4. Sistemas Dinámicos Discretos y Modelos de Crecimiento

4.1. Ejemplos elementales de sistemas dinámicos: números de Fibonacci, modelo de Malthus discreto

Los números de Fibonacci

Los números de Fibonacci son una secuencia de números enteros que aparecen en muchos fenómenos de la naturaleza. Esta secuencia se define de una manera muy simple: cada número, a partir del tercero, es la suma de los dos números anteriores. Es decir, la secuencia comienza así:

$F_0 = 0,$

$F_1 = 1,$

$F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1,$

$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2,$

$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3, \quad \dots$

Formalmente, la sucesión de Fibonacci se expresa como:

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, donde $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$ son condiciones iniciales.

Este patrón se repite para todos los números de la secuencia. Los números de Fibonacci aparecen, por ejemplo, en la distribución de las hojas de las plantas, las espirales de los caracoles, la proporción de las ramas de los árboles y muchos otros fenómenos naturales. Esto nos lleva a preguntarnos no sólo cómo se genera esta secuencia, sino por qué estructuras naturales parecen seguirla. Las matemáticas modelan patrones de crecimiento y organización que optimizan recursos en organismos vivos.

La sucesión de Fibonacci

En el año 1202, Leonardo de Pisa (1175–1250), mejor conocido como Fibonacci, publicó su libro Liber Abaci en el cual planteó el siguiente problema: Si se pone una pareja de conejos en un lugar rodeado por un muro, ¿cuántas parejas de conejos pueden salir de esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que, a partir del segundo mes, se vuelve fértil?

Para resolver el problema, Fibonacci supuso que cada pareja ―a partir del segundo mes― daba a luz a una nueva pareja de conejos por mes, y que cada pareja está conformada por un macho y una hembra. Para modelar esto matemáticamente, se define como

$y_n= \sum_{k=1}^\infty y_{k,n}$,

donde $y_{k,n}$ representa el número de parejas de conejos de edad k (meses) en el mes n; $y_n$ el número total de parejas en el mes n. También se asume que ningún conejo muere. De manera que cada conejo de edad k en el mes n, tendrá edad k + 1 en el mes n + 1. Por lo que la población de cada mes sería

$y_{k,n} = y_{k+1,n+1}$ para $y \geq 0, k \geq 0$.

Además, el número de parejas de conejos de un mes de edad en n + 1 es igual al número de parejas de dos meses o más en el mes anterior, es decir

$y_{1,n+2}=y_{2,n+1}+y_{3,n+1}+…$

Ahora, se supone que la pareja del inicio es adulta y no debe esperar dos meses para poder engendrar, por lo que las condiciones iniciales son 

$y_{1,0}=0$, $y_{2,0}=1$, $y_{k,0}=0$ para k > 2.

Por lo que para $n\geq 0$ se tiene que 

$y_{n+2}=\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+2}=y_{1,n+2}+\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+1}=\sum_{b=2}^\infty y_{b,n+1}+\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+1}$,

entonces $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$.

Entonces podemos deducir que 

$y_{1,1} =0, y_{2,1}=0, y_{3,1}=1, y_{k,1}=0$ para $k\geq 3$,

luego $y_1=1$. Entonces las condiciones iniciales son $y_0=y_1=1$.

Para entender cómo crece esta población con el tiempo, tenemos que resolver la ecuación obtenida $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$, que nos ayuda a predecir cómo se comportará la población de conejos en el futuro. Para esto, se necesita encontrar una fórmula general que permita predecir cómo será el número de parejas de conejos en cualquier mes n.

Lo que sigue es encontrar la solución general de esta ecuación, y para eso utilizamos algo llamado la ecuación característica. La idea es proponer una solución de la forma:

$y_n = C \lambda^n$,

donde C es una constante (que encontraremos más tarde), y $\lambda$ es lo que llamamos la raíz de la ecuación. La razón por la que proponemos esta forma es que la solución $y_n$​ crece como crecen las poblaciones, de forma exponencial.

Ahora, sustituimos esta forma en la ecuación de diferencias para encontrar $\lambda$. Esto es lo que se hace en la ecuación característica.

Sustituyendo $y_n = C \lambda^n$ en la ecuación $y_{n+2} = y_n + y_{n+1}$​, obtenemos:

1. $y_{n+2} = C \lambda^{n+2}$
2. $y_n = C \lambda^n$
3. $y_{n+1} = C \lambda^{n+1}$
   

Ahora, sustituyendo estas tres expresiones en $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$:

$C \lambda^{n+2} = C \lambda^n + C \lambda^{n+1}$

Como C es una constante no nula, podemos cancelarla en ambos lados de la ecuación, lo que nos deja con:

$\lambda^{n+2} = \lambda^n + \lambda^{n+1}$

Ahora, podemos dividir toda la ecuación entre $\lambda^n$ ―asumiendo que $\lambda \neq 0$―, luego:

$\lambda^2 = \lambda + 1$

Este es el resultado de la ecuación característica, y así es como queda simplificada la ecuación $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$ en una ecuación cuadrática:

$\lambda^2 – \lambda – 1 = 0$

Ahora, utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas tenemos que:

$\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

En este caso, los coeficientes de la ecuación son:

• a = 1 (el coeficiente de $\lambda^2$),
• b = –1 (el coeficiente de $\lambda$),
• c = –1 (el término independiente).
  

Sustituyendo en la fórmula general, tenemos:

$\lambda = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)}$

Simplificando:

$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Esto nos da dos soluciones para $\lambda$:

$\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ y $\lambda_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$​​

Estas dos soluciones son los valores de $\lambda$ que describen el crecimiento de la población de conejos. En este caso, la solución positiva $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$​​ es la que nos interesa, porque nos da la tasa de crecimiento de la población, que es un número mayor que 1. Este número es conocido como la proporción áurea y tiene muchas propiedades interesantes en biología y naturaleza.

La solución negativa $\lambda_2$​ no es útil en este caso, ya que corresponde a un crecimiento negativo, lo cual no ocurre en este modelo. Como menciona Britton “el crecimiento o decrecimiento geométrico ocurre en casi todos los modelos de ecuaciones diferenciales lineales, incluso cuando se incluye la estructura poblacional. Esto no es necesariamente un problema si tratamos un período finito, como en la pregunta que planteó Fibonacci” (Britton, p. 29).

Entonces, la solución general para la población de conejos en el mes n es:

$F_n = A_1 \lambda_1^n + A_2 \lambda_2^n$​,

donde $A_1$​ y $A_2$​ son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales. 

Usando las condiciones iniciales de la sucesión de Fibonacci para determinar las constantes $A_1$​ y $A_2$:

Sabemos que $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$, entonces sustituimos estos valores en la ecuación general para obtener un sistema de ecuaciones.

Para n = 0:

$F_0 = A_1 \lambda_1^0 + A_2 \lambda_2^0 = A_1 + A_2 = 0 \Rightarrow A_1 = -A_2$​

Para n = 1:

$F_1 = A_1 \lambda_1^1 + A_2 \lambda_2^1 = A_1 \lambda_1 + A_2 \lambda_2 = 1$

Sustituyendo $A_1 = -A_2$ tenemos que $-A_2 \lambda_1 + A_2 \lambda_2 = 1 \Rightarrow A_2 (\lambda_2 – \lambda_1) = 1$

Tenemos que las raíces de la ecuación característica para la sucesión de Fibonacci son:

$\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$​​.

Ahora, para calcular la diferencia $\lambda_2 – \lambda_1$​, simplemente restamos estas dos expresiones:

$\lambda_2 – \lambda_1 = \left( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right) – \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)$

Para simplificar, primero agrupamos los términos de forma conveniente:

$\lambda_2 – \lambda_1 = \frac{1 – \sqrt{5} – 1 – \sqrt{5}}{2}$

$\lambda_2 – \lambda_1 = \frac{-2\sqrt{5}}{2}$

$\lambda_2 – \lambda_1 = -\sqrt{5}$

Luego, como $\lambda_2 – \lambda_1 = -\sqrt{5}$​, tenemos:

$A_2 (-\sqrt{5}) = 1 \quad \Rightarrow \quad A_2 = \frac{-1}{\sqrt{5}}$.

Por lo tanto, $A_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$​.

Ahora que tenemos las constantes $A_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ y $A_2 = \frac{-1}{\sqrt{5}}$​, podemos escribir la solución general de la sucesión de Fibonacci como:

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} (\lambda_1^n – \lambda_2^n)$.

Dado que $\lambda_2$​ tiende a cero cuando n crece, podemos aproximar

$F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$​ para valores grandes de n.

Ejemplo 1.
Calcula de los primeros 10 términos de la sucesión de Fibonacci:

Los primeros 10 términos son:
$F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_3 = 2, \quad F_4 = 3, \quad F_5 = 5, \quad F_6 = 8, \quad F_7 = 13, \quad F_8 = 21, \quad F_9 = 34.$

Ejemplo 2.
Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 6 meses, usando la ecuación $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, luego comprueba el resultado usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$.

El número de parejas de conejos después de seis meses es $F_6 = F_{6-1} + F_{6-2} \Rightarrow  F_6 = F_{5} + F_{4}$ entonces $F_6 = 8$.

Ahora, usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, donde $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ y n es el mes para el cual queremos calcular el número de conejos, tenemos que 

$F_6 \approx \frac{(1.618)^6}{\sqrt{5}} \approx 8.02$. 

Ejercicio 1.
Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 38 meses.

Respuesta modelo
Usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, tendremos que

$F_38 \approx \frac{(1.618)^{38}}{\sqrt{5}} \approx 39056979.55$.

En 38 meses habrá 39 056 979 conejos.

Ejercicio 2.
Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 83 meses.

Respuesta modelo
Usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, tendremos que

$F_83 \approx \frac{(1.618)^{83}}{\sqrt{5}} \approx \frac{2.2142 \times 10^{17}}{\sqrt{5}} \approx 9.9022 \times 10^{21}$.
En 83 meses habrá aproximadamente $9.9022 \times 10^{21}$ conejos.

Demostración matricial de la sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se define de forma recursiva como:

$F_0 = 0,\quad F_1 = 1,\quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, para $n \geq 2$

Lo que buscamos es expresar esta relación en términos de multiplicación de matrices, para poder usar álgebra lineal en lugar de recurrencia.

Observamos que se puede escribir la relación de recurrencia como
$\begin{bmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}$

Denotando:
• $\vec{x}_n = \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}$
• $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
entonces la sucesión se convierte en $\vec{x}_{n+1} = A \vec{x}_n$.

Esto nos lleva a la expresión iterativa

$\vec{x}_1 = A \vec{x}_0, \quad \vec{x}_2 = A \vec{x}_1 = A^2 \vec{x}_0, \quad \vec{x}_3 = A \vec{x}_2 = A^3 \vec{x}_0, \quad \ldots \Rightarrow \vec{x}_n = A^n \vec{x}_0$

Para hallar $\vec{x}_n$​ sin repetir multiplicaciones, queremos diagonalizar la matriz A.

$A = P D P^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^n = P D^n P^{-1}$,

donde D es diagonal, entonces $D^n$ se calcula 

$D^n = \begin{bmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{bmatrix}$

Siguiendo para encontrar los valores propios de A:

dada $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

El polinomio característico se obtiene resolviendo:

$\det(A – \lambda I) = 0$
$A – \lambda I = \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & 1 – \lambda \end{bmatrix}, \quad \det(A – \lambda I) = (-\lambda)(1 – \lambda) – 1 = \lambda^2 – \lambda – 1$

Resolvemos

$\lambda^2 – \lambda – 1 = 0 \Rightarrow \lambda_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Estos son
• $\lambda_1 = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
• $\lambda_2 = \bar{\phi} = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$

Y cumplen que
$\lambda_1 \cdot \lambda_2 = \phi \cdot \bar{\phi} = -1, \quad \bar{\phi} = \frac{-1}{\phi}$

Ahora, queremos encontrar vectores no nulos $\vec{v}$ que cumplan
$A \vec{v} = \lambda \vec{v} \Rightarrow (A – \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$

▪ Para $\lambda_1 = \phi$:

$A – \phi I = \begin{bmatrix} -\phi & 1 \\ 1 & 1 – \phi \end{bmatrix} \Rightarrow -\phi x + y = 0 \Rightarrow y = \phi x$

Podemos elegir $x = 1 \Rightarrow y = \phi$, así que
$\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ \phi \end{bmatrix}$

▪ Para $\lambda_2 = \bar{\phi} = -\frac{1}{\phi}$​:

$A – \bar{\phi} I = \begin{bmatrix} -\bar{\phi} & 1 \\ 1 & 1 – \bar{\phi} \end{bmatrix} \Rightarrow -\bar{\phi} x + y = 0 \Rightarrow y = \bar{\phi} x$

Elegimos $x = 1 \Rightarrow y = \bar{\phi}$​, entonces
$\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ \bar{\phi} \end{bmatrix}$

Luego, para diagonalizar la matriz, construimos
$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \phi & \bar{\phi} \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} \phi & 0 \\ 0 & \bar{\phi} \end{bmatrix}$

Entonces
$A = P D P^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^n = P D^n P^{-1}$

Cualquier vector $\vec{w} \in \mathbb{R}^2$ se puede escribir como combinación lineal de los vectores propios:
$\vec{w} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2$

Aplicando A iteradamente:
$A \vec{w} = c_1 A \vec{v}_1 + c_2 A \vec{v}_2 = c_1 \lambda_1 \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2 \vec{v}_2$

Por lo que en general tenemos que
$A^n \vec{w} = c_1 \lambda_1^n \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^n \vec{v}_2$

Usando el vector inicial tenemos que
$\vec{x}_0 = \begin{bmatrix} F_1 \\ F_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

Queremos
$\vec{x}_{n-1} = A^{n-1} \vec{x}_0 \Rightarrow F_n =$ primera coordenada de $A^{n-1} \vec{x}_0$

Usamos la diagonalización
$\vec{x}_{n-1} = P D^{n-1} P^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

Obtenemos que
$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n – \bar{\phi}^n \right)$

Concretamente

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n – \left( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right)^n \right)$

Esta es la fórmula de Binet para Fibonacci.

Actividad 1.
Mira el video Fibonacci del canal Derivando en https://www.youtube.com/watch?v=yDyMSliKsxI&t=54s&ab_channel=Derivando.
Luego responde:
a. ¿Qué relación hay entre los números naturales y la sucesión de Fibonacci según el video?
b. Expresa el número 68 como la suma de dos números de la sucesión de Fibonacci.
c. ¿Qué ejemplo biológico relacionado con insectos presenta el video y cómo se vincula con la sucesión de Fibonacci? 

Actividad 2.
Mira los videos The Golden Ratio de Numberphile en https://www.youtube.com/watch?v=sj8Sg8qnjOg&ab_channel=Numberphile y The fabulous Fibonacci flower formula de Mathologer en https://www.youtube.com/watch?v=_GkxCIW46to&ab_channel=Mathologer.
Luego responde:
a. ¿Cómo se define el número áureo matemáticamente?
b. Menciona ejemplos de la naturaleza u otros contextos en los que aparece esta proporción.
c. ¿Qué significa que una planta “siga” la sucesión de Fibonacci?
d. ¿Cuál es el vínculo entre la proporción áurea y la eficiencia en el espacio?

Respuestas modelo
Actividad 1.
a. El video muestra que todo número natural positivo se puede escribir como suma de números de Fibonacci sin repetir ninguno, es decir, cualquier número puede expresarse de manera única como suma de términos no consecutivos de la sucesión.
b. 55 + 13
c. El video explica el árbol genealógico de las abejas. En esta especie, las abejas macho (zánganos) nacen de un solo progenitor (una hembra), mientras que las hembras nacen de dos (macho y hembra). Esto genera una estructura genealógica donde el número de ancestros en cada generación sigue la sucesión de Fibonacci: 1 padre, 1 abuelo y 2 bisabuelos, luego 3 tatarabuelos, y así sucesivamente.

Actividad 2.
a. El número áureo, denotado como $\phi$, se define como el número irracional $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$, que cumple la propiedad de que $\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \phi$ cuando a > b > 0. Es decir, la razón entre el todo y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y la menor.
b. Aparece en la disposición de hojas (filotaxia), en la estructura de caracoles, piñas, girasoles y también en proporciones corporales. Se asocia también con obras de arte, arquitectura y diseño.
c. Que una planta “siga” la sucesión de Fibonacci significa que el número de espirales visibles en su estructura (como en las semillas de un girasol o las hojas de una piña) corresponde a términos consecutivos de la sucesión (por ejemplo, 21 y 34).
d. La proporción áurea logra un empaquetamiento óptimo en el que se evitan solapamientos, es decir, maximiza el uso del espacio de manera eficiente y equilibrada, lo que es favorable para el crecimiento natural.

Modelo de Malthus discreto

El modelo de Malthus describe cómo crece una población en condiciones ideales, es decir, cuando no hay limitaciones en los recursos disponibles (como alimentos, espacio o energía). Este modelo supone que la población crece de manera exponencial, lo que significa que el número de individuos en cada periodo de tiempo aumenta en función del tamaño de la población en el periodo anterior. El modelo se expresa como:

$P_{n+1} = r P_n$

donde $P_n$ es el tamaño de la población en el tiempo n (por ejemplo, el número de individuos al mes n), y r es la tasa de crecimiento de la población, que nos indica cuántas veces crece la población en cada periodo. Si r > 1, la población está creciendo; si r < 1, la población está decreciendo.

En este modelo, no se tienen en cuenta las limitaciones de recursos, lo que significa que la población puede crecer indefinidamente sin restricciones. Este tipo de crecimiento es característico de poblaciones de microorganismos en cultivo, como las bacterias, cuando se encuentran en un ambiente con recursos abundantes y sin competencia.

Limitaciones del modelo

Aunque el modelo de Malthus proporciona una descripción útil del crecimiento rápido de poblaciones en condiciones ideales, no es realista para describir el comportamiento de poblaciones en ecosistemas naturales. En la realidad, los recursos son finitos. Esto significa que a medida que la población crece, los recursos disponibles (como comida y espacio) se vuelven limitados, lo que provoca que el crecimiento de la población disminuya.

En estos casos, el modelo de Malthus deja de ser aplicable, ya que no toma en cuenta los efectos de la competencia por recursos. Por esta razón, en la naturaleza, el crecimiento de las poblaciones se describe mejor mediante modelos más complejos, como el modelo logístico, que tiene en cuenta las restricciones de los recursos y permite predecir un crecimiento poblacional que eventualmente se estabiliza en un valor determinado.

Ejemplo 1.
Supón que una población inicial de bacterias es de 50 individuos, y la tasa de crecimiento es de 1.2 por mes. ¿Cuántos individuos habrá en la población al final de 6 meses?

Tenemos que el modelo original de Malthus es: $P_{n+1} = r \cdot P_n$​
Aquí, $P_n$​ es la población en el mes n, mientras que r es la tasa de crecimiento, y $P_{n+1}$​ es la población en el siguiente mes.
Entonces, en el mes 1 tenemos que $P_1 = r \cdot P_0$​.
Luego, en el mes 2, sustituyendo $P_1$ obtenemos​ $P_2 = r \cdot P_1 = r \cdot (r \cdot P_0) = r^2 \cdot P_0$. 
En el mes 3 la población será $P_3 = r \cdot P_2 = r \cdot (r^2 \cdot P_0) = r^3 \cdot P_0$.
Y así sucesivamente. De manera que para el mes n la población se calcula como

$P_n = r^n \cdot P_0$

Por lo tanto, la población después de 6 meses será:
$P_6 = 50 \cdot (1.2)^6 \approx 50 \cdot 2.98598 \approx 149.3$ individuos.

Ejercicio 1.
Si una población de 100 individuos tiene una tasa de crecimiento $r = 1.5$, ¿cuántos individuos habrá después de 10, 20 y 30 meses? Compara cómo varía el crecimiento de la población con diferentes tasas $r = 1.2, \, r = 1.5, \, r = 2.0$.

Respuesta modelo

Para r = 1.5:
• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (1.5)^{10} \approx 100 \cdot 57.665 \approx 5766.5$
• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (1.5)^{20} \approx 100 \cdot 3325.2567 \approx 332525.67$
• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (1.5)^{30} \approx 100 \cdot 191751.0592 \approx 19175105.92$

Para r = 1.2:
• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (1.2)^{10} \approx 100 \cdot 6.1917 \approx 619.17$
• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (1.2)^{20} \approx 100 \cdot 38.3375 \approx 3833.75$
• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (1.2)^{30} \approx 100 \cdot 237.3763 \approx 23737.63$

Para r = 2.0:
• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (2.0)^{10} = 100 \cdot 1024 = 102400$
• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (2.0)^{20} = 100 \cdot 1048576 = 104857600$
• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (2.0)^{30} = 100 \cdot 1073741824 = 107374182400$

Comparación
El modelo de Malthus muestra un crecimiento exponencial, entre más grande sea la tasa de crecimiento, mayor es también el aumento de la población en el tiempo. Se puede observar cómo las tasas r = 1.5 y r = 2.0 muestran un crecimiento mucho más rápido que r = 1.2.

Ejercicio 2.
Supón que una población de bacterias comienza con 500 individuos, pero su tasa de crecimiento cambia a lo largo del tiempo. Durante los primeros 3 meses, la tasa de crecimiento es 1.1, y durante los siguientes 3 meses, la tasa es 1.3. ¿Cuál será el tamaño de la población después de 6 meses?

Respuesta modelo
Hemos de dividir el cálculo en dos partes:

1. Primeros 3 meses con tasa de crecimiento 1.1:
   $P_3 = 500 \cdot (1.1)^3 \approx 500 \cdot 1.331 = 665.5$

2. Próximos 3 meses con tasa de crecimiento 1.3:
   $P_6 = 665.5 \cdot (1.3)^3 \approx 665.5 \cdot 2.197 = 1462.1$

Así, después de 6 meses, la población será aproximadamente 1462 individuos.

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