Identidad de Gauss e identidad de suma de tres cubos

Introducción

En la entrada anterior comenzamos a platicar acerca de identidades algebraicas útiles en la resolución de problemas matemáticos. Vimos algunas identidades básicas y platicamos acerca del teorema del binomio de Newton. En esta entrada veremos dos identidades más: la identidad de Gauss para suma de cuadrados y la identidad para factorizar $a^3+b^3+c^3-3abc$ . Damos más de una demostración de cada una de ellas para seguir explorando ideas algebraicas.

Identidad de cuadrados de Gauss

Proposición. Para $a,b,c,d$ números reales se cumple que

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.$

Demostración 1. Simplemente desarrollamos. Por un lado,

$\begin{align*}(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.\end{align*}$

Por otro lado, $(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ es

$\begin{align*}&a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2\\= &a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.\end{align*}$

$\square$

La siguiente demostración nos ayuda a entender un poco mejor la identidad y tiene una idea que se puede aplicar en varios contextos.

Demostración 2. Vamos a dar un pequeño brinco a los números complejos, pues ahí podemos hacer la factorización $x^2+y^2=(x+yi)(x-yi)$ .

Usando esa identidad:

$\begin{align*}&(a^2+b^2)(c^2+d^2) \\=&(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)\\=&(a+bi)(c+di)(a-bi)(c-di)\\=&((ac-bd)+(ad+bc)i) ((ac-bd)-(ad+bc)i)\\=&(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.\end{align*}$

$\square$

La idea que se puede recuperar de la demostración anterior es la siguiente: a veces una identidad no se puede factorizar en los números reales (racionales, enteros, etc), pero sí en los números complejos (otro sistema numérico más grande). Aunque el problema hable de números reales, es posible que podamos ir a los complejos y regresar a los reales con información.

Problema ejemplo para identidad de Gauss

Problema. Muestra que si tienes un número $x$ de la forma $r^2+7s^2$ , con $r$ y $s$ números enteros, entonces el número $x^{2020}$ también es de esa forma.

Sugerencia pre-solución. Aquí, el exponente $2020$ es sospechoso, y sugiere que en realidad el problema debe ser más general. Haz algunos casos pequeños para buscar un patrón de cómo se comporta el producto de dos números de esa forma. Después, para estudiar las potencias, usa el principio de inducción.

Solución. Notemos que

$x=r^2+7s^2=(r+\sqrt{7}si)(r-\sqrt{7}si)$

Tomemos otro número de esa forma, digamos

$y=t^2+7u^2= (t+\sqrt{7}ui)(t-\sqrt{7}ui).$

Al hacer el producto de $x$ y $y$ , aparecerá un factor

$(r+\sqrt{7}si)(t+\sqrt{7}ui)=((rt-7su)+(ru+st)\sqrt{7}i)$

y un factor

$(r-\sqrt{7}si)(t-\sqrt{7}ui)=((rt-7su)-(ru+st)\sqrt{7}i),$

que multiplicados son iguales a

$(rt-7su)^2+7(ru+st)^2.$

Con todo esto, concluimos que el producto de cualesquiera dos números de la forma buscada, también es de la forma buscada. De aquí, $x^2$ es de la forma buscada, e inductivamente $x^n$ es de la forma buscada para todo entero $n\geq 1$ . En particular, $x^{2020}$ es de la forma que se quiere.

$\square$

Identidad para $a^3+b^3+c^3-3abc$

Proposición. Para $a,b,c$ números reales, se tiene que

$a^3+b^3+c^3-3abc$

es igual a

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$

Esta identidad también tiene varias demostraciones, que en conjunto guardan varias ideas. Veamos dos de ellas.

Demostración 1. Simplemente hacemos el producto de la segunda expresión para verificar que nos de la primera. Claramente aparece un único $a^3$ y por simétría aparecen $b^3$ y $c^3$ exactamente una vez. También, claramente aparece tres veces la expresión $-abc$ . Todas las expresiones que aparecen son cúbicas y ya contamos las “de la forma” $x^3$ y $xyz$ , así que por simetría basta ver qué pasa con cada expresión de la forma $x^2y$ . Estas se obtienen ya sea de elegir $x$ en la primera y $-xy$ en la segunda, o bien $y$ en la primera y $x^2$ en la segunda, de modo que todas ellas se cancelan.

Sólo para asegurarnos que hicimos todo bien, deberíamos haber contado $3\cdot 6=18$ monomios. Hay tres de la forma $x^3$ , tres de la forma $xyz$ y cada uno de los seis la forma $x^2y$ ya lo encontramos $2$ veces, una vez positivo y una vez negativo. Así, nuestra cuenta abarca $3+3+6\cdot 3= 18$ monomios, así que ya contamos todos los términos.

$\square$

Hay una segunda demostración, que usa ideas de álgebra lineal. Daremos la idea general, y más adelante, cuando hablemos de matrices y determinantes, platicaremos de estas ideas más a detalle.

Demostración. Calculemos el determinante $D$ de la matriz

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{pmatrix}$

de dos formas distintas. Por un lado, podemos sumar los renglones $2$ y $3$ al primer renglón sin que cambie el determinante, así,

$D=\begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c\\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix}.$

De aquí, podemos factorizar $a+b+c$ pues está en cada entrada del primer renglón

$D=(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix}.$

Finalmente, desarrollando el determinante que queda usando el primer renglón, tenemos que

$\begin{align*}D&=(a+b+c)((a^2-bc)-(ca-b^2)+(c^2-ab))\\&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).\end{align*}$

Por otro lado, usando el truco para desarrollar un determinante de $3\times 3$ por diagonales,

$\begin{align*}D&=a^3+b^3+c^3-abc-abc-abc\\&= a^3+b^3+c^3-3abc.\end{align*}$

Igualando ambas expresiones para $D$ , obtenemos la identidad deseada.

$\square$

Problema ejemplo de factorización de $a^3+b^3+c^3-3abc$

Problema. Sean $a,b,c$ números reales. Muestra que $a^3+b^3+c^3=3abc$ si y sólo si $a+b+c=0$ o $a=b=c$ .

Sugerencia pre-solución. Necesitarás la identidad anterior y un análisis de casos. También, para uno de los casos necesitarás usar la factorización de $x^2-2xy+y^2$ algunas veces.

Solución. De acuerdo a la identidad de la sección anterior, $a^3+b^3+c^3=3abc$ si y sólo si

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0.$

Notemos que

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2},$

que siempre es mayor o igual que cero y es igual a $0$ si y sólo si $a-b=b-c=c-a=0$ , si y sólo si $a=b=c$ .

Así, $a^3+b^3+c^3=3abc$ si y sólo si alguno de los factores que lo conforman es cero, lo cual pasa si y sólo si $a+b+c=0$ o $a=b=c$ .

$\square$

Más problemas

Puedes ver más problemas que usan identidades algebraicas en la entrada anterior de este tema. Además, puedes encontrar más problemas de identidades algebraicas en la Sección 4.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

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