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Cálculo Diferencial e Integral II: Método de sustitución o cambio de variable

Introducción

En las unidades anteriores, se dieron las bases para la integración de funciones, así como, la integración de funciones con rigurosidad matemática. En esta unidad se estudiaran varias técnicas de integración para determinar integrales sin demasiada rigurosidad matemática y aunque no se estudiaran todas las técnicas de integración se verán las más relevantes.

Método de sustitución o cambio de variable

La integración por sustitución o cambio de variable, que como bien se menciona, es una técnica de integración que necesita uno o más cambios de variables adecuados en el integrando, de tal forma que la integral sea más sencilla de resolver. Comenzamos enunciando el teorema siguiente, la integración por sustitución.

Teorema: Método de sustitución

Sea $g$ una función derivable y con derivada continua, sea $f$ una función continua en un intervalo. Supón además que $F$ es una antiderivada de $f$ entonces:

$$\int_{a}^{b}f(g(x)) \cdot g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du= F(g(x)){\bigg|}_{ a }^{ b } $$

Demostración:

Por hipótesis, $F$ es primitiva de $f$, entonces por el segundo teorema fundamental del Cálculo [ Hipervinculo: Calculo II-Segundo Calculo fundamental del calculo] tenemos que:

$$\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du = F(g(b))-F(g(a)) \tag{1}$$

Por otro lado, dado que $f$ es continua, entonces tiene una antiderivada $F$, la función compuesta $f\circ g$ está definida, ya que $g$ es una función, como $g$ es diferenciable, tenemos que, por la regla de la cadena y la definición de antiderivada obtenemos que:

$$\frac { d }{ dx } (F(g(x))=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x) \tag{2}$$

Integramos de $a$ hasta $b$, nos fijamos en el lado derecho e izquierdo de la ecuación $(2)$ como sigue:

$$\int_{a}^{b} \frac { d }{ dx } (F(g(x))dx=\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g'(x) dx $$

Utilizamos nuevamente el teorema fundamental del Cálculo, obteniendo lo siguiente:

$$\int _{ a }^{ b }{ f(g(x)) \cdot g'(x)dx=F(g(b))-F(g(a)) } \tag{3}$$

Observamos las ecuaciones $(1)$ y $(3)$, vemos que se obtuvo la igualdad deseada, por lo que:

$$\int _{ a }^{ b }{ f(g(x)) \cdot g'(x)=F(g(b))-F(g(a)) } = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$$

$\square$

Puede quedar no muy claro el cómo utilizar este teorema, por lo que a continuación se ejemplificara con varios ejercicios el método de sustitución.

Ejemplos:

  • $\int { { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ 2 }(2x)dx }$

Se hace un cambio de variable para resolver esta integral, cabe destacar que el símbolo para el cambio de variable puede ser cualquiera que guste, por ejemplo cualquier letra del alfabeto o incluso una carita feliz, en la literatura es común utilizar los símbolos de $u$ y $v$ para tales cambios de variable.

Para resolver esta integral, proponemos a $u = {x}^{2}+1$, por lo que, al derivar, se obtiene: $du = 2x dx$, así, al sustituir estas variables, el integrando queda de la siguiente forma:

$$\int u^{2}du$$

Vemos que al hacer el cambio de variable la integral es más sencilla, ya que sabemos que en general cualquier polinomio de grado $n$ se integra como:

$$\int { { x }^{ n }dx } =\frac { { x }^{ n+1 } }{ n } +C$$

Donde $C$ es la constante de integración, siguiendo con el ejercicio:

$$\int { { u }^{ 2 }du= \frac { { u }^{ 3 } }{ 3 } +C } $$

Volviendo a la variable original $x$, la resolución de la integral es:

$$\int { { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ 2 }(2x)dx } = \frac { { ({ x }^{ 2 }+1) }^{ 3 } }{ 3 } +C $$

Obsérvese que este integral se puede resolver también multiplicando los factores y utilizar la linealidad de la integral, pero esto es un poco más laborioso. Así vemos que este método nos ayuda a resolver integrales fácilmente.

  • $\int { \frac { 2x-9 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-9x+1 } } } dx$

A simple vista esta integral puede ser complicada y necesitar de otros métodos, pero veamos que no es necesario.

Proponemos como cambio de variable: $u={ x }^{ 2 }-9x+1$, la derivada es: $du=(2x-9)dx$, por lo que la integral se reescribe como:

$$\int { \frac { du }{ \sqrt { u } } }=\int { { u }^{ -1/2 }du }$$

Esta integral se resuelve como:

$$\int { { u }^{ -1/2 }du }=\frac { { u }^{ -1/2+1 } }{ -\frac{1}{2}+1 } +C={ 2u }^{ 1/2 }+C$$

Volviendo a la variable original, el resultado es:

$$\int { \frac { 2x-9 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-9x+1 } } } dx=2\sqrt { { x }^{ 2 }-9x+1 } +C$$

  • $\int { \frac { x+1 }{ { x }^{ 2 }+2x } dx }$

Proponemos como cambio de variable: $u={x}^{2}+2x \Rightarrow du=(2x+2)dx=2(x+1)dx$

Vemos en el integrando que solo está el término $x+1$, por lo que en la relación de la diferencia de $u$, al ser una igualdad, pasamos el $2$ dividiendo como sigue:

$$\Rightarrow \frac { du }{ 2 } =\left(x+1 \right) dx$$

Por lo que reescribimos la integral y la resolvemos:

$$\int \frac { 1 }{ u } \frac{du}{2}=\frac { 1 }{ 2 } ln\left| u \right| +C$$

Volviendo a la variable original, se obtiene que la resolución de la integral es:

$$\int { \frac { x+1 }{ { x }^{ 2 }+2x } dx }=\frac { 1 }{ 2 } ln\left| { x }^{ 2 }+2x \right| +C $$

  • $\int _{ 1 }^{ 3 }{ \frac { { e }^{ 3/x } }{ { x }^{ 2 } } dx }$

Vemos en este caso que tenemos una integral definida. Proponemos como cambio de variable: $$u=\frac { 3 }{ x } \Rightarrow du=-3{ x }^{ -2 }dx$$

Al hacer un cambio de variable en las integrales con límites de integración, se tiene que cambiar los límites de integración como sigue: Si $x=1 \Rightarrow u=3$, si $x=3 \Rightarrow u=1$, así la integral se reescribe como:

$$\int _{ 3 }^{ 1 }{\left ( -\frac { 1 }{ 3 }\right ) { e }^{ u }du }$$

Resolviendo esta integral, sabemos que al cambiar los límites de integración se cambia el signo de la integral [ Hipervinculo: Calculo II-Tema que contiene el cambio de signo al cambiar los límites de integración], entonces tenemos que:

$$\int _{ 1 }^{ 3 }{ \frac { 1 }{ 3 } { e }^{ u }du}={ \left[ \frac { 1 }{ 3 } { e }^{ u }du \right] }{\bigg|}_{ 1 }^{ 3 }=\frac { 1 }{ 3 } \left( { e }^{ 3 }-{ e } \right)$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Resuelve las siguientes integrales utilizando el método de sustitución:

  1. $$\int \sqrt { 2x+1 }dx$$
  2. $$\int 3{ x }^{ 2 }\sqrt { { x }^{ 3 }-2 } dx$$
  3. $$\int \frac { { x }^{ 2 }+x+1 }{ { x }^{ 2 }+1 } dx $$ Hint: Hacer la división de polinomios.
  4. $$\int _{ -2 }^{ 3 } x \cos { {( x }^{ 2 }+3)}dx$$
  5. $$\int _{ 0 }^{ \pi /4 } \sqrt { 1+\cos { 4x }} dx$$ Hint: Utilizar la identidad ${ cos }^{ 2 }\theta =\frac { 1+\cos { 2\theta } }{ 2 }$ y utilizar un cambio de variable.

Más adelante…

Como se mencionó anteriormente, esta técnica de integración facilita resolver algunas integrales utilizando uno o más cambios de variables apropiados para poder resolver la integral como se vio en esta sección, pero en otros casos no se pueden resolver integrales solo utilizando el cambio de variable, en la siguiente sección veremos otro método de integración llamado integración por partes.

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Ecuaciones Diferenciales I: Método de reducción de orden

La única forma de aprender matemáticas es hacer matemáticas.
– Paul Halmos

Introducción

Hemos comenzado estudiando algunas de las propiedades de las soluciones a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas de orden superior. Como mencionamos en la entrada anterior, es momento de comenzar a desarrollar los distintos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de orden superior, sin embargo, debido a la complejidad que surge de aumentar el orden, en esta entrada sólo consideraremos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

En esta entrada desarrollaremos el método de reducción de orden, como su nombre lo indica, lo que haremos básicamente es hacer un cambio de variable o una sustitución adecuada que permita que la ecuación de segundo orden pase a ser una ecuación de primer orden y de esta manera aplicar alguno de los métodos vistos en la unidad anterior para resolver la ecuación.

Hay dos distintas formas de reducir una ecuación de segundo orden, la primera de ellas consiste en hacer el cambio de variable

$$z = \dfrac{dy}{dx}$$

Esta forma se aplica en ecuaciones tanto lineales como no lineales, pero deben satisfacer algunas condiciones, mientras que, por otro lado, la segunda forma se aplica sólo a ecuaciones lineales homogéneas en las que tenemos conocimiento previo de una solución no trivial. En este segundo caso, considerando que conocemos una solución $y_{1}(x)$, haremos la sustitución

$$y_{2}(x) = u(x) y_{1}(x)$$

para reducir de orden a la ecuación y al resolverla obtendremos la función $u(x)$ y, por tanto, la segunda solución $y_{2}(x)$, tal que $\{ y_{1}, y_{2} \}$ forme un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial y de esta manera podamos establecer la solución general.

Comencemos por desarrollar la primer forma bajo un cambio de variable.

Ecuaciones reducibles a ecuaciones de primer orden

Hay cierto tipo de ecuaciones de segundo orden que pueden reducirse a una ecuación de primer orden y ser resueltas por los métodos que ya conocemos, vistos en la unidad anterior. Un primer tipo de ecuación son las ecuaciones lineales en las que la variable dependiente $y$ no aparece explícitamente.

Sabemos que una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden tiene la siguiente forma.

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \label{1} \tag{1}$$

Si la variable dependiente $y$ no se encuentra explícitamente en la ecuación, obtenemos la siguiente forma.

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} = g(x) \label{2} \tag{2}$$

Es quizá natural pensar que una forma de resolver la ecuación (\ref{2}) es integrarla dos veces, es esto lo que haremos considerando el siguiente cambio de variable.

$$z = \dfrac{dy}{dx}; \hspace{1cm} \dfrac{dz}{dx} = \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} \label{3} \tag{3}$$

Sea $a_{2}(x) \neq 0$, definimos las siguientes funciones.

$$P(x) = \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x) = \dfrac{g(x)}{a_{2}(x)}$$

Si sustituimos estas funciones y el cambio de variable (\ref{3}) en la ecuación (\ref{2}) lograremos reducirla a una ecuación lineal de primer orden con $z$ la variable dependiente.

$$\dfrac{dz}{dx} + P(x) z = Q(x) \label{4} \tag{4}$$

En la unidad anterior desarrollamos distintos métodos para resolver este tipo de ecuaciones. Una vez que resolvamos la ecuación (\ref{4}) y regresemos a la variable original veremos que dicho resultado nuevamente corresponde a una ecuación de primer orden que podrá ser resuelta una vez más con los métodos vistos anteriormente. Realicemos un ejemplo.

Ejemplo: Reducir de orden a la ecuación diferencial lineal de segundo orden

$$x \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{dy}{dx} = x$$

para $x > 0$ y obtener su solución.

Solución: Dividamos toda la ecuación por $x \neq 0$.

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{1}{x} \dfrac{dy}{dx} = 1$$

Hacemos el cambio de variable (\ref{3}) para obtener la forma (\ref{4}).

$$\dfrac{dz}{dx} -\dfrac{1}{x}z = 1 \label{5} \tag{5}$$

Ya no deberíamos tener problema con resolver esta ecuación. Apliquemos el método para resolver ecuaciones lineales. De la ecuación reducida (\ref{5}) notamos que

$$P(x) = -\dfrac{1}{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x) = 1$$

El factor integrante, es este caso, es

$$\mu(x) = e^{\int {P(x)} dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln(x)} = \dfrac{1}{x}$$

Esto es,

$$\mu(x) = \dfrac{1}{x}$$

Multipliquemos la ecuación (\ref{5}) por el factor integrante,

$$\dfrac{1}{x} \dfrac{dz}{dx} -\dfrac{z}{x^{2}} = \dfrac{1}{x}$$

e identificamos que

$$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{z}{x} \right) = \dfrac{1}{x} \dfrac{dz}{dx} -\dfrac{z}{x^{2}}$$

De ambas ecuaciones se tiene

$$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{z}{x} \right) = \dfrac{1}{x}$$

Ahora podemos integrar ambos lados de la ecuación con respecto a $x > 0$.

\begin{align*}
\int \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{z}{x} \right) dx &= \int \dfrac{1}{x} dx \\
\dfrac{z}{x} &= \ln (x) + c_{1} \\
z(x) &= x \ln (x) + xc_{1}
\end{align*}

Hemos resuelto la ecuación para la variable $z$, regresemos a la variable original para resolver la nueva ecuación de primer orden.

$$\dfrac{dy}{dx} = x \ln(x) + xc_{1} \label{6} \tag{6}$$

Esta ecuación puede ser resuelta por separación de variables en su versión simple de integración directa (la ecuación ya esta separada), integremos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$,

\begin{align*}
\int \dfrac{dy}{dx} dx &= \int x \ln(x) dx + \int xc_{1} dx \\
y(x) &= \int x \ln(x) dx + c_{1} \dfrac{x^{2}}{2}
\end{align*}

Para resolver la integral que nos falta apliquemos integración por partes, hagamos

$$u(x) = \ln(x) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{dv}{dx} = x$$

Así mismo,

$$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} v(x) = \dfrac{x^{2}}{2}$$

Entonces,

\begin{align*}
\int{x \ln(x) dx} &= \dfrac{x^{2}}{2} \ln(x) -\int{\dfrac{x}{2} dx} \\
&= \dfrac{x^{2}}{2} \ln(x) -\dfrac{x^{2}}{4} + c_{2}
\end{align*}

Sustituimos en la función $y(x)$.

$$y(x) = \dfrac{x^{2}}{2} \ln(x) -\dfrac{x^{2}}{4} + c_{1} \dfrac{x^{2}}{2} + c_{2}$$

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial

$$x \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{dy}{dx} = x$$

es

$$y(x) = \dfrac{x^{2}}{2} \left( \ln(x) -\dfrac{1}{2} \right) + c_{1} \dfrac{x^{2}}{2} + c_{2} \label{7} \tag{7}$$

De tarea moral verifica que es la solución general ya que el conjunto

$$S = \left\{ y_{1}(x) = \dfrac{x^{2}}{2}, y_{2}(x) = 1 \right\}$$

es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada y

$$y_{p}(x) = \dfrac{x^{2}}{2} \left( \ln(x) -\dfrac{1}{2} \right)$$

es una solución particular de la ecuación no homogénea.

$\square$

Reducción de orden en ecuaciones no lineales

Es posible aplicar un método similar en ecuaciones de segundo orden que pueden ser tanto lineales como no son lineales, en este caso, a diferencia del caso anterior, la variable dependiente $y$ puede aparecer en la ecuación, sin embargo es necesario que la variable independiente $x$ sea la que no aparezca explícitamente. Este tipo de ecuaciones también pueden reducirse a una ecuación de primer orden, pero tomando el siguiente cambio de variable.

$$\dfrac{dy}{dx} = z; \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = z \dfrac{dz}{dy} \label{8} \tag{8}$$

Donde la segunda expresión se deduce de aplicar la regla de la cadena

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \dfrac{dz}{dx} = \dfrac{dz}{dy} \dfrac{dy}{dx} = z \dfrac{dz}{dy}$$

Realicemos un ejemplo con una ecuación no lineal.

Ejemplo: Reducir de orden a la ecuación diferencial no lineal de segundo orden

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2y \left( \dfrac{dy}{dx}\right)^{3} = 0$$

y obtener su solución.

Solución: Es importante notar que es no lineal debido a que la primer derivada es de tercer grado y además esta multiplicada por la función $y$, lo cual no debe ocurrir en el caso lineal.

La ecuación a resolver es

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2y \left( \dfrac{dy}{dx}\right)^{3} = 0$$

Hacemos el cambio de variable (\ref{8}) y separamos variables.

\begin{align*}
z \dfrac{dz}{dy} -2yz^{3} &= 0 \\
\dfrac{dz}{dy} &= 2yz^{2} \\
\dfrac{1}{z^{2}} \dfrac{dz}{dy} &= 2y
\end{align*}

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $y$.

\begin{align*}
\int{\dfrac{1}{z^{2}} \dfrac{dz}{dy} dy} &= \int{2y dy} \\
\int{\dfrac{dz}{z^{2}}} &= 2 \int{y dy} \\
-\dfrac{1}{z} &= y^{2} + c_{1} \\
z &= -\dfrac{1}{y^{2} + c_{1}}
\end{align*}

Regresamos a la variable original y separamos de nuevo las variables.

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} &= -\dfrac{1}{y^{2} + c_{1}} \\
(y^{2} + c_{1}) \dfrac{dy}{dx} &= -1
\end{align*}

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$.

\begin{align*}
\int{(y^{2} + c_{1}) \dfrac{dy}{dx} dx} &= -\int{dx} \\
\int{y^{2} dy} + \int{c_{1} dy} &= -\int{dx} \\
\dfrac{y^{3}}{3} + c_{1}y &= -x + c_{2}
\end{align*}

Por lo tanto, la solución implícita de la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2y \left( \dfrac{dy}{dx}\right)^{3} = 0$$

es

$$\dfrac{y^{3}}{3} + c_{1}y = c_{2} -x$$

$\square$

Realicemos un ejemplo más con una ecuación lineal.

Ejemplo: Encontrar la solución general de la ecuación diferencial

$$4 \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{dy}{dx} = 0$$

Solución: Como la ecuación no contiene explícitamente a la función $y$ ni a la variable independiente $x$, entonces podemos aplicar cualquier cambio de variable, ya sea (\ref{3}) u (\ref{8}). Vamos a resolverla aplicando ambos casos.

Primero consideremos el cambio de variable (\ref{8}).

\begin{align*}
4z \dfrac{dz}{dy} + z &= 0 \\
4 \dfrac{dz}{dy} &= -1 \\
\dfrac{dz}{dy} &= -\dfrac{1}{4}
\end{align*}

Integremos ambos lados de la ecuación con respecto a $y$.

\begin{align*}
\int{\dfrac{dz}{dy} dy} &= -\int{\dfrac{1}{4} dy} \\
\int{dz} &= -\dfrac{1}{4} \int{dy} \\
z &= -\dfrac{1}{4} y + c_{1}
\end{align*}

Regresemos a la variable original.

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} &= -\dfrac{1}{4} y + c_{1} \\
\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{y}{4} &= c_{1}
\end{align*}

Resolvamos esta ecuación por factor integrante.

$$\mu(x) = e^{\int {P(x)} dx} = e^{\int \frac{1}{4} dx} = e^{x/4}$$

Esto es,

$$\mu(x) = e^{x/4}$$

Multipliquemos ambos lados de la ecuación por el factor integrante.

\begin{align*}
e^{x/4} \dfrac{dy}{dx} + e^{x/4} \dfrac{y}{4} &= e^{x/4} c_{1} \\
\dfrac{d}{dx}\left( y e^{x/4} \right) &= c_{1} e^{x/4}
\end{align*}

Integramos ambos lados con respecto a $x$.

\begin{align*}
\int{\dfrac{d}{dx}\left( y e^{x/4} \right) dx} &= \int{c_{1} e^{x/4} dx} \\
y e^{x/4} &= c_{1} \int{e^{x/4} dx} \\
y e^{x/4} &= c_{1} 4 e^{x/4} + c_{2} \\
y(x) &= c_{2} e^{-x/4} + 4c_{1}
\end{align*}

Renombrando a las constantes concluimos que la solución general de la ecuación diferencial

$$4 \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{dy}{dx} = 0$$

es

$$y(x) = k_{1} e^{-x/4} + k_{2}$$

Resolvamos de nuevo la ecuación, pero ahora aplicando el cambio de variable (\ref{3}),

\begin{align*}
4 \dfrac{dz}{dx} + z &= 0 \\
\dfrac{1}{z} \dfrac{dz}{dx} &= -\dfrac{1}{4}
\end{align*}

Integremos ambos lados con respecto a $x$.

\begin{align*}
\int{\dfrac{1}{z} \dfrac{dz}{dx} dx} &= -\int{\dfrac{1}{4} dx} \\
\int{\dfrac{dz}{z}} &= -\dfrac{1}{4}\int{dx} \\
\ln|z| &= -\dfrac{x}{4} + c_{1} \\
z &= c_{2}e^{-x/4}
\end{align*}

Con $c_{2} = e^{c_{1}}$. Regresemos a la variable original.

$$\dfrac{dy}{dx} = c_{2}e^{-x/4}$$

Integremos ambos lados con respecto a $x$.

\begin{align*}
\int{\dfrac{dy}{dx} dx} = \int{c_{2} e^{-x/4} dx} \\
\int{dy} = c_{2} \int{e^{-x/4} dx} \\
y = -c_{2}4 e^{-x/4} + c_{3}
\end{align*}

Si renombramos las constantes obtenemos nuevamente que

$$y(x) = k_{1} e^{-x/4} + k_{2}$$

$\square$

Es posible reducir una ecuación diferencial de segundo orden a una de primer orden si previamente conocemos una solución de la ecuación. Usualmente este método es mayor recurrido que el anterior y también recibe el nombre de método de reducción de orden.

Reducción de orden conocida una solución

Es posible reducir una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = 0 \label{9} \tag{9}$$

a una ecuación diferencial de primer orden siempre que se conozca previamente una solución no trivial $y_{1}(x)$. Recordemos de la entrada anterior que una ecuación de la forma (\ref{9}) tiene como solución general la combinación lineal

$$y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) \label{10} \tag{10}$$

con $y_{1}$ y $y_{2}$ funciones que forman un conjunto fundamental de soluciones en cierto intervalo $\delta$. Si conocemos $y_{1}$ podremos reducir la ecuación a una de primer orden y resolverla para obtener la solución $y_{2}$ y, por tanto, obtener la solución general.

Este método también es conocido como método de reducción de orden, pues tiene el mismo propósito que los casos anteriores, reducir de orden a una ecuación diferencial. La idea general del método es la siguiente.

Comenzaremos con el conocimiento previo de una solución no trivial $y_{1}(x)$ de la ecuación homogénea (\ref{9}) definida en un intervalo $\delta$. Lo que buscamos es una segunda solución $y_{2}(x)$, tal que $y_{1}$ y $y_{2}$ formen un conjunto fundamental de soluciones en $\delta$, es decir, que sean soluciones linealmente independientes entre sí. Recordemos que si ambas soluciones son linealmente independientes, entonces el cociente $\dfrac{y_{2}}{y_{1}}$ no es constante en $\delta$, es decir

$$\dfrac{y_{2}(x)}{y_{1}(x)} = u(x)$$

o bien,

$$y_{2}(x) = u(x) y_{1}(x) \label{11} \tag{11}$$

Como queremos encontrar $y_{2}$ y previamente conocemos $y_{1}$, entonces debemos determinar la función $u(x)$, dicha función se determina al sustituir (\ref{11}) en la ecuación diferencial dada, esto reducirá a dicha ecuación a una de primer orden donde la variable dependiente será $u$.

Desarrollemos el método de manera general para encontrar la expresión de $u(x)$ y, por tanto, de $y_{2}(x)$ y finalmente realicemos un ejemplo.

Método de reducción de orden

Este método se aplica a las ecuaciones diferenciales de la forma

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = 0$$

Si dividimos esta ecuación por $a_{2}(x) \neq 0$ obtenemos la forma estándar

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + P(x) \dfrac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \label{12} \tag{12}$$

Con

$$P(x) = \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x) = \dfrac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)}$$

ambas continuas en algún intervalo $\delta$. Supongamos además que $y_{1}(x)$ es una solución conocida de (\ref{12}) en $\delta$ y que $y_{1}(x) \neq 0 $ para toda $x \in \delta$. Si se define

$$y(x) = u(x) y_{1}(x)$$

derivando se tiene

$$\dfrac{dy}{dx} = u \dfrac{dy_{1}}{dx} + y_{1} \dfrac{du}{dx} \label{13} \tag{13}$$

Derivando una segunda ocasión se tiene

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = u \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} + 2\dfrac{dy_{1}}{dx} \dfrac{du}{dx} + y_{1} \dfrac{d^{2}u}{dx^{2}} \label{14} \tag{14}$$

Sustituyendo (\ref{13}) y (\ref{14}) en la forma estándar (\ref{12}) obtenemos lo siguiente.

\begin{align*}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + P\dfrac{dy}{dx} + Qy &= \left[ u \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} + 2\dfrac{dy_{1}}{dx} \dfrac{du}{dx} + y_{1} \dfrac{d^{2}u}{dx^{2}} \right] + P \left[ u \dfrac{dy_{1}}{dx} + y_{1} \dfrac{du}{dx} \right] + Q \left[ u y_{1}\right] \\
&= u \left[ \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} + P\dfrac{dy_{1}}{dx} + Qy_{1} \right] + y_{1} \dfrac{d^{2}u}{dx^{2}} + \left( 2 \dfrac{dy_{1}}{dx} + Py_{1} \right) \dfrac{du}{dx} \\
&= 0
\end{align*}

Como $y_{1}(x)$ es solución sabemos que

$$\dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} + P\dfrac{dy_{1}}{dx} + Qy_{1} = 0$$

Entonces el resultado anterior se reduce a lo siguiente.

$$y_{1} \dfrac{d^{2}u}{dx^{2}} + \left( 2 \dfrac{dy_{1}}{dx} + Py_{1} \right) \dfrac{du}{dx} = 0 \label{15} \tag{15}$$

Consideremos el cambio de variable

$$w = \dfrac{du}{dx} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{dw}{dx} = \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$$

Entonces la ecuación (\ref{15}) se puede escribir como

$$y_{1} \dfrac{dw}{dx} + \left( 2 \dfrac{dy_{1}}{dx} + Py_{1} \right) w = 0 \label{16} \tag{16}$$

Esta ecuación es tanto lineal como separable. Separando las variables e integrando, se obtiene

\begin{align*}
\dfrac{1}{w}\dfrac{dw}{dx} + 2\dfrac{1}{y_{1}} \dfrac{dy_{1}}{dx} &= -P \\
\int{\dfrac{dw}{w}} + 2\int{\dfrac{dy_{1}}{y_{1}}} &= -\int{P dx} \\
\ln |w| + 2 \ln|y_{1}| + k &= -\int{P dx} \\
\ln |w y^{2}_{1}| + k &= -\int{P dx} \\
wy^{2}_{1} &= k_{1}e^{-\int{P dx}}
\end{align*}

Despejando a $w$ de la última ecuación, usando $w = \dfrac{du}{dx}$ e integrando nuevamente, se tiene

\begin{align*}
\dfrac{du}{dx} &= \dfrac{k_{1}e^{-\int{P dx}}}{y^{2}_{1}} \\
\int{du} &= \int{\dfrac{k_{1}e^{-\int{P dx}}}{y^{2}_{1}} dx} \\
u &= k_{1} \int{\dfrac{e^{-\int{P} dx}}{y^{2}_{1}} dx} + k_{2}
\end{align*}

Eligiendo $k_{1} = 1$ y $k_{2} = 0$ obtenemos la expresión para la función $u(x)$,

$$u(x) = \int{\dfrac{e^{-\int{P} dx}}{y^{2}_{1}} dx} \label{17} \tag{17}$$

Si sustituimos en

$$y(x) = y_{2}(x) = u(x)y_{1}(x)$$

obtenemos que la segunda solución de la ecuación diferencial (\ref{12}) es

$$y_{2}(x) = y_{1}(x) \int{\dfrac{e^{-\int{P(x)} dx}}{y^{2}_{1}(x)} dx} \label{18} \tag{18}$$

De tarea moral puedes probar que la función $y_{2}$ satisface la ecuación diferencial y que $y_{1}$ y $y_{2}$ son linealmente independientes en algún intervalo en el que $y_{1}$ no es cero.

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos este método.

Ejemplo: Encontrar la solución general de la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 16y = 0$$

dada la solución no trivial

$$y_{1}(x) = \cos(4x)$$

Solución: En esta ocasión apliquemos directamente la expresión (\ref{18}) para obtener la solución $y_{2}(x)$.

La ecuación diferencial a resolver es

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 16y = 0$$

Si la comparamos con la forma estándar (\ref{12}) notamos que

$$P(x) = 0 \hspace{1cm} y \hspace{1cm}Q(x) = 16$$

Sustituyendo en (\ref{18}), se tiene

\begin{align*}
y_{2}(x) &= \cos(4x) \int{\dfrac{e^{0}}{\cos^{2}(4x)} dx} \\
&= \cos(4x) \int{\dfrac{1}{\cos^{2}(4x)} dx}
\end{align*}

Para resolver la integral consideremos el cambio de variable $s = 4x$, $ds = 4 dx$.

$$\int{\dfrac{1}{\cos^{2}(4x)} dx} = \dfrac{1}{4} \int{\sec^{2}(s) ds}$$

Sabemos que

$$\int{\sec^{2}(s) ds} = \tan(s)$$

Así

$$y_{2}(x) = \cos(4x) \left( \dfrac{1}{4} \tan(4x) + k_{1} \right)$$

Hacemos $k_{1} = 0$.

$$y_{2}(x) = \dfrac{\cos(4x)}{4} \left( \dfrac{\sin(4x)}{\cos(4x)} \right) = \dfrac{\sin(4x)}{4}$$

Como la solución general corresponde a la combinación lineal (\ref{10}), en las constantes $c_{1}$ y $c_{2}$ se pueden englobar todas las constantes que pudieran aparecer, por ello es que podemos tomar $k_{1} = 0$ y además podemos evitar la constante $\dfrac{1}{4}$ de $y_{2}$ y considerar que

$$y_{2}(x) = \sin(4x)$$

Veamos que efectivamente satisface la ecuación diferencial.

$$\dfrac{dy_{2}}{dx} = 4 \cos(4x) \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} = -16 \sin(4x)$$

Sustituyendo en la ecuación diferencial.

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 16y = -16 \sin(4x) + 16 \sin(4x) = 0$$

Cumple con la ecuación diferencial, lo mismo podemos verificar con la solución dada

$$y_{1}(x) = \cos(4x)$$

Tenemos,

$$\dfrac{dy_{1}}{dx} = -4 \sin(4x) \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} = -16 \cos(4x)$$

Sustituyendo en la ecuación diferencial.

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 16y = -16 \cos(4x) + 16 \cos(4x) = 0$$

Como ambas soluciones son linealmente independientes, entonces forman un conjunto fundamental de soluciones. Otra forma de verificarlo es mostrando que el Wronskiano es distinto de cero y lo es ya que

$$W(y_{1}, y_{2}) = 4 \neq 0$$

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 16y = 0$$

corresponde a la combinación lineal

$$y(x) = c_{1} \cos(4x) + c_{2} \sin(4x)$$

$\square$

Con esto concluimos esta entrada sobre un primer método para resolver algunas ecuaciones diferenciales de segundo orden. En la siguiente entrada desarrollaremos un nuevo método.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.
  • $x \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{dy}{dx} = 0$
  • $(x-1) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{dy}{dx} = 0$
  1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales no lineales.
  • $(y -1)\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^{2} $
  • $\left( \dfrac{dy}{dx} \right)^{2} -2 \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0$
  1. Dada una solución no trivial de las siguientes ecuaciones diferenciales, hallar la segunda solución, tal que ambas formen un conjunto fundamental de soluciones y determina la solución general.
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy}{dx} + 4y = 0; \hspace{1cm} y_{1}(x) = e^{2x}$
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -25y = 0; \hspace{1cm} y_{1}(x) = e^{5x}$
  1. Demostrar que la función $$y_{2}(x) = y_{1}(x) \int{\dfrac{e^{-\int{P(x)} dx}}{y^{2}_{1}(x)} dx}$$ Satisface la ecuación diferencial $$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + P(x) \dfrac{dy}{dx} + Q(x)y = 0$$ Siempre que $y_{1}(x)$ sea solución de la misma ecuación.
  1. Usando el inciso anterior, demostrar que $$S = \left \{ y_{1}(x), y_{1}(x) \int{\dfrac{e^{-\int{P(x)} dx}}{y^{2}_{1}(x)} dx} \right \}$$ es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial $$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + P(x) \dfrac{dy}{dx} + Q(x)y = 0$$

Más adelante…

En esta entrada desarrollamos un método de reducción de orden basado en un cambio de variable para ecuaciones lineales y no lineales de segundo orden que satisfacen algunas condiciones y desarrollamos el método de reducción de orden para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas en el caso en el que previamente conocemos una solución no trivial.

En la siguiente entrada estudiaremos otro método para resolver un tipo particular de ecuaciones diferenciales, éstas son las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes, de la forma

$$a \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + b \dfrac{dy}{dx} + cy = 0$$

Con $a, b$ y $c$ constantes.

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Seminario de Resolución de Problemas: La integral

Introducción

Ya hemos cubierto varios temas de cálculo y resolución de problemas. Comenzamos platicando acerca de continuidad y de dos teoremas importantes para funciones continuas: el teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo. Después, hablamos acerca de derivadas y de dos teoremas importantes para funciones diferenciables: el teorema de Rolle y el teorema del valor medio. Luego, vimos que la diferenciabilidad también nos ayuda a encontrar límites de cocientes y potencias de formas indefinidas mediante la regla de L’Hôpital. En esta entrada y la siguiente hablaremos de la integral y cómo las ideas detrás de su construcción, así como sus propiedades, pueden ayudar a resolver problemas.

Para entender esta sección bien, es importante que conozcas la construcción de la integral de Riemann en una variable, así como sus propiedades principales. También supondremos que conoces las técnicas usuales para resolver integrales. Esto se hace durante el primer año de un curso de cálculo a nivel licenciatura. También puedes revisarlo en la literatura clásica, como el libro de Cálculo de Spivak.

Usar la integral como un área

La integral es por definición un límite de sumas superiores o inferiores. Hay problemas en los que podemos aprovechar esto para entender una suma o una sucesión. A grandes rasgos lo que hacemos es:

  • Interpretar la sucesión o serie como una suma de areas correspondiente a una suma superior o inferior de cierta integral $\int f(x) \,dx$.
  • Usar lo que sabemos de integración para poder decir algo del área dada por $\int f(x)\, dx$
  • Regresar esta información al problema original.

Veamos un ejemplo de esto.

Problema. Calcula el siguiente límite $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n-1}\right).$$

La cantidad de términos de este límite depende de $n$, así que no podemos hacerlos uno por uno. No hay una forma sencilla de hacer la suma. Tampoco parece que podamos usar la regla de L’Hôpital. Lo que haremos es entender a la expresión dentro del límite de manera geométrica.

Sugerencia pre-solución. Haz una figura con la que puedas relacionar el límite que buscamos con cierta área que puedas expresar en términos de una integral.

Solución. Consideremos la gráfica de la función $f(x)=\frac{1}{x}$ en el intervalo $[n,2n]$ y el área debajo de esta gráfica, que mostramos en verde a continuación.

Integral de 1/x en el intervalo de n a 2n.
Gráfica de $1/x$ en el intervalo $[n,2n]$

Notemos que la suma que aparece en el problemas corresponde a sumar las áreas de los rectángulos de base $1$ y alturas $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n+1}$, $\ldots$, $\frac{1}{2n-1}$, que podemos encontrar en azul en la siguiente figura.

Cota con suma superior
Dar una cota inferior para nuestra expresión.

Así, obtenemos que podemos acotar inferiormente nuestra suma de la siguiente manera:

\begin{align*}
\frac{1}{n}+\ldots+\frac{1}{2n-1} &> \int_n^{2n} \frac{1}{x}\, dx\\
&= (\log x) \Big|_n^{2n} \\
&= \log 2.
\end{align*}

De manera similar, podemos pensar ahora en rectángulos que queden por debajo de la gráfica de la función, y que en total su area es menor que el valor de la integral. Los mostramos a continuación en color rojo:

Cota con suma inferior
Dar una cota superior para nuestra expresión (un poco cambiada)

De aquí, podemos dar la siguiente cota:

\begin{align*}
\frac{1}{n+1}+\ldots+\frac{1}{2n} &< \int_n^{2n} \frac{1}{x}\, dx\\
&= (\log x) \Big|_n^{2n} \\
&= \log 2.
\end{align*}

Si juntamos ambas desigualdades, deducimos que $$\log 2< \frac{1}{n}+\ldots+\frac{1}{2n-1}<\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}\right) + \log 2.$$

Ahora sí podemos hacer $n\to \infty$. Como ambos lados de la desigualdad convergen a $\log 2$, tenemos que la sucesión que nos interesa también debe converger a $\log 2$.

$\square$

Traducir a una integral y usar técnicas de integración

Hay varias técnicas que podemos usar para realizar integrales: cambio de variable, integración trigonométrica, integración por partes, integración por fracciones parciales, etc. En algunas ocasiones podemos transformar un problema a una integral, aplicar una de estas técnicas, y luego regresar al contexto original. Veamos un ejemplo de esto.

Problema. Demuestra que para cualquier par de enteros positivos $m$ y $n$ tenemos que $$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}\frac{1}{k+m+1} = \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m}{k} \frac{1}{k+n+1}.$$

Sugerencia pre-solución. Intenta formular un problema equivalente aprovechando que para cualquier entero no negativo $r$ se tiene que $\frac{1}{r+1}=\int_0^1 t^r \, dt$. Tendrás que usar esto varias veces, usar la fórmula de binomio de Newton y después aprovechar una simetría para hacer un cambio de variable.

Solución. Notemos que $$\frac{1}{k+m+1}=\int_0^1 t^{k+m} \, dt.$$ Substituyendo en la expresión de la izquierda, obtenemos que la suma buscada es $$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\int_0^1t^{k+m}\, dt.$$ Usando la linealidad de la integral y la fórmula del binomio de Newton tenemos que esta suma es igual a
\begin{align*}
&\int_0^1 \sum_{k=1}^n (-1)^k \binom{n}{k} t^{k+m}\, dt \\
=& \int_0^1 t^m(1-t)^n \, dt.
\end{align*}

Con el cambio de variable $s=1-t$, la integral anterior es igual a $$\int_0^1 s^n(1-s)^m.$$ Pero por un argumento inverso al que hicimos para llegar a la primer integral, esta segunda integral es igual a $$\sum_{k=0}^m (-1)^k\binom{m}{k}\frac{1}{k+n+1}.$$

Esto es justo el lado derecho en la identidad que queríamos.

$\square$

El teorema de Lebesgue

No todas las funciones son integrables con la definición de Riemann (que aquí simplemente llamaremos «ser integrable»), pues puede ser que el límite de las sumas superiores no sea igual al de las sumas inferiores. Un resultado profundo en cálculo es el criterio de Lebesgue, que caracteriza aquellas funciones acotadas que tienen integral de Riemann en un intervalo.

Teorema (criterio de Lebesgue). Una función acotada $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es integrable si y sólo si su conjunto de discontinuidades tiene medida $0$.

El teorema de Lebesgue da una prueba sencilla de que si $f$ y $g$ son integrables, entonces su producto también, lo cual no es fácil de probar a partir de la definición. A continuación esbozamos esta prueba.

Las discontinuidades de $f^2$ están contenidas en las de $f$, de modo que si $f$ es integrable, por el teorema de Lebesgue $f^2$ también. Además, suma y resta de integrables es sencillo ver que es integrable, de modo que $(f+g)^2$ también lo es. Para concluir, notamos que $$fg=\frac{(f+g)^2-f^2-g^2}{2},$$ de modo que $fg$ es integrable.

Veamos un problema que combina varias de las ideas de cálculo que hemos visto.

Problema. Si $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ es una función tal que $f+\sin(f)$ es integrable, entonces $f$ también es integrable.

Sugerencia pre-solución. Usa el criterio de Lebesgue. Necesitarás estudiar las discontinuidades con cuidado, para lo cual es útil recordar cómo interactúan las funciones continuas con las sucesiones convergentes.

Solución. Como $f+\sin(f)$ es integrable, entonces es acotada. Así, $f$ también lo es. La función $g(x)=x+\sin(x)$ tiene derivada $1+\cos(x)\geq 0$ y que es $0$ sólo en un conjunto discreto de puntos, de modo que es estrictamente creciente. Además, los límites en $-\infty$ y $\infty$ son $-\infty$ e $\infty$ respectivamente. Por el teorema del valor intermedio, pasa por todos los reales. Así, $g$ es una función biyectiva.

Mostraremos que las discontinuidades de $f$ están contenidas en las de $f+\sin(f)$, o bien, dicho de otra forma, que si $f+\sin(f)$ es continua en $x$, entonces $f$ también. Tomemos una sucesión $\{x_n\}$ que converge a $x$. Como $f+\sin(f)$ es continua en $x$, tenemos que $\{f(x_n)+\sin(f(x_n))\}$ converge a $f(x)+\sin(f(x))=g(f(x))$.

Como $f$ es una función acotada, la sucesión $\{f(x_n)\}$ es acotada, y para ver que converge a un límite, basta ver que toda subsucesión convergente converge al mismo límite. Tomemos una subsucesión convergente digamos, al límite $L$. Tendríamos que $g(L)=g(f(x))$, y como $g$ es biyectiva tendríamos que $L=f(x)$. En otras palabras, toda subsucesión convergente de $\{f(x_n)\}$ converge a $f(x)$. De esta forma, $\{f(x_n)\}$ converge a $f(x)$. Con esto concluimos que $f$ es continua en $x$.

Concluimos que el conjunto de discontinuidades de $f$ está contenido en el de $f+\sin(f)$, el cual tiene medida $0$. De este modo, el de $f$ también tiene medida $0$ y por el criterio de Lebesgue, es integrable.

$\square$

Más problemas

Hay más ejemplos de problemas relacionados con la integral en la Sección 6.8 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.