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Álgebra Superior II: Introducción al curso y a los números naturales

Introducción

El curso de Álgebra Superior I tuvo como principal objetivo darte las herramientas necesarias para poder entender a grandes rasgos, la teoría que sustenta las primeras asignaturas con las que te encuentras a nivel universitario en tu trayectoria matemática. Por esta razón, en el temario se incluyeron los temas de lógica, teoría de conjuntos, inducción matemática y espacios vectoriales. Sin embargo, quedaron abiertas algunas preguntas, por ejemplo: ¿cómo sabemos que los conjuntos con los que trabajamos existen?, ¿qué es en el fondo el conjunto de números reales que usamos en los espacios vectoriales? o ¿por qué funciona el principio de inducción?

En este sentido, el curso de Álgebra Superior II es la continuación de Álgebra Superior I, ya que el objetivo de este curso será responder estas preguntas que el anterior semestre quedaron sin responder. Con esto en mente, usaremos las herramientas de la teoría de conjuntos que desarrollamos con anterioridad para estudiar qué son los números naturales, los enteros y hasta los complejos. Haremos una escala en cada tema para poder entender a profundidad las características con las que hemos estado familiarizados desde antes de la carrera y conocer otras propiedades que te servirán a lo largo de tu Licenciatura.

En la parte final del curso, introduciremos otras estructuras con las que seguramente ya estarás familiarizado gracias al curso de Cálculo Diferencial e Integral I: el anillo de polinomios con coeficientes reales (o complejos). Como en el caso de los temas anteriores, nos detendremos a estudiar las propiedades que caracterizan a este conjunto y las similitudes que podemos encontrar con algunos de los sistemas numéricos, como los números enteros.

La intuición detrás de formalizar a los números naturales

Seguramente, desde la primaria aprendiste a contar y con el pasar del tiempo, la idea de los números naturales y las características que se necesitan para contar “de uno en uno” se han hecho muy familiares en tu mente. A grandes rasgos, cuando contamos tenemos mente a los números

    \[0,1,2,3,4,5,6,7,\ldots.\]

De hecho, las propiedades de estos números probablemente son tan familiares que ya no reparas en ello a la hora de contar. Al cero le sigue el uno. Al uno le sigue el dos. Y así sucesivamente. Esto resulta práctico a la hora de contar, pero algo impráctico a la hora de establecer fundamentos matemáticos de los números naturales. Por esta razón, tomémonos un momento para pensar en las propiedades que satisface este sistema numérico.

La primera característica en la que podemos pensar es que los números naturales cuentan con un elemento especial de entre todos los demás números, el primero de todos ellos. Dependiendo del contexto, el 0 (y no el 1) es considerado como el primer número natural y coincide con la intuición de que podemos «tener cero cosas», es decir, ninguna. Es importante que sepas que en cierto contextos (por ejemplo, otros cursos o áreas de las matemáticas) podría no serlo. La recomendación es que siempre uses la convención del área o comunidad con la que estés trabajando. En este curso el número 0 siempre será un número natural.

Otra característica con la que seguramente estamos muy familiarizados es que si bien los números naturales tienen un comienzo (en nuestro caso, el 0), por otra parte nunca terminan. No importa hasta qué número podamos haber contado, siempre podemos dar un paso más y avanzar al siguiente número. Cuando tenemos un natural, decimos entonces que siempre tiene un sucesor a este último número. Sabemos que sólo hay un sucesor para cada número.

Otra característica clave de los números naturales es que, a la hora de contar, nunca regresamos a un número por el cual ya pasamos; es decir, bajo ninguna circunstancia contamos 107, 108, 109, 37,…. Para enunciar esto formalmente, lo diremos en dos partes. Primero, el 0 no es el sucesor de ningún número y segundo, en ninguna circunstancia, un número es el sucesor de dos números diferentes.

Existe una quinta propiedad, tal vez más sutil que las anteriores, y es que si empezamos a contar desde el cero y vamos contando de uno en uno, entonces podremos alcanzar cualquier número natural, siempre que el tiempo lo permita.

Resulta que estas propiedades intuitivas son suficientes para definir muchas otras operaciones en los números naturales y para obtener una gran cantidad de propiedades. Es por esta razón que conviene incluirlas en nuestra formalización de los naturales, como discutimos a continuación.

Los axiomas de Peano

 A finales del siglo XIX, los matemáticos empezaron a notar que a partir de algunas propiedades tan elementales como las que discutimos arriba, se podían probar las leyes de la aritmética que conocemos, y en 1889, Giuseppe Peano, basado en las propiedades que acabamos de enunciar, dio un conjunto de axiomas que usó para estudiar sistemáticamente a los números naturales. Estos axiomas son:

  1. 0 es un número natural.
  2. Si n es un número natural, entonces existe un único natural, denotado \sigma(n) al que llamamos su sucesor.
  3. Para todo número natural, \sigma(n)\neq0.
  4. Si n,m son números naturales, tales que \sigma(n)=\sigma(m), entonces n=m.
  5. Si S es un subconjunto de números naturales tal que: 0 está en S, y para todo n en S, se cumple que \sigma(n) está también en S, entonces S es el conjunto de todos los naturales.

Nota que cada una de las cinco propiedades coinciden con una de las propiedades intuitivas que mencionamos antes.

Encontrando los primeros naturales

El logro de Peano fue muy importante, ya que permitió reducir la teoría de los números naturales a solo cinco axiomas; sin embargo, aún quedan abiertas las preguntas ¿qué son los números naturales? y ¿cómo sabemos que existen? Aunque se hayan mencionado las propiedades de un objeto, no necesariamente tiene que existir tal objeto. Este fue el gran problema al que se enfrentaron los matemáticos cuanto intentaron definir a un conjunto al que pertenecen todos los conjuntos.

Es por esta razón que debemos fundamentar la construcción de los números naturales en teoría que ya tengamos desarrollada. Por esta razón, a partir de este punto se aparece la teoría de los conjuntos, la cual nos permitirá definir formalmente lo que significan los símbolos que diariamente ocupamos (como el 0), para después ver que en efecto estos conjuntos satisfacen los axiomas de Peano.

Definición: 0:=\emptyset.

Cuando ponemos :=, quiere decir que estamos definiendo algo, típicamente un símbolo. Cuando veas algo así aparecer, puedes pensar que significa «esta es la primera vez que usamos el símbolo 0, y lo que querrá decir es el conjunto vacío». Podemos pensar en esta definición como una simple ocurrencia de notación; sin embargo, es curioso notar que, pensando intuitivamente, \emptyset tiene en efecto cero elementos. Más adelante veremos que los demás números naturales también satisfacen esta intuitiva coincidencia.

Definición: Dado un conjunto A arbitrario, definimos el sucesor de A como \sigma(A):=A\cup\{A\}.

Notemos que en realidad \sigma no es en el sentido estricto una función ¿por qué? Más bien, lo que estamos haciendo es explicar a qué nos referimos con el símbolo \sigma(A).

Considerando que hemos construido el primer número natural (el 0) y hemos dado una forma de construir sucesores, parece una buena idea considerar

    \[\sigma(0)=\sigma(\emptyset)=\emptyset\cup\{\emptyset\}=\{\emptyset\}\]

Y definir 1:= \{\emptyset\}, análogamente podemos pensar que

    \[2:=\sigma(1)=\sigma(\{\emptyset\})=\{\emptyset\}\cup\{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\]

Y continuar así, efectivamente, estos conjuntos coinciden con la intuición de tener respectivamente 1 y 2 elementos.

Los «disfraces» de los números naturales

Actualmente usamos el sistema de numeración arábigo y sabemos exactamente qué quieren decir los «dibujos» 1, 2, 3, 4, etc. Si fueramos romanos, estaríamos usando los «dibujos» I, II, III, IV, etc. De manera estricta, los «dibujos» no son lo mismo que «el concepto que representan». Es decir, en el fondo, 2 y II son «disfraces distintos para el mismo concepto». Pero ninguno de esos «dibujos» es el concepto mismo, ni vive de manera formal en la teoría que estamos construyendo.

Lo que sí vive en la teoría que construimos es el \{\emptyset,\{\emptyset\}\}, pues a partir de los axiomas se puede garantizar su existencia. Por supuesto, en el curso usaremos los «disfraces» habituales de estos conceptos, de modo que casi siempre escribiremos 2, 7, 51, etc. Sin embargo, es crucial que en todo momento tengas en cuenta que cuando escribimos esos «dibujos», en el fondo están las construcciones formales que hemos estado realizando.

Tarea Moral

  • Prueba a partir de sólo los axiomas de Peano, que n\neq \sigma (n) para todo n\in\mathbb{N}.
  • ¿Qué axiomas de Peano satisface el conjunto \sigma(\mathbb{N}), es decir, el conjunto de los números a partir del 1?
  • ¿Cómo será un conjunto y una función que satisfagan los axiomas 1), 2), 4) y 5) de Peano, pero que no satisfaga el 3)? ¿Puedes construir formalmente un conjunto y una función así?
  • A partir de la definición de \sigma(n) que dimos, demuestra que para todo número natural n se satisface que n\in\sigma(n) y que n\subset\sigma(n).
  • Demuestra que si A es un conjunto, entonces \sigma(A) es un conjunto. Para ello, tendrás que recordar los axiomas de teoría de conjuntos.

Más adelante

Hemos empezado a definir a los números naturales a partir del 0 (el conjunto vacío) y la función sucesor \sigma; sin embargo, la realidad es que el proceso que hemos descrito debe ser refinado, ya que si continuamos así, jamás acabaremos de definir la infinidad de números naturales que queremos que existan. Incluso asumiendo que los podemos definir a todos, un segundo problema que se origina es el intentar unirlos en un solo conjunto, justamente el conjunto de los números naturales. Uno podría intentar ocupar el principio de inducción para resolver el problema; sin embargo, recordemos que por el momento sólo contamos con los axiomas de la teoría de conjuntos, y aún no sabemos que el principio de inducción (visto como en álgebra superior I, o como axioma de Peano) sea válido. Entonces, necesitaremos pensar cómo resolver el problema desde otra perspectiva.

Más aún, queda el problema de ver que los número naturales que definamos sí satisfagan los axiomas de Peano, para que a partir de ello podamos comenzar a introducir otras propiedades aritméticas y de orden.

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Álgebra Lineal II: Introducción al curso

Introducción

En esta serie de entradas continuaremos platicando acerca de álgebra lineal. Son una continuación a las entradas de Álgebra Lineal I que también se encuentran disponibles en el blog. En el transcurso de ellas, cubriremos los temas que establece el temario de la materia Álgebra Lineal II de la Licenciatura en Matemáticas de la UNAM.

Primero comenzaremos dando un pequeño repaso de lo que se ha visto en Álgebra Lineal I y después daremos un pequeño panorama de lo que se cubrirá en este curso.

Algunos recordatorios de Álgebra Lineal I

En el primer curso de álgebra lineal se establecieron muchos fundamentos del área, relacionados con espacios vectoriales, transformaciones lineales, matrices y más. A continuación damos un breve recordatorio de cada unidad temática. Usaremos letras cursivas para mencionar términos que ya deberías conocer. Si algunos de ellos no los recuerdas. Usaremos letras negritas para hacer énfasis en resultados fundamentales del primer curso, que es muy importante que recuerdes qué dicen y cómo se usan. Todo esto lo puedes encontrar en las notas anteriores.

En la primer parte de ese curso, recordamos las definiciones básicas de vector, matriz y transformación lineal, pero únicamente nos enfocamos en un espacio vectorial muy sencillo: F^n, que consiste de todos los vectores con n entradas en un campo F. Se definieron operaciones de suma y producto escalar en este espacio. También hablamos de cómo multiplicar matrices. Esto fue suficiente para plantear la idea de resolver sistemas de ecuaciones lineales. Primero estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, pues de acuerdo al principio de superposición, esto es suficiente. Luego, vimos el algoritmo de reducción gaussiana, que nos permite llevar cualquier matriz a su forma escalonada reducida. Esto resulta fundamental para calcular todo tipo de cosas en álgebra lineal: resolver sistemas de ecuaciones, invertir matrices, encontrar determinantes, encontrar espacios generados, etc.

En la segunda parte introdujimos el concepto de espacio vectorial en general. Hablamos de F^n, pero también del espacio de matrices M_{m,n}(F), del espacio de polinomios F[x], de los espacios de polinomios de grado a lo más n, F_n[x], y de algunos otros como los de funciones con ciertas propiedades (continuas, diferenciables, limitadas a un intervalo, acotadas, etc.) A partir de las nociones de combinación lineal, independencia lineal y generadores, desarrollamos la teoría de dimensión. Un resultado crucial en dimensión finita es el lema de Steinitz. Tras hablar de un espacio vectorial, comenzamos a hablar de «funciones bonitas» entre ellos. Las primeras que tratamos fueron las transformaciones lineales. Un resultado crucial es que, en dimensión finita y tras elegir una base cada transformación lineal corresponde a una matriz y viceversa. Como bases distintas dan matrices distintas, fue necesario discutir qué sucede al cambiar de base, por lo que se introdujeron matrices de cambio de base. Otro resultado crucial es el teorema rango-nulidad.

La tercera parte fue mucho más geométrica. En ella hablamos de las formas lineales y de las formas bilineales. A partir de las formas lineales construimos a los espacios duales y desarrollamos la teoría de dualidad. Definimos el concepto de hiperplano. Una de las principales aplicaciones de la teoría de dualidad fue mostrar que en dimensión finita todo subespacio es intersección de hiperplanos. En el caso de formas bilineales, nos enfocamos mucho más en aquellas que van a \mathbb{R}. A partir de ellas definimos formas cuadráticas. Estudiamos el caso muy especial de espacios euclideanos, que son, a grandes rasgos espacios vectoriales reales con una forma bilineal «bonita». En este tipo de espacios se puede hablar de normas, distancias y ángulos. Los resultados cruciales fueron la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la existencia de bases ortonormales. Para encontrarlas, hablamos del proceso de Gram-Schmidt.

Finalmente, vino la unidad 4 en la que se desarrolló de manera formal el concepto de determinante, tanto para vectores, como para matrices y transformaciones lineales. Para ello fue importante hablar de formas n-lineales (que en cierta forma generalizan a las bilineales) con propiedades especiales, como ser alternantes. Se vieron muchas propiedades de los determinantes para entenderlos a profundidad de manera teórica y práctica, en particular la expansión de Laplace. Se vio cómo los determinantes pueden ayudar a resolver sistemas de ecuaciones mediante las fórmulas de Cramer. También, con toda la teoría desarrollada hasta aquí pudimos finalmente entender con mucha profundidad los sistemas de ecuaciones lineales mediante el teorema de Rouché-Capelli. Para cerrar el curso, vimos muy por encima las ideas de eigenvalores, eigenvectores y polinomio característico. Esto nos llevó a la idea de diagonalización. Juntando toda la teoría del curso, llegamos a la cereza del pastel: el teorema espectral para matrices simétricas reales.

La idea general del segundo curso

El teorema espectral para matrices simétricas reales es un resultado precioso: bajo ciertas condiciones nos permite «llevar» una transformación (o matriz) a una «forma sencilla». Nos debe de dar la intuición de que toda la teoría que se desarrolló anteriormente la podemos utilizar para demostrar muchos otros resultados lindos de ese estilo. En Álgebra Lineal II haremos precisamente esto.

En la primer parte del curso profundizaremos en la teoría de eigenespacios, que nos permitirán entender mucho mejor cómo son los eigenvectores. Para hacer eso, será importante introducir un nuevo polinomio: el polinomio mínimo. Mostraremos muchas más propiedades de eigenvectores, eigenvalores, polinomios mínimos y característicos. Usaremos estas ideas para profundizar en las nociones de diagonalización y triangulización y enunciaremos teoremas que nos permitirán saber cuándo una matriz (o transformación) se puede llevar mediante un cambio de base a una forma más sencilla. En esta primer parte también demostraremos el bello teorema de Cayley-Hamilton, que afirma que cualquier matriz se anula en su polinomio característico.

Después de esto, en la segunda parte del curso trabajaremos para entender mejor a las formas bilineales que introdujimos en el primer curso. Ya no sólo nos limitaremos a aquellas que caen a los reales, sino que hablaremos también de aquellas que caen al campo \mathbb{C} de los números complejos. Uno podría pensar que el tratamiento es análogo, pero esto dista mucho de la realidad: se requiere pensar en nuevas definiciones que involucren a los conjugados de las entradas de las matrices.

Tras establecer las propiedades principales que nos interesan en espacios vectoriales sobre \mathbb{R} y \mathbb{C}, retomaremos la idea de demostrar teoremas de diagonalización. Ahora tendremos el teorema espectral para matrices reales y el teorema espectral para matrices complejas. Además de garantizarnos una diagonalización, estos teoremas nos garantizan que esa diagonalización es de una forma muy especial. Veremos las consecuencias teóricas que esto tiene.

Finalmente, en la última unidad temática, veremos que aunque las matrices no sean diagonalizables, en realidad no todo está perdido. Hablaremos de la forma canónica de Jordan, que es algo así como una versión débil de diagonalizar. Terminaremos el curso aprovechando todo lo visto hasta ahora para ver que cualquier matriz, sin importar sobre qué campo esté, siempre podrá ser llevada a esta forma tras un cambio de base.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Recuerda el algoritmo de reducción gaussiana y úsalo para determinar si la matriz \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 5 & 3 & -1\end{pmatrix} es invertible y, en caso de que sí, encontrar su inversa. Hazlo a mano y comprueba tu respuesta con alguna calculadora de forma escalonada reducida en línea.
  2. Encuentra una base ortogonal para el espacio de polinomios \mathbb{R}_4[x] de grado a lo más 4 con producto bilineal \langle p, q \rangle = \sum_{j=0}^4 p(j)q(j). Encuentra la forma matricial de la transformación «derivar» en esta base y da su determinante.
  3. Escribe al subespacio de matrices antisimétricas en M_3(\mathbb{R}) como intersección de hiperplanos. ¿Qué dimensión tiene?
  4. Encuentra un sistema de 4 ecuaciones lineales en 5 variables cuyo espacio de soluciones tenga dimensión 2. Después, resuélvelo usando los siguientes dos métodos: reducción gaussiana y fórmulas de Cramer.
  5. Explica qué nos garantiza el teorema espectral visto en el curso anterior para las matrices A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. Encuentra el polinomio característico de cada una de estas matrices. Esboza (sin hacerlo) cómo encontrarías los valores y vectores propios de A y B.

Más adelante…

En la siguiente entrada ya comenzaremos con el contenido teórico del curso. Lo primero que haremos es formalizar qué quiere decir «aplicar un polinomio a una transformación lineal» y qué qué quiere decir aplicarlo a una matriz.

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Álgebra Superior II: Raíces de polinomios de grados 3 y 4

Introducción

Esta es la entrada final de la unidad de polinomios y del curso. En ella hablaremos acerca de las fórmulas para encontrar las raíces de polinomios de grado 3 y 4. Además, en la parte final, hablaremos de polinomios de grados más altos y cómo ellos te pueden llevar a cursos muy interesantes que puedes tomar para continuar tu formación matemática.

Existen métodos generales para encontrar las raíces de polinomios de grado 3 y 4, ya sea en \mathbb{R}[x] o en \mathbb{C}[x]. Para los polinomios de grado 3, se usa el método de Cardano. Para los polinomios de grado 4 se usa el método de Ferrari. Encontrar estas fórmulas tomó mucho tiempo. Ambas requieren de manipulaciones algebraicas muy creativas.

Raíces de polinomios de grado 3 y el método de Cardano

Tomemos un polinomio f(x) en \mathbb{R}[x] de grado 3. Si f(x) no es mónico, podemos multiplicarlo por el inverso de su coeficiente principal para obtener un polinomio con las mismas raíces. De esta forma, podemos suponer sin pérdida de generalidad que f(x) es de la forma

    \[f(x)=x^3+ax^2+bx+c.\]

Consideremos al polinomio

    \[g(x)=f\left(x-\frac{a}{3}\right).\]

Observa que r es una raíz de g(x) si y sólo si g(r)=0, si y sólo si f\left(r-\frac{a}{3}\right)=0, si y sólo si r-\frac{a}{3} es una raíz de f. De esta forma, si conocemos las raíces de g(x), podemos encontrar las de f(x), y viceversa.

Al hacer las cuentas (que quedan como tarea moral), se tiene que g(x) se simplifica a

    \begin{align*}g(x)&=f\left(x-\frac{a}{3}\right)\\&=x^3+\left(b-\frac{a^2}{3}\right)x+\left(-\frac{ba}{3}+c+\frac{2a^3}{27}\right),\end{align*}

que tiene la ventaja de ya no tener término cuadrático. En otras palabras, para encontrar las raíces de polinomio cúbico, basta con poder encontrar las de los polinomios de la forma

    \[g(x)=x^3+px+q.\]

Tomando x=u+v y haciendo las operaciones, se tiene que

    \[g(u+v)=u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q.\]

Observa que si logramos encontrar u y v que satisfagan el sistema de ecuaciones

    \begin{align*}u^3+v^3&=-q\\uv&=-\frac{p}{3},\end{align*}

entonces tendríamos una raíz x=u+v.

La segunda ecuación implica u^3v^3=-\frac{p^3}{27}. Pero entonces conocemos la suma y el producto de las variables u^3 y v^3, con lo cual obtenemos que son las raíces del siguiente polinomio de grado 2 en la variable t:

    \begin{align*}(t-u^3)(t-v^3)&=t^2-(u^3+v^3)t+u^3v^3\\&=t^2+qt-\frac{p^3}{27}.\end{align*}

El discriminante de esta ecuación cuadrática es

    \[\Delta = q^2 + \frac{4p^3}{27}.\]

Si \Delta >0, esta ecuación cuadrática tiene las siguientes soluciones reales:

    \begin{align*}\sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}\\\sqrt[3]{-\frac q2 - \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}.\end{align*}

Sin pérdida de generalidad, u es la primera y v la segunda. De esta forma, una raíz real para g(x) es

    \[x= \sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac q2 - \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}.\]

Hasta aquí hay algunas cosas por notar:

  • Supusimos que el discriminante \Delta es positivo.
  • Sólo hemos encontrado una de las 3 raíces de p(x) que garantiza el teorema fundamental del álgebra.

Cuando el discriminante es positivo, las otras dos soluciones son \omega x y \omega^2 x, en donde \omega es una raíz cúbica primitiva de la unidad.

Cuando la cuadrática tiene discriminante \Delta<0, tenemos que u y v son complejos, y entonces al sacar raíz cúbica podemos tener tres opciones para cada uno, algo que parecería dar un total de 9 soluciones. Sin embargo, recordando que uv=-\frac{p}{3}, tenemos que u queda totalmente determinado por v, así que de ahí se obtienen las tres soluciones.

Raíces de polinomios de grado 4 y el método de Ferrari

El método de Ferrari está explicado a detalle en el libro de Álgebra de Bravo, Rincón y Rincón. Ahí están las ideas principales para encontrar una fórmula general para encontrar las raíces de un polinomio de grado 4, es decir, de la forma

    \[p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.\]

Recuerda que el libro está disponible para descarga gratuita.

Al igual que en el caso del método de Ferrari, los primeros pasos consisten en hacer simplificaciones algebraicas. Así como el método de Cardano usa la fórmula cuadrática, del mismo modo el método de Ferrari reduce el problema a encontrar soluciones a un polinomio de grado 3. Uno podría creer que este patrón se repite, y que se pueden encontrar métodos para polinomios de grado arbitrario. Esto no es así, y lo platicaremos en la siguiente sección.

Para otra derivación de la fórmula de Ferrari, compartimos el artículo «Identidades para la resolución de ecuaciones cúbicas y cuárticas» de José Leonardo Sáenz Cetina, que apareció en el número 24 de la revista Miscelánea Matemática de la Sociedad Matemática Mexicana:

Este documento también tiene otras dos formas de resolver ecuaciones cúbicas, así que es una lectura recomendada.

Finalmente, se recomienda también echarle un ojo a la página de Wikipedia acerca de la ecuación cuártica. La entrada en inglés es mucho mejor. Sobre todo la sección referente al método de Ferrari.

Raíces de polinomios de grado 5 y más

De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, todo polinomio sobre los complejos tiene al menos una raíz. De hecho, se puede mostrar que si es de grado n, entonces tiene exactamente n raíces, contando multiplicidades.

Cuando tenemos polinomios de grados 2, 3 y 4 podemos usar la fórmula cuadrática, el método de Cardano y el método de Ferrari para encontrar una fórmula para las soluciones. ¿Hay algún método que tenga fórmulas similares para polinomios de grado más grande?

La respuesta es que no. Aunque el teorema fundamental del álgebra garantice la existencia de las raíces, hay un teorema de Abel y Ruffini que muestra que no es posible encontrar una fórmula general. Al menos no una que ayude a poner las raíces de cualquier polinomio de grado cinco (o más) usando únicamente sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces. Esto formalmente se enuncia como que hay ecuaciones de grado 5 y más que no son solubles por radicales.

Enunciar y demostrar este teorema formalmente requiere de herramientas que quedan fuera del alcance de este curso, sin embargo, se puede estudiar en un curso avanzado de álgebra, en donde se hable de extensiones de campo y teoría de Galois.

Por otro lado, podemos dejar de lado la exactitud y preguntarnos si, dado un polinomio, podemos acercarnos a sus raíces tanto como queramos. Hoy en día eso se hace mediante métodos computacionales. Aunque la computadora sea muy buena haciendo cuentas, hay que ser particularmente cuidadoso con los errores que comete al hacer aproximaciones.

Eso es otra de las cosas que quedan fuera del alcance de este curso, y que puedes estudiar en un buen curso de métodos numéricos. Si lo que buscar es saber cómo pedirle a la computados que haga los cálculos, eso lo puedes aprender en un buen curso de programación, en donde te enseñen a usar ambientes de computación científica.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Completa las cuentas faltantes en la discusión del método de Cardano.
  • Muestra que un polinomio de grado 3 y coeficientes reales tiene exactamente cero o dos raíces complejas distintas.
  • ¿Cuántas raíces complejas distintas puede tener un polinomio de grado 4 con coeficientes reales? Encuentra un ejemplo para cada una de las respuestas.
  • Encuentra las raíces del polinomio cuártico

        \[p(x)=x^4+2x^3-12x^2-10x+4.\]

    Después, compara tu respuesta con el Ejemplo 216 del libro de Álgebra de Bravo, Rincón, Rincón.
  • Lee las entradas en Wikipedia acerca de ecuaciones cúbicas y ecuaciones cuárticas.

Álgebra Superior II: El criterio de la raíz racional para polinomios de coeficientes enteros

Introducción

En esta entrada veremos el criterio de la raíz racional. Este es un método que nos permite determinar las únicas raíces racionales que puede tener un polinomio con coeficientes enteros. Es una más de las herramientas que podemos usar cuando estamos estudiando polinomios en \mathbb{R}[x].

Si encontramos una raíz con este método, luego podemos encontrar su multiplicidad mediante el teorema de derivadas y multiplicidad. Esto puede ayudarnos a factorizar el polinomio. Otras herramientas que hemos visto que nos pueden ayudar son el algoritmo de Euclides, la fórmula cuadrática, el teorema del factor y propiedades de continuidad y diferenciabilidad de polinomios.

El criterio de la raíz racional

Si un polinomio p(x) en \mathbb{R}[x] cumple que todos sus coeficientes son números enteros, entonces decimos que es un polinomio sobre los enteros. Al conjunto de polinomios sobre los enteros se le denota \mathbb{Z}[x].

Teorema (criterio de la raíz racional). Tomemos un polinomio p(x) en \mathbb{Z}[x] de la forma

    \[p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n.\]

Supongamos que el número \frac{p}{q} es número racional simplificado, es decir con p y q\neq 0 enteros primos relativos. Si \frac{p}{q} es raíz de p(x), entonces p divide a a_0, y q divide a a_n.

Demostración. Por definición, si \frac{p}{q} es una raíz, tenemos que

    \[0=a_0+a_1\cdot \frac{p}{q} + \ldots + a_n \cdot \frac{p^n}{q^n}.\]

Multiplicando ambos lados de esta igualdad por q^n, tenemos que

    \[0=a_0q^n+a_1pq^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}q+a_np^n.\]

Despejando a_0q^n, tenemos que

    \begin{align*}a_0q^n&=-(a_1pq^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}q+a_np^n)\\&=-p(a_1q^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-2}q+a_np^{n-1})\end{align*}

Esto muestra que a_0q^n es múltiplo de p. Pero como \MCD{p,q}=1, tenemos que p debe dividir a a_0.

De manera similar, tenemos que

    \begin{align*}a_np^n&=-(a_0q^n+a_1pq^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}q)\\&=-q(a_0q^{n-1}+a_1pq^{n-2}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}).\end{align*}

De aquí, q divide a a_np^n, y como \MCD{p,q}=1, entonces q divide a a_n.

\square

Como cualquier natural tiene una cantidad finita de divisores, el criterio de la raíz racional nos permite restringir la cantidad posible de raíces de un polinomio con coeficientes enteros a una cantidad finita de candidatos. Veamos un par de ejemplos.

Aplicación directa del criterio de la raíz racional

Ejercicio. Usa el criterio de la raíz racional para enlistar a todos los posibles números racionales que son candidatos a ser raíces del polinomio

    \[h(x)=2x^3-x^2+12x-6.\]

Después, encuentra las raíces racionales de p(x).

Solución. El polinomio h(x) tiene coeficientes enteros, así que podemos usar el criterio de la raíz racional. Las raíces racionales son de la forma \frac{p}{q} con p divisor de -6, con q divisor de 2 y además \MCD{p,q}=1. Los divisores enteros de -6 son

    \[-6,-3,-2,-1,1,2,3,6.\]

Los divisores enteros de 2 son

    \[-2,-1,1,2.\]

Pareciera que hay muchas posibilidades por considerar. Sin embargo, nota que basta ponerle el signo menos a uno de p o q para considerar todos los casos. Así, sin pérdida de generalidad, q>0. Si q=1, obtenemos a los candidatos

    \[-6,-3,-2,-1,1,2,3,6.\]

Si q=2, por la condición de primos relativos basta usar los valores -3,-1,1,3 para p. De aquí, obtenemos al resto de los candidatos

    \[-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}.\]

En el peor de los casos, ya solo bastaría evaluar el polinomio en estos 12 candidatos para determinar si son o no son raíz. Sin embargo, a veces podemos hacer algunos trucos para disminuir todavía más la lista.

Observa que si evaluamos

    \[h(x)=2x^3-x^2+12x-6\]

en un número negativo, entonces la expresión quedará estrictamente negativa, así que ninguno de los candidatos negativos puede ser raíz. De este modo, sólo nos quedan los candidatos

    \[1,2,3,6,\frac{1}{2},\frac{3}{2}.\]

Si evaluamos en x=2 o x=6, entonces la parte de la expresión 2x^3-x^2+12x es múltiplo de 4, pero -6 no. De esta forma, h(x) no sería un múltiplo de 4, y por lo tanto no puede ser 0. Si evaluamos en x=1 o x=3, tendríamos que la parte de la expresión 2x^3+12x-6 sería par, pero -x^2 sería impar, de modo que h(x) sería impar, y no podría ser cero. Así, ya sólo nos quedan los candidatos

    \[\frac{1}{2},\frac{3}{2}.\]

Para ellos ya no hagamos trucos, y evaluemos directamente. Tenemos que

    \begin{align*}h\left(\frac{1}{2}\right) &= 2\cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + 12 \cdot \frac{1}{2}-6\\&=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+6-6\\&=0.\end{align*}

y que

    \begin{align*}h\left(\frac{3}{2}\right) &= 2\cdot \frac{27}{8} - \frac{9}{4} + 12 \cdot \frac{3}{2}-6\\&=\frac{27}{4}-\frac{9}{4}+18-6\\&=\frac{9}{2}+12\\&=\frac{33}{2}.\end{align*}

Habiendo considerado todos los casos, llegamos a que la única raíz racional de h(x) es \frac{1}{2}.

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Aplicación indirecta del criterio de la raíz racional

El criterio de la raíz racional lo podemos usar en algunos problemas, aunque en ellos no esté escrito un polinomio de manera explícita.

Problema. Muestra que \sqrt[7]{13} no es un número racional.

Solución. Por definición, el número \sqrt[7]{13} es el único real positivo r que cumple que r^7=13. Se puede mostrar su existencia usando que la función f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x)=x^7 es continua, que f(0)=0, que f(2)=128, y aplicando el teorema del valor intermedio. Se puede mostrar su unicidad mostrando que la función f es estrictamente creciente en los reales positivos. Lo que tenemos que mostrar es que este número real no es racional.

Si consideramos el polinomio p(x)=x^7-13, tenemos que p(r)=r^7-13=0, de modo que r es raíz de p(x). Así, para terminar el problema, basta mostrar que p(x) no tiene raíces racionales.

El polinomio p(x) tiene coeficientes enteros, así que podemos aplicarle el criterio de la raíz racional. Una raíz racional tiene que ser de la forma \frac{p}{q} con p divisor de -13 y q divisor de 1.

Sin perder generalidad, q>0, así que q=1. De esta forma, los únicos candidatos a ser raíces racionales de p(x) son -13,-1,1,13. Sin embargo, una verificación de cada una de estas posibilidades muestra que ninguna de ellas es raíz de p(x). Por lo tanto, p(x) no tiene raíces racionales, lo cual termina la solución del problema.

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Aplicación en polinomio con coeficientes racionales

A veces un polinomio tiene coeficientes racionales, por ejemplo,

    \[r(x)=\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{3}-4x-1.\]

A un polinomio con todos sus coeficientes en \mathbb{Q} se les conoce como polinomio sobre los racionales y al conjunto de todos ellos se le denota \mathbb{Q}[x]. Para fines de encontrar raíces racionales, los polinomios en \mathbb{Q}[x] y los polinomios en \mathbb{Z}[x] son muy parecidos.

Si tenemos un polinomio q(x) en \mathbb{Q}[x], basta con multiplicar por el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes para obtener un polinomio p(x) con coeficientes enteros. Como q(x) y p(x) varían sólo por un factor no cero, entonces tienen las mismas raíces. Por ejemplo, el polinomio r(x) de arriba tiene las mismas raíces que el polinomio

    \[s(x)=6r(x)=3x^3+2x^2-24x-6.\]

A este nuevo polinomio se le puede aplicar el criterio de la raíz racional para encontrar todas sus raíces racionales.

Ejemplo. Consideremos el polinomio

    \[q(x)=x^3+\frac{x^2}{3}+5x+\frac{5}{3}.\]

Vamos a encontrar todos los candidatos a raíces racionales. Para ello, notamos que q(x) y p(x):=3q(x) varían sólo por un factor multiplicativo no nulo y por lo tanto tienen las mismas raíces. El polinomio

    \[p(x)=3x^3+x^2+15x+5\]

tiene coeficientes enteros, así que los candidatos a raíces racionales son de la forma \frac{a}{b} con a y b primos relativos, a\mid 5 y b\mid 3. Sin pérdida de generalidad b>0.

Los divisores de 5 son -5,-1,1,5. Los divisores positivos de 3 son 1 y 3. De esta forma, los candidatos a raíces racionales son

    \[-5,-1,1,5,-\frac{5}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{5}{3}.\]

Si ponemos un número positivo en p(x), como sus coeficientes son todos positivos, tenemos que la evaluación sería positiva, así que podemos descartar estos casos. Sólo nos quedan los candidatos

    \[-5,-1,-\frac{5}{3},-\frac{1}{3}.\]

La evaluación en -5 da

    \begin{align*}-3\cdot 125 + 25 - 15\cdot 5 +5&=-375+25-75+5\\&=-295,\end{align*}

así que -5 no es raíz.

La evaluación en -1 da

    \begin{align*}-3+1-15+5=-12,\end{align*}

así que -1 tampoco es raíz.

Como tarea moral, queda verificar que -\frac{5}{3} tampoco es raíz, pero que -\frac{1}{3} sí lo es.

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Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Realiza las evaluaciones que faltan en el último ejemplo.
  • Determina las raíces racionales del polinomio

        \[x^7-6x^4+3x^3+18x-1.\]

  • Muestra que \sqrt[3]{12} no es un número racional.
  • Encuentra todos los candidatos a ser raíces racionales de

        \[x^3+\frac{2x^2}{3}-7x-\frac{14}{3}.\]

    Determina cuáles sí son raíces.
  • Puede que un polinomio en \mathbb{Z}[x] no tenga raíces racionales, pero que sí se pueda factorizar en \mathbb{Z}[x]. Investiga acerca del criterio de irreducibilidad de Eisenstein.

Álgebra Superior II: El teorema de derivadas y multiplicidad

Introducción

En entradas anteriores definimos qué quiere decir que un real sea una raíz de un polinomio. Luego, vimos que mediante el teorema del factor se puede definir una relación entre las raíces de un polinomio y los polinomios lineales que lo dividen. Sin embargo, es posible que un real sea una raíz de un polinomio «más de una vez», que fue un concepto que formalizamos en la entrada de desigualdades de polinomios. En esta entrada veremos que a través de las derivadas de polinomios, podemos determinar la multiplicidad de sus raíces.

Como recordatorio, la multiplicidad de una raíz r de un polinomio p(x) en \mathbb{R}[x] es el mayor entero m tal que (x-r)^m divide a p(x) en \mathbb{R}[x]. También, en esta entrada haremos uso de la regla del producto para derivadas.

El teorema de derivadas y multiplicidad

El siguiente resultado es fundamental para la detección de raíces múltiples. Su demostración es sencilla pues usamos varios de los resultados que hemos obtenido anteriormente.

Teorema (derivadas y multiplicidad). Sea r una raíz del polinomio p(x) en \mathbb{R}[x] de multiplicidad m. Si m>1, entonces r es una raíz de la derivada p'(x), y es de multiplicidad m-1. Si m=1, entonces r no es raíz de p'(x).

Demostración. Como r es una raíz de p(x) de multiplicidad m, entonces se puede escribir p(x)=(x-r)^m q(x), en donde q(x) es un polinomio que ya no es divisible entre x-r. Derivando, por regla del producto tenemos que

    \begin{align*}p'(x)&=m(x-r)^{m-1}q(x) + (x-r)^m q'(x)\\&=(x-r)^{m-1}(mq(x)+(x-r)q'(x)).\end{align*}

Afirmamos que x-r no divide a mq(x)+(x-r)q'(x). Si lo dividiera, como divide a (x-r)q'(x) entonces también tendría que dividir a mq(x) y por lo tanto a q(x). Pero esto sería una contradicción con la elección de q(x).

De esta forma, si m=1 entonces x-r no divide a p'(x) y por el teorema del factor entonces r no es raíz de p'(x). Y si m>1, entonces (x-r)^{m-1} divide a p'(x) por la expresión que encontramos de la derivada, pero (x-r)^m no pues x-r no divide al segundo factor. Esto termina la prueba.

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Ejemplo. Consideremos al polinomio p(x)=(x-3)^3(x+1). Tanto 3 como -1 son raíces de p(x). La multiplicidad de la raíz 3 es tres y la multiplicidad de la raíz -1 es uno. Si derivamos a p(x) usando la regla del producto, tenemos que

    \begin{align*}p'(x)&=3(x-3)^2(x+1)+(x-3)^3\\&=3(x-3)^2(x+1+x-3)\\&=3(x-3)^2(2x-2)\\&=6(x-3)^2(x-1)\end{align*}

Observa que p'(x) en efecto tiene a 3 como raíz de multiplicidad dos y ya no tiene a 1 como raíz.

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Es muy importante respetar la hipótesis de que r sea raíz de p(x). Por ejemplo, en el ejemplo anterior 1 es raíz de p'(x) de multiplicidad 1, pero 1 no es raíz de p(x) (y mucho menos de multiplicidad 2).

El teorema de derivadas y multiplicidad es interesante, pero todavía no es útil en aplicaciones prácticas. Sin embargo, tiene dos consecuencias que sí se pueden usar para estudiar polinomios concretos.

Encontrar la multiplicidad de una raíz

El teorema de derivadas y multiplicidad nos dice que la multiplicidad de una raíz «baja en uno» al pasar de un polinomio a su derivada, pero aún no nos dice cuál es esa multiplicidad. Sin embargo, lo podemos aplicar repetidamente para obtener esta información. Recuerda que para k un entero no negativo y p(x) en \mathbb{R}[x], usamos p^{(k)}(x) para denotar k-ésima derivada de un polinomio. Aquí p^{(0)}(x) es simplemente p(x).

Proposición. Sea r una raíz del polinomio p(x) en \mathbb{R}[x] de multiplicidad m. Si k el mayor entero positivo tal que r es raíz de

    \[p^{(0)}(x), p^{(1)}(x),\ldots,p^{(k)}(x),\]

entonces m=k+1.

Demostración. Usando el teorema anterior de manera inductiva, tenemos que para cada entero 0\leq \ell<m, se tiene que r es raíz de multiplicidad m-\ell de p^{(\ell)}(x) En particular, es raíz de todas estas derivadas. Además, por el mismo teorema, se tiene que r ya no es raíz de p^{(m)}(x). De esta forma, tenemos que k=m-1, de donde se obtiene el resultado deseado.

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La proposición anterior ahora sí nos da una manera de encontrar la multiplicidad de una raíz de un polinomio.

Ejemplo. Sabiendo que 3 es una raíz del polinomio

    \[p(x)=x^5-9x^4+28x^3-36x^2+27x-27,\]

vamos a encontrar su multiplicidad.

Para esto, vamos a calcular sus derivadas:

    \begin{align*}p'(x)&=5x^4-36x^3+84x^2-72x+27\\p''(x)&=20x^3-108x^2+168x-72\\p^{(3)}(x)&=60x^2-216x+168\\p^{(4)}(x)&=120x-216\\p^{(5)}(x)&=120\\p^{(6)}(x)&=0\end{align*}

Tenemos que

    \begin{align*}p'(3)&=5\cdot 81 - 36 \cdot 27 +84 \cdot 9 -72\cdot 3 + 27\\&=405-972+756-216+27\\&=0.\end{align*}

Hasta aquí, sabemos que 3 es raíz de multiplicidad al menos dos. Tenemos también que

    \begin{align*}p''(3)(3)&=20\cdot 27-108\cdot 9 +168 \cdot 3 - 72\\&=540-972+504-72\\&=0.\end{align*}

Hasta aquí, sabemos que 3 es raíz de multiplicidad al menos tres. Siguiendo,

    \begin{align*}p^{(3)}&=60\cdot 9-216\cdot 3 +168\\&=720-648+168\\&=240.\end{align*}

Como la tercera derivada ya no se anuló en 3, la multiplicidad de 3 como raíz es exactamente tres.

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Es importante que revisemos todas las derivadas, y que sea una por una. En el ejemplo anterior, p^{(6)}(3)=0, pero eso no quiere decir que 3 sea raíz de multiplicidad 7, pues la evaluación falla desde la tercera derivada.

Simplificar un polinomio para encontrarle sus raíces

Hay otra consecuencia práctica del teorema de multiplicidades y derivadas, que puede ser de utilidad en algunos problemas. Recuerda que para polinomios p(x) y q(x) en \mathbb{R}[x] usamos \MCD{p(x),q(x)} para denotar al máximo común divisor de dos polinomios. En particular, divide a p(x) en \mathbb{R}[x], de modo que

    \[\frac{p(x)}{\MCD{p(x),q(x)}}\]

es un polinomio en \mathbb{R}[x].

Proposición. Sea p(x) un polinomio en \mathbb{R}[x] y p'(x) su derivada. El polinomio

    \[q(x):=\frac{p(x)}{\MCD{p(x),p'(x)}}\]

es un polinomio en \mathbb{R}[x], con las mismas raíces reales que p(x), pero todas ellas tienen multiplicidad 1.

Demostración. Factoricemos a todas las raíces reales de p(x) con sus multiplicidades correspondientes para escribir

    \[p(x)=(x-r_1)^{m_1}\cdot \ldots \cdot (x-r_n)^{m_n} r(x),\]

en donde r(x) ya no tiene raíces reales. De acuerdo al teorema de derivadas y multiplicidad, podemos escribir

    \[p'(x)=(x-r_1)^{m_1-1}\cdot \ldots \cdot (x-r_n)^{m_n-1} s(x),\]

en donde ningún x-r_i divide a s(x). Es sencillo entonces mostrar, y queda como tarea moral, que \MCD{p(x),p'(x)} es

    \[(x-r_1)^{m_1-1}\cdot \ldots \cdot (x-r_n) \cdot \MCD{r(x),s(x)}.\]

A partir de esto, concluimos que

    \begin{align*}q(x)&=\frac{p(x)}{\MCD{p(x),p'(x)}}\\&= (x-r_1)\cdot \ldots \cdot (x-r_n) \cdot \frac{r(x)}{\MCD{r(x),s(x)}}.\end{align*}

De aquí se ve que r_1,\ldots,r_n son raíces de multiplicidad 1 de q(x). No hay más raíces reales en \frac{r(x)}{\MCD{r(x),s(x)}}, pues si hubiera una raíz \alpha, entonces por el teorema del factor x-\alpha dividiría a este polinomio, y por lo tanto a r(x), de donde \alpha sería raíz de r(x), una contradicción.

\square

La proposición anterior se puede usar de manera práctica como sigue:

  • Para empezar, tomamos un polinomio arbitrario p(x).
  • Luego, lo derivamos para obtener p'(x).
  • Después, usando el algoritmo de Euclides, encontramos al polinomio \MCD{p(x),q(x)}.
  • Ya con el máximo común divisor, hacemos división polinomial para encontrar q(x)=\frac{p(x)}{\MCD{p(x),q(x)}}.
  • Si p(x) tenía raíces repetidas, entonces ahora q(x) será de grado menor, y quizás más fácil de estudiar. Encontramos las raíces de q(x). Estas son las raíces de f(x).
  • Finalmente, usamos el teorema de la sección anterior para encontrar la multiplicidad de cada raíz.

Veamos un problema interesante en el que se conjuntan varias ideas de esta entrada.

Problema. Factoriza en \mathbb{R}[x] al polinomio

    \[-x^5+5x^4+5x^3-45x^2+108.\]

Solución. Este es un polinomio de grado cinco, para el cual hasta antes de ahora no teníamos muchas herramientas para estudiarlo. Vamos a aplicar el método explicado arriba. Lo primero que haremos es factorizar un -1 para volver este polinomio mónico. Recordaremos poner este signo al final. Tomemos entonces

    \[p(x)=x^5-5x^4-5x^3+45x^2-108.\]

Su derivada es

    \[p'(x)=5x^4-20x^3+15x^2+90x,\]

Se puede verificar, y queda como tarea moral, que el máximo común divisor de p(x) y p'(x) es el polinomio

    \[M(x)=x^3-4x^2-3x+18.\]

Haciendo la división polinomial, tenemos que

    \[\frac{p(x)}{M(x)}=x^2-x-6=(x+2)(x-3).\]

Como este polinomio tiene las mismas raíces que p(x), concluimos que -2 y 3 son las raíces de p(x).

Usando la proposición para multiplicidades de raíces (que también queda como tarea moral), se puede verificar que -2 es raíz de multiplicidad dos y que 3 es raíz de multiplicidad 3. Como p(x) es un polinomio de grado 5 y es mónico, entonces se debe de dar la igualdad

    \[p(x)=(x+2)^2(x-3)^3.\]

Al regresar al polinomio original, debemos agregar un signo menos. Concluimos que la factorización del polinomio del problema es

    \[-(x+2)^2(x-3)^3.\]

\square

Esta proposición nos da una manera de encontrar raíces. En las siguientes dos entradas veremos otras dos formas de encontrarlas. Para cuando los polinomios son de grado 3 y 4, podemos encontrar las raíces de manera explícita. Para cuando los polinomios tienen coeficientes enteros, podemos encontrar una cantidad finita de candidatos a ser raíces racionales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica que 1 es raíz del polinomio

        \[x^8-x^7-9x^6+19x^5+5x^4-51x^3+61x^2-31x+6\]

    y encuentra su multiplicidad.
  • En la demostración de la última proposición, muestra la igualdad

        \[\MCD{p(x),p'(x)}=(x-r_1)^{m_1-1}\cdot \ldots \cdot (x-r_n) \MCD{r(x),s(x)}.\]

  • En el último ejemplo, aplica el algoritmo de Euclides a p(x) y p'(x) para mostrar que el máximo común divisor es el que se afirma.
  • Aplica la proposición de multiplicidad de raíces en el último ejemplo para verificar que en efecto las multiplicidades de 2 y 3 son las que se afirman.
  • Aplica el mismo método que en la última sección para factorizar el polinomio

        \[x^6+8x^5+18x^4-4x^3-47x^2-12x+36.\]