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Álgebra Lineal I: Combinaciones lineales

Introducción

En esta entrada presentamos el concepto de combinaciones lineales en espacios vectoriales que será fundamental para nuestro estudio. De cierta manera (que se verá más claramente cuando hablemos de bases en espacios vectoriales arbitrarios) captura un aspecto de la base canónica de F^n: Todo vector lo podemos escribir como x_1 e_1+\dots+x_n e_n, lo que con nuestro lenguaje será una combinación lineal de los vectores e_i.

También hablamos del concepto de espacio generado. De manera intuitiva, el espacio generado por un conjunto de vectores es el mínimo subespacio que los tiene (y que a la vez tiene a todas las combinaciones lineales de ellos). Geometricamente, los espacios generados describen muchos de los objetos conocidos como rectas y planos. De manera algebraica, este concepto nos servirá mucho en lo que sigue del curso.

Definición de combinaciones lineales

Sea V un espacio vectorial sobre un campo F, y sean v_1, \dots, v_n vectores en V. Por definición, V contiene a todos los vectores de la forma c_1 v_1+\dots +c_n v_n con c_1, \dots, c_n \in F. La colección de los vectores de este estilo es importante y le damos una definición formal:

Definición. Sean v_1, \dots, v_n vectores en un espacio vectorial V sobre F.

  1. Un vector v es una combinación lineal de los vectores v_1, \dots, v_n si existen escalares c_1,\dots, c_n\in F tales que

        \begin{align*}v= c_1 v_1 +c_2 v_2+\dots +c_n v_n.\end{align*}

  2. El espacio generado (que a veces abreviaremos como el generado) por v_1, \dots, v_n es el subconjunto de V de todas las combinaciones lineales de v_1,\dots, v_n, y lo denotamos por \text{span}(v_1, \dots, v_n).

Ejemplo.

  1. La matriz A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} es una combinación lineal de las matrices B= \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 5 & 0\end{pmatrix} y C=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix} pues A=\frac{1}{5} B + 2 C. Así, A está en el generado por B y C.
  2. El generado \text{span}(v) de un único vector en \mathbb{R}^n consta de puras copias re-escaladas de v (también nos referimos a estos vectores como múltiplos escalares de v). Usando la interpretación geométrica de vectores en \mathbb{R}^2 o \mathbb{R}^3, si v\neq 0 entonces \text{span}(v) representa una recta por el origen en la dirección de v.
  3. Si e_1=(1,0,0) y e_2=(0,1,0), entonces

        \begin{align*}x e_1+ y e_2=(x,y,0).\end{align*}


    Como x y y fueron arbitrarios, podemos concluir que \text{span}(e_1,e_2) consta de todos los vectores en \mathbb{R}^3 cuya tercer entrada es cero. Esto es el plano xy. En general, si v_1, v_2 son dos vectores no colineales en \mathbb{R}^3 entonces su espacio generado es el único plano por el origen que los contiene.
  4. El polinomio 3x^{10}+7 del espacio vectorial \mathbb{R}_{10}[x] no puede ser escrito como combinación lineal de los polinomios x^{10}+x^2+1, x^7+3x+1, 7x^3. Para demostrar esto, debemos probar que no existen reales a,b,c tales que

        \[3x^{10}+1=a(x^{10}+x^2+1)+b(x^7+3x+1)+7cx^3.\]


    Desarrollando el producto de la derecha y observando el coeficiente de x^{10}, necesitamos que a sea igual a 3. Pero entonces a la derecha va a quedar un término 3x^2 que no se puede cancelar con ninguno otro de los sumandos, sin importar el valor de b o c.

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Problemas prácticos de combinaciones lineales

La definición de que un vector sea combinación de otros es existencial. Para mostrar que sí es combinación lineal, basta encontrar algunos coeficientes. Para mostrar que no es combinación lineal, hay que argumental por qué ninguna de las combinaciones lineales de los vectores es igual al vector buscado.

Problema. Muestra que el vector (1,1,1) de \mathbb{R}^3 no se puede expresar como combinación lineal de los vectores

    \begin{align*}v_1= (1,0,0), \hspace{2mm} v_2=(0,1,0)\text{ y } v_3=(1,1,0).\end{align*}

Solución: Una combinación lineal arbitraria de v_1, v_2, v_3 es de la forma

    \begin{align*}x_1 v_1 +x_2 v_2 + x_3 v_3 = (x_1 + x_3, x_2 + x_3, 0)\end{align*}

para x_1,x_2,x_3 reales. Así, las combinaciones lineales de v_1,v_2,v_2 siempre tienen a 0 como tercera coordenada. De esta forma, ninguna de ellas puede ser igual a (1,1,1).

\square

Más generalmente, consideramos el siguiente problema práctico: dada una familia de vectores v_1, v_2, \dots, v_k en F^n y un vector v\in F^n, decide si v es una combinación lineal de v_1, \dots, v_k. En otras palabras, si v\in \text{span}(v_1, \dots, v_k).

Para resolver este problema, consideramos la matriz de tamaño n\times k cuyas columnas son v_1, \dots, v_k. Decir que v\in \text{span}(v_1, \dots, v_k) es lo mismo que encontrar escalares x_1, \dots, x_k\in F tales que v= x_1 v_1 +\dots +x_k v_k. De manera equivalente, si tomamos X=(x_1,\ldots,x_k), queremos la existencia de una solución al sistema AX=v.

Esto es muy útil. Como tenemos una manera práctica de decidir si este sistema es consistente (por reducción gaussiana de la matriz aumentada (A\vert v)), tenemos una manera práctica de resolver el problema de si un vector es combinación lineal de otros. Por supuesto, esto también nos da una solución concreta al problema, es decir, no sólo decide la existencia de la combinación lineal, sino que además da una cuando existe.

Problema. Sean v_1=(1,0,1,2), v_2=(3,4,2,1) y v_3=(5,8,3,0) vectores en el espacio vectorial \mathbb{R}^4. ¿Está el vector v=(1,0,0,0) en el generado de v_1,v_2 y v_3? ¿El vector w=(4,4,3,3)?

Solución: Aplicamos el método que describimos en el párrafo anterior. Es decir, tomemos la matriz

    \begin{align*}A= \begin{pmatrix} 1  & 3 & 5\\ 0 & 4 & 8\\  1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}.\end{align*}

Queremos ver si el sistema AX=v es consistente. Haciendo reducción gaussiana a mano, o bien usando una calculadora de forma escalonada reducia (por ejemplo, la de eMathHelp), obtenemos que la forma escalonada reducida de la matriz aumentada (A\vert v) es

    \begin{align*}(A\vert v)\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 &2 & 0\\ 0 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 0 & 0 &0\end{pmatrix}.\end{align*}

Viendo el tercer renglón, notamos que tiene pivote en la última columna. Deducimos que el sistema no es consistente, así que v\notin \text{span}(v_1, v_2, v_3).

Procedemos de manera similar para el vector w. Esta vez tenemos

    \begin{align*}(A\vert w)\sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 &0\end{pmatrix},\end{align*}

lo que muestra que el sistema es consistente (pues ninguna fila tiene su pivote en la última columna), por lo tanto w\in \text{span}(v_1, v_2, v_3). Si queremos encontrar una combinación lineal explícita tenemos que resolver el sistema

    \begin{align*}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1  & 2\\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}.\end{align*}

Tenemos que ninguna fila tiene su pivote en la columna 3, así que x_3 es variable libre. Las variables x_1 y x_2 son pivote. Esto nos da como solución x_1= x_3+1 y x_2=1-2x_3. Entonces podemos escribir

    \begin{align*}w= (1+x_3) v_1 + (1-2x_3) v_2+ x_3v_3\end{align*}

y esto es válido para cualquier elección de x_3. Podemos, por ejemplo, escoger x_3=0 y obtener w=v_1 + v_2.

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Por supuesto, en el problema anterior pudimos haber encontrado la expresión w=v_1+v_2 explorando el problema o por casualidad. Esto sería suficiente para mostrar qeu w es combinación lineal. Pero la ventaja del método sistemático que mostramos es que no se corre el riesgo de no encontrar la solución a simple vista. De me manera definitiva nos dice si hay o no hay solución, y cuando sí hay, encuentra una.

Una caracterización del espacio generado

Probamos el siguiente resultado, que explica la importancia del concepto de espacio generado. En particular, la proposición muestra que el espacio generado es un subespacio. Si te parece un poco confusa la demostración, puede ser de ayuda leer antes la observación que le sigue.

Proposición. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y v_1, v_2, \dots, v_n \in V. Entonces

  1. \text{span}(v_1, v_2, \dots, v_n) es la intersección de todos los subespacios vectoriales de V que contienen a todos los vectores v_1, \dots, v_n.
  2. \text{span}(v_1, v_2, \dots, v_n) es el subespacio más chico (en contención) de V que contiene a v_1,\dots, v_n.

Demostración: Como la intersección arbitraria de subespacios es un subespacio, la parte 1 implica la parte 2. Probemos entonces la parte 1.

Primero demostremos que \text{span}(v_1, v_2,\dots, v_n) está contenido en todo subespacio W de V que tiene a v_1, \dots, v_n. En otras palabras, tenemos que ver que cualquier subespacio W que tenga a v_1,\ldots,v_n tiene a todas las combinaciones lineales de ellos. Esto se sigue de que W, por ser subespacio, es cerrado bajo productos por escalar y bajo sumas. Así, si tomamos escalares \alpha_1,\ldots,\alpha_n tenemos que cada uno de \alpha_1 v_1, \ldots, \alpha_n v_n está en W y por lo tanto la combinación lineal (que es la suma de todos estos), también está en W.

La afirmación anterior implica que \text{span}(v_1, \dots, v_n) está contenido en la intersección de todos los espacios que tienen a v_1,\ldots, v_n, pues está contenido en cada uno de ellos.

Ahora, queremos ver ‘la otra contención’, es decir, que \text{span}(v_1,\ldots,v_n) contiene a la intersección de todos los espacios que tienen a v_1,\ldots,v_n. Para esto veremos primero que \text{span}(v_1, \dots, v_n) es un subespacio vectorial. Sean x,y\in \text{span}(v_1, \dots, v_n) y c\in F un escalar. Como x y y son, por definición, combinaciones lineales de v_1, \dots, v_n, podemos escribir x=a_1 v_1+\dots +a_n v_n para algunos escalares a_i y y=b_1 v_1+\dots + b_n v_n para unos escalares b_i. Así

    \begin{align*}x+cy= (a_1+cb_1) v_1 + \dots + (a_n +c b_n) v_n\end{align*}

también es una combinación lineal de v_1, \dots, v_n y por tanto un elemento del espacio generado. Se sigue que \text{span}(v_1,\dots, v_n) es uno de los subespacios que tienen a v_1, \dots, v_n. Así, este generado “aparece” en la intersección que hacemos de subespacios que tienen a estos vectores, y como la intersección de una familia de conjuntos está contenida en cada uno de esos conjuntos, concluimos que \text{span}(v_1, \dots, v_n) contiene a dicha interesección.

Argumentemos ahora la segunda parte de la proposición. Se usa el mismo argumento que arriba. Si W es cualquier subespacio que contiene a v_1, \dots, v_n, entonces “aparece” en la intersección y por tanto \text{span}(v_1, \dots, v_n) está contenido en W. Es decir, es más chico (en contención) que cualquier otro subespacio que contenga a estos vectores.

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Observación. Ya que la demostración previa puede resultar un poco confusa, presentamos una versión un poco más relajada de la idea que se usó. Sea \lbrace W_i\mid i\in I\rbrace la familia de todos los subespacios de V que contienen a v_1, \dots, v_n.

En el primer párrafo, probamos que

    \begin{align*}\text{span}(v_1,\dots, v_n)\subseteq W_i\end{align*}

para todo i\in I. Luego \text{span}(v_1, \dots, v_n)\subseteq \bigcap_{i\in I} W_i.

En el segundo párrafo, probamos que Span(v_1,\dots, v_n) es un subespacio que contiene a v_1, \dots, v_n. Es decir, entra en nuestra familia \lbrace W_i\mid i\in I\rbrace, es uno de los W_i, digamos W_j. Entonces

    \begin{align*}\text{span}(v_1, \dots, v_n)= W_j \supseteq \bigcap_{i\in I} W_i.\end{align*}

En ese momento ya tenemos la primer igualdad: \text{span}(v_1,\ldots,v_n)=\bigcap_{i\in I} W_i.

Ahora, la segunda conclusión de la proposición se sigue de esto con una observación más: Si W' es un subespacio que contiene a v_1, \dots, v_n entonces también entra en nuestra familia de los W_i‘s, es decir es W_{p} para algún p\in I. Ahora usando el inciso 1, tenemos que

    \begin{align*}\text{span}(v_1, \dots, v_n)= \bigcap_{i\in I} W_i \subseteq W_p=W'.\end{align*}

Esto concluye la demostración.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • ¿Se puede expresar al vector (1,3,0,5) como combinación lineal de (0,1,0,3), (0,-1,2,0) y (2, 0,-1,-6)? Si sí, encuentra una o más combinaciones lineales que den el vector (1,3,0,5)
  • ¿Se puede expresar al polinomio 1+x^2 +3x^3 -x^4 +x^5 como combinación lineal de los siguientes polinomios

        \begin{align*}x^2-3x^4,\\1+x^2-x^5,\\2x+x^4,\\2+x^2,\\5x+5x^2-x^5?\end{align*}

  • Sea P un plano en \mathbb{R}^3 por el origen y L una recta de \mathbb{R}^3 por el origen y con dirección dada por un vector v\neq 0. Demuestra que la intersección de L con P es una recta si y sólo si existen dos vectores en P tal que su suma sea v.
  • Encuentra el conjunto generado por los vectores del espacio vectorial indicado
    • Las matrices \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} y \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} del espacio M_{2}.
    • Los vectores (1,-1,0) y (1,0,-1) del espacio \mathbb{R}^3.
    • Los polinomios 1, x, x^2 y x^3 del espacio \mathbb{R}[x].
  • Sea V un espacio vectorial. Si v_1, \dots, v_n, x son vectores en un espacio vectorial V, ¿será cierto siempre que \text{span}(v_1, \dots, v_n)\subseteq \text{span}(v_1, \dots, v_n, x)? De ser así, ¿esta contención siempre es estricta? Demuestra tu respuesta o da un contraejemplo.
  • Sean v_1,\ldots, v_n y x vectores en un espacio vectorial V. Supongamos que v_n está en \text{span}(v_1,\ldots,v_{n-1},x). Muestra que

        \[\text{span}(v_1,\ldots,v_{n-1},x)=\text{span}(v_1,\ldots,v_{n-1},v_n).\]

Más adelante…

El concepto de combinación lineal es la piedra angular para definir varios otros conceptos importantes en espacios vectoriales. Es un primer paso para definir a los conjuntos de vectores generadores y a los conjuntos de vectores linealmente independientes. Una vez que hayamos desarrollado ambos conceptos, podremos hablar de bases de un espacio vectorial, y con ello hablar de la dimensión de un espacio vectorial.

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Álgebra Lineal I: Espacios vectoriales

Introducción

En la primer unidad de este curso de álgebra lineal estudiamos a profundidad al conjunto F^n con sus operaciones de suma y multiplicación por escalar. Luego, hablamos de las matrices en M_{m,n}(F) y vimos cómo pensarlas como transformaciones lineales. Les dimos una operación de producto que en términos de transformaciones lineales se puede pensar como la composición. Luego, hablamos de la forma escalonada reducida de una matriz y cómo llevar cualquier matriz a esta forma usando reducción gaussiana. Esto nos permitió resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogeneos, así como encontrar inversas de matrices. Las habilidades desarrolladas en la primer parte del curso serán de mucha utilidad para la segunda, en donde hablaremos de espacios vectoriales.

En esta entrada definiremos el concepto de espacio vectorial y vectores. Para hacer esto, tomaremos como motivación el espacio F^n, que ya conocemos bien. Sin embargo, hay muchos otros ejemplos de objetos matemáticos que satisfacen la definición que daremos. Hablaremos de algunos de ellos.

En el transcurso de la unidad también hablaremos de otros conceptós básicos, como la de subespacio. Hablaremos de conjuntos linealmente independientes, de generadores y de bases. Esto nos llevará a establecer una teoría de la dimensión de un espacio vectorial. Las bases son de fundamental importancia pues en el caso de dimensión finita, nos permitirán pensar a cualquier espacio vectorial “como si fuera F^n “. Más adelante precisaremos en qué sentido es esto.

Después, veremos cómo pasar de un espacio vectorial a otro mediante transformaciones lineales. Veremos que las transformaciones entre espacios vectoriales de dimensión finita las podemos pensar prácticamente como matrices, siempre y cuando hayamos elegido una base para cada espacio involucrado. Para ver que estamos haciendo todo bien, debemos verificar que hay una forma sencilla de cambiar esta matriz si usamos una base distinta, y por ello estudiaremos a las matrices de cambio de base.

Esta fuerte relación que existe entre transformaciones lineales y y matrices nos permitirá llevar información de un contexto a otro. Además, nos permitirá definir el concepto de rango para una matriz (y transformación vectorial). Hasta ahora, sólo hemos distinguido entre matrices invertibles y no invertibles. Las matrices invertibles corresponden a transformaciones lineales que “guardan toda la información”. El concepto de rango nos permitirá entender de manera más precisa cuánta información guardan las transformaciones lineales no invertibles.

Recordando a F^n

Antes de definir el concepto de espacio vectorial en toda su generalidad, recordemos algunas de las cosas que suceden con F^n. De hecho, puedes pensar en algo mucho más concreto como \mathbb{R}^4.

Como recordatorio, comenzamos tomando un campo F y dijimos que, para fines prácticos, podemos pensar que se trata de \mathbb{R} y \mathbb{C}. A los elementos de F les llamamos escalares.

Luego, consideramos todas las n-adas de elementos de F y a cada una de ellas le llamamos un vector. A F^n le pusimos una operación de suma, que tomaba dos vectores en F^n y nos daba otro. Además, le pusimos una operación de producto por escalar, la cual tomaba un escalar en F y un vector en F^n y nos daba como resultado un vector. Para hacer estas operaciones procedíamos entrada a entrada.

Sin embargo, hay varias propiedades que demostramos para la suma y producto por escalar, para las cuales ya no es necesario hablar de las entradas de los vectores. Mostramos que todo lo siguiente pasa:

  1. (Asociatividad de la suma) Para cualesquiera vectores u,v,w en F^n se cumple que (u+v)+w=u+(v+w).
  2. (Conmutatividad de la suma) Para cualesquiera vectores u,v en F^n se cumple que u+v=v+u.
  3. (Identidad para la suma) Existe un vector 0 en F^n tal que u+0=u=0+u.
  4. (Inversos para la suma) Para cualquier vector u en F^n existe un vector v en F^n tal que u+v=0=v+u.
  5. (Distributividad para la suma escalar) Para cualesquiera escalares a,b en F y cualquier vector v en F^n se cumple que (a+b)v=av+bv.
  6. (Distributividad para la suma vectorial) Para cualquier escalar a en F y cualesquiera vectores v,w en F^n se cumple que a(v+w)=av+aw.
  7. (Identidad de producto escalar) Para la identidad multiplicativa 1 del campo F y cualquier vector v en F^n se cumple que 1v=v.
  8. (Compatibilidad de producto escalar) Para cualesquiera dos escalares a,b en F y cualquier vector v en F^n se cumple que (ab)v=a(bv).

Los primeros cuatro puntos son equivalentes a decir que la operación suma en F^n es un grupo conmutativo. Resulta que hay varios objetos matemáticos que satisfacen todas estas ocho propiedades o axiomas de espacio vectorial, y cuando esto pasa hay muchas consecuencias útiles que podemos deducir. La esencia del álgebra lineal precisamente consiste en deducir todo lo posible en estructuras que tienen las ocho propiedades anteriores. Estas estructuras son tan especiales, que tienen su propio nombre: espacio vectorial.

Definición de espacio vectorial

Estamos listos para la definición crucial del curso.

Definición. Sea F un campo. Un espacio vectorial sobre el campo F es un conjunto V con operaciones de suma y producto por escalar, que denotaremos por

    \begin{align*}+:& V\times V \to V \quad \text{y}\\\cdot:& F\times V \to V,\end{align*}

para las cuales se cumplen las ocho propiedades de la sección anterior. En otras palabras:

  • El conjunto V es un grupo conmutativo con la suma
  • Se tiene asociatividad para la suma escalar y la suma vectorial
  • Se tiene identidad y compatibilidad de la mulltiplicación escalar.

A los elementos de F les llamamos escalares. A los elementos de F^n les llamamos vectores. Para hacer restas, las definimos como u-v=u+(-v), donde -v es el inverso aditivo de v con la suma vectorial. Usualmente omitiremos el signo de producto escalar, así que escribiremos av en vez de a\cdot v para a escalar y v vector.

La definición da la impresión de que hay que verificar muchas cosas. De manera estricta, esto es cierto. Sin embargo, de manera intuitiva hay que pensar que a grandes rasgos los espacios vectoriales son estructuras en donde podemos sumar elementos entre sí y multiplicar vectores por escalares (externos) sin que sea muy complicado.

Como ya mencionamos, el conjunto F^n con las operaciones de suma y multiplicación por escalar que se hacen entrada por entrada es un espacio vectorial sobre F. En lo que resta de la entrada, hablaremos de otros ejemplos de espacios vectoriales que nos encontraremos frecuentemente.

Espacios vectoriales de matrices

Otros ejemplos de espacios vectoriales con los que ya nos encontramos son los espacios de matrices. Dado un campo F y enteros positivos m y n, el conjunto de matrices en M_{m,n}(F) es un espacio vectorial en donde la suma se hace entrada a entrada y la multiplicación escalar también.

¿Qué es lo que tenemos que hacer para mostrar que en efecto esto es un espacio vectorial? Se tendrían que verificar las 8 condiciones en la definición de espacio vectorial. Esto lo hicimos desde la primer entrada del curso, en el primer teorema de la sección “Operaciones de vectores y matrices”. Vuelve a leer ese teorema y verifica que en efecto se enuncian todas las propiedades necesarias.

Aquí hay que tener cuidado entonces con los términos que se usan. Si estamos hablando del espacio vectorial F^n, las matrices no forman parte de él, y las matrices no son vectores. Sin embargo, si estamos hablando del espacio vectorial M_{m,n}(F), entonces las matrices son sus elementos, y en este contexto las matrices sí serían vectores.

Ejemplo. Sea \mathbb{F}_2 el campo con 2 elementos. Consideremos M_{2}(\mathbb{F}_2). Este es un espacio vectorial. Tiene 16 vectores de la forma \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, en donde cada entrada es 0 o 1. La suma y la multiplicación por escalar se hacen entrada a entrada y con las reglas de \mathbb{F}_2. Por ejemplo, tenemos

    \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\]

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Espacios vectoriales de funciones

Ahora veremos algunos ejemplos de espacios vectoriales cuyos elementos son funciones. Esto puede parecer algo abstracto, pero en unos momentos veremos algunos ejemplos concretos que nos pueden ayudar a entender mejor.

Sea F un campo y consideremos cualquier conjunto X. Consideremos el conjunto V de todas las posibles funciones de X a F. A este conjunto queremos ponerle operaciones de suma y de multiplicación por escalar.

Para definir la suma, tomemos dos funciones que van de X a F, digamos f:X\to F y g:X\to F. Definiremos a la función f+g como la función que a cada x en X lo manda a f(x)+g(x). Aquí estamos usando la suma del campo F. En símbolos, (f+g):X\to F tiene regla de asignación

    \[(f+g)(x)=f(x)+g(x).\]

Para definir el producto por escalar, tomamos una función f:X\to F y un escalar c en el campo F. La función cf será la función cf:X\to F con regla de asignación

    \[(cf)(x)=cf(x)\]

para todo x en X.

Resulta que el conjunto V de funciones de X a F con estas operaciones de suma y producto, es un espacio vectorial. Podemos probar, por ejemplo, la asociatividad de la suma. Para ello, la primer cosa que necesitamos mostrar es la asociatividad de la suma. Es decir, que si tenemos f:X\to F, g:X\to F y h:X\to F, entonces

    \[(f+g)+h = f+ (g+h).\]

Esta es una igualdad de funciones. Para que sea cierta, tenemos que verificarla en todo el dominio, así que debemos mostrar que para todo x en X tenemos que

    \[((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x).\]

Para demostrar esto, usemos la definición de suma de funciones y la asociatividad de la suma del campo F. Con ello, podemos realizar la siguiente cadena de igualdades:

    \begin{align*}((f+g)+h)(x)&=(f+g)(x)+h(x)\\&=(f(x)+g(x)) + h(x) \\&=f(x) + (g(x)+h(x)) \\&=f(x) + (g+h)(x)\\&=(f+(g+h))(x).\end{align*}

Así, la suma en V es asociativa. El resto de las propiedades se pueden demostrar con la misma receta:

  • Se enuncia la igualdad de funciones que se quiere mostrar.
  • Para que dicha igualdad sea cierta, se tiene que dar en cada elemento del dominio, así que se evalúa en cierta x.
  • Se prueba la igualdad usando las definiciones de suma y producto por escalar, y las propiedades de campo de F.

Ejemplo. El ejemplo anterior es muy abstracto, pues X puede ser cualquier cosa. Sin embargo, hay muchos espacios de funciones con los cuales se trabaja constantemente. Por ejemplo, si el campo es el conjunto \mathbb{R} de reales y X es el intervalo [0,1], entonces simplemente estamos hablando de las funciones que van de [0,1] a los reales.

Si tomamos f:[0,1]\to \mathbb{R} y g:[0,1]\to \mathbb{R} dadas por

    \begin{align*}f(x)&= \sin x - \cos x\\ g(x) &= \cos x + x^2,\end{align*}

entonces su suma simplemente es la función f+g:[0,1]\to \mathbb{R} definida por (f+g)(x)=\sin x + x^2. Si tomamos, por ejemplo, el escalar 2, entonces la función 2f:[0,1]\to \mathbb{R} no es nada más que aquella dada por

    \[(2f)(x)= 2\sin x - 2\cos x.\]

Así como usamos el intervalo [0,1], pudimos también haber usado al intervalo [-2,2), al (-5,\infty], o a cualquier otro.

\square

Espacios vectoriales de polinomios

Otro ejemplo de espacios vectoriales que nos encontraremos frecuentemente son los espacios de polinomios. Si no recuerdas con precisión cómo se construyen los polinomios y sus operaciones, te recomendamos repasar este tema con material disponible aquí en el blog.

Dado un campo F y un entero positivo n usaremos F[x] para referirnos a todos los polinomios con coeficientes en F y usaremos F_n[x] para referirnos a aquellos polinomios con coeficientes en F y grado a lo más n. Aunque el polinomio cero no tiene grado, también lo incluiremos en F_n[x].

Ejemplo. Si F es \mathbb{C}, el campo de los números complejos, entonces todos los siguientes son polinomios en \mathbb{C}[x]:

    \begin{align*}p(x)&=(2+i)x^6 + (1+i),\\ q(x)&=3x^2+2x+1,\\ r(x)&=5x^7+(1-3i)x^5-1.\end{align*}

Tanto p(x) como q(x) están en \mathbb{C}_6[x], pues su grado es a lo más 6. Sin embargo, r(x) no está en \mathbb{C}_6[x] pues su grado es 7.

El polinomio q(x) también es un elemento de \mathbb{R}[x], pues tiene coeficientes reales. Pero no es un elemento de \mathbb{R}_1[x] pues su grado es demasiado grande.

\square

Recuerda que para sumar polinomios se tienen que sumar los coeficientes de grados correspondientes. Al hacer multiplicación por escalar se tienen que multiplicar cada uno de los coeficientes. De esta forma, si f(x)=x^2+1 y g(x)=x^3+\frac{x^2}{2}-3x-1, entonces

    \[(f+g)(x)=x^3+\frac{3x^2}{2}-3x,\]

y

    \[(6g)(x)=6x^3+3x^2-18x-6.\]

Resulta que F[x] con la suma de polinomios y con el producto escalar es un espacio vectorial. Puedes verificar cada uno de los axiomas por tu cuenta.

Observa que la suma de dos polinomios de grado a lo más n tiene grado a lo más n, pues no se introducen términos con grado mayor que n. Del mismo modo, si tenemos un polinomio con grado a lo más n y lo multiplicamos por un escalar, entonces su grado no aumenta. De esta forma, podemos pensar a estas operaciones como sigue:

    \begin{align*}+:& F_n[x] \times F_n[x] \to F_n[x]\\\cdot: & F\times F_n[x] \to F_n[x].\end{align*}

De esta forma, F_n[x] con la suma de polinomios y producto escalar de polinomios también es un espacio vectorial.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • A partir de los axiomas de espacio vectorial, muestra lo siguiente para un espacio vectorial V:
    • La identidad de la suma vectorial es única, es decir, que si existe otro elemento e en V tal que u+e=u=e+u para todo u en V, entonces e=0.
    • Que si 0 es la identidad aditiva del campo F y v es cualquier vector en V, entonces 0v es la identidad de la suma vectorial. En símbolos, 0v=0, donde el primer 0 es el de F y el segundo el de V.
    • Se vale la regla de cancelación para la suma vectorial, es decir, que si u,v,w son vectores en V y u+v=u+w, entonces v=w.
    • Se vale la regla de cancelación para el producto escalar, es decir, que si a es un escalar no cero del campo F y u,v son vectores de V para los cuales au=av, entonces u=v.
    • Que el inverso aditivo de un vector v para la suma vectorial en V es precisamente (-1)v, es decir, el resultado de hacer la multiplicación escalar de v con el inverso aditivo del 1 del campo F.
  • Sea V un espacio vectorial sobre \mathbb{R}. Sean u, v y w vectores en V. Justifica la siguiente igualdad enunciando de manera explícita todos los axiomas de espacio vectorial que uses

        \[u+5v-3w+2u-8v= -3(w+v-u).\]

  • Termina de demostrar que en efecto los espacios de funciones con la suma y producto escalar que dimos son espacios de funciones.
  • Enlista todos los polinomios de (\mathbb{F}_2)_3[x]. A continuación hay algunos:

        \[0, x+1, x^2+x, x^3+1.\]

    Para cada uno de ellos, encuentra quien es su inverso aditivo para la suma vectorial de (\mathbb{F}_2)_3[x].

Más adelante…

Ya dimos la definición de espacio vectorial y vimos varios ejemplos. Dentro de algunas entradas veremos como conseguir muchos más espacios vectoriales.

En el último ejemplo pasa algo curioso: el espacio F_n[x] es un subconjunto del espacio F[x] y además es un espacio vectorial con las mismas operaciones que F[x]. Este es un fenómeno muy importante en álgebra lineal. Decimos que F_n[x] es un subespacio de F[x]. En la siguiente entrada definiremos en general qué es un subespacio de un espacio vectorial y veremos algunas propiedades que tienen los subespacios.

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