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Entradas recientes

• Fórmulas de Frenet-Serret
  por Ruben Hurtado
  Dada una curva $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, el Vector Unitario Tangente $T$ es otrafunción vectorial asociada a la curva, y está definida por:$$\boxed{T(t)=\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\ \ \ \ \text{siempreque $|f^{\prime}(t)| \neq 0$.}}$$De acuerdo a la definición anterior tenemos$$\|T(t)\|=\left\|\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\right\|=\frac{\|f'(t)\|}{\|f'(t)\|}=1$$y de acuerdo a lo anterior\begin{align*} \|T(t)\|=1 &~\Rightarrow~T(t)\cdot T(t)=1 \\ &~\Rightarrow~\frac{d}{dt}(T(t)\cdot T(t))=0 \\ &~\Rightarrow~T'(t)\cdot T(t)+T(t)\cdot T'(t)=0 \\ &~\Rightarrow~2(T'(t)\cdot T(t))=0 \\ &~\Rightarrow~T'(t)\cdot T(t)=0 \end{align*}lo […]
• Curvatura, Radio de Curvatura, Circulo Osculador y Torsión
  por Ruben Hurtado
  $\fbox{$\textcolor{red}{Curvatura}$}$En una recta, el vector unitario tangente $T$ no cambia su dirección y por tanto $T^{\prime}=0$. Si la curva no es una linea recta, la derivada $T^{\prime}$ mide la tendencia de la tangente a cambiar su dirección. El coeficiente de variación o derivada de la tangente unitaria respecto a la longitud de arco se denomina […]
• Vector tangente, Vector Normal, Vector Binormal, Plano Osculador, Plano Rectificador, Plano Normal
  por Ruben Hurtado
  $\fbox{Vector Tangente}$Sea $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ una curva tal que el vector derivada $f'(t)\neq 0$ para todo $t\in[a,b]$, es tangente a f y apunta en la dirección que el parámetro t crece.$\textcolor{blue}{Definición}$Dada una curva $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, el vector unitario tangente $T$ es otra función vectorial asociada a la curva, y está definida por:\[T(t)=\frac{f^{\prime}(t)}{\|f^{\prime}(t)\|}\ \ \ \ \text{si}\ \ \ […]
• Geometría Moderna II: Circunferencia Polar
  por Armando Arzola Pérez
  3.4 Circunferencia Polar Introducción Como ya se vio en la entrada anterior de Triángulo Autopolar, se puede tener un triángulo autopolar dada una circunferencia y no solo eso, sino que además se puede tener un número infinito de triángulos autopolares dada una circunferencia, pero solamente existe una circunferencia (Circunferencia Polar) de la cual un triángulo […]
• Longitud de Arco
  por Ruben Hurtado
  $\textcolor{blue}{Definición}$ Si C es un arco de curva rectificable, definimos su longitud $L(C)$ como la suma $$\boxed{L_{C}=\sup{s(P)}=\sup\left\{\Sigma\|f(t_{k})-f(t_{k-1})\|\right\}}$$Ahora vamos a obtener una fórmula para la longitud de arco.Sea $\overline{\alpha}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ ó $\mathbb{R}^{3}$, continua en $[a,b]$, derivable en (a,b) y $\overline{\alpha^{\prime}}(t)\neq 0$ para todo $t\in [a,b]$ y sea $P={t_{0},t_{1},…,t_{n}}$ una partición de $[a,b]$ entonces según la figura […]
• Curvas Rectificables
  por Ruben Hurtado
  $\textcolor{blue}{Definición}$Una arco de curva esta dado por una función vectorial $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$. Donde el dominio esta restringido al intervalo cerrado $[a,b]\in\mathbb{R}$.$\textcolor{blue}{Definición}$Sea C un arco de curva en $\mathbb{R}^{n}$ dada por la función$$f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),…,f_{n}(t))$$Consideremos el conjunto$$P=\{P~\Big{|}~P~es~partici\acute{o}n~de~[a,b]\}$$Para cada partición $P:~a=t_{0},t_{1},…,t_{n-1},t_{n}=b$ de $[a,b]$ consideramos la poligonal$$f(t_{0}),f(t_{2}),…,f(t_{n-1}),f(t_{n})$$y su correspondiente longitud$$s(P)=|f(t_{1})-f(t_{0})|+|f(t_{2})-f(t_{1})|+\cdots+|f(t_{n-1})-f(t_{n})|=\sum_{i=1}^{n}||f(t_{i})-f(t_{i-1})||$$Se dice C es rectificable si el conjunto ${s(P)}$ esta acotado. $\textcolor{orange}{Ejemplo}$Muestre […]
• Matemáticas Financieras: Antecedentes y fundamentos
  por Erick de la Rosa
  Introducción A lo largo de este capítulo, exploraremos el origen del concepto de pago de intereses y rastrearemos la evolución de los modelos matemáticos que describen los fenómenos de interés simple y compuesto. Abordaremos conceptos clave como el valor presente, tasas efectivas, tasas nominales, tasas instantáneas y sus características individuales. Además, examinaremos las interrelaciones entre […]
• Derivabilidad de las funciones vectoriales
  por Ruben Hurtado
  Generalizando un poco las ideas del cálculo diferencial de funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ a funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$. Recordemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable en un punto $t_{0}$ si$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(t_{0}+h)-f(t_{0})}{h}$$existe y en tal caso lo denotamos $f'(t_{0})$ $$\textcolor{blue}{Definición}$$ Sea $r:I\subset\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ una función vectorial definida en un intervalo abierto $I\in\mathbb{R}$ y $t\in I$. Se define la derivada […]
• Límites de funciones $\textcolor{blue}{f:[a,b]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}}$
  por Ruben Hurtado
  Ahora echemos un vistazo al límite de una función con valores vectoriales. Esto es importante de entender para estudiar el cálculo de funciones vectoriales. $\textcolor{blue}{Definición}$ Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ una función vectorial definida para todos los valores de$t$ en alguna vecindad de un punto $t_0$, excepto quiza en $t_0$.Entonces se dice que el límite de la […]
• Funciones $\textcolor{blue}{f:[a,b]\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}}$
  por Ruben Hurtado
  Una función vectorial es una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ ó $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ de la forma$$f(t)=x(t)i+y(t)j~~\acute{o}~~f(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k$$donde las funciones componentes $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$ son funciones de valor real del parámetro t. Las funciones con valores vectoriales son también escritas en forma$$f(t)=(x(t),y(t))~\acute{o}~f(t)=(x(t),y(t),z(t))$$En ambos casos, la primera forma de la función define una función vectorial bidimensional; la segunda forma describe una […]

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