Álgebra Superior II: La conjugación compleja

Introducción

En una entrada anterior definimos al conjunto \mathbb{C} números complejos. Vimos que sus elementos tenían la forma a+bi, donde a y b son números reales. Introdujimos las operaciones de suma y producto, y vimos que con estas operaciones \mathbb{C} es un campo. En esta entrada hablaremos acerca de la conjugación compleja.

Definición. Tomemos un complejo z=a+bi. El conjugado de z es el complejo a-bi y lo denotamos por \overline{z}.

Ejemplo. Si tenemos a z=5+8i, entonces \overline{z}=5-8i. Si tenemos z=\sqrt{3}-8\pi i, entonces \overline{z}=\sqrt{3}+8\pi i.

En la entrada anterior justificamos que podíamos abandonar la notación de parejas, sin embargo en ocasiones seguirá siendo útil pensar al complejo a+bi como el punto (a,b) del plano. Si lo pensamos así, la conjugación compleja manda al punto (a,b) al punto (a,-b), es decir, se comporta como una reflexión en el eje x.

La conjugación compleja se comporta como una reflexión en el eje x
La conjugación compleja se comporta como una reflexión en el eje x

Conjugación y operaciones complejas

La conjugación compleja se comporta bien con las operaciones en \mathbb{C}. Ese es el contenido de la siguiente proposición.

Proposición 1. Si w y z son complejos, entonces

  • El conjugado de la suma es la suma de los conjugados, es decir, \overline{w+z}=\overline{w}+\overline{z} y
  • El conjugado del producto es el producto de los conjugados, es decir, \overline{wz}=\overline{w}\overline{z}.

Demostración. Escribimos w=a+bi y z=c+di con a,b,c,d reales. Tenemos que

    \begin{align*}\overline{w+z}&=\overline{(a+c)+(b+d)i}\\&=(a+c)-(b+d)i\\&=(a-bi)+(c-di)\\&=\overline{w}+\overline{z},\end{align*}

lo cual prueba la primera parte, y que

    \begin{align*}\overline{wz}&=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}\\&=(ac-bd)-(ad+bc)i\\&=(ac-(-b)(-d))+(a(-d)+b(-c))i\\&=(a-bi)(c-di)\\&=\overline{w}\overline{z},\end{align*}

que prueba la segunda parte.

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Se pueden mostrar resultados análogos para la conjugación compleja de la resta y cociente. Esto está en la tarea moral.

Ejemplo. Considera a los complejos 5+4i, 3+2i, 1-i. Vamos a determinar el conjugado de su suma de dos formas distintas. Por un lado, si los sumamos obtenemos el complejo

    \[(5+3+1)+(4+2-1)i=9+5i,\]

cuyo conjugado es 9-5i.

Por otro lado, podemos conjugar a cada uno de los números independientemente para obtener 5-4i, 3-2i y 1+i. Al hacer la suma de estos complejos, obtenemos

    \[(5+3+1)+(-4-2+1)i=9-5i.\]

En ambos casos obtenemos lo mismo.

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La conjugación compleja es autoinversa

Proposición 2. La operación “conjugar” es autoinversa, y por lo tanto es biyectiva.

Demostración. En efecto, si z=a+bi, entonces

    \[\overline{\overline{z}}=\overline{a-bi}=a+bi=z.\]

Si quisiéramos ver que conjugar es suprayectivo, tomamos z en \mathbb{C} y tenemos que \overline{\overline{z}}=z, de modo que z está en la imagen de la operación conjugación.

Si quisiéramos ver que conjugar es inyectivo, tomamos w y z en \mathbb{C} tales que \overline{w}=\overline{z}. Aplicando conjugación a esta igualdad, y usando la primer parte de la proposición, tenemos que w=z.

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Operaciones de un complejo con su conjugado

Para un número complejo z=a+bi, a a le llamamos la parte real de z y a b le llamamos la parte imaginaria. Usamos la notación a=\text{Re}(z) y b=\text{Im}(z), respectivamente. Cuidado: la parte imaginaria es un número real. Se llama imaginaria porque es la que acompaña a i.

Si hacemos operaciones de un complejo con su conjugado, obtenemos valores especiales.

Proposición 3. Sea z un número complejo. Entonces:

  • z+\overline{z}=2\text{Re}(z)
  • z-\overline{z}=2\text{Im}(z) i
  • z\overline{z}=\text{Re}(z)^2+\text{Im}(z)^2

La demostración de la Proposición 3 es sencilla, y se deja como tarea moral.

Ejemplo. Si tomamos al complejo 3+4i y le sumamos su conjugado 3-4i, obtenemos el número real 6, que es dos veces la parte real de 3+4i.

Si hacemos la multiplicación (3+4i)(3-4i), obtenemos también un número real:

    \[3^2-(4i)^2=9-(-16)=25.\]

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Como corolario de la Proposición 3, obtenemos lo siguiente.

Corolario. Si z=\overline{z}, entonces z es un número real.

Demostración. Por la primer parte de la Proposición 3, tenemos que 2z=z+\overline{z}=2\text{Re}(z), de modo que z=\text{Re}(z) y por lo tanto z es un número real.

Ejercicio. Muestra que el complejo

    \[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2} i \right)  \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2} i \right)\]

es un número real.

Solución. Podríamos hacer las cuentas y verificar que la parte imaginaria es 0. Sin embargo, basta con notar que la expresión es el producto de un complejo con su conjugado, es decir, es de la forma z\overline{z}. De manera directa, por la última parte de la Proposición 3 obtenemos que es un número real.

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La conjugación compleja es (casi) el único automorfismo que fija a los reales

En las secciones anteriores vimos que la conjugación compleja deja fijos a los reales y que respeta las operaciones. En esta sección veremos que es la única operación en \mathbb{C} que hace esto y que no sea la identidad.

Teorema. Si \eta:\mathbb{C}\to \mathbb{C} es una función biyectiva. tal que

  • \eta no es la identidad,
  • \eta(a)=a para todo a real,
  • \eta(w+z)=\eta(w)+\eta(z) para todo par de complejos w y z, y
  • \eta(wz)=\eta(w)\eta(z) para todo par de complejos w y z,

entonces \eta es la conjugación compleja.

Demostración. Tomando z=a+bi, tenemos que

    \begin{align*}\eta(a+bi)&=\eta(a)+\eta(bi)\\&=\eta(a)+\eta(b)\eta(i)\\&=a+b\eta(i),\end{align*}

así que basta determinar quién es \eta(i). Por otro lado, como -1 es real, tenemos también que

    \begin{align*}-1&=\eta(-1)\\&=\eta(i\cdot i)\\&=\eta(i)\eta(i)\\&=\eta(i)^2,\end{align*}

de modo que \eta(i) es una raíz de -1 y por lo tanto es i o -i. Si \eta(i)=i, tendríamos que \eta es la identidad, que contradice nuestras hipótesis. Así, \eta(i)=-i y por lo tanto \eta es la conjugación compleja.

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Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Considera los complejos w_j=5+(2-j)i, en donde j es un entero en \{0,1,2,3,4}. Encuentra el valor de la suma w_0+w_1+w_2+w_3+w_4 y del producto w_0w_1w_2w_3w_4.
  • Toma complejos w y z. Muestra que \overline{w-z}=\overline{w}-\overline{z} y que si z\neq 0, entonces \overline{w/z}=\overline{w}/ \overline{z}.
  • Haz la demostración de la Proposición 3
  • ¿Cuáles complejos satisfacen que z^2=\overline{z}?
  • Sea z un complejo distinto de 0. ¿Qué obtienes cuando realizas la división z/\overline{z}?

En el blog hay una entrada acerca de aplicaciones de la aritmética de números complejos a la resolución de problemas en matemáticas. No formará parte de la evaluación del curso, pero puede ayudarte a entender más profundamente lo que estamos haciendo y a motivar la teoría que desarrollamos.

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