Introducción
En una entrada anterior definimos al conjunto números complejos. Vimos que sus elementos tenían la forma
, donde
y
son números reales. Introdujimos las operaciones de suma y producto, y vimos que con estas operaciones
es un campo. En esta entrada hablaremos acerca de la conjugación compleja.
Definición. Tomemos un complejo . El conjugado de
es el complejo
y lo denotamos por
.
Ejemplo. Si tenemos a , entonces
. Si tenemos
, entonces
.
En la entrada anterior justificamos que podíamos abandonar la notación de parejas, sin embargo en ocasiones seguirá siendo útil pensar al complejo como el punto
del plano. Si lo pensamos así, la conjugación compleja manda al punto
al punto
, es decir, se comporta como una reflexión en el eje
.


Conjugación y operaciones complejas
La conjugación compleja se comporta bien con las operaciones en . Ese es el contenido de la siguiente proposición.
Proposición 1. Si y
son complejos, entonces
- El conjugado de la suma es la suma de los conjugados, es decir,
y
- El conjugado del producto es el producto de los conjugados, es decir,
.
Demostración. Escribimos y
con
reales. Tenemos que
Se pueden mostrar resultados análogos para la conjugación compleja de la resta y cociente. Esto está en la tarea moral.
Ejemplo. Considera a los complejos ,
,
. Vamos a determinar el conjugado de su suma de dos formas distintas. Por un lado, si los sumamos obtenemos el complejo

Por otro lado, podemos conjugar a cada uno de los números independientemente para obtener ,
y
. Al hacer la suma de estos complejos, obtenemos
La conjugación compleja es autoinversa
Proposición 2. La operación «conjugar» es autoinversa, y por lo tanto es biyectiva.
Demostración. En efecto, si , entonces
Si quisiéramos ver que conjugar es suprayectivo, tomamos en
y tenemos que
, de modo que
está en la imagen de la operación conjugación.
Si quisiéramos ver que conjugar es inyectivo, tomamos y
en
tales que
. Aplicando conjugación a esta igualdad, y usando la primer parte de la proposición, tenemos que
.
Operaciones de un complejo con su conjugado
Para un número complejo , a
le llamamos la parte real de
y a
le llamamos la parte imaginaria. Usamos la notación
y
, respectivamente. Cuidado: la parte imaginaria es un número real. Se llama imaginaria porque es la que acompaña a
.
Si hacemos operaciones de un complejo con su conjugado, obtenemos valores especiales.
Proposición 3. Sea un número complejo. Entonces:
La demostración de la Proposición 3 es sencilla, y se deja como tarea moral.
Ejemplo. Si tomamos al complejo y le sumamos su conjugado
, obtenemos el número real
, que es dos veces la parte real de
.
Si hacemos la multiplicación , obtenemos también un número real:
Como corolario de la Proposición 3, obtenemos lo siguiente.
Corolario. Si , entonces
es un número real.
Demostración. Por la primer parte de la Proposición 3, tenemos que , de modo que
y por lo tanto
es un número real.
Ejercicio. Muestra que el complejo
Solución. Podríamos hacer las cuentas y verificar que la parte imaginaria es . Sin embargo, basta con notar que la expresión es el producto de un complejo con su conjugado, es decir, es de la forma
. De manera directa, por la última parte de la Proposición 3 obtenemos que es un número real.
La conjugación compleja es (casi) el único automorfismo que fija a los reales
En las secciones anteriores vimos que la conjugación compleja deja fijos a los reales y que respeta las operaciones. En esta sección veremos que es la única operación en que hace esto y que no sea la identidad.
Teorema. Si es una función biyectiva. tal que
no es la identidad,
para todo
real,
para todo par de complejos
y
, y
para todo par de complejos
y
,
entonces es la conjugación compleja.
Demostración. Tomando , tenemos que
así que basta determinar quién es . Por otro lado, como
es real, tenemos también que
de modo que es una raíz de
y por lo tanto es
o
. Si
, tendríamos que
es la identidad, que contradice nuestras hipótesis. Así,
y por lo tanto
es la conjugación compleja.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Considera los complejos
, en donde
es un entero en
. Encuentra el valor de la suma
y del producto
.
- Toma complejos
y
. Muestra que
y que si
, entonces
.
- Haz la demostración de la Proposición 3
- ¿Cuáles complejos satisfacen que
?
- Sea
un complejo distinto de
. ¿Qué obtienes cuando realizas la división
?
En el blog hay una entrada acerca de aplicaciones de la aritmética de números complejos a la resolución de problemas en matemáticas. No formará parte de la evaluación del curso, pero puede ayudarte a entender más profundamente lo que estamos haciendo y a motivar la teoría que desarrollamos.