Forma polar y cambios de coordenadas en complejos

Introducción

En las entradas anteriores comenzamos a hablar acerca de cómo resolver algunas ecuaciones en $\mathbb{C}$ . Platicamos de ecuaciones cuadráticas y la fórmula general. Luego, vimos sistemas de ecuaciones lineales y varios métodos para resolverlos. Lo siguiente que haremos es resolver ecuaciones de la forma $z^n=w$ , en donde $w$ en $\mathbb{C}$ y $n$ en $\mathbb{N}$ están dados, y $z$ es la variable a determinar. Antes de resolver esa ecuación, necesitamos entender mejor la multiplicación en $\mathbb{C}$ , y para ello necesitamos estudiar la forma polar de un complejo.

Por eso, en esta entrada comenzaremos recordando las coordenadas rectangulares de un número complejo y definiremos sus coordenadas polares. Veremos cómo pasar entre coordenadas rectangulares y polares de manera biyectiva, con lo cual podremos definir qué es la forma polar.

Más adelante, la forma polar nos ayudará a entender mejor la geometría de la multiplicación en $\mathbb{C}$ y de la exponenciación. Esto será muy útil cuando queramos «sacar raíces $n$ -ésimas», lo cual necesitaremos para resolver ecuaciones del estilo $z^n=w$ .

De coordenadas rectangulares a coordenadas polares

Tomemos un número complejo $z=x+yi$ y pensémoslo como un punto del plano complejo, es decir, como el punto $(x,y)$ . Diremos que $(x,y)$ son las coordenadas rectangulares de $z$ . Es recomendable recordar la siguiente figura, y regresar a ella frecuentemente.

El complejo $z$ tiene norma $r=\sqrt{x^2+y^2}$ . Además, si $z\neq 0$ , tenemos que $z$ define un ángulo $\theta$ con el eje real positivo, al cual le llamaremos el argumento de $z$ y lo denotaremos por $\text{arg}(z)$ . Todos los ángulos que manejaremos están en radianes.

Sin embargo, este ángulo no es único. El complejo $z$ define al ángulo $\theta$ pero, por ejemplo, también define al ángulo $\theta+2\pi$ , pues la suma de $2\pi$ corresponde a dar una vuelta completa alrededor del origen. Por ello, pensaremos que el argumento de $z$ toma todos los valores

$\{\theta+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}.$

Así, $\text{arg}(z)$ es una multifunción, algo así como una función, pero que toma varios valores. Cuando digamos que un complejo tiene argumento $\theta$ , nos referiremos a $\theta$ o cualquier otro ángulo que difiera un múltiplo entero de $2\pi$ Más adelante hablaremos de esto con detalle.

Aunque haya varios ángulos que le correspondan a $z$ , hay uno único en el intervalo $[0,2\pi)$ .

Definición. Definimos las coordenadas polares de un complejo $z=x+yi$ como sigue:

Si $z=0$ , sus coordenadas polares son $(0,0)$ .
Si $z\neq 0$ , entonces tomemos $r=\Vert z \Vert = \sqrt{x^2+y^2}$ y $\theta$ el único ángulo en $[0,2\pi)$ que hace $z$ con el eje real positivo. Las coordenadas polares de $z$ son $(r,\theta)$ .

Observa que $r$ siempre es no negativo y es cero y y sólo si $z=0$ . Observa además por trigonometría que para el ángulo $\theta$ se cumple que

$\begin{align*}\sin \theta &= \frac{y}{r}\\ \cos \theta &= \frac{x}{r},\end{align*}$

lo cual nos da una forma práctica para encontrar $\theta$ :

Calculamos $\frac{y}{r}$ o $\frac{x}{r}$ (el que parezca más sencillo).
Aplicamos una función trigonométrica inversa para reducir el problema a dos opciones.
Elegimos la opción correcta de acuerdo al signo de $x$ o $y$ .

Ejemplo. Tomemos al complejo $z=3-3\sqrt{3}i$ . Vamos a pasarlo a forma polar. Su norma es $\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$ . Para determinar el ángulo $\theta$ que define con el eje real, podemos notar que

$\cos{\theta}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},$

así que $\theta = \frac{\pi}{3}$ ó $\theta= 2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$ , pues son los únicos ángulos en $[0,2\pi)$ con ese coseno. Como la parte imaginaria es negativa, se da el segundo caso. Por lo tanto, las coordenadas polares de $z$ son $\left(6,\frac{5\pi}{3}\right)$ .

$\square$

De coordenadas polares a coordenadas rectangulares

También hay una forma de pasar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares. En efecto, tomemos un real no negativo $r$ y consideremos la pregunta ¿quienes son los números complejos de norma $r$ ?

Por un lado, si $r=0$ , necesitamos que $x^2+y^2=0^2=0$ , de donde $x=y=0$ , así que las coordenadas rectangulares deben ser $(0,0)$ . Por otro lado, si $r>0$ , se necesita que

$x^2+y^2=r^2,$

lo cual, por el teorema de Pitágoras, define una circunferencia de radio $r$ con centro en el origen.

Circunferencia de complejos de norma r. — Circunferencia de complejos de norma $r$

Si además elegimos un ángulo $\theta$ en $[0,2\pi)$ que el complejo haga con el eje real, el complejo queda determinado de manera única. Supongamos que este complejo es $z=x+yi$

Por trigonometría, tenemos que

$\begin{align*}x&=r\cos \theta\\ y &= r\sin \theta.\end{align}$

Problema. Determina en la forma $x+yi$ al número complejo cuyas coordenadas polares son $\left(7,\frac{3\pi}{4}\right)$ .

Solución. Usamos las fórmulas obtenidas arriba. Tenemos que

$\begin{align*}\\x&=7\cos \frac{3\pi}{4}=7\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{7}{\sqrt{2}}\\y &= 7\sin \frac{3\pi}{4}= 7\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}.\end{align}$

De este modo, el complejo buscado es el

$-\frac{7}{\sqrt{2}}+\frac{7}{\sqrt{2}}.$

$\square$

Los cambios de coordenadas son inversos entre sí

La primer sección explica cómo de coordenadas rectangulares podemos pasar a coordenadas polares. La anterior dice cómo pasar de coordenadas polares a rectangulares. Resulta que estas operaciones son inversas la una de la otra:

Proposición. Si tomamos coordenadas polares $(r,\theta)$ de un complejo, las pasamos a coordenadas rectangulares $(x,y)$ y luego éstas las pasamos a coordenadas polares $(r',\theta')$ de nuevo, tenemos que

$(r,\theta)=(r',\theta').$

Demostración. En el caso $r=0$ , sólo definimos coordenadas polares con $\theta=0$ . Al ir a coordenadas rectangulares vamos al punto $(0,0)$ , que de nuevo regresa a polares $(0,0)$ . Podemos suponer entonces que $r>0$ .

Como mencionamos en la segunda sección, las coordenadas rectangulares correspondientes a $(r,\theta)$ son exactamente

$(x,y)=(r\cos \theta,r\sin \theta).$

Pasemos este complejo a coordenadas polares $(r',\theta')$ . Usando la identidad pitagórica $\cos ^2\theta + \sin^2 \theta = 1$ , la norma de este complejo es

$\begin{align*}\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2 \theta} &= r\sqrt{\cos ^2\theta +\sin^2 \theta}\\&=r\sqrt{1}\\&=r,\end{align}$

lo que prueba $r=r'$ . Además, como discutimos en la primer sección, tenemos que

$\begin{align*}\sin \theta' = \frac{r\sin \theta}{r} = \sin \theta\\\cos \theta' = \frac{r\cos \theta}{r}=\cos \theta.\end{align*}$

De esta forma, $\theta$ y $\theta'$ son ángulos en $[0,2\pi)$ con el mismo seno y coseno, lo cual implica $\theta=\theta'$ .

$\square$

Corolario. El cambio de coordenadas rectangulares a polares , visto como una función de

$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$

$(\mathbb{R}^+\times [0,2\pi))\cup \{(0,0)\}$

es biyectivo.

La forma polar de un número complejo

En las secciones anteriores pensamos a los complejos como parejas ordenadas. Podemos regresar los resultados obtenidos a la forma $x+yi$ de los complejos para justificar la siguiente definición.

Definición. La forma polar de un número complejo $z=x+yi$ es $z=r(\cos \theta + i\sin \theta)$ , donde $(r,\theta)$ son las coordenadas polares de $(x,y)$ .

Por costumbre, en la forma polar se pone $i$ antes de $\sin \theta$ , a diferencia de la forma rectangular, en donde se pone $i$ después de $y$ . A veces en expresiones como las de la forma polar aparecen ángulos $\theta$ fuera del rango $[0,2\pi)$ . Podemos hacer las cuentas que necesitemos fuera de este rango sin problema. Al final podemos sumar o restar un múltiplo entero de $2\pi$ para caer en el rango $[0,2\pi)$ . Esto no cambia el seno ni coseno del ángulo, por lo que no cambia al complejo.

Como la expresión $\cos \theta + i\sin \theta$ se usa mucho, usualmente se abrevia.

Definición. Para un ángulo $\theta$ definimos $\text{cis}(\theta) = \cos \theta + i \sin \theta$ .

Problema. Determina la forma polar de los complejos $1$ , $-1$ , $i$ y $-i$ .

Solución. Todos estos números tienen norma $1$ . Además, hacen ángulos $0, \pi, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ con el eje real positivo, respectivamente. De esta forma, sus coordenadas polares son

$\begin{align*}(1,0)\quad (1,\pi)\quad\left(1,\frac{\pi}{2}\right)\quad \left(1,\frac{3\pi}{2}\right),\end{align*}$

respectivamente.

De esta forma, la forma polar de cada uno es:

$\begin{align*}1&=\cos 0+i \sin 0=\text{cis} (0)\\-1&=\cos \pi + i \sin \pi = \text{cis} (\pi) \\i&=\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = \text{cis} \left(\frac{\pi}{2}\right)\\-i&= \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = \text{cis} \left( \frac{3\pi}{2}\right). \end{align*}$

$\square$

Una aclaración muy importante es que la forma polar de $z=x+yi$ no es $r+\theta i$ . La forma polar es exactamente el mismo número complejo que el original, simplemente escrito de manera diferente.

Si la forma polar de un complejo es exactamente el mismo número que el original, ¿de qué nos sirve tenerlo en coordenadas polares? Resulta que la multiplicación compleja se entiende mucho mejor en términos de la forma polar. En la siguiente entrada veremos esto y cómo lo podemos usar para encontrar potencias de números complejos fácilmente.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Determina la forma polar de los siguientes complejos: $7-7i$ y $-2+2\sqrt{3}i$ .
Determina la forma rectangular de los complejos con coordenadas polares $\left(2,\frac{\pi}{3}\right)$ y $\left(1, \frac{11\pi}{6}\right)$ .
Si la forma polar del complejo $z$ es $r\text{cis} \theta$ , ¿quién es la forma polar del conjugado?
¿Cuáles son aquellos números complejos que se obtienen al variar $\theta$ en la forma polar $3\text{cis}(\theta)$ ?
¿Qué figura en el plano definen aquellos números complejos que se obtienen al variar $r$ en la forma polar $r\text{cis}(\pi)$ ?

Puedes practicar más estos temas viendo los videos y haciendo los ejercicios de la página de Khan Academy, de su sección de números complejos.

El blog de Leo

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Álgebra Superior II: Cambios de coordenadas y forma polar de un complejo

Introducción

De coordenadas rectangulares a coordenadas polares

De coordenadas polares a coordenadas rectangulares

Los cambios de coordenadas son inversos entre sí

La forma polar de un número complejo

Tarea moral

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De coordenadas rectangulares a coordenadas polares

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