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Ecuaciones Diferenciales l: Ecuación de Bernoulli y ecuación de Riccati

Introducción

Para concluir con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales, en esta entrada presentaremos dos tipos de ecuaciones más, conocidas como la ecuación diferencial de Bernoulli y la ecuación diferencial de Riccati.

Al tratarse de la última entrada sobre el desarrollo de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, presentaremos un breve resumen sobre el tipo de ecuaciones que estudiamos y su respectivo método de resolución.

Ecuación diferencial de Bernoulli

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli en el siglo XVll.

Definición: La ecuación diferencial

\begin{align}
a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) y^{n} \label{1} \tag{1}
\end{align}

donde $n$ es cualquier número real, se llama ecuación de Bernoulli.

Si a la ecuación de Bernoulli la dividimos por la función $a_{1}(x) \neq 0$ obtenemos

$$\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{a_{0}(x)}{a_{1}(x)} y = \dfrac{g(x)}{a_{1}(x)} y^{n}$$

Definimos las siguientes funciones

$$P(x)=\dfrac{a_{0}(x)}{a_{1}(x)} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x)=\dfrac{g(x)}{a_{1}(x)}$$

Entonces una ecuación de Bernoulli se puede reescribir como

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n} \label{2} \tag{2}
\end{align}

La ecuación (\ref{2}) es también una definición común de ecuación de Bernoulli.

Puedes observar que si $n = 0$, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal no homogénea:

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Y si $n = 1$, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal homogénea:

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y &= Q(x) y \\
\dfrac{dy}{dx} + [P(x) -Q(x)] y &= 0 \\
\dfrac{dy}{dx} + R(x) y &= 0
\end{align*}

Donde definimos $R(x) = P(x) -Q(x)$, ambas ecuaciones ya las sabemos resolver.

Nuestro objetivo será resolver la ecuación de Bernoulli para el caso en el que $n \neq 0$ y $n \neq 1$. Una propiedad de las ecuaciones de Bernoulli es que la sustitución $u(x) = y^{1 -n}$ la convierte en una ecuación lineal y de esta manera podremos resolverla usando el método de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales. Para mostrar este hecho consideremos la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{2}).

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n}$$

Dividimos toda la ecuación por $y^{n}$.

\begin{align}
\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} + P(x) y^{1-n} = Q(x) \label{3} \tag{3}
\end{align}

Si definimos $u = y^{1-n}$, al derivar esta función obtenemos

$$\dfrac{du}{dx} = (1 -n) y^{-n} \dfrac{dy}{dx} = (1 -n) \dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$$

De donde

$$\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -n} \dfrac{du}{dx}$$

Sustituimos este resultado y $y^{1-n} = u$ en la ecuación (\ref{3}):

\begin{align}
\dfrac{1}{1-n} \dfrac{du}{dx} + P(x)u = Q(x) \label{4} \tag{4}
\end{align}

Multiplicamos por $1 -n$ en ambos lados de la ecuación

$$\dfrac{du}{dx} + (1 -n)P(x)u = (1 -n)Q(x)$$

Definimos $R(x) = (1 -n)P(x)$ y $S(x) = (1 -n)Q(x)$. En términos de estas funciones la ecuación (\ref{4}) se puede escribir de la siguiente forma:

\begin{align}
\dfrac{du}{dx} + R(x)u = S(x) \label{5} \tag{5}
\end{align}

Puedes notar que la ecuación (\ref{5}) corresponde a una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea.

En conclusión, una ecuación de Bernoulli (\ref{2}) bajo la sustitución $u(x) = y^{1 -n}(x)$ se vuelve una ecuación diferencial lineal en la forma (\ref{5}) y por tanto podemos aplicar el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales.

Los pasos que se recomiendan seguir para resolver una ecuación diferencial de Bernoulli se presentan a continuación.

Método para resolver ecuaciones de Bernoulli

  1. El primer paso es escribir a la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{2}).
  1. Dividimos toda la ecuación por $y^{n}$ y consideramos el cambio de variable $u = y^{1 -n}$ y la respectiva derivada $\dfrac{du}{dx} = (1 -n)\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$.
  1. Sustituimos $y^{1 -n} = u$ y $\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -n}\dfrac{du}{dx}$ en la ecuación resultante del paso anterior y haciendo un poco de álgebra podremos reducir la ecuación de Bernoulli en una ecuación lineal de primer orden no homogénea.
  1. Resolvemos la ecuación resultante usando el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales lo que nos permitirá obtener la función $u(x)$.
  1. Regresamos a la variable original.

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos estos pasos.

Ejemplo: Resolver la ecuación de Bernoulli $3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} = 2xy (y^{3} -1)$

Solución: El primer paso es escribir la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{2}):

\begin{align*}
3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} &= 2xy (y^{3} -1) \\
\dfrac{dy}{dx} & =\dfrac{2xy (y^{3} -1)}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2xy^{4}}{3(1 + x^{2})} -\dfrac{2xy}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) y &= \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) y^{4}
\end{align*}

La última relación muestra a la ecuación en la forma (\ref{2}) con $n = 4$, ahora dividamos toda la ecuación por $y^{4}$.

\begin{align}
\dfrac{1}{y^{4}} \dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1+x^{2})} \right) y^{-3} = \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \label{6} \tag{6}
\end{align}

Consideremos la sustitución $u=y^{1-n}=y^{1-4}=y^{-3}=\dfrac{1}{y^{3}}$ y $\dfrac{du}{dx} = -3 y^{-4} \dfrac{dy}{dx}$.

De donde

\begin{align*}
\dfrac{1}{y^{4}} \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{3} \dfrac{du}{dx} \hspace{1.5cm} y \hspace{1.5cm} y^{-3} = u
\end{align*}

Sustituimos estos resultados en la ecuación (\ref{6})

\begin{align*}
-\dfrac{1}{3} \dfrac{du}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) u &= \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{du}{dx} +\left( -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right) u &= -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \label{7} \tag{7}
\end{align*}

La última ecuación es una expresión en la forma (\ref{5}), con esto hemos logrado reducir la ecuación de Bernoulli en una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea. Establecemos las siguientes funciones

\begin{align*}
R(x) = -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} S(x) = -\dfrac{2x}{1 + x^{2}}
\end{align*}

A partir de aquí aplicamos el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Primero calculemos el factor integrante dado como $\mu (x) = e^{\int {R(x)dx}}$. Resolvamos la integral del exponente omitiendo la constante de integración

\begin{align*}
\int {R(x)dx} &= -\int \dfrac{2x}{1 + x^{2}} dx \\
&= -\ln|1 + x^{2}|
\end{align*}

Sustituyendo en el factor integrante

$$\mu (x) = e^{-\ln|1 + x^{2}|} = \dfrac{1}{1+x^{2}}$$

Por lo tanto el factor integrante es $\mu (x) = \dfrac{1}{1 + x^{2}}$. Multipliquemos a la ecuación (\ref{7}) por el factor integrante:

$$\dfrac{1}{1 + x^{2}} \dfrac{du}{dx} -\dfrac{1}{1 + x^{2}} \left( \dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right) u = -\dfrac{1}{1 + x^{2}} \left( \dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right)$$

Identificamos que el lado izquierdo de la ecuación es la derivada del producto del factor integrante por la función $u(x)$, de esta manera

$$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{u}{1 + x^{2}} \right) = -\dfrac{2x}{(1 + x^{2})^{2}}$$

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$. Por tratarse del último paso ahora sí consideramos a la constante de integración

$$\int \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{u}{1 + x^{2}} \right) dx = -\int \dfrac{2x}{(1 + x^{2})^{2}} dx$$

En el lado izquierdo aplicamos el teorema fundamental del cálculo y en el lado derecho consideramos la sustitución $a(x) = 1 + x^{2}$ para resolver la integral, el resultado obtenido es

\begin{align*}
\dfrac{u}{1 + x^{2}} &= \dfrac{1}{1 + x^{2}} + c \\
u &= 1 + (1 + x^{2}) c \\
u &= 1 + c + x^{2}c
\end{align*}

Regresamos a la variable original $u = \dfrac{1}{y^{3}}$

\begin{align*}
\dfrac{1}{y^{3}} &= 1 + c + x^{2}c \\
y^{3} &= \dfrac{1}{cx^{2} + c + 1}
\end{align*}

La ultima ecuación corresponde a la forma implícita de la solución, para obtener la solución explícita sacamos la raíz cúbica obteniendo finalmente

$$y=\sqrt[3]{cx^{2} + c + 1}$$

Por lo tanto, la solución general a la ecuación diferencial de Bernoulli

$$3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} = 2xy (y^{3} -1)$$

es

$$y(x) = \sqrt[3]{cx^{2} + c + 1}$$

$\square$

Ahora revisemos la ecuación de Riccati.

Ecuación diferencial de Riccati

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinara no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVlll por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati.

Definición: La ecuación diferencial

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2} \label{8} \tag{8}
\end{align}

se llama ecuación de Riccati.

Resolver la ecuación de Ricatti requiere del conocimiento previo de una solución particular de la ecuación, llamemos a dicha solución $y_{1}(x)$. Si hacemos la sustitución

\begin{align}
y(x) = y_{1}(x) + u(x) \label{9} \tag{9}
\end{align}

La ecuación de Riccati adquiere la forma de una ecuación de Bernoulli, de tarea moral verifica este hecho. Ya vimos que para resolver una ecuación de Bernoulli debemos reducirla a una ecuación lineal no homogénea así que veamos directamente cómo reducir una ecuación de Riccati a una ecuación lineal no homogénea.

Sea $y_{1}(x)$ una solución particular de la ecuación de Riccati y consideremos la sustitución

\begin{align}
y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)} \label{10} \tag{10}
\end{align}

Derivando esta ecuación obtenemos

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy_{1}}{dx} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \label{11} \tag{11}
\end{align}

Como $y_{1}(x)$ es una solución a la ecuación de Riccati entonces se cumple que

\begin{align}
\dfrac{dy_{1}}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} \label{12} \tag{12}
\end{align}

Sustituyendo (\ref{12}) en (\ref{11}) obtenemos la siguiente ecuación:

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \label{13} \tag{13}
\end{align}

Ahora podemos igualar la ecuación (\ref{13}) con la ecuación de Riccati (\ref{8})

\begin{align*}
q_{1}(x) + q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2} &= q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2} &= q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{2}(x) y_{1} -q_{2}(x) y + q_{3}(x)y^{2}_{1} -q_{3}(x) y^{2} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{2}(x)(y_{1} -y) + q_{3}(x)(y^{2}_{1} -y^{2})
\end{align*}

En la última ecuación sustituimos la función (\ref{10}):

\begin{align*}
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{2}(x) \left[ y_{1} -\left( y_{1} + \dfrac{1}{u} \right) \right] + q_{3}(x) \left [ y^{2}_{1} -\left( y_{1} + \dfrac{1}{u} \right) ^{2} \right ] \\
&= q_{2}(x) \left( y_{1} -y_{1} -\dfrac{1}{u} \right) + q_{3}(x) \left( y^{2}_{1} -y^{2}_{1} -2 y_{1} \dfrac{1}{u} -\dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= q_{2}(x) \left( -\dfrac{1}{u} \right ) + q_{3}(x) \left( -2\dfrac{y_{1}}{u} -\dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= -\dfrac{q_{2}(x)}{u} -2 q_{3}(x) \dfrac{y_{1}}{u} -\dfrac{q_{3}(x)}{u^{2}}
\end{align*}

Esto es

$$\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} = -\dfrac{q_{2}(x)}{u} -2 q_{3}(x) \dfrac{y_{1}}{u} -\dfrac{q_{3}(x)}{u^{2}}$$

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $u^{2}$

\begin{align*}
\dfrac{du}{dx} &= -q_{2}(x)u -2q_{3}(x) y_{1}u -q_{3}(x) \\
\dfrac{du}{dx} &= -\left( q_{2}(x) + 2q_{3}(x) y_{1} \right) u -q_{3}(x) \\
\dfrac{du}{dx} + \left( q_{2}(x) + 2q_{3}(x) y_{1} \right) u &= -q_{3}(x)
\end{align*}

Definimos las funciones $R(x) = q_{2}(x) + 2q_{3}(x) y_{1}$ y $S(x) = -q_{3}(x)$ de manera que la última ecuación queda como

\begin{align}
\dfrac{du}{dx} + R(x) u = S(x) \label{14} \tag{14}
\end{align}

De esta manera queda demostrado que la sustitución

$$y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$$

Convierte a la ecuación de Riccati en una ecuación diferencial lineal y por tanto puede ser resuelta con el método de resolución de ecuaciones lineales.

Como es usual, desarrollemos una serie de pasos a seguir para resolver las ecuaciones de Riccati.

Método para resolver ecuaciones de Riccati

Con el fin de evitar memorizar los resultados anteriores se recomienda seguir la siguiente serie de pasos para resolver una ecuación diferencial de Riccati.

  1. El primer paso es escribir a la ecuación de Riccati en la forma (\ref{8}) y estar seguros de que conocemos previamente una solución particular $y_{1}(x)$ de la ecuación.
  1. Como queremos reducir la ecuación de Riccati en una ecuación lineal no homogénea consideramos la sustitución $y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$, con $y_{1}(x)$ la solución particular dada.
  1. Debido a que $y_{1}(x)$ es solución a la ecuación de Riccati, el siguiente paso es derivar la sustitución $y = y_{1} + \dfrac{1}{u}$ y en el resultado sustituir $\dfrac{dy_{1}}{dx}$ por la ecuación de Riccati para la solución particular, esto es

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy_{1}}{dx} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx}$$

  1. Igualamos la ecuación anterior con la ecuación de Riccati original en la forma (\ref{8}) y hacemos la sustitución $y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$.
  1. Hecho lo anterior y haciendo un poco de álgebra podremos reducir la ecuación de Riccati en una ecuación lineal de primer orden y así aplicar el método de resolución para este tipo de ecuaciones.
  1. Una vez obtenida la función $u(x)$ la sustituimos en $y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$ para así finalmente obtener la solución $y(x)$.

Realicemos un ejemplo para poner en practica este método.

Ejemplo: Resolver la ecuación de Riccati $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2}$ considerando la solución particular $y_{1} = \dfrac{2}{x}$.

Solución: Vemos que la ecuación diferencial que queremos resolver ya prácticamente tiene la forma de la ecuación (\ref{8}), pero para que sea mas claro consideremos la siguiente forma:

$$\dfrac{dy}{dx} = \left( -\dfrac{4}{x^{2}} \right) + \left( -\dfrac{1}{x} \right) y + y^{2}$$

El problema ya nos da la solución particular $y_{1}(x) = \dfrac{2}{x}$ (verifica que, en efecto, es una solución a la ecuación de Riccati). El segundo paso es hacer la sustitución $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$. Por la ecuación (\ref{13}) tenemos

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{1}{x} \left( \dfrac{2}{x} \right) + \left( \dfrac{2}{x} \right)^{2} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx}$$

Igualando el resultado anterior con la ecuación de Riccati tenemos

\begin{align*}
-\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2} &= -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{1}{y^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
-\dfrac{y}{x} + y^{2} &= \dfrac{2}{x^{2}} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{y}{x} -y^{2}
\end{align*}

En la última ecuación sustituimos $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$

\begin{align*}
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{1}{x} \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u} \right) -\left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u} \right)^{2} \\
&= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{1}{xu} -\left( \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{4}{xu} + \dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{1}{xu} -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{4}{xu} -\dfrac{1}{u^{2}} \\
&= -\dfrac{3}{xu} -\dfrac{1}{u^{2}} \\
\end{align*}

De donde

$$\dfrac{du}{dx} + \dfrac{3}{x}u = -1$$

Esta expresión tiene la forma de una ecuación diferencial lineal (\ref{14}), de donde podemos determinar que

$$R(x) = \dfrac{3}{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} S(x) = -1$$

Ya que hemos reducido la ecuación de Riccati en una ecuación lineal no homogénea a partir de aquí usamos el método de resolución de ecuaciones lineales.

Calculemos el factor integrante $\mu(x) = e^{\int R(x)dx}$.

\begin{align*}
\int {R(x)dx} = \int {\dfrac{3}{x}dx} = 3\ln| x |
\end{align*}

Entonces, el factor integrante es

$\mu (x) = e^{3 \ln|x|} = x^{3}$

Multiplicamos la ecuación lineal por el factor integrante

\begin{align*}
x^{3} \dfrac{du}{dx} + x^{3} \left( \dfrac{3}{x} \right ) u &= -x^{3} \\
x^{3} \dfrac{du}{dx} + 3x^{2}u &= -x^{3}
\end{align*}

Identificamos el lado izquierdo de la ecuación como la derivada del producto del factor integrante $\mu (x)$ por la función $u(x)$, esto es

$$\dfrac{d}{dx} \left( x^{3}u \right) = -x^{3}$$

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$

\begin{align*}
\int {\dfrac{d}{dx} \left( x^{3}u \right) dx} &= \int {-x^{3}dx} \\
x^{3}u &= -\dfrac{x^{4}}{4} + c \\
u &= -\dfrac{x}{4} + \dfrac{c}{x^{3}}
\end{align*}

Ya determinamos el valor de $u(x)$ ahora sólo lo sustituimos en la función $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$

Por lo tanto, la solución general a la ecuación de Bernoulli

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2}$$

es

$$y(x) = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{\dfrac{c}{x^{3}} -\dfrac{x}{4}}$$

$\square$

Hemos concluido con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Para concluir con esta entrada presentaremos un breve resumen sobre los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales que estudiamos y su método de resolución correspondiente.

Resumen de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden

  1. Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

Condiciones de linealidad:

  • La variable dependiente $y$ y todas sus derivadas son de primer grado.
  • Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente $x$ y/o de constantes.

Si $Q(x) = 0$ la ecuación es homogénea y su solución es

$$y(x) = ke^{-\int{P(x)}dx}$$

Si $Q(x) \neq 0$ la ecuación es no homogénea y su solución es

$$y(x) = e^{-\int P(x)dx} \left( \int{e^{\int P(x) dx} Q(x) dx} + k \right)$$

Método del factor integrante: Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$

Método de variación de parámetros: La solución tiene la forma $y(x) = k(x) e^{-\int{P(x)} dx}$ con $k(x) = \int{e^{\int{P(x)} dx} Q(x)}$

Por lo tanto, una lineal puede resolverse: a) Aplicando directamente la formula general; b) por medio de un factor integrante, y c) usando variación de parámetros.

  1. Ecuaciones diferenciales de variables separables

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g(x)}{f(x)}$$

Método de solución: integración directa.

  1. Ecuaciones diferenciales homogéneas

$$M(x, y) + N(x, y) \dfrac{dy}{dx} = 0$$

Es homogénea si

\begin{align*}
M(tx, ty) = t^{n}M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(tx, ty) = t^{n}N(x, y)
\end{align*}

Método de solución: Cambio de variable $y = ux$ y $\dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx}$ para reducirla a una ecuación de variables separables.

  1. Ecuaciones diferenciales exactas

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

Se verifica que es exacta usando del criterio de diferencial exacta.

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

Si lo es, definimos

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)
\end{align*}

Método de solución:

  • Tomar $\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y)$ o $\dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)$.
  • Integrar en $x$ o integrar en $y$.
  • Derivar con respecto a $y$ o con respecto a $x$.
  • Igualar el resultado a $N(x, y)$ o igualar a $M(x, y)$.
  • Integrar.
  1. Factores integrantes

$\mu (x, y)$ es factor integrante si $\mu (x, y) M(x, y) dx + \mu (x, y) N(x, y) dy = 0$ es exacta.

Si el factor integrante es función de $x$:

$$\mu (x) = exp \left[ \int{ \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx} \right]$$

Si el factor integrante es función de $y$:

$$\mu (y) = exp \left[ \int{ \dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) dx} \right]$$

Método de solución: Se multiplica la ecuación diferencial por el factor integrante y se resuelve por exactas o por variables separables según el caso.

  1. Ecuación diferencial de Bernoulli

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n}$$

Método de solución: Para $n \neq 0$ y $n \neq 1$ hacemos el cambio de variable $u = y^{1 -n}$ y $\dfrac{du}{dx} = (1 -n)\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$ para reducirla a una ecuación lineal

  1. Ecuación diferencial de Riccati

$$\dfrac{dy}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2}$$

Método de solución: Conocida una solución particular $y_{1}$ se hace la sustitución $y = y_{1} + u$ para reducir la ecuación a una ecuación de Bernoulli o la sustitución $y = y_{1} + \dfrac{1}{u}$ para reducirla directamente a una ecuación lineal no homogénea.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Resuelve las siguientes ecuaciones de Bernoulli.
  • $\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{x}y = \dfrac{2}{3}x^{4}y^{4}$
  • $3x \dfrac{dy}{dx} -2y = x^{3}y^{-2}$
  • $x^{2} \dfrac{dy}{dx} -2xy = 3y^{4} \hspace{0.8cm}$ con la condición inicial $\hspace{0.5cm} y(1) = \dfrac{1}{2}$
  1. Resuelve las siguientes ecuaciones de Riccati.
  • $x^{3} \dfrac{dy}{dx} = x^{4}y^{2} -2x^{2}y -1 \hspace{0.8cm}$ con solución particular $\hspace{0.5cm} y_{1} = \dfrac{1}{x^{2}}$
  • $\dfrac{dy}{dx} = xy^{2} + y + \dfrac{1}{x^{2}} \hspace{0.8cm}$ con solución particular $\hspace{0.5cm} y_{1} = -\dfrac{1}{x}$
  1. Demuestra que la sustitución

$$y(x) = y_{1}(x) + u(x)$$

convierte a una ecuación de Riccati en una ecuación de Bernoulli.

Más adelante…

Con esta entrada concluimos el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, a lo largo de la unidad vimos una descripción cualitativa y posteriormente una descripción analítica en la que desarrollamos varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales tanto lineales como no lineales. Lo natural es continuar con el estudio de las ecuaciones diferenciales de segundo orden pero antes es importante hacer un estudio con mayor detalle sobre el teorema de existencia y unicidad con el cual justificaremos toda la teoría desarrollada a lo largo de la unidad.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de reducción de orden

Introducción

En la entrada anterior estudiamos las propiedades más importantes que cumple el conjunto de soluciones a una ecuación lineal homogénea de segundo orden $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$. Si encontramos dos soluciones $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ tales que formen un conjunto fundamental en un mismo intervalo $I$, entonces $y(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)$ será la solución general a la ecuación diferencial en $I$.

En esta entrada vamos a suponer que conocemos una solución $y_{1}(t)$ a la ecuación, y desarrollaremos un método, conocido como reducción de orden, que nos permitirá encontrar una segunda solución $y_{2}(t)$ de tal manera que $\{y_{1}(t), y_{2}(t)\}$ formen un conjunto fundamental de soluciones.

Reducción de orden

En el video desarrollamos de manera general el método de reducción de orden, dada una solución $y_{1}(t)$, y suponiendo que la solución general es de la forma $u(t)y_{1}(t)$ para cierta función $u$, y posteriormente aplicamos este método para resolver un ejemplo en particular.

Tarea moral

  • Prueba que si $y_{1}(t)$ es solución a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$ entonces $$y_{1} \int \frac{1}{y_{1}^{2}} e^{-\int p(t) \, dt} \, dt $$ también es solución a la ecuación.
  • Prueba que $$\{y_{1}, y_{1} \int \frac{1}{y_{1}^{2}} e^{-\int p(t) \, dt} \, dt \}$$ es un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$.
  • Encuentra la solución general a la ecuación diferencial $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+2\frac{dy}{dt}+y=0$ por el método de reducción de orden, si $y_{1}(t)=e^{-t}$ es una solución a la ecuación.
  • Encuentra la solución general a la ecuación diferencial $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+16y=0$ por el método de reducción de orden, si $y_{1}(t)=\cos{4t}$ es una solución a la ecuación.

Más adelante

En la próxima entrada continuaremos estudiando ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, en particular, estudiaremos el caso cuando las funciones $a_{i}(t)$, $i \in \{0,1,2\}$ en la ecuación $a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$ son todas constantes. A este tipo de ecuaciones les llamamos ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

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Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y el teorema de existencia y unicidad

Introducción

En la entrada anterior estudiamos las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Recapitulando, el tipo de ecuaciones que queremos resolver es

\begin{equation}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \tag{1} \label{1}
\end{equation}

Vimos que la solución general $y(x)$ es la suma de la solución homogénea y la solución particular:

$$y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x)$$

La solución homogénea está dada como:

$$y_{h}(x) = k e^{- \int P(x) dx} = \dfrac{k}{\mu (x)}$$

mientras que la solución particular tiene la forma:

$$y_{p}(x) = e^{- \int{P(x) dx}} \left( \int{e^{\int{P(x) dx}} Q(x) dx} \right) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} \right)$$

Donde $\mu (x)$ es el factor integrante, $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$

Así, la solución general a la ecuación diferencial (\ref{1}) es:

\begin{equation}
y(x) = k e^{-\int{P(x) dx}} + e^{-\int{P(x) dx}} \left(\int{e^{\int{P(x) dx}}Q(x) dx}\right) \tag{2} \label{2}
\end{equation}

O de forma más compacta

\begin{equation}
y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} + k \right) \tag{3} \label{3}
\end{equation}

Con $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$.

En la entrada anterior mencionamos que hay dos métodos distintos para la obtención de la solución particular, ya presentamos el método por factor integrante, en este entrada vamos a desarrollar el método conocido como variación de parámetros.

Método de variación de parámetros

En la entrada anterior vimos que la solución a la ecuación homogénea

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = 0$$

es $y_{h}(x) = k e^{- \int P(x) dx}$. Vamos a suponer que para la ecuación

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

la solución particular es $y_{p}(x) = k(x) e^{- \int P(x) dx}$, en este caso $k$ es una función de $x$. Vamos a buscar la expresión explícita de $k(x)$, para ello vamos a sustituir $y_{p}$ en la ecuación diferencial.

\begin{align*}
\dfrac{dy_{p}}{dx} + P(x) y_{p} &= \dfrac{d}{dx} \left(k e^{- \int P(x) dx} \right) + P(x) k e^{- \int P(x) dx} \\
&= \left[k \dfrac{d}{dx} \left( e^{- \int P(x) dx} \right) + \dfrac{dk}{dx} e^{- \int P(x) dx}\right] + P(x) k e^{- \int P(x) dx} \\
&= – k P(x) e^{- \int P(x) dx} + \dfrac{dk}{dx} e^{- \int P(x) dx} + k P(x) e^{- \int P(x) dx} \\
&= \dfrac{dk}{dx} e^{- \int P(x) dx} \\
&= Q(x)
\end{align*}

De la última igualdad obtenemos que

$$\dfrac{dk}{dx} = e^{\int P(x) dx} Q(x)$$

Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a $x$ tenemos

\begin{align*}
\int{\left( \dfrac{dk}{dx} \right) dx} &= \int{ \left( e^{\int P(x) dx} Q(x) \right) dx} \\
k(x) + c &= \int{ \left( e^{\int P(x) dx} Q(x) \right) dx} \\
k(x) &= \int{ e^{\int P(x) dx} Q(x) dx}
\end{align*}

Donde consideramos que $c = 0$. Sustituyendo el valor de $k(x)$ en la solución particular $y_{p} = k(x) e^{- \int P(x) dx}$ obtenemos finalmente que

$$y_{p}(x) = e^{- \int P(x) dx} \left( \int{e^{\int P(x) dx} Q(x) dx} \right)$$

Si sustituimos el factor integrante $\mu (x) = e^{\int P(x) dx}$ el resultado queda como

$$y_{p} = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} \right)$$

De esta manera recuperamos el mismo resultado que usando el método del factor integrante visto en la entrada anterior.

Algunas consideraciones

En esta sección queremos aclarar algunos puntos importantes sobre la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales.

Al inicio de la entrada anterior vimos que la solución completa (o solución general) a la ecuación diferencial lineal $\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ es la suma de la solución homogénea $y_{h}(x)$ mas la solución particular $y_{p}(x)$, es importante reconocer este hecho ya que en muchas ocasiones la ecuación homogénea y por tanto la solución homogénea serán muy relevantes si estamos estudiando un fenómeno real, sin embargo, cuando nuestro objetivo es obtener la solución completa no es necesario obtener ambas soluciones por separado para después sumarlas, sino que podemos directamente intentar obtener la solución general. Obtener directamente la solución general está relacionado con la omisión de constantes de integración que hemos hecho, así que es momento de explicar qué está ocurriendo con estas constantes.

Te invito a que desarrolles de nuevo el método de factor integrante y de variación de parámetros pero ahora manteniendo a las constantes de integración, los cálculos serán un poco más extensos pero al final notarás que todas las constantes que resulten se pueden agrupar en una sola constante $C$, es así que en ambos métodos llegarás al siguiente resultado:

$$y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} + C \right)$$

Donde $C$ es la constante resultante de juntar todas las contantes de integración que pudieran aparecer y $\mu$ es el factor integrante. Puedes notar que esta es la forma de la solución general que hemos obtenido anteriormente, es decir, si en ambos métodos mantenemos a las contantes de integración podemos obtener la solución general. Lo que nosotros hicimos anteriormente fue que la constante $k$ de la ecuación (\ref{3}) la asociábamos a la solución homogénea $y_{h}(x) = k e^{- \int P(x) dx}$ de manera que al sumar ambas soluciones ya obteníamos la solución general pero en realidad también se puede obtener de ambos métodos manteniendo a las constantes. Decidimos hacerlo así porque es importante el papel que pueden tomar por separado las soluciones homogénea y particular en algunas situaciones, además de que omitir las constantes evitó hacer cálculos extensos en ambos métodos.

Finalmente, como ya mencionamos antes, no se recomienda intentar resolver este tipo de ecuaciones usando las formulas obtenidas para las soluciones sino aplicar cada paso de cualquiera de los métodos desarrollados, sin embargo, a continuación presentamos una serie de pasos que se recomiendan seguir para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Método para resolver ecuaciones lineales

Si bien es cierto que ya conocemos las formulas explícitas de las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales es conveniente seguir una serie de pasos para resolver este tipo de ecuaciones en lugar de sólo sustituir en las formulas y así evitar memorizarlas. Dichos pasos se describen a continuación.

  1. Escribir la ecuación lineal en la forma canónica

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

  1. Calcular el factor integrante $\mu (x)$ mediante la formula $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$.
  2. Multiplicar a la ecuación diferencial en su forma canónica por el factor integrante en ambos lados de la ecuación.

$$\mu (x) \dfrac{dy}{dx} + \mu (x) P(x) y = \mu (x) Q(x)$$

  1. Identificar que el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de $\mu(x)$ por $y(x)$ y sustituir.

$$\dfrac{d}{dx} (\mu y) = \mu (x) Q(x)$$

  1. Integrar la última ecuación y dividir por $\mu (x)$ para obtener finalmente la solución general $y(x)$. En la última integración debemos considerar a la constante de integración.

Esta serie de pasos nos permiten obtener directamente la solución general de la ecuación diferencial lineal es por ello que en el último paso sí debemos considerar a la constante de integración, dicha constante representa el resultado de juntar todas las contantes que podremos omitir en pasos intermedios.

Anteriormente resolvimos algunas ecuaciones diferenciales en las que usando las formulas de las soluciones sólo sustituíamos las funciones correspondientes y sumábamos ambos resultados para obtener la solución general, veamos ahora un ejemplo en el que vamos a aplicar estos pasos para resolver la ecuación.

Ejemplo: Determinar la solución general de la ecuación diferencial

$$\left( x^{2} +1 \right) \dfrac{dy}{dx} = x^{2} + 2x -1 -4xy$$

Solución: Para resolver la ecuación diferencial vamos a seguir los pasos establecidos anteriormente. El primer paso será escribir a la ecuación en la forma canónica $\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$:

\begin{align*}
\left( x^{2} +1 \right) \dfrac{dy}{dx} &= x^{2} + 2x -1 -4xy \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{x^{2} + 2x -1 -4xy}{x^{2} +1} \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1} -\left(\dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) y\\
\dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) y &= \dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1}
\end{align*}

En la última relación ya podemos determinar que $P(x) = \dfrac{4x}{x^{2} +1}$ y $Q(x) = \dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1}$.

El segundo paso es determinar el factor integrante de acuerdo a la formula $\mu (x) = \large e^{\int{P(x) dx}}$

\begin{align*}
\mu (x) = e^{\int{P(x) xd}} = e^{\int{\left( \dfrac{4x}{x^{2} +1}\right) dx}}
\end{align*}

Vamos a resolver la integral

\begin{align*}
\int{\dfrac{4x}{x^{2} +1} dx} &= 4 \int{\dfrac{x}{x^{2} +1} dx} \\
&= \dfrac{4}{2} \ln{\left( x^{2} + 1 \right)} \\
&= 2 \ln{\left(x^{2} + 1\right)} \\
&= \ln{\left( x^{2} + 1\right)^{2}}
\end{align*}

Como se trata de un paso intermedio podemos omitir a la constante de integración. Sustituyendo en el factor integrante:

\begin{align*}
\mu (x) = e^{\ln{\left( x^{2} + 1\right)^{2}}} = \left( x^{2} + 1\right)^{2}
\end{align*}

Por lo tanto el factor integrante es: $\mu (x) = \left( x^{2} + 1\right)^{2}$

El tercer paso es multiplicar la ecuación diferencial en su forma canónica por el factor integrante:

\begin{align*}
\left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + \left( x^{2} + 1\right)^{2} \left( \dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) y &= \left( x^{2} + 1\right)^{2} \left(\dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1}\right) \\
\left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + 4x \left( x^{2} + 1\right) y &= \left( x^{2} + 1\right) \left(x^{2} + 2x -1\right) \\
\left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + 4x \left( x^{2} + 1\right) y &= x^{4} + 2x^{3} +2x -1
\end{align*}

El cuarto paso es identificar que

$$\dfrac{d}{dx}(\mu (x) y(x)) = \dfrac{d}{dx}\left( y \left( x^{2} + 1\right)^{2}\right) = \left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + 4x \left( x^{2} + 1\right) y$$

Así que ahora podemos escribir:

$$\dfrac{d}{dx}\left( y \left( x^{2} + 1\right)^{2}\right) = x^{4} + 2x^{3} +2x -1$$

El quinto y último paso es integrar esta relación por ambos lados con respecto a $x$, en esta última integración sí debemos considerar a la constante de integración.

\begin{align*}
\int{\dfrac{d}{dx}\left( y \left( x^{2} + 1\right)^{2}\right) dx} &= \int{\left( x^{4} + 2x^{3} +2x -1\right)}dx \\
y \left( x^{2} + 1\right)^{2} + k &= \int{\left( x^{4} + 2x^{3} +2x -1\right)} dx
\end{align*}

Resolvamos la integral.

\begin{align*}
\int{\left( x^{4} + 2x^{3} +2x -1\right)} dx &= \int{x^{4} dx} + \int{2x^{3} dx} + \int{2x dx} -\int{dx} \\
&= \dfrac{x^{5}}{5} + 2\left(\dfrac{x^{4}}{4}\right) + 2 \left(\dfrac{x^{2}}{2}\right) -x \\
&= \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x
\end{align*}

Omitimos todas las constantes para englobarlas en la constante $K = -k$. Sustituyendo este resultado obtenemos que

\begin{align*}
y \left( x^{2} + 1\right)^{2} + k &= \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x \\
y\left( x^{2} + 1\right)^{2} &= \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x + K \\
y(x) &= \dfrac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left( \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x + K \right)
\end{align*}

Por lo tanto, la solución general a la ecuación diferencial

$$\left( x^{2} +1 \right) \dfrac{dy}{dx} = x^{2} + 2x -1 -4xy$$

es

$$y(x) = \dfrac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left( \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x + K\right)$$

Donde $K$ es la constante que engloba a todas las contantes de integración que omitimos.

$\square$

Para concluir el análisis de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, presentaremos el teorema de existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones.

Teorema de existencia y unicidad

Ya presentamos el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden, podemos usar dicho resultado para justificar el teorema de existencia y unicidad para el caso de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Teorema: Consideremos la ecuación diferencial lineal

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Si $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo $\delta \subseteq \mathbb{R}$, entonces existe una única función $\gamma (x)$ tal que satisface el problema de valor inicial (PVI):

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x), \hspace{0.8cm} y(x_{0}) = y_{0}, \hspace{0.8cm} x_{0} \in \delta, \hspace{0.8cm} y_{0} \in Im(y).$$

Demostración: Consideremos la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Reescribiendo esta ecuación en la forma normal tenemos que

$$\dfrac{dy}{dx} = Q(x) -P(x) y$$

Definimos

$$f(x, y) = Q(x) -P(x) y$$

De manera que

$$\dfrac{dy}{dx} = f(x, y)$$

Debido a que en un intervalo de solución $\delta$ debe satisfacerse que $P(x)$ y $Q(x)$ sean continuas entonces tenemos garantizado que $f(x, y) = Q(x) -P(x) y$ es continua y por tanto $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ también lo es, con esto estamos cumpliendo las hipótesis del teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden que establecimos anteriormente, aplicando dicho teorema obtenemos que entonces existe algún intervalo $\delta_{0}: (x_{0} -h, x_{0} + h)$, $h > 0$, contenido en $\delta$, y una función única $\gamma (x)$, definida en $\delta_{0}$, que satisface la condición inicial $y(x_{0}) = y_{0}$.

$\square$

Apliquemos este resultado a la solución general. Consideremos la condición inicial $y(x_{0}) = y_{0}$ y la solución general a la ecuación (\ref{1})

\begin{align}
y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} + k\right) \label{4} \tag{4}
\end{align}

A la solución vamos a aplicarle la condición inicial:

\begin{align}
y_{0} = y(x_{0}) = \dfrac{1}{\mu (x_{0})} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx}\Bigg|_{x =x_{0}} + k\right) \label{5} \tag{5}
\end{align}

De este resultado se puede despejar $k$ obteniendo un único valor, digamos $k = k_{0}$, por lo tanto la función

\begin{align}
\gamma (x) = \dfrac{1}{\mu (x_{0})} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} + k_{0}\right) \label{6} \tag{6}
\end{align}

es solución al problema de valor inicial (PVI). Así para cada $x_{0} \in \delta_{0}$, encontrar una solución particular a la ecuación (\ref{4}) es exactamente lo mismo que encontrar un valor adecuado de $k$ en la ecuación (\ref{5}), es decir, a toda $x_{0} \in \delta_{0}$ le corresponde un distinto $k$.

Con esto damos por concluido el análisis de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, en la siguiente entrada comenzaremos con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden que no son lineales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Realizando los pasos del método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones.
  • $3\dfrac{y}{x} -8 + 3\dfrac{dy}{dx} = 0$
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0$
  • $\dfrac{dy}{dx} + cos(x) (y -1) = 0$
  1. Ya que conoces la solución general a la ecuación diferencial $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0$. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial y analiza cada situación considerando el teorema de existencia y unicidad.
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0, \hspace{1cm} y(0) = 0$
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0, \hspace{1cm} y(0) = y_{0}, \hspace{1cm} y_{0} > 0$
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0, \hspace{1cm} y(x_{0}) = y_{0}, \hspace{1cm} x_{0} > 0, \hspace{0.3cm} y_{0} > 0$

¿Que puedes concluir al respecto?.

Más adelante…

En esta entrada continuamos con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden lineales y presentamos el teorema de existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones. En la siguiente entrada continuaremos con el estudio de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden pero ahora estudiaremos las ecuaciones que no son lineales.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Propiedades del conjunto de soluciones

Introducción

Después de haber estudiado ecuaciones diferenciales de primer orden, llegamos a la segunda unidad del curso donde analizaremos ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Dada la dificultad para resolver este tipo de ecuaciones, nos enfocaremos únicamente en las ecuaciones lineales de segundo orden, es decir, de la forma $$a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=g(t).$$

En esta entrada comenzaremos con el caso de las ecuaciones homogéneas de segundo orden, es decir, cuando $g(t)$ es la función constante cero en un intervalo $(\alpha,\beta)$. Estudiaremos la teoría de las soluciones a este tipo de ecuaciones antes de analizar las distintas técnicas para resolverlas. Debido a que el conjunto de soluciones a este tipo de ecuaciones se comportan de buena manera, podremos encontrar la solución general a la ecuación si previamente conocemos dos soluciones particulares que cumplan una hipótesis que daremos a conocer en el intervalo $(\alpha,\beta)$. Definiremos el Wronskiano y la independencia lineal de dos soluciones a una ecuación diferencial, y probaremos distintos teoremas y propiedades de las soluciones con base en estos conceptos.

Comencemos!

Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, Teorema de existencia y unicidad y solución general

En este video damos una introducción a las ecuaciones diferenciales de segundo orden, y en particular, a las ecuaciones lineales de segundo orden. Enunciamos el Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de segundo orden, y comenzamos a desarrollar la teoría para encontrar la solución general a ecuaciones homogéneas.

Conjunto fundamental de soluciones y el Wronskiano

Continuamos con la teoría de las soluciones a ecuaciones homogéneas de segundo orden. Demostramos un par de teoremas que nos ayudan a encontrar la solución general a este tipo de ecuaciones. Además definimos al conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y el Wronskiano de dos funciones.

Independencia lineal de soluciones

En este último video definimos el concepto de independencia lineal de soluciones a la ecuación homogénea de segundo orden, y demostramos un teorema que nos da otra forma de encontrar un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación diferencial homogénea.

Tarea moral

  • Prueba que $y_{1}(t)=\sin{t}$ y $y_{2}(t)=\cos{t}$ son soluciones a la ecuación diferencial $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+y=0$. Posteriormente prueba que $y(t)=k_{1}\sin{t}+k_{2}\cos{t}$ también es solución a la ecuación, donde $k_{1}$, $k_{2}$ son constantes.
  • Prueba que $\{\sin{t},\cos{t}\}$ es un conjunto fundamental de soluciones a la ecuación del ejercicio anterior. ¿En qué intervalo es el conjunto anterior un conjunto fundamental de soluciones?
  • Prueba que si $p(t)$, $q(t)$ son continuas en $(\alpha,\beta)$, $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ son soluciones a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$ en $(\alpha,\beta)$ y existe $t_{0}$ en dicho intervalo, donde $W[y_{1},y_{2}](t_{0})\neq 0$, entonces $\{y_{1}(t),y_{2}(t)\}$ forman un conjunto fundamental de soluciones en $(\alpha,\beta)$.
  • Prueba que si $p(t)$, $q(t)$ son continuas en $(\alpha,\beta)$, entonces existe un conjunto fundamental de soluciones $\{y_{1}(t),y_{2}(t)\}$ a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$ en el mismo intervalo. (Hint: Toma un punto en el intervalo $(\alpha,\beta)$ y dos problemas de condición inicial adecuados de tal forma que puedas utilizar el Teorema de existencia y unicidad y el Wronskiano para deducir el resultado).
  • Prueba que $y_{1}(t)=t|t|$, $y_{2}(t)=t^{2}$ son linealmente independientes en $[-1,1]$ pero linealmente dependientes en $[0,1]$. Verifica que el Wronskiano se anula en $\mathbb{R}$. ¿Pueden ser $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ soluciones a la ecuación $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(t)\frac{dy}{dt}+q(t)y=0$ en $(-1,1)$ si $p$ y $q$ son continuas en este intervalo?

Más adelante

.En la próxima entrada conoceremos el método de reducción de orden, donde supondremos que ya conocemos una solución particular $y_{1}(t)$ a la ecuación lineal homogénea de segundo orden, y con ayuda de esta hallaremos una segunda solución $y_{2}(t)$ tal que forma un conjunto fundamental de soluciones junto con $y_{1}$.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden

Introducción

En las entradas anteriores hemos estudiado las soluciones a ecuaciones de primer orden desde dos distintos puntos de vista, el cualitativo y el analítico. En el camino hemos encontrado un comportamiento similar en las soluciones, como es el que el problema de condición inicial tenga una solución, o que las curvas solución no se intersectan en el plano. Estos comportamientos no son una casualidad, y están justificados por el Teorema de existencia y unicidad que nos dice que el problema de condición inicial tiene una y sólo una solución definida en un intervalo $(a,b)$. Este teorema, en su versión para ecuaciones lineales sustenta el trabajo que hemos realizado en los últimos videos.

Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden

En el video demostramos la versión del Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$ ; $y(t_{0})=y_{0}$, con $t_{0}\neq 0$, $y_{0}\neq 0$.
  • Resuelve el problema de condición inicial inicial $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$ ; $y(0)=0$.
  • Resuelve el problema de condición inicial $\frac{dy}{dt}=\frac{y}{t}$ ; $y(0)=y_{0}$, con $y_{0}\neq 0$.
  • ¿Contradicen las soluciones de los ejercicios anteriores el Teorema de existencia y unicidad?
  • Esboza las soluciones a la ecuación diferencial.

Más adelante

Con esta entrada terminamos el estudio a las ecuaciones lineales de primer orden. En la siguiente entrada comenzaremos a estudiar ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. En particular veremos un caso especial de estas ecuaciones, a las que llamaremos ecuaciones separables.

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