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Álgebra Superior II: El producto en los enteros

Introducción

En la entrada anterior hablamos de cómo se construye el conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros y cómo definir una operación de suma en él. Vimos que esta operación de suma tenía cuatro propiedades clave: asociatividad, conmutatividad, existencia de un neutro y de inversos. A partir de ello definimos también la operación de resta. En esta entrada continuaremos con la construcción de las operaciones en $\mathbb{Z}$. Ahora definiremos el producto de números enteros.

Intuición del producto de enteros y su definición formal

La definición de la suma de los enteros resultó ser muy sencilla. Si tenemos enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ entonces para hacer la suma simplemente «sumamos entrada a entrada» para obtener $\overline{(a+c,b+d)}$. Uno podría pensar que para hacer el producto de enteros esto debe ser igual de fácil, definiendo al producto simplemente como $\overline{(ac,bd)}$. Sin embargo, esta definición no funciona, pues no tiene muchas de las propiedades valiosas que debería tener una operación de producto.

Antes de dar la definición, recordemos nuestra intuición de qué quería decir cada pareja $(a,b)$. En la entrada anterior, a cada pareja la asociábamos con la ecuación $a=x+b$. La relación de equivalencia que dimos consistía en asociar a las parejas cuyas ecuaciones daban la misma solución. De manera informal, podemos pensar entonces a la pareja $(a,b)$ como si fuera $a-b$. Pero ojo: esto sólo es intuición, pues $a$ y $b$ son elementos de $\mathbb{N}$ y ahí no hay operación de resta.

De cualquier forma, esta intuición es valiosa, pues nos sugiere cuál debería de ser la definición de producto. De manera intuitiva, queremos que suceda $(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd=(ac+bd)-(ad+bc)$, y aquí cada término entre paréntesis sí es un natural válido: $ac+bd$ y $ad+bc$, así que el resultado correspondería a la pareja $(ac+bd,ad+bc)$. Es muy interesante que esta intuición informal en verdad da una buena definición de producto.

Definición. El producto en $\mathbb{Z}$ es la función $\star:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tal que para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$, se tiene que $$\overline{(a,b)} \star \overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd),(ad+bc)}.$$

Como en el caso de la suma, estamos usando un símbolo especial para el producto en $\mathbb{Z}$, de modo que podamos distinguirlo del producto en $\mathbb{N}$. Así como en el caso de la suma, sólo haremos la distinción explícita en este momento. Usualmente nos referiremos al producto de enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ como $\overline{(a,b)}\cdot \overline{(c,d)}$, o simplemente como $\overline{(a,b)} \overline{(c,d)}$. Esto será claro por el contexto.

El producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido

Nuestra definición de producto en $\mathbb{Z}$ es un poco extraña, así que debemos dedicar algo de trabajo a verificar que en realidad es el producto tal y como siempre lo habíamos conocido. La primer cosa que debemos hacer es ver que el producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido, es decir, que el resultado es el mismo independientemente de los representantes que se elijan para realizar la multiplicación.

Proposición. El producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido.

Demostración. Comencemos con parejas $(a,b)\sim (e,f)$ y $(c,d)\sim (g,h)$. Como $(a,b) \sim (e,f)$, entonces $$ a + f = b + e.$$ También, $(c,d) \sim (g,h)$, implica que $$c + h = d + g.$$

Usando la definición de producto de dos enteros, se tiene por un lado que
$$\overline{(a,b)}\overline{(c,d)} = \overline{(ac + bd, ad + bc)}.$$

Por otro lado, tenemos

$$\overline{(e,f)}\overline{(g,h)} = \overline{(eg + fh, eh + fg )}.$$

Así, debemos demostrar que $\overline{(ac + bd, ad + bc)} = \overline{(eg + fh, eh + fg )}$. Poniendo en términos de la relación de equivalencia, se deberá cumplir que $$ (ac + bd) + (eh + fg) = (ad + bc) + (eg + fh).$$

Multiplicando las primeras igualdades que encontramos, tenemos lo siguiente:
\begin{align*}
(a + f) (c+h) &= (b+e)(d +g) \\
ac + ah + fc + fh &= bd + bg + ed + eg.
\end{align*}

Sumemos $bd + fh$ en ambos lados de la ecuación y usemos nuevamente las hipótesis para obtener las siguientes igualdades:

\begin{align*}
(bd + fh) + ac + ah + fc + fh &= (bd + fh) + bd + bg + ed + eg \\
(ac + bd) + h(a + f) + f(c + h) &= b(d + g) + d(b +e) + (eg + fh) \\
(ac + bd) + h (b + e) + f (d + g) &= b(c + h) + d(a + f) + (eg + fh) \\
(ac + bd + eh + fg) + hb + df &= (bc + ad + eg + fh) + hb + df \\
ac + bd + eh + fg &= ad + bc + eg + fh.
\end{align*}

Esto es justo lo que queríamos mostrar.

$\square$

En la demostración anterior estamos usando las propiedades de las operaciones en $\mathbb{N}$ ya prácticamente sin enunciarlas. A estas alturas ya podemos hacer eso, pues hemos trabajado bastante con ellas. Sin embargo, es importante que de vez en cuando te preguntes por qué se vale cada una de las igualdades.

Propiedades del producto en $\mathbb{Z}$

Ya que hemos definido el producto en los enteros, es importante verificar que hay algunas propiedades que se cumplen. Esto nos permitirá más adelante trabajar sin problema con el producto de enteros, como se ha hecho desde la educación básica.

Proposición. Se satisfacen las siguientes propiedades para la operación de producto en $\mathbb{Z}$.

  • Asociatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ se satisface que $$(\overline{(a,b)}\overline{(c,d)})\overline{(e,f)}=\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}\overline{(e,f)}).$$
  • Conmutatividad. Para enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ se satisface que $$\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(c,d)}\overline{(a,b)}.$$
  • Neutro. Existe un elemento neutro, es decir, existe un entero $\overline{(m,n)}$ tal que para cualquier entero $\overline{(a,b)}$ se cumple que $$\overline{(a,b)}\overline{(m,n)}=\overline{(a,b)}.$$
  • Los únicos elementos que tienen inverso multiplicativo son $\overline{(1,0)}$ y $\overline{(0,1)}$.

Demostración. Las demostraciones de la asociatividad y la conmutatividad quedan como tarea moral. La sugerencia es desarrollar ambos lados de las igualdades usando la definición de producto, y luego utilizar propiedades del producto y la suma en $\mathbb{N}$.

El elemento que sirve como neutro para el producto es el $\overline{(1,0)}$. En efecto, usando la definición tenemos que: $$\overline{(a,b)}\overline{(1,0)}=\overline{(a\cdot 1+b\cdot 0, a\cdot 0 + b\cdot 1)}=\overline{(a,b)}.$$

Es sencillo ver que los elementos indicados sí tienen inverso. El inverso de $\overline{(1,0)}$ es él mismo y el inverso de $\overline{(0,1)}$ también es él mismo. En efecto:

\begin{align*}
\overline{(1,0)}\overline{(1,0)}&=\overline{(1\cdot 1+0\cdot 0,1\cdot 0+0\cdot 1)}=\overline{(1,0)}\\
\overline{(0,1)}\overline{(0,1)}&=\overline{(0\cdot 0+1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)}=\overline{(1,0)}.
\end{align*}

Para ver que estos son los únicos elementos que tienen inversos, supongamos que algún otro entero $\overline{(a,b)}$ tiene inverso multiplicativo $\overline{(c,d)}$. Esto querría decir que $\overline{(ac+bd,ad+bc)}=\overline{(1,0)}$, que en términos de la relación de equivalencia se traduce a $$ac+bd=ad+bc+1.$$

Si $a=b$, la igualdad no se puede dar pues tendríamos $ac+ad=ad+ac+1$, que es imposible. Por tricotomía en $\mathbb{N}$, tenemos entonces que $a>b$ o $a<b$. Resolveremos el caso $a>b$ y el caso $a<b$ quedará como tarea moral.

Si $a=b+1$, entonces la igualdad queda como $(b+1)c+bd=(b+1)d+bc+1$, que se simplifica a $c=d+1$. Esto nos da la solución $\overline{(a,b)\}=\overline{(c,d)\}=\overline{(1,0)\}$.

En otro caso, tenemos $a\geq b+2$ y por lo tanto podemos escribir $a=b+1+k$ con $k\geq 1$. La igualdad queda entonces como $$(b+1+k)c+bd=(b+1+k)d+bc+1.$$ Desarrollando y simplificando tenemos que $$c+kc=d+kd+1.$$ Si $d\geq c$, el lado derecho claramente es más grande, así que no hay solución. De este modo, $d<c$ y por lo tanto podemos escribir $c=d+l$ con $l\geq 1$. Usando esta igualdad en $c+kc=d+kd+1$, llegamos a la igualdad $$d+l+kd+kl=d+kd+1,$$ que se simplifica a $$l(k+1)=1.$$ Pero como $k\geq 1$, entonces $k+1\geq 2$ y como además $l\geq 1$, tenemos $l(k+1)\geq 2$, así que en este caso no tenemos soluciones.

$\square$

Las propiedades anteriores se pueden enunciar únicamente en términos de la operación de producto. Además de estas propiedades, hay otra que nos dice cómo el producto interactúa con la operación suma en $\mathbb{Z}$.

Proposición. Se cumple la ley distributiva para la suma y el producto, es decir, para enteros $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ y $\overline{(e,f)}$ se cumple que $$\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)})=\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}.$$

Demostración. Realizando la operación correspondiente al lado izquierdo tenemos:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}+\overline{(e,f)})&=\overline{(a,b)}\overline{(c+e,d+f)}\\
&=\overline{(a(c+e)+b(d+f),a(d+f)+b(c+e))}\\
&=\overline{(ac+ae+bd+bf,ad+af+bc+be)}.
\end{align*}

Observa cómo aquí se está usando la propiedad distributiva, pero en $\mathbb{N}$.

Realizando la operación correspondiente al lado derecho tenemos:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}+\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}&=\overline{(ac+bd,ad+bc)}+\overline{(ae+bf,af+be)}\\
&=\overline{(ac+bd+ae+bf,ad+bd+af+be)}.
\end{align*}

Usando la conmutatividad de la suma en $\mathbb{N}$, obtenemos que esta expresión es igual a la del lado izquierdo, como queríamos.

$\square$

Divisores de cero y cancelación

Hasta donde hemos platicado, los enteros tienen suma, resta y producto. Sin embargo, en los enteros todavía no tenemos una operación de división. Esto causa un par de dificultades. Una de estas es que cuando queremos resolver ecuaciones del estilo $a=bx$ con $a$ y $b$ enteros y $x$ un entero por determinar, no podemos simplemente «pasar la $b$ dividiendo» y obtener $x=a/b$. Otra dificultad es que cuando tenemos una igualdad del estilo $ab=ac$ tampoco podemos simplemente «dividir entre $a$».

La primer dificultad la estudiaremos más a detalle cuando entremos a teoría de números qué es lo que sí se puede hacer en $\mathbb{Z}$. Para la segunda, resulta que de cualquier forma podemos concluir casi siempre que $b=c$.

Antes de demostrar esto, veamos un resultado intermedio auxiliar. La siguiente proposición a veces se enuncia como que $\mathbb{Z}$ no tiene divisores de cero, o bien como que si el producto de dos enteros es cero, entonces alguno de ellos debe de ser cero.

Proposición. Si $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$ pertenecen a $\mathbb{Z}$ y $\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(0,0)}$, entonces $\overline{(a,b)}=\overline{(0,0)}$ o $\overline{(c,d)}=\overline{(0,0)}$.

Demostración. Para que el producto $$\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(ac+bd,ad+bc)}$$ sea igual al entero $\overline{(0,0)}$, debe suceder que $$ac+bd+0=ad+bc+0,$$ es decir, que $ac+bd=ad+bc$. A partir de esto, debemos de demostrar que o bien $a=b$, o bien que $c=d$. Supongamos que $a\neq b$ (en otro caso, ya tenemos lo buscado). Por tricotomía, debe pasar $a>b$ ó $a<b$.

Si $a>b$, entonces existe un entero $k>1$ tal que $a=b+k$, de modo que tenemos las siguientes igualdades:

\begin{align*}
ac+bd&=ad+bc\\
(b+k)c+bd&=(b+k)d+bc\\
bc+kc+bd&=bd+kd+bc\\
kc&=kd.
\end{align*}

Como $k>=1$, podemos usar la cancelación del producto en $\mathbb{N}$ para obtener $c=d$, como queríamos. Falta el caso $a<b$, pero es análogo al anterior. Los detalles quedan como tarea moral.

$\square$

Ahora sí podemos demostrar que en $\mathbb{Z}$ se vale cancelar factores distintos de cero.

Proposición. Sean $\overline{(a,b)}$, $\overline{(c,d)}$, $\overline{(e,f)}$ elementos en $\mathbb{Z}$. Supongamos que $\overline{(a,b)}\neq \overline{(0,0)}$ y que $$\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}=\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}.$$

Entonces $\overline{(c,d)}=\overline{(e,f)}$.

Demostración. Tenemos las siguientes igualdades:

\begin{align*}
\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}&=\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}\\
\overline{(a,b)}\overline{(c,d)}-\overline{(a,b)}\overline{(e,f)}&=0\\
\overline{(a,b)}(\overline{(c,d)}-\overline{(e,f)})&=0.\\
\end{align*}

Para pasar de la primera a la segunda, estamos restando de ambos lados, lo cual es válido en $\mathbb{Z}$. De la segunda igualdad a la tercera se está usando la ley distributiva para la resta (ver Tarea moral). A partir de aquí podemos usar la proposición anterior. Como $\overline{(a,b)}$ no es cero, entonces $\overline{(c,d)}-\overline{(e,f)}=0$. De aquí se obtiene $\overline{(c,d)}=\overline{(e,f)}$, que es lo que queríamos mostrar.

$\square$

Tarea moral

  1. Realiza por definición el producto de los enteros $\overline{(8,3)}$ y $\overline(3,5)$. ¿Lo que obtienes tiene sentido con el hecho de que $5\cdot (-2)=-10$?
  2. Demuestra que el producto en $\mathbb{Z}$ es asociativo y conmutativo.
  3. Para terminar la demostración de que $\mathbb{Z}$ no tiene divisores de cero, muestra que si se tienen naturales $a,b,c,d$ tales que $ac+bd=ad+bc$ y $a<b$, entonces $c=d$. Recuerda que debes trabajar todo en $\mathbb{N}$, en donde no se pueden restar elementos.
  4. Termina la demostración de que en $\mathbb{Z}$ los únicos elementos con inversos multiplicativos son $\overline{(1,0)}$ y $\overline{(0,1)}$. Tendrás que llegar a que en el caso faltante la única solución es $\overline{(a,b)}=\overline{(c,d)}=\overline{(0,1)}$.
  5. Enuncia y demuestra una ley distributiva para la resta.
  6. Si definiéramos al producto de dos enteros $\overline{(a,b)}$ y $\overline{(c,d)}$ como el entero $\overline{(ac,bd)}$, ¿cuáles de las propiedades que hemos discutido en esta entrada fallarían?

Más adelante

Ya tenemos las operaciones para los números enteros. Aún nos falta introducir un concepto muy importante: el de orden. Esto lo haremos en la siguiente entrada. Además, veremos que la noción de orden en $\mathbb{Z}$ es compatible con sus operaciones.

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Introducción.

En las entradas anteriores, nos encargamos de definir con toda formalidad la estructura con la que hemos estado familiarizados desde hace mucho; sin embargo, en principio, la forma en que definimos el orden y las distintas operaciones, no parece ser que

Para finalizar con el estudio de los números naturales, veremos las importantes relaciónes que hay entre el orden que definimos para $\mathbb{N}$ en la entrada anterior, y las operaciones que hemos trabajado a lo largo de este tema. Para esto, nuevamente ocuparemos el Principio de Inducción.

Una equivalencia del orden

Aunque como mencionamos en la introducción, la forma en que definimos el orden, no parece tener mucha relación con las operaciones definidas, usando la definición de la suma, podemos dar una definición equivalente del orden en $\mathbb{N}$, en el siguiente teorema, demostramos que en efecto, ambas caracterizaciones son equivalentes.

Teorema.Si $n,m$ son números naturales, se tiene que $n<m$ si y sólo si existe $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que n+k=m

Demostración. Procedamos por inducción sobre $n$.

Si $n=0$, si $0<m$, entonces $m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ y $n+m=0+m=m$. Recíprocamente, si existe $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que $0+k=m$, tendremos que $k=m$, por lo que $m\neq 0$ y por lo tanto $0<m$. Con esto probamos la base de inducción.

Supongamos que el resultado es válido para alguna $n$ y probemos que el resultado para $\sigma(n)$ es decir, que si $m\in\mathbb{N}$ se tiene que $\sigma(n)<m\Leftrightarrow$ existe $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ tal que $\sigma(n)+k=m$.

Verifiquemos la ida de la demostración. Supongamos que $\sigma(n)<m$, entonces $n<m$, por lo que por la hipótesis de inducción concluimos que existe $k\neq 0$ tal que $n+k=m$, como $k\neq0$, existe $k’$ tal que $\sigma(k’)=k$, entonces tenemos que

\begin{align*}
m&=n+k\\
&=n+\sigma(k’)\\
&=\sigma(n)+k’
\end{align*}

Notemos además que $k’\neq 0 $, ya que si $k’=0$, entonces $m=\sigma(n)$ lo cual es un contradicción.

Para el regreso, supongamos que existe $k\neq 0$ tal que $\sigma(n)+k=m$ y demostremos que $\sigma(n)\in m$. Como $\sigma(n)+k=m$, concluimos que $n+ \sigma(k)=m$, por lo que $n<m$ y por lo visto en la entrada de La relación de orden en los naturales, tendremos que $\sigma(n)\leq m$. Si $\sigma(n)=m$, entonces cancelando, obtenemos que $k=0$, lo cual es absurdo, entonces solo queda que $\sigma(n)<m$. Con esto concluimos la inducción y la prueba

$\square$

El orden y las operaciones

Con el anterior resultado, es más fácil ver las relaciones que tendrán el orden con las operaciones, por ejemplo, la siguiente.

Teorema. Si $n<m$ y $l\in\mathbb{N}$, entonces $n+l<m+l$

Demostración. Como $n<m$, entonces existe $k\neq 0$ tal que $n+k=m$, de donde $n+l+k=m+l$, pero justo esa es la definición de que $n+l<m+l$

$\square$

Corolario. Si $a<b$ y $c<d$, entonces $a+c<b+d$

Demostración. Como $a<b$, entonces $a+c<b+c$, y como $c<d$, tenemos que $b+c<b+d$. Por la transitividad del orden, obtenemos el resultado

$\square$

Finalizamos la entrada, marcando la relación entre el orden y la multiplicación.

Teorema. Si $n<m$ y $l\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $n\cdot l<m\cdot l$

Demostración. Como $n<m$ entonces existe $k\neq 0$ tal que $n+k=m$, por lo que $nl+lk=ml$, sin embargo, como $l$ y $k$ son distintos de cero, entonces $lk$ también es distinto de cero, por lo que $nl<ml$ justo como debíamos probar.

$\square$

Tarea moral

  • Demuestra que si $a<b$ y $c<d$, entonces $ac<bd$, no es necesario suponer que los números son distintos de cero
  • Si $n<m$ y $l\neq 0$, entonces $n^l<m^l$. Sugerencia, usa inducción sobre $l$
  • Si $n<m$ y $l\neq 0$, entonces $l^n<l^m$
  • Si $n<m$, entonces $n!<m!$
  • Demuestra que si $n,m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $(1+m)^n\geq 1+nm$

Más adelante

Con esta entrada, terminamos el estudio de los números naturales, por lo que en la siguiente entrada empezaremos con el estuidio de los números enteros, sin embargo, toda la teoría que hemos desarrollado hasta el momento, será la base para poder dar una definición precisa de qué son los números enteros, y sus operaciones, por lo que es importante seguir practicando.

Hay que hacer una especial mención a los principios de inducción y de buen orden, ya que jugarán un papel crucial a la hora de estudiar las propiedades de los enteros, que nos servirán para desarrollar lo que conocemos como teoría de números.

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Álgebra Superior II: Definición del producto y sus propiedades básicas

Introducción

En la entrada anterior, nos dedicamos a buscar una definición apropiada para la suma de números naturales, y después nos dedicamos a probar las propiedades más elementales que esta operación satisface.

Ahora es el turno de la multiplicación o producto, que se definirá de forma similar a la suma, ya que ocuparemos el teorema de Recursión Débil, y para probar sus propiedades ocuparemos el principio de Inducción.

Te motivamos a releer la entrada anterior y pensar unos momentos en el ejercicio 5 de la entrada anterior.

Definición del producto.

Así como con la suma, recurriremos a una definición recursiva, la cual existe en virtud del teorema de Recursión.

Definición: Sea $m\in\mathbb{N}$, defnimos la función $p_{m}:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$, como la función que satisface las propiedades siguientes:

  1. $p_{m}(0)=0$
  2. $p_{m}(\sigma(n))=s_{m}((p_{m}(n))$.

Denotaremos a $p_{m}(n)$ como $m\cdot n$, o simplemente como $mn$

Ejemplo: Para aclarar la definición anterior, consideremos $p_{7}$ y realicemos el diagrama conmutativo correspondiente a su definición recursiva.

Recordemos que las flechas indican a donde es mandado cada elemento bajo cada función, entonces las flechas verticales, justamente son las que nos indican los valores de $p_{7}$ en cada número natural, observemos que estos valores coinciden con la conocida tabla del $7$.

Aprendiendo a multiplicar por uno

En este momento, demostraremos las propiedades más importantes del producto. Tenemos la fortuna de que contamos con una buena cantidad de propiedades de las funciones $s_{n}$, las cuales ya podremos usar sin ningún problema, más aún, para simplificar la notación haremos uso de la notación $m+n$, en vez de la notación $s_{m}(n)$, cada vez que se pueda.

Siguiendo la idea anterior, mencionamos la siguiente identidad, que es solo una reformulación del punto (2) de la definición del producto, pero que nos servirá para esclarecer la mayor parte de las pruebas.

Observación: $a\cdot\sigma(n)=a+(a\cdot n)$

Para referir a esta observación en una demostración ocuparemos el símbolo $\overset{*}{=}$

Proposición: Para toda $n\in\mathbb{N}$, se tiene que $p_{1}(n)=n$, es decir, $1\cdot n=n$

Demostración. Como se esperaba, la prueba es por inducción sobre $n$.

Base inductiva: Por la definición de $p_{1}$, tenemos que $p_{1}(0)=0$

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $n$, se tiene que $p_{1}(n)=n$

Paso inductivo: Debemos demostrar que $p_{1}(\sigma(n))=\sigma(n)$, esto se sigue por las siguientes igualdades

\begin{align*}
p_{1}(\sigma(n))&\overset{*}{=}1+(p_{1}(n))\\ &\overset{\text{H.I.}}{=}1+n=\sigma(n).
\end{align*}

Donde la última igualdad se da recordando que en la entrad a anterior probamos que $s_{1}(n)=\sigma(n)$

$\square$

Con esto hemos aprendido a multiplicar por $1$.

Aprendiendo a multiplicar por cero

Proposición: Para toda $n\in\mathbb{N}$, se tiene que $p_{0}(n)=n$

Demostración. Procedamos por inducción sobre $n$, la base inductiva es directa de la definición, ya que $p_{0}(0)=0$.

Nuestra hipótesis de inducción consiste en suponer que para alguna $n$ se tiene que $p_{0}(n)=0$. Entonces queda demostrar que $p_{0}(\sigma(n))=0$. Esto se sigue de las siguientes igualdades.

\begin{align*}
p_{0}(\sigma(n))&\overset{*}{=}0+p_{0}(n)\\ &\overset{\text{H.I.}}{=}0+0=0
\end{align*}

$\square$

La propiedad distributiva izquierda

La siguiente propiedad es una de las más famosas, ya que nos permitirá relacionar la suma y el producto, además jugará un papel importante en la demostración de las siguientes propiedades.

Proposición (propiedad distributiva izquierda): Si $a,b,n$ son números naturales, entonces $p_{s_{a}(b)}(n)=s_{p_{a}(n)}(p_{b}(n))$, u ocupando la notación familiar $(a+b)\cdot n=(a\cdot n)+(b\cdot n)$.

Demostración: Procedamos por inducción, como podrás notar con todas estas demostraciones, la inducción será sobre la variable que aparezca más a la derecha de nuestras expresiones, es decir, la inducción será sobre $n$

Base inductiva: Por la definición del producto tenemos que, $(a+b)\cdot 0=0$, y por las propiedades que demostramos para la suma, concluimos que $0=0+0$, sin embargo; de nuevo por la definición del producto, $0=(a\cdot n)$ y $0=(b\cdot n)$, uniendo todas estas igualdades concluimos que $(a+b)\cdot 0=(a\cdot n)+(b\cdot n)$, justo como queremos.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $n$ se tiene que $(a+b)\cdot n=(a\cdot n)+(b\cdot n)$.

Paso inductivo: Debemos probar que $(a+b)\cdot\sigma(n)=(a\cdot\sigma(n))+(b\cdot\sigma(n))$. Por la observación que hicimos, tenemos

\begin{align*}
(a+b)\cdot\sigma(n)&\overset{*}{=}(a+b)+((a+b)\cdot n)\\ &\overset{\text{H.I.}}{=}(a+b)+((a\cdot n)+(b\cdot n))
\end{align}

A partir de aquí, el resultado se seguirá usando la asociatividad y la conmutatividad de la suma, en la siguiente cadena de igualades detallamos la demostración paso a paso ¿Puedes identificar cómo ocupamos las propiedades de la suma?.

\begin{align*}
(a+b)+((a\cdot n)+(b\cdot n))&=a+(b+((a\cdot n)+(b\cdot n)))\\
&=a+((b+(a\cdot n))+(b\cdot n))\\
&=a+(((a\cdot n)+b)+(b\cdot n))\\
&=a+((a\cdot n)+(b+(b\cdot n)))\\
&=(a+(a\cdot n))+(b+(b\cdot n))\\
&\overset{*}{=}(a\cdot \sigma (n))+(b\cdot \sigma (n))
\end{align*}

$\square$

Aunque la prueba anterior fue un poco más confusa que las anteriores, las consecuencias que tendrá esta proposición serán sumamente importantes.

El producto es conmutativo

Como mencionamos, la asociatividad y la conmutatividad, serán una consecuencia de las propiedades distributivas, por el momento veamos que en efecto la suma conmuta.

Proposición (conmutativiad): Si $m,n\in \mathbb{N}$, entonces $m\cdot n=n\cdot m$

Demostración. Una vez más hagamos la prueba por inducción sobre $n$

Base inductiva: Por definición tenemos que $m\cdot 0 =0$, además $p_{0}(m)=0$ por lo demostrado antes, es decir que $m\cdot 0=0=0\cdot m$

Hipótesis de inducción: Supongamos que para alguna $n$, se tiene que $m\cdot n=n\cdot m$

Paso inductivo: Debemos probar que $m\cdot\sigma(n)=\sigma(n)\cdot m$. Esto se sigue ya que

\begin{align*}
m\cdot\sigma(n)&\overset{*}{=}m+(m\cdot n)\\
&\overset{\text{H.I.}}{=}m+(n\cdot m)
\end{align*}

Pero ya demostramos que $m=1\cdot m$, usando esto y la propiedad ditributiva, podemos concluir que

\begin{align*}
m+(n\cdot m)&=(1\cdot m )+(n\cdot m)\\
&=(1+n)\cdot m=\sigma(n)\cdot m
\end{align*}

$\square$

Con la conmutatividad, podemos probar de manera inmediata el siguiente resultado

Corolario (propiedad distributiva derecha): Si $a,b,n$ son números naturales, entonces $a\cdot(b+ n)=(a\cdot b)+(a\cdot n)$.

La prueba queda como un ejercicio moral, en parte porque su prueba no requiere Inducción. Con este resultado, podemos probar la propiedad asociativa del producto.

El producto es asociativo

Con la propiedad asociativa derecha , podemos dar la demostración de la propiedad asociativa del producto

Proposición (asociatividad): Si $a,b,n$ son números naturales, se tiene que $a\cdot(b\cdot n)=(a\cdot b)\cdot n$.

Demostración. De nuevo procedamos por inducción sobre $n$

Base inductiva: Notemos que por definición, para cualquier número natural $m$ se tiene que $0=p_{m}(0)=m\cdot 0$. Con esto en mente tenemos que, $(a\cdot b)\cdot(0)=0=a\cdot 0=a\cdot(b\cdot 0)$ que es justo la base de inducción.

Hipótesis de Inducción: Supongamos que para alguna $n\in \mathbb{N}$, tenemos que $(a\cdot b)\cdot n=a\cdot(b\cdot n)$

Paso Inductivo: Demostremos que $(a\cdot b)\cdot\sigma(n)=a\cdot(b\cdot \sigma(n))$. Como

\begin{align*}
a\cdot b)\cdot\sigma(n)&\overset{*}{=}(a\cdot b)+(a\cdot b)\cdot n\\
&\overset{\text{H.I.}}{=}(a\cdot{b})+a\cdot(b\cdot n)\\
&=a\cdot (b+b\cdot n)\\
&\overset{*}{=}a\cdot(b\cdot \sigma (n))
\end{align*}

la igualdad que no está justificada es la aplicación de la propiedad distributiva.

$\square$

Ley de la cancelación

Para concluir con las propiedades del producto, enunciamos la propiedad de la cancelación del producto, recordemos que esta propiedad también es válida para la suma. Para hacer esta prueba necesitamos trabajar un poco.

Recordemos el ejercicio 2 de la Tarea moral de la entrada Principio de inducción y teoremas de recursión, el cual ya hemos ocupado anteriormente:

Si $n\neq0$, entonces existe $a\in \mathbb{N}$ tal que $n=\sigma(a)$

De la misma forma, el ejercicio 1 de la Tarea moral de la entrada pasada dice que:

Si $a,b\in\mathbb{N}$ son tales que $a+b=0$, entonces $a=b=0$

Con estos resultados en mente probamos el siguiente lema.

Lema: Si $n\neq 0$ y $m\in \mathbb{N}$ es tal que $m\cdot n=0$, entonces $m=0$.

Demostración. Como $n\neq0$, entonces existe $a\in \mathbb{N}$, tal que $n=\sigma(a)$, entonces tenemos que

\begin{align*}
0&=m\cdot n\\
&=m\cdot\sigma(a)\\
\overset{*}{=}m+(m\cdot a).
\end{align*}

Entonces tenemos que $m\cdot a=0$ y que $m=0$ que es lo que debíamos probar

$\square$

Es común usar una equivalencia lógica del enunciado anterior, la cual dice:

Si $n,m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $n\cdot m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$

Proposición (ley de cancelación): Si $m,n$ son números naturales y $a\neq0$ y cunplen que $a\cdot n=a\cdot m$, entonces, $n=m$

Demostración. De nuevo, procedamos por inducción sobre $n$

Base inductiva: Supongamos que $n=0$ y $a\neq0$, entonces $a\cdot m=a\cdot n=a\cdot0 =0,$ por el Lema tenemos que $m=0=n$.

Hipótesis de inducción: Supongamos que para algún $n$, tenemos que si $a\neq0$ y $a\cdot n=a\cdot m$, entonces $n=m$

Paso inductivo: Probemos para $\sigma(n)$, sea $a\neq 0$ y supongamos que $a\cdot\sigma(n)=a\cdot m$

Como $\sigma(n)\neq 0$, y por hipótesis, $a\neq0$, entonces por la equivalencia del lema, concluimos que $a\cdot\sigma(n)\neq 0$, de donde $a\cdot m\neq 0$, esto implica que $m\neq 0$, por lo que existe $b$ tal que $m=\sigma(b)$, entonces podemos escribir

\begin{align*}
a+a\cdot n& \overset{*}{=}a\cdot\sigma(n)\\
&=a\cdot m\\
&=a\cdot\sigma(b)\\
&\overset{*}{=}a+a\cdot b
\end{align*}

Ocupando la ley de cancelación de la suma, tenemos que $a\cdot n=a\cdot b$

Pero por hipótesis de inducción debemos de tener que $n=b$, esto quiere decir que $\sigma(n)=\sigma(b)=m$, justo como debíamos probar.

$\square$

Con esta prueba concluimos las propiedades más fundamentales del producto.

Resumen de las propiedades del producto

Para finalizar con la entrada, haremos un compendio de las propiedades que demostramos

  • Para todo $n$ natural, se tiene que $1\cdot n=n=n \cdot 1$
  • Para todo $n$ natural, se tiene que $0\cdot n=0=n \cdot 0$
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera se tiene que $(l+m)\cdot n=(l\cdot n)+(m\cdot n)$
  • Para $m,n$ naturales se tiene que $m\cdot n=n\cdot m$
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera se tiene que $l\cdot(m+n)=(l\cdot m)+(l\cdot n)$
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera se tiene que $(l\cdot m)\cdot n=l\cdot(m\cdot n)$
  • Para $m,n$ naturales con $m\neq 0$, si $m\cdot n=0$, entonces $n=0$
  • Para $l,m,n$ naturales con $l\neq 0$, si $l\cdot n=l\cdot m$, entonces $n=m$

Tarea moral

  1. Prueba la Propiedad distributiva derecha
  2. Usando únicamente la ley de cancelación el producto, demuestra el Lema previo a la demostración de la ley de cancelación
  3. ¿Qué pasa si en el enunciado de la ley de la cancelación, no asumimos que $a\neq 0$?
  4. Demuestra usando el Lema previo a la demostración de la ley de cancelación que si $n,m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$, entonces $n\cdot m\in \mathbb{N}\setminus\{0\}$
  5. Da una definición recursiva de las funciones $\eta_{m} (n)=m^n$ y prueba las leyes de los exponentes.

Más adelante…

Con las propiedades de la suma y del producto en nuestra bolsa de herramientas, tenemos ya una rica teoría que desarrollar; nos falta aún definir una relación muy familiar en el conjunto $\mathbb{N}$, el orden, al cual ya hemos apelado en la demostración del teorema de la Recursión Débil.

Por el momento estudiaremos con mayor detalle los conjuntos infinitos, donde veremos la importancia de los naturales dentro de esta clase de conjuntos.

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Álgebra Lineal I: Matrices de bloques

Introducción

En esta entrada definimos el concepto de submatriz y estudiamos las llamadas matrices de bloques que esencialmente son matrices grandes obtenidas por matrices más pequeñas (esto tendrá sentido después de algunos ejemplos). Las matrices de bloque aparecen frecuentemente en muchas áreas y permiten realizar cálculos que podrían ser bastante complicados de otra manera.

Dentro de este curso, nos encontraremos con las matrices de bloque cuando hablemos de solución de ecuaciones lineales y de encontrar inversas de matrices usando el método de reducción gaussiana.

Definición de matrices de bloques

Definición. Una submatriz de una matriz $A\in M_{m,n}(F)$ es una matriz que se obtiene al quitar filas y/o columnas de $A$.

Notamos que $A$ es submatriz de si misma. Una matriz puede partirse en submatrices marcando líneas verticales u horizontales en la matriz. Llamamos a una matriz de este estilo una matriz de bloques y a las submatrices marcadas las llamamos bloques.

Unos ejemplos de matrices de bloques:

\begin{align*}
\left( \begin{array}{c|cc}
1 & 2 & 3\\
0& 5 & 6\\
0 & 0&9
\end{array}\right)
,\hspace{2mm} \left( \begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 1 \\ \hline 2 & 5 & -3\end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\ \hline 5 & 16 & 2 & 0\\ 17 & 19 & -5 & 3\\ 117 & 0 & 0 & 11\end{array}\right). \end{align*}

Como mencionamos en la introducción, podemos ver a una matriz de bloques como una ‘matriz de matrices’: una matriz de bloques en $M_{m,n}(F)$ típica se ve como

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\
A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk}
\end{pmatrix},
\end{align*}

en donde cada submatriz $A_{ij}$ es una matriz de tamaño $m_i\times n_j$ para algunos enteros positivos $m_1,\dots, m_l$ y $n_1,\dots, n_k$ tales que $m_1+\dots +m_l=m$ y $n_1+\dots+n_k=n$. La matriz tiene entonces $l$ filas de bloques y $k$ columnas de bloques.

Si $l=k$, llamamos a los bloques $A_{11}, \dots, A_{kk}$ los bloques diagonales y decimos que $A$ es diagonal por bloques si todos los bloques aparte de los diagonales son la matriz cero del tamaño corresponidente. Es decir, una matriz diagonal por bloques es de la forma

\begin{align*}
A=\begin{pmatrix} A_{11} & 0 &\dots & 0\\
0 & A_{21} & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\
0 & 0 &\dots & A_{kk}.
\end{pmatrix}
\end{align*}

Observa que sólo estamos pidiendo que $k=l$, es decir, que haya la misma cantidad de filas de bloques y de columnas de bloques. Sin embargo, no es necesario que la matriz $A$ sea cuadrada para que sea diagonal por bloques.

Por más que la definición en abstracto pueda ocultar su sentido práctico, uno siempre reconoce una matriz diagonal por bloques cuando la ve.

Ejemplo. La matriz

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1& -1 & 0 & 0\\
0& 2 & 0 & 0\\
0&0 & 3 &0\\
0 & 0 & 15 & -2
\end{pmatrix}
\end{align*}

es diagonal por bloques, y los resaltamos con las líneas de división

\begin{align*}
\left( \begin{array}{cc|cc}
1& -1 & 0 & 0\\
0& 2 & 0 & 0\\ \hline
0&0 & 3 &0\\
0 & 0 & 15 & -2
\end{array}\right).\end{align*}

La matriz
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 0\\
8 & 3 & 0 & 0\\
0& 3 & 0 &0\\
0&0 & 0 & -2\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}

también es diagonal por bloques, aunque los bloques no necesariamente sean cuadrados. Resaltamos la lineas divisorias a continuación:

\begin{align*}
\left( \begin{array}{cc|cc}
2& -1 & 0 & 0\\
8 & 3 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0 & 0\\ \hline
0 & 0 & 0 &-2\\ 0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right).\end{align*}

Los bloques diagonales son \begin{align*}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 8 & 3 \\2 & 3 \end{pmatrix}\end{align*} y \begin{align*}\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{align*}

$\square$

Operaciones con matrices de bloques

Al ser ‘matrices de matrices’, las matrices de bloques se comportan adecuadamente con las operaciones de suma y producto de matrices que conocemos. Enunciamos esto con más detalle en la siguiente proposición que no demostraremos. Las demostraciones son directas pero tediosas.

Proposición.

  • Si
    \begin{align*}
    A= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk} \end{pmatrix}\end{align*} y \begin{align*} B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1k}\\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{l1} & B_{l2} & \dots & B_{lk} \end{pmatrix} \end{align*}
    son matrices de bloques con $A_{ij}$ y $B_{ij}$ del mismo tamaño para cada $i,j$ (es decir, la partición es igual) entonces
    \begin{align*}
    A+B=\begin{pmatrix} A_{11} +B_{11} & A_{12}+B_{12} & \dots & A_{1k}+B_{1k}\\ A_{21} +B_{21}& A_{22}+B_{22} & \dots & A_{2k}+B_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1}+B_{l1} & A_{l2}+B_{l2} & \dots & A_{lk}+B_{lk} \end{pmatrix}
    \end{align*}
  • Si
    \begin{align*}
    A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1k}\\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{l1} & A_{l2} & \dots & A_{lk} \end{pmatrix}\end{align*} y \begin{align*} B=\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1r}\\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ B_{k1} & B_{k2} & \dots & B_{kr} \end{pmatrix} \end{align*}
    son de tamaño $m\times n$ y $n\times p$ respectivamente tal que $A_{ij}$ es de tamaño $m_i \times n_j$y $B_{ij}$ de tamaño $n_i\times p_j$, entonces
    \begin{align*}
    AB=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1r}\\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{l1} & C_{l2} & \dots & C_{lr} \end{pmatrix}
    \end{align*}
    donde
    \begin{align*}
    C_{ij}=\sum_{u=1}^{k} A_{iu} B_{uj}.
    \end{align*}

Tarea moral

  • ¿Cómo se portan las matrices de bloques respecto a la transposición?
  • Escribe todas las formas en las que puedes dividir a la matriz $I_3$ para que quede como una matriz de bloques. Aquí hay algunas: \begin{align*}\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{c|c|c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right). \end{align*}
  • Demustra que toda matriz diagonal puede verse como una matriz diagonal por bloques. Muestra que no toda matriz diagonal por bloques es una matriz diagonal.
  • Escribe todas las formas en las que puedes dividir a la matriz $I_4$ para que quede como una matriz diagonal por bloques.
  • ¿Cómo es la inversa de una matriz diagonal por bloques?

Más adelante…

En unas cuantas entradas hablaremos del algoritmo de reducción gaussiana y lo usaremos para resolver sistemas de ecuaciones y encontrar inversas de matrices. Nos encontraremos con matrices de bloque muy específicas, por ejemplo, las que resultan de «pegarle» un vector columna a una matriz, por ejemplo

\begin{align*}
\left( \begin{array}{cccc|c}
-3& -1 & 3 & -11 & 0\\
8 & 3 & 0 & 2 & -1\\
1 & -5 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right).\end{align*}

y las que resultan de «pegarle» la matriz identidad a una matriz cuadrada, por ejemplo

\begin{align*}
\left( \begin{array}{ccc|ccc}
-3& -1 & 3 & 1 & 0 & 0\\
8 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\
1 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right).\end{align*}

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Álgebra Superior II: Exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos

Introducción

Gracias a las entradas anteriores ya hemos desarrollado un buen manejo de los números complejos. Sabemos cómo se construyen y cómo hacer operaciones básicas, incluyendo obtener conjugados, la forma polar, sacar normas y elevar a potencias. También hemos aprendido a resolver varias ecuaciones en los complejos: cuadráticas, sistemas lineales y raíces $n$-ésimas. Todo esto forma parte de los fundamentos algebraicos de $\mathbb{C}$. Ahora hablaremos un poco de la exponencial, el logaritmo y trigonometría en los complejos.

Aunque mencionaremos un poco de las motivaciones detrás de las definiciones, no profundizaremos tanto como con otros temas. Varias de las razones para elegir las siguientes definiciones tienen que ver con temas de ecuaciones diferenciales y de análisis complejo, que no se estudian sino hasta semestres posteriores.

Función exponencial compleja

Recordemos que, para un real $y$, definimos $\text{cis}(y)=\cos y + i \sin y$. La función $\text{cis}$ y la exponenciación en los reales nos ayudarán a definir la exponencial compleja.

Definición. Definimos la función $\exp:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ como $$\exp(x+yi)=e^x\text{cis}(y).$$

Ejemplo. Se tiene que $$\exp\left(1+\frac{\pi}{2} i\right) = e^1 \text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right) = ei.$$

$\square$

Ejemplo. Se tiene que $$\exp(\pi i) = e^0\text{cis}(\pi) = (1)(-1)=-1.$$ Como veremos más abajo, esto lo podemos reescribir como la famosa identidad de Euler $$e^{\pi i}+1=0.$$

$\square$

Ejemplo. Se tiene que $$\exp(2+3i)=e^2\text{cis}(3).$$ Como $\cos(3)$ y $\sin(3)$ no tienen ningún valor especial, esta es la forma final de la expresión.

$\square$

Propiedades de la función exponencial compleja

Una buena razón para definir la exponencial así es que si $y=0$, entonces la definición coincide con la definición en los reales: $$\exp(x)=e^x\text{cis}(0)=e^x.$$ Si $x=0$, tenemos que $\exp(iy)=\text{cis}(y)$, de modo que si $w$ tiene norma $r$ y argumento $\theta$, podemos reescribir su forma polar como $$w=r\exp(\theta i),$$ y una forma alternativa de escribir el teorema de De Moivre es $$w^n=r^n\exp(n\theta i).$$

Otra buena razón para definir la exponencial compleja como lo hicimos es que se sigue satisfaciendo que las sumas en la exponencial se abren en productos.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos se tiene que $$E(w+z)=E(w)E(z).$$

Demostración. Escribamos $w=a+bi$ y $z=c+di$ con $a,b,c$ y $d$ reales. Tenemos que
\begin{align*}
\exp(w+z)&=\exp((a+c)+(b+d)i)\\
&=e^{a+c}\text{cis}(b+d).
\end{align*}

Por propiedades de la exponencial en $\mathbb{R}$ tenemos que $e^{a+c}=e^ae^c$. Además, por cómo funciona la multiplicación compleja en términos polares, tenemos que $\text{cis}(b+d)=\text{cis}(b)\text{cis}(d)$. Usando estas observaciones podemos continuar con la cadena de igualdades,

\begin{align*}
&=e^ae^c\text{cis}(b)\text{cis}(d)\\
&=(e^a\text{cis}(b)) (e^c\text{cis}(d))\\
&=\exp(a+bi)\exp(c+di)\\
&=\exp(w)\exp(z).
\end{align*}

$\square$

Como $\exp$ extiende a la exponencial real y se vale abrir las sumas de exponentes en productos, puede ser tentador usar la notación $e^{x+yi}$ en vez de $\exp(x+yi)$. Hay que tener cuidado con esta interpretación, pues hasta ahora no hemos dicho qué quiere decir «elevar a una potencia». Cuando lo hagamos, veremos que usar la notación $e^{x+yi}$ sí tiene sentido, pero por el momento hay que apegarnos a la definición.

Hay otras buenas razones para definir la exponencial compleja como lo hicimos. Una muy importante es que es la solución a una ecuación diferencial muy natural. Más adelante, en tu formación matemática, verás esto.

Función logaritmo complejo

Con el logaritmo natural $\ln$ en $\mathbb{R}$ y la multifunción argumento podemos extender el logaritmo a $\mathbb{C}$.

Definición. Definimos la función $L:\mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C}$ como $$L(z)=\ln \Vert z \Vert + \arg(z) i.$$

Hay que ser un poco más precisos, pues $\arg(z)$ es una multifunción y toma varios valores. Cuando estamos trabajando con logaritmo, lo más conveniente por razones de simetría es que tomemos el argumento en el intervalo $(-\pi,\pi]$. En cursos posteriores hablarás de «otras» funciones logaritmo, y de por qué ésta es usualmente una buena elección.

Ejemplo. Los logaritmos de $i$ y de $-1$ son, respectivamente,
\begin{align*}
L(i)&=\ln \Vert i \Vert + \arg(i) i = \ln(1) + \frac{\pi}{2} i =\frac{\pi}{2} i\\
L(-1)&=\ln \Vert -1 \Vert + \arg(-1) i = \ln(1)+\pi i = \pi i.
\end{align*}

$\square$

Propiedades del logaritmo complejo

La función $\exp$ restringida a los números con parte imaginaria en $(-\pi,\pi]$ es invertible y su inversa es $L$. Esto justifica en parte la definición de logaritmo. Demostrar esto es sencillo y queda como tarea moral.

La función $L$ restringida a los reales positivos coincide con la función logaritmo natural, pues para $z=x+0i=x$, con $x>0$ se tiene que $\arg(x)=0$ y entonces $$L(z)=L(x)=\Vert x\Vert+\arg(x)i=x.$$

Como en el caso real, la función logaritmo abre productos en sumas, pero con un detalle que hay que cuidar.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos no $0$, se tiene que $L(wz)$ y $L(w)+L(z)$ difieren en un múltiplo entero de $2\pi i$.

Con la función logaritmo podemos definir potencias de números complejos.

Definición. Para $w,z$ en $\mathbb{C}$ con $w\neq 0$, definimos $$w^z=\exp(zL(w)).$$

Ejemplo. En particular, podemos tomar $w=e$, de donde \begin{align*}e^z&=\exp(zL(e))\\&=\exp(z\ln(e))\\&=\exp(z),\end{align*} de donde ahora sí podemos justificar usar la notación $e^{x+yi}$ en vez de $\exp(x+yi)$.

$\square$

Esta definición de exponenciación en $\mathbb{C}$ es buena, en parte, porque se puede probar que se satisfacen las leyes de los exponentes.

Proposición. Para $w, z_1, z_2$ en $\mathbb{C}$, con $w\neq 0$, se cumple que $$z^{w_1+w_2}=z^{w_1}z^{w_2}$$ y que $$(z^{w_1})^{w_2}=z^{w_1w_2}.$$

La demostración es sencilla y se deja como tarea moral.

Funciones trigonométricas complejas

Finalmente, definiremos las funciones trigonométricas en $\mathbb{C}$. Para ello, nos basaremos en la función exponencial que ya definimos.

Definición. Para $z$ cualquier complejo, definimos $$\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$ y $$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}.$$

Una de las razones por las cuales esta definición es buena es que extiende a las funciones trigonométricas reales. En efecto, si $z=x+0i=x$ es real, entonces $\cos(z)$ es \begin{align*}
\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}&=\frac{\text{cis}(x)+\text{cis}(-x)}{2}\\
&=\frac{2\cos(x)}{2}\\
&=\cos(x),
\end{align*} y de manera similar para $\sin(z)$.

Las funciones trigonométricas en $\mathbb{C}$ siguen cumpliendo varias propiedades que cumplían en $\mathbb{R}$.

Proposición. Para $w$ y $z$ complejos, se tiene que
\begin{align*}
\cos(w+z)=\cos(w)\cos(z)-\sin(w)\sin(z)\\
\sin(w+z)=\sin(w)\cos(z)+\sin(z)\cos(w).
\end{align*}

Demostración. Procedemos por definición. Tenemos que
\begin{align*}
4&\cos(w)\cos(z)\\
&=(e^{iw}+e^{-iw})(e^{iz}+e^{-iz})\\
&=(e^{i(w+z)}+e^{i(w-z)}+e^{i(z-w)}+e^{i(-z-w)})
\end{align*}

y que
\begin{align*}
4&\sin(w)\sin(z)\\
&=(e^{iw}-e^{-iw})(e^{iz}-e^{-iz})\\
&=(e^{i(w+z)}-e^{i(w-z)}-e^{i(z-w)}+e^{i(-z-w)}),
\end{align*}

de modo que
\begin{align*}
4(\cos(w)&\cos(z)-\sin(w)\sin(z))\\
&=2(e^{i(w+z)}+e^{-i(w+z)})\\
&=4\cos(w+z).
\end{align*}

Dividiendo entre $4$ ambos lados de la igualdad, obtenemos la primer identidad. La segunda se demuestra de manera análoga, y queda como tarea moral.

$\square$

Tarea moral

  • Determina los valores de $\exp(3+\frac{3\pi}{4}i)$ y de $L(-i)$.
  • Muestra que para $z$ con parte imaginaria en $(-\pi,\pi]$ se tiene que $L(\exp(z))=z$.
  • Determina el valor de $(1+i)^{1+i}$.
  • Muestra las leyes de los exponentes para la exponenciación en $\mathbb{C}$.
  • Determina el valor de $\sin(i)$ y de $\cos(1+i)$.
  • Muestra la identidad de seno de la suma de ángulos en $\mathbb{C}$.
  • Investiga qué otras propiedades de las funciones trigonométricas reales se extienden al caso complejo.