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Teoría de los Conjuntos I: Producto en los naturales

Por Gabriela Hernández Aguilar

2 respuestas

Ahora que hemos definido a la suma en el conjunto de los naturales, podemos definir el producto, pues este se refiere a sumar cierta cantidad de veces un número. De modo que el producto se definirá con ayuda de la suma.

Producto

Utilizando el teorema de recursión se puede mostrar, al igual que con la operación suma, que existe una única función $\cdot: \mathbb{N}\times\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, denotada por $\cdot(m,n)=m\cdot n$, que satisface las siguientes condiciones:

  1. $0\cdot n=0$ para cualquier $n\in \mathbb{N}$,
  2. $s(m)\cdot n= (m\cdot n)+n$.

Dado que seguimos trabajando con conjuntos y hemos definido una nueva operación binaria, podemos preguntarnos si esta operación conmuta, es asociativa o si cumple alguna otra propiedad tal como lo hace el producto cartesiano y la suma en los naturales. Además veremos que esta operación se distribuye con la suma. (Ver suma en los naturales).

Distributividad del producto sobre la suma

Teorema: Para cualesquiera $m,n,k\in \mathbb{N}$, $m\cdot(n+k)=m\cdot n+ m\cdot k$.

Demostración: Procederemos por inducción sobre $m$ y dejaremos fijos a $n$ y $k$.

Base de inducción: Si $m=0$, $0\cdot(n+k)=0=0+0=(0\cdot n)+(0\cdot k)$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que se cumple para $m$, es decir, $m\cdot(n+k)= (m\cdot n)+(m\cdot k)$.

Paso inductivo: Veamos que se cumple para $m+1$, es decir, $(m+1)\cdot(n+k)=(m+1)\cdot n+(m+1)\cdot k$.

\begin{align*}
(m+1)\cdot (n+ k)&=m\cdot (n+ k)+(n+ k) \tag{Definición $\cdot$}\\
&= (m\cdot n+m\cdot k)+(n+ k) \tag{Hipótesis de inducción}\\
&= ((m\cdot n)+n)+((m\cdot k)+k)\tag{Conmutatividad y asociatividad de $+$}\\
&= (m+1)\cdot n+(m+1)\cdot k \tag{Definición $\cdot$}.
\end{align*}

Por lo tanto, $m\cdot(n+k)=m\cdot n+m\cdot k$ para cualesquiera $m, n, k\in \mathbb{N}$.

$\square$

Conmutatividad del producto

Para demostrar que el producto es conmutativo primero vamos a demostrar los siguientes lemas:

Lema 1: Para cualquier $n\in \mathbb{N}$, $n\cdot 0=0$.

Demostración:

Procederemos por inducción sobre $n$.

Base de inducción: Si $n=0$, tenemos que $0\cdot 0=0$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$ se satisface que $k\cdot 0=0$.

Paso de inductivo: Veamos que se cumple para $k+1$, es decir, $(k+1)\cdot 0=0$.

\begin{align*}
(k+1)\cdot 0 &=(k\cdot 0)+0\tag{Definición $\cdot$}\\
&= 0+0\tag{Hipótesis de inducción}\\
&= 0\tag{Propiedad $+$}.
\end{align*}

Por lo tanto, $n\cdot 0=0$, para cualquier $n\in \mathbb{N}$.

$\square$

Lema 2: Para cualquier $n\in \mathbb{N}$, $n\cdot 1=n$.

Demostración:

Procederemos por inducción sobre $n$.

Base de inducción: Si $n=0$, tenemos que $0\cdot 1= 0$ por la definición de $\cdot$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $k\in \mathbb{N}$ se satisface que $k\cdot 1=k$.

Paso de inductivo: Veamos que se cumple para $k+1$, es decir, $(k+1)\cdot 1=k+1$.

\begin{align*}
(k+1)\cdot 1&=(k\cdot 1)+1\tag{Definición $\cdot$}\\
&= k+1 \tag{Hipótesis de Inducción}
\end{align*}

Por lo tanto, para cualquier $n\in \mathbb{N}$, $n\cdot 1=n$.

$\square$

Teorema: Para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, $n\cdot m=m\cdot n$.

Demostración:

Por inducción sobre $n$.

Base de inducción: Si $n=0$, entonces $0\cdot n=0=n\cdot 0$. (Lo probamos por inducción en el lema 1).

Hipótesis de inducción: Supongamos que para $k$ se cumple que $n\cdot k=k\cdot n$.

Paso inductivo: Veamos que para $k+1$ se satisface que $n\cdot (k+1)= (k+1)\cdot n$.

\begin{align*}
(k+1)\cdot n&= (k\cdot n)+n\tag{Definición $+$}\\
&= (n\cdot k)+n\tag{Hipótesis de Inducción}\\
&= (n\cdot k)+(n\cdot 1) \tag{Lema 2}\\
&= n\cdot (k+1) \tag{Distributividad}.
\end{align*}

Por lo tanto, $\cdot$ es conmutativo.

$\square$

Asociatividad del producto

Teorema: Para cualesquier $m,n,k\in \mathbb{N}$, $m\cdot(n\cdot k)=(m\cdot n)\cdot k$.

Demostración: Procederemos por inducción sobre $m$ y dejaremos fijos a $n$ y $k$.

Base de inducción: Si $m=0$, $0\cdot(n\cdot k)=0=(0\cdot n)\cdot k$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que se cumple para $m$, es decir, $m\cdot(n\cdot k)= (m\cdot n)\cdot k$.

Paso inductivo: Veamos que se cumple para $m+1$, es decir, $(m+1)\cdot(n\cdot k)=((m+1)\cdot n)\cdot k$.

\begin{align*}
(m+1)\cdot (n\cdot k)&=(m\cdot (n\cdot k))+(n\cdot k) \tag{Definición $\cdot$}\\
&= ((m\cdot n)\cdot k)+(n\cdot k) \tag{Hipótesis de inducción}\\
&=(k\cdot(m\cdot n))+(k\cdot n) \tag{Conmutatividad del producto}\\
&=k\cdot(m\cdot n+n) \tag{Distributividad}\\
&= (m\cdot n+n)\cdot k\tag{Conmutatividad del producto}\\
&= ((m+1)\cdot n)\cdot k\tag{Definición $\cdot$}.
\end{align*}

Por lo tanto, $\cdot$ es asociativa.

$\square$

Antes de continuar con el siguiente resultado sobre producto de naturales, es importante hacer la siguiente observación, sencilla pero útil.

Observación: Si $n\in\mathbb{N}$ es un natural distinto de cero, entonces $n+m$ es un natural distinto de $0$ para todo $m\in\mathbb{N}$.

Ley de cancelación

En álgebra, cuando tenemos una ecuación como la siguiente:

$x\cdot z=y\cdot z$,

siempre que $z\not=0$, decimos que $x=y$, esto tiene una justificación y la llamaremos ley de cancelación para el producto. El teorema dice lo siguiente:

Teorema: Sean $n, m, k\in \mathbb{N}$ tal que $k\not=0$. Si $n\cdot k=m\cdot k$, entonces $n=m$.

Para probar dicho teorema utilizaremos la siguiente serie de resultados:

Proposición: Si $n,m\in\mathbb{N}$ son tales que $n\leq m$, entonces, existe $t\in\mathbb{N}$ tal que $n+t=m$.

Demostración (Proposición):

Mostraremos por inducción sobre $m$, que para todo $n\leq m$, existe $t_n\in \mathbb{N}$ tal que $n+t_n=m$.

Base de inducción: $k=0$. Si $n\leq 0$, entonces $n=0$, pues recordemos que dos números naturales $n$ y $m$ satisfacen $n\leq m$ si, y sólo si, $n\in m$ o $n=m$. Así, si $n\leq 0$, entonces $n\in 0$ o $n=0$, pero dado que el enunciado $n\in 0$ no puede ser cierto pues $0=\emptyset$ no tiene elementos, se sigue que $n=0$ tiene que ser verdadero. De este modo, si $n\leq 0$, entonces $n=0$ y tomando $t=0$ se tiene que $n+t=0+0=0$. Por lo tanto, para todo $n\leq 0$ existe $t_n\in\mathbb{N}$ tal que $n+t_n=0$. Por lo tanto, la proposición es cierta para $k=0$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $k\in\mathbb{N}$ se satisface que para todo $n\leq k$, existe $t_n\in\mathbb{N}$ tal que $n+t_n=k$.

Paso inductivo: Veamos que se cumple para $s(k)$. Sea $n\leq s(k)$. Luego, $n\in s(k)$ o $n=s(k)$. Si $n=s(k)$, entonces tomamos $t=0$ y se tiene que $n+t=s(k)+0=s(k)$. Supongamos ahora que $n\in s(k)$.

Como $n\in s(k)$, entonces $n=k$ o $n\in k$, es decir, $n\leq k$. Luego, por hipótesis de inducción, existe $t_n\in\mathbb{N}$ tal que $n+t_n=k$. De este modo, si tomamos $s(t_n)\in\mathbb{N}$ se tiene que $n+s(t_n)=s(t_n)+n=s(t_n+n)=s(k)$.

En cualquier caso para $n$ hemos concluido que existe $t_n\in\mathbb{N}$ tal que $n+t_n=s(k)$.

Por lo tanto, la proposición es verdadera.

$\square$

Proposición. Si $n\in\mathbb{N}$, entonces $n\leq n+t$ para todo $t\in\mathbb{N}$.

Demostración (Proposición).

Sea $n\in\mathbb{N}$. Probaremos por inducción sobre $t$ que $n\leq n+t$ para todo $t\in\mathbb{N}$.

Base: $t=0$. Para $t=0$ tenemos que $n+t=n+0=n$, por lo que es verdad que $n\leq n+t$.

Hipótesis de inducción: supongamos que para algún $t\in\mathbb{N}$, $n\leq n+t$.

Bajo esta hipótesis veamos que $n\leq n+s(t)$. Primero, notemos que $n+s(t)=s(t)+n$ por la conmutatividad de la suma. Luego, por definición de la suma, $s(t)+n=s(t+n)$. Dado que $s(t+n)=(t+n)\cup\set{t+n}$, entonces $n+t\in s(t+n)$. Ahora bien, por hipótesis de inducción, $n\leq n+t$, es decir, $n=n+t$ o $n\in n+t$. Si $n=n+t$, entonces $n\in s(n+t)$, ya que $n+t\in s(n+t)$, por lo que $n\leq s(n+t)=n+s(t)$.

Ahora, si $n\in n+t$, entonces, $n\in s(n+t)$ por transitividad de la pertenencia en los naturales, por lo que también se cumple que $n\leq n+s(t)$.

En cualquier caso concluimos que $n\leq n+s(t)$, lo que concluye la prueba de la proposición.

$\square$

El último resultado que veremos, antes de iniciar con la demostración de la ley de la cancelación del producto, dice lo siguiente:

Corolario: Si $n\in\mathbb{N}$ es distinto de $0$, entonces $n+t$ es distinto de $0$ para todo $t\in\mathbb{N}$.

Demostración (Corolario):

Sea $n\in\mathbb{N}$ distinto de $0$ y supongamos que $t\in\mathbb{N}$ es arbitrario. Por la proposición anterior, $n\leq n+t$, es decir, $n=n+t$ o $n\in n+t$. Si $n=n+t$, entonces $n+t$ es distinto de $0$ por la hipótesis sobre $n$. Si ahora $n\in n+t$, entonces $n+t$ es distinto de $0$, pues $n+t$ tiene un elemento, el cual es $n$, mientras que el $0$ no tiene elementos. Esto concluye la prueba.

$\square$

Ya que contamos con esta serie de resultados previos podemos dar la demostración de la ley de cancelación del producto.

Demostración: (ley de cancelación del producto)

Probaremos por inducción sobre $k$ (asumiendo $k\geq1$), que si $n$ y $m$ son dos naturales tales que $n\cdot k=m\cdot k$, entonces $n=m$.

Base: $k=1$. Si $n$ y $m$ son dos naturales tales que $n\cdot 1=m\cdot 1$, entonces $n=m$, ya que $n\cdot 1=n$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$ por un resultado visto con anterioridad.

Hipótesis de inducción: supongamos que para algún $k\in\mathbb{N}$, con $k\geq1$, si $n$ y $m$ son naturales tales que $n\cdot k=m\cdot k$, entonces $n=m$.

Veamos ahora que si $n$ y $m$ son naturales tales que $n\cdot s(k)= m\cdot s(k)$, entonces $n=m$. Supongamos pues que $n$ y $m$ son naturales tales que $n\cdot s(k)=m\cdot s(k)$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $n\leq m$. Luego, por una proposición anterior, existe $t\in\mathbb{N}$ tal que $n+t=m$.

Tomemos al natural $t$ tal que $n+t=m$ y retomemos la igualdad $n\cdot s(k)=m\cdot s(k)$. Luego, $n\cdot s(k)+t=(n\cdot k+n)+t$ por definición de producto y, por asociatividad y conmutatividad de la suma, tenemos que $(n\cdot k+n)+t=n\cdot k+(n+t)=n\cdot k+m$. Así pues, como $n\cdot s(k)+t=m\cdot s(k)+t$, entonces $m+n\cdot k=m\cdot s(k)+t=(m\cdot k+m)+t=m+(m\cdot k+t)$ y, utilizando la ley de cancelación de la suma, tenemos que $n\cdot k=m\cdot k+t$. Luego, ya sabemos que $n\cdot k=m\cdot k+t$, por lo que $n\cdot k+t\cdot k=(m\cdot k+t)+t\cdot k$, de donde $(n+t)\cdot k=m\cdot k+(t\cdot k+t)$ por distributividad del producto con respecto a la suma. En consecuencia, $m\cdot k+0=m\cdot k=m\cdot k+t\cdot k+t$ y, utilizando nuevamente la ley de la cancelación de la suma, tenemos que $0=t\cdot k+t$.

Dado que $0=t\cdot k+t$, entonces, necesariamente debe ocurrir que $t\cdot k=0$, pues de lo contrario aplicamos el Corolario anterior y tenemos que $t\cdot k+t\not=0$ lo cual es una contradicción. Por tanto, $t\cdot k=0$.

Dado que $t\cdot k=k\cdot t$ y $0\cdot t=0$, entonces $0\cdot k=t\cdot k$ y, aplicando la hipótesis de inducción, tenemos que $0=t$, por lo que $m=n+t=n+0=n$ como queríamos probar.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta sección:

  • Demuestra que para cualesquiera $m,n,l\in \mathbb{N}$ tal que $l\not=0$, si $m<n$, entonces $l\cdot m<l\cdot n$.
  • Demuestra que para cualesquiera $m,n\in \mathbb{N}$, si $m\cdot n=0$, entonces $m=0$ o $n=0$.
  • Usa el teorema de recursión para probar la existencia y unicidad de una función que satisfaga lo siguiente:
    $0!=1$,
    $1!=1$,
    $2!=2\cdot 1$,
    $\vdots$
    $n!=n\cdot (n-1)\cdots 2\cdot 1$

Más adelante…

Con esta entrada concluimos el contenido acerca de números naturales, pero todos estos nuevos conocimientos nos permitirán construir nuevos conjuntos como el de los enteros y los racionales. Además, hablaremos acerca de cardinalidad y nos será de gran ayuda conocer al conjunto de los números naturales.

Enlaces

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Cálculo Diferencial e Integral I: Suma, producto, cociente y composición de funciones

Por Karen González Cárdenas

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Introducción

Ya que hemos visto el concepto de función, en esta entrada veremos cómo están definidas las operaciones de suma, producto y cociente. De igual modo definiremos la composición entre un par de funciones. Para dejar más claras dichas operaciones daremos ejemplos.

Operaciones de funciones

Definición (operaciones): Sean $f: D_{f}\subseteq \r \rightarrow \r$, $\quad g: D_{g}\subseteq \r \rightarrow \r$. Definimos las siguientes operaciones como:

  • $f+g: D_{f} \cap D_{g} \subseteq \r \rightarrow \r$
    $$(f+g)(x)= f(x)+g(x)$$
  • $\alpha f: D_{f}\subseteq \r \rightarrow \r \quad$ y $\quad \alpha \in \r$
    $$(\alpha f)(x)= \alpha f(x)$$
  • $fg: D_{f} \cap D_{g} \subseteq \r \rightarrow \r$
    $$(fg)(x)= f(x)g(x)$$
  • $\begin{multline*} \frac{f}{g}: D_{f/g} \subseteq \r \rightarrow \r \end{multline*}$
    \begin{equation*}
    \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}
    \end{equation*}
    donde $D_{f/g}=D_{f} \cap (D_{g} – \left\{x \in D_{g}: g(x)=0 \right\})$

Notación: Cuando escribamos $f-g$ hacemos referencia a:
$$f-g=f+ (-g)$$

Ejemplos

Consideremos a las siguientes funciones:
\begin{align*}
f: \r – \left\{-1\right\} &\rightarrow \r & g: \r &\rightarrow \r & h: \r &\rightarrow \r^{+}
\end{align*}
\begin{align*}
f(x)&= \frac{1}{x+1}& g(x)&= x^{3}+3 & h(x)&=x^{2}+2x+1
\end{align*}
Notación: Usamos $\r^{+}$ para referirnos al conjunto de los números reales positivos.

Realizaremos las siguientes operaciones para ejemplificar lo visto anteriormente:

  • $$(f+g)(x)= f(x)+g(x)= \frac{1}{x+1} + x^{3}+3$$
    con $D_{f+g}=D_{f} \cap D_{g}= \r \cap (\r- \left\{-1\right\})= \r- \left\{-1\right\}$
  • $$(fg)(x)= f(x)g(x)=\left(\frac{1}{x+1}\right)(x^{3}+3)=\frac{x^{3}+3}{x+1}$$
    con $D_{fg}=D_{f} \cap D_{g}= \r \cap (\r- \left\{-1\right\})= \r- \left\{-1\right\}$
  • Si $\alpha = – 4$:
    $$(\alpha g)(x)= \alpha g(x)= -4(x^{3}+3)=-4x^{3}-12$$
    con $D_{\alpha g}= D_{g}= \r$
  • $$\left(\frac{g}{h}\right)(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{x^{3}+3}{x^{2}+2x+1}$$
    como $D_{g/h}=D_{g} \cap (D_{h} – \left\{x \in D_{h}: h(x)=0 \right\})$
    Observemos que $x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2}$ por lo que $(x+1)^{2}=0$ cuando $x=-1$.
    Así el dominio sería:
    $$D_{g/h}=\r \cap (\r- \left\{-1 \right\})= \r – \left\{-1\right\}$$
  • $$(h-g)(x)=h(x)-g(x)=x^{2}+2x+1-(x^{3}+3)=x^{2}+2x+1-x^{3}-3$$
    con $D_{h-g}= D_{h} \cap D_{g}= \r \cap \r= \r$

Composición de funciones

Definición (composición): Consideremos a las funciones $g: A \rightarrow B$ y $f: B \rightarrow C$ definimos a la composición de $g$ seguida de $f$ como:

$$f \circ g: A \rightarrow C$$
$$f \circ g(x)= f(g(x))$$
observamos que la composición sólo está definida si $Im_g \subseteq D_f$, por lo que $g(x) \in B$.
En el siguiente diagrama podemos ver más claramente cómo funciona la composición $f \circ g$:

PASO 1

Primero tomamos $x \in A$ a la cual le aplicamos la función $g$ para así obtener $g(x) \in B$.

PASO 2

Ahora tomamos a $g(x) \in B$ para aplicarle la función $f$ y finalmente obtener $f(g(x)) \in C$.

DIAGRAMA PARA $f \circ g$

Así la composición de $f \circ g$ se vería como en el diagrama anterior.

Observación: La composición no es conmutativa, es decir, ocurre que:
$$f \circ g \neq g \circ f$$

Ejemplos

Retomando las funciones:
\begin{align*}
f(x)&= \frac{1}{x+1}& g(x)&= x^{3}+3 & h(x)&=x^{2}+2x+1
\end{align*}

Realicemos las siguientes composiciones de funciones para tener más claro cómo funciona lo antes explicado:

  • Ejemplo 1:
    \begin{align*}
    (g \circ f)(x)&= g(f(x))\\
    &= g\left(\frac{1}{x+1} \right)\\
    &= \left( \frac{1}{x+1} \right)^{3} +3\\
    &= \frac{1}{(x+1)^{3}}+3
    \end{align*}
    Así tenemos que la composición obtenida es:
    \begin{equation*}
    (g \circ f)(x)=\frac{1}{(x+1)^{3}}+3
    \end{equation*}
  • Ejemplo 2:
    \begin{align*}
    (f \circ h)(x)&= f(h(x))\\
    &= f((x^{2}+2x+1))\\
    &= \frac{1}{(x^{2}+2x+1)+1}\\
    &=\frac{1}{x^{2}+2x+2}
    \end{align*}
    Por lo que la composición quedaría como:
    \begin{equation*}
    (f \circ h)(x) = \frac{1}{x^{2}+2x+2}
    \end{equation*}

Tarea moral

  • Si tenemos a las funciones $f : \r \rightarrow \r$ y $g : \r \rightarrow \r^{+}$ definidas como siguen:
    $$ f(x) = x-8$$
    $$g(x)= x^{4}$$
    Realiza las siguientes operaciones:
    • $f + g$
    • $f – g$
    • $fg$
    • $\frac{g}{f}$
    • $g \circ f$
  • Da una función $f$ y una función $g$ que ejemplifiquen que la composición no es conmutativa:
    $$f \circ g \neq g \circ f$$
  • Demuestra que la composición es asociativa, es decir,
    $$f\circ (g \circ h)= (f\circ g) \circ h$$

Más adelante

Ahora que ya hemos definido las operaciones entre funciones y la composición, en la siguiente entrada veremos qué características debe cumplir una función para poder decir si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. De igual manera veremos el concepto de función inversa donde haremos uso de la composición de funciones y algunas condiciones.

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Álgebra Superior II: Introducción a estructuras algebraicas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Finalmente terminamos de construir a los números naturales, sus operaciones y su orden. El siguiente conjunto que nos interesa construir es $\mathbb{Z}$, el conjunto de los números enteros. Haremos esto en breve. Sin embargo, primero haremos un paréntesis para hablar de estructuras algebraicas.

Quizás hayas escuchado hablar de varias de ellas. En cálculo y geometría analítica se habla de los números reales y se comenta que es muy importante que sea un campo. En geometría moderna se habla de transformaciones geométricas y cómo algunas de ellas forman un grupo. También es común escuchar de los anillos de enteros o de polinomios (que estudiaremos más adelante). Y por supuesto, también están los espacios vectoriales, que están fuertemente conectados con resolver sistemas de ecuaciones lineales y hacer cálculo y geometría en altas dimensiones.

Todos estos conceptos (campos, grupos, anillos, espacios vectoriales, etc.) son ejemplos de estructuras algebraicas. Cada tipo de estructura algebraica es muy especial por sí misma y sus propiedades se estudian por separado en distintas materias, notablemente aquellas relacionadas con el álgebra moderna. La idea de esta entrada es dar una muy breve introducción al tema, para que te vayas acostumbrando al uso del lenguaje. Esto te servirá más adelante en tu formación matemática.

Intuición de estructuras algebraicas

De manera intuitiva, una estructura algebraica consiste de tomar un conjunto, algunas operaciones en ese conjunto, y ciertas propiedades que tienen que cumplir las operaciones. Eso suena mucho a lo que hemos trabajado con $\mathbb{N}$: es un conjunto, con las operaciones de suma y producto. Y ya demostramos que estas operaciones tienen propiedades especiales como la conmutatividad, la distributividad y la existencia de neutros.

En realidad podríamos tomar cualquier conjunto y cualquier operación y eso nos daría una cierta estructura.

Ejemplo. Consideremos el conjunto $\mathbb{N}$ con la operación binaria $\star$ tal que $$a\star b=ab+a+b.$$ Tendríamos entonces que $$3\star 1=3\cdot 1+3+1= 7,$$ y que $$10\star 10=10\cdot 10 + 10 + 10 = 120.$$

Es posible que la operación $\star$ tenga ciertas propiedades especiales, y entonces algunas proposiciones matemáticas interesantes consistirían en enunciar las propiedades de $\star$.

$\square$

Aunque tenemos mucha libertad en decidir cuál es el conjunto, cuáles son las operaciones que le ponemos y qué propiedades vamos a pedir, hay algunos ejemplos que se aparecen muy frecuentemente en las matemáticas. Aparecen de manera tan frecuente, que ameritan nombres especiales. Comencemos a formalizar esto.

Operaciones binarias y magmas

Dado un conjunto $S$, una operación binaria toma parejas de elementos de $S$ y los lleva a otro elemento de $S$. En símbolos, es una función $\star: S\times S\to S$. Cuando usamos la notación de función, tendríamos que escribir todo el tiempo $\times(a,b)$ para referirnos a lo que esta operación le hace a cada pareja de elementos $a$ y $b$ en $S$. Sin embargo, esto resulta poco práctico, y es por esta razón que se usa mucho más la notación $a\times b:=\times (a,b)$.

Ejemplo. En $\mathbb{N}$ ya definimos la operación binaria $+$, que toma dos enteros $a$ y $b$ y los manda a $s_a(b)$, donde $s_a:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ es la función que construimos usando el teorema de recursión estableciendo que $s_a(0)=a$ y $s_a(\sigma(n))=\sigma(s_a(n))$.

$\square$

Aquí lo único que nos importa es establecer una operación binaria. No nos importa si tiene otras propiedades adicionales.

Definición. Un magma consiste de un conjunto $S$ con una operación binaria $\ast$.

Otros ejemplos de magma son $\mathbb{N}$ con la operación que dimos en la parte de intuición, o bien $\mathbb{N}$ con el producto que ya definimos. También podemos tener magmas en conjuntos que no sea el de los enteros. Por ejemplo, si $P$ es el conjunto de subconjuntos de $\{0,1,2,3,4\}$, y le damos la operación que manda $A$ y $B$ a $A\cup B\cup \{0\}$, entonces también obtenemos un magma.

Conmutatividad

Cuando tenemos un conjunto $S$ y una operación binaria $\star$ en $S$, puede suceder que de lo mismo hacer $a\star b$ que $b\star a$. Esto ya es una propiedad especial que pueden cumplir las operaciones binarias, y tiene un nombre.

Definición. Decimos que una operación binaria $\star$ en un conjunto $S$ es conmutativa si para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $S$ se cumple que $a\star b=b\star a$.

Observa que la igualdad debe suceder para cualesquiera dos elementos. Basta con que falle para una pareja para que la operación ya no sea conmutativa.

Ejemplo. Una de las propiedades que demostramos de la operación de suma en $\mathbb{N}$ es que $s_a(b)=s_b(a)$, es decir, que $a+b=b+a$. En otras palabras, la operación binaria $+$ en $\mathbb{N}$ es conmutativa. Así mismo, vimos que el producto era conmutativo, es decir, que $p_a(b)=p_b(a)$, que en términos de la operación binaria $\cdot$ quiere decir que $a\cdot b=b\cdot a$.

$\square$

Más adelante veremos que otras funciones de suma y producto también son conmutativas, por ejemplo, las de los enteros, racionales, reales y complejos. Sin embargo, hay algunas operaciones binarias muy importantes en matemáticas que no son conmutativas. Un ejemplo de ello es el producto de matrices. Otro ejemplo es la diferencia de conjuntos.

Ejemplo. Si $P$ es el conjunto de subconjuntos de $\{0,1,2,3,4\}$ y le damos la operación binaria $\setminus$ tal que dados $A$ y $B$ en $P$ los manda a $A\setminus B$, entonces obtenemos un magma. Sin embargo, la operación $\setminus$ no es conmutativa pues, por ejemplo, $$\{1,2,3\}\setminus\{2,3,4\}=\{1\},$$ pero $$\{2,3,4\}\setminus\{1,2,3\}=\{4\}.$$

$\square$

En $\mathbb{N}$ no tenemos una operación de resta, como discutiremos en breve. Pero en el conjunto de los enteros sí, y ese sería otro ejemplo de una operación que no es conmutativa.

Asociatividad y semigrupos

Otra de las propiedades importantes que demostramos de la suma y producto de naturales es que son operaciones asociativas. En general, podemos definir la asociatividad para una operación binaria como sigue.

Definición. Sea $\star$ una operación binaria en un conjunto $S$. Decimos que $\star$ es asociativa si $a\star (b\star c)=(a\star b)\star c$ para cualesquiera tres elementos $a,b,c$ de $S$.

Tanto la suma como el producto de naturales dan una operación asociativa pues ya demostramos que si $a,b,c$ son naturales, entonces $a+(b+c)=(a+b)+c$ y $a(bc)=(ab)c$. Esta propiedad también la tendremos para la suma y producto de enteros, racionales, reales, complejos, polinomios, etc.

A partir de la asociatividad podemos definir la primer estructura algebraica que requiere un poco más de propiedades.

Definición. Un semigrupo es un conjunto $S$ con una operación asociativa $\star$.

Si además $\star$ es una operación conmutativa, entonces decimos que es un semigrupo conmutativo. En realidad, en cualquiera de las definiciones que daremos a continuación podemos agregar el adjetivo «conmutativo» y esto querrá decir que además de las propiedades requeridas, también se cumple que la operación es conmutativa.

En los semigrupos (y demás estructuras con asociatividad) tenemos la ventaja de que podemos «olvidarnos de los paréntesis» sin la preocupación de que haya ambigüedad. Por ejemplo, en los naturales la expresión $3+((2+4)+8)$ se puede escribir simplemente como $3+2+4+8$, pues cualquier otra forma de poner paréntesis, como $(3+2)+(4+8)$, debe dar exactamente el mismo resultado por asociatividad.

Ejemplo. Una operación que no es asociativa es la resta en los enteros. Aunque no hemos definido formalmente esta operación, es intuitivamente claro que $3-(2-1)$ no es lo mismo que $(3-2)-1$.

$\square$

Unidades y magmas unitales

A veces sucede que algunos elementos de un conjunto «no afectan a nadie» bajo una cierta operación binaria dada. Por ejemplo, en los naturales «sumar cero» no cambia a ningún entero.

Definición. Sea $\star$ una operación binaria en un conjunto $S$. Una unidad o neutro para $\star$ es un elemento $e$ en $S$ para el cual se cumple que para cualquier elemento $a$ de $S$ se tenga $a\star e = a$ y $e\star a = a$.

Observa que es muy importante pedir las dos igualdades de la definición. Si una se cumple, no necesariamente tiene que pasar la otra, pues no necesariamente la operación es conmutativa. Por supuesto, si ya se sabe que la operación es conmutativa, entonces basta con ver una de ellas.

En $\mathbb{Z}$ tenemos las operaciones de suma y producto. Para no confundir a sus neutros, a $0$ le llamamos el neutro aditivo para hacer énfasis que es el neutro de la suma. Y a $1$ le llamamos el neutro multiplicativo para hacer énfasis que es el neutro del producto. Entre las propiedades que probamos, en efecto vimos que $a+0=a=0+a$ y que $a\cdot 1 = a = 1\cdot a$ para cualquier entero $a$.

Definición. Un magma unital es un conjunto $S$ con una operación $\star$ que tiene un neutro.

El conjunto de naturales con la operación $\star$ que dimos en la sección de intuición también es un magma unital. ¿Puedes decir quién es su neutro?

Monoides

Se puede pedir más de una propiedad a una operación binaria y entonces obtenemos estructuras algebraicas más especiales.

Definición. Un monoide es un conjunto $S$ con una operación $\star$ que es asociativa y que tiene un neutro.

En otras palabras, un monoide es un magma unital con operación asociativa. O bien, un semigrupo cuya operación tiene unidad. Por supuesto, si la operación además es conmutativa entonces decimos que es un monoide conmutativo.

Ejemplo. Por todo lo que hemos visto en esta entrada, tenemos que $\mathbb{N}$ con la suma es un monoide conmutativo. Así mismo, $\mathbb{N}$ con el producto es un monoide conmutativo.

$\square$

Semianillos

La última idea importante para discutir en esta entrada es que una estructura algebraica puede tener más de una operación binaria, y además de pedir propiedades para cada operación, también se pueden pedir propiedades que satisfagan ambas operaciones en igualdades que las involucran a las dos.

Definición. Un seminanillo es un conjunto $S$ con dos operaciones binarias $\square$ y $\star$ que satisfacen las siguientes propiedades:

  • $\square$ es un monoide conmutativo
  • $\star$ es un monoide
  • Se cumple distributividad, es decir, que para cualesquiera tres elementos $a,b,c$ de $S$ se tiene $a\star(b\square c) = (a\star b)\square(a\star c)$ y $(a\square b)\star c = (a\star c)\square(b\star c)$
  • El neutro $e$ de $\square$ aniquila a los elementos bajo $\star$, es decir, para cualquier elemento $a$ de $S$ se tiene que $a\star 0=0$ y $0\star a = 0$

Un semianillo conmutativo es un semianillo en donde la operación $\star$ también es conmutativa. Las propiedades que hemos de los números naturales nos permiten enunciar el siguiente resultado.

Teorema. El conjunto $\mathbb{N}$ con las operaciones binarias de suma y producto es un semianillo conmutativo.

Más adelante…

Este sólo fue un pequeño paréntesis para comenzar a hablar de operaciones binarias y de estructuras algebraicas. Ahora regresaremos a seguir construyendo de manera formal los sistemas numéricos con los que se trabaja usualmente: los enteros, los racionales, los reales y los complejos.

Un poco más adelante haremos otro paréntesis de estructuras algebraicas, en el que hablaremos de otras propiedades más que puede tener una operación binaria. Una muy importante es la existencia de inversos para la operación binaria. Esto llevará a las definiciones de otras estructuras algebraicas como los grupos, los anillos, los semigrupos con inversos, los quasigrupos y los campos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra el neutro de la operación $\star$ dada en la sección de intuición. Verifica que en efecto es un neutro.
  2. Demuestra que el conjunto de los naturales pares $\{0,2,4,6,\ldots\}$ sí tiene un neutro para la operación de suma, pero no para la operación de producto.
  3. Considera el conjunto $P(S)$ de subconjuntos de un conjunto $S$. Considera las operaciones binarias de unión e intersección de elementos de $P(S)$. Muestra que $P(S)$ con estas operaciones es un semianillo conmutativo.
  4. Da un ejemplo de un magma que no sea un magma unital. Da un ejemplo de un magma unital que no sea un monoide.
  5. Da o busca un ejemplo de un semianillo que no sea un semianillo conmutativo.

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Álgebra Superior II: Algoritmo de la división en los enteros

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

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Introducción

Gracias a todo lo trabajado con anterioridad y en particular a la entrada anterior de inmersión de los naturales en los enteros, ya podemos pensar al conjunto de enteros como el conjunto $\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$. Además, dentro de esta estructura tenemos operaciones de suma, resta y producto. Sin embargo, aún no tenemos una operación de «división». Hay dos caminos que podemos seguir. Uno es algo parecido a lo que hicimos para tener una operación de resta: podemos construir ciertas clases de equivalencia sobre parejas de enteros, definir operaciones, orden, etcétera. Esto es lo que se hace para construir el conjunto $\mathbb{Q}$ de números racionales, del cual hablaremos más adelante. Otro camino es quedarnos en $\mathbb{Z}$ e intentar decir todo lo que podamos, aunque no tengamos una operación de división. Eso es lo que haremos ahora mediante lo que se conoce como el algoritmo de la división.

Por ejemplo, si tenemos los números $-20$ y $5$, entonces sí «podemos hacer la división» de manera exacta. Dicho de otra forma, sí existe un entero $k$ tal que $-20=5k$. Ese entero es $k=-4$. Sin embargo, si tenemos los números $20$ y $3$ no podemos hacer la división, en el sentido de que no existe un entero $k$ tal que $20=3k$. Sin embargo, sí podemos lograr que $3k$ quede muy cerca de $20$. Por ejemplo, podemos escribir $20=3\cdot 6 + 2$, es decir, el $20$ se queda únicamente a dos unidades de tres veces un entero.

Lo que nos dice el algoritmo de la división es que dados dos enteros $a$ y $b$, siempre sucederá que $a$ puede ser escrito como $b$ veces un entero, más un residuo «pequeño» en términos de $b$. También nos dice que esta forma de escribir a $a$ será única.

La intuición del algoritmo de la división

Lo que nos permite hacer el algoritmo de la división es saber «cuántas veces cabe un entero en otro». En general, vamos a poder escribir $a=qb+r$ y esto querrá decir que «$b$ cabe $q$ veces en $a$ y sobran $r$». Lo que nos gustaría es hacer esto de manera que sobre lo menos posible.

Un ejemplo sencillo sería el siguiente. Tomemos $a=7$ y $b=2$. Si nos preguntáramos: ¿cuántos equipos de $2$ personas se necesitan para repartir a $7$ personas?, una posible respuesta sería: podemos formar $2$ equipos de dos personas cada uno y dejar fuera a $3$ personas. Esto se escribiría como $7=2\cdot 2 + 3$. Sin embargo, una mejor respuesta (y la que deja a menos personas fuera) es la siguiente: podemos formar $3$ equipos de dos personas cada uno, y dejar a alguien fuera. Esto corresponde algebraicamente a la igualdad $7=3\cdot 2 + 1$. Esta forma de escribir al $7$ es mejor pues el residuo es más pequeño.

Hay algunos casos que suenan un poco raros. Por ejemplo, tomemos $a = 2$, $b = 3$. Podría parecer que la división de $2$ entre $3$ da cero pues «el $3$ el mayor que el $2$ y no hay modo de que $3$ quepa en $2$». Esto es cierto: $3$ cabe cero veces en $2$. Pero hay un residuo que no se ha mencionado, que en este caso es $2$. La forma de escribir esto algebraicamente será $2=3\cdot 0 + 2$. Aquí el $0$ quiere decir que «el $3$ cabe cero veces en el $2$» y el $2$ de la derecha quiere decir que «sobran $2$». Si lo pensamos como equipos, no nos alcanzaría para crear ni un sólo equipo de $3$ personas teniendo sólo $2$.

Otro caso extraño es cuando tenemos números negativos. Por ejemplo, si $a=-7$ y $b=3$ entonces la forma en la que queremos expresar a $a$ es como sigue: $-7=(-3)\cdot 3 + 2$. Lo hacemos de esta manera pues siempre querremos que el residuo que queda sea positivo. Y de entre los residuos que se pueden obtener, lo mejor es que sobren únicamente $2$.

Resulta que la cantidad que sobra siempre se puede garantizar que sea «chica». Si estamos repartiendo $a$ en cachos de tamaño $b$, siempre podremos garantizar que lo que sobra esté entre $0$ y $|b|-1$. En símbolos, el algoritmo de la división dice que dados $a, b \in \mathbb{Z}$, con $b\neq 0$, es posible encontrar $q$ y $r$ únicos, tales que $a = bq + r,$ con $0 \leq r < |b|$. A $q$ se le llama el cociente y a $r$ le llamamos el residuo.

Que no espante el valor absoluto que se le añade a la $b$. Aún no hemos definido qué es, pero lo explicaremos un poco más abajo. Sin embargo, antes de enunciar y demostrar el teorema daremos un ejemplo con números un poco más grandes y su intuición numérica.

Otro ejemplo para entender el algoritmo de la división en $\mathbb{Z}$

Comencemos planteando el problema para $a=3531$ y $b=8$. Es decir, queremos encontrar $q$ y $r$ enteros tales que $3531 = 8q + r$, donde además $0 \leq r < 8$. Ya que $r$ debe ser un número muy pequeño entre $0$ y $8$, podemos ir dando valores a $r$ hasta que $3531-r$ se pueda escribir como $8$ veces un entero.

Si $r = 0$, habríamos de verificar si $3531$ se puede escribir como $8$ veces un entero. Nuestra intuición nos dice que esto no debería poderse, pues $3531$ es un número impar, pero $8$ veces un entero siempre será un número par.

Si $r = 1$, entonces querríamos ver si $8q = 3530$. Pero esto tampoco se puede pues con $q=441$ tenemos $8q=3528<3530$ y con $q=442$ tenemos $8q=3536>3530$ y entonces ya se pasa. Si $r = 2$, buscaríamos si $8q = 3529$, pero de nuevo este es un número impar.

Finalmente, si $r = 3$, entonces queremos ver si se puede lograr $3528= 8q$. Esto sí se puede: se toma $q=441$. Así, hemos logrado determinar que con $q = 441$, $r = 3$ se cumple que $3531 = 8q + r$, con lo que terminamos el problema.

Geométricamente, esto significa que $3531$, en la recta de los números enteros, estará situado entre números que sean $8$ veces un entero, a saber, $8\cdot 441$ y $8\cdot 442$:

$$ \ldots < 8\cdot 441 < 3531 < 8\cdot 442 < \ldots \text{.}$$

Más precisamente, como $3531$ es un entero positivo, el problema consistió en encontrar el entero que sea $8$ veces un entero más cercano por la izquierda y añadir $3$ unidades. Esto también lo podemos enunciar como que «$3531$ está a $3$ unidades a la derecha de un número que es $8$ veces un entero»:

$$ 8\cdot 441 < 8\cdot 441 + 1 < 8\cdot 441 +2 < 3531 < 8\cdot 441 +4 < 8\cdot 441 +5 < 8\cdot 441 +6 < 8\cdot 441 +7 < 8\cdot 442 \text{.}$$

En realidad esto funciona sin importar los valores de $a$ y $b$. Dado un entero $b$, podemos poner los enteros de la forma $mb$ en la recta numérica y siempre podremos situar al entero $a$ entre dos de ellos:

$$qb \leq a < (q+1)b, \qquad q\in \mathbb{Z}.$$

Si $b>0$, los múltiplos de $b$ en la recta numérica se verían así:

$$\ldots -4b, -3b, -2b, -b, 0, b, 2b, 3b, 4b, \ldots $$

De este modo, $q$ sería el mayor múltiplo de $b$ más cercano a $a$, sin excederse de $a$.

Enunciado y demostración del algoritmo de la división en $\mathbb{Z}$

Para poder enunciar el algoritmo de la división sin importar el signo de $a$ y $b$, debemos introducir un símbolo adicional.

Definición. Si $b \in \mathbb{Z}$, definimos el valor absoluto de $b$, denotado por $|b|$, como sigue: $$|b| = \left\lbrace \begin{matrix} b & \text{si $b\geq 0$}\\ -b & \text{si $ b < 0$} \end{matrix}\right.$$

En el algoritmo de la división nos darán dos números enteros $a$ y $b$. Para la restricción $0 \leq r \leq |b|$, sucederá que, no importa si $b$ sea un número positivo o negativo, nosotros nos fijaremos en el número siempre positivo que resulta de aplicarle valor absoluto a $b$. El resultado dice lo siguiente.

Teorema. Sean $a$ y $b$ en $\mathbb{Z}$ con $b\neq 0$. Entonces existen únicos enteros $q$ y $r$ enteros únicos tales que $$ a = qb + r$$ y $0 \leq r < |b|$.

Para la demostración del algoritmo de la división, necesitaremos el principio del buen orden. Como recordatorio, dice que todo subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$ tiene un elemento mínimo.

Demostración. Primero hay que demostrar que siempre existen $q$ y $r$ enteros que satisfacen las condiciones que queremos. Vamos a suponer que $b>0$. El caso $b<0$ es muy parecido y quedará como tarea moral.

Lo que haremos es considerar al conjunto $S$ de todos los elementos de la forma $a-tb$ en donde $t$ es un entero, y tales que sean mayores o iguales a cero. Primero veremos que $S$ en efecto es un conjunto no vacío.

  • Si $a\geq 0$, tomamos $t=0$ y obtenemos la expresión $a-tb=a\geq 0$.
  • Si $a<0$, tomamos $t=a$ y obtenemos $a-tb=a-ab=a(1-b)$. Como $b>0$, entonces $b\geq 1$ y por lo tanto $(1-b)\leq 0$. Como $a<0$, obtenemos $a(1-b)\geq 0$, como queríamos.

Como $S$ es un conjunto no vacío de naturales, debe tener un elemento mínimo, al que le llamaremos $r$. Como $r$ está en $S$, obtenemos que $r=a-qb$ para algún entero $q$. Esto es un buen primer paso, pues nos muestra que $a=qb+r$. Sin embargo, todavía nos falta demostrar la importante desigualdad $0\leq r < |b|$. Como $b>0$, debemos mostrar $0\leq r < b$. Como $r$ está en $S$, obtenemos de manera inmediata que $r\geq 0$.

Sólo nos falta mostrar que $r<b$. Supongamos, con el fin de encontrar una contradicción, que $r\geq b$. Si este fuera el caso, sucedería que $r-b\geq 0$ además tendríamos la siguiente cadena de igualdades: $$r-b=a-tb-b=a-(t+1)b.$$

Esto lo que nos diría es que $r-b$ también está en $S$. ¡Pero eso es una contradicción!. Por construcción, $r$ era el menor elemento de $S$ y $r-b$ es un número menor que $r$ y que también está en $S$. Esta contradicción salió de suponer que $r\geq b$, así que en realidad debe pasar $r<b$, como queríamos.

Con esto queda demostrada la existencia de los enteros $q$ y $r$, tales que $a = bq + r$, con $0 \leq r < b$. Falta ver la unicidad. Supongamos que existen $q’$ y $r’$ enteros que también cumplen $$a = bq’ + r’$$ con $0\leq r’ < b$.

Demostramos primero que $r = r’$. Al hacer la resta $r-r’$ por un lado notamos que como mucho, puede valer $(b-1)-0=b-1$, lo cual pasa cuando $r=b-1$ y $r’=0$. Así mismo, por lo menos debe valer $0-(b-1)=-b+1$, lo cual sucede cuando $r=0$ y $r’=b-1$. Pero esta resta también se puede escribir de la siguiente manera: $$r-r’=(a-qb)-(a-q’b)=(q’-q)b.$

El único número de la forma $bk$ en $\{-b+1,-b+2,\ldots,0,\ldots,b-2,b-2\}$ es el entero $0$, pues justo no alcanza para llegar a $b$ ni a $-b$. De esta forma, $r-r’=0$, es decir $r=r’$. Y de aquí, obtenemos que $(q’-q)b=r-r’=0$. Como $b\neq 0$, obtenemos $q’-q=0$ y por lo tanto $q’=q$. Esto termina la demostración de la unicidad.

$\square$

Quizás el uso del principio del buen orden de la impresión de que la demostración anterior es «muy sofisiticada». En realidad, esto no es así. Simplemente es la forma en la que se formaliza una idea muy intuitiva: si el residuo queda mayor a $b$, entonces todavía le podemos «transferir» un sumando $b$ de $r$ a $qb$. El principio del buen orden simplemente nos garantiza que en algún momento este proceso de «transferir» sumandos $b$ debe de concluir.

Más adelante…

Cuando aplicamos el algoritmo de la división nos puede pasar un caso muy especial: que $r$ sea igual a cero. En otras palabras, en este caso podemos escribir $a=qb$ y por lo tanto $b$ cabe en $a$ «de manera exacta». Este caso es muy interesante y amerita un profundo estudio. Cuando esto sucede, decimos que $a$ es múltiplo de $b$, o bien que $b$ divide a $a$. En la siguiente entrada estudiaremos con más detalle la relación de divisibilidad en $\mathbb{Z}$. Un poco más adelante hablaremos de los ideales de $\mathbb{Z}$, que son un tipo de subconjuntos fuertemente relacionados con la noción de divisibilidad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra $q$ y $r$ enteros tales que $-1873 = 31q + r$ y $0\leq r < 31$.
  2. Demuestra las siguientes propiedades de la función valor absoluto de $\mathbb{Z}$:
    • $|a|\geq 0$ para cualquier entero $a$.
    • $|ab|=|a||b|$ para cualesquiera enteros $a$ y $b$.
    • $|a+b|\leq |a|+|b|$ para cualesquiera enteros $a$ y $b$.
  3. En general, ¿cómo se calcula $q$, para $a<0$? ¿y para $b<0$? Completa los detalles de la demostración del algoritmo de la división para cuando $b<0$.
  4. Encuentra un número que al dividirse entre $2$ deje residuo $1$, que al dividirse entre $3$ deje residuo $2$ y que al dividirse entre $4$ deje residuo $3$.
  5. Demuestra que cualquier entero se puede escribir de la forma $3q+r$ en donde $r$ es $-1$, $0$ ó $1$.

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Álgebra Superior II: Inmersión de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{Z}$

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

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Introducción

Desde la educación básica pensamos al conjunto de los números enteros como aquél que está conformado por los naturales, sus negativos y el cero: $$\mathbb{Z} = \{ \ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} .$$ Sin embargo, para poder fundamentar nuestra construcción, hasta ahora tenemos que el conjunto $\mathbb{Z}$ consiste por definición de ciertas clases de equivalencia de una relación en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$. ¡Observa que ni siquiera $\mathbb{N}$ es un subconjunto de $\mathbb{Z}$ a partir de esta definición! ¿Cómo le hacemos para que estos dos puntos de vista coincidan?

En esta entrada veremos dos cosas muy importantes que nos permitirán unificar ambas ideas. Lo primero que haremos es ver que, en efecto, podemos pensar que $\mathbb{N}$ «es un subconjunto» de $\mathbb{Z}$. Esto lo ponemos entre comillas pues en realidad lo que demostraremos es que hay una copia de $\mathbb{N}$ dentro de $\mathbb{Z}$, con toda la estructura que tenía $\mathbb{N}$ originalmente: sus operaciones, sus identidades, su orden.

Después de esto, nos enfocaremos en ver que $\mathbb{Z}$ consiste exactamente de esta copia y de sus inversos aditivos. Así, habremos formalizado que $\mathbb{Z}$ consiste exactamente de los naturales, sus inversos aditivos y ningún otro elemento.

Inmersión de los naturales en los enteros

En la entrada anterior hablamos acerca del orden en $\mathbb{Z}$. Para ello hablamos del conjunto de enteros positivos $P$. También definimos las relaciones $<$ y $\leq$. En un sentido bastante formal, los enteros mayores o iguales a cero son exactamente los números naturales. La manera en la que enunciamos este resultado es la siguiente.

Teorema. Existe una función biyectiva $\gamma:\mathbb{N}\to P\cup \{\overline{(0,0)}\}$ que preserva las operaciones de suma, producto, el inverso aditivo, el inverso multiplicativo y el orden. Esta función está dada por $\gamma(n)=\overline{(n,0)}$.

Una vez que demostremos esto, la imagen $\gamma(\mathbb{N})$ será exactamente la «copia» de los naturales que vive en los enteros y que precisamente tiene todas las propiedades algebraicas de los naturales que nos interesaban.

Para hacer la demostración de este teorema, probaremos el resultado poco a poco, a través de varios lemas.

Lema 1. La función $\gamma$ está bien definida y es biyectiva.

Demostración. La función $\gamma$ está bien definida pues las clases del estilo $\overline{(n,0)}$ siempre están en $P\cup \{\overline{(0,0)}\}$: si $n=0$, entonces obtenemos la clase $\overline{(0,0)}$ y si $n\neq 0$, entonces $n>0$, lo cual justifica que $\overline{(n,0)}$ es un entero positivo, es decir, en $P$.

Veamos que la función $\gamma$ es biyectiva. Para ver que es inyectiva tomamos dos naturales $m$ y $n$ tales que $\gamma(m)=\gamma(n)$, es decir, tales que $\overline{(m,0)}=\overline{(n,0)}$. Esto quiere decir que $m+0=n+0$, pero entonces $m=n$. Para ver que es suprayectiva, ya sabemos que tomemos una clase $\overline{(a,b)}$ en $P\cup \{\overline{(0,0)}\}$. Por lo visto en la entrada anterior, esto nos dice que $a\geq b$, pero entonces existe un natural $k$ tal que $a=b+k$, de modo que $a+0=b+k$ y por lo tanto $\overline{(a,b)}=\overline{(k,0)}$. Con esto concluimos que $$\gamma(k)=\overline{(k,0)}=\overline{(a,b)}.$$

$\square$

Observa que, sin embargo, no sucede que $\gamma(\mathbb{N})$ sea todo $\mathbb{Z}$. Es decir, hay enteros diferentes de las clases $\overline{(n,0)}$, por ejemplo, el $\overline{(0,1)}$. Se puede verificar que la imagen de $\gamma$ cubre a los enteros no negativos y sólo a esos.

Regresando al enunciado del teorema, lo que veremos ahora es que $\gamma$ respeta las operaciones de suma y producto, así como sus respectivas identidades.

Lema 2. Para cualesquiera naturales $m$ y $n$ se cumple que $$\gamma(m)+\gamma(n)=\gamma(m+n)$$ y que $$\gamma(m)\gamma(n)=\gamma(mn).$$ Además, $\gamma(0)$ es la identidad aditiva en $\mathbb{Z}$ y $\gamma(1)$ es la identidad multiplicativa en $\mathbb{Z}$.

Demostración. Basta usar la definición de $\gamma$ y de la suma en $\mathbb{Z}$:
\begin{align*}
\gamma (m)+\gamma(n)&=\overline{(m,0)}+\overline{(n,0)}\\
&= \overline{(m+n,0)}\\
&=\gamma{m+n}.
\end{align*}

De modo similar, para el producto usamos la definición de $\gamma$ y la del producto en $\mathbb{Z}$:

\begin{align*}
\gamma (m)\gamma(n)&=\overline{(m,0)}\overline{(n,0)}\\
&= \overline{(mn+0\cdot 0,m\cdot 0 + 0 \cdot n)}\\
&= \overline{(mn,0)}\\
&=\gamma{mn}.
\end{align*}

La parte de las identidades es sencilla de hacer y queda como tarea moral.

$\square$

Ya vimos que $\gamma$ respeta las operaciones. Ahora veamos que también respeta el orden.

Lema 3. Para cualesquiera naturales $m$ y $n$, sucede que $m < n$ si y sólo si $\gamma(m) < \gamma(n)$.

Demostración. Por definición de $\gamma$, tenemos que $\gamma(m)<\gamma(n)$ si y sólo si $\overline{(m,0)}<\overline{(n,0)}$. En la entrada anterior vimos que esto sucede si y sólo si en $\mathbb{N}$ tenemos que $m+0<n+0$. Pero esto es justo $m<n$.

$\square $

Los lemas 1, 2 y 3 conforman la demostración del teorema de esta sección.

Caracterización de los enteros

En vista del teorema de la sección anterior, dentro de $\mathbb{Z}$ hay metida una copia de $\mathbb{N}$. ¿Cuáles son los otros elementos de $\mathbb{Z}$? ¿Hay muchos más enteros que eso? La respuesta es que no. Para acabar de tener a todos los elementos de $\mathbb{Z}$ basta con tomar esta copia de los enteros y considerar a sus inversos aditivos.

Proposición. Para cualquier entero $\overline{(a,b)}$, tenemos que sucede una y exactamente una de las afirmaciones siguientes:

  • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$.
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(n,0)}$ para algún natural $n\neq 0$.
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,n)}$ para algún natural $n\neq 0$.

Demostración. Por el principio de tricotomía en $\mathbb{N}$, sabemos que se cumple una y exactamente una de las afirmaciones siguientes:

  • $a=b$
  • $a>b$
  • $a<b$

Si pasa la primera, entonces $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$. Si pasa la segunda, es porque existe un natural $n\neq 0$ tal que $a=b+n$, pero entonces $a+0=b+n$ y así $\overline{(a,b)}=\overline{(n,0)}$. Si pasa la tercera, es porque existe un natural $n,0$ tal que $a+n=b=b+0$, y entonces $\overline{(a,b)}=\overline{(0,n)}$.

De esta manera, se ve que siempre se cumple al menos una de las afirmaciones del enunciado. Ver que se cumple a lo más una es sencillo y queda como tarea moral.

$\square$

Siguiendo la demostración anterior con cuidado, nos damos cuenta que los casos corresponden precisamente al entero cero, a los positivos y a los negativos. La proposición anterior es una manera de ilustrar, en particular, que hay que hay el mismo número de números naturales positivos como números enteros negativos: a cada uno de ellos le podemos asociar (de manera biyectiva), un natural. Otra forma de dar esta biyección es mandar el entero positivo $\overline{(n,0)}$ al entero negativo $\overline{(0,n)}$, que es precisamente su inverso aditivo.

Re-etiquetando a los enteros

Estamos listos para abandonar la notación de parejas y clases de equivalencia. En vista de los resultados anteriores, cualquier entero positivo $\overline{(a,b)}$ es el mismo que un entero de la forma $\overline{(n,0)}$. Y los enteros de esta forma justo conforman una copia de $\mathbb{N}$ con toda la estructura algebraica que nos interesa. Así, ya nunca más tenemos que llamar a $\overline{(a,b)}$ con este nombre: basta simplemente llamarlo $n$.

Si tenemos un entero de la forma $\overline{(a,b)}$ con $a=b$, entonces simplemente lo llamaremos $0$. Y finalmente, si el entero $\overline{(a,b)}$ es negativo, podemos escribirlo de la forma $\overline{(0,n)}$ y en vista de lo anterior simplemente lo llamaremos $-n$. Todo esto funciona bien, porque también sabemos que justo $\overline{(n,0)}$ y $\overline{(0,n)}$ son inversos aditivos entre sí.

Pero, ¿cómo sabremos si al usar el símbolo $1$ nos estamos refiriendo al natural $\{\emptyset\}$ o al entero $\overline{(\{\emptyset\},\emptyset)}$? En realidad ya no es relevante, pues tenemos la total garantía de que los enteros no negativos se comportan exactamente como $\mathbb{N}$.

De esta manera, $$\mathbb{Z} = \{ \ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \}$$ y además tenemos la total garantía de que los enteros no negativos se comportan exactamente como los naturales.

Más adelante…

Después de liberar la gran carga que teníamos de usar la notación de parejas y de relaciones de equivalencia, ahora ya podemos usar a los enteros tal y como los conocíamos desde educación básica: como el cero, los enteros que no son cero, y sus negativos. Además, gracias a todo lo que demostramos, ya podemos utilizar las propiedades de la suma, el producto y el orden con la confianza de que están bien fundamentadas.

Lo que sigue es estudiar con más profundidad al conjunto $\mathbb{Z}$. Aunque no haya propiamente «divisiones exactas» en este conjunto, sí podemos preguntarnos qué sucede cuando dividimos un entero por otro, y cuánto queda. Esto lleva a las nociones de divisibilidad y residuos, que a su vez llevan a áreas muy interesantes de las matemáticas como el álgebra moderna y la teoría de números.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Muestra que en efecto no existe ningún natural $m$ tal que $\gamma(m)=\overline{(0,1)}$.
  2. Verifica que $\gamma(0)$ es la identidad aditiva de $\mathbb{Z}$ y $\gamma(1)$ es su identidad multiplicativa.
  3. Explica por qué para un entero $\overline{(a,b)}$ no puede suceder más de una de las siguientes afirmaciones:
    • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$.
    • $\overline{(a,b)}=\overline{(n,0)}$ para algún natural $n\neq 0$.
    • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,n)}$ para algún natural $n\neq 0$.
  4. La función $\gamma$ no es una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$. Pero sí existen biyecciones entre estos dos conjuntos. Construye una y demuestra que en efecto es una biyección.
  5. Da una biyección que muestre que el conjunto de los enteros no negativos pares, $\{0, 2, 4, 6, \ldots\}$ y el conjunto de los enteros no negativos positivos, $\{ 0, 1, 2, 3, \ldots \}$ tienen la misma cardinalidad. ¿Será posible construir la biyección de modo que se preserve la operación de suma? ¿Será posible construirla de modo que se preserve la operación de producto?

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