El blog de Leo

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El blog de Leo comenzó siendo un proyecto personal, pero ahora es una página con decenas de autores que escriben notas para aprender matemáticas a nivel universitario. Puedes consultar el material navegando el menú superior o los siguientes enlaces. Para conocer más de este sitio, puedes ir a la sección Acerca de.

Entradas recientes

  • Mutiplicadores de Lagrange
    $\textcolor{Red}{\textbf{Extremos Restringidos (Multiplicadores de Lagrange)}}$ Supongase que se quieren hallar los valores extremos (máximo ó mínimo) de una función $f(x,y)$ sujeta a la restircción $x^2+y^2=1$; esto es, que $(x,y)$ está en el circulo unitario. Con mayor generalidad, podemos necesitar maximizar o minimizar $f(x,y)$ sujeta a la condición adicional de que $(x,y)$ también satisfaga una ecuación… Leer más: Mutiplicadores de Lagrange
  • Extremos Locales (parte 2)
    $\textcolor{Red}{\textbf{Extremos Locales parte 2 pequeño}}$ Para el caso de funciones $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ tenemos que recordando un poco de la expresión de taylor$$f(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right){p}(x-x_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right){p}(y-y_{0})+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right){p}(z-z_{0})+$$ $$\textcolor{Red}{\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partialx^{2}}{p}(x-x_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x \partialy}{p}(x-x_{0})(y-y_{0})+\frac{\partial^{2}f}{\partialy^{2}}{p}(y-y_{0})^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partialx\partial z}{p}(z-z_{0})(x-x_{0})+2\frac{\partial^{2}f}{\partialy\partial z}{p}(z-z_{0})(y-y_{0})\right)}$$$$\textcolor{Red}{+\frac{\partial^{2}f}{\partialz^{2}}{p}(z-z_{0})}$$ Haciendo $x-x_{0}=h_{1},y-y_{0}=h_{2},z-z_{0}=h_{3}$ podemos escribir el término rojo de la siguiente manera$$\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}h_{1}^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}h_{1}h_{2}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}h_{2}^{2}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}h_{3}h_{1}+2\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}h_{3}h_{2}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}h_{3}^{2}\right)$$ y también se… Leer más: Extremos Locales (parte 2)
  • Extremos Locales
    Entre las caracteristicas geometricas básicas de la gráficas de una función estan sus puntos extremos, en los cuales la función alcanza sus valores mayor y menor. $\textbf{Definición 1.}$ Si $f:u\subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es una función escalar, dado un punto $x_0 \in u$ se llama mínimo local de $f$ si existe una vecindad $v$ de… Leer más: Extremos Locales
  • Operaciones, Gráficas, Límites y Continuidad
    $\textcolor{Red}{\textbf{Funciones de $\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ (parte dos)}$ $\textbf{Ejemplo.}$ Encontrar el dominio y la imagen de la región $\displaystyle{R=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}~|~0\leq x\leq1,~0\leq y\leq1\right\}}$ para la función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$ dada por $$\displaystyle{f(x,y)=\left(x^{2}-y^{2},2xy\right)}$$ $Solución.$ En este caso $$f_{1}=\left(x^{2}-y^{2}\right)~\Rightarrow~Dom_{f_{1}}=\mathbb{R}^{2}$$$$f_{2}=\left(2xy\right)~\Rightarrow~Dom_{f_{2}}=\mathbb{R}^{2}$$por lo tanto$$Dom_{f}=Dom_{f_{1}}\bigcap Dom_{f_{}}=\mathbb{R}^{2}\bigcap \mathbb{R}^{2}=\mathbb{R}^{2}$$Para la imagen de la región $\displaystyle{R=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}~|~0\leq x\leq1,~0\leq y\leq1\right\}}$ procedemos de la siguiente manera:Definimos los siguientes conjuntos que limitan… Leer más: Operaciones, Gráficas, Límites y Continuidad
  • Teorema de la Función Inversa
    $\textcolor{Red}{\textbf{Teorema de la Función Inversa (sistema $f_{i}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$)}}$ $\textbf{Teorema 1.}$ Sea $U\subset\mathbb{R}^{n}$ un abierto y sean$$\begin{matrix}f_{1}:U\rightarrow\mathbb{R} \\\vdots \\f_{n}:U\rightarrow\mathbb{R}\end{matrix}$$con derivadas parciales continuas. Considerar las ecuaciones $$\begin{array}{c}f_1(x_1,x_2,…,x_n)= y_1\\f_2(x_1,x_2,…,x_n)= y_2\\\vdots\\f_n(x_1,x_2,…,x_n)= y_n\end{array}$$ Tratamos de resolver las n-ecuaciones para $x_1,x_2,… x_n$como funciones de $y_1,y_2,… y_n$.La condición de existencia para la solución en una vecindad del punto $x_0$ es que el determinante… Leer más: Teorema de la Función Inversa
  • Diferenciación
    $\textcolor{Red}{\textbf{Diferenciación de funciones $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$}}$ $\textbf{Definición.-}$ Considere la función $f:A\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ definida en un conjunto abierto A de $\mathbb{R}^{n}$ y sea $x_{0}\in A$. Se dice que esta función es diferenciable si $$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot h+r(h)$$cumple$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{r(h)}{|h|}=\hat{0}$$ $\textbf{Ejemplo:}$ Compruebe que la función $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$ definida por$$f(x,y)=\left(e^{xy},x^{2}+y,2x^{3}y^{2}\right)$$ es diferenciable en $(1,3)$$\textbf{Solución}$ En este caso$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{r(h)}{|h|}=$$$$\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{f(1+h_{1},3+h_{2})-f(1,3)-\left((3e^{3},e^{3})\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}},(2,1)\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}},(54,12)\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}}\right)}{|(h_{1},h_{2})|}$$$$=\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{\left(e^{(1+h_{1})(3+h_{2})},(1+h_{1})^{2}+(3+h_{2}),2(1+h_{1})^{3}(3+h_{2})^{2}\right)-\left(e^{3},4,18\right)}{|(h_{1},h_{2})|}$$$$\frac{-\left((3e^{3},e^{3})\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}},(2,1)\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}},(54,12)\cdot\binom{h_{1}}{h_{2}}\right)}{|(h_{1},h_{2})|}$$$$=\left(\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{e^{(1+h_{1})(3+h_{2})}-e^{3}-3e^{3}h_{1}-e^{3}h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|},\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{(1+h_{1})^{2}+(3+h_{2})-4-2h_{1}-h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|},\right.$$$$\left.\lim_{(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0)}\frac{2(1+h_{1})^{3}(3+h_{2})^{2}-18-54h_{1}-12h_{2}}{|(h_{1},h_{2})|}\right)$$$$=(0,0,0)$$por lo que la función es diferenciable. En el… Leer más: Diferenciación
  • Convergencia e integración
    Introducción Así como ya hicimos comparaciones de continuidad o diferenciabilidad del límite de una sucesión de funciones a partir de sus términos, en esta ocasión lo haremos con funciones integrables. Partimos de una sucesión de funciones donde para cada $n \in \mathbb{N}, \, f_n:[a,b] \to \mathbb{R}, \, a,b \in \mathbb{R}.$ Supón además que $(f_n)_{n \in… Leer más: Convergencia e integración
  • Contracciones
    Introducción Cuando los puntos de un espacio métrico son enviados al mismo espacio a través de una función, conviene saber si habrá algún punto que se envíe a sí mismo, es decir, que se conserve fijo. Las próximas entradas nos mostrarán cuándo esa situación ocurre y resultados interesantes derivados de ello. Comencemos con la primera:… Leer más: Contracciones
  • Álgebra Moderna I: Teorema de Jordan-Hölder
    El Teorema de Jordan-Hölder nos dice que para cada par de series de composición de un grupo $G$ siempre son del mismo tamaño e isomoforfas entre sí. De nuevo, es un teorema que nos describe cómo es un grupo y los subgrupos que lo conforma.
  • 2.4. TRANSFORMACIÓN LINEAL: descripción a partir de su efecto en una base
    (Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos) INTRODUCCIÓN En ocasiones se tiene desde un inicio la regla de correspondencia de una función y a partir de ella analizamos su comportamiento y los valores que se obtienen al aplicar la función. Sin embargo, a veces sólo se conoce su comportamiento y/o su evaluación… Leer más: 2.4. TRANSFORMACIÓN LINEAL: descripción a partir de su efecto en una base

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