MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
En las entradas anteriores definimos los espacios de Lebesgue $L^p$ para $p\in [1,\infty]$ y estudiamos algunas de sus propiedades. En esta entrada trataremos de responder la pregunta ¿Qué relación existe entre los espacios $L^p$ y $L^q$ cuando $p\neq q$?
En general $L^p \nsubseteq L^q$
A pesar de lo que la intuición podría sugerirnos, en general, dados $1\leq p\leq \infty$ y $1\leq q \leq \infty$ con $p\neq q$, NO se tiene ninguna contención:
$$L^p\subseteq L^q$$ Ni $$L^q\subseteq L^p.$$
Ejemplo. Consideremos funciones de la forma $$x\to\frac{1}{x^{\alpha}}$$
Es fácil verificar que $$\int_1^\infty \frac{1}{x^{\alpha}} \ \mathrm{d}x<\infty \iff \alpha>1$$ Y que $$\int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}} \ \mathrm{d}x<\infty \iff \alpha<1.$$ Entonces, dados $p,q\in [1,\infty)$ con $p<q$, podemos encontrar un número $\gamma>0$ tal que $$\gamma p<1<\gamma q.$$ Tomemos $f(x)=\frac{\chi_{[1,\infty)}(x)}{x^{\gamma}}$ y $g(x)=\frac{\chi_{(0,1)}(x)}{x^{\gamma}}$.
De modo que $$\int_{\mathbb{R}} |f|^p \ \mathrm{d}x=\int_1^\infty \frac{1}{x^{\gamma p}} \ \mathrm{d}x<\infty; \ \ \ \ \int_{\mathbb{R}} |f|^q \ \mathrm{d}x=\int_1^\infty \frac{1}{x^{\gamma q}} \ \mathrm{d}x=\infty.$$
Por lo que $f\in L^p(\mathbb{R})$ pero $f\notin L^q(\mathbb{R})$. Similarmente
$$\int_{\mathbb{R}} |g|^p \ \mathrm{d}x=\int_0^1 \frac{1}{x^{\gamma p}} \ \mathrm{d}x=\infty; \ \ \ \ \int_{\mathbb{R}} |g|^q \ \mathrm{d}x=\int_0^1 \frac{1}{x^{\gamma q}} \ \mathrm{d}x<\infty.$$ Por lo que $g\in L^q(\mathbb{R})$ pero $f\notin L^p(\mathbb{R})$.
Si bien en general $L^p\nsubseteq L^q$ cuando $p\neq q$, sí podemos dar una contención en el caso de que $\mu$ sea una medida finita.
Proposición. Si $\mu$ es una medida finita, y $s<r$, entonces $L^r(X)\subseteq L^s(X)$ con $$\left\lVert f \right\lVert_s\leq (\mu(X))^{\frac{r-s}{rs}}\left\lVert f \right\lVert_r$$
Demostración. Tomando $(p,q)=(\frac{r}{r-s},\frac{r}{s})$ en la desigualdad de Hölder se sigue:
\begin{align*}
\left\lVert f \right\lVert_s^s &=\int_X |f|^s \ \mathrm{d}\mu \\ &= \int_X 1\cdot |f|^s \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left( \int_X 1 \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{r-s}{r}} \left( \int_X (|f|^s)^{\frac{r}{s}} \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{s}{r}} \\
&= (\mu(X))^{\frac{r-s}{r}}\left\lVert f \right\lVert_r^{s}
\end{align*}
$$\implies \left\lVert f \right\lVert_s\leq (\mu(X))^{\frac{r-s}{rs}}\left\lVert f \right\lVert_r$$
Como queríamos probar.
Interpolación de espacios $L^p$
También podemos decir algo sobre $L^p\cap L^r$ con $p\neq r$.
Proposición (Identidad de interpolación). Sean $1\leq p <q<r\leq \infty$. Si $f\in L^p\cap L^r$, entonces $f\in L^q$. Además $$\left\lVert f \right\lVert_{q}\leq \left\lVert f \right\lVert_{p}^{\lambda}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{1-\lambda}.$$
Donde $\lambda\in (0,1)$ es aquel número tal que $$\frac{1}{q}=\frac{\lambda}{p}+\frac{(1-\lambda)}{r}.$$
Es decir $\lambda=\frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}}$. (En este caso, hacemos la convención $\frac{1}{\infty}=0$).
Demostración. Si $r=\infty$, tenemos que $|f|^q\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{q-p}|f|^p$ y $\lambda=\frac{p}{q}$. Integrando, se sigue que:
$$\left\lVert f \right\lVert_{q}=\left( \int |f|^q \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{q}}\leq \left( \int \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{q-p}|f|^p \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{q}}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{p}{q}}\left\lVert f \right\lVert_{p}^{\frac{p}{q}}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\lambda}\left\lVert f \right\lVert_{p}^{\lambda}$$
Si $r<\infty$, observemos que la pareja $\frac{p}{\lambda q}, \frac{r}{(1-\lambda)q}$ son conjugados de Hölder pues: $$\frac{\lambda q}{p}+\frac{(1-\lambda)q}{r}=q\left( \frac{\lambda}{p}+\frac{(1-\lambda)}{r}\right)=\frac{q}{q}=1.$$
Así que, aplicando la desigualdad de Hölder con tales conjugados:
\begin{align*}
\left\lVert f \right\lVert_{q}^q &= \int |f|^q \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int |f|^{\lambda q}|f|^{(1-\lambda)q} \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left( \int (|f|^{\lambda q})^{\frac{p}{\lambda q}} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{\lambda q}{p}}\left( \int (|f|^{(1-\lambda) q})^{\frac{r}{(1-\lambda )q}} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{(1-\lambda) q}{r}} \\
&= \left( \int |f|^p \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{\lambda q}{p}} \left( \int |f|^r \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{(1-\lambda) q}{r}} \\
&= \left\lVert f \right\lVert_{q}^{\lambda q}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{(1-\lambda )q}
\end{align*}
Tomando raíces $q$-ésimas se sigue entonces:
$$ \left\lVert f \right\lVert_{q}\leq \left\lVert f \right\lVert_{q}^{\lambda }\left\lVert f \right\lVert_{r}^{(1-\lambda )}.$$