Álgebra Superior I: Conectores: negaciones, conjunciones y disyunciones

Introducción

En la entrada de introducción a este curso ya acordamos que una proposición matemática (o simplemente proposición) es un enunciado que puede ser verdadero o falso (pero no ambos), y que habla de objetos matemáticos.

Ahora hablaremos de algunas reglas que nos permiten comenzar con una o más proposiciones y combinarlas para obtener otras proposiciones. Hablaremos de la negación, de la conjunción y de la disyunción. De manera informal, la primera antepone un «no es cierto que» a cualquier proposición, y le cambia su veracidad. La segunda y tercera combinan dos proposiciones en una sola. De manera informal, ponen «y» y «o» entre las oraciones, respectivamente.

A estas reglas se les conoce como conectores o conectivos. Discutiremos cada uno de ellos de manera intuitiva y después definiremos qué quieren decir de manera formal.

Conectores lógicos

De tu experiencia previa, ya sabes que hay formas en las que podemos combinar, por ejemplo, a números enteros para obtener nuevos números. Si tomamos el número $2$ y el número $3$ y les aplicamos la operación «suma», entonces debemos entreponer un signo $+$ entre ellos para obtener la expresión $2+3$ . Esta expresión es de nuevo un número entero: el $5$ . Así como hacemos operaciones entre números, también podemos hacer operaciones entre proposiciones.

Un conector lógico (o simplemente conector) es una regla que permite tomar una o más proposiciones, «operarlas» y de ahí construir una nueva proposición «resultado». Como lo que más nos importa de las proposiciones es si son verdaderas o falsas, entonces lo más importante de cada conector que demos es decir cómo se determina la veracidad de la proposición que obtuvimos como resultado. En estas entradas hablaremos a detalle de los siguientes conectores:

Negaciones: Usan el símbolo $\neg$ . Toman una proposición $P$ y la convierten en la proposición $\neg P$ cuyo valor de verdad es opuesto al de $P$ .
Conjunciones: Usan el símbolo $\land$ . Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P\land Q$ , que para ser verdadera necesita que tanto $P$ como $Q$ sean verdaderas.
Disyunciones: Usan el símbolo $\lor$ . Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P\lor Q$ , que para ser verdadera necesita que alguna de $P$ o $Q$ lo sean (o ambas).
Implicaciones: Usan el símbolo $\Rightarrow$ . Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P\Rightarrow Q$ , que para ser verdadera se necesita o bien que $P$ sea falsa (y $Q$ puede ser lo que sea), o bien que tanto $P$ como $Q$ sean verdaderas.
Dobles implicaciones: Usan el símbolo $\Leftrightarrow$ . Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P \Leftrightarrow Q$ , que para ser verdadera necesita que $P\Rightarrow Q$ sea verdadera y que $Q\Rightarrow P$ sea verdadera.

Ahora profundizaremos en las primeras tres y las últimas dos las dejaremos para más adelante.

Negaciones

Lo que hacen las negaciones a nivel de texto es anteponer un «no es cierto que» a una proposición. Por ejemplo si comenzamos con la proposición

$A=\text{"El cielo es azul."}$

entonces su negación es

$\neg A=\text{"No es cierto que el cielo es azul."}$

Observa que si pensamos a $A$ como una proposición verdadera, entonces la proposición $\neg A$ es falsa.

Hay que tener cuidado. El efecto que hacen las negaciones simplemente es anteponer «no es cierto que» a una proposición. Puede ser tentador intentar poner un «no» en alguna parte de la oración de manera arbitraria, pero esto puede llevar a problemas. Por ejemplo, la negación de la oración

$B=\text{"El número $2$ es par y múltiplo de $3$."}$

es simplemente

$\text{"No es cierto que el número $2$ es par y múltiplo de $3$."}$

Si hacemos la negación con poco cuidado, podríamos llegar a

$\text{"El número $2$ no es par ni múltiplo de $3$."}$

que no funciona, pues no tiene el valor opuesto de verdad: la oración original es falsa, y esta también.

Más adelante hablaremos con cuidado del conector «y» que usamos en el ejemplo anterior. Veremos cómo se pueden negar de manera correcta a las proposiciones que lo usan.

Tabla de verdad de negaciones

De manera formal, dada una proposición $P$ definimos a la negación de $P$ , que denotamos por $\neg P$ como la proposición que tiene valor opuesto de verdad al de $P$ . De esta forma, por definición, se tiene que $\neg P$ es la proposición con la siguiente tabla de verdad:

$P$	$\neg P$
$0$	$1$
$1$	$0$

Ya que al aplicar una negación obtenemos una nueva proposición, entonces ahora podemos volverle a aplicar negación a la nueva proposición obtenida. Así, si comenzamos con

$P=\text{"El cielo es azul."}$

y lo negamos, obtenemos

$\neg P = \text{"No es cierto que el cielo es azul."}$

y luego podemos negar de nuevo para obtener

$\neg(\neg P) = \text{"No es cierto que no es cierto que el cielo es azul."}$

Como la negación cambia el valor de verdadero a falso y viceversa, entonces $P$ y $\neg(\neg P)$ tienen el mismo valor de verdad. Esto lo podemos verificar en la siguiente tabla de verdad, llenando primero la segunda columna y luego la tercera a partir de la segunda.

$P$	$\neg P$	$\neg(\neg P)$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$

Observa que las columnas de $P$ y de $\neg(\neg P)$ tienen exactamente los mismos valores. Diremos entonces que $P=\neg(\neg P)$ . Observa cómo se parece mucho a la igualdad $-(-x)=x$ en los números reales. En la siguiente entrada hablaremos con más formalidad de cuándo podemos decir que dos proposiciones $P$ y $Q$ son iguales.

Conjunciones

Lo que hacen las conjunciones a nivel de texto es anteponer un «y» entre dos proposiciones. Por ejemplo si comenzamos con las proposiciones

$P=\text{"El número $20$ es impar."}$

$Q=\text{"El número $9$ es un número cuadrado."}$

entonces la conjunción de ambas es

$P\land Q=\text{"El número $20$ es impar y el número $9$ es cuadrado."}$

Para que esta nueva proposición sea verdadera, debe suceder que cada una de las proposiciones que la conforman deben serlo. En este caso en específico, esto no ocurre. La proposición $Q$ es verdadera, pero la proposición $P$ es falsa. De este modo, la conjunción es falsa.

Veamos algunos ejemplos más. Tomemos las siguientes proposiciones:

$A=\text{"Los gatos son felinos."}$

$B=\text{"Todas las blorg son rojas."}$

$C=\text{"El número $3$ es mayor que el número $1$."}$

$D=\text{"Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$."}$

$E=\text{"La luna es azul."}$

Para determinar la veracidad de cada una de estas, tendríamos que ponernos de acuerdo en la definición de varios términos como «felinos», «blorg», «es mayor que», «cuadrado», «luna», etc. Pero por practicidad, daremos por hecho que $A$ , $B$ y $C$ son proposiciones verdaderas y que $D$ y $E$ son falsas.

La conjunción de $A$ con $B$ es

$A\land B = \text{"Los gatos son felinos y todas las blorg son rojas."}$

Como cada una de las proposiciones que conforman la conjunción es verdadera, entonces la conjunción lo es.

La conjunción de $B$ con $E$ es

$B\land E = \text{"Todas las blorg son rojas y la luna es azul".}$

Por muy cierto que sea que todas las blorg sean rojas, la conjunción no es verdadera pues $E$ es falsa.

Una vez que formamos una conjunción, esta es ahora una nueva proposición. Por lo tanto, se vuelve candidata a aplicarle negaciones y conjunciones. De esta forma, tiene sentido pensar en la proposición $\neg(A\land B)$ , en donde los paréntesis implican que primero se hace esa operación. A nivel textual también usaremos los paréntesis para no confundirnos, de modo que escribiremos:

$\begin{align*}\neg(A\land B) &= \text{"No es cierto que (los gatos son felinos y todas}\\ &\text{las blorg son rojas)."}\end{align*}$

También tiene sentido pensar en la proposición $(\neg C) \land E$ . O bien en la proposición $A\land( (\neg C) \land E)$ . Puedes practicar pasar estas oraciones a texto con paréntesis.

Tabla de verdad de conjunciones

Para formalizar la discusión anterior, definimos a la conjunción de dos proposiciones $P$ y $Q$ como la proposición $P\land Q$ que es verdadera únicamente cuando tanto $P$ como $Q$ son verdaderas. Así, por definición, su tabla de verdad es la siguiente:

$P$	$Q$	$P\land Q$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural. Para responderla, podemos hacer la tabla de verdad considerando tanto a las columnas $P\land Q$ como $Q\land P$ y llenándolas por separado.

$P$	$Q$	$P\land Q$	$Q \land P$
$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$	$1$

Observa que las columnas correspondientes a $P\land Q$ y $Q\land P$ son iguales, de modo que podemos concluir que $P\land Q=Q\land P$ . Hay otras preguntas muy naturales: ¿qué pasa si hacemos la conjunción de más de dos proposiciones? ¿son iguales $(P\land Q) \land R$ y $P\land(Q \land R)$ ? ¿qué pasa si combinamos a la negación con la conjunción? Esto lo veremos más adelante.

Disyunciones

Lo que hacen las disyunciones a nivel de texto es anteponer un «o» entre dos proposiciones. Por ejemplo si comenzamos con las proposiciones

$P=\text{"El número $10$ es impar."}$

$Q=\text{"El número $7$ es un número primo."}$

entonces la conjunción de ambas es

$P\lor Q=\text{"El número $10$ es impar o el número $7$ es primo."}$

Para que esta nueva proposición sea verdadera, es suficiente con que una de las proposiciones que la conforman lo sea. En este caso en específico, esto sí ocurre. La proposición $Q$ es verdadera, de modo que aunque la proposición $P$ sea falsa, la disyunción resulta ser verdadera.

Retomemos las proposiciones de la sección anterior para ver más ejemplos.

$A=\text{"Los gatos son felinos."}$

$B=\text{"Todas las blorg son rojas."}$

$C=\text{"El número $3$ es mayor que el número $1$."}$

$D=\text{"Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$."}$

$E=\text{"La luna es azul."}$

Recuerda que estamos dando por hecho que $A$ , $B$ y $C$ son proposiciones verdaderas y que $D$ y $E$ son falsas.

La disyunción de $A$ con $B$ es

$A\lor B = \text{"Los gatos son felinos o todas las blorg son rojas."}$

Como $A$ es verdadera, esto basta para decir que $A\lor B$ es verdadera. Como $B$ también es verdadera, también esto bastaba para decir que $A\lor B$ es verdadera. No hay ningún problema con que tanto $A$ como $B$ sean verdaderas.

La conjunción de $D$ con $E$ es

$C\lor E = \text{"Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$ o la luna es azul".}$

Aquí tanto $D$ como $E$ son falsas, de modo que la disyunción también lo es.

Las disyunciones también crean proposiciones nuevas, a las que se les pueden aplicar negaciones, conjunciones y disyunciones. El uso del paréntesis se vuelve crucial. Observa que usando las proposiciones ejemplo de arriba, tenemos que

$(D\land C) \lor A$ es verdadera
$D\land (C \lor A)$ es falsa

Tabla de verdad de disyunciones

Para formalizar la discusión anterior, definimos a la disyunción de dos proposiciones $P$ y $Q$ como la proposición $P\lor Q$ que es verdadera cuando por lo menos una de las proosiciones $P$ y $Q$ lo es. Así, por definición, su tabla de verdad es la siguiente:

$P$	$Q$	$P\lor Q$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural, y ya puedes responderla por tu cuenta. Intenta hacer esto haciendo una tabla de vedad que incluya tanto a las columnas $P\lor Q$ como $Q\lor P$ .

En la sección anterior vimos la importancia de poner paréntesis en las expresiones. Esta importancia también podemos verificarla mediante la siguiente tabla de verdad, en donde consideramos tres proposiciones $P$ , $Q$ y $R$ y estudiamos qué sucede con $(P\land Q) \lor R$ y con $P \land (Q \lor R)$ . Como hay $2$ posibilidades para cada uno de $P$ , $Q$ , $R$ , debemos tener $2\cdot 2 \cdot 2 = 8$ filas.

Llenamos primero las primeras dos columnas usando lo que sabemos de $P\land Q$ y $Q\lor R$ .

$P$	$Q$	$R$	$P\land Q$	$Q \lor R$	$(P\land Q) \lor R$	$P \land (Q \lor R)$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

Y ahora sí podemos llenar las últimas dos porque ya sabemos cómo es el valor de verdad de cada una de las proposiciones que las conforman.

$P$	$Q$	$R$	$P\land Q$	$Q \lor R$	$(P\land Q) \lor R$	$P \land (Q \lor R)$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

Observa que las columnas correspondientes a $(P\land Q) \lor R$ y $P \land (Q \lor R)$ no son iguales, pues difieren en algunos renglones, por ejemplo, en el segundo renglón. De este modo, podemos concluir que hay ocasiones en las que $(P\land Q) \lor R$ y $P \land (Q \lor R)$ no son iguales, así que el orden de las operaciones suele ser importante.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Escribe en texto y usando paréntesis la proposición $(A\land B) \lor (\neg D)$ , usando $A$ , $B$ y $D$ como las proposiciones ejemplo que dimos.
Mediante una tabla de verdad, justifica la igualdad $P\lor Q = Q \lor P$ .
Mediante una tabla de verdad, justifica la igualdad $(P\lor Q) \lor R = P \lor (Q \lor R)$ .
Haz una tabla de verdad para verificar que las proposiciones $\neg(P \land Q)$ y $(\neg P) \land (\neg Q)$ no son iguales. Es decir, debes de hacer todos los casos y ver que las columnas difieren en uno o más renglones.
Haz una tabla de verdad para verificar que las proposiciones $(P\land Q) \land (R \land S)$ y $(((P\land Q) \land R) \land S)$ son iguales. Va a ser una tabla grande, de $16$ renglones.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de la negación, la conjunción y la disyunción. Vimos cómo justificar algunas de sus propiedades mediante tablas de verdad, como $A\land B=B\land A$ . En la siguiente entrada usaremos esta técnica y otras más para probar otras propiedades interesantes de estos conectores.

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Álgebra Superior I: Tipos de enunciados matemáticos

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Introducción

En esta entrada platicamos de varios tipos de enunciados con los que te vas a encontrar frecuentemente en trayectoria matemática a nivel universitario. Para entender correctamente las definiciones siguientes, es muy importante que ya estés familiarizado con el concepto de proposición matemática que tratamos con anterioridad.

Axiomas

En las matemáticas, los axiomas son enunciados que tomamos como verdaderos. No son proposiciones, en el sentido de que su veracidad está definida por convención. Son el punto de partida que establece las reglas del juego de cierta área de las matemáticas.

Cuando estés en cálculo, se verán los axiomas que deben satisfacer los números reales. Cuando estés en álgebra lineal, ser verán los axiomas de espacio vectorial. En geometría moderna se verán los axiomas de Euclides. En este curso hablaremos un poco de axiomas para la teoría de conjuntos y para los números naturales.

Algunos ejemplos son los siguientes (no es necesario que entiendas exactamente qué dicen):

Para cada dos puntos, hay una línea que pasa por ellos.
Cada número natural tiene un único sucesor.
Para cualquier elemento $a$ en $G$ , existe un elemento $b$ en $G$ tal que $ab=G$ .
Para cualquier colección $A_1,\ldots,A_n$ de abiertos, se tiene que
$A_1 \cap A_2 \cap \ldots A_n$
también es abierto.

Los axiomas no requieren ser justificados o demostrados. Simplemente acordamos su validez.

Definiciones

Las definiciones no son proposiciones matemáticas y no tiene sentido decir que son verdaderas o falsas. Simplemente son enunciados que le ponen un nombre a un objeto matemático con ciertas propiedades para poder referirnos a él de manera sencilla más adelante. En ocasiones, estas definiciones hacen referencia a cómo se expresa el concepto matemático en símbolos y frecuentemente para ello se usa la palabra «denotar».

Hay varias formas en las que se pueden escribir definiciones matemáticas. Las siguientes son algunas (no es necesario que las entiendas completamente).

Un número entero es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual a sí mismo.
Un cuadrilátero es un cuadrado si las longitudes de sus cuatro lados son iguales y los cuatro ángulos en sus vértices son rectos.
Para dos conjuntos $A$ y $B$ definimos a su unión como el conjunto que consiste de los elementos que están en cualquiera de los dos conjuntos. Lo denotamos por $A\cup B$ .
Un grupo es un conjunto con una operación binaria asociativa, con neutro y con inversos.
Una operación binaria es asociativa si $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Las definiciones son muy útiles pues ayudan a acortar el lenguaje e ir construyendo ideas más complejas e interesantes. Toma en cuenta lo siguiente con respecto a las definiciones.

Cuando se tienen enunciados del estilo «tomemos $C$ un cuadrado», o «sea $G$ un grupo», o incluso «consideremos $A\cup B$ «, de manera instantánea ya se pueden tomar como verdaderas todas las propiedades dadas por la definición. Así, de manera inmediata es verdadero que los lados de $C$ miden lo mismo y que $A\cup B$ tiene tanto a los elementos de $A$ como a los de $B$ . También es verdadero que $G$ tiene una operación asociativa. Y por la definición de «asociativa», de manera inmediata es verdadero que $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ . Observa cómo se van haciendo deducciones sucesivas de hechos verdaderos.
Cuando se requiera verificar si un objeto satisface una definición, entonces hay que verificar que sean ciertas todas las propiedades enunciadas en la definición. Así, no basta ver que $C$ tiene lados iguales para ver que es un cuadrado. También hay que ver que sus ángulos son todos ellos rectos.

Proposiciones

Las proposiciones son simplemente proposiciones matemáticas en el sentido de la entrada anterior. Son enunciados matemáticos que se puede determinar si son verdaderos o falsos. Usualmente, cuando se encuentran en un curso o en un texto, es porque ya se verificó su veracidad. En estos contextos, tras enunciar una proposición se suele dar una demostración, que es un concepto del que hablaremos a profundidad más adelante.

Una vez que tenemos axiomas y definiciones, es posible empezar a relacionar distintos conceptos mediante proposiciones. A continuación se tienen algunos ejemplos:

Si un cuadrilátero tiene todos sus ángulos rectos y tiene dos lados consecutivos iguales, entonces es un cuadrado.
La suma de dos números pares siempre da un número par.
Existe una función continua que no es diferenciable.
Siempre se cumple que $(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$ .
La suma de dos números que sean múltiplos de $3$ nunca es un múltiplo de $3$ .
Todas las funciones diferenciables son continuas.

Todas las proposiciones arriba enunciadas son verdaderas, excepto una de ellas. Observa que usan palabras como «y», «si… entonces…», «todas», etc. Varias de estas palabras tienen un significado matemático muy preciso que discutiremos más adelante. Después veremos cómo determinar la veracidad de algunas de estas proposiciones y qué tipo de argumentos hay que dar para demostrarlas.

Lemas

Un lema es prácticamente una proposición. Los lemas tienen este nombre más bien con un fin práctico. Lo que se está avisando es que hay que poner atención a esa proposición, pues probablemente sea utilizada como resultado auxiliar una o varias veces más adelante.

Como los lemas son proposiciones matemáticas, entonces pueden ser verdaderos o falsos. Por esta razón, para poder afirmar que un lema es verdadero, es necesario dar una demostración en donde se justifique o se deduzca desde elementos más básicos (como definiciones, axiomas o proposiciones) la validez del mismo.

Teoremas

Los teoremas también son básicamente proposiciones. Su nombre también cumple un fin práctico. Cuando se le pone el nombre de «teorema» a una proposición, es para dar a entender que es una proposición muy importante dentro de la teoría. Usualmente para llegar a un teorema se necesitan probar varios resultados auxiliares.

Hay algunos teoremas que se vuelven tan relevantes que adquieren nombre propio. Algunos ejemplos de teoremas son los siguientes (son ejemplos nada más, tampoco es fundamental que entiendas exactamente qué están diciendo):

Un espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a su espacio dual.
Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo de catetos con longitudes $a$ y $b$ e hipotenusa $c$ se cumple que $a^2+b^2=c^2$ .
Teorema de Hall: Si una familia de al menos $n+1$ convexos en $\mathbb{R}^n$ se intersecta de $n+1$ en $n+1$ elementos, entonces toda la familia se intersecta.
Teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio no constante con coeficientes en $\mathbb{C}$ tiene por lo menos una raíz en $\mathbb{C}$ .

Los investigadores en matemáticas y áreas afines se dedican a encontrar este tipo de resultados relevantes. Una frase conocida de Alfréd Rényi es: «Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas».

Corolarios

Un corolario, de nuevo, es prácticamente una proposición. Sin embargo, en el desarrollo de la teoría matemática los corolarios usualmente son resultados que se siguen fácilmente de resultados previos, sobre todo de teoremas. A continuación, algunos ejemplos.

Un corolario del teorema de Pitágoras es «La hipotenusa es más larga que cualquiera de los catetos».
Un corolario de teorema fundamental del álgebra es «Un polinomio no constante de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces complejas contando multiplicidades».
Un corolario del teorema de Hall es que si en una mesa hay manchas circulares del mismo radio, y cualesquiera tres de ellas se pueden cubrir con un plato, entonces todas las manchas se pueden cubrir usando sólo un plato.

Puedes pensar en los corolarios como la «cereza del pastel».

Conjeturas

Las conjeturas también son proposiciones matemáticas: son enunciados que se puede determinar si son verdaderos o falsos. Sin embargo, a diferencia de los lemas, proposiciones, teoremas y corolarios (que se sabe que son verdaderos), lo que ocurre con las conjeturas es que todavía no hay nadie que haya determinado si son verdaderas o falsas.

Las conjeturas juegan un papel importante en la teoría de muchas áreas de las matemáticas, pues son resultados que se espera que sean verdaderos, pero para los cuales aún es necesario el desarrollo de nuevas técnicas en la investigación matemática.

Recapitulación

En resumen, los lemas, proposiciones, teoremas y corolarios son todos ellos proposiciones matemáticas. Pueden ser verdaderas o falsas. Los que encuentres en textos y cursos prácticamente serán verdaderos. Para asegurar que son verdaderos, requieren de una demostración, es decir, de una serie de argumentos y deducciones. Usualmente te los encontrarás en el siguiente «esquema»:

Lema -> Proposición -> Teorema -> Corolario

Los axiomas y definiciones no son proposiciones. Los axiomas son enunciados matemáticos que damos por hecho. Las definiciones nos ayudan a referirnos a objetos matemáticos con ciertas propiedades de manera más sencilla.

Las conjeturas son proposiciones matemáticas que todavía nadie sabe si son verdaderas o no. Los investigadores en matemáticas desarrollan nuevas técnicas para resolver estos problemas.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Busca en internet por lo menos otros tres teoremas.
Investiga por lo menos otras tres conjeturas que todavía no hayan sido resueltas.
Encuentra en internet una noticia de alguna conjetura matemática que haya sido resuelta recientemente.

Más adelante…

Ya platicamos del tipo de enunciados que existen en las matemáticas y dimos algunos ejemplos. En el transcurso del curso veremos muchos ejemplos más. Después de este paréntesis, es importante que retomemos la teoría de lógica para poder hablar de algo fundamental al momento de determinar la veracidad de proposiciones matemáticas: las demostraciones. Antes de llegar ahí, es importante hablar de conectores lógicos, de cuantificadores y de condicionales.

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Álgebra Superior I: Introducción al curso y proposiciones matemáticas

2 respuestas

Introducción

En este curso se desarrollarán varias de las habilidades matemáticas fundamentales a nivel superior. Trabajaremos en lo siguiente:

Conocer a detalle las reglas lógicas que usamos en matemáticas y cómo nos permiten demostrar resultados a partir de pequeños bloques.
Definir manera formal que son los conjuntos, las relaciones y las funciones y aprender a justificar mediante argumentos formales las propiedades que tienen.
Construir el conjunto de los números naturales y aprovecharlo para poner en práctica todo lo aprendido anteriormente.
Desarrollar habilidades fuertes para responder preguntas del estilo «¿De cuántas formas puede ocurrir…?» «¿Cuántos objetos matemáticos hay tales que…?»
Introducir los conceptos de espacio vectorial, vectores y matrices y ver cómo nos ayuda para entender a los sistemas de ecuaciones lineales.

La primer parte del curso es fundamental, pues en todas las demás asignaturas de matemáticas a nivel superior se usan argumentos formales una y otra vez. En esta primera parte comenzarás a entender qué es el «pensamiento matemático» y conocerás la estructura lema-proposición-teorema-corolario que es muy usada a través de diferentes áreas.

Falso y verdadero

Nuestra experiencia con la vida cotidiana nos da una intuición de qué significa que algo sea verdadero o falso. Entendemos por verdadero algo que es verificable o que coincide con la realidad, por ejemplo: «Marte es un planeta».

Algo falso es lo contrario: una cosa que es posible verificar que no es cierta, o que no coincide con lo que experimentamos. Un ejemplo sería «El sol es de color azul».

En el mundo real, a veces estos conceptos de veracidad pueden tener muchos matices. En el caso del pensamiento matemático esto no es así. Lo que se hace en matemáticas es acordar (o dar por hecho) que ciertos enunciados son verdaderos y, a partir de ellos ver cuáles muchos otros enunciados verdaderos y enunciados falsos se pueden obtener como conclusión.

De esta forma, entenderemos a verdadero y falso como propiedades que puede tener un enunciado. Daremos reglas que nos permiten combinar enunciados de diferentes formas para obtener un «enunciado compuesto» y deducir su veracidad. A la larga, lo que nos interesa es poder deducir que una afirmación es verdadera a partir de la veracidad de afirmaciones más chicas y simples. Es como armar un castillo con pequeños bloques.

Proposiciones

Entenderemos por una proposición a un enunciado que se puede decir si es verdadero o falso, pero no ambas a la vez. Algunos ejemplos de proposiciones de la vida real serían las siguientes:

«La tierra gira alrededor del sol»
«Los tacos más ricos son los del señor de los tacos de canasta»
«Un kilómetro es igual a 100 metros»
«La receta sale mejor si se le pone el doble de leche»

Observa que para que algo sea una proposición no es necesario que sea verdadero. Sólo basta con que se pueda decir si es verdadero o no. Así, «Un kilómetro es igual a 100 metros» es una proposición porque se puede decidir si es falsa o verdadera. Y es falsa. También observa que algunas proposiciones necesitan más contexto para poder decir si son verdaderas o falsas. Coinsidera la oración «La receta sale mejor si se le pone el doble de leche». Por supuesto, tendríamos que saber de qué receta hablamos o qué quiere decir que «salga mejor», para poder decidir si es verdadera o falsa.

Sin embargo, los siguientes enunciados no son proposiciones.

¡Feliz cumpleaños!
Este enunciado es falso
¿Es cierto que $7$ es un número primo?

El primero no está afirmando la veracidad de nada, sólo expresa un sentimiento. El problema con el segundo enunciado es que si es verdadero, entonces es falso y viceversa. El tercero parecería sí ser algo que podemos decir si es verdadero o falso. Pero ten mucho cuidado. Compara los siguientes dos:

¿Es cierto que $7$ es un número primo?
El número $7$ es primo.

El primer enunciado es una pregunta y no está afirmando nada, sólo está preguntando. El segundo sí está afirmando algo y podemos decir si es verdadero o falso. ¿Cómo le hacemos para saber si es verdadero o falso? En la vida cotidiana puede ser muy fácil de responder a partir de la experiencia. Pero en el contexto matemático será fundamental primero definir qué quiere decir «primo» e incluso definir qué quiere decir «7» para que podamos responder la pregunta.

El enunciado «El número $7$ es primo» es un ejemplo de una proposición matemática, es decir, una proposición en la que se habla de objetos matemáticos y sus relaciones entre sí. Es posible que simplemente les llamemos «proposiciones», pues será claro que estaremos en el contexto matemáticos. Otros ejemplos de proposiciones matemáticas son las siguientes:

El valor de la integral $\int_0 ^1 x^2\, dx$ es $\frac{1}{5}$ .
Existen $10$ formas de elegir dos vocales distintas sin que se repitan y sin que nos importe el orden de elección.
Si $x>0$ , entonces $x+1\geq 2\sqrt{x}$ .

¿Puedes decir cuáles de estas proposiciones matemáticas son falsas y cuáles son verdaderas?

Proposiciones matemáticas en símbolos

En cursos de álgebra en la educación media superior nos enseñan la utilidad de introducir variables para referirnos a las cosas. Cuando ponemos $x^2+x+1$ estamos pensando en que $x$ es un número que podría tomar cualquier valor del sistema que estemos usando (por ejemplo, los números reales). Los símbolos matemáticos son muy útiles pues nos ayudan a cubrir muchos casos de manera simultánea y a escribir de manera abreviada nuestros resultados.

Aplicaremos todas estas ideas para estudiar a las proposiciones matemáticas. A una proposición arbitraria le pondremos un nombre de letra, por ejemplo $P$ , $Q$ , $R$ , $p$ , $q$ , $r$ , etc. Así, podemos hacer cosas como decir lo siguiente:

$P$ =»Todos los múltiplos de cuatro son números pares»
Para cualquier proposición $P$ , tenemos que con $P$ se puede deducir $P$ .

Observa que en el primer caso se está tomando un valor de $P$ específico, pero en el segundo estamos aprovechando la letra para hablar de algo así como «todas» las proposiciones de una manera práctica.

Proposiciones matemáticas en tablas de verdad

Una proposición tiene únicamente dos opciones: ser verdadera o ser falsa. Ahora estamos trabajando únicamente con una proposición, pero en general nos conviene tener una tabla en donde reflejemos todas las posibilidades que tenemos para las proposiciones que nos dan. Esto lo haremos mediante una tabla de verdad.

En una tabla de verdad tenemos dos tipos de columnas. Las que están a la izquierda, en donde consideramos todas las posibilidades para nuestras proposiciones y las que están a la derecha, en donde escribimos proposiciones compuestas que queremos saber si son falsas o verdaderas de acuerdo a cómo fueron las proposiciones iniciales. Para simplificar la presentación, en las tablas de verdad se usa $0$ como falso y $1$ como verdadero.

El siguiente es un ejemplo muy sencillo. Para una proposición $P$ arbitraria tenemos dos opciones que sea falsa ( $0$ ) o que sea verdadera ( $1$ ). Esto lo ponemos en la primer columna, que está en gris. A la derecha ponemos $P$ hasta arriba.

$P$	$P$
$0$
$1$

Para llenar la tabla nos preguntamos, ¿qué podemos decir de $P$ conociendo la información que tenemos de $P$ ? Por supuesto, la pregunta es muy simple: cuando $P$ es falso, $P$ es falso. Cuando $P$ es verdadero, $P$ es verdadero. Así, la forma de llenar la tabla de verdad sería la siguiente:

$P$	$P$
$0$	$0$
$1$	$1$

Este fue un ejemplo muy sencillo. Lo que nos gustaría hacer en esta primera parte del curso es aprender a combinar más de una proposición para obtener proposiciones matemáticas más interesantes. Dentro de algunas entradas habrás conocido símbolos suficientes y adquirido habilidades para llenar tablas de verdad como la siguiente:

$P$	$Q$	$\neg P$	$\neg Q$	$\neq P \land Q$	$(\neg P \land Q \Rightarrow \neg Q)$
$0$	$0$
$0$	$1$
$1$	$0$
$1$	$1$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Piensa en $5$ enunciados que sean proposiciones. Intenta ser variado con tus ejemplos.
Piensa en $5$ enunciados que no sean proposiciones.
Escribe $5$ proposiciones matemáticas.
Piensa en $5$ enunciados que son proposiciones, pero que es muy muy difícil decir si son ciertos o no. Por ejemplo «En el mundo hay una persona con 12548 cabellos».
Escribe $5$ proposiciones matemáticas que te parezcan «obvias» o muy directas. Por ejemplo, «La suma $2+2$ es igual a $4$ «. Identifica en ellas los términos que aparecen y pregúntate si realmente sabes cómo está definido ese término. Por ejemplo, ¿qué es $2$ ? ¿qué es $4$ ? ¿qué es el símbolo $+$ ?

Más adelante…

En la siguiente entrada platicaremos de los tipos de enunciados matemáticos que existen, y con los cuales te encontrarás muy frecuentemente en el transcurso de tu formación matemática. Hablaremos de axiomas, definiciones, lemas, proposiciones, teoremas, corolarios y otros. Platicaremos acerca de ellos de manera un poco informal y veremos en dónde entran en los conceptos que estamos platicando.

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Diez años en la Olimpiada Internacional de Matemáicas

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Hoy comenzó mi participación en la décima Olimpiada Internacional de Matemáticas en la que participo. Diez ediciones. Diez años. Diez países. Miles de chicos que he visto dar lo mejor de sí con el fin de aprender más y más de la resolución de problemas matemáticos. La verdad es algo que nunca me hubiera imaginado, sobre todo porque nunca participé en la competencia como concursante.Todas estas participaciones han estado llenas de experiencias increíbles:

2011 Países Bajos: Mi primer año en la IMO. Participé como colíder. Fue la primera vez que fui a Europa.
2012 Argentina: Mi primer año como líder del equipo mexicano. Se obtuvo la segunda medalla de oro para México en la competencia.
2013 Colombia: Mi segundo año como líder del equipo. Se obtuvo la puntuación más alta y el mejor lugar que hemos obtenido históricamente en la competencia. Por primera vez quedamos en Top 20.
2014 Sudáfrica: Tercer año como líder del equipo. Por primera vez hubo cuatro estudiantes que obtuvieron de plata para arriba. Fue la primera vez que fui a África.
2015 Tailandia: Cuarto y último año como líder del equipo. Cerré con oro esa participación como líder de equipo, pues se consiguió entrar al top 20 (por segunda vez en la historia) y se consiguió la tercera medalla de oro para México (la última desde entonces).
2016 Hong Kong: Primera vez que asisto al evento como Observador A, para pasar la batuta de líder. Fui designado como Chair de la Olimpiada Matemática de la Cuenca del Pacífico (APMO), ya que a México se designó como país organizador de la misma.
2017 Brazil: Una nueva y excelente experiencia, ahora como evaluador (coordinador) en el evento. Me acuerdo mucho que ese año varios me pidieron una foto porque me ubicaban de El Blog de Leo. Segundo año de Chair de la APMO.
2018 Rumanía: Segundo año como evaluador. Tercer año como Chair de la APMO.
2019 Gran Bretaña: Esta IMO fue muy emotiva, pues fue el evento 60 de la competencia. Hubo juegos mecánicos el día de la premiación. Tercera vez como evaluador. Último año como Chair de la APMO y orgulloso de dejar para el futuro el portal http://www.apmo-official.org/ para recopilar la información histórica de la competencia.
2020 Online, organizada por Rusia: La de ahora. Por supuesto, con la particularidad de que ahora todo es a distancia. Pero igual ha estado siendo muy divertido como evaluador: hay un cierto sistema que hay que aprender a usar, los archivos siguen llegando en muchos idiomas y las discusiones matemáticas son bastante interesantes.

Le agradezco muchísimo a la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, que me impulsó a participar en estos primeros años. Y por supuesto, a los organizadores de muchas de las ediciones por la confianza que depositan en mi para ser evaluador.

Álgebra Lineal I: Combinaciones lineales

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Introducción

En esta entrada presentamos el concepto de combinaciones lineales en espacios vectoriales que será fundamental para nuestro estudio. De cierta manera (que se verá más claramente cuando hablemos de bases en espacios vectoriales arbitrarios) captura un aspecto de la base canónica de $F^n$ : Todo vector lo podemos escribir como $x_1 e_1+\dots+x_n e_n$ , lo que con nuestro lenguaje será una combinación lineal de los vectores $e_i$ .

También hablamos del concepto de espacio generado. De manera intuitiva, el espacio generado por un conjunto de vectores es el mínimo subespacio que los tiene (y que a la vez tiene a todas las combinaciones lineales de ellos). Geometricamente, los espacios generados describen muchos de los objetos conocidos como rectas y planos. De manera algebraica, este concepto nos servirá mucho en lo que sigue del curso.

Definición de combinaciones lineales

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ , y sean $v_1, \dots, v_n$ vectores en $V$ . Por definición, $V$ contiene a todos los vectores de la forma $c_1 v_1+\dots +c_n v_n$ con $c_1, \dots, c_n \in F$ . La colección de los vectores de este estilo es importante y le damos una definición formal:

Definición. Sean $v_1, \dots, v_n$ vectores en un espacio vectorial $V$ sobre $F$ .

Un vector $v$ es una combinación lineal de los vectores $v_1, \dots, v_n$ si existen escalares $c_1,\dots, c_n\in F$ tales que
$\begin{align*}v= c_1 v_1 +c_2 v_2+\dots +c_n v_n.\end{align*}$
El espacio generado (que a veces abreviaremos como el generado) por $v_1, \dots, v_n$ es el subconjunto de $V$ de todas las combinaciones lineales de $v_1,\dots, v_n$ , y lo denotamos por $\text{span}(v_1, \dots, v_n)$ .

Ejemplo.

La matriz $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ es una combinación lineal de las matrices $B= \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 5 & 0\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$ pues $A=\frac{1}{5} B + 2 C$ . Así, $A$ está en el generado por $B$ y $C$ .
El generado $\text{span}(v)$ de un único vector en $\mathbb{R}^n$ consta de puras copias re-escaladas de $v$ (también nos referimos a estos vectores como múltiplos escalares de $v$ ). Usando la interpretación geométrica de vectores en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ , si $v\neq 0$ entonces $\text{span}(v)$ representa una recta por el origen en la dirección de $v$ .
Si $e_1=(1,0,0)$ y $e_2=(0,1,0)$ , entonces
$\begin{align*}x e_1+ y e_2=(x,y,0).\end{align*}$

Como $x$ y $y$ fueron arbitrarios, podemos concluir que $\text{span}(e_1,e_2)$ consta de todos los vectores en $\mathbb{R}^3$ cuya tercer entrada es cero. Esto es el plano $xy$ . En general, si $v_1, v_2$ son dos vectores no colineales en $\mathbb{R}^3$ entonces su espacio generado es el único plano por el origen que los contiene.
El polinomio $3x^{10}+7$ del espacio vectorial $\mathbb{R}_{10}[x]$ no puede ser escrito como combinación lineal de los polinomios $x^{10}+x^2+1$ , $x^7+3x+1$ , $7x^3$ . Para demostrar esto, debemos probar que no existen reales $a,b,c$ tales que
$3x^{10}+1=a(x^{10}+x^2+1)+b(x^7+3x+1)+7cx^3.$

Desarrollando el producto de la derecha y observando el coeficiente de $x^{10}$ , necesitamos que $a$ sea igual a $3$ . Pero entonces a la derecha va a quedar un término $3x^2$ que no se puede cancelar con ninguno otro de los sumandos, sin importar el valor de $b$ o $c$ .

$\square$

Problemas prácticos de combinaciones lineales

La definición de que un vector sea combinación de otros es existencial. Para mostrar que sí es combinación lineal, basta encontrar algunos coeficientes. Para mostrar que no es combinación lineal, hay que argumental por qué ninguna de las combinaciones lineales de los vectores es igual al vector buscado.

Problema. Muestra que el vector $(1,1,1)$ de $\mathbb{R}^3$ no se puede expresar como combinación lineal de los vectores

$\begin{align*}v_1= (1,0,0), \hspace{2mm} v_2=(0,1,0)\text{ y } v_3=(1,1,0).\end{align*}$

Solución: Una combinación lineal arbitraria de $v_1, v_2, v_3$ es de la forma

$\begin{align*}x_1 v_1 +x_2 v_2 + x_3 v_3 = (x_1 + x_3, x_2 + x_3, 0)\end{align*}$

para $x_1,x_2,x_3$ reales. Así, las combinaciones lineales de $v_1,v_2,v_2$ siempre tienen a $0$ como tercera coordenada. De esta forma, ninguna de ellas puede ser igual a $(1,1,1)$ .

$\square$

Más generalmente, consideramos el siguiente problema práctico: dada una familia de vectores $v_1, v_2, \dots, v_k$ en $F^n$ y un vector $v\in F^n$ , decide si $v$ es una combinación lineal de $v_1, \dots, v_k$ . En otras palabras, si $v\in \text{span}(v_1, \dots, v_k)$ .

Para resolver este problema, consideramos la matriz de tamaño $n\times k$ cuyas columnas son $v_1, \dots, v_k$ . Decir que $v\in \text{span}(v_1, \dots, v_k)$ es lo mismo que encontrar escalares $x_1, \dots, x_k\in F$ tales que $v= x_1 v_1 +\dots +x_k v_k$ . De manera equivalente, si tomamos $X=(x_1,\ldots,x_k)$ , queremos la existencia de una solución al sistema $AX=v$ .

Esto es muy útil. Como tenemos una manera práctica de decidir si este sistema es consistente (por reducción gaussiana de la matriz aumentada $(A\vert v)$ ), tenemos una manera práctica de resolver el problema de si un vector es combinación lineal de otros. Por supuesto, esto también nos da una solución concreta al problema, es decir, no sólo decide la existencia de la combinación lineal, sino que además da una cuando existe.

Problema. Sean $v_1=(1,0,1,2), v_2=(3,4,2,1)$ y $v_3=(5,8,3,0)$ vectores en el espacio vectorial $\mathbb{R}^4$ . ¿Está el vector $v=(1,0,0,0)$ en el generado de $v_1,v_2$ y $v_3$ ? ¿El vector $w=(4,4,3,3)$ ?

Solución: Aplicamos el método que describimos en el párrafo anterior. Es decir, tomemos la matriz

$\begin{align*}A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ 0 & 4 & 8\\ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}.\end{align*}$

Queremos ver si el sistema $AX=v$ es consistente. Haciendo reducción gaussiana a mano, o bien usando una calculadora de forma escalonada reducia (por ejemplo, la de eMathHelp), obtenemos que la forma escalonada reducida de la matriz aumentada $(A\vert v)$ es

$\begin{align*}(A\vert v)\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 &2 & 0\\ 0 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0 &0\end{pmatrix}.\end{align*}$

Viendo el tercer renglón, notamos que tiene pivote en la última columna. Deducimos que el sistema no es consistente, así que $v\notin \text{span}(v_1, v_2, v_3)$ .

Procedemos de manera similar para el vector $w$ . Esta vez tenemos

$\begin{align*}(A\vert w)\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 &0\end{pmatrix},\end{align*}$

lo que muestra que el sistema es consistente (pues ninguna fila tiene su pivote en la última columna), por lo tanto $w\in \text{span}(v_1, v_2, v_3)$ . Si queremos encontrar una combinación lineal explícita tenemos que resolver el sistema

$\begin{align*}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.\end{align*}$

Tenemos que ninguna fila tiene su pivote en la columna $3$ , así que $x_3$ es variable libre. Las variables $x_1$ y $x_2$ son pivote. Esto nos da como solución $x_1= x_3+1$ y $x_2=1-2x_3$ . Entonces podemos escribir

$\begin{align*}w= (1+x_3) v_1 + (1-2x_3) v_2+ x_3v_3\end{align*}$

y esto es válido para cualquier elección de $x_3$ . Podemos, por ejemplo, escoger $x_3=0$ y obtener $w=v_1 + v_2$ .

$\square$

Por supuesto, en el problema anterior pudimos haber encontrado la expresión $w=v_1+v_2$ explorando el problema o por casualidad. Esto sería suficiente para mostrar qeu $w$ es combinación lineal. Pero la ventaja del método sistemático que mostramos es que no se corre el riesgo de no encontrar la solución a simple vista. De me manera definitiva nos dice si hay o no hay solución, y cuando sí hay, encuentra una.

Una caracterización del espacio generado

Probamos el siguiente resultado, que explica la importancia del concepto de espacio generado. En particular, la proposición muestra que el espacio generado es un subespacio. Si te parece un poco confusa la demostración, puede ser de ayuda leer antes la observación que le sigue.

Proposición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$ y $v_1, v_2, \dots, v_n \in V$ . Entonces

$\text{span}(v_1, v_2, \dots, v_n)$ es la intersección de todos los subespacios vectoriales de $V$ que contienen a todos los vectores $v_1, \dots, v_n$ .
$\text{span}(v_1, v_2, \dots, v_n)$ es el subespacio más chico (en contención) de $V$ que contiene a $v_1,\dots, v_n$ .

Demostración: Como la intersección arbitraria de subespacios es un subespacio, la parte $1$ implica la parte $2$ . Probemos entonces la parte $1$ .

Primero demostremos que $\text{span}(v_1, v_2,\dots, v_n)$ está contenido en todo subespacio $W$ de $V$ que tiene a $v_1, \dots, v_n$ . En otras palabras, tenemos que ver que cualquier subespacio $W$ que tenga a $v_1,\ldots,v_n$ tiene a todas las combinaciones lineales de ellos. Esto se sigue de que $W$ , por ser subespacio, es cerrado bajo productos por escalar y bajo sumas. Así, si tomamos escalares $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ tenemos que cada uno de $\alpha_1 v_1, \ldots, \alpha_n v_n$ está en $W$ y por lo tanto la combinación lineal (que es la suma de todos estos), también está en $W$ .

La afirmación anterior implica que $\text{span}(v_1, \dots, v_n)$ está contenido en la intersección de todos los espacios que tienen a $v_1,\ldots, v_n$ , pues está contenido en cada uno de ellos.

Ahora, queremos ver ‘la otra contención’, es decir, que $\text{span}(v_1,\ldots,v_n)$ contiene a la intersección de todos los espacios que tienen a $v_1,\ldots,v_n$ . Para esto veremos primero que $\text{span}(v_1, \dots, v_n)$ es un subespacio vectorial. Sean $x,y\in \text{span}(v_1, \dots, v_n)$ y $c\in F$ un escalar. Como $x$ y $y$ son, por definición, combinaciones lineales de $v_1, \dots, v_n$ , podemos escribir $x=a_1 v_1+\dots +a_n v_n$ para algunos escalares $a_i$ y $y=b_1 v_1+\dots + b_n v_n$ para unos escalares $b_i$ . Así

$\begin{align*}x+cy= (a_1+cb_1) v_1 + \dots + (a_n +c b_n) v_n\end{align*}$

también es una combinación lineal de $v_1, \dots, v_n$ y por tanto un elemento del espacio generado. Se sigue que $\text{span}(v_1,\dots, v_n)$ es uno de los subespacios que tienen a $v_1, \dots, v_n$ . Así, este generado «aparece» en la intersección que hacemos de subespacios que tienen a estos vectores, y como la intersección de una familia de conjuntos está contenida en cada uno de esos conjuntos, concluimos que $\text{span}(v_1, \dots, v_n)$ contiene a dicha interesección.

Argumentemos ahora la segunda parte de la proposición. Se usa el mismo argumento que arriba. Si $W$ es cualquier subespacio que contiene a $v_1, \dots, v_n$ , entonces «aparece» en la intersección y por tanto $\text{span}(v_1, \dots, v_n)$ está contenido en $W$ . Es decir, es más chico (en contención) que cualquier otro subespacio que contenga a estos vectores.

$\square$

Observación. Ya que la demostración previa puede resultar un poco confusa, presentamos una versión un poco más relajada de la idea que se usó. Sea $\lbrace W_i\mid i\in I\rbrace$ la familia de todos los subespacios de $V$ que contienen a $v_1, \dots, v_n$ .

En el primer párrafo, probamos que

$\begin{align*}\text{span}(v_1,\dots, v_n)\subseteq W_i\end{align*}$

para todo $i\in I$ . Luego $\text{span}(v_1, \dots, v_n)\subseteq \bigcap_{i\in I} W_i$ .

En el segundo párrafo, probamos que $Span(v_1,\dots, v_n)$ es un subespacio que contiene a $v_1, \dots, v_n$ . Es decir, entra en nuestra familia $\lbrace W_i\mid i\in I\rbrace$ , es uno de los $W_i$ , digamos $W_j$ . Entonces

$\begin{align*}\text{span}(v_1, \dots, v_n)= W_j \supseteq \bigcap_{i\in I} W_i.\end{align*}$

En ese momento ya tenemos la primer igualdad: $\text{span}(v_1,\ldots,v_n)=\bigcap_{i\in I} W_i.$

Ahora, la segunda conclusión de la proposición se sigue de esto con una observación más: Si $W'$ es un subespacio que contiene a $v_1, \dots, v_n$ entonces también entra en nuestra familia de los $W_i$ ‘s, es decir es $W_{p}$ para algún $p\in I$ . Ahora usando el inciso $1$ , tenemos que

$\begin{align*}\text{span}(v_1, \dots, v_n)= \bigcap_{i\in I} W_i \subseteq W_p=W'.\end{align*}$

Esto concluye la demostración.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

¿Se puede expresar al vector $(1,3,0,5)$ como combinación lineal de $(0,1,0,3)$ , $(0,-1,2,0)$ y $(2, 0,-1,-6)$ ? Si sí, encuentra una o más combinaciones lineales que den el vector $(1,3,0,5)$
¿Se puede expresar al polinomio $1+x^2 +3x^3 -x^4 +x^5$ como combinación lineal de los siguientes polinomios
$\begin{align*}x^2-3x^4,\\1+x^2-x^5,\\2x+x^4,\\2+x^2,\\5x+5x^2-x^5?\end{align*}$
Sea $P$ un plano en $\mathbb{R}^3$ por el origen y $L$ una recta de $\mathbb{R}^3$ por el origen y con dirección dada por un vector $v\neq 0$ . Demuestra que la intersección de $L$ con $P$ es una recta si y sólo si existen dos vectores en $P$ tal que su suma sea $v$ .
Encuentra el conjunto generado por los vectores del espacio vectorial indicado
- Las matrices $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ del espacio $M_{2}$ .
- Los vectores $(1,-1,0)$ y $(1,0,-1)$ del espacio $\mathbb{R}^3$ .
- Los polinomios $1$ , $x$ , $x^2$ y $x^3$ del espacio $\mathbb{R}[x]$ .
Sea $V$ un espacio vectorial. Si $v_1, \dots, v_n, x$ son vectores en un espacio vectorial $V$ , ¿será cierto siempre que $\text{span}(v_1, \dots, v_n)\subseteq \text{span}(v_1, \dots, v_n, x)$ ? De ser así, ¿esta contención siempre es estricta? Demuestra tu respuesta o da un contraejemplo.
Sean $v_1,\ldots, v_n$ y $x$ vectores en un espacio vectorial $V$ . Supongamos que $v_n$ está en $\text{span}(v_1,\ldots,v_{n-1},x)$ . Muestra que
$\text{span}(v_1,\ldots,v_{n-1},x)=\text{span}(v_1,\ldots,v_{n-1},v_n).$

Más adelante…

El concepto de combinación lineal es la piedra angular para definir varios otros conceptos importantes en espacios vectoriales. Es un primer paso para definir a los conjuntos de vectores generadores y a los conjuntos de vectores linealmente independientes. Una vez que hayamos desarrollado ambos conceptos, podremos hablar de bases de un espacio vectorial, y con ello hablar de la dimensión de un espacio vectorial.

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