Introducción
En la entrada anterior comenzamos a hablar acerca de resolver en los complejos ecuaciones de distintos tipos. Además, profundizamos en cómo resolver las ecuaciones cuadráticas complejas. En esta entrada platicaremos acerca de los sistemas de ecuaciones lineales complejos.
Resolveremos con detalle el caso de dos variables y dos ecuaciones. Después, hablaremos un poco acerca de sistemas de ecuaciones con más variables. Un estudio cuidadoso de los sistemas de ecuaciones lineales con más variables se hace en los cursos de álgebra lineal. Un muy buen texto para aprender estos temas es el libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.
Sistemas de ecuaciones lineales complejos con dos incógnitas
Si son elementos de
y
, la ecuación lineal


Si tenemos números complejos , el sistema de ecuaciones lineales en los complejos
puede comportarse de tres formas distintas:
- Su solución existe y es única
- Tiene una infinidad de soluciones
- No tiene solución
Si tiene al menos soluciones distintas, tenemos entonces que tiene una infinidad. Cuando la solución del sistema es única, el sistema se puede resolver por los métodos básicos con los que se resuelve un sistema en :
- Por substitución: de la primera ecuación se despeja la variable
y su valor se pone en la segunda ecuación. De ahí, obtenemos una ecuación en
. Se despeja
para obtener su valor y con ello se obtiene el valor de
- Igualando coeficientes: multiplicamos la primer ecuación por
y la segunda por
. Al sumar ambas ecuaciones resultantes, queda una ecuación lineal en
.
Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales complejos
Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema
Solución. Para empezar, multiplicamos la segunda ecuación por , de donde obtenemos el sistema
Sumando ambas ecuaciones, obtenemos que . Multiplicando por
de ambos lados, obtenemos
Substituyendo en la segunda ecuación, notamos que



Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema
Solución. Multiplicando la primer ecuación por obtenemos que es equivalente a la ecuación







Ejemplo. Determina todas las soluciones del sistema
Solución. Supongamos que existe alguna solución para y
. Multipliquemos la primer ecuación por
y la segunda por
. Obtendríamos que
De aquí, , lo cual es una contradicción. Así, esta ecuación no tiene soluciones.
Método del determinante
Un método más general para resolver sistemas de ecuaciones lineales complajos con dos incógnitas, que nos dice todo lo que puede suceder, es el siguiente. De hecho, exactamente el mismo teorema funciona para .
Teorema. Sean en
. Para el sistema
definimos a su determinante como el complejo . Entonces:
- Si el determinante no es
, entonces el sistema tiene una solución única para
y
dada por
- Si el determinante es
, entonces el sistema no tiene solución, o tiene una infinidad.
Demostración. Cuando el determinante no es , resolvemos el sistema por igualación de coeficientes. Multiplicando la primer ecuación por
, la segunda por
y sumando, obtenemos que


Cuando el determinante es , tenemos que
. Si
, para que exista una solución se necesita forzosamente
, y de hecho en este caso cualquier pareja
funciona. Si en este caso alguno de
o
no es
, el sistema no tiene solución.
Así, continuando el análisis podemos suponer sin pérdida de generalidad que . De este modo,
, de modo que la segunda ecuación es equivalente a

Si , tendríamos de la ecuación anterior
y del determinante
. Como
, se necesita que
, de modo que en realidad sólo tenemos una ecuación, la primera. Como
, podemos elegir cualquier valor de
y de ahí despejar el valor de
, obteniendo una infinidad de soluciones.
Si , entonces la ecuación
es equivalente a la ecuación
. La primer ecuación y esta implican que si hay solución, entonces
. De ser así ,sólo tenemos una ecuación, pero repetida. Por el mismo argumento de arriba, hay una infinidad de soluciones.
Sistemas de ecuaciones lineales complejos con más incógnitas
Los sistemas lineales complejos con más incógnitas se pueden resolver con las mismas técnicas que aquellos en los reales. En cursos como álgebra lineal verás cómo resolver en sistema lineal en general y cómo saber cómo se ven todas sus soluciones. Sin embargo, puedes aprovechar lo que ya sabes del álgebra de los complejos para resolver distintos sistemas lineales.
Problema. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones
Solución. Resolvemos el sistema por substitución. Nos conviene empezar con la tercer ecuación, que tiene únicamente una variable. De ella obtenemos que . Substituyendo en la segunda ecuación, obtenemos que
Con los valores de y
podemos substituir en la primer ecuación. Notando que
obtenemos que
En resumen,
es la única posible solución, y se puede mostrar que en efecto satisface las tres ecuaciones.
Problema. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones
Solución. Sumando todas las ecuaciones, tenemos que
De la primera ecuación, obtenemos que
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Verifica que las soluciones de los ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales complejos de dos variables en efecto son soluciones.
- Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones
- En el teorema del método del determinante, cuando el determinante no es cero, encontramos una solución. Verifica que en efecto satisface el sistema original.
- Verifica que las soluciones de los ejemplos en varias variables en efecto satisfacen el sistema original.
- Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones