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Álgebra Lineal I: Problemas de ortogonalidad, ecuaciones e hiperplanos

Por Ayax Calderón

Introducción

En esta entrada ejercitaremos los conceptos introducidos recientemente. Abordamos los temas de espacio ortogonal e hiperplanos. Para ello, resolveremos problemas de ortogonalidad relacionados con encontrar una base para el espacio ortogonal y de escribir subespacios en términos de ecuaciones e intersecciones de hiperplanos.

Problemas resueltos de espacio ortogonal

Problema. Sea $S=\{x^3+x, x^2+x ,-x^3+x^2+1\} \subseteq \mathbb{R}_3[x]$.
Describe $S^{\bot}$ dando una base de este espacio.

Solución. Una forma lineal $l$ sobre $\mathbb{R}_3[x]$ es de la forma

$l(a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=aa_0+ba_1+ca_2+da_3$

para algunos $a, b,c,d\in \mathbb{R}$, pues basta decidir quiénes son $a=l(1)$, $b=l(x)$, $c=l(x^2)$ y $d=l(x^3)$.

La condición $l\in S^{\bot}$ es equivalente a

$l(x^3+x)=l(x^2+x)=l(-x^3+x^2+1)=0.$

Esto es
\begin{align*}
l(x^3+x)&=b+d=0\\
l(x^2+x)&=b+c=0\\
l(-x^3+x^2+1)&=a+c-d=0.
\end{align*}

La matriz asociada al sistema es

$A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$

y su forma escalonada reducida es

$A_{red}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}.$

Así, $d$ es variable libre y \begin{align*} a&=0\\ b&=-d\\ c&=d.\end{align*}

De aquí, el conjunto de soluciones del sistema es
$$\{(0,-u,u,u) : u\in \mathbb{R}\}.$$

Las correspondientes formas lineales son $$l_u(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=u(-a_1+a_2+a_3).$$

Este es un subespacio de dimensión $1$, así que para determinar una base para $S^{\bot}$, basta con elegir una de estas formas lineales con $u\neq 0$, por ejemplo, para $u=1$ tenemos
$$l_1(a_o+a_1x+a_2x^2+a_3x^3)=-a_1+a_2+a_3.$$

$\square$

Problema. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$, sea $V^\ast$ su espacio dual y tomemos subconjuntos $S, S_1, S_2\subseteq V^\ast$ tales que $S_1\subseteq S_2$. Prueba lo siguiente.

  1. $S_2^{\bot}\subseteq S_1^{\bot}$.
  2. $S\subseteq (S^{\bot})^{\bot}$.

Solución.

  1. Sea $l\in S_2^{\bot}$. Por definición $l(s)=0$ para toda $s\in S_2$.
    Luego, si $s\in S_1$, entonces $s\in S_2$ y así $l(s)=0$. Por consiguiente $l\in S_1^{\bot}$. Concluimos $S_2^{\bot}\subseteq S_1^{\bot}$.
  2. Sea $s\in S$. Para cualquier $l\in S^{\bot}$ se cumple que $l(s)=0$ y así $s\in (S^{\bot})^{\bot}$

$\square$

Observación. El problema anterior también es cierto si suponemos que $S, S_1, S_2\subseteq V$ tales que $S_1\subseteq S_2$ y la prueba es idéntica a la anterior.

Observación. Por muy tentador que sea pensar que la igualdad se da en el inciso 2 del problema anterior, esto es totalmente falso: $(S^{\bot})^{\bot}$ es un subespacio de $V$ (o de $V^\ast$), mientras que no hay razón para que $S$ lo sea, pues este es solamente un subconjunto arbitrario de $V$ (o $V^\ast$). Como vimos en una entrada anterior, la igualdad se da si $S$ es un subespacio de $V$ (o de $V^\ast$) cuando $V$ es un subespacio de dimensión finita.

Problemas resueltos de ecuaciones lineales y de hiperplanos

Veamos ahora problemas de ortogonalidad relacionados con encontrar expresiones para un subespacio en términos de ecuaciones lineales y de hiperplanos.

Problema. Sea $W$ el subespacio de $\mathbb{R}^4$ generado por los vectores

$v_1=(1,1,0,1)$
$v_2=(1,2,2,1).$

Encuentra ecuaciones lineales en $\mathbb{R}^4$ cuyo conjunto solución sea $W$.

Solución. Necesitamos encontrar una base para $W^{\bot}$.
Recordemos que $W^{\bot}$ consiste de todas las formas lineales

$l(x,y,z,t)=ax+by+cz+dt$

tales que $l(v_1)=l(v_2)=0$, es decir
\begin{align*}
a+b+d&=0\\
a+2b+2c+d&=0.
\end{align*}

La matriz asociada al sistema anterior es

$A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 2 & 2 & 1\end{pmatrix}$

y por medio de reducción gaussiana llegamos a que su forma reducida escalonada es

$A_{red}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1\\
0 & 1 & 2 & 0\end{pmatrix}.$

De aquí, $c$ y $d$ son variables libres y $a$ y $b$ son variables pivote determinadas por
\begin{align*}a&=2c-d\\b&=-2c.\end{align*}

Por lo tanto,
\begin{align*}
l(x,y,z,t)&=(2c-d)x-2cy+cz+dt\\
&=c(2x-2y+z)+d(-x+t).
\end{align*}

Así, deducimos que una base para $W^{\bot}$ está dada por

$l_1(x,y,z,t)=2x-2y+z$ y $l_2(x,y,z,t)=-x+t$

y por consiguiente $W=\{v\in \mathbb{R}^4 : l_1(v)=l_2(v)=0\}$, de donde $$l_1(v)=0, l_2(v)=0$$ son ecuaciones cuyo conjunto solución es $W$.

$\square$

Problema. Considera el espacio vectorial $V=\mathbb{R}_3[x]$. Escribe el subespacio vectorial generado por $p(x)=1-2x^2$ y $q(x)=x+x^2-x^3$ como la intersección de dos hiperplanos linealmente independientes en $V$.

Solución. Sea $\mathcal{B}=\{1,x,x^2,x^3\}=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ la base canónica de $V$.

Entonces

\begin{align*}
p(x)&=e_1-2e_3\\
q(x)&=e_2+e_3-e_4.
\end{align*}

Escribir $W=\text{span}(p(x),q(x))$ como intersección de dos hiperplanos es equivalente a encontrar dos ecuaciones que definan a $W$, digamos $l_1(v)=l_2(v)=0$ pues entonces $$W=H_1 \cap H_2,$$ donde $H_1=\ker(l_1)$ y $H_2=\ker(l_2)$.

Así que sólo necesitamos encontrar una base $l_1,l_2$ de $W^{\bot}$.

Recordemos que una forma lineal en $\mathbb{R}_3[x]$ es de la forma $$l_1(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)=ax_1+bx_2+cx_3+dx_4$$

para algunos $a,b,c,d \in \mathbb{R}$.

Esta forma lineal $l$ pertenece a $W^{\bot}$ si y sólo si $$l(p(x))=l(q(x))=0,$$ o bien

\begin{align*}
a-2c&=0\\
b+c-d&=0.
\end{align*}

Podemos fijar $c$ y $d$ libremente y despejar $a$ y $b$ como sigue:

\begin{align*}a&=2c\\b&=-c+d.\end{align*}

Por consiguiente

\begin{align*}
l(x_1e_1&+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)\\
&=2cx_1+(-c+d)x_2+cx_3+dx_4\\
&=c2x_1-x_2+x_3)+d(x_2+x_4).
\end{align*}

Así deducimos que una base $l_1,l_2$ de $W^{\bot}$ está dada por

\begin{align*}
l_1(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)&=2x_1-x_2+x_3\\
l_2(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+x_4e_4)&=x_2+x_4.
\end{align*}

y así $W=H_1\cap H_2$, donde

\begin{align*}
H_1&=\ker(l_1)=\{a+bx+cx^2+dx^3\in V : 2a-b+c=0\}\\
H_2&=\ker(l_2)=\{a+bx+cx^2+dx^3\in V : b+d=0\}.
\end{align*}


$\square$

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Álgebra Lineal I: Ortogonalidad, hiperplanos y ecuaciones lineales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En entradas anteriores hablamos de formas lineales, del espacio dual y de ortogonalidad. Con la teoría que hemos desarrollado en esas entradas, podemos cosechar uno de los hechos más importantes para espacios vectoriales de dimensión finita $n$: todos los subespacios se pueden obtener a partir de intersectar hiperplanos, es decir, subespacios de dimensión $n-1$. El objetivo de esta entrada es dar las definiciones necesarias para enunciar y demostrar este resultado formalmente.

Hiperplanos

Antes de demostrar el resultado mencionado en la introducción, tomaremos un poco de intuición geométrica de $\mathbb{R}^3$.

En $\mathbb{R}^3$ tenemos sólo un subespacio de dimensión $0$, que es $\{(0,0,0)\}$, un punto. Para obtener un subespacio de dimensión $1$, tenemos que tomar un vector $v\neq 0$ y considerar todos los vectores $rv$ con $r$ en $\mathbb{R}$. Esto corresponde geométricamente a una línea por el origen, con la misma dirección que $v$. En otras palabras, los subespacios de dimensión $1$ son líneas por el origen.

¿Quiénes son los subespacios de dimensión $2$? Debemos tomar dos vectores linealmente independientes $u$ y $v$ y considerar todas las combinaciones lineales $au+bv$ de ellos. Es más o menos fácil convencerse de que obtendremos al plano que pasa por $u$, $v$ y el $(0,0,0)$. Es decir, los subespacios de dimensión $2$ de $\mathbb{R}^3$ son planos por el origen.

Esto motiva la siguiente definición.

Definición 1. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$. Un hiperplano de $V$ es un subespacio de dimensión $n-1$.

Ejemplo. El subespacio $U=\mathbb{R}_5[x]$ de $V=\mathbb{R}_6[x]$ es un hiperplano. Esto es ya que $U$ es de dimesión $6$ y $V$ es de dimensión $7$. Sin embargo, aunque $U$ también es un subespacio de $W=\mathbb{R}_7[x]$, no se cumple que $U$ sea hiperplano de $W$ pues $W$ es de dimensión $8$ y $6\neq 8-1$.

Las matrices simétricas de $M_2(\mathbb{R})$ forman un subespacio $S$ de dimensión $3$ de $M_2(\mathbb{R})$, pues son de la forma $\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$. De esta forma, $S$ es un hiperplano de $M_2(\mathbb{R})$. Sin embargo, el conjunto de matrices simétricas de $M_n(\mathbb{R})$ no es un hiperplano ni para $n=1$, ni para $n\geq 3$.

$\square$

Los hiperplanos nos pueden ayudar a obtener subespacios. De hecho, veremos que en el caso de dimensión finita nos ayudan a obtener a todos los subespacios. Para continuar construyendo la intuición, notemos que en $\mathbb{R}^3$ los hiperplanos son simplemente los planos por el origen y que:

  • Podemos obtener a cualquier plano por el origen como intersección de planos por el origen: simplemente lo tomamos a él mismo.
  • Podemos obtener a cualquier línea por el origen como la intersección de dos planos distintos por el origen que la contengan. Por ejemplo, el eje $z$ es la intersección de los planos $xz$ y $yz$. En otras palabras: todo subespacio de dimensión $1$ de $\mathbb{R}^3$ se puede obtener como la intersección de dos hiperplanos de $\mathbb{R}^3$.
  • A $\{0\}$ lo podemos expresar como la intersección de los planos $xy$, $yz$ y $xz$, osea, al único espacio de dimensión cero lo podemos expresar como intersección de $3$ hiperplanos.

Ya obtenida la intuición, lo que veremos a continuación es que el resultado anterior en realidad es un fenómeno que sucede en cualquier espacio vectorial de dimensión finita. Así, nos enfocaremos en entender las definiciones del siguiente teorema, y demostrarlo.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$.

  • Todo subespacio $W$ de $V$ de dimensión $m$ es la intersección de $n-m$ hiperplanos de $V$ linealmente independientes.
  • Toda intersección de $n-m$ hiperplanos de $V$ linealmente independientes es un subespacio vectorial de dimensión $m$.

Los hiperplanos son subespacio y la definición de independencia lineal que tenemos es para vectores. Pero el teorema anterior habla de «hiperplanos linealmente independientes». ¿A qué se refiere esto? Como veremos más adelante, a cada hiperplano se le puede asignar de manera natural un elemento del espacio dual de $V$.

Recordatorio de espacio ortogonal

En la entrada anterior mostramos el siguiente resultado:

Teorema (teorema de dualidad). Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre $F$ y $W$ un subespacio de $V$ (o de $V^\ast)$. Entonces $$\dim W + \dim W^\bot = \dim V.$$

Además, obtuvimos como corolario lo siguiente:

Corolario. Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $F$ y $W$ un subespacio de $V$ (o de $V^\ast$), entonces $(W^\bot)^\bot=W$.

Usaremos estos resultados para dar una definición alternativa de hiperplanos, para entender a los subespacios de dimensión $n-1$ y para mostrar el teorema principal de esta entrada.

Subespacios de dimensión $n-1$ y definición alternativa de hiperplanos

Tomemos un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$. Un caso especial, pero muy importante, del teorema de dualidad es cuando $W$ es un subespacio de $V^\ast$ de dimensión $1$, es decir, cuando $W$ está generado por una forma lineal $l\neq 0$. En este caso, $W^\bot$ es un subespacio de $V$ y por el teorema de dualidad, es de dimensión $n-1$.

De manera inversa, si $W$ es un subespacio de $V$ de dimensión $n-1$, por el teorema de dualidad tenemos que $W^\bot$ es de dimensión $1$, así que hay una forma lineal $l\neq 0$ que lo genera. Por el corolario, $W=(W^\bot)^\bot$, que en otras palabras quiere decir que $W=\{v\in V: l(v)=0\}.$ En resumen:

Proposición. Un subespacio $W$ de un espacio de dimensión finita $d$ tiene dimensión $d-1$ si y sólo si es el kernel de una forma lineal $l\neq 0$ de $V$.

Ejemplo. Considera la forma lineal $\text{ev}_0$ en el espacio vectorial $V=\mathbb{C}_n[x]$ de polinomios con coeficientes complejos y grado a lo más $n$. Los polinomios $p$ tales que $\text{ev}_0(p)=0$ son exactamente aquellos cuyo término libre es $0$. Este es un subespacio vectorial de $V$ de dimensión $n=\dim V – 1$, pues una base para él son los polinomios $x, x^2, \ldots, x^n$.

$\square$

Problema. Considera el espacio vectorial $V=M_{2,3}(\mathbb{R})$. Considera $W$ el subconjunto de matrices cuya suma de entradas en la primer columna es igual a la suma de entradas de la segunda columna. Muestra que $W$ es un subespacio de dimensión $5$ y escríbelo como el kernel de una forma lineal.

Solución. Mostrar que $W$ es un subespacio de $V$ es sencillo y se queda como tarea moral. Se tiene que $W$ no puede ser igual a todo $V$ pues, por ejemplo, la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ no está en $W$, así que $\dim W\leq 5$.

Las matrices $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ son linealmente independientes y están en $W$, así que $\dim W\geq 5$, y junto con el párrafo anterior concluimos que $\dim W = 5$.

Finalmente, tomemos la forma lineal $$l\begin{pmatrix} a & b & c\\ d& e& f\end{pmatrix}=a+d-b-e.$$ Tenemos que una matriz está en el kernel de $l$ si y sólo si $a+d-b-e=0$, si y sólo si $a+d=b+e$, es decir, si y sólo si las entradas de la primer columna tienen la misma suma que las de la segunda. Así, $W=\ker l$.

$\square$

La proposición anterior nos permite dar una definición alternativa de hiperplano y hablar de hiperplanos linealmente independientes.

Definición 2. Sea $V$ un espacio vectorial. Un hiperplano es el kernel de una forma lineal $l\neq 0$ en $V^\ast$. Una familia de hiperplanos es linealmente independiente si sus formas lineales correspondientes son linealmente independientes en $V^\ast$.

Observa además que la definición anterior también sirve para espacios vectoriales de dimensión infinita, pues nunca hace referencia a la dimensión que debe tener un hiperplano.

Ejemplo. El conjunto de funciones continuas $f$ en el intervalo $[0,1]$ tales que $$\int_0^1 f(x) \, dx = 0$$ son un subespacio $W$ de $\mathcal{C}[0,1]$. Este subespacio es un hiperplano pues es el kernel de la forma lineal $I$ tal que $$I(f)=\int_0^1 f(x)\, dx.$$

$\square$

No mencionaremos más de espacios de dimensión infinita en esta entrada.

Escribiendo subespacios como intersección de hiperplanos

Ya podemos entender el teorema principal de esta entrada y demostrarlo. Lo enunciamos nuevamente por conveniencia.

Teorema 2. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$.

  • Todo subespacio $W$ de $V$ de dimensión $m$ es la intersección de $n-m$ hiperplanos de $V$ linealmente independientes.
  • Toda intersección de $n-m$ hiperplanos de $V$ linealmente independientes es un subespacio vectorial de dimensión $m$.

Demostración. Tomemos un espacio vectorial $V$ de dimensión finita $n$ y un subespacio $W$ de dimensión $m$. Por el teorema de dualidad, la dimensión de $\dim W^\bot$ es $n-m$. Tomemos una base $B=\{l_1,l_2,\ldots,l_{n-m}\}$ de $W^\bot$. Por el corolario al teorema de dualidad, podemos expresar a $W$ como $$W=(W^\bot)^\bot=\{v\in V: l_1(v)=\ldots=l_{n-m}(v)=0\}.$$

Si definimos $L_i=\{v\in V: l_i(v)=0\}$, por la proposición de la sección anterior tenemos que cada $L_i$ es un hiperplano de $V$. Además, $$W=L_1\cap \ldots\cap L_{n-m}.$$ Como los $l_i$ son linealmente independientes, con esto logramos expresar a $W$ como intersección de $n-m$ hiperplanos linealmente independientes.

Probemos ahora la segunda parte de la proposición. Tomemos el conjunto $S=\{l_1,\ldots,l_{n-m}\}$ de formas linealmente independientes que definen a los hiperplanos. Un vector $v$ está en la intersección de todos estos hiperplanos si y sólo si $l_1(v)=\ldots=l_{n-m}(v)=0$, si y sólo si está en $S^\bot=\text{span}(S)^\bot$. Es decir, la intersección de los hiperplanos es precisamente el subespacio $\text{span}(S)^\bot$. Como $S$ es linealmente independiente, tenemos que $ \text{span}(S)$ es de dimensión $n-m$, de modo que por el teorema de dualidad, $\dim \text{span}(S)^\bot = n-(n-m)=m$. Esto muestra lo que queremos.

$\square$

Algunos problemas prácticos

Si tenemos un espacio $V$ de dimensión finita $n$, un subespacio $W$ de dimensión finita $m$ y queremos encontrar de manera práctica la expresión de $W$ como intersección de hiperplanos de $V$, podemos hacer el siguiente procedimiento:

  • Determinamos una base $l_1,\ldots,l_{n-m}$ para $W^\bot$ (la cual consiste de formas lineales de $V^\ast$). Esto lo podemos hacer con los pasos que mencionamos en la entrada anterior.
  • Definimos $L_i=\{v\in V: l_i(v)=0\}$.
  • Tendremos que $W$ es la intersección de los $L_i$.

Una última observación es que cada $L_i$ está definido por una ecuación lineal. Esto nos permite poner a cualquier subespacio como el conjunto solución a un sistema linela. Esto lo cual podemos ver de forma práctica de la siguiente manera:

  • Tomamos una base $e_1,\ldots,e_n$ de $V$.
  • Tomemos un vector $v=a_1e_1+\ldots+a_ne_n$ que queremos determinar si está en $W$. Para ello, debe estar en cada $L_i$.
  • Cada $L_i$ está definido mediante la ecuación $l_i(v)=0$ de modo que si $v$ está en $L_i$ sus coordenadas $a_1,\ldots,a_n$ en la base $e_1,\ldots,e_n$ deben satisfacer la ecuación lineal $$l_i(e_1)a_1+\ldots+l_i(e_n)a_n=0.$$
  • De esta forma, los vectores $v$ en $W$ son aquellos cuyas coordenadas en la base $e_1,\ldots, e_n$ satisfacen el sistema de ecuaciones obtenido de las ecuaciones lineales para cada $i$ del punto anterior.

Veremos algunos ejemplos de estos procedimientos en la siguiente entrada.

La receta anterior nos permite concluir la siguiente variante del teorema de esta entrada, escrito en términos de ecuaciones lineales.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $B$ una base de $V$.

  • Un subespacio $W$ de dimensión $m$ se puede definir mediante un sistema de ecuaciones lineales independientes que deben satisfacer las coordenadas de los vectores de $W$ escritos en la base $B$.
  • Aquellos vectores cuyas coordenadas en la base $B$ satisfacen un sistema de ecuaciones lineales independientes homogéneo, forman un subespacio de $V$ de dimensión $n-m$.

La moraleja de esta entrada es que podemos pensar que los sistemas de ecuaciones, las intersecciones de hiperplanos y los subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita son «prácticamente lo mismo».

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  • Considera el plano $P$ en $\mathbb{R}^3$ que pasa por el origen y por los vectores $(1,1,1)$, $(0,2,0)$. Encuentra reales $a,b,c$ tales que $$P=\{(x,y,z): ax+by+cz = 0 \}.$$
  • En todos los ejemplos en los que se menciona que algo es subespacio, verifica que en efecto lo sea. En los que se menciona que un conjunto es base, también verifica esto.
  • Encuentra una base para el espacio de polinomios $p$ en $M_n(\mathbb{C})$ tales que $\text{ev}(1)(p)=0$.
  • Sea $W$ el subconjunto de matrices de $V:=M_n(\mathbb{R})$ tal que la sumas de las entradas de todas las filas son iguales. Muestra que $W$ es un subespacio de $V$. Determina la dimensión de $W$ y exprésalo como intersección de hiperplanos linealmente independientes.
  • ¿Qué sucede cuando intersectas hiperplanos que no corresponden a formas linealmente independientes? Más concretamente, supongamos que tienes formas lineales $l_1,\ldots,l_m$ de $F^n$. Toma $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ la base canónica de $F^n$. Considera la matriz $A=[l_i(e_j)]$. ¿Qué puedes decir de la dimensión de la intersección de los hiperplanos correspondientes a los $l_i$ en términos del rango de la matriz $A$?

Más adelante…

A lo largo de esta entrada enunciamos las definiciones necesarias para llegar al teorema que mencionamos al inicio: para un espacio vectorial de dimension finita $n$, todos los subespacios se pueden obtener a partir de intersectar hiperplanos, es decir, subespacios de dimensión $n-1$.

En la siguiente entrada utilizaremos este resultado para resolver algunos ejercicios y veremos en acción este importante teorema.

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Álgebra Lineal I: Ortogonalidad y espacio ortogonal

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En entradas anteriores hablamos de formas lineales y del espacio dual. Vimos que las formas coordenadas correspondientes a una base forman bases del espacio dual. También hicimos ejemplos prácticos de cómo encontrar bases duales y cómo hacer cambios de base en el espacio dual. Usaremos la teoría que hemos desarrollado hasta el momento para estudiar los conceptos de ortogonalidad y espacio ortogonal.

Antes de comenzar, es importante dejar un consejo. Quizás a estas alturas asocias a la ortogonalidad con la perpendicularidad. Esta intuición puede ayudar un poco más adelante, pero por el momento es recomendable que dejes esa intuición de lado. El problema es que la «perpendicularidad» habla de parejas de segmentos, parejas de lineas, o parejas de vectores. Sin embargo, las nociones de ortogonalidad que estudiaremos ahora hablan de cuándo una forma lineal $l$ y un vector $v$ son ortogonales, por lo cual es mejor pensarlo por el momento en la ortogonalidad como un concepto nuevo.

Definiciones de ortogonalidad y espacio ortogonal

En esta sección, $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $F$.

Definición. Tomemos una forma lineal $l$ de $V$ y $v$ un vector en $V$. Decimos que $l$ y $v$ son ortogonales si $$\langle l,v \rangle = 0.$$

De manera equivalente, $l$ y $v$ son ortogonales si $l(v)=0$, o si $v$ está en el kernel de $l$.

Ejemplo. Consideremos la forma lineal $l$ de los polinomios en $\mathbb{R}_2[x]$ que a un polinomio lo manda a su evaluación en $2$, es decir, tal que $l(p)=p(2)$. Consideremos al polinomio $p(x)=x^2-3x+2$. Tenemos que \begin{align*}l(p)&=p(2)\\&=2^2-3\cdot 2 +2\\&=4-6+2\\&=0,\end{align*} de modo que $\langle l, p\rangle =0,$ así que $l$ y $p$ son ortogonales. Por otro lado, si $q(x)=x+1$, tenemos que $\langle l,q\rangle = l(q)=3$, de modo que $l$ y $q$ no son ortogonales.

$\square$

Ejemplo. Consideremos la forma lineal $l(x,y,z)=2x+3y-z$ de $\mathbb{R}^3$. Un vector que es ortogonal con $l$ es el vector $v=(0,0,0)$. Un vector un poco más interesante es el vector $(1,1,5)$ pues $l(1,1,5)=2+3-5=0$.

El vector $(1,1,5)$ también es ortogonal a la forma lineal $m(x,y,z)=x+y-\frac{2z}{5}$, como puedes verificar.

$\square$

A partir de la noción anterior, nos podemos hacer dos preguntas. Dado un conjunto de vectores, ¿quiénes son todas las formas lineales ortogonales a todos ellos? Dado un conjunto de formas lineales, ¿quiénes son todos los vectores ortogonales a todas ellas? Esta noción queda capturada en la siguiente definición.

Definición. Para $S$ un subconjunto de $V$, definimos al ortogonal de $S$ como el conjunto de formas lineales de $V$ ortogonales a todos los elementos de $S$. En símbolos, $$S^\bot:= \{l\in V^\ast: \langle l,v \rangle = 0\, \forall v \in S\}.$$

Tenemos una definición dual para subconjuntos de $V^\ast$.

Definición. Para $S$ un subconjunto de $V^\ast$, el ortogonal de $S$ es el conjunto de vectores de $V$ ortogonales a todos los elementos de $S$. En símbolos, $$S^\bot=\{v\in V: \langle l, v \rangle = 0 \, \forall l\in S\}.$$

Observa que estamos definiendo al ortogonal para subconjuntos de $V$ (y de $V^\ast$), es decir, que $S$ no tiene por qué ser un subespacio vectorial de $V$. Por otro lado, sea o no $S$ un subespacio, siempre tenemos que $S^\bot$ es un subespacio. Por ejemplo, si $S$ es un subconjunto de $V$ y $l_1$, $l_2$ son formas lineales que se anulan en todos los elementos de $S$, entonces para cualquier escalar $c$ también tenemos que $l_1+cl_2$ se anula en todos los elementos de $S$.

Ejercicio. Tomemos $S$ al subconjunto de matrices diagonales con entradas enteras en $M_2(\mathbb{R})$. ¿Quién es $S^\bot$? Ojo: Aquí $S$ no es un subespacio.

Solución. Sabemos que para cualquier forma lineal $l$ de $M_2(\mathbb{R})$ existen reales $p$, $q$, $r$, $s$ tales que $$l\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=pa+qb+rc+sd.$$

Si $l$ está en $S^\bot$, se tiene que anular en particular en las matrices $A=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, pues ambas están en $S$. En otras palabras, $$0 = l(A) = p$$ y $$0 = l(B) = s.$$ Así, la forma lineal tiene que verse como sigue:

$$l\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}= qb+rc.$$

Y en efecto, todas las formas lineales de esta forma se anulan en cualquier matriz diagonal con entradas enteras, pues en esas matrices $b=c=0$.

$\square$

Encontrar el espacio ortogonal de manera práctica

Ya mencionamos que $S$ no necesariamente tiene que ser un subespacio para definir $S^\bot$. Sin embargo, usando la linealidad podemos mostrar que, para cualquiera de las dos definiciones, basta estudiar qué sucede con subespacios vectoriales. La demostración de la siguiente proposición es sencilla, y se deja como tarea moral.

Proposición 1. Para $S$ un subconjunto de $V$ (o de $V^\ast$), tenemos que $$S^\bot = \text{span}(S)^\bot.$$

Esta proposición es particularmente importante pues en espacios vectoriales de dimensión finita nos permite reducir el problema de encontrar ortogonales para subconjuntos de vectores (o de formas lineales), a simplemente resolver un sistema de ecuaciones. El procedimiento que hacemos es el siguiente (lo enunciamos para vectores, para formas lineales es análogo):

  • Tomamos una base $B=\{b_1,\ldots,b_n\}$ de $V$
  • Tomamos un subconjunto $S$ de vectores de $V$.
  • Usamos la Proposición 1 para argumentar que $S^\bot=\text{span}(S) ^\bot$.
  • Consideramos una base $C=\{c_1,\ldots,c_m\}$ de $\text{span}(S)$ y notamos que una forma lineal $l$ se anula en todo $\text{span}(S)$ si y sólo si se anula en cada elemento de $C$.
  • Escribimos a cada $c_i$ como combinación lineal de elementos de $B$, digamos $$c_i=a_{i1}b_1+\ldots+a_{in}b_n.$$
  • Cada condición $l(c_i)=0$ se transforma en la ecuación lineal $$a_{i1}l(b_1)+\ldots+a_{in}l(b_n)=l(c_i)=0$$ en las variables $l(b_1), l(b_2),\ldots, l(b_n)$ igualada a $0$, de forma que las $m$ condiciones dan un sistema de ecuaciones homogéneo.
  • Podemos resolver este sistema con reducción gaussiana para encontrar todas las soluciones, aunque basta con encontrar a las soluciones fundamentales, pues justo forman la base de $\text{span}(S)^\bot=S^\bot$.

Veamos este método en acción.

Ejemplo de encontrar el espacio ortogonal de manera práctica

Ejercicio. Considera el subconjunto $S$ de $\mathbb{R}^3$ cuyos elementos son $(2,3,-5)$, $(-1,0,1)$, $(3,3,-6)$, $(-3,-2,5)$. Determina $S^\bot$.

Solución. Para encontrar $S^\bot$, basta encontrar $\text{span}(S)^\bot$.

Lo primero que notamos es que todos los vectores de $S$ satisfacen que la suma de sus entradas es $0$, así que todos los vectores en $\text{span}(S)$ también, de modo que $\text{span}(S)$ no es todo $\mathbb{R}^3$, así que es de dimensión a lo más $2$. Notamos también que $(-1,0,1)$ y $(2,3,-5)$ son linealmente independientes, así que $\text{span}(S)$ es de dimensión al menos $2$, de modo que es de dimensión exactamente $2$ y por lo tanto $(-1,0,1)$ y $(2,3,-5)$ es una base.

Para cualquier forma lineal $l$ en $\mathbb{R}^3$ existen reales $a$, $b$, $c$ tales que $l(x,y,z)=ax+by+cz$. Para encontrar aquellas formas lineales que se anulan en $\text{span}(S)$, basta encontrar aquellas que se anulan en la base, es decir, en $(-1,0,1)$ y $(2,3,-5)$. De esta forma, necesitamos resolver el sistema de ecuaciones homogéneo \begin{align*}-a+c&=0\\2a+3b-5c&=0.\end{align*}

Para resolver este sistema, aplicamos reducción gaussiana:

\begin{align*}
&\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 2 & 3 & -5\end{pmatrix}\\
\to & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 3 & -3\end{pmatrix}\\
\to & \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}
\end{align*}

La variable libre es $c$ y las pivote son $a$ y $b$. Obtenemos $a=c$ y $b=c$, de donde las soluciones se ven de la forma $(c,c,c)$. Concluimos entonces que $S^\bot$ son las formas lineales tales que $$l(x,y,z)=c(x+y+z)$$ para algún real $c$.

$\square$

En el ejemplo anterior, la dimensiones de $\text{span}(S)$ y de $\text{span}(S)^\bot$ suman $3$, que es la dimensión de $\mathbb{R}^3$. Esto no es una casualidad, como veremos en la siguiente sección.

El teorema de dualidad

Las dimensiones de un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita, y de su espacio ortogonal, están relacionadas con la dimensión del espacio. Este es uno de los teoremas más importantes de dualidad.

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre $F$ y $W$ un subespacio de $V$ (o de $V^\ast)$. Entonces $$\dim W + \dim W^\bot = \dim V.$$

Demostración. Hagamos primero el caso en el que $W$ es un subespacio de $V$. Supongamos que $\dim V = n$ y que $\dim W = m$. Como $W$ es subespacio, tenemos que $m\leq n$. Tenemos que mostrar que $\dim W^\bot = n-m$, así que basta exhibir una base de $\dim W^\bot$ con $n-m$ formas lineales.

Para ello, tomemos $e_1,e_2,\ldots, e_m$ una base de $W$ y tomemos elementos $e_{m+1},\ldots,e_{n}$ que la completan a una base de $V$. Afirmamos que la base de $W^\bot$ que estamos buscando consiste de las formas coordenadas $e_{m+1}^\ast,\ldots,e_{n}^\ast$ correspondientes a $e_{m+1},\ldots,e_n$.

Por un lado, estas formas coordenadas son linealmente independientes, pues son un subconjunto de la base $e_1^\ast,\ldots, e_n^\ast$ de $V^\ast$. Por otro lado, si tenemos a una forma lineal $l$ de $V$, habíamos mostrado que la podemos expresar de la forma $$l=\sum_{i=1}^n \langle l, e_i \rangle e_i^\ast,$$ de modo que si $l$ se anula en todo $W$, en particular se anula en los vectores $e_1,\ldots,e_m$, por lo que $$l=\sum_{i=m+1}^n \langle l, e_i\rangle e_i^\ast,$$ lo cual exhibe a $l$ como combinación lineal de los elementos $e_{m+1}^\ast,\ldots,e_n^\ast$. De esta forma, este subconjunto de formas lineales es linealmente independiente y genera a $W^\bot$, que era justo lo que necesitábamos probar.

Ahora hagamos el caso en el que $W$ es un subespacio de $V^\ast$. Podríamos hacer un argumento análogo al anterior, pero daremos una prueba alternativa que usa la bidualidad canónica $\iota: V\to V^\ast ^\ast$. La igualdad $\langle l,v \rangle = 0$ es equivalente a $\langle \iota(v),l \rangle =0$. De esta forma, $v$ está en $W^\bot$ si y sólo si $\iota(v)\in V^\ast ^\ast$ se anula en todo $W$. Como $\iota$ es isomorfismo y el espacio de los $g\in V^\ast ^\ast$ que se anulan en $W$ tiene dimensión $$\dim V^\ast-\dim W = \dim V – \dim W$$ (por la primer parte del teorema), concluimos entonces que $$\dim W^\bot = \dim V – \dim W,$$ lo cual prueba la otra parte del teorema.

$\square$

Problema. Sea $W$ el subespacio de matrices simétricas de $M_3(\mathbb{R})$ ¿Cuál es la dimensión de $W^\bot$?

Solución. Se puede mostrar que $E_{11}$, $E_{22}$, $E_{33}$, $E_{12}+E_{21}$, $E_{23}+E_{32}$, $E_{13}+E_{31}$ forman una base para $W$. De esta forma, $W$ tiene dimensión $6$. Por el Teorema 1, tenemos que $\dim W^\bot = \dim M_3(\mathbb{R})-6=9-6=3$.

$\square$

Aplicar dos veces ortogonalidad en subespacios

Una consecuencia importante del teorema anterior es que aplicarle la operación «espacio ortogonal» a un subespacio de un espacio de dimensión finita nos regresa al inicio. Más formalmente:

Corolario. Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $F$ y $W$ un subespacio de $V$ (o de $V^\ast$), entonces $(W^\bot)^\bot=W$.

Demostración. Haremos la prueba para cuando $W$ es subespacio de $V$. La otra es análoga y se deja como tarea moral. Lo primero que vamos a mostrar es que $W\subset (W^\bot)^\bot$. Tomemos $w$ en $W$. Tenemos que mostrar que $l(w)=0$ para cualquier $l$ en $W^\bot$. Por definición, un $l$ en $W^\bot$ se anula en todo elemento de $W$, así que se anula particularmente en $w$, como queremos.

Como $W$ y $(W^\bot)^\bot$ son espacios vectoriales, tenemos que $W$ es subespacio de $(W^\bot)^\bot$. Por el teorema de dualidad, tenemos que $$\dim W^\bot = \dim V – \dim W.$$ Usando esto y de nuevo el teorema de dualidad, tenemos que $$\dim (W^\bot)^\bot = \dim V – \dim W^\bot = \dim W.$$

De esta forma, $W$ es un subespacio de $\dim (W^\bot)^\bot$ de su misma dimensión, y por lo tanto $W= (W^\bot)^\bot$.

$\square$

Hay que tener particular cuidado en usar el corolario anterior. Solamente se puede garantizar su validez cuando $W$ es un subespacio de $V$, y cuando $V$ es de dimensión finita. En efecto, si $S$ es simplemente un subconjunto de $V$ y no es un subespacio, entonces la igualdad $S=(S^\bot)^\bot$ es imposible, pues al lado derecho tenemos un subespacio de $V$ y al izquierdo no.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios te ayudarán a repasar los conceptos vistos en esta entrada.

  • Demuestra la proposición enunciada en la entrada
  • Sea $S$ el subespacio de matrices diagonales en $M_n(\mathbb{R})$. ¿Cuál es la dimensión de $S^\bot$?
  • Considera $\mathbb{R}_3[x]$, el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales y grado a lo más $3$. Considera las formas lineales $\text{ev}_2$ y $\text{ev}_3$ que evalúan a un polinomio en $2$ y en $3$ respectivamente. ¿Quién es el espacio ortogonal de $\{\text{ev}_2,\text{ev}_3\}$?
  • Prueba la segunda parte del teorema de dualidad con un argumento análogo al que usamos para probar la primer parte.
  • Prueba el corolario para cuando $W$ es subespacio de $V^\ast$.
  • Verifica que las matrices propuestas en el último ejercicio en efecto forman una base para el subespacio de matrices simétricas.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de ortogonalidad y de espacios ortogonales como si fueran un concepto nuevo, dejando de lado, al menos por el momento, nuestras ideas previas de asociar ortogonalidad con perpendicularidad. También vimos cómo encontrar un espacio ortogonal de manera práctica y hablamos de un teorema muy importante: el teorema de la dualidad.

Lo que sigue es hablar de cómo la noción de ortogonalidad nos permite estudiar sistemas de ecuaciones e hiperplanos. En la siguiente entrada estudiaremos estos conceptos.

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