Introducción a ecuaciones en complejos

En entradas anteriores ya platicamos acerca de la construcción de los números complejos. Vimos que, con las operaciones de suma y resta que definimos, $\mathbb{C}$ es un campo. Además, introdujimos las nociones de conjugación compleja y de norma compleja. Como ya entendemos un poco de las operaciones que tenemos en $\mathbb{C}$, podemos empezar a hablar de otro de los temas que interesa al álgebra: resolver ecuaciones. Comenzaremos hablando acerca de ecuaciones cuadráticas complejas.

En entradas posteriores de este parcial, y del siguiente, veremos cómo resolver otro tipo de ecuaciones en los números complejos:

• Sistemas de ecuaciones lineales complejos.
• Ecuaciones de la forma $z^n=w$.
• La ecuación cúbica $ax^3+bx^2+cx+d=0$.
• La ecuación de grado 4 $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$.

En realidad, los números complejos son la estructura numérica correcta para resolver todo tipo de polinomios, es decir, expresiones como las de los últimos tres incisos anteriores. Esto se debe al teorema fundamental del álgebra, que dice lo siguiente.

Teorema (fundamental del álgebra). Sea $n$ un entero positivo y $a_0,\ldots,a_n$ en $\mathbb{C}$ con $a_n\neq 0$. La ecuación en números $$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0$$ tiene por lo menos una solución $x$ en $\mathbb{C}$.

La demostración de este teorema en el curso será optativa, y la veremos sólo si tenemos tiempo suficiente. Antes de poder hacer esto, tenemos que seguir discutiendo sobre los números complejos (en esta unidad) y a los polinomios (en la siguiente unidad). Si en algún momento llevas un curso de análisis complejo, también demostrarás el teorema fundamental del álgebra, con ideas un poco más profundas.

Otra aclaración. Si el teorema fundamental del álgebra dice que toda ecuación polinomial tiene solución, ¿por qué sólo estudiamos hasta la ecuación de grado cuatro? La razón es que para grados dos, tres y cuatro podemos dar las soluciones a estas ecuaciones de manera algebraica, es decir, podemos expresar las soluciones con una fórmula (de cierto tipo) en términos de los coeficientes de la ecuación. En el caso de que la ecuación sea de grado 5 en adelante, en cierto sentido matemático no se puede. La demostración de esto la puedes ver en un curso de álgebra moderna intermedio, en el que se discuta teoría de Galois.

Raíces cuadradas en los complejos

Las ecuaciones cuadráticas complejas se resuelven de una forma parecida a lo que hacemos en $\mathbb{R}$: usando la fórmula cuadrática. Es decir, si tenemos la ecuación $ax^2+bx+c=0$ con $a,b,c$ en $\mathbb{C}$ y $a\neq 0$, veremos más abajo que la podemos resolver mediante la fórmula $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Esta expresión necesita que podamos encontrar la raíz cuadrada de un número complejo arbitrario. Vamos a mostrar que esto siempre es posible. Comencemos notando que el único complejo $z$ tal que $z^2=0$ es el $0$: si hubiera uno $z\neq 0$, multiplicando en ambos lados por $z^{-1}$ tendríamos que $z=0\cdot z^{-1}=0$, una contradicción.

Teorema. Sea $w\neq 0$ un número complejo. Entonces la ecuación $$z^2=w$$ tiene exactamente dos soluciones para $z$ en $\mathbb{C}$ y son inversos aditivos entre ellas.

Demostración. Tomemos $w=a+bi$ un número complejo. Supongamos que $z=x+yi$ es tal que $z^2=w=a+bi$. Tenemos que
\begin{align*}
a+bi=z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+2xyi,
\end{align*}

de donde $x^2-y^2=a$ y $2xy=b$. Elevando al cuadrado y sumando ambas ecuaciones, tenemos que
\begin{align*}
a^2+b^2&=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2\\
&=(x^2+y^2)^2.
\end{align*}

Como $a$ y $b$ son números reales, tenemos que $a^2+b^2$ es un número real no negativo. Del mismo modo, $x^2+y^2$ es un real no negativo. De esta forma, sacando raíz cuadrada en la ecuación anterior, obtenemos que $$x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}=\Vert w \Vert.$$

Sabemos además que $x^2-y^2=a=\text{Re}(w)$. Si sumamos ambas ecuaciones obtenemos $$x^2=\frac{\Vert w\Vert + \Rea(w)}{2}$$ y restándolas obtenemos $$y^2=\frac{\Vert w\Vert – \Rea(w)}{2}.$$

Recordemos que $\Vert w\Vert \geq |\Rea(w)|$ para todo complejo $w$, de modo que los términos del lado derecho de las igualdades anteriores son siempre positivos. Por esta razón, podemos sacar raíz de ambos lados. Pero ahora no hay nada que nos garantice que $x$ y $y$ sean positivos, así que hay que considerar dos casos en cada raíz, reflejados por el símbolo $\pm$ en las siguientes expresiones:

\begin{align*}
x&=\pm \sqrt{\frac{\Vert w\Vert + \Rea(w)}{2}}\\
y&=\pm \sqrt{\frac{\Vert w\Vert – \Rea(w)}{2}}.
\end{align*}

Hay que tener cuidado. No se valen las cuatro posibilidades de elecciones de signo. Notemos que de la ecuación $2xy=b$ tenemos que $xy$ tiene el mismo signo que $b=\Ima(w)$, así que si $\Ima(w)>0$ tienen que elegirse $x$ y $y$ con signos iguales y si $\Ima(w)<0$, tienen que elegirse con signos diferentes. Independientemente de la elección, las dos posibilidades dan dos soluciones para $z=x+iy$ que son inversas aditivas entre sí.

$\square$

Por notación. si tenemos un número complejo $w$, llamamos $\sqrt{w}$ a cualquiera de sus raíces cuadradas. Por el teorema anterior, su otra raíz es $-\sqrt{w}$.

Hay que tener cuidado. Para cuando $r$ es un real positivo, la notación $\sqrt{r}$ se refiere, por definición, a la raíz positiva. Cuando $w$ es un complejo arbitrario, no hay una forma «canónica» o «natural» de definir cuál de las dos raíces es «la correcta». Lo importante es que hay dos, y que son inversas aditivas entre sí.

Ejemplos de cómo obtener raíces cuadradas complejas

Antes de discutir cómo resolver ecuaciones cuadráticas complejas en general, veamos algunos ejemplos de cómo se usa el teorema anterior de manera práctica.

Problema. Encuentra las raíces cuadradas de $i$.

Solución. Tenemos que $\Vert i \Vert = 1$ y que $\Rea(i) = 0$, así que las soluciones $z=x+yi$ están dadas mediante

\begin{align*}
x&=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\\
y&=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} .
\end{align*}

Como $\Ima(i)=1>0$, tenemos que elegir a $x$ y $y$ con los mismos signos entre sí, así que las soluciones son
\begin{align*}
z_1&=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\\
z_2&=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i.
\end{align*}

$\square$

Problema. Encuentra las raíces cuadradas de $-21-20i$.

Solución. Tenemos que
\begin{align*}
\Vert -21-20i \Vert &= \sqrt{21^2+20^2}\\
&=\sqrt{841}\\
&=29,
\end{align*}

y que $\Rea(-21-20i)=-21$. Así, las soluciones $z=x+iy$ están dadas mediante

\begin{align*}
x&=\pm \sqrt{\frac{29-21}{2}}=\pm\sqrt{4}=\pm 2\\
y&=\pm \sqrt{\frac{29+21}{2}}=\pm\sqrt{25}=\pm 5.
\end{align*}

Como $\Ima(-21-20i)=-20<0$, debemos elegir $x$ y $y$ de distinto signo, de donde obtenemos las soluciones

\begin{align*}
z_1&=2-5i\\
z_2&=-2+5i.
\end{align*}

$\square$

Solución de ecuaciones cuadráticas complejas

Una vez que sabemos obtener la raíz cuadrada de un número complejo, tenemos todo lo necesario para resolver ecuaciones cuadráticas complejas en general. Consideremos $a,b$ y $c$ en $\mathbb{C}$ con $a\neq 0$. Veamos cómo resolver la ecuación $$ax^2+bx+c=0.$$

Para empezar, dividimos entre $a$ de ambos lados y restamos $\frac{c}{a}$, también, de ambos lados. Se obtiene que $$x^2+\frac{b}{a} x = -\frac{c}{a}.$$ El siguiente paso es un truco algebraico útil que se llama «completar el cuadrado». Pensamos a los términos del lado izquierdo como los primeros dos de un binomio cuadrado y nos preguntamos, ¿qué término faltaría? El término faltante es $\frac{b^2}{4a^2}$. Sumando este término en ambos lados, llegamos a $$x^2+\frac{b}{a} x + \frac{b^2}{4a^{2}} = \frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$

La razón por la cual completamos el cuadrado es para poder escribir la expresión anterior como

$$(x+\frac{b}{2a})^2= \frac{b^2-4ac}{4a^2},$$

y aquí llegamos al punto en el que necesitamos obtener raíces cuadradas. Afortunadamente, ya sabemos que podemos hacer esto siempre en $\mathbb{C}$ y obtener $$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}},$$ de donde concluimos que las soluciones son

$$x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}.$$

Todos estos pasos son reversibles. Resumimos toda esta discusión en el siguiente resultado.

Teorema. Para $a,b,c$ en $\mathbb{C}$ y $a\neq 0$, la ecuación compleja $ax^2+bx+c=0$ tiene dos soluciones en $\mathbb{C}$ dadas por
\begin{align*}
x_1&=-\frac{b}{2a}+\sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\
x_2&=-\frac{b}{2a}- \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}}.
\end{align*}

Estas soluciones son iguales si y sólo si $b^2=4ac$ y en otro caso son distintas.

Ejemplos sobre resolución de ecuaciones cuadráticas complejas

Problema. Resuelve en $\mathbb{C}$ la ecuación $$x^2-5x+(7+i)=0.$$

Solución. Para usar la fórmula cuadrática, necesitaremos obtener la raíz $$\sqrt{\frac{25-4(7+i)}{4}}= \sqrt{-\frac{3}{4}-i}.$$

Como $$\left \lVert -\frac{3}{4}-i\right\lVert=\frac{\sqrt{25}}{4}=\frac{5}{4}$$ y $$\Rea\left(-\frac{3}{4}-i\right)=-\frac{3}{4},$$ las raíces $a+bi$ están dadas por

\begin{align*}
a=\pm\sqrt{\frac{\frac{5}{4}-\frac{3}{4}}{2}}=\pm\frac{1}{2}\\
b= \pm\sqrt{\frac{\frac{5}{4}+\frac{3}{4}}{2}}=\pm 1.
\end{align*}

Como $\Ima\left(-\frac{3}{4}-i\right)=-1<0$, para obtener las raíces tenemos que elegir signos distintos, es decir, que las raíces son \begin{align*}&\frac{1}{2} – i\\-&\frac{1}{2} +i.\end{align*}

Continuando con el problema original, concluimos, por la fórmula cuadrática, que las dos raíces son

\begin{align*}
x_1&=\frac{5}{2} + \frac{1}{2} – i = 3-i\\
x_2&=\frac{5}{2} – \frac{1}{2} + i =2+i.
\end{align*}

$\square$

La fórmula cuadrática funciona siempre para resolver ecuaciones cuadráticas complejas, pero a veces es demasiado. No hay que olvidar que tenemos toda el álgebra de $\mathbb{C}$ a nuestra disposición.

Problema. Resuelve en $\mathbb{C}$ la ecuación $$x^2-(3+8i)x=0.$$

Solución. En vez de usar la fórmula cuadrática, factorizamos la expresión del lado izquierdo para obtener que $$x(x-(3+8i))=0.$$

Para que un producto en $\mathbb{C}$ sea $0$, uno de los factores debe ser $0$. Así, $x=0$ ó $x-(3+8i)=0$, de donde las soluciones son \begin{align*}x_1&=0\\x_2&=3+8i.\end{align*}

$\square$

Tarea moral

• Verifica que los números complejos que obtuvimos en los ejemplos de raíces cuadráticas en efecto satisfacen que su cuadrado es el número original.
• Encuentra las raíces de $3+4i$, de $8-5i$, de $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}i$ y de $2-\sqrt{5}i$.
• Verifica que las soluciones que obtuvimos en los ejemplos de ecuaciones cuadráticas complejas en efecto satisfacen la ecuación cuadrática dada.
• Resuelve la ecuación cuadrática compleja $$ix^2+7x-7-i=0.$$
• Si $w$ y $z$ son números complejos, ¿quienes son las raíces de $wz$? Las raíces cuadradas de $w$ son dos, las de $z$ son dos, y los posibles productos de ellas son cuatro números. ¿Por qué esto no contradice que $wz$ tiene dos raíces?

Puedes practicar este tema con los videos y ejercicios disponibles en la página de Khan Academy. Para ello, visita su sección de ecuaciones cuadráticas en los complejos.