Introducción
En esta entrada presentamos el concepto de combinaciones lineales en espacios vectoriales que será fundamental para nuestro estudio. De cierta manera (que se verá más claramente cuando hablemos de bases en espacios vectoriales arbitrarios) captura un aspecto de la base canónica de : Todo vector lo podemos escribir como
, lo que con nuestro lenguaje será una combinación lineal de los vectores
.
También hablamos del concepto de espacio generado. De manera intuitiva, el espacio generado por un conjunto de vectores es el mínimo subespacio que los tiene (y que a la vez tiene a todas las combinaciones lineales de ellos). Geometricamente, los espacios generados describen muchos de los objetos conocidos como rectas y planos. De manera algebraica, este concepto nos servirá mucho en lo que sigue del curso.
Definición de combinaciones lineales
Sea un espacio vectorial sobre un campo
, y sean
vectores en
. Por definición,
contiene a todos los vectores de la forma
con
. La colección de los vectores de este estilo es importante y le damos una definición formal:
Definición. Sean vectores en un espacio vectorial
sobre
.
- Un vector
es una combinación lineal de los vectores
si existen escalares
tales que
- El espacio generado (que a veces abreviaremos como el generado) por
es el subconjunto de
de todas las combinaciones lineales de
, y lo denotamos por
.
Ejemplo.
- La matriz
es una combinación lineal de las matrices
y
pues
. Así,
está en el generado por
y
.
- El generado
de un único vector en
consta de puras copias re-escaladas de
(también nos referimos a estos vectores como múltiplos escalares de
). Usando la interpretación geométrica de vectores en
o
, si
entonces
representa una recta por el origen en la dirección de
.
- Si
y
, entonces
Comoy
fueron arbitrarios, podemos concluir que
consta de todos los vectores en
cuya tercer entrada es cero. Esto es el plano
. En general, si
son dos vectores no colineales en
entonces su espacio generado es el único plano por el origen que los contiene.
- El polinomio
del espacio vectorial
no puede ser escrito como combinación lineal de los polinomios
,
,
. Para demostrar esto, debemos probar que no existen reales
tales que
Desarrollando el producto de la derecha y observando el coeficiente de, necesitamos que
sea igual a
. Pero entonces a la derecha va a quedar un término
que no se puede cancelar con ninguno otro de los sumandos, sin importar el valor de
o
.
Problemas prácticos de combinaciones lineales
La definición de que un vector sea combinación de otros es existencial. Para mostrar que sí es combinación lineal, basta encontrar algunos coeficientes. Para mostrar que no es combinación lineal, hay que argumental por qué ninguna de las combinaciones lineales de los vectores es igual al vector buscado.
Problema. Muestra que el vector de
no se puede expresar como combinación lineal de los vectores
Solución: Una combinación lineal arbitraria de es de la forma
para reales. Así, las combinaciones lineales de
siempre tienen a
como tercera coordenada. De esta forma, ninguna de ellas puede ser igual a
.
Más generalmente, consideramos el siguiente problema práctico: dada una familia de vectores en
y un vector
, decide si
es una combinación lineal de
. En otras palabras, si
.
Para resolver este problema, consideramos la matriz de tamaño cuyas columnas son
. Decir que
es lo mismo que encontrar escalares
tales que
. De manera equivalente, si tomamos
, queremos la existencia de una solución al sistema
.
Esto es muy útil. Como tenemos una manera práctica de decidir si este sistema es consistente (por reducción gaussiana de la matriz aumentada ), tenemos una manera práctica de resolver el problema de si un vector es combinación lineal de otros. Por supuesto, esto también nos da una solución concreta al problema, es decir, no sólo decide la existencia de la combinación lineal, sino que además da una cuando existe.
Problema. Sean y
vectores en el espacio vectorial
. ¿Está el vector
en el generado de
y
? ¿El vector
?
Solución: Aplicamos el método que describimos en el párrafo anterior. Es decir, tomemos la matriz
Queremos ver si el sistema es consistente. Haciendo reducción gaussiana a mano, o bien usando una calculadora de forma escalonada reducia (por ejemplo, la de eMathHelp), obtenemos que la forma escalonada reducida de la matriz aumentada
es
Viendo el tercer renglón, notamos que tiene pivote en la última columna. Deducimos que el sistema no es consistente, así que .
Procedemos de manera similar para el vector . Esta vez tenemos
lo que muestra que el sistema es consistente (pues ninguna fila tiene su pivote en la última columna), por lo tanto . Si queremos encontrar una combinación lineal explícita tenemos que resolver el sistema
Tenemos que ninguna fila tiene su pivote en la columna , así que
es variable libre. Las variables
y
son pivote. Esto nos da como solución
y
. Entonces podemos escribir
y esto es válido para cualquier elección de . Podemos, por ejemplo, escoger
y obtener
.
Por supuesto, en el problema anterior pudimos haber encontrado la expresión explorando el problema o por casualidad. Esto sería suficiente para mostrar qeu
es combinación lineal. Pero la ventaja del método sistemático que mostramos es que no se corre el riesgo de no encontrar la solución a simple vista. De me manera definitiva nos dice si hay o no hay solución, y cuando sí hay, encuentra una.
Una caracterización del espacio generado
Probamos el siguiente resultado, que explica la importancia del concepto de espacio generado. En particular, la proposición muestra que el espacio generado es un subespacio. Si te parece un poco confusa la demostración, puede ser de ayuda leer antes la observación que le sigue.
Proposición. Sea un espacio vectorial sobre un campo
y
. Entonces
es la intersección de todos los subespacios vectoriales de
que contienen a todos los vectores
.
es el subespacio más chico (en contención) de
que contiene a
.
Demostración: Como la intersección arbitraria de subespacios es un subespacio, la parte implica la parte
. Probemos entonces la parte
.
Primero demostremos que está contenido en todo subespacio
de
que tiene a
. En otras palabras, tenemos que ver que cualquier subespacio
que tenga a
tiene a todas las combinaciones lineales de ellos. Esto se sigue de que
, por ser subespacio, es cerrado bajo productos por escalar y bajo sumas. Así, si tomamos escalares
tenemos que cada uno de
está en
y por lo tanto la combinación lineal (que es la suma de todos estos), también está en
.
La afirmación anterior implica que está contenido en la intersección de todos los espacios que tienen a
, pues está contenido en cada uno de ellos.
Ahora, queremos ver ‘la otra contención’, es decir, que contiene a la intersección de todos los espacios que tienen a
. Para esto veremos primero que
es un subespacio vectorial. Sean
y
un escalar. Como
y
son, por definición, combinaciones lineales de
, podemos escribir
para algunos escalares
y
para unos escalares
. Así
también es una combinación lineal de y por tanto un elemento del espacio generado. Se sigue que
es uno de los subespacios que tienen a
. Así, este generado «aparece» en la intersección que hacemos de subespacios que tienen a estos vectores, y como la intersección de una familia de conjuntos está contenida en cada uno de esos conjuntos, concluimos que
contiene a dicha interesección.
Argumentemos ahora la segunda parte de la proposición. Se usa el mismo argumento que arriba. Si es cualquier subespacio que contiene a
, entonces «aparece» en la intersección y por tanto
está contenido en
. Es decir, es más chico (en contención) que cualquier otro subespacio que contenga a estos vectores.
Observación. Ya que la demostración previa puede resultar un poco confusa, presentamos una versión un poco más relajada de la idea que se usó. Sea la familia de todos los subespacios de
que contienen a
.
En el primer párrafo, probamos que
para todo . Luego
.
En el segundo párrafo, probamos que es un subespacio que contiene a
. Es decir, entra en nuestra familia
, es uno de los
, digamos
. Entonces
En ese momento ya tenemos la primer igualdad:
Ahora, la segunda conclusión de la proposición se sigue de esto con una observación más: Si es un subespacio que contiene a
entonces también entra en nuestra familia de los
‘s, es decir es
para algún
. Ahora usando el inciso
, tenemos que
Esto concluye la demostración.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- ¿Se puede expresar al vector
como combinación lineal de
,
y
? Si sí, encuentra una o más combinaciones lineales que den el vector
- ¿Se puede expresar al polinomio
como combinación lineal de los siguientes polinomios
- Sea
un plano en
por el origen y
una recta de
por el origen y con dirección dada por un vector
. Demuestra que la intersección de
con
es una recta si y sólo si existen dos vectores en
tal que su suma sea
.
- Encuentra el conjunto generado por los vectores del espacio vectorial indicado
- Las matrices
y
del espacio
.
- Los vectores
y
del espacio
.
- Los polinomios
,
,
y
del espacio
.
- Las matrices
- Sea
un espacio vectorial. Si
son vectores en un espacio vectorial
, ¿será cierto siempre que
? De ser así, ¿esta contención siempre es estricta? Demuestra tu respuesta o da un contraejemplo.
- Sean
y
vectores en un espacio vectorial
. Supongamos que
está en
. Muestra que
Más adelante…
El concepto de combinación lineal es la piedra angular para definir varios otros conceptos importantes en espacios vectoriales. Es un primer paso para definir a los conjuntos de vectores generadores y a los conjuntos de vectores linealmente independientes. Una vez que hayamos desarrollado ambos conceptos, podremos hablar de bases de un espacio vectorial, y con ello hablar de la dimensión de un espacio vectorial.
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