Introducción
En entradas anteriores platicamos de propiedades aritméticas de los números enteros, del anillo de enteros módulo y de los números complejos. Vimos cómo pueden ser de utilidad para resolver problemas de matemáticas de distintos tipos. Ahora veremos temas de funciones continuas.
En esta entrada, y las subsecuentes, entraremos al mundo del cálculo y de la continuidad. En el transcurso de diez entradas veremos cómo aprovechar distintas herramientas de continuidad, cálculo diferencial e integral.
Seguiremos con la costumbre de no demostrar los teoremas principales que usemos, pero podemos recomendar al lector las siguientes fuentes para consultar los fundamentos
- El libro clásico Cálculo de Michael Spivak
- La serie de videos de Cálculo en Khan Academy
- La serie de videos de Cálculo en Khan Academy en español
El orden de presentación de los temas viene del libro Problem Solving Strategies de Loren Larson.
Recordatorio de límites y continuidad
Sea un subconjunto de
y
una función. Intuitivamente, el límite de
cuando
tiende a
es
si al acercarnos a
en
tenemos que
se acerca a
.
De manera formal, tenemos que







Proposición. Sean y
funciones. Sea
. Si
y
cuando
, entonces
cuando
cuando
- Si
,
cuando
Definición. Sea una función real y
. Decimos que
es continua
- en
si
cuando
.
- en
si es continua en todo
.
Si es continua en
, simplemente decimos que es continua.
Como los límites se comportan bien con las operaciones, tenemos que las funciones continuas también se comportan bien con las operaciones.
Proposición. Sean y
funciones. Sea
. Si
y
son continuas en
, entonces
es continua en
es continua en
- Si
,
es continua en
Ejercicio. Muestra que es continua para todo
.
Sugerencia. No uses la definición épsilon-delta directamente en la función, pues será complicado. Demuestra que es continua con la definición epsilon-delta y de ahí usa las demás propiedades enunciadas en las proposiciones.
Funciones continuas y sucesiones
Las funciones continuas y las sucesiones están cercanamente relacionadas. Recuerda que una sucesión de reales es un conjunto ordenado de reales, uno por cada entero positivo, al cual denotaremos así:
Decimos que la sucesión converge a
, en símbolos







Teorema. La función es continua en
si y sólo si para toda sucesión de reales
en
tal que
se tiene que
.
Este teorema tiene múltiples usos. Nos dice que para verificar que una sucesión sea continua en un punto , nos basta ver qué le hace a todas las sucesiones que convergen a
. Si alguna de ellas no converge a
, entonces la función no es continua. Si todas ellas convergen a
, entonces la función sí es continua. Veamos un ejemplo de su aplicación
Problema. Considera la función la función tal que a cada irracional le asigna
y a cada racional
(expresado con
y
positivos y primos relativos) le asigna
. Estudia la continuidad de esta función.
Sugerencia pre-solución. La continuidad de la función se comporta distinto para los racionales y para los irracionales. Para ver qué sucede en los racionales, acércate con una sucesión de irracionales.
Solución. Demostraremos que es continua en los irracionales y no es continua en los racionales.
Tomemos un racional . Observa que la sucesión
para
suficientemente grande cae en
y
. Cada término de la sucesión es irracional. Así,
para todo término, de modo que
. Esto muestra que
no es continua en
. Para
podemos hacer el mismo truco con
para ver que no es continua.
Tomemos ahora un número irracional . Tenemos que
. Mostraremos que para toda sucesión
tal que
, tenemos que
. Tomemos
un entero positivo. Consideremos el conjunto
de todos los números racionales en
con denominador a lo más
.
Como es irracional, las distancias de
a los números de
son todas positivas, así que su mínimo es un real positivo
. Como
, existe un
tal que si
, entonces
. Así, para
, no se puede que
esté en
. De este modo, para
tenemos que
. Esto muestra que
. Así,
es continua en los irracionales.
Por supuesto, algunas veces es útil regresar a la definición epsilon-delta para funciones continuas.
Problema. Sea una función inyectiva y continua tal que
y tal que tiene por lo menos un punto fijo. Muestra que
para todo
.
Sugerencia pre-solución. Antes de intentar cualquier idea de cálculo, hay que demostrar que si se cumple , entonces
. Para demostrar esto para
negativa, usa inducción. Para
positiva necesitarás jugar un poco con la hipótesis. Aplica la hipótesis
para
y usa la inyectividad. De ahí obtendrás una igualdad que te servirá para encontrar
para
positivas.
Solución. La primera observación es que el conjunto de puntos fijos de una función continua es cerrado, pues si es una sucesión de puntos fijos que converge a un punto
, entonces por un lado
también converge a
, y por otro por continuidad converge a
. Como los límites, cuando existen, son únicos, tenemos que
.
Si para alguna
, entonces tendremos
para alguna
. Mostraremos que
para todo entero
. Aplicando la hipótesis
para
, obtenemos que
, de modo que inductivamente tenemos
para
entero positivo.
Aplicando la hipótesis para
obtenemos
, de modo que por inyectividad tenemos
. Usando esta ecuación para
obtenemos que
, de donde
, y de aquí inductivamente
para
enteros positivos. De esta forma,
para todo entero.
Ahora sí viene la parte en la que usamos la continuidad. Supongamos que . Sea
. Como
es continua en
, existe un
que podemos suponer menor a
tal que si
, entonces
.
Sea un punto frontera del conjunto de puntos fijos. Como
es continua en
, podemos encontrar un
y
tal que si
, entonces
. Como el conjunto de puntos fijos es cerrado,
está en él. Ya que
es punto frontera, existe un
tal que
y
. Para este
tenemos por las cotas que hemos encontrado y la desigualdad del triángulo que
Así, es un número de norma entre
y
, de modo que existe una
para la cual
. Por lo que probamos previamente,
. A partir de todo esto concluimos que:
Esto es una contradicción, así que todos los reales deben ser puntos fijos de .
Dos teoremas importantes de continuidad
Las funciones continuas satisfacen dos propiedades muy importantes.
Teorema (teorema del valor intermedio). Sea una función continua. Entonces para todo
entre
y
existe un real
tal que
.
Aquí, si entonces «entre
y
» quiere decir en el intervalo
y si
, quiere decir en el intervalo
. Dicho en otras palabras, si una función continua toma dos valores, entonces toma todos los valores entre ellos.
Teorema (teorema del valor extremo). Sea una función continua. Entonces existen números
y
en
para los cuales
para todos los
en
.
Dicho de otra forma, una función continua definida en un intervalo cerrado «alcanza su máximo y su mínimo».
En siguientes entradas hablaremos de aplicaciones de estos teoremas. Por el momento sólo los enunciamos, y en la siguiente sección demostraremos uno de ellos.
El método de la bisección de intervalos
Una de las herramientas más útiles para trabajar con reales y con funciones continuas es el método de la bisección de intervalos. Se trata a grandes rasgos de lo siguiente:
- Se comienza con un intervalo
. Definimos
y
.
- Partimos ese intervalo por su punto medio
en dos intervalos
y
. En alguno de esos dos pasa algo especial. Si es en el primero, definimos
,
. Si es en el segundo, definimos
,
, para conseguir un intervalo
especial.
- Continuamos recursivamente. Ya que definimos al intervalo
, consideramos a su punto medio
. De entre los intervalos
y
elegimos a uno de ellos que sea «especial» para definir
.
Los forman una sucesión no decreciente acotada superiormente por
y los
una sucesión no creciente acotada inferiormente por
. De esta forma, ambas sucesiones tienen un límite. Además, notemos que
, de modo que
, por lo que ambas situaciones convergen al mismo límite
, y este límite está en todos los intervalos
. Si elegimos a los intervalos
de manera correcta, podemos hacer que este límite
tenga propiedades especiales.
Veamos cómo aplicar esta idea para demostrar el teorema del valor extremo.
Demostración (teorema del valor extremo). Comenzamos con una función contínua . Basta con probar que
alcanza su máximo, pues para ver que alcanza su mínimo basta aplicar las siguientes ideas a
.
Usaremos el método de bisección de intervalos. Definimos y
. Suponiendo que ya definimos
y
, consideremos el punto medio
del intervalo
.
- Si algún
en
cumple que
para todo
, elegimos
y
.
- En otro caso, para todo
en
tenemos algún
que cumple
y elegimos
y
.
En cualquier caso, notemos que se cumple que «para cualquier en el intervalo no elegido hay una
en el intervalo sí elegido tal que
«.
Como discutimos anteriormente, las sucesiones y
convergen a un mismo límite
. Afirmamos que
para todo
en
. Si
, esto es claro. Si no,
y definimos
.
Vamos a definir recursivamente una sucesión para la cual

Ya que definimos tal que
, notemos que
y
están en el mismo intervalo
, pero como son distintos existe un primer
tal que en el intervalo
está
pero
no. Como es la menor
, sí están ambos en el intervalo
.
Por cómo definimos la elección de intervalos, hay un en el intervalo
tal que
. Si
, terminamos (por la cadena de desigualdades). Si no, definimos
como este
. Así, cuando el proceso se detiene, terminamos por la cadena de desigualdades. Si el proceso no se detiene, tenemos una sucesión infinita
que converge a
, de modo que
, pues cada término es mayor o igual a
. Esto muestra la desigualdad
que queríamos.
Más problemas
Se pueden encontrar más problemas de este tema en la Sección 6.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.