Introducción
En entradas anteriores ya estudiamos la noción de espacio dual y la de ortogonalidad. También vimos cómo a partir de la ortogonalidad podemos definir subespacios como intersección de hiperplanos. Como veremos a continuación, la ortogonalidad también nos permite definir qué quiere decir que consideremos la «transformación transpuesta» de una transformación lineal.
Antes de comenzar, vale la pena recordar también que cada transformación lineal entre espacios de dimensión finita puede ser expresada mediante una matriz que depende de la elección de bases de los espacios vectoriales. Como tal vez te imaginarás, la transformación transpuesta tendrá como matriz a la matriz transpuesta de la transformación original.
Esta intuición nos dice que hay que tener cuidado. Supongamos que estamos trabajando sobre un campo . Si tenemos espacios vectoriales
de dimensión
,
de dimensión
y una tranformación lineal
, recordemos que, tras elegir bases,
está representada por una matriz
en
, es decir, con
filas y
columnas.
Pero la matriz transpuesta es de
filas y
columnas, así que típicamente no representará a una transformación de
a
, pues las dimensiones no necesariamente coinciden. Podríamos intentar construir una transformación de
a
para que las dimensiones coincidan, pero resulta que esto no es «tan natural», por razones en las que no profundizaremos.
Lo que sí resulta muy natural y fácil de definir es una transformación de a
, lo cual tendrá sentido pues ya probamos que
y
, así que será representada por una matriz en
. Es un poco más difícil conceptualmente, pero las consecuencias matemáticas son más bonitas y útiles. Sin decir más, comenzamos con la teoría.
Definición y ejemplo de transformación transpuesta
Para definir «transformación transpuesta», le hacemos como sigue.
Definición. Sean y
espacios vectoriales sobre un campo
y sea
una transformación lineal. Definimos la transformación transpuesta de
, como la transformación
tal que a cada forma lineal
en
la manda a la forma lineal
en
para la cual
Otra forma de escribir a la definición es mediante la notación de emparejamiento canónico:
Veamos un ejemplo para entender mejor la definición.
Ejemplo. Considera a y
. Considera la transformación lineal
dada por
La transformación va a mandar a una forma lineal
de
a una forma lineal
de
. Las formas lineales
en
se ven de la siguiente forma




Si tomamos la base canónica ,
,
,
de
y la base canónica
de
, observa que la transformación
tiene como matriz asociada a la matriz
Por otro lado, los vectores de la base dual y
«leen las coordenadas», de modo que
y
. Por lo que vimos arriba,
es entonces la forma lineal
y
es la forma lineal
. En términos de la base dual en
, estos son
y
respectivamente. De esta forma, la transformación
tiene matriz asociada
Nota que en el ejemplo la transformación transpuesta tiene como matriz a la matriz transpuesta de la transformación original. Esto es algo que queremos que pase siempre, y más abajo lo demostramos.
Propiedades básicas de transformación transpuesta
Observa que la definición no necesita que y
sean de dimensión finita. A continuación enunciamos y probamos algunos resultados que se valen también en el contexto de dimensión infinita.
Teorema 1. Tomemos ,
,
espacios vectoriales sobre un campo
y
en
. Sean
transformaciones lineales. Sea
una transformación lineal. Se cumple todo lo siguiente:
es una transformación lineal.
.
.
- Si
y
es invertible, entonces
también lo es y
.
Para tener un poco más de intuición, observa cómo estas propiedades son análogas a las de transposición para matrices.
Demostración. Las partes 1 y 2 se demuestran usando cuidadosamente las definiciones. Haremos la demostración de y la demostración de
queda como tarea moral. Para probar
, necesitamos probar que
es lineal, así que tomemos
,
en
y
un escalar en
. Tenemos que demostrar que
Ésta es una igualdad de formas lineales en , y para mostrar su validez tenemos que mostrar que se vale en cada
. Por un lado,
Por otro lado,
En ambos casos obtenemos el mismo resultado, así que y
son iguales, mostrando que
es lineal.
Pasemos a la parte 3. La igualdad es una igualdad de transformaciones de
a
. Para verificar su veracidad, hay que ver que son iguales en cada elemento en su dominio. Tomemos entonces una forma lineal
en
. Queremos verificar la veracidad de



Por otro,
En ambos casos obtenemos el mismo resultado.
Para la parte 4 basta notar que si y
es invertible, entonces tiene una inversa
, y por la parte
tenemos que
mostrando que tiene inversa
. Observa que estamos usando que la transpuesta de la transformación identidad es la identidad. Esto no lo hemos probado, pero lo puedes verificar como tarea moral.
La matriz transpuesta es la matriz de la transformación transpuesta
Cuando estamos trabajando en espacios de dimensión finita, podemos mostrar que la matriz que le toca a la transformación transpuesta es precisamente la transpuesta de la matriz que le toca a la transformación original. Hacemos esto más preciso en el siguiente resultado.
Teorema 2. Sea una transformación lineal entre espacios de dimensión finita y
y
bases de
y
respectivamente. Si
es la matriz de
con respecto a
y
, entonces
es la matriz de la transformación
con respecto a las bases duales
y
.
Demostración. Necesitamos definir algo de notación. Llamemos ,
,
,
y
. Recordemos que la matriz
está hecha por las coordenadas de las imágenes de la base
en términos de la base
, es decir, que por definición tenemos que para toda
:
(1)
La transformación va de un espacio de dimensión
a uno de dimensión
, así que en las bases
y
se puede expresar como una matriz de
filas y
columnas. Afirmamos que ésta es la matriz
. Para ello, basta mostrar que las coordenadas de las imágenes de la base
en términos de la base
están en las filas de
, es decir, que para todo
tenemos que
La anterior es una igualdad de formas lineales en , de modo que para ser cierta tiene que ser cierta evaluada en todo
en
. Pero por linealidad, basta que sea cierta para todo
en la base
. Por un lado, usando (1),
en donde estamos usando que por definición de base dual y
si
. Por otro lado,
en donde estamos usando linealidad y la definición de base dual para .
Con esto concluimos la igualdad






Kernel e imagen de la transformación transpuesta
Finalmente, el siguiente resultado nos habla acerca de cómo están relacionadas las transformaciones transpuestas y la ortogonalidad.
Teorema 3. Sea una transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces
y
Demostración. Demostraremos la igualdad . Notemos que
si y sólo si
, lo cual sucede si y sólo si
. Pero esto último sucede si y sólo si para todo
en
se tiene que
, que en otras palabras quiere decir que
para todo
en
. En resumen,
pasa si y sólo si
se anula en todo
es decir, si y sólo si está en
.
El resto de las igualdades se demuestran de manera análoga, o alternativamente, usando la bidualidad canónica. Es un buen ejercicio hacerlo y se deja como tarea moral.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Muestra que la transpuesta de la transformación lineal
dada por
es invertible. Encuentra a su transpuesta y a la inversa de la transpuesta explícitamente.
- Muestra la parte
del Teorema 1.
- Muestra que la transpuesta de la transformación identidad es la identidad.
- Demuestra el resto de las igualdades del Teorema 3.
- Encuentra la transpuesta de la transformación traza que va de
a los reales. Recuerda que esta transformación manda a una matriz
a la suma de sus entradas en la diagonal principal, es decir
Más adelante…
En esta entrada enunciamos un resultado muy importante: deda una transformación lineal , su transformación transpuesta tiene como matriz asociada la matirz transpuesta de la matriz asociada de
. Este resultado nos permitirá calcular fácilmente la transpuesta de una transformación, como veremos en la entrada de problemas de este tema.
En la siguiente entrada del blog hablaremos por primera vez de formas bilineales: vamos a ver cómo nuestra discusión de transformaciones lineales facilitará mucho abordar este tema.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal I
- Entrada anterior del curso: Problemas de ortogonalidad, ecuaciones e hiperplanos
- Siguiente entrada del curso: Formas bilineales, propiedades, ejemplos y aclaraciones
Cuando dan el ejemplo después de la definición de transformación transpuesta… cuando queremos ver la matriz asociada a ^t(T) creo que en una parte debería ser «En términos de la base dual en V*, estos son […]»
-Decir V* en lugar de W*, ¿no?
Sip, en efecto. Lo corregimos, gracias.