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Álgebra Superior I: Operaciones de suma y producto escalar con vectores y matrices

Por Eduardo García Caballero

Introducción

Anteriormente definimos qué son los vectores y las matrices con entradas reales. Así mismo, mencionamos que existen distintas operaciones que los involucran. En esta entrada conocerás dos de estas operaciones: la suma de vectores/matrices y el producto escalar.

Suma de vectores

Una de las operaciones más sencillas que involucra a los vectores es su suma. Para sumar dos vectores con entradas reales, debemos asegurarnos de que ambos tengan la misma cantidad de entradas. De este modo, podemos ver que los vectores $(1,0,3)$ y $(-2,\sqrt{5})$ no pueden ser sumados, pero los vectores $(7,\frac{1}{2},-5)$ y $(\pi,4,3)$ sí.

Para denotar la suma de dos vectores utilizaremos el símbolo $+$ en medio de ellos. Por ejemplo, la suma de $(7,\frac{1}{2},-5)$ y $(\pi,4,3)$ la escribimos como
\[
(7,\tfrac{1}{2},-5)+(\pi,4,3).
\]

El resultado de esta operación lo obtendremos sumando entrada a entrada los dos vectores originales. Es decir, la primera entrada del nuevo vector será igual a la suma de las primeras entradas de los vectores originales; su segunda entrada será igual a la suma de las segundas entradas de los vectores originales; y así sucesivamente (observemos que, de este modo, el vector resultante tiene el mismo tamaño que los vectores originales). Así, el resultado de sumar $(7,\tfrac{1}{2},-5)$ y $(\pi,4,3)$ es
\[
(7,\tfrac{1}{2},-5)+(\pi,4,3) = (7+\pi, \tfrac{1}{2}+4,-5+3).
\]

Además, ya te habrás dado cuenta de que podemos reducir algunas operaciones de cada entrada del vector (esto por la definición de igualdad de vectores que vimos en la entrada anterior). Así, obtenemos que
\[
(7+\pi,\tfrac{1}{2}+4,-5+3) = (7+\pi, \tfrac{9}{2},-2),
\]
y, al ser la igualdad transitiva, llegamos a que
\[
(7,\tfrac{1}{2},-5)+(\pi,4,3) = (7+\pi, \tfrac{9}{2},-2).
\]

El ejemplo que discutimos aquí es para vectores con tres entradas, pero pudimos hacer exactamente lo mismo con vectores de dos entradas, de cuatro o de más.

Producto escalar de vectores

Otra operación que realizaremos de manera frecuente es el producto escalar. Para efectuar esta operación, requeriremos un número real y un vector, y los denotamos escribiendo primero el número y de manera seguida al vector. De este modo, el producto escalar del número real $4$ y el vector $(3,\sqrt{2},5)$ lo denotaremos por
\[
4(3,\sqrt{2},5).
\]

El resultado es esta operación consiste consiste en multiplicar cada una de las entradas de nuestro vector por el número real escogido. Así, podemos ver que
\[
4(3,\sqrt{2},5) = (4(3), 4(\sqrt{2}), 4(5)),
\]
y, al igual que pasa con la suma, en cada entrada tenemos ahora operaciones en los números reales que podemos simplificar, de modo que
\[
(4(3), 4(\sqrt{2}), 4(5)) = (12,4\sqrt{2},20),
\]
y, por lo tanto,
\[
4(3,\sqrt{2},5) = (12,4\sqrt{2},20).
\]

Al número real por el cual multiplicamos el vector lo denominaremos escalar.

Repaso de propiedades de la suma y producto de números reales

Antes de pasar a ver algunas de las propiedades que cumplen las operaciones vistas anteriormente, será conveniente que repasemos algunas de las propiedades que cumplen los números reales (seguramente estas propiedades las recuerdas de tu curso de Cálculo Diferencial e Integral I). Recordemos que si $a$, $b$ y $c$ son números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Suma:

  • Es asociativa: $(a+b)+c = a+(b+c)$.
  • Es conmutativa: $a+b = b+a$.
  • Tiene neutro: el $0$ es un número real y cumple que $a+0 = 0+a = a$.
  • Tiene inversos: para cada $a$ existe un número real, denotado $-a$, es cual cumple que $a+(-a) = (-a)+a = 0$.

Producto:

  • Es asociativo: $(ab)c = a(bc)$.
  • Es conmutativo: $ab = ba$.
  • Tiene neutro: el $1$ es un número real y cumple que $a(1) = (1)a = a$.
  • Tiene inversos: si $a$ es distinto a $0$, entonces existe un número real, denotado $a^{-1}$, el cual cumple que $a(a^{-1}) = (a^{-1})a = 1$.

Suma y producto:

  • El producto se distribuye sobre la suma: $a(b+c) = ab + ac$ y también $(a+b)c = ac + bc$.

Propiedades de suma y el producto escalar de vectores

En esta sección trabajaremos con vectores en $\mathbb{R}^3$, pero las deducciones son muy parecidas para vectores de cualquier otro tamaño (¿podrías intentarlas para vectores de $\mathbb{R}^4?$).

Primeramente, veamos un ejemplo. Observemos que si $u = (4,6,-2)$ y $v = (1,\tfrac{1}{3},2)$, entonces
\begin{align*}
(4,6,-2) + (1,\tfrac{1}{3}, 2)
&= (4+1,6+\tfrac{1}{3}, -2+2) \\
&= (1+4, \tfrac{1}{3}+6, 2+(-2)) \\
&= (1,\tfrac{1}{3}, 2) + (4,6,-2),
\end{align*}
es decir, $u + v = v+u$. La razón por la cual podemos intercambiar los sumandos en la segunda igualdad es porque las sumas en cada una de las entradas ya son sumas de números reales. Así, la conmutatividad de la suma de reales nos ayudó a ver la conmutatividad de una suma de vectores.

Como puedes ver, para llegar al resultado anterior no nos basamos en ningún valor de $u$ o $v$ en particular. ¡De hecho ni siquiera fue necesario hacer las operaciones! Nos basamos únicamente en las definiciones de igualdad y suma, y en las propiedades de los números reales. Por esta razón, este argumento lo podemos hacer general.

Observemos que cualesquiera vectores $u = (u_1,u_2,u_3)$ y $v=(v_1,v_2,v_3)$ cumplen que
\begin{align*}
u+v
&= (u_1,u_2,u_3)+(v_1,v_2,v_3) \\
&= (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3) \\
&= (v_1+u_1,v_2+u_2,v_3+u_3) \\
&= (v_1,v_2,v_3)+(u_1,u_2,u_3) \\
&= v+u.
\end{align*}

Otra propiedad bastante interesante tiene que ver con un vector especial que conocimos anteriormente. Recordarás que en la entrada anterior definimos al vector cero. Como su nombre lo sugiere, este vector juega el papel de elemento neutro de la suma. Recordemos que el vector cero en $\mathbb{R}^3$ es $0=(0,0,0)$. Observemos que si $u = (8,\pi,-10)$, entonces
\[
u+0 = (8,\pi,-10) + (0,0,0) = (8+0,\pi+0,-10+0) = (8,\pi,-10) = u.
\]
Aunque pudiera parecer que en este caso sí simplificamos el resultado de la operación, en realidad otra vez hicimos únicamente uso de las definiciones de igualdad y suma de vectores, y esta vez la propiedad de que el $0$ (número real) es neutro para la suma de números reales.

Entonces, podemos ver que para cualquier vector $u = (u_1,u_2,u_3)$ se cumple que
\[
u+0 = (u_1,u_2,u_3) + (0,0,0) = (u_1+0,u_2+0,u_3+0) = (u_1,u_2,u_3) = u.
\]

Otras dos propiedades que cumple la suma de vectores, y que cuya deducción se deja como ejercicio al lector, son las siguientes:

  • Para cualesquiera vectores $u = (u_1,u_2,u_3)$, $v=(v_1,v_2,v_3)$ y $w=(w_1,w_2,w_3)$ se cumple que $(u+v)+w = u+(v+w)$.
  • Para cualquier vector $u = (u_1,u_2,u_3)$ existe un vector $v$ que cumple $u+v = 0$ (Recuerda que aquí $0$ denota al vector $(0,0,0)$. Basta con decir cuál es el vector $v$ que cumple esa propiedad). Más aún, podemos demostrar que $v$ es único para cada $u$. Por esta razón, al único vector $v$ que cumple esta propiedad lo denotaremos $-u$.

Por otra parte, revisemos algunas de las propiedades que cumplen en conjunto la suma de vectores y el producto escalar de vectores.

Veamos que para el escalar (número real) $r$ y para los vectores $u = (u_1,u_2,u_3)$ y $v=(v_1,v_2,v_3)$ se cumple que
\begin{align*}
r(u+v)
&= r((u_1,u_2,u_3) + (v_1,v_2,v_3)) \\
&= r(u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3) \\
&= (r(u_1+v_1), r(u_2+v_2), r(u_3+v_3)) \\
&= (ru_1+rv_1, ru_2+rv_2, ru_3+rv_3) \\
&= (ru_1,ru_2+ru_3) + (rv_1,rv_2,rv_3) \\
&= r(u_1,u_2,u_3) + r(v_1,v_2,v_3) \\
&= ru + rv.
\end{align*}

(¿Qué se está usando en cada igualdad? ¿Una definición? ¿Una propiedad de los números reales?)

Asimismo, para cuales quiera $r$ y $s$ escalares, y para cualquier vector $u = (u_1,u_2,u_3)$ se cumple que $(r+s)u = ru + su$. ¿Puedes ver cómo se deduce esta propiedad?

Aunque estas dos propiedades son muy parecidas, realmente dicen cosas distintas: $r(u+v)$ indica que el producto escalar se distribuye sobre la suma de vectores, mientras que $(r+s)u$ indica que el producto escalar se distribuye sobre la suma de escalares (números reales).

Una última propiedad de la suma de vectores y producto de vectores es la siguiente: si $r$ y $s$ son escalares, y $u=(u_1,u_2,u_3)$ es un vector, entonces
\begin{align*}
r(s(u))
&= r(s(u_1,u_2,u_3)) \\
&= r(su_1, su_2, su_3) \\
&= (r(su_1), r(su_2), r(su_3)) \\
&= ((rs)u_1, (rs)u_2, (rs)u_3) \\
&= (rs)(u_1,u_2,u_3) \\
&= (rs)u.
\end{align*}
Aún cuando pudiera parecer trivial, esta última propiedad es muy interesante, pues observemos que $r(su)$ involucra únicamente productos escalares, mientras que en $(rs)u$ aparecen tanto el producto de números reales como el producto escalar.

Conocer estas propiedades nos permitirá manipular con facilidad las operaciones entre vectores. Así, por ejemplo, para saber cuál es el resultado de $((1,4,-1) + 5(0,3,4)) + 5(1,1,-5)$, no tendremos que recurrir a efectuar cada operación por definición: podemos optar por manipular la expresión para obtener
\begin{align*}
((1,4,-1) + 5(0,3,4)) + 5(1,1,-5)
&= (1,4,-1) + (5(0,3,4) + 5(1,1,-5)) \\
&= (1,4,-1) + 5((0,3,4) + (1,1,-5)) \\
&= (1,4,-1) + 5(1,4,-1) \\
&= 1(1,4,-1) + 5(1,4,-1) \\
&= (1+5)(1,4,-1) \\
&= 6(1,4,-1) \\
&= (6,24,-6).
\end{align*}

¿Puedes ver qué propiedad(es) usamos en cada paso?

Suma de matrices

La suma de matrices con entradas reales es muy parecida a la suma de vectores. Al igual que con los vectores, tenemos que asegurarnos que las dos matrices que deseamos sumar tengan el mismo tamaño, es decir, que tengan el mismo número de filas y el mismo de columnas. La suma de matrices también la denotaremos utilizando el símbolo $+$ y de igual manera la realizaremos entrada a entrada, según la fila y columna que estemos calculando.

Así, por ejemplo, la suma de
\[
\begin{pmatrix}
8 & 0 & \sqrt{5} \\
-2 & 10 & 0
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & \sqrt{5} \\
4 & \pi & -2
\end{pmatrix}
\]
es
\[
\begin{pmatrix}
8 & 0 & \sqrt{5} \\
-2 & 10 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & \sqrt{5} \\
4 & \pi & -2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
8+(-3) & 0+1 & \sqrt{5}+\sqrt{5} \\
-2+4 & 10+\pi & 0+(-2)
\end{pmatrix},
\]
lo cual queda simplificado como,
\[
\begin{pmatrix}
8 & 0 & \sqrt{5} \\
-2 & 10 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & \sqrt{5} \\
4 & \pi & -2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 & 1 & 2\sqrt{5} \\
2 & 10+\pi & -2
\end{pmatrix}.
\]

Producto escalar de matrices

A igual que pasa con la suma, también podemos definir el producto escalar de matrices. Como seguramente ya lo habrás imaginado, esta operación se parece mucho al producto escalar de vectores.

Esta operación involucra a un número real y a una matriz. La denotamos colocando al número real seguido de la matriz, y consiste en multiplicar cada entrada de la matriz por dicho número real.

Por ejemplo, el producto escalar de $-3$ y la matriz
\[
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
\frac{1}{2} & \pi \\
\frac{1}{3} & 4
\end{pmatrix}
\]
es
\[
(-3)
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
\frac{1}{2} & \pi \\
\frac{1}{3} & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(-3)(8) & (-3)3 \\
(-3)(\frac{1}{2}) & (-3)(\pi) \\
(-3)(\frac{1}{3}) & (-3)4
\end{pmatrix},
\]
es decir,
\[
(-3)
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
\frac{1}{2} & \pi \\
\frac{1}{3} & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-24 & -9 \\
-\tfrac{3}{2} & -3\pi \\
-1 & -12
\end{pmatrix}.
\]

Propiedades de suma y producto escalar de matrices

Veamos algunas propiedades que cumplen la suma y el producto escalar de matrices. Para esto, trabajaremos con matrices con tamaño $2 \times 3$, pero verás que las deducciones para matrices de cualquier otro tamaño son muy parecidas.

Recordemos que la matriz cero de tamaño $2 \times 3$ es
\[
\mathcal{O} = \mathcal{O}_{2 \times 3} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

Observemos que para cualquier matriz
\[
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\]
se cumple que
\begin{align*}
A + \mathcal{O}
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}+0 & a_{12}+0 & a_{13}+0 \\
a_{21}+0 & a_{22}+0 & a_{23}+0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&= A.
\end{align*}

Por otra parte, dada una matriz $A$, como cada entrada $a_{ij}$ de la matriz es un número real, entonces tienen un respectivo inverso aditivo, es decir, un número $(-a_{ij})$ que cumple que $a_{ij}+(-a_{ij}) = 0$. Así, si definimos
\[
B=
\begin{pmatrix}
(-a_{11}) & (-a_{12}) & (-a_{13}) \\
(-a_{21}) & (-a_{22}) & (-a_{23})
\end{pmatrix}.
\]
Entonces, observemos que
\begin{align*}
A + B
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{2_3}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
(-a_{11}) & (-a_{12}) & (-a_{13}) \\
(-a_{21}) & (-a_{22}) & (-a_{23})
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}+(-a_{11}) & a_{12}+(-a_{12}) & a_{13}+(-a_{13}) \\
a_{21}+(-a_{21}) & a_{22}+(-a_{22}) & a_{23}+(-a_{23})
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\mathcal{O}.
\end{align*}

La matriz $B$ la definimos basándonos en la matriz $A$. Entonces, para cada matriz existe una matriz $B$ que cumple que $A + B = \mathcal{O}$. Como te podrás dar cuenta, la matriz $B$ que cumple esta propiedad es única (¿por qué se cumple esto?); por esta razón, a la $B$ que cumple esta propiedad la denotamos como $-A$.

Seguramente notarás que estas dos propiedades se parecen mucho a las que cumple la suma de vectores. ¿Podrías también probar las siguientes propiedades?

Para cuales quiera matrices $A$, $B$ y $C$ de tamaño $2\times 3$ se cumple que

  • $(A+B)+C = A+(B+C)$.
  • $A+B = B+A$.

Por otra parte, el producto escalar de matrices también se comporta de manera similar al producto escalar de vectores.

Si $r$ y $s$ son escalares y
\[
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix},
\]
entonces
\begin{align*}
(r+s)A
&=
(r+s)
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
(r+s)a_{11} & (r+s)a_{12} & (r+s)a_{13} \\
(r+s)a_{21} & (r+s)a_{22} & (r+s)a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
ra_{11}+sa_{11} & ra_{12}+sa_{12} & ra_{13}+sa_{13} \\
ra_{21}+sa_{21} & ra_{22}+sa_{12} & ra_{23}+sa_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
ra_{11} & ra_{12} & ra_{13} \\
ra_{21} & ra_{22} & ra_{23}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
sa_{11} & sa_{12} & sa_{13} \\
sa_{21} & sa_{22} & sa_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
r
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
+
s
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
rA + sA.

\end{align*}

Dejamos como ejercicio para el lector probar también las siguientes propiedades:

Para cualquiesquiera escalares $r$ y $s$, y cualesquiera matrices $A$ y $B$ de tamaño $2\times 3$, se cumple que

  • $r(A+B) = rA + rB$.
  • $r(sA) = (rs)A$.

Más adelante…

En esta entrada conocimos las suma y el producto escalar de vectores/matrices, y revisamos algunas propiedades que estas operaciones cumple. Emplear sus propiedades nos permitirá calcular de manera más sencilla sus resultados, además de que se integrarán con operaciones que definiremos en entradas futuras.

En la siguiente entrada conoceremos una nueva operación, la cual involucra al mismo tiempo matrices y vectores.

Tarea moral

  1. Sea $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$. Encuentra explícitamente el resultado de la operación $A+2A+3A+4A+5A+6A+7A$. Como sugerencia, si usas apropiadamente las propiedades que hemos discutido, sólo tendrás que hacer un producto escalar.
  2. ¿Podrías desarrollar las pruebas de las propiedades de suma y producto escalar para vectores en $\mathbb{R}^4$? ¿Podrías hacerlo para suma y producto escalar de matrices de $3 \times 2$?
  3. Como vimos en esta entrada, para cada vector $u$ existe un vector $v$ que cumple que $u+v = 0$. ¿Puedes ver por qué $v$ es único?
  4. En los reales está el escalar $-1$. Demuestra que el producto escalar $(-1)v$ es precisamente el inverso aditivo $-v$ de $v$. Enuncia y demuestra un resultado similar para matrices.
  5. Podemos definir la resta de vectores (o de matrices) de la siguiente manera: $u-v=u+(-v)$. Determina si esta operación es asociativa, conmutativa, si tiene neutro y/o inversos.

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Álgebra Superior II: Introducción a estructuras algebraicas

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Introducción

Finalmente terminamos de construir a los números naturales, sus operaciones y su orden. El siguiente conjunto que nos interesa construir es $\mathbb{Z}$, el conjunto de los números enteros. Haremos esto en breve. Sin embargo, primero haremos un paréntesis para hablar de estructuras algebraicas.

Quizás hayas escuchado hablar de varias de ellas. En cálculo y geometría analítica se habla de los números reales y se comenta que es muy importante que sea un campo. En geometría moderna se habla de transformaciones geométricas y cómo algunas de ellas forman un grupo. También es común escuchar de los anillos de enteros o de polinomios (que estudiaremos más adelante). Y por supuesto, también están los espacios vectoriales, que están fuertemente conectados con resolver sistemas de ecuaciones lineales y hacer cálculo y geometría en altas dimensiones.

Todos estos conceptos (campos, grupos, anillos, espacios vectoriales, etc.) son ejemplos de estructuras algebraicas. Cada tipo de estructura algebraica es muy especial por sí misma y sus propiedades se estudian por separado en distintas materias, notablemente aquellas relacionadas con el álgebra moderna. La idea de esta entrada es dar una muy breve introducción al tema, para que te vayas acostumbrando al uso del lenguaje. Esto te servirá más adelante en tu formación matemática.

Intuición de estructuras algebraicas

De manera intuitiva, una estructura algebraica consiste de tomar un conjunto, algunas operaciones en ese conjunto, y ciertas propiedades que tienen que cumplir las operaciones. Eso suena mucho a lo que hemos trabajado con $\mathbb{N}$: es un conjunto, con las operaciones de suma y producto. Y ya demostramos que estas operaciones tienen propiedades especiales como la conmutatividad, la distributividad y la existencia de neutros.

En realidad podríamos tomar cualquier conjunto y cualquier operación y eso nos daría una cierta estructura.

Ejemplo. Consideremos el conjunto $\mathbb{N}$ con la operación binaria $\star$ tal que $$a\star b=ab+a+b.$$ Tendríamos entonces que $$3\star 1=3\cdot 1+3+1= 7,$$ y que $$10\star 10=10\cdot 10 + 10 + 10 = 120.$$

Es posible que la operación $\star$ tenga ciertas propiedades especiales, y entonces algunas proposiciones matemáticas interesantes consistirían en enunciar las propiedades de $\star$.

$\triangle$

Aunque tenemos mucha libertad en decidir cuál es el conjunto, cuáles son las operaciones que le ponemos y qué propiedades vamos a pedir, hay algunos ejemplos que se aparecen muy frecuentemente en las matemáticas. Aparecen de manera tan frecuente, que ameritan nombres especiales. Comencemos a formalizar esto.

Operaciones binarias y magmas

Dado un conjunto $S$, una operación binaria toma parejas de elementos de $S$ y los lleva a otro elemento de $S$. En símbolos, es una función $\star: S\times S\to S$. Cuando usamos la notación de función, tendríamos que escribir todo el tiempo $\times(a,b)$ para referirnos a lo que esta operación le hace a cada pareja de elementos $a$ y $b$ en $S$. Sin embargo, esto resulta poco práctico, y es por esta razón que se usa mucho más la notación $a\times b:=\times (a,b)$.

Ejemplo. En $\mathbb{N}$ ya definimos la operación binaria $+$, que toma dos enteros $a$ y $b$ y los manda a $s_a(b)$, donde $s_a:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ es la función que construimos usando el teorema de recursión estableciendo que $s_a(0)=a$ y $s_a(\sigma(n))=\sigma(s_a(n))$.

$\triangle$

Aquí lo único que nos importa es establecer una operación binaria. No nos importa si tiene otras propiedades adicionales.

Definición. Un magma consiste de un conjunto $S$ con una operación binaria $\ast$.

Otros ejemplos de magma son $\mathbb{N}$ con la operación que dimos en la parte de intuición, o bien $\mathbb{N}$ con el producto que ya definimos. También podemos tener magmas en conjuntos que no sea el de los enteros. Por ejemplo, si $P$ es el conjunto de subconjuntos de $\{0,1,2,3,4\}$, y le damos la operación que manda $A$ y $B$ a $A\cup B\cup \{0\}$, entonces también obtenemos un magma.

Conmutatividad

Cuando tenemos un conjunto $S$ y una operación binaria $\star$ en $S$, puede suceder que de lo mismo hacer $a\star b$ que $b\star a$. Esto ya es una propiedad especial que pueden cumplir las operaciones binarias, y tiene un nombre.

Definición. Decimos que una operación binaria $\star$ en un conjunto $S$ es conmutativa si para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $S$ se cumple que $a\star b=b\star a$.

Observa que la igualdad debe suceder para cualesquiera dos elementos. Basta con que falle para una pareja para que la operación ya no sea conmutativa.

Ejemplo. Una de las propiedades que demostramos de la operación de suma en $\mathbb{N}$ es que $s_a(b)=s_b(a)$, es decir, que $a+b=b+a$. En otras palabras, la operación binaria $+$ en $\mathbb{N}$ es conmutativa. Así mismo, vimos que el producto era conmutativo, es decir, que $p_a(b)=p_b(a)$, que en términos de la operación binaria $\cdot$ quiere decir que $a\cdot b=b\cdot a$.

$\triangle$

Más adelante veremos que otras funciones de suma y producto también son conmutativas, por ejemplo, las de los enteros, racionales, reales y complejos. Sin embargo, hay algunas operaciones binarias muy importantes en matemáticas que no son conmutativas. Un ejemplo de ello es el producto de matrices. Otro ejemplo es la diferencia de conjuntos.

Ejemplo. Si $P$ es el conjunto de subconjuntos de $\{0,1,2,3,4\}$ y le damos la operación binaria $\setminus$ tal que dados $A$ y $B$ en $P$ los manda a $A\setminus B$, entonces obtenemos un magma. Sin embargo, la operación $\setminus$ no es conmutativa pues, por ejemplo, $$\{1,2,3\}\setminus\{2,3,4\}=\{1\},$$ pero $$\{2,3,4\}\setminus\{1,2,3\}=\{4\}.$$

$\triangle$

En $\mathbb{N}$ no tenemos una operación de resta, como discutiremos en breve. Pero en el conjunto de los enteros sí, y ese sería otro ejemplo de una operación que no es conmutativa.

Asociatividad y semigrupos

Otra de las propiedades importantes que demostramos de la suma y producto de naturales es que son operaciones asociativas. En general, podemos definir la asociatividad para una operación binaria como sigue.

Definición. Sea $\star$ una operación binaria en un conjunto $S$. Decimos que $\star$ es asociativa si $a\star (b\star c)=(a\star b)\star c$ para cualesquiera tres elementos $a,b,c$ de $S$.

Tanto la suma como el producto de naturales dan una operación asociativa pues ya demostramos que si $a,b,c$ son naturales, entonces $a+(b+c)=(a+b)+c$ y $a(bc)=(ab)c$. Esta propiedad también la tendremos para la suma y producto de enteros, racionales, reales, complejos, polinomios, etc.

A partir de la asociatividad podemos definir la primer estructura algebraica que requiere un poco más de propiedades.

Definición. Un semigrupo es un conjunto $S$ con una operación asociativa $\star$.

Si además $\star$ es una operación conmutativa, entonces decimos que es un semigrupo conmutativo. En realidad, en cualquiera de las definiciones que daremos a continuación podemos agregar el adjetivo «conmutativo» y esto querrá decir que además de las propiedades requeridas, también se cumple que la operación es conmutativa.

En los semigrupos (y demás estructuras con asociatividad) tenemos la ventaja de que podemos «olvidarnos de los paréntesis» sin la preocupación de que haya ambigüedad. Por ejemplo, en los naturales la expresión $3+((2+4)+8)$ se puede escribir simplemente como $3+2+4+8$, pues cualquier otra forma de poner paréntesis, como $(3+2)+(4+8)$, debe dar exactamente el mismo resultado por asociatividad.

Ejemplo. Una operación que no es asociativa es la resta en los enteros. Aunque no hemos definido formalmente esta operación, es intuitivamente claro que $3-(2-1)$ no es lo mismo que $(3-2)-1$.

$\triangle$

Unidades y magmas unitales

A veces sucede que algunos elementos de un conjunto «no afectan a nadie» bajo una cierta operación binaria dada. Por ejemplo, en los naturales «sumar cero» no cambia a ningún entero.

Definición. Sea $\star$ una operación binaria en un conjunto $S$. Una unidad o neutro para $\star$ es un elemento $e$ en $S$ para el cual se cumple que para cualquier elemento $a$ de $S$ se tenga $a\star e = a$ y $e\star a = a$.

Observa que es muy importante pedir las dos igualdades de la definición. Si una se cumple, no necesariamente tiene que pasar la otra, pues no necesariamente la operación es conmutativa. Por supuesto, si ya se sabe que la operación es conmutativa, entonces basta con ver una de ellas.

En $\mathbb{Z}$ tenemos las operaciones de suma y producto. Para no confundir a sus neutros, a $0$ le llamamos el neutro aditivo para hacer énfasis que es el neutro de la suma. Y a $1$ le llamamos el neutro multiplicativo para hacer énfasis que es el neutro del producto. Entre las propiedades que probamos, en efecto vimos que $a+0=a=0+a$ y que $a\cdot 1 = a = 1\cdot a$ para cualquier entero $a$.

Definición. Un magma unital es un conjunto $S$ con una operación $\star$ que tiene un neutro.

El conjunto de naturales con la operación $\star$ que dimos en la sección de intuición también es un magma unital. ¿Puedes decir quién es su neutro?

Monoides

Se puede pedir más de una propiedad a una operación binaria y entonces obtenemos estructuras algebraicas más especiales.

Definición. Un monoide es un conjunto $S$ con una operación $\star$ que es asociativa y que tiene un neutro.

En otras palabras, un monoide es un magma unital con operación asociativa. O bien, un semigrupo cuya operación tiene unidad. Por supuesto, si la operación además es conmutativa entonces decimos que es un monoide conmutativo.

Ejemplo. Por todo lo que hemos visto en esta entrada, tenemos que $\mathbb{N}$ con la suma es un monoide conmutativo. Así mismo, $\mathbb{N}$ con el producto es un monoide conmutativo.

$\triangle$

Semianillos

La última idea importante para discutir en esta entrada es que una estructura algebraica puede tener más de una operación binaria, y además de pedir propiedades para cada operación, también se pueden pedir propiedades que satisfagan ambas operaciones en igualdades que las involucran a las dos.

Definición. Un seminanillo es un conjunto $S$ con dos operaciones binarias $\square$ y $\star$ que satisfacen las siguientes propiedades:

  • $\square$ es un monoide conmutativo
  • $\star$ es un monoide
  • Se cumple distributividad, es decir, que para cualesquiera tres elementos $a,b,c$ de $S$ se tiene $a\star(b\square c) = (a\star b)\square(a\star c)$ y $(a\square b)\star c = (a\star c)\square(b\star c)$.
  • El neutro $e$ de $\square$ aniquila a los elementos bajo $\star$, es decir, para cualquier elemento $a$ de $S$ se tiene que $a\star 0=0$ y $0\star a = 0$.

Un semianillo conmutativo es un semianillo en donde la operación $\star$ también es conmutativa. Las propiedades que hemos de los números naturales nos permiten enunciar el siguiente resultado.

Teorema. El conjunto $\mathbb{N}$ con las operaciones binarias de suma y producto es un semianillo conmutativo.

Más adelante…

Este sólo fue un pequeño paréntesis para comenzar a hablar de operaciones binarias y de estructuras algebraicas. Ahora regresaremos a seguir construyendo de manera formal los sistemas numéricos con los que se trabaja usualmente: los enteros, los racionales, los reales y los complejos.

Un poco más adelante haremos otro paréntesis de estructuras algebraicas, en el que hablaremos de otras propiedades más que puede tener una operación binaria. Una muy importante es la existencia de inversos para la operación binaria. Esto llevará a las definiciones de otras estructuras algebraicas como los grupos, los anillos, los semigrupos con inversos, los quasigrupos y los campos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentra el neutro de la operación $\star$ dada en la sección de intuición. Verifica que en efecto es un neutro.
  2. Demuestra que el conjunto de los naturales pares $\{0,2,4,6,\ldots\}$ sí tiene un neutro para la operación de suma, pero no para la operación de producto.
  3. Considera el conjunto $P(S)$ de subconjuntos de un conjunto $S$. Considera las operaciones binarias de unión e intersección de elementos de $P(S)$. Muestra que $P(S)$ con estas operaciones es un semianillo conmutativo.
  4. Da un ejemplo de un magma que no sea un magma unital. Da un ejemplo de un magma unital que no sea un monoide.
  5. Da o busca un ejemplo de un semianillo que no sea un semianillo conmutativo.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Inmersión de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{Z}$

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

Introducción

Desde la educación básica pensamos al conjunto de los números enteros como aquél que está conformado por los naturales, sus negativos y el cero: $$\mathbb{Z} = \{ \ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} .$$ Sin embargo, para poder fundamentar nuestra construcción, hasta ahora tenemos que el conjunto $\mathbb{Z}$ consiste por definición de ciertas clases de equivalencia de una relación en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$. ¡Observa que ni siquiera $\mathbb{N}$ es un subconjunto de $\mathbb{Z}$ a partir de esta definición! ¿Cómo le hacemos para que estos dos puntos de vista coincidan?

En esta entrada veremos dos cosas muy importantes que nos permitirán unificar ambas ideas. Lo primero que haremos es ver que, en efecto, podemos pensar que $\mathbb{N}$ «es un subconjunto» de $\mathbb{Z}$. Esto lo ponemos entre comillas pues en realidad lo que demostraremos es que hay una copia de $\mathbb{N}$ dentro de $\mathbb{Z}$, con toda la estructura que tenía $\mathbb{N}$ originalmente: sus operaciones, sus identidades, su orden.

Después de esto, nos enfocaremos en ver que $\mathbb{Z}$ consiste exactamente de esta copia y de sus inversos aditivos. Así, habremos formalizado que $\mathbb{Z}$ consiste exactamente de los naturales, sus inversos aditivos y ningún otro elemento.

Inmersión de los naturales en los enteros

En la entrada anterior hablamos acerca del orden en $\mathbb{Z}$. Para ello hablamos del conjunto de enteros positivos $P$. También definimos las relaciones $<$ y $\leq$. En un sentido bastante formal, los enteros mayores o iguales a cero son exactamente los números naturales. La manera en la que enunciamos este resultado es la siguiente.

Teorema. Existe una función biyectiva $\gamma:\mathbb{N}\to P\cup \{\overline{(0,0)}\}$ que preserva las operaciones de suma, producto, el inverso aditivo, el inverso multiplicativo y el orden. Esta función está dada por $\gamma(n)=\overline{(n,0)}$.

Una vez que demostremos esto, la imagen $\gamma(\mathbb{N})$ será exactamente la «copia» de los naturales que vive en los enteros y que precisamente tiene todas las propiedades algebraicas de los naturales que nos interesaban.

Para hacer la demostración de este teorema, probaremos el resultado poco a poco, a través de varios lemas.

Lema 1. La función $\gamma$ está bien definida y es biyectiva.

Demostración. La función $\gamma$ está bien definida pues las clases del estilo $\overline{(n,0)}$ siempre están en $P\cup \{\overline{(0,0)}\}$: si $n=0$, entonces obtenemos la clase $\overline{(0,0)}$ y si $n\neq 0$, entonces $n>0$, lo cual justifica que $\overline{(n,0)}$ es un entero positivo, es decir, en $P$.

Veamos que la función $\gamma$ es biyectiva. Para ver que es inyectiva tomamos dos naturales $m$ y $n$ tales que $\gamma(m)=\gamma(n)$, es decir, tales que $\overline{(m,0)}=\overline{(n,0)}$. Esto quiere decir que $m+0=n+0$, pero entonces $m=n$. Para ver que es suprayectiva, ya sabemos que tomemos una clase $\overline{(a,b)}$ en $P\cup \{\overline{(0,0)}\}$. Por lo visto en la entrada anterior, esto nos dice que $a\geq b$, pero entonces existe un natural $k$ tal que $a=b+k$, de modo que $a+0=b+k$ y por lo tanto $\overline{(a,b)}=\overline{(k,0)}$. Con esto concluimos que $$\gamma(k)=\overline{(k,0)}=\overline{(a,b)}.$$

$\square$

Observa que, sin embargo, no sucede que $\gamma(\mathbb{N})$ sea todo $\mathbb{Z}$. Es decir, hay enteros diferentes de las clases $\overline{(n,0)}$, por ejemplo, el $\overline{(0,1)}$. Se puede verificar que la imagen de $\gamma$ cubre a los enteros no negativos y sólo a esos.

Regresando al enunciado del teorema, lo que veremos ahora es que $\gamma$ respeta las operaciones de suma y producto, así como sus respectivas identidades.

Lema 2. Para cualesquiera naturales $m$ y $n$ se cumple que $$\gamma(m)+\gamma(n)=\gamma(m+n)$$ y que $$\gamma(m)\gamma(n)=\gamma(mn).$$ Además, $\gamma(0)$ es la identidad aditiva en $\mathbb{Z}$ y $\gamma(1)$ es la identidad multiplicativa en $\mathbb{Z}$.

Demostración. Basta usar la definición de $\gamma$ y de la suma en $\mathbb{Z}$:
\begin{align*}
\gamma (m)+\gamma(n)&=\overline{(m,0)}+\overline{(n,0)}\\
&= \overline{(m+n,0)}\\
&=\gamma{m+n}.
\end{align*}

De modo similar, para el producto usamos la definición de $\gamma$ y la del producto en $\mathbb{Z}$:

\begin{align*}
\gamma (m)\gamma(n)&=\overline{(m,0)}\overline{(n,0)}\\
&= \overline{(mn+0\cdot 0,m\cdot 0 + 0 \cdot n)}\\
&= \overline{(mn,0)}\\
&=\gamma{mn}.
\end{align*}

La parte de las identidades es sencilla de hacer y queda como tarea moral.

$\square$

Ya vimos que $\gamma$ respeta las operaciones. Ahora veamos que también respeta el orden.

Lema 3. Para cualesquiera naturales $m$ y $n$, sucede que $m < n$ si y sólo si $\gamma(m) < \gamma(n)$.

Demostración. Por definición de $\gamma$, tenemos que $\gamma(m)<\gamma(n)$ si y sólo si $\overline{(m,0)}<\overline{(n,0)}$. En la entrada anterior vimos que esto sucede si y sólo si en $\mathbb{N}$ tenemos que $m+0<n+0$. Pero esto es justo $m<n$.

$\square $

Los lemas 1, 2 y 3 conforman la demostración del teorema de esta sección.

Caracterización de los enteros

En vista del teorema de la sección anterior, dentro de $\mathbb{Z}$ hay metida una copia de $\mathbb{N}$. ¿Cuáles son los otros elementos de $\mathbb{Z}$? ¿Hay muchos más enteros que eso? La respuesta es que no. Para acabar de tener a todos los elementos de $\mathbb{Z}$ basta con tomar esta copia de los enteros y considerar a sus inversos aditivos.

Proposición. Para cualquier entero $\overline{(a,b)}$, tenemos que sucede una y exactamente una de las afirmaciones siguientes:

  • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$.
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(n,0)}$ para algún natural $n\neq 0$.
  • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,n)}$ para algún natural $n\neq 0$.

Demostración. Por el principio de tricotomía en $\mathbb{N}$, sabemos que se cumple una y exactamente una de las afirmaciones siguientes:

  • $a=b$
  • $a>b$
  • $a<b$

Si pasa la primera, entonces $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$. Si pasa la segunda, es porque existe un natural $n\neq 0$ tal que $a=b+n$, pero entonces $a+0=b+n$ y así $\overline{(a,b)}=\overline{(n,0)}$. Si pasa la tercera, es porque existe un natural $n,0$ tal que $a+n=b=b+0$, y entonces $\overline{(a,b)}=\overline{(0,n)}$.

De esta manera, se ve que siempre se cumple al menos una de las afirmaciones del enunciado. Ver que se cumple a lo más una es sencillo y queda como tarea moral.

$\square$

Siguiendo la demostración anterior con cuidado, nos damos cuenta que los casos corresponden precisamente al entero cero, a los positivos y a los negativos. La proposición anterior es una manera de ilustrar, en particular, que hay que hay el mismo número de números naturales positivos como números enteros negativos: a cada uno de ellos le podemos asociar (de manera biyectiva), un natural. Otra forma de dar esta biyección es mandar el entero positivo $\overline{(n,0)}$ al entero negativo $\overline{(0,n)}$, que es precisamente su inverso aditivo.

Re-etiquetando a los enteros

Estamos listos para abandonar la notación de parejas y clases de equivalencia. En vista de los resultados anteriores, cualquier entero positivo $\overline{(a,b)}$ es el mismo que un entero de la forma $\overline{(n,0)}$. Y los enteros de esta forma justo conforman una copia de $\mathbb{N}$ con toda la estructura algebraica que nos interesa. Así, ya nunca más tenemos que llamar a $\overline{(a,b)}$ con este nombre: basta simplemente llamarlo $n$.

Si tenemos un entero de la forma $\overline{(a,b)}$ con $a=b$, entonces simplemente lo llamaremos $0$. Y finalmente, si el entero $\overline{(a,b)}$ es negativo, podemos escribirlo de la forma $\overline{(0,n)}$ y en vista de lo anterior simplemente lo llamaremos $-n$. Todo esto funciona bien, porque también sabemos que justo $\overline{(n,0)}$ y $\overline{(0,n)}$ son inversos aditivos entre sí.

Pero, ¿cómo sabremos si al usar el símbolo $1$ nos estamos refiriendo al natural $\{\emptyset\}$ o al entero $\overline{(\{\emptyset\},\emptyset)}$? En realidad ya no es relevante, pues tenemos la total garantía de que los enteros no negativos se comportan exactamente como $\mathbb{N}$.

De esta manera, $$\mathbb{Z} = \{ \ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \}$$ y además tenemos la total garantía de que los enteros no negativos se comportan exactamente como los naturales.

Más adelante…

Después de liberar la gran carga que teníamos de usar la notación de parejas y de relaciones de equivalencia, ahora ya podemos usar a los enteros tal y como los conocíamos desde educación básica: como el cero, los enteros que no son cero, y sus negativos. Además, gracias a todo lo que demostramos, ya podemos utilizar las propiedades de la suma, el producto y el orden con la confianza de que están bien fundamentadas.

Lo que sigue es estudiar con más profundidad al conjunto $\mathbb{Z}$. Aunque no haya propiamente «divisiones exactas» en este conjunto, sí podemos preguntarnos qué sucede cuando dividimos un entero por otro, y cuánto queda. Esto lleva a las nociones de divisibilidad y residuos, que a su vez llevan a áreas muy interesantes de las matemáticas como el álgebra moderna y la teoría de números.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Muestra que en efecto no existe ningún natural $m$ tal que $\gamma(m)=\overline{(0,1)}$.
  2. Verifica que $\gamma(0)$ es la identidad aditiva de $\mathbb{Z}$ y $\gamma(1)$ es su identidad multiplicativa.
  3. Explica por qué para un entero $\overline{(a,b)}$ no puede suceder más de una de las siguientes afirmaciones:
    • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$.
    • $\overline{(a,b)}=\overline{(n,0)}$ para algún natural $n\neq 0$.
    • $\overline{(a,b)}=\overline{(0,n)}$ para algún natural $n\neq 0$.
  4. La función $\gamma$ no es una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$. Pero sí existen biyecciones entre estos dos conjuntos. Construye una y demuestra que en efecto es una biyección.
  5. Da una biyección que muestre que el conjunto de los enteros no negativos pares, $\{0, 2, 4, 6, \ldots\}$ y el conjunto de los enteros no negativos positivos, $\{ 0, 1, 2, 3, \ldots \}$ tienen la misma cardinalidad. ¿Será posible construir la biyección de modo que se preserve la operación de suma? ¿Será posible construirla de modo que se preserve la operación de producto?

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Construcción de los enteros y su suma

Por Ana Ofelia Negrete Fernández

Introducción

Ya que se construyeron los números naturales, podríamos intentar usarlos para plantear ecuaciones con ellos y ver si se pueden resolver. Un tipo de ecuaciones muy sencillas son las de la forma $a=b+x$, en donde $a$ y $b$ son valores dados y lo que se espera es encontrar el valor de $x$. En los números naturales no hemos definido la resta, así que no es tan sencillo resolver esta ecuación como simplemente decir que la solución es $a-b$.

Lo que sí hicimos en entradas anteriores es ver que la ecuación $a=b+x$ con $a$ y $b$ en $\mathbb{N}$ tiene una solución $x$ en $\mathbb{N}$ si y sólo si $a\geq b$. Cuando $a<b$, no existe solución. Por ejemplo, no existe ninguna $x \in \mathbb{N}$ tal que $3 = 7 + x$.

Pensando esto de manera más intuitiva, $\mathbb{N}$ está conformado por el cero y demás números estrictamente positivos, pero en ocasiones eso no basta para realizar algunas cuentas. Consideremos el siguiente problema:

Una rana está en una posición inicial $0$ y salta dos unidades hacia la derecha. A continuación salta $3$ unidades hacia la izquierda. Luego vuelve a saltar $2$ unidades hacia la derecha y seguido de esto vuelve a saltar $3$ unidades a la izquierda. Una última vez, la rana salta $2$ unidades a la derecha seguidas de $3$ unidades a la izquierda. ¿En qué posición se encuentra la rana ahora?

La cuenta intuitiva, usando los números que conocemos desde educación básica, nos dice que la rana queda en la posición $-3$. Sin embargo, este es un número negativo, y dentro de nuestra construcción de $\mathbb{N}$ nunca hemos hablado de estos números.

La necesidad de que existan soluciones para las ecuaciones sencillas que mencionamos arriba y de que existan números para hacer cuentas como las de la rana es motivación suficiente para querer construir el conjunto de números enteros, denotado $\mathbb{Z}$. Lo que buscamos es que toda ecuación de la forma $a=b+x$ tenga una solución. Es decir, querremos que el conjunto de entero satisfaga que «para cualesquiera $a,b\in \mathbb{Z}$ existe $x\in \mathbb{Z}$ tal que $a= b+x$».

En esta entrada y las siguientes, describiremos la construcción de $\mathbb{Z}$, de sus operaciones y de su orden. Para hacer esto de la manera más formal posible, aprovecharemos la construcción que ya hemos hecho de $\mathbb{N}$.

A grandes rasgos, debemos de pasar por los siguientes pasos.

  1. Definiremos una relación en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, en donde dos parejas $(a,b)$ y $(c,d)$ de enteros estarán relacionadas si $a+d=b+c$.
  2. Veremos que esto es una relación de equivalencia. Un número entero será una clase de equivalencia de esta relación, es decir, en símbolos será un conjunto de la siguiente forma: \[ \overline{(a,b)}:= \left\{ (c,d) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N} : \left(a + d = b +c \right) \right\}, \] en donde $a$ y $b$ son números naturales.
  3. El conjunto de los números enteros será la colección de todas las clases de equivalencia arriba mencionadas, en símbolos: \[ \mathbb{Z} := \left\{ \overline{(a,b)} : (a,b) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N} \right\}.\]
  4. A este conjunto le daremos operaciones de suma, producto y un orden. Enunciaremos y demostraremos varias de sus propiedades.

Ya que hagamos todo esto, podremos pasar a una siguiente etapa de esta unidad, en donde daremos una introducción a la teoría de números, que es un área de las matemáticas que se dedica a estudiar propiedades aritméticas de $\mathbb{Z}$.

¿Qué es un número entero?

Comencemos tomando una pareja ordenada $(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ con $a\geq b$. Para esta pareja, la ecuación

\begin{equation}
a = b + x
\end{equation}

tiene una solución en $\mathbb{N}$. Sin embargo, existen más parejas que tienen la misma solución, es decir, parejas $(c,d)$ tales que las ecuaciones $a=b+x$ y $c=d+x$ tienen la misma solución $x \in \mathbb{N}$. Por ejemplo, si tomamos $a = 7$, $b = 3$ la ecuación correspondiente es $$7=3+x,$$ cuya solución es $x=4$. Si tomamos $c = 15$ y $d = 11$, entonces la ecuación es $$15=11+x,$$ cuya solución también es $x=4$.

En realidad, muchas más parejas de naturales pueden encontrarse tales que la solución $x$ sea la misma en las ecuaciones representadas por su pareja ordenada asociada. En el ejemplo anterior, otras parejas con la misma solución serían $(5, 1)$, $(31, 27)$, $(100, 96)$, etc. Lo que buscamos al construir a los números enteros es «agrupar» a las parejas con la misma solución $x$. Sin embargo, para que más adelante podamos también «considerar a los negativos», tendremos que cambiar un poco el enfoque.

La siguiente proposición nos permite describir quiénes son todas las parejas $(c,d) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ que tienen la misma solución.

Proposición. Sean $(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ y $(c,d) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ con $a\geq b$ y $c\geq d$. Se tiene que las ecuaciones $a=b+x$ y $c=d+x$ tienen la misma solución $x$ si y sólo si $a+d = b+c$.

Demostración. $\Longrightarrow )$ Comencemos suponiendo que las ecuaciones $a=b+x$ y $c=d+x$ tienen una misma solución $x$. Esto en símbolos quiere decir que

\begin{align*} a &= b+x \\ d + x &= c \end{align*}

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos lo siguiente (aquí ya estamos usando las propiedades conmutativa y asociativa de la suma):

$$a + d + x = b + c + x.$$

En entradas anteriores ya demostramos que se cumple la ley de la cancelación en $\mathbb{N}$. Cancelando $x$ de ambos lados de la igualdad anterior, obtenemos $$a+d=b+c,$$ que era lo que queríamos.

$\Longleftarrow )$ Ahora comencemos con parejas $(a,b)$ y $(c,d)$ tales que $a+d=b+c$. Sea $k \in \mathbb{N}$ una solución de la ecuación $a = b + x$. Es decir, $a = b + k$. Sumando $d$ de ambos lados y usando la hipótesis, tenemos lo siguiente

\begin{align*} b + d + k &= a + d\\
&= b+c.
\end{align*}

Usando la ley de la cancelación en el término $b$, obtenemos que $d+k=c$, es decir, que $k$ también es solución de la ecuación $c=d+x$.

$\square$

La proposición anterior motiva entonces la siguiente definición para todas las parejas $(a,b)$, no sólo para aquellas con $a\geq b$.

Definición. Sean $(a,b)$ y $(c,d)$ parejas de números naturales. Diremos que $(a,b)\sim(c,d)$ si y sólo si $a + d = b + c$.

Probemos una propiedad fundamental de $\sim$.

Proposición. La relación $\sim$ en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ es una relación de equivalencia.

Demostración. Debemos demostrar que $\sim$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

  1. Reflexividad. Veamos que para toda $(a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ se cumple que $(a,b)\sim (a,b)$. Por la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$, $a + b = b + a$. Así, $(a,b) \sim (a,b)$.
  2. Simetría. Veamos que para cualesquiera $(a,b),(c,d) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N}$, si $(a,b)\sim (c,d)$, entonces $(a,b) \sim (c,d)$. Sean $(a,b)$ y $(c,d)$. Si $(a,b)=(c,d)$, entonces $a+d = b+c$. Nuevamente por la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$, se desprende que $c + b = d + a$. Esto es precisamente la definición de $(c,d)\sim(a,b)$.
  3. Transitividad. Veamos que para cualesquiera $(a,b), (c,d),(e,f) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ tales que $(a,b)\sim (c,d)$ y $(c,d)\sim (e,f)$, se obtiene que $(a,b)\sim (e,f)$. Sean $(a,b)$, $(c,d)$ y $(e,f)$ tales que $(a,b)\sim (c,d)$ y $(c,d)\sim (e,f)$. Esto quiere decir que $a+d=b+c$ y que $c+f=d+e$. Sumando ambas ecuaciones, se obtiene $$a+f+c+d=b+e+c+d.$$ Usando la ley de cancelación en $c+d$ obtenemos la ecuación $$a+f=b+e,$$ la cual precisamente corresponde a la relación $(a,b)\sim (e,f)$.

$\square$

Con sólo estas dos proposiciones ya debería quedar más claro de dónde sale la noción formal de número entero, que es la siguiente.

Definición. Un número entero es una clase de equivalencia de $\sim$, es decir, es un conjunto de la siguiente forma:

\begin{equation}
\overline{(a,b)} := \left\{(c,d)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N} : a+d = b+c \right\}.
\end{equation}

Ejemplo. ¿Quién es el número entero $\overline{(0,0)}$? Es el conjunto de parejas $(c,d)$ para las cuales $0+d=c+0$, es decir, aquellas en donde $c=d$. De esta forma, $$\overline{(a,b)}=\{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),\ldots\}.$$

¿Cuándo dos números enteros son iguales? Para esto, debe suceder como conjuntos que $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}$. Como $\sim$ es reflexiva, se tiene que $(a,b)\in \overline{(a,b)}$. Así, $(a,b)$ debe estar en $\overline{(c,d)}$ para que pueda darse la igualdad de conjuntos. Es decir, se necesita que $(a,b)\sim (c,d)$. Es fácil convencerse de que esto es una condición necesaria y suficiente.

El conjunto de los números enteros

En la definición de número entero podemos ir cambiando la pareja $(a,b)$ para ir obteniendo distintos conjuntos. Como $\sim$ es una relación de equivalencia en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, al variar sobre todas las posibles parejas, estos conjuntos del estilo $\overline{(a,b)}$ forman una partición de $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$. Si quieres recordar por qué, puedes ver las entradas correspondientes en el curso de Álgebra Superior I. El conjunto de todas las clases de equivalencia será nuestro conjunto de números naturales.

Definición. Para $(a,b) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$, el conjunto de los números enteros será la colección de todas las clases de equivalencia arriba mencionadas. En símbolos, definimos lo siguiente:

\begin{equation}
\mathbb{Z} := \left\{ \overline{(a,b)} : (a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N} \right\}.
\end{equation}

De ahora en adelante, abreviaremos la notación de clase de equivalencia por $\overline{(a,b)}$ (sin la tilde), para facilitar escribir las demostraciones. Otra notación usada comúnmente en la literatura es $[(a,b)]$, sin la tilde.

La suma de los números enteros

Hasta ahora los elementos del conjunto $\mathbb{Z}$ son clases de equivalencia y esto está algo alejado de nuestra noción de números. Definamos operaciones en $\mathbb{Z}$ para que de nuevo los pensemos como un sistema numérico. Comenzamos definiendo la suma de enteros como sigue.

Definición. La suma en los enteros es la función $ \widehat+ : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} $ tal que $$\overline{(a,b)} \enspace \widehat+ \overline{(c,d)} = \overline{(a+c,b+d)}.$$

De manera intuitiva, lo que esta suma refleja es que si tenemos dos ecuaciones $a = b + x$ y $c = d + y$, y las sumamos, entonces se obtiene la ecuación:

$$ a + c = (b + d) + (x + y),$$ la cual correspondería a la clase de equivalencia $\overline{(a+c,b+d)}$.

En la definición utilizamos símbolos distintos para la suma. El símbolo $+$ se refiere al símbolo de suma en $\mathbb{N}$ al cual estamos muy bien acostumbrados. El símbolo $\widehat +$ se refiere al símbolo en $\mathbb{Z}$ que estamos definiendo y que será la suma en $\mathbb{Z}$, para la cual aún tenemos que probar que se cumplan las propiedades que queremos. De ahora en adelante simplemente estaremos usando el símbolo $+$ para ambas, así que es muy importante que en cada momento te preguntes si se refiere al símbolo en $\mathbb{N}$ o en $\mathbb{Z}$, lo cual será claro por el contexto.

Un problema que podríamos tener con la definición de suma es que no estuviera bien definida. Es decir, que si tomamos diferentes representantes de la clase de equivalencia, al hacer la suma obtengamos un resultado diferente. A continuación mostramos que esto en realidad no es un problema.

Proposición. La suma en los enteros está bien definida. Es decir, si $(a,b)\sim (a’,b’)$ y $(c,d)\sim (c’,d’)$, entonces $(a+d,b+c)\sim(a’+d’,b’+c’)$.

Demostración. Las hipótesis corresponden a que $a+b’=b+a’$ y a que $c+d’=d+c’$, que escribiremos como $d+c’=c+d’$. Sumando la primera igualdad con la tercera, reordenando y agrupando términos, obtenemos que $$(a+d)+(b’+c’)=(b+c)+(a’+d’),$$

lo que significa que, como se quería, $(a+d , b+c) \sim (a’+d’, b’+c’).$ Es decir, $\overline{(a+d , b+c)} = \overline{(a’+d’ , b’+c’)}$, de modo que el resultado final de la suma no depende de los representantes que elegimos para hacerla.

$\square$

Propiedades de la suma en $\mathbb{Z}$

Como estamos definiendo una nueva operación de suma, hay que revisar de nuevo que tenga las propiedades que se necesitan para poder trabajar con ella de la manera usual. En esta sección hacemos esto.

Proposición. Se satisfacen las siguientes propiedades para la operación de suma en $\mathbb{Z}$.

  • Asociatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ se satisface que $$(\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)})+\overline{(e,f)}=\overline{(a,b)}+(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}).$$
  • Conmutatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se satisface que $$\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}=\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}.$$
  • Neutro. Existe un elemento neutro, es decir, existe un entero $\overline{(m,n)}$ tal que para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ se cumple que $$\overline{(a,b)}+\overline{(m,n)}=\overline{(a,b)}.$$
  • Inversos. Para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ existe un entero $\overline{(c,d)}$ tal que la suma $\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}$ es el neutro de la propiedad anterior.

Demostración. La asociatividad se sigue de la siguiente cadena de igualdades.

\begin{align*}
(\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)})+\overline{(e,f)}&=\overline{(a+c,b+d)}+\overline{(e,f)}\\
&=\overline{((a+c)+e,(b+d)+f)}\\
&=\overline{(a+(c+e),b+(d+f))}\\
&=\overline{(a,b)}+\overline{(c+d,d+f)}\\
&=\overline{(a,b)}+(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)}).
\end{align*}

En la primera, segunda, penúltima y última igualdades estamos usando la definición de suma en $\mathbb{Z}$. En la tercer igualdad estamos usando la asociatividad de la suma en $\mathbb{N}$.

Para demostrar la conmutatividad de la suma en $\mathbb{Z}$ usamos la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$ en la segunda igualdad de la siguiente cadena:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)}&=\overline{(a+c,b+d)}\\
&=\overline{(c+a,d+b)}\\
&=\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}.
\end{align*}

El elemento neutro de la suma en $\mathbb{Z}$ es el entero $\overline{(0,0)}$ pues, en efecto, si tomamos cualquier entero $\overline{(a,b)}$, tenemos que $$\overline{(a,b)}+\overline{(0,0)}=\overline{(a+0,b+0)}=\overline{(a,b)}.$$

Aquí estamos usando que en los naturales el $0$ es neutro para la suma.

Finalmente, dado cualquier entero $\overline{(a,b)}$, notamos que su inverso aditivo sería el entero $\overline{(b,a)}$. En efecto, su suma sería $$\overline{(a,b)}+\overline{(b,a)}=\overline{(a+b,a+b)}=\overline{(0,0)}.$$

La primer igualdad está usando la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$ y la última el hecho de que $(a+b,a+b)\sim (0,0)$.

$\square$

Como los inversos aditivos se usan frecuentemente, usamos un símbolo especial para ellos: el símbolo de menos. Usamos también este símbolo en la definición de la función resta.

Definición. Para un entero $\overline{(a,b)}$ definimos $-\overline{(a,b)}:=\overline{(b,a)}$.

Para restar enteros, simplemente a un entero le sumamos el inverso del otro.

Definición. La resta de dos enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ es el entero

\begin{align*}
\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}:&=\overline{(a,b)}+(-\overline{(c,d)})\\
&=\overline{(a,b)}+\overline{(d,c)}\\
&=\overline{(a+d,b+c)}.
\end{align*}

Cerrando el círculo

Finalizamos esta entrada observando que en $\mathbb{Z}$ ahora sí cualquier ecuación de la forma $r = w + s$ tiene una solución $w$ sin importar los valores de $r$ y $s$.

Proposición. Para cualesquiera enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se tiene que existe un entero $\overline{(x,y)}$ tal que $$\overline{(a,b)}=\overline{(x,y)}+\overline{(c,d)}.$$

Demostración. La solución es el entero $\overline{(x,y)}=\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)}$. En efecto, usando las propiedades de la suma en $\mathbb{Z}$ y la definición de resta, tenemos que:

\begin{align*}
\overline{(x,y)}+\overline{(c,d)}&=(\overline{(a,b)}-\overline{(c,d)})+\overline{(c,d)}\\
&=\overline{(a,b)}+(-\overline{(c,d)}+\overline{(c,d)})\\
&=\overline{(a,b)}+\overline{(0,0)}\\
&=\overline{(a,b)}.
\end{align*}

Más adelante…

En esta entrada definimos a los enteros, al conjunto de números enteros y a la operación de suma. Vimos también que la suma tiene buenas propiedades. La estructura algebraica de $\mathbb{Z}$ es todavía más rica. Dentro de $\mathbb{Z}$ también se puede definir un producto y una relación de orden. Haremos esto en las siguientes entradas, enunciaremos las propiedades que tienen y las demostraremos.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Repasa por qué las clases de equivalencia inducidas por una relación de equivalencia sobre un conjunto $X$ forman una partición del conjunto $X$.
  2. Encuentra la solución a la siguiente ecuación en los enteros $$\overline{(5,3)}=\overline{(x,y)}+\overline{(1,8)}.$$ Tu respuesta debe ser un número entero, es decir, un conjunto de parejas de naturales. ¿Cuáles son esas parejas?
  3. Para cualesquiera enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$, muestra que la solución $\overline{(x,y)}$ a la ecuación $$\overline{(a,b)}=\overline{(x,y)}+\overline{(c,d)}$$ es única. Concluye que tanto el neutro aditivo de $\mathbb{Z}$, como los inversos aditivos en $\mathbb{Z}$ son únicos.
  4. Demuestra que para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ se tiene que $-(-\overline{(a,b)})=\overline{(a,b)}$.
  5. Demuestra que para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se tiene que $$-(\overline{(a,b)}+\overline{(c,d)})=(-\overline{(a,b)})+(-\overline{(c,d)}).$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»