MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
En la entrada pasada definimos los espacios $L^p$ y vimos algunas de sus propiedades. Probamos que son espacios normados y algunas desigualdades relacionadas. En esta entrada probaremos otra propiedad analítica muy fuerte: Son espacios de Banach.
A modo de recordatorio:
Definición. Decimos que un espacio vectorial normado $(V,\left\lVert \cdot \right\lVert)$ es de Banach si es completo respecto a la métrica inducida por la norma: $d(u,v)=\left\lVert u-v \right\lVert$.
Antes de continura, veamos un Lema que simplificará los desarrollos más adelante:
Lema. Supongamos que $\{ f_k\}_{k=1}^{\infty}\subseteq L^p$ y $f_k\geq 0$ $\forall k$. Entonces: $$\left\lVert \sum_{k=1}^{\infty} f_k \right\lVert_p\leq \sum_{k=1}^{\infty} \left\lVert f_k \right\lVert_p.$$
Demostración. Sea $$F_N=\sum_{k=1}^{\infty} f_k.$$
Por la desigualdad de Minkowski: $$\left\lVert F_N \right\lVert_p\leq \sum_{k=1}^{N} \left\lVert f_k \right\lVert_p\leq \sum_{k=1}^{\infty} \left\lVert f_k \right\lVert_p.$$
Entonces, por el teorema de la convergencia monótona y la continuidad de la función $x\to x^p$ se sigue:
\begin{align*}
\left\lVert \sum_{k=1}^{\infty}f_k \right\lVert_p &= \left(\int_X \left|\sum_{k=1}^{\infty}f_k\right|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&= \left(\int_X \left|\lim_{N\to \infty} F_N\right|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&= \lim_{N\to \infty}\left(\int_X \left| F_N\right|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&= \lim_{N\to \infty} \left\lVert F_N \right\lVert_p \\
&\leq \sum_{k=1}^{\infty} \left\lVert f_k \right\lVert_p
\end{align*}
Teorema (Riesz-Fischer). Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida y $1\leq p <\infty$. Entonces $(L^p(X),\left\lVert f \right\lVert_p)$ es de Banach.
Demostración. Consideremos una sucesión de Cauchy $\{ f_k\}_{k=1}^{\infty} $ en $L^p$ (es decir, con la métrica $d(f,g)=\left\lVert f-g \right\lVert_p$). Al ser de Cauchy, podemos encontrar recursivamente una subsucesión ${ f_{k_r} }_{r=1}^{\infty}$ tal que: $$\left\lVert f_{k_{r+1}}-f_{k_r} \right\lVert_p<\frac{1}{2^r} \ \ \ \forall r\in \mathbb{N}.$$
Basta probar que la subsucesión ${ f_{k_r} }_{r=1}^{\infty}$ converge en $L^p$ (recuerda que si una subsucesión de una sucesión de Cauchy converge, entonces toda la sucesión converge al mismo límite). Por simplicidad, reenumeremos los índices y supongamos que $\{ f_{k_r} \}_{r=1}^{\infty}=\{ f_{k} \}_{k=1}^{\infty}$.
Definamos $$F=|f_1|+\sum_{j=1}^{\infty} |f_{j+1}-f_j|.$$
Ésta es una función $\mathcal{M}$-medible al ser una serie de funciones medibles. Por el Lema anterior tenemos que:
\begin{align*}
\left\lVert F \right\lVert_p &\leq \left\lVert f_1 \right\lVert_p+\left\lVert \sum_{k=1}^{\infty} |f_{j+1}-f_j| \right\lVert_p \\
&\leq \left\lVert f_1 \right\lVert_p+\sum_{k=1}^{\infty}\left\lVert f_{j+1}-f_j \right\lVert_p \\
&\leq \left\lVert f_1 \right\lVert_p+\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{2^j} \\
&= \left\lVert f_1 \right\lVert_p+1 \\ &<\infty
\end{align*}
De modo que $\int F^p \ \mathrm{d}\mu = \int |F|^p \ \mathrm{d}\mu <\infty$ es integrable, en particular $F^p<\infty$ en c.t.p. O equivalentemente, que $F(x)<\infty$ $\forall x\in X\setminus N$ con $\mu(N)=0$.
Para cualquier $x\in X\setminus N$, $F(x)=|f_1(x)|+\sum_{j=1}^{\infty} |f_{j+1}(x)-f_j(x)|$ converge $\implies$ $f_1(x)+\sum_{j=1}^{\infty} (f_{j+1}(x)-f_j(x))$ converge absolutamente. Como la $k$-ésima suma parcial de la serie (telescópica) anterior es:
$$f_1(x)+\sum_{j=1}^{k} (f_{j+1}(x)-f_j(x))=f_k(x)$$
Se sigue que $$f(x)=\lim_{k\to \infty} f_k(x)$$
Existe para $x\in X\setminus N$. Definiendo $f=0$ sobre $N$, es fácil ver que la función es $\mathcal{M}$-medible. Como para cada $x\in X\setminus N$ (en particular, en c.t.p. de $X$).
$$f(x)=f_1(x)+\sum_{j=1}^{\infty}(f_{j+1}(x)-f_j(x)) $$ $$\implies |f(x)-f_k(x)|=\left|\sum_{j=k}^{\infty}(f_{j+1}(x)-f_j(x))\right|\leq \sum_{j=k}^{\infty}|f_{j+1}(x)-f_j(x)| $$
(Observa que este último estimado nos dice que para $x\in X\setminus N$, $ |f(x)-f_k(x)|=\leq \sum_{j=k}^{\infty}|f_{j+1}(x)-f_j(x)| \longrightarrow 0 $ cuando $k\to \infty$ al tratarse de una serie convergente, es decir, que $f_k(x)\longrightarrow f(x)$ en c.t.p. $x\in X$. Debajo enunciamos este hecho como un corolario).
De manera que:
\begin{align*}
\left\lVert f-f_k \right\lVert_p &\leq \left\lVert \sum_{j=k}^{\infty}|f_{j+1}-f_j| \right\lVert_p \\
&\leq \sum_{j=k}^{\infty} \left\lVert f_{j+1}-f_j \right\lVert_p \\
&\leq \sum_{j=k}^{\infty} \frac{1}{2^{k-1}} \\
&= \frac{1}{2^{k-1}}<\infty.
\end{align*}
Por un lado anterior, tenemos por un lado que $$\left\lVert f-f_k \right\lVert_p<\infty$$ $\implies$ $(f-f_k)\in L^p$. Luego $f=(f-f_k)+f_k\in L^p$. Además $$\lim_{k\to \infty} \left\lVert f-f_k \right\lVert_p=0$$ Así que $f_k \longrightarrow f$ en $L^p$.
Corolario. Si una sucesión $f_k\longrightarrow f$ en $L^p$, entonces existe una subsucesión ${ f_{k_r}}$ tal que $$\lim_{r\to \infty} f_{k_r}(x)=f(x)$$
En c.t.p. $x\in X$.
El corolario anterior podría sugerir alguna relación entre la convergencia en $L^p$ y la convergencia en casi todo punto. Sin embargo, como veremos en los siguientes ejemplos, esto no es así:
Ejemplo. Consideremos $(\mathbb{R}, \mathcal{L},\lambda)$ los reales con la medida de Lebesgue. Definamos:
$$f_k=k^2\chi_{(0,\frac{1}{k})}.$$
Afirmamos que esta sucesión de funciones converge en c.t.p. pero no converge en $L^p$.
En primer lugar, notemos que $\forall k\in \mathbb{N}$:
$$\int_{\mathbb{R}}|f_k|^p \ \mathrm{d}\lambda=\int_{\mathbb{R}}|k^2\chi_{(0,\frac{1}{k})}|^p \ \mathrm{d}\lambda=k^{2p}\int_0^{\frac{1}{k}} 1 \ \mathrm{d}\lambda=k^{2p}\left( \frac{1}{k}\right)=k^{2p-1}<\infty.$$
Por lo que $f_k\in L^p$ con:
$$\left\lVert f_k \right\lVert_p=\left( \int_{\mathbb{R}}|f_k|^p \ \mathrm{d}\lambda \right)^{\frac{1}{p}}= k^{2-\frac{1}{p}}<\infty.$$
- Por un lado, es claro que $f_k\longrightarrow 0$ puntualmente cuando $k\to \infty$ (en particular converge en c.t.p. a 0).
- Si $f_k$ converge en $L^p$, su límite necesariamente debde ser 0 (en c.t.p.) por el corolario anterior, sin embargo, $\left\lVert f-0 \right\lVert_p=\left\lVert f \right\lVert_p=k^{2-\frac{1}{p}}\longrightarrow \infty$ cuando $k\to \infty$, de modo que la sucesión NO converge a ningún límite con la norma $L^p$.
Ejemplo. Consideremos ahora la medida de Lebesgue restringida en el intervalo $[0,1]$, $\lambda_{|[0,1]}$. Para cada $k\in \mathbb{N}$ definamos: $$f_{2^k+j}=k\chi_{[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]}, \ \ \ \ \ j=0,1,\dots, 2^{k}-1.$$
[Figura]
Entonces para cada $p\in [1,\infty)$ $$\left\lVert f_{2^k+j} \right\lVert_p=\left( \int_0^1 k^p\chi_{[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]} \ \mathrm{d}\lambda \right)^{\frac{1}{p}}=\left( k^p \left( \frac{1}{2^k}\right)\right)^{\frac{1}{p}}=k\cdot 2^{-\frac{k}{p}}\longrightarrow 0 .$$
Cuando $k\longrightarrow \infty$.
- Entonces, tenemos por un lado que $f_{2^k+j}\in L^p$ $\forall p\in[1,\infty)$ y además $f_{2^k+j}\longrightarrow 0$ en $L^p$.
- Sin embargo, para cualquier $x\in [0,1]$, la sucesión ${ f_m(x)}_{m=1}^{\infty}$ diverge, pues para cualquier $N>0$, podemos encontrar $m=2^k+j>N$ tal que $x\in [\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]$ $\implies$ $f_{2^k+j}(x)=k$ pero también algún $m’=2^k+i$ tal que $x\notin [\frac{i}{2^k},\frac{i+1}{2^k}]$ $\implies$ $f_{2^k+j}(x)=0$, por lo que $$\limsup_{j\to \infty} f_j=\infty \neq 0 = \liminf_{j\to \infty} f_j.$$ Así que la sucesión NO converge en casi todo punto.
Ejemplo. Una sucesión en $L^{p_1}\cap L^{p_2}$ puede converger en $L^{p_1}$ pero no en $L^{p_2}$. Consideremos nuevamente $(\mathbb{R},\mathcal{L},\lambda)$ y definamos:
$$f_k=k^{-1}\chi_{(k,2k)}.$$
De manera que $$\left\lVert f_k \right\lVert_p=\left( \int_{\mathbb{R}} (k^{-1}\chi_{(k,2k)})^p\right)^{\frac{1}{p}}=k^{-1}(k)^{\frac{1}{p}}=k^{-1+\frac{1}{p}}.$$
Por tanto $f_k \in L^p$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $p\in [1,\infty)$. Sin embargo
- $f_k \longrightarrow 0$ en $L^p$ si $1<p<\infty$, pues $\left\lVert f_k \right\lVert_p=k^{-1+\frac{1}{p}}\longrightarrow 0$.
- $\left\lVert f_k \right\lVert_1=1$ $\forall k$, por lo que $f_k$ no converge a 0 en $L^1$.
Más adelante…
Introduciremos el espacio $L^\infty$. Un espacio importante que se puede pensar como «un caso límite de los espacios $L^p$».