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Ecuaciones Diferenciales I: Método de reducción de orden

Introducción

Hemos comenzado esta segunda unidad estudiando algunas de las propiedades de las soluciones a ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas de orden superior. Como mencionamos en la entrada anterior, es momento de comenzar a desarrollar distintos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de orden superior, sin embargo, debido a la complejidad que surge de aumentar el orden, en esta entrada sólo consideraremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

En esta entrada desarrollaremos el método de reducción de orden, como su nombre lo indica, lo que haremos básicamente es hacer un cambio de variable o una sustitución adecuada que permita que la ecuación de segundo orden pase a ser una ecuación de primer orden y de esta manera aplicar alguno de los métodos vistos en la unidad anterior para resolver la ecuación.

Hay dos distintas formas de reducir una ecuación de segundo orden, la primera de ellas consiste en hacer un cambio de variable $z = \dfrac{dy}{dx}$, esta forma se aplica en ecuaciones tanto lineales como no lineales pero deben satisfacer algunas condiciones y por otro lado, la segunda forma se aplica sólo a ecuaciones lineales homogéneas en las que tenemos conocimiento previo de una solución no trivial. En este segundo caso, considerando que conocemos una solución $y_{1}(x)$, haremos la sustitución $y_{2}(x) = u(x) y_{1}(x)$ para reducir de orden a la ecuación y al resolverla obtendremos la función $u(x)$ y por tanto la segunda solución $y_{2}(x)$ tal que $\{ y_{1}, y_{2} \}$ forme un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial y de esta manera podamos establecer la solución general.

Comencemos por desarrollar la primer forma bajo un cambio de variable.

Ecuaciones reducibles a ecuaciones de primer orden

Hay cierto tipo de ecuaciones de segundo orden que pueden reducirse a una ecuación de primer orden y ser resueltas por los métodos que ya conocemos, vistos en la unidad anterior. Un primer tipo de ecuación son las ecuaciones lineales en las que la variable dependiente $y$ no aparece explícitamente.

Sabemos que una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden tiene la siguiente forma:

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) \label{1} \tag{1}$$

Si la variable dependiente $y$ no se encuentra explícitamente en la ecuación obtenemos la siguiente forma:

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} = g(x) \label{2} \tag{2}$$

Es quizá natural pensar que una forma de resolver la ecuación (\ref{2}) es integrarla dos veces, es esto lo que haremos considerando el siguiente cambio de variable:

$$z = \dfrac{dy}{dx}; \hspace{1cm} \dfrac{dz}{dx} = \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} \label{3} \tag{3}$$

Sean $a_{2}(x) \neq 0$, $P(x) = \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}$ y $Q(x) = \dfrac{g(x)}{a_{2}(x)}$. Si sustituimos estas funciones y el cambio de variable (\ref{3}) en la ecuación (\ref{2}) lograremos reducirla a una ecuación lineal de primer orden con $z$ la variable dependiente.

$$\dfrac{dz}{dx} + P(x) z = Q(x) \label{4} \tag{4}$$

En la unidad anterior desarrollamos distintos métodos para resolver este tipo de ecuaciones. Una vez que resolvamos la ecuación (\ref{4}) y regresemos a la variable original veremos que dicho resultado nuevamente corresponde a una ecuación de primer orden que podrá ser resuelta una vez más con los métodos vistos anteriormente. Realicemos un ejemplo:

Ejemplo: Reducir de orden a la ecuación diferencial de segundo orden $x \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{dy}{dx} = x$ para $x > 0$ y obtener su solución.

Solución: Primero vamos a dividir toda la ecuación por $x \neq 0$.

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{1}{x} \dfrac{dy}{dx} = 1$$

Ahora podemos hacer el cambio de variable (\ref{3}) para obtener la forma (\ref{4}).

$$\dfrac{dz}{dx} -\dfrac{1}{x}z = 1 \label{5} \tag{5}$$

Ya no deberíamos tener problema con resolver esta ecuación. El método más eficaz para resolverla es aplicar el método por factor integrante. De la ecuación reducida (\ref{5}) notamos que $P(x) = -\dfrac{1}{x}$ y $Q(x) = 1$. El factor integrante, es este caso, es

$$\mu(x) = e^{\int {P(x)} dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln(x)} = \dfrac{1}{x} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \mu(x) = \dfrac{1}{x}$$

Multiplicamos la ecuación (\ref{5}) por el factor integrante,

$$\dfrac{1}{x} \dfrac{dz}{dx} -\dfrac{z}{x^{2}} = \dfrac{1}{x}$$

e identificamos que

$$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{z}{x} \right) = \dfrac{1}{x} \dfrac{dz}{dx} -\dfrac{z}{x^{2}}$$

De ambas ecuaciones tenemos que

$$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{z}{x} \right) = \dfrac{1}{x}$$

Ahora podemos integrar ambos lados de la ecuación con respecto a $x > 0$.

\begin{align*}
\int \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{z}{x} \right) dx &= \int \dfrac{1}{x} dx \\
\dfrac{z}{x} &= \ln (x) + c_{1} \\
z(x) &= x \ln (x) + xc_{1}
\end{align*}

Hemos resuelto la ecuación para la variable $z$, regresemos a la variable original para resolver la nueva ecuación de primer orden.

$$\dfrac{dy}{dx} = x \ln(x) + xc_{1} \label{6} \tag{6}$$

Esta ecuación ahora puede ser resuelta por separación de variables en su versión simple de integración directa, integremos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$,

\begin{align*}
\int \dfrac{dy}{dx} dx &= \int x \ln(x) dx + \int xc_{1} dx \\
y(x) &= \int x \ln(x) dx + c_{1} \dfrac{x^{2}}{2}
\end{align*}

Hay que resolver la integral $\int{x \ln(x) dx}$, para ello tomemos $u(x) = \ln(x)$ y $\dfrac{dv}{dx} = x$, así mismo, $\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x}$ y $v(x) = \dfrac{x^{2}}{2}$. Entonces

\begin{align*}
\int{x \ln(x) dx} &= \dfrac{x^{2}}{2} \ln(x) -\int{\dfrac{x}{2} dx} \\
&= \dfrac{x^{2}}{2} \ln(x) -\dfrac{x^{2}}{4} + c_{2}
\end{align*}

Sustituyendo en la función $y(x)$.

$$y(x) = \dfrac{x^{2}}{2} \ln(x) -\dfrac{x^{2}}{4} + c_{1} \dfrac{x^{2}}{2} + c_{2}$$

Por lo tanto, la solución general a la ecuación diferencial $x \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{dy}{dx} = x$ es

$$y(x) = \dfrac{x^{2}}{2} \left( \ln(x) -\dfrac{1}{2} \right) + c_{1} \dfrac{x^{2}}{2} + c_{2} \label{7} \tag{7}$$

Verifica por tu cuenta que es la solución general ya que el conjunto $\left\{ y_{1}(x) = \dfrac{x^{2}}{2}, y_{2}(x) = 1 \right\}$ es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada y $y_{p}(x) = \dfrac{x^{2}}{2} \left( \ln(x) -\dfrac{1}{2} \right)$ es una solución particular de la ecuación no homogénea.

$\square$

Reducción de orden en ecuaciones no lineales

Es posible aplicar un método similar en ecuaciones de segundo orden que pueden ser tanto lineales como NO son lineales, en este caso, a diferencia del caso anterior, la variable dependiente $y$ puede aparecer en la ecuación, sin embargo es necesario que la variable independiente $x$ sea la que no aparezca explícitamente. Este tipo de ecuaciones también pueden reducirse a una ecuación de primer orden pero tomando el siguiente cambio de variable:

$$\dfrac{dy}{dx} = z; \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = z \dfrac{dz}{dy} \label{8} \tag{8}$$

Donde la segunda expresión se deduce de aplicar la regla de la cadena

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \dfrac{dz}{dx} = \dfrac{dz}{dy} \dfrac{dy}{dx} = z \dfrac{dz}{dy}$$

Realicemos un ejemplo con una ecuación no lineal.

Ejemplo: Reducir de orden a la ecuación diferencial de segundo orden $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2y \left( \dfrac{dy}{dx}\right)^{3} = 0$ y obtener su solución.

Solución: Es importante notar que es no lineal debido a que la primer derivada es de tercer grado y además esta multiplicada por la función $y$ lo cual no debe ocurrir en el caso lineal.

La ecuación a resolver es $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2y \left( \dfrac{dy}{dx}\right)^{3} = 0$, hacemos el cambio de variable (\ref{8}) y separamos variables

\begin{align*}
z \dfrac{dz}{dy} -2yz^{3} &= 0 \\
\dfrac{dz}{dy} &= 2yz^{2} \\
\dfrac{1}{z^{2}} \dfrac{dz}{dy} &= 2y
\end{align*}

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $y$

\begin{align*}
\int{\dfrac{1}{z^{2}} \dfrac{dz}{dy} dy} &= \int{2y dy} \\
\int{\dfrac{dz}{z^{2}}} &= 2 \int{y dy} \\
-\dfrac{1}{z} &= y^{2} + c_{1} \\
z &= -\dfrac{1}{y^{2} + c_{1}}
\end{align*}

Regresando a la variable original y separando de nuevo las variables, tenemos

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} &= -\dfrac{1}{y^{2} + c_{1}} \\
(y^{2} + c_{1}) \dfrac{dy}{dx} &= -1
\end{align*}

Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a $x$

\begin{align*}
\int{(y^{2} + c_{1}) \dfrac{dy}{dx} dx} &= -\int{dx} \\
\int{y^{2} dy} + \int{c_{1} dy} &= -\int{dx} \\
\dfrac{y^{3}}{3} + c_{1}y &= -x + c_{2}
\end{align*}

Por lo tanto, la solución implícita a la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2y \left( \dfrac{dy}{dx}\right)^{3} = 0$ es

$$\dfrac{y^{3}}{3} + c_{1}y = c_{2} -x$$

$\square$

Realicemos un ejemplo más con una ecuación lineal.

Ejemplo: Encontrar la solución general de la ecuación diferencial $4 \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{dy}{dx} = 0$.

Solución: Como la ecuación no contiene explícitamente a la función $y$ ni a la variable independiente $x$, entonces podemos aplicar cualquier cambio de variable, ya sea (\ref{3}) u (\ref{8}). Vamos a resolverla aplicando ambos casos.

Primero consideremos el cambio de variable (\ref{8}):

\begin{align*}
4z \dfrac{dz}{dy} + z &= 0 \\
4 \dfrac{dz}{dy} &= -1 \\
\dfrac{dz}{dy} &= -\dfrac{1}{4}
\end{align*}

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $y$

\begin{align*}
\int{\dfrac{dz}{dy} dy} &= -\int{\dfrac{1}{4} dy} \\
\int{dz} &= -\dfrac{1}{4} \int{dy} \\
z &= -\dfrac{1}{4} y + c_{1}
\end{align*}

Regresando a la variable original

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} &= -\dfrac{1}{4} y + c_{1} \\
\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{y}{4} &= c_{1}
\end{align*}

Resolvemos esta ecuación por factor integrante.

$$\mu(x) = e^{\int {P(x)} dx} = e^{\int \frac{1}{4} dx} = e^{\frac{x}{4}} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \mu(x) = e^{\frac{x}{4}}$$

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el factor integrante

\begin{align*}
e^{\frac{x}{4}} \dfrac{dy}{dx} + e^{\frac{x}{4}} \dfrac{y}{4} &= e^{\frac{x}{4}} c_{1} \\
\dfrac{d}{dx}\left( y e^{\frac{x}{4}} \right) &= c_{1} e^{\frac{x}{4}}
\end{align*}

Ahora integramos ambos lados con respecto a $x$

\begin{align*}
\int{\dfrac{d}{dx}\left( y e^{\frac{x}{4}} \right) dx} &= \int{c_{1} e^{\frac{x}{4}} dx} \\
y e^{\frac{x}{4}} &= c_{1} \int{e^{\frac{x}{4}} dx} \\
y e^{\frac{x}{4}} &= c_{1} 4 e^{\frac{x}{4}} + c_{2} \\
y(x) &= c_{2} e^{-\frac{x}{4}} + 4c_{1}
\end{align*}

Renombrando a las constantes concluimos que la solución general a la ecuación diferencial $4 \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{dy}{dx} = 0$ es

$$y(x) = k_{1} e^{-\frac{x}{4}} + k_{2}$$

Resolvamos de nuevo la ecuación pero ahora aplicando el cambio de variable (\ref{3}),

\begin{align*}
4 \dfrac{dz}{dx} + z &= 0 \\
\dfrac{1}{z} \dfrac{dz}{dx} &= -\dfrac{1}{4}
\end{align*}

Integramos ambos lados con respecto a $x$

\begin{align*}
\int{\dfrac{1}{z} \dfrac{dz}{dx} dx} &= -\int{\dfrac{1}{4} dx} \\
\int{\dfrac{dz}{z}} &= -\dfrac{1}{4}\int{dx} \\
\ln|z| &= -\dfrac{x}{4} + c_{1} \\
z &= c_{2}e^{-\frac{x}{4}}
\end{align*}

Con $c_{2} = e^{c_{1}}$. Regresando a la variable original

$$\dfrac{dy}{dx} = c_{2}e^{-\frac{x}{4}}$$

Integramos ambos lados con respecto a $x$

\begin{align*}
\int{\dfrac{dy}{dx} dx} = \int{c_{2}e^{-\frac{x}{4}} dx} \\
\int{dy} = c_{2} \int{e^{-\frac{x}{4}} dx} \\
y = -c_{2}4 e^{-\frac{x}{4}} + c_{3}
\end{align*}

Si renombramos las constantes obtenemos nuevamente que

$$y(x) = k_{1} e^{-\frac{x}{4}} + k_{2}$$

$\square$

Ahora pasemos a un método de reducción de orden en el que previamente debemos conocer una solución. Este método es el que usualmente encontrarás como método de reducción de orden.

Reducción de orden conocida una solución

Es posible reducir una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = 0 \label{9} \tag{9}$$

a una ecuación diferencial de primer orden siempre que se conozca previamente una solución no trivial $y_{1}(x)$. Recordamos de la entrada anterior que una ecuación de la forma (\ref{9}) tiene como solución general la combinación lineal $y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x)$, con $y_{1}$ y $y_{2}$ funciones que forman un conjunto fundamental de soluciones en cierto intervalo $\delta$. Si conocemos $y_{1}$ podremos reducir la ecuación a una de primer orden y resolverla para obtener la solución $y_{2}$ y por tanto obtener la solución general.

Este método también es conocido como método de reducción de orden pues tiene el mismo objetivo que los casos anteriores, reducir de orden a una ecuación diferencial. La idea general del método es la siguiente:

Comenzaremos con el conocimiento previo de una solución no trivial $y_{1}(x)$ de la ecuación homogénea (\ref{9}) definida en un intervalo $\delta$. Lo que buscamos es una segunda solución $y_{2}(x)$ tal que $y_{1}$ y $y_{2}$ formen un conjunto fundamental de soluciones en $\delta$, es decir, que sean soluciones linealmente independientes entre sí. Recordemos que si ambas soluciones son linealmente independientes entonces el cociente $\dfrac{y_{2}}{y_{1}}$ no es contante en $\delta$, es decir, $\dfrac{y_{2}(x)}{y_{1}(x)} = u(x)$ que lo podemos reescribir como $y_{2}(x) = u(x) y_{1}(x)$. Como queremos encontrar $y_{2}$ y previamente conocemos $y_{1}$ entonces debemos determinar la función $u(x)$, dicha función se determina al sustituir $y_{2} = uy_{1}$ en la ecuación diferencial dada, esto reducirá a dicha ecuación a una de primer orden donde la variable dependiente será $u$.

Desarrollemos el método de manera general para encontrar la expresión de $u$ y por tanto de $y_{2}$ y finalmente realicemos un ejemplo.

Método de reducción de orden

Este método se aplica a las ecuaciones diferenciales de la forma

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = 0$$

Si dividimos esta ecuación por $a_{2}(x) \neq 0$ podemos obtener la forma estándar

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + P(x) \dfrac{dy}{dx} + Q(x)y = 0 \label{10} \tag{10}$$

Con $P(x) = \dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}$ y $Q(x) = \dfrac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)}$ ambas continuas en algún intervalo $\delta$. Supongamos además que $y_{1}(x)$ es una solución conocida de (\ref{10}) en $\delta$ y que $y_{1}(x) \neq 0 $ para toda $x \in \delta$. Si se define $y(x) = u(x) y_{1}(x)$, derivando se tiene que

$$\dfrac{dy}{dx} = u \dfrac{dy_{1}}{dx} + y_{1} \dfrac{du}{dx} \label{11} \tag{11}$$

Derivando una segunda ocasión

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = u \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} + 2\dfrac{dy_{1}}{dx} \dfrac{du}{dx} + y_{1} \dfrac{d^{2}u}{dx^{2}} \label{12} \tag{12}$$

Sustituyendo (\ref{11}) y (\ref{12}) en la forma estándar (\ref{10}) obtenemos lo siguiente:

\begin{align*}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + P\dfrac{dy}{dx} + Qy &= \left[ u \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} + 2\dfrac{dy_{1}}{dx} \dfrac{du}{dx} + y_{1} \dfrac{d^{2}u}{dx^{2}} \right] + P \left[ u \dfrac{dy_{1}}{dx} + y_{1} \dfrac{du}{dx} \right] + Q \left[ u y_{1}\right] \\
&= u \left[ \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} + P\dfrac{dy_{1}}{dx} + Qy_{1} \right] + y_{1} \dfrac{d^{2}u}{dx^{2}} + \left( 2 \dfrac{dy_{1}}{dx} + Py_{1} \right) \dfrac{du}{dx} \\
&= 0
\end{align*}

Como $y_{1}(x)$ es solución sabemos que

$$\dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} + P\dfrac{dy_{1}}{dx} + Qy_{1} = 0$$

Entonces el resultado anterior se reduce a lo siguiente:

$$y_{1} \dfrac{d^{2}u}{dx^{2}} + \left( 2 \dfrac{dy_{1}}{dx} + Py_{1} \right) \dfrac{du}{dx} = 0 \label{13} \tag{13}$$

Consideremos el cambio de variable $w = \dfrac{du}{dx}$ y $\dfrac{dw}{dx} = \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$, entonces la ecuación (\ref{13}) se puede escribir como

$$y_{1} \dfrac{dw}{dx} + \left( 2 \dfrac{dy_{1}}{dx} + Py_{1} \right) w = 0 \label{14} \tag{14}$$

Esta ecuación es tanto lineal como separable. Separando las variables e integrando, se obtiene

\begin{align*}
\dfrac{1}{w}\dfrac{dw}{dx} + 2\dfrac{1}{y_{1}} \dfrac{dy_{1}}{dx} &= -P \\
\int{\dfrac{dw}{w}} + 2\int{\dfrac{dy_{1}}{y_{1}}} &= -\int{P dx} \\
\ln |w| + 2 \ln|y_{1}| + k &= -\int{P dx} \\
\ln |w y^{2}_{1}| + k &= -\int{P dx} \\
wy^{2}_{1} &= k_{1}e^{-\int{P dx}}
\end{align*}

Despejando a $w$ de la última ecuación, usando $w = \dfrac{du}{dx}$ e integrando nuevamente

\begin{align*}
\dfrac{du}{dx} &= \dfrac{k_{1}e^{-\int{P dx}}}{y^{2}_{1}} \\
\int{du} &= \int{\dfrac{k_{1}e^{-\int{P dx}}}{y^{2}_{1}} dx} \\
u &= k_{1} \int{\dfrac{e^{-\int{P} dx}}{y^{2}_{1}} dx} + k_{2}
\end{align*}

Eligiendo $k_{1} = 1$ y $k_{2} = 0$ obtenemos la expresión para la función $u(x)$,

$$u(x) = \int{\dfrac{e^{-\int{P} dx}}{y^{2}_{1}} dx} \label{15} \tag{15}$$

Si sustituimos en $y(x) = y_{2}(x) = u(x)y_{1}(x)$ obtenemos que la segunda solución a la ecuación diferencial (\ref{10}) es

$$y_{2}(x) = y_{1}(x) \int{\dfrac{e^{-\int{P(x)} dx}}{y^{2}_{1}(x)} dx} \label{16} \tag{16}$$

De tarea moral puedes probar que la función $y_{2}$ satisface la ED y que $y_{1}$ y $y_{2}$ son linealmente independientes en algún intervalo en el que $y_{1}$ no es cero.

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos este método.

Ejemplo: Encontrar la solución general a la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 16y = 0$ dada la solución no trivial $y_{1}(x) = \cos(4x)$.

Solución: Apliquemos directamente la expresión (\ref{16}) para obtener la solución $y_{2}(x)$.

La ecuación diferencial a resolver es $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 16y = 0$, si la comparamos con la forma estándar (\ref{10}) notamos que $P(x) = 0$ y $Q(x) = 16$. Sustituyendo en $y_{2}(x) = y_{1}(x) \int{\dfrac{e^{-\int{P(x)} dx}}{y^{2}_{1}(x)} dx}$, tenemos

\begin{align*}
y_{2}(x) &= \cos(4x) \int{\dfrac{e^{0}}{\cos^{2}(4x)} dx} \\
&= \cos(4x) \int{\dfrac{1}{\cos^{2}(4x)} dx}
\end{align*}

Para resolver la integral consideramos el cambio de variable $s = 4x$, $ds = 4 dx$

$$\int{\dfrac{1}{\cos^{2}(4x)} dx} = \dfrac{1}{4} \int{\sec^{2}(s) ds}$$

Y sabemos que $\int{\sec^{2}(s) ds} = \tan(s)$, así

$$y_{2}(x) = \cos(4x) \left( \dfrac{1}{4} \tan(4x) + k_{1} \right)$$

Hacemos $k_{1} = 0$

$$y_{2}(x) = \dfrac{\cos(4x)}{4} \left( \dfrac{\sin(4x)}{\cos(4x)} \right) = \dfrac{\sin(4x)}{4}$$

Como la solución general corresponde a la combinación lineal $y(x) = c_{1} y_{1}(x) + c_{2} y_{2}(x)$, en las constantes $c_{1}$ y $c_{2}$ se pueden englobar todas las constantes que pudieran aparecer, por ello es que podemos tomar $k_{1} = 0$ y además podemos evitar la constante $\dfrac{1}{4}$ de $y_{2}$ y considerar que $y_{2}(x) = \sin(4x)$. Veamos que efectivamente satisface la ecuación diferencial.

$$\dfrac{dy_{2}}{dx} = 4 \cos(4x) \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} = -16 \sin(4x)$$

Sustituyendo en la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 16y = -16 \sin(4x) + 16 \sin(4x) = 0$$

Cumple con la ecuación diferencial, lo mismo podemos verificar con la solución dada $y_{1}(x) = \cos(4x)$.

$$\dfrac{dy_{1}}{dx} = -4 \sin(4x) \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} = -16 \cos(4x)$$

Sustituyendo en la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 16y = -16 \cos(4x) + 16 \cos(4x) = 0$$

Como ambas soluciones son linealmente independientes, entonces forman un conjunto fundamental de soluciones. Otra forma de verificarlo es mostrando que el Wronskiano es distinto de cero y lo es ya que $W(y_{1}, y_{2}) = 4 \neq 0$.

Por lo tanto, la solución general a la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 16y = 0$ corresponde a la combinación lineal

$$y(x) = c_{1} \cos(4x) + c_{2} \sin(4x)$$

$\square$

Con esto concluimos esta entrada sobre un primer método para resolver algunas ecuaciones de segundo orden. En la siguiente entrada continuaremos estudiando un nuevo método.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Obtén la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.
  • $x \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{dy}{dx} = 0$
  • $(x-1) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{dy}{dx} = 0$
  1. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales no lineales.
  • $(y -1)\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^{2} $
  • $\left( \dfrac{dy}{dx} \right)^{2} -2 \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 0$
  1. Dada una solución no trivial de las siguientes ecuaciones diferenciales, hallar la segunda solución tal que ambas formen un conjunto fundamental de soluciones y determina la solución general.
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy}{dx} + 4y = 0; \hspace{1cm} y_{1}(x) = e^{2x}$
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -25y = 0; \hspace{1cm} y_{1}(x) = e^{5x}$
  1. Demuestra que la función

$$y_{2}(x) = y_{1}(x) \int{\dfrac{e^{-\int{P(x)} dx}}{y^{2}_{1}(x)} dx}$$

Satisface la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + P(x) \dfrac{dy}{dx} + Q(x)y = 0$$

Siempre que $y_{1}(x)$ sea solución a la misma ecuación.

  1. Usando el inciso anterior, demostrar que

$$\left \{ y_{1}(x), y_{1}(x) \int{\dfrac{e^{-\int{P(x)} dx}}{y^{2}_{1}(x)} dx} \right \}$$

es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + P(x) \dfrac{dy}{dx} + Q(x)y = 0$$

Más adelante…

En esta entrada conocimos un método de reducción de orden basado en un cambio de variable para ecuaciones lineales y no lineales de segundo orden que satisfacen algunas condiciones y desarrollamos el método de reducción de orden para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas en el caso en el que previamente tenemos conocimiento de una solución no trivial.

En la siguiente entrada estudiaremos otro método para resolver un tipo particular de ecuaciones diferenciales, éstas son las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes, de la forma

$$a \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + b \dfrac{dy}{dx} + cy = 0$$

Con $a, b$ y $c$ constantes.

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Definición: La ecuación diferencial

\begin{align}
a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) y^{n} \label{1} \tag{1}
\end{align}

donde $n$ es cualquier número real, se llama ecuación de Bernoulli.

Si a la ecuación de Bernoulli la dividimos por la función $a_{1}(x) \neq 0$ obtenemos

$$\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{a_{0}(x)}{a_{1}(x)} y = \dfrac{g(x)}{a_{1}(x)} y^{n}$$

Definimos las siguientes funciones

$$P(x)=\dfrac{a_{0}(x)}{a_{1}(x)} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x)=\dfrac{g(x)}{a_{1}(x)}$$

Entonces una ecuación de Bernoulli se puede reescribir como

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n} \label{2} \tag{2}
\end{align}

La ecuación (\ref{2}) es también una definición común de ecuación de Bernoulli.

Puedes observar que si $n = 0$, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal no homogénea:

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Y si $n = 1$, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal homogénea:

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y &= Q(x) y \\
\dfrac{dy}{dx} + [P(x) -Q(x)] y &= 0 \\
\dfrac{dy}{dx} + R(x) y &= 0
\end{align*}

Donde definimos $R(x) = P(x) -Q(x)$, ambas ecuaciones ya las sabemos resolver.

Nuestro objetivo será resolver la ecuación de Bernoulli para el caso en el que $n \neq 0$ y $n \neq 1$. Una propiedad de las ecuaciones de Bernoulli es que la sustitución $u(x) = y^{1 -n}$ la convierte en una ecuación lineal y de esta manera podremos resolverla usando el método de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales. Para mostrar este hecho consideremos la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{2}).

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n}$$

Dividimos toda la ecuación por $y^{n}$.

\begin{align}
\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} + P(x) y^{1-n} = Q(x) \label{3} \tag{3}
\end{align}

Si definimos $u = y^{1-n}$, al derivar esta función obtenemos

$$\dfrac{du}{dx} = (1 -n) y^{-n} \dfrac{dy}{dx} = (1 -n) \dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$$

De donde

$$\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -n} \dfrac{du}{dx}$$

Sustituimos este resultado y $y^{1-n} = u$ en la ecuación (\ref{3}):

\begin{align}
\dfrac{1}{1-n} \dfrac{du}{dx} + P(x)u = Q(x) \label{4} \tag{4}
\end{align}

Multiplicamos por $1 -n$ en ambos lados de la ecuación

$$\dfrac{du}{dx} + (1 -n)P(x)u = (1 -n)Q(x)$$

Definimos $R(x) = (1 -n)P(x)$ y $S(x) = (1 -n)Q(x)$. En términos de estas funciones la ecuación (\ref{4}) se puede escribir de la siguiente forma:

\begin{align}
\dfrac{du}{dx} + R(x)u = S(x) \label{5} \tag{5}
\end{align}

Puedes notar que la ecuación (\ref{5}) corresponde a una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea.

En conclusión, una ecuación de Bernoulli (\ref{2}) bajo la sustitución $u(x) = y^{1 -n}(x)$ se vuelve una ecuación diferencial lineal en la forma (\ref{5}) y por tanto podemos aplicar el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales.

Los pasos que se recomiendan seguir para resolver una ecuación diferencial de Bernoulli se presentan a continuación.

Método para resolver ecuaciones de Bernoulli

  1. El primer paso es escribir a la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{2}).
  1. Dividimos toda la ecuación por $y^{n}$ y consideramos el cambio de variable $u = y^{1 -n}$ y la respectiva derivada $\dfrac{du}{dx} = (1 -n)\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$.
  1. Sustituimos $y^{1 -n} = u$ y $\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -n}\dfrac{du}{dx}$ en la ecuación resultante del paso anterior y haciendo un poco de álgebra podremos reducir la ecuación de Bernoulli en una ecuación lineal de primer orden no homogénea.
  1. Resolvemos la ecuación resultante usando el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales lo que nos permitirá obtener la función $u(x)$.
  1. Regresamos a la variable original.

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos estos pasos.

Ejemplo: Resolver la ecuación de Bernoulli $3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} = 2xy (y^{3} -1)$

Solución: El primer paso es escribir la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{2}):

\begin{align*}
3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} &= 2xy (y^{3} -1) \\
\dfrac{dy}{dx} & =\dfrac{2xy (y^{3} -1)}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2xy^{4}}{3(1 + x^{2})} -\dfrac{2xy}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) y &= \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) y^{4}
\end{align*}

La última relación muestra a la ecuación en la forma (\ref{2}) con $n = 4$, ahora dividamos toda la ecuación por $y^{4}$.

\begin{align}
\dfrac{1}{y^{4}} \dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1+x^{2})} \right) y^{-3} = \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \label{6} \tag{6}
\end{align}

Consideremos la sustitución $u=y^{1-n}=y^{1-4}=y^{-3}=\dfrac{1}{y^{3}}$ y $\dfrac{du}{dx} = -3 y^{-4} \dfrac{dy}{dx}$.

De donde

\begin{align*}
\dfrac{1}{y^{4}} \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{3} \dfrac{du}{dx} \hspace{1.5cm} y \hspace{1.5cm} y^{-3} = u
\end{align*}

Sustituimos estos resultados en la ecuación (\ref{6})

\begin{align*}
-\dfrac{1}{3} \dfrac{du}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) u &= \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{du}{dx} +\left( -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right) u &= -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \label{7} \tag{7}
\end{align*}

La última ecuación es una expresión en la forma (\ref{5}), con esto hemos logrado reducir la ecuación de Bernoulli en una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea. Establecemos las siguientes funciones

\begin{align*}
R(x) = -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} S(x) = -\dfrac{2x}{1 + x^{2}}
\end{align*}

A partir de aquí aplicamos el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Primero calculemos el factor integrante dado como $\mu (x) = e^{\int {R(x)dx}}$. Resolvamos la integral del exponente omitiendo la constante de integración

\begin{align*}
\int {R(x)dx} &= -\int \dfrac{2x}{1 + x^{2}} dx \\
&= -\ln|1 + x^{2}|
\end{align*}

Sustituyendo en el factor integrante

$$\mu (x) = e^{-\ln|1 + x^{2}|} = \dfrac{1}{1+x^{2}}$$

Por lo tanto el factor integrante es $\mu (x) = \dfrac{1}{1 + x^{2}}$. Multipliquemos a la ecuación (\ref{7}) por el factor integrante:

$$\dfrac{1}{1 + x^{2}} \dfrac{du}{dx} -\dfrac{1}{1 + x^{2}} \left( \dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right) u = -\dfrac{1}{1 + x^{2}} \left( \dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right)$$

Identificamos que el lado izquierdo de la ecuación es la derivada del producto del factor integrante por la función $u(x)$, de esta manera

$$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{u}{1 + x^{2}} \right) = -\dfrac{2x}{(1 + x^{2})^{2}}$$

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$. Por tratarse del último paso ahora sí consideramos a la constante de integración

$$\int \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{u}{1 + x^{2}} \right) dx = -\int \dfrac{2x}{(1 + x^{2})^{2}} dx$$

En el lado izquierdo aplicamos el teorema fundamental del cálculo y en el lado derecho consideramos la sustitución $a(x) = 1 + x^{2}$ para resolver la integral, el resultado obtenido es

\begin{align*}
\dfrac{u}{1 + x^{2}} &= \dfrac{1}{1 + x^{2}} + c \\
u &= 1 + (1 + x^{2}) c \\
u &= 1 + c + x^{2}c
\end{align*}

Regresamos a la variable original $u = \dfrac{1}{y^{3}}$

\begin{align*}
\dfrac{1}{y^{3}} &= 1 + c + x^{2}c \\
y^{3} &= \dfrac{1}{cx^{2} + c + 1}
\end{align*}

La ultima ecuación corresponde a la forma implícita de la solución, para obtener la solución explícita sacamos la raíz cúbica obteniendo finalmente

$$y=\sqrt[3]{cx^{2} + c + 1}$$

Por lo tanto, la solución general a la ecuación diferencial de Bernoulli

$$3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} = 2xy (y^{3} -1)$$

es

$$y(x) = \sqrt[3]{cx^{2} + c + 1}$$

$\square$

Ahora revisemos la ecuación de Riccati.

Ecuación diferencial de Riccati

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinara no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVlll por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati.

Definición: La ecuación diferencial

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2} \label{8} \tag{8}
\end{align}

se llama ecuación de Riccati.

Resolver la ecuación de Ricatti requiere del conocimiento previo de una solución particular de la ecuación, llamemos a dicha solución $y_{1}(x)$. Si hacemos la sustitución

\begin{align}
y(x) = y_{1}(x) + u(x) \label{9} \tag{9}
\end{align}

La ecuación de Riccati adquiere la forma de una ecuación de Bernoulli, de tarea moral verifica este hecho. Ya vimos que para resolver una ecuación de Bernoulli debemos reducirla a una ecuación lineal no homogénea así que veamos directamente cómo reducir una ecuación de Riccati a una ecuación lineal no homogénea.

Sea $y_{1}(x)$ una solución particular de la ecuación de Riccati y consideremos la sustitución

\begin{align}
y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)} \label{10} \tag{10}
\end{align}

Derivando esta ecuación obtenemos

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy_{1}}{dx} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \label{11} \tag{11}
\end{align}

Como $y_{1}(x)$ es una solución a la ecuación de Riccati entonces se cumple que

\begin{align}
\dfrac{dy_{1}}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} \label{12} \tag{12}
\end{align}

Sustituyendo (\ref{12}) en (\ref{11}) obtenemos la siguiente ecuación:

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \label{13} \tag{13}
\end{align}

Ahora podemos igualar la ecuación (\ref{13}) con la ecuación de Riccati (\ref{8})

\begin{align*}
q_{1}(x) + q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2} &= q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2} &= q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{2}(x) y_{1} -q_{2}(x) y + q_{3}(x)y^{2}_{1} -q_{3}(x) y^{2} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{2}(x)(y_{1} -y) + q_{3}(x)(y^{2}_{1} -y^{2})
\end{align*}

En la última ecuación sustituimos la función (\ref{10}):

\begin{align*}
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{2}(x) \left[ y_{1} -\left( y_{1} + \dfrac{1}{u} \right) \right] + q_{3}(x) \left [ y^{2}_{1} -\left( y_{1} + \dfrac{1}{u} \right) ^{2} \right ] \\
&= q_{2}(x) \left( y_{1} -y_{1} -\dfrac{1}{u} \right) + q_{3}(x) \left( y^{2}_{1} -y^{2}_{1} -2 y_{1} \dfrac{1}{u} -\dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= q_{2}(x) \left( -\dfrac{1}{u} \right ) + q_{3}(x) \left( -2\dfrac{y_{1}}{u} -\dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= -\dfrac{q_{2}(x)}{u} -2 q_{3}(x) \dfrac{y_{1}}{u} -\dfrac{q_{3}(x)}{u^{2}}
\end{align*}

Esto es

$$\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} = -\dfrac{q_{2}(x)}{u} -2 q_{3}(x) \dfrac{y_{1}}{u} -\dfrac{q_{3}(x)}{u^{2}}$$

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $u^{2}$

\begin{align*}
\dfrac{du}{dx} &= -q_{2}(x)u -2q_{3}(x) y_{1}u -q_{3}(x) \\
\dfrac{du}{dx} &= -\left( q_{2}(x) + 2q_{3}(x) y_{1} \right) u -q_{3}(x) \\
\dfrac{du}{dx} + \left( q_{2}(x) + 2q_{3}(x) y_{1} \right) u &= -q_{3}(x)
\end{align*}

Definimos las funciones $R(x) = q_{2}(x) + 2q_{3}(x) y_{1}$ y $S(x) = -q_{3}(x)$ de manera que la última ecuación queda como

\begin{align}
\dfrac{du}{dx} + R(x) u = S(x) \label{14} \tag{14}
\end{align}

De esta manera queda demostrado que la sustitución

$$y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$$

Convierte a la ecuación de Riccati en una ecuación diferencial lineal y por tanto puede ser resuelta con el método de resolución de ecuaciones lineales.

Como es usual, desarrollemos una serie de pasos a seguir para resolver las ecuaciones de Riccati.

Método para resolver ecuaciones de Riccati

Con el fin de evitar memorizar los resultados anteriores se recomienda seguir la siguiente serie de pasos para resolver una ecuación diferencial de Riccati.

  1. El primer paso es escribir a la ecuación de Riccati en la forma (\ref{8}) y estar seguros de que conocemos previamente una solución particular $y_{1}(x)$ de la ecuación.
  1. Como queremos reducir la ecuación de Riccati en una ecuación lineal no homogénea consideramos la sustitución $y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$, con $y_{1}(x)$ la solución particular dada.
  1. Debido a que $y_{1}(x)$ es solución a la ecuación de Riccati, el siguiente paso es derivar la sustitución $y = y_{1} + \dfrac{1}{u}$ y en el resultado sustituir $\dfrac{dy_{1}}{dx}$ por la ecuación de Riccati para la solución particular, esto es

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy_{1}}{dx} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx}$$

  1. Igualamos la ecuación anterior con la ecuación de Riccati original en la forma (\ref{8}) y hacemos la sustitución $y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$.
  1. Hecho lo anterior y haciendo un poco de álgebra podremos reducir la ecuación de Riccati en una ecuación lineal de primer orden y así aplicar el método de resolución para este tipo de ecuaciones.
  1. Una vez obtenida la función $u(x)$ la sustituimos en $y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$ para así finalmente obtener la solución $y(x)$.

Realicemos un ejemplo para poner en practica este método.

Ejemplo: Resolver la ecuación de Riccati $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2}$ considerando la solución particular $y_{1} = \dfrac{2}{x}$.

Solución: Vemos que la ecuación diferencial que queremos resolver ya prácticamente tiene la forma de la ecuación (\ref{8}), pero para que sea mas claro consideremos la siguiente forma:

$$\dfrac{dy}{dx} = \left( -\dfrac{4}{x^{2}} \right) + \left( -\dfrac{1}{x} \right) y + y^{2}$$

El problema ya nos da la solución particular $y_{1}(x) = \dfrac{2}{x}$ (verifica que, en efecto, es una solución a la ecuación de Riccati). El segundo paso es hacer la sustitución $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$. Por la ecuación (\ref{13}) tenemos

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{1}{x} \left( \dfrac{2}{x} \right) + \left( \dfrac{2}{x} \right)^{2} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx}$$

Igualando el resultado anterior con la ecuación de Riccati tenemos

\begin{align*}
-\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2} &= -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{1}{y^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
-\dfrac{y}{x} + y^{2} &= \dfrac{2}{x^{2}} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{y}{x} -y^{2}
\end{align*}

En la última ecuación sustituimos $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$

\begin{align*}
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{1}{x} \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u} \right) -\left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u} \right)^{2} \\
&= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{1}{xu} -\left( \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{4}{xu} + \dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{1}{xu} -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{4}{xu} -\dfrac{1}{u^{2}} \\
&= -\dfrac{3}{xu} -\dfrac{1}{u^{2}} \\
\end{align*}

De donde

$$\dfrac{du}{dx} + \dfrac{3}{x}u = -1$$

Esta expresión tiene la forma de una ecuación diferencial lineal (\ref{14}), de donde podemos determinar que

$$R(x) = \dfrac{3}{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} S(x) = -1$$

Ya que hemos reducido la ecuación de Riccati en una ecuación lineal no homogénea a partir de aquí usamos el método de resolución de ecuaciones lineales.

Calculemos el factor integrante $\mu(x) = e^{\int R(x)dx}$.

\begin{align*}
\int {R(x)dx} = \int {\dfrac{3}{x}dx} = 3\ln| x |
\end{align*}

Entonces, el factor integrante es

$\mu (x) = e^{3 \ln|x|} = x^{3}$

Multiplicamos la ecuación lineal por el factor integrante

\begin{align*}
x^{3} \dfrac{du}{dx} + x^{3} \left( \dfrac{3}{x} \right ) u &= -x^{3} \\
x^{3} \dfrac{du}{dx} + 3x^{2}u &= -x^{3}
\end{align*}

Identificamos el lado izquierdo de la ecuación como la derivada del producto del factor integrante $\mu (x)$ por la función $u(x)$, esto es

$$\dfrac{d}{dx} \left( x^{3}u \right) = -x^{3}$$

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$

\begin{align*}
\int {\dfrac{d}{dx} \left( x^{3}u \right) dx} &= \int {-x^{3}dx} \\
x^{3}u &= -\dfrac{x^{4}}{4} + c \\
u &= -\dfrac{x}{4} + \dfrac{c}{x^{3}}
\end{align*}

Ya determinamos el valor de $u(x)$ ahora sólo lo sustituimos en la función $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$

Por lo tanto, la solución general a la ecuación de Bernoulli

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2}$$

es

$$y(x) = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{\dfrac{c}{x^{3}} -\dfrac{x}{4}}$$

$\square$

Hemos concluido con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Para concluir con esta entrada presentaremos un breve resumen sobre los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales que estudiamos y su método de resolución correspondiente.

Resumen de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden

  1. Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

Condiciones de linealidad:

  • La variable dependiente $y$ y todas sus derivadas son de primer grado.
  • Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente $x$ y/o de constantes.

Si $Q(x) = 0$ la ecuación es homogénea y su solución es

$$y(x) = ke^{-\int{P(x)}dx}$$

Si $Q(x) \neq 0$ la ecuación es no homogénea y su solución es

$$y(x) = e^{-\int P(x)dx} \left( \int{e^{\int P(x) dx} Q(x) dx} + k \right)$$

Método del factor integrante: Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$

Método de variación de parámetros: La solución tiene la forma $y(x) = k(x) e^{-\int{P(x)} dx}$ con $k(x) = \int{e^{\int{P(x)} dx} Q(x)}$

Por lo tanto, una lineal puede resolverse: a) Aplicando directamente la formula general; b) por medio de un factor integrante, y c) usando variación de parámetros.

  1. Ecuaciones diferenciales de variables separables

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g(x)}{f(x)}$$

Método de solución: integración directa.

  1. Ecuaciones diferenciales homogéneas

$$M(x, y) + N(x, y) \dfrac{dy}{dx} = 0$$

Es homogénea si

\begin{align*}
M(tx, ty) = t^{n}M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(tx, ty) = t^{n}N(x, y)
\end{align*}

Método de solución: Cambio de variable $y = ux$ y $\dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx}$ para reducirla a una ecuación de variables separables.

  1. Ecuaciones diferenciales exactas

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

Se verifica que es exacta usando del criterio de diferencial exacta.

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

Si lo es, definimos

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)
\end{align*}

Método de solución:

  • Tomar $\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y)$ o $\dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)$.
  • Integrar en $x$ o integrar en $y$.
  • Derivar con respecto a $y$ o con respecto a $x$.
  • Igualar el resultado a $N(x, y)$ o igualar a $M(x, y)$.
  • Integrar.
  1. Factores integrantes

$\mu (x, y)$ es factor integrante si $\mu (x, y) M(x, y) dx + \mu (x, y) N(x, y) dy = 0$ es exacta.

Si el factor integrante es función de $x$:

$$\mu (x) = exp \left[ \int{ \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx} \right]$$

Si el factor integrante es función de $y$:

$$\mu (y) = exp \left[ \int{ \dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) dx} \right]$$

Método de solución: Se multiplica la ecuación diferencial por el factor integrante y se resuelve por exactas o por variables separables según el caso.

  1. Ecuación diferencial de Bernoulli

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n}$$

Método de solución: Para $n \neq 0$ y $n \neq 1$ hacemos el cambio de variable $u = y^{1 -n}$ y $\dfrac{du}{dx} = (1 -n)\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$ para reducirla a una ecuación lineal

  1. Ecuación diferencial de Riccati

$$\dfrac{dy}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2}$$

Método de solución: Conocida una solución particular $y_{1}$ se hace la sustitución $y = y_{1} + u$ para reducir la ecuación a una ecuación de Bernoulli o la sustitución $y = y_{1} + \dfrac{1}{u}$ para reducirla directamente a una ecuación lineal no homogénea.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Resuelve las siguientes ecuaciones de Bernoulli.
  • $\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{x}y = \dfrac{2}{3}x^{4}y^{4}$
  • $3x \dfrac{dy}{dx} -2y = x^{3}y^{-2}$
  • $x^{2} \dfrac{dy}{dx} -2xy = 3y^{4} \hspace{0.8cm}$ con la condición inicial $\hspace{0.5cm} y(1) = \dfrac{1}{2}$
  1. Resuelve las siguientes ecuaciones de Riccati.
  • $x^{3} \dfrac{dy}{dx} = x^{4}y^{2} -2x^{2}y -1 \hspace{0.8cm}$ con solución particular $\hspace{0.5cm} y_{1} = \dfrac{1}{x^{2}}$
  • $\dfrac{dy}{dx} = xy^{2} + y + \dfrac{1}{x^{2}} \hspace{0.8cm}$ con solución particular $\hspace{0.5cm} y_{1} = -\dfrac{1}{x}$
  1. Demuestra que la sustitución

$$y(x) = y_{1}(x) + u(x)$$

convierte a una ecuación de Riccati en una ecuación de Bernoulli.

Más adelante…

Con esta entrada concluimos el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, a lo largo de la unidad vimos una descripción cualitativa y posteriormente una descripción analítica en la que desarrollamos varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales tanto lineales como no lineales. Lo natural es continuar con el estudio de las ecuaciones diferenciales de segundo orden pero antes es importante hacer un estudio con mayor detalle sobre el teorema de existencia y unicidad con el cual justificaremos toda la teoría desarrollada a lo largo de la unidad.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de reducción de orden

Introducción

En la entrada anterior estudiamos las propiedades más importantes que cumple el conjunto de soluciones a una ecuación lineal homogénea de segundo orden $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$. Si encontramos dos soluciones $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ tales que formen un conjunto fundamental en un mismo intervalo $I$, entonces $y(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)$ será la solución general a la ecuación diferencial en $I$.

En esta entrada vamos a suponer que conocemos una solución $y_{1}(t)$ a la ecuación, y desarrollaremos un método, conocido como reducción de orden, que nos permitirá encontrar una segunda solución $y_{2}(t)$ de tal manera que $\{y_{1}(t), y_{2}(t)\}$ formen un conjunto fundamental de soluciones.

Reducción de orden

En el video desarrollamos de manera general el método de reducción de orden, dada una solución $y_{1}(t)$, y suponiendo que la solución general es de la forma $u(t)y_{1}(t)$ para cierta función $u$, y posteriormente aplicamos este método para resolver un ejemplo en particular.

Tarea moral

  • Prueba que si $y_{1}(t)$ es solución a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$ entonces $$y_{1} \int \frac{1}{y_{1}^{2}} e^{-\int p(t) \, dt} \, dt $$ también es solución a la ecuación.
  • Prueba que $$\{y_{1}, y_{1} \int \frac{1}{y_{1}^{2}} e^{-\int p(t) \, dt} \, dt \}$$ es un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$.
  • Encuentra la solución general a la ecuación diferencial $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=0$ por el método de reducción de orden, si $y_{1}(t)=e^{-t}$ es una solución a la ecuación.
  • Encuentra la solución general a la ecuación diferencial $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+16y=0$ por el método de reducción de orden, si $y_{1}(t)=\cos{4t}$ es una solución a la ecuación.

Más adelante

En la próxima entrada continuaremos estudiando ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, en particular, estudiaremos el caso cuando las funciones $a_{i}(t)$, $i \in \{0,1,2\}$ en la ecuación $a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$ son todas constantes. A este tipo de ecuaciones les llamamos ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

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Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y el teorema de existencia y unicidad

Introducción

En la entrada anterior estudiamos las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Recapitulando, el tipo de ecuaciones que queremos resolver es

\begin{equation}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \tag{1} \label{1}
\end{equation}

Vimos que la solución general $y(x)$ es la suma de la solución homogénea y la solución particular:

$$y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x)$$

La solución homogénea está dada como:

$$y_{h}(x) = k e^{- \int P(x) dx} = \dfrac{k}{\mu (x)}$$

mientras que la solución particular tiene la forma:

$$y_{p}(x) = e^{- \int{P(x) dx}} \left( \int{e^{\int{P(x) dx}} Q(x) dx} \right) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} \right)$$

Donde $\mu (x)$ es el factor integrante, $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$

Así, la solución general a la ecuación diferencial (\ref{1}) es:

\begin{equation}
y(x) = k e^{-\int{P(x) dx}} + e^{-\int{P(x) dx}} \left(\int{e^{\int{P(x) dx}}Q(x) dx}\right) \tag{2} \label{2}
\end{equation}

O de forma más compacta

\begin{equation}
y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} + k \right) \tag{3} \label{3}
\end{equation}

Con $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$.

En la entrada anterior mencionamos que hay dos métodos distintos para la obtención de la solución particular, ya presentamos el método por factor integrante, en este entrada vamos a desarrollar el método conocido como variación de parámetros.

Método de variación de parámetros

En la entrada anterior vimos que la solución a la ecuación homogénea

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = 0$$

es $y_{h}(x) = k e^{- \int P(x) dx}$. Vamos a suponer que para la ecuación

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

la solución particular es $y_{p}(x) = k(x) e^{- \int P(x) dx}$, en este caso $k$ es una función de $x$. Vamos a buscar la expresión explícita de $k(x)$, para ello vamos a sustituir $y_{p}$ en la ecuación diferencial.

\begin{align*}
\dfrac{dy_{p}}{dx} + P(x) y_{p} &= \dfrac{d}{dx} \left(k e^{- \int P(x) dx} \right) + P(x) k e^{- \int P(x) dx} \\
&= \left[k \dfrac{d}{dx} \left( e^{- \int P(x) dx} \right) + \dfrac{dk}{dx} e^{- \int P(x) dx}\right] + P(x) k e^{- \int P(x) dx} \\
&= – k P(x) e^{- \int P(x) dx} + \dfrac{dk}{dx} e^{- \int P(x) dx} + k P(x) e^{- \int P(x) dx} \\
&= \dfrac{dk}{dx} e^{- \int P(x) dx} \\
&= Q(x)
\end{align*}

De la última igualdad obtenemos que

$$\dfrac{dk}{dx} = e^{\int P(x) dx} Q(x)$$

Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a $x$ tenemos

\begin{align*}
\int{\left( \dfrac{dk}{dx} \right) dx} &= \int{ \left( e^{\int P(x) dx} Q(x) \right) dx} \\
k(x) + c &= \int{ \left( e^{\int P(x) dx} Q(x) \right) dx} \\
k(x) &= \int{ e^{\int P(x) dx} Q(x) dx}
\end{align*}

Donde consideramos que $c = 0$. Sustituyendo el valor de $k(x)$ en la solución particular $y_{p} = k(x) e^{- \int P(x) dx}$ obtenemos finalmente que

$$y_{p}(x) = e^{- \int P(x) dx} \left( \int{e^{\int P(x) dx} Q(x) dx} \right)$$

Si sustituimos el factor integrante $\mu (x) = e^{\int P(x) dx}$ el resultado queda como

$$y_{p} = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} \right)$$

De esta manera recuperamos el mismo resultado que usando el método del factor integrante visto en la entrada anterior.

Algunas consideraciones

En esta sección queremos aclarar algunos puntos importantes sobre la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales.

Al inicio de la entrada anterior vimos que la solución completa (o solución general) a la ecuación diferencial lineal $\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ es la suma de la solución homogénea $y_{h}(x)$ mas la solución particular $y_{p}(x)$, es importante reconocer este hecho ya que en muchas ocasiones la ecuación homogénea y por tanto la solución homogénea serán muy relevantes si estamos estudiando un fenómeno real, sin embargo, cuando nuestro objetivo es obtener la solución completa no es necesario obtener ambas soluciones por separado para después sumarlas, sino que podemos directamente intentar obtener la solución general. Obtener directamente la solución general está relacionado con la omisión de constantes de integración que hemos hecho, así que es momento de explicar qué está ocurriendo con estas constantes.

Te invito a que desarrolles de nuevo el método de factor integrante y de variación de parámetros pero ahora manteniendo a las constantes de integración, los cálculos serán un poco más extensos pero al final notarás que todas las constantes que resulten se pueden agrupar en una sola constante $C$, es así que en ambos métodos llegarás al siguiente resultado:

$$y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} + C \right)$$

Donde $C$ es la constante resultante de juntar todas las contantes de integración que pudieran aparecer y $\mu$ es el factor integrante. Puedes notar que esta es la forma de la solución general que hemos obtenido anteriormente, es decir, si en ambos métodos mantenemos a las contantes de integración podemos obtener la solución general. Lo que nosotros hicimos anteriormente fue que la constante $k$ de la ecuación (\ref{3}) la asociábamos a la solución homogénea $y_{h}(x) = k e^{- \int P(x) dx}$ de manera que al sumar ambas soluciones ya obteníamos la solución general pero en realidad también se puede obtener de ambos métodos manteniendo a las constantes. Decidimos hacerlo así porque es importante el papel que pueden tomar por separado las soluciones homogénea y particular en algunas situaciones, además de que omitir las constantes evitó hacer cálculos extensos en ambos métodos.

Finalmente, como ya mencionamos antes, no se recomienda intentar resolver este tipo de ecuaciones usando las formulas obtenidas para las soluciones sino aplicar cada paso de cualquiera de los métodos desarrollados, sin embargo, a continuación presentamos una serie de pasos que se recomiendan seguir para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Método para resolver ecuaciones lineales

Si bien es cierto que ya conocemos las formulas explícitas de las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales es conveniente seguir una serie de pasos para resolver este tipo de ecuaciones en lugar de sólo sustituir en las formulas y así evitar memorizarlas. Dichos pasos se describen a continuación.

  1. Escribir la ecuación lineal en la forma canónica

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

  1. Calcular el factor integrante $\mu (x)$ mediante la formula $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$.
  2. Multiplicar a la ecuación diferencial en su forma canónica por el factor integrante en ambos lados de la ecuación.

$$\mu (x) \dfrac{dy}{dx} + \mu (x) P(x) y = \mu (x) Q(x)$$

  1. Identificar que el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de $\mu(x)$ por $y(x)$ y sustituir.

$$\dfrac{d}{dx} (\mu y) = \mu (x) Q(x)$$

  1. Integrar la última ecuación y dividir por $\mu (x)$ para obtener finalmente la solución general $y(x)$. En la última integración debemos considerar a la constante de integración.

Esta serie de pasos nos permiten obtener directamente la solución general de la ecuación diferencial lineal es por ello que en el último paso sí debemos considerar a la constante de integración, dicha constante representa el resultado de juntar todas las contantes que podremos omitir en pasos intermedios.

Anteriormente resolvimos algunas ecuaciones diferenciales en las que usando las formulas de las soluciones sólo sustituíamos las funciones correspondientes y sumábamos ambos resultados para obtener la solución general, veamos ahora un ejemplo en el que vamos a aplicar estos pasos para resolver la ecuación.

Ejemplo: Determinar la solución general de la ecuación diferencial

$$\left( x^{2} +1 \right) \dfrac{dy}{dx} = x^{2} + 2x -1 -4xy$$

Solución: Para resolver la ecuación diferencial vamos a seguir los pasos establecidos anteriormente. El primer paso será escribir a la ecuación en la forma canónica $\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$:

\begin{align*}
\left( x^{2} +1 \right) \dfrac{dy}{dx} &= x^{2} + 2x -1 -4xy \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{x^{2} + 2x -1 -4xy}{x^{2} +1} \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1} -\left(\dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) y\\
\dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) y &= \dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1}
\end{align*}

En la última relación ya podemos determinar que $P(x) = \dfrac{4x}{x^{2} +1}$ y $Q(x) = \dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1}$.

El segundo paso es determinar el factor integrante de acuerdo a la formula $\mu (x) = \large e^{\int{P(x) dx}}$

\begin{align*}
\mu (x) = e^{\int{P(x) xd}} = e^{\int{\left( \dfrac{4x}{x^{2} +1}\right) dx}}
\end{align*}

Vamos a resolver la integral

\begin{align*}
\int{\dfrac{4x}{x^{2} +1} dx} &= 4 \int{\dfrac{x}{x^{2} +1} dx} \\
&= \dfrac{4}{2} \ln{\left( x^{2} + 1 \right)} \\
&= 2 \ln{\left(x^{2} + 1\right)} \\
&= \ln{\left( x^{2} + 1\right)^{2}}
\end{align*}

Como se trata de un paso intermedio podemos omitir a la constante de integración. Sustituyendo en el factor integrante:

\begin{align*}
\mu (x) = e^{\ln{\left( x^{2} + 1\right)^{2}}} = \left( x^{2} + 1\right)^{2}
\end{align*}

Por lo tanto el factor integrante es: $\mu (x) = \left( x^{2} + 1\right)^{2}$

El tercer paso es multiplicar la ecuación diferencial en su forma canónica por el factor integrante:

\begin{align*}
\left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + \left( x^{2} + 1\right)^{2} \left( \dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) y &= \left( x^{2} + 1\right)^{2} \left(\dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1}\right) \\
\left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + 4x \left( x^{2} + 1\right) y &= \left( x^{2} + 1\right) \left(x^{2} + 2x -1\right) \\
\left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + 4x \left( x^{2} + 1\right) y &= x^{4} + 2x^{3} +2x -1
\end{align*}

El cuarto paso es identificar que

$$\dfrac{d}{dx}(\mu (x) y(x)) = \dfrac{d}{dx}\left( y \left( x^{2} + 1\right)^{2}\right) = \left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + 4x \left( x^{2} + 1\right) y$$

Así que ahora podemos escribir:

$$\dfrac{d}{dx}\left( y \left( x^{2} + 1\right)^{2}\right) = x^{4} + 2x^{3} +2x -1$$

El quinto y último paso es integrar esta relación por ambos lados con respecto a $x$, en esta última integración sí debemos considerar a la constante de integración.

\begin{align*}
\int{\dfrac{d}{dx}\left( y \left( x^{2} + 1\right)^{2}\right) dx} &= \int{\left( x^{4} + 2x^{3} +2x -1\right)}dx \\
y \left( x^{2} + 1\right)^{2} + k &= \int{\left( x^{4} + 2x^{3} +2x -1\right)} dx
\end{align*}

Resolvamos la integral.

\begin{align*}
\int{\left( x^{4} + 2x^{3} +2x -1\right)} dx &= \int{x^{4} dx} + \int{2x^{3} dx} + \int{2x dx} -\int{dx} \\
&= \dfrac{x^{5}}{5} + 2\left(\dfrac{x^{4}}{4}\right) + 2 \left(\dfrac{x^{2}}{2}\right) -x \\
&= \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x
\end{align*}

Omitimos todas las constantes para englobarlas en la constante $K = -k$. Sustituyendo este resultado obtenemos que

\begin{align*}
y \left( x^{2} + 1\right)^{2} + k &= \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x \\
y\left( x^{2} + 1\right)^{2} &= \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x + K \\
y(x) &= \dfrac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left( \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x + K \right)
\end{align*}

Por lo tanto, la solución general a la ecuación diferencial

$$\left( x^{2} +1 \right) \dfrac{dy}{dx} = x^{2} + 2x -1 -4xy$$

es

$$y(x) = \dfrac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left( \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x + K\right)$$

Donde $K$ es la constante que engloba a todas las contantes de integración que omitimos.

$\square$

Para concluir el análisis de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, presentaremos el teorema de existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones.

Teorema de existencia y unicidad

Ya presentamos el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden, podemos usar dicho resultado para justificar el teorema de existencia y unicidad para el caso de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Teorema: Consideremos la ecuación diferencial lineal

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Si $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo $\delta \subseteq \mathbb{R}$, entonces existe una única función $\gamma (x)$ tal que satisface el problema de valor inicial (PVI):

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x), \hspace{0.8cm} y(x_{0}) = y_{0}, \hspace{0.8cm} x_{0} \in \delta, \hspace{0.8cm} y_{0} \in Im(y).$$

Demostración: Consideremos la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Reescribiendo esta ecuación en la forma normal tenemos que

$$\dfrac{dy}{dx} = Q(x) -P(x) y$$

Definimos

$$f(x, y) = Q(x) -P(x) y$$

De manera que

$$\dfrac{dy}{dx} = f(x, y)$$

Debido a que en un intervalo de solución $\delta$ debe satisfacerse que $P(x)$ y $Q(x)$ sean continuas entonces tenemos garantizado que $f(x, y) = Q(x) -P(x) y$ es continua y por tanto $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ también lo es, con esto estamos cumpliendo las hipótesis del teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden que establecimos anteriormente, aplicando dicho teorema obtenemos que entonces existe algún intervalo $\delta_{0}: (x_{0} -h, x_{0} + h)$, $h > 0$, contenido en $\delta$, y una función única $\gamma (x)$, definida en $\delta_{0}$, que satisface la condición inicial $y(x_{0}) = y_{0}$.

$\square$

Apliquemos este resultado a la solución general. Consideremos la condición inicial $y(x_{0}) = y_{0}$ y la solución general a la ecuación (\ref{1})

\begin{align}
y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} + k\right) \label{4} \tag{4}
\end{align}

A la solución vamos a aplicarle la condición inicial:

\begin{align}
y_{0} = y(x_{0}) = \dfrac{1}{\mu (x_{0})} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx}\Bigg|_{x =x_{0}} + k\right) \label{5} \tag{5}
\end{align}

De este resultado se puede despejar $k$ obteniendo un único valor, digamos $k = k_{0}$, por lo tanto la función

\begin{align}
\gamma (x) = \dfrac{1}{\mu (x_{0})} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} + k_{0}\right) \label{6} \tag{6}
\end{align}

es solución al problema de valor inicial (PVI). Así para cada $x_{0} \in \delta_{0}$, encontrar una solución particular a la ecuación (\ref{4}) es exactamente lo mismo que encontrar un valor adecuado de $k$ en la ecuación (\ref{5}), es decir, a toda $x_{0} \in \delta_{0}$ le corresponde un distinto $k$.

Con esto damos por concluido el análisis de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, en la siguiente entrada comenzaremos con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden que no son lineales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Realizando los pasos del método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones.
  • $3\dfrac{y}{x} -8 + 3\dfrac{dy}{dx} = 0$
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0$
  • $\dfrac{dy}{dx} + cos(x) (y -1) = 0$
  1. Ya que conoces la solución general a la ecuación diferencial $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0$. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial y analiza cada situación considerando el teorema de existencia y unicidad.
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0, \hspace{1cm} y(0) = 0$
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0, \hspace{1cm} y(0) = y_{0}, \hspace{1cm} y_{0} > 0$
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0, \hspace{1cm} y(x_{0}) = y_{0}, \hspace{1cm} x_{0} > 0, \hspace{0.3cm} y_{0} > 0$

¿Que puedes concluir al respecto?.

Más adelante…

En esta entrada continuamos con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden lineales y presentamos el teorema de existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones. En la siguiente entrada continuaremos con el estudio de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden pero ahora estudiaremos las ecuaciones que no son lineales.

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Introducción

Después de haber estudiado ecuaciones diferenciales de primer orden, llegamos a la segunda unidad del curso donde analizaremos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Dada la dificultad para resolver este tipo de ecuaciones, nos enfocaremos únicamente en las ecuaciones lineales de segundo orden, es decir, de la forma $$a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=g(t).$$

En esta entrada comenzaremos con el caso de las ecuaciones homogéneas de segundo orden, es decir, cuando $g(t)$ es la función constante cero en un intervalo $(\alpha,\beta)$. Estudiaremos la teoría de las soluciones a este tipo de ecuaciones antes de analizar las distintas técnicas para resolverlas. Debido a que el conjunto de soluciones a este tipo de ecuaciones se comportan de buena manera, podremos encontrar la solución general a la ecuación si previamente conocemos dos soluciones particulares que cumplan una hipótesis que daremos a conocer en el intervalo $(\alpha,\beta)$. Definiremos el Wronskiano y la independencia lineal de dos soluciones a una ecuación diferencial, y probaremos distintos teoremas y propiedades de las soluciones con base en estos conceptos.

Comencemos!

Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, Teorema de existencia y unicidad y solución general

En este video damos una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden, y en particular, a las ecuaciones lineales de segundo orden. Enunciamos el Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de segundo orden, y comenzamos a desarrollar la teoría para encontrar la solución general a ecuaciones homogéneas.

Conjunto fundamental de soluciones y el Wronskiano

Continuamos con la teoría de las soluciones a ecuaciones homogéneas de segundo orden. Demostramos un par de teoremas que nos ayudan a encontrar la solución general a este tipo de ecuaciones. Además definimos al conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y el Wronskiano de dos funciones.

Independencia lineal de soluciones

En este último video definimos el concepto de independencia lineal de soluciones a la ecuación homogénea de segundo orden, y demostramos un teorema que nos da otra forma de encontrar un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación diferencial homogénea.

Tarea moral

  • Prueba que $y_{1}(t)=\sin{t}$ y $y_{2}(t)=\cos{t}$ son soluciones a la ecuación diferencial $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+y=0$. Posteriormente prueba que $y(t)=k_{1}\sin{t}+k_{2}\cos{t}$ también es solución a la ecuación, donde $k_{1}$, $k_{2}$ son constantes.
  • Prueba que $\{\sin{t},\cos{t}\}$ es un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación del ejercicio anterior. ¿En qué intervalo es el conjunto anterior un conjunto fundamental de soluciones?
  • Prueba que si $p(t)$, $q(t)$ son continuas en $(\alpha,\beta)$, $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ son soluciones a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$ en $(\alpha,\beta)$ y existe $t_{0}$ en dicho intervalo, donde $W[y_{1},y_{2}](t_{0})\neq 0$, entonces $\{y_{1}(t),y_{2}(t)\}$ forman un conjunto fundamental de soluciones en $(\alpha,\beta)$.
  • Prueba que si $p(t)$, $q(t)$ son continuas en $(\alpha,\beta)$, entonces existe un conjunto fundamental de soluciones $\{y_{1}(t),y_{2}(t)\}$ a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$ en el mismo intervalo. (Hint: Toma un punto en el intervalo $(\alpha,\beta)$ y dos problemas de condición inicial adecuados de tal forma que puedas utilizar el Teorema de existencia y unicidad y el Wronskiano para deducir el resultado).
  • Prueba que $y_{1}(t)=t|t|$, $y_{2}(t)=t^{2}$ son linealmente independientes en $[-1,1]$ pero linealmente dependientes en $[0,1]$. Verifica que el Wronskiano se anula en $\mathbb{R}$. ¿Pueden ser $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ soluciones a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$ en $(-1,1)$ si $p$ y $q$ son continuas en este intervalo?

Más adelante

.En la próxima entrada conoceremos el método de reducción de orden, donde supondremos que ya conocemos una solución particular $y_{1}(t)$ a la ecuación lineal homogénea de segundo orden, y con ayuda de esta hallaremos una segunda solución $y_{2}(t)$ tal que forma un conjunto fundamental de soluciones junto con $y_{1}$.

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