p_1} \left\lVert f_2 \right\lVert_{p_2} \dots \left\lVert f_n \right\lVert_{p_n}.$$
• Demuestra que $$<f,g>:=\int fg \ \mathrm{d}\mu.$$ Es un producto interior sobre $L^2(X)$. Demuestra que la norma inducida por este producto coincide con $\left\lVert \cdot \right\lVert_2$.
• Analiza la prueba de la desigualdad de Hölder y deduce que la igualdad se alcanza si y sólo si $f$ y $g$ son proporcionales en casi todo punto, esto es, que existen constantes $A,B\geq 0$ (no ambas cero) tales que $A|f|^p=B|g|^q$ en $\mu$-c.t.p. [SUGERENCIA: Por convexidad estricta, la igualdad se alcanza en la desigualdad de Young si y sólo si $a^p=b^q$].
• Prueba que la igualdad se alcanza en la desigualdad de Minkowski si y sólo si existe $\lambda\geq 0$ tal que $f=\lambda g$ en $\mu$-c.t.p.