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Álgebra Superior II: Raíces de polinomios de grados 3 y 4

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

Esta es la entrada final de la unidad de polinomios y del curso. En ella hablaremos acerca de las fórmulas para encontrar las raíces de polinomios de grado $3$ y $4$. Además, en la parte final, hablaremos de polinomios de grados más altos y cómo ellos te pueden llevar a cursos muy interesantes que puedes tomar para continuar tu formación matemática.

Existen métodos generales para encontrar las raíces de polinomios de grado $3$ y $4$, ya sea en $\mathbb{R}[x]$ o en $\mathbb{C}[x]$. Para los polinomios de grado $3$, se usa el método de Cardano. Para los polinomios de grado $4$ se usa el método de Ferrari. Encontrar estas fórmulas tomó mucho tiempo. Ambas requieren de manipulaciones algebraicas muy creativas.

Raíces de polinomios de grado 3 y el método de Cardano

Tomemos un polinomio $f(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ de grado $3$. Si $f(x)$ no es mónico, podemos multiplicarlo por el inverso de su coeficiente principal para obtener un polinomio con las mismas raíces. De esta forma, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $f(x)$ es de la forma $$f(x)=x^3+ax^2+bx+c.$$

Consideremos al polinomio $$g(x)=f\left(x-\frac{a}{3}\right).$$ Observa que $r$ es una raíz de $g(x)$ si y sólo si $g(r)=0$, si y sólo si $f\left(r-\frac{a}{3}\right)=0$, si y sólo si $r-\frac{a}{3}$ es una raíz de $f$. De esta forma, si conocemos las raíces de $g(x)$, podemos encontrar las de $f(x)$, y viceversa.

Al hacer las cuentas (que quedan como tarea moral), se tiene que $g(x)$ se simplifica a
\begin{align*}
g(x)&=f\left(x-\frac{a}{3}\right)\\
&=x^3+\left(b-\frac{a^2}{3}\right)x+\left(-\frac{ba}{3}+c+\frac{2a^3}{27}\right),
\end{align*}

que tiene la ventaja de ya no tener término cuadrático. En otras palabras, para encontrar las raíces de polinomio cúbico, basta con poder encontrar las de los polinomios de la forma $$g(x)=x^3+px+q.$$

Tomando $x=u+v$ y haciendo las operaciones, se tiene que $$g(u+v)=u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q.$$

Observa que si logramos encontrar $u$ y $v$ que satisfagan el sistema de ecuaciones
\begin{align*}
u^3+v^3&=-q\\
uv&=-\frac{p}{3},
\end{align*}

entonces tendríamos una raíz $x=u+v$.

La segunda ecuación implica $u^3v^3=-\frac{p^3}{27}$. Pero entonces conocemos la suma y el producto de las variables $u^3$ y $v^3$, con lo cual obtenemos que son las raíces del siguiente polinomio de grado $2$ en la variable $t$:
\begin{align*}
(t-u^3)(t-v^3)&=t^2-(u^3+v^3)t+u^3v^3\\
&=t^2+qt-\frac{p^3}{27}.
\end{align*}

El discriminante de esta ecuación cuadrática es $$\Delta = q^2 + \frac{4p^3}{27}.$$

Si $\Delta >0$, esta ecuación cuadrática tiene las siguientes soluciones reales:
\begin{align*}
\sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}\\
\sqrt[3]{-\frac q2 – \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}.
\end{align*}

Sin pérdida de generalidad, $u$ es la primera y $v$ la segunda. De esta forma, una raíz real para $g(x)$ es $$x= \sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac q2 – \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}.$$

Hasta aquí hay algunas cosas por notar:

  • Supusimos que el discriminante $\Delta$ es positivo.
  • Sólo hemos encontrado una de las $3$ raíces de $p(x)$ que garantiza el teorema fundamental del álgebra.

Cuando el discriminante es positivo, las otras dos soluciones son $\omega x$ y $\omega^2 x$, en donde $\omega$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad.

Cuando la cuadrática tiene discriminante $\Delta<0$, tenemos que $u$ y $v$ son complejos, y entonces al sacar raíz cúbica podemos tener tres opciones para cada uno, algo que parecería dar un total de $9$ soluciones. Sin embargo, recordando que $uv=-\frac{p}{3}$, tenemos que $u$ queda totalmente determinado por $v$, así que de ahí se obtienen las tres soluciones.

Raíces de polinomios de grado 4 y el método de Ferrari

El método de Ferrari está explicado a detalle en el libro de Álgebra de Bravo, Rincón y Rincón. Ahí están las ideas principales para encontrar una fórmula general para encontrar las raíces de un polinomio de grado $4$, es decir, de la forma $$p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.$$ Recuerda que el libro está disponible para descarga gratuita.

Al igual que en el caso del método de Ferrari, los primeros pasos consisten en hacer simplificaciones algebraicas. Así como el método de Cardano usa la fórmula cuadrática, del mismo modo el método de Ferrari reduce el problema a encontrar soluciones a un polinomio de grado 3. Uno podría creer que este patrón se repite, y que se pueden encontrar métodos para polinomios de grado arbitrario. Esto no es así, y lo platicaremos en la siguiente sección.

Para otra derivación de la fórmula de Ferrari, compartimos el artículo «Identidades para la resolución de ecuaciones cúbicas y cuárticas» de José Leonardo Sáenz Cetina, que apareció en el número 24 de la revista Miscelánea Matemática de la Sociedad Matemática Mexicana:

Este documento también tiene otras dos formas de resolver ecuaciones cúbicas, así que es una lectura recomendada.

Finalmente, se recomienda también echarle un ojo a la página de Wikipedia acerca de la ecuación cuártica. La entrada en inglés es mucho mejor. Sobre todo la sección referente al método de Ferrari.

Raíces de polinomios de grado 5 y más

De acuerdo al teorema fundamental del álgebra, todo polinomio sobre los complejos tiene al menos una raíz. De hecho, se puede mostrar que si es de grado $n$, entonces tiene exactamente $n$ raíces, contando multiplicidades.

Cuando tenemos polinomios de grados $2$, $3$ y $4$ podemos usar la fórmula cuadrática, el método de Cardano y el método de Ferrari para encontrar una fórmula para las soluciones. ¿Hay algún método que tenga fórmulas similares para polinomios de grado más grande?

La respuesta es que no. Aunque el teorema fundamental del álgebra garantice la existencia de las raíces, hay un teorema de Abel y Ruffini que muestra que no es posible encontrar una fórmula general. Al menos no una que ayude a poner las raíces de cualquier polinomio de grado cinco (o más) usando únicamente sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces. Esto formalmente se enuncia como que hay ecuaciones de grado 5 y más que no son solubles por radicales.

Enunciar y demostrar este teorema formalmente requiere de herramientas que quedan fuera del alcance de este curso, sin embargo, se puede estudiar en un curso avanzado de álgebra, en donde se hable de extensiones de campo y teoría de Galois.

Por otro lado, podemos dejar de lado la exactitud y preguntarnos si, dado un polinomio, podemos acercarnos a sus raíces tanto como queramos. Hoy en día eso se hace mediante métodos computacionales. Aunque la computadora sea muy buena haciendo cuentas, hay que ser particularmente cuidadoso con los errores que comete al hacer aproximaciones.

Eso es otra de las cosas que quedan fuera del alcance de este curso, y que puedes estudiar en un buen curso de métodos numéricos. Si lo que buscas es saber cómo pedirle a la computados que haga los cálculos, eso lo puedes aprender en un buen curso de programación, en donde te enseñen a usar ambientes de computación científica.

Más adelante…

Antes de concluir el curso, en la siguiente entrada, repasamos lo aprendido en esta entrada y vemos como se puede realizar una ecuación de grado $3$ y de grado $4$ usando los métodos de Cardano y de Ferrari, sin embargo, es importante no olvidar que antes de estos métodos, tenemos otros teoremas importantes que en principio podrían ser más simples para obtener las soluciones a una cúbica o cualquier ecuación.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Completa las cuentas faltantes en la discusión del método de Cardano.
  2. Muestra que un polinomio de grado $3$ y coeficientes reales tiene exactamente cero o dos raíces complejas distintas.
  3. ¿Cuántas raíces complejas distintas puede tener un polinomio de grado $4$ con coeficientes reales? Encuentra un ejemplo para cada una de las respuestas.
  4. Encuentra las raíces del polinomio cuártico $$p(x)=x^4+2x^3-12x^2-10x+4.$$ Después, compara tu respuesta con el Ejemplo 216 del libro de Álgebra de Bravo, Rincón, Rincón.
  5. Lee las entradas en Wikipedia acerca de ecuaciones cúbicas y ecuaciones cuárticas.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: El criterio de la raíz racional para polinomios de coeficientes enteros

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En esta entrada veremos el criterio de la raíz racional. Este es un método que nos permite determinar las únicas raíces racionales que puede tener un polinomio con coeficientes enteros. Es una más de las herramientas que podemos usar cuando estamos estudiando polinomios en $\mathbb{R}[x]$.

Si encontramos una raíz con este método, luego podemos encontrar su multiplicidad mediante el teorema de derivadas y multiplicidad. Esto puede ayudarnos a factorizar el polinomio. Otras herramientas que hemos visto que nos pueden ayudar son el algoritmo de Euclides, la fórmula cuadrática, el teorema del factor y propiedades de continuidad y diferenciabilidad de polinomios.

El criterio de la raíz racional

Si un polinomio $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ cumple que todos sus coeficientes son números enteros, entonces decimos que es un polinomio sobre los enteros. Al conjunto de polinomios sobre los enteros se le denota $\mathbb{Z}[x]$.

Teorema (criterio de la raíz racional). Tomemos un polinomio $p(x)$ en $\mathbb{Z}[x]$ de la forma $$p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n.$$ Supongamos que el número $\frac{p}{q}$ es número racional simplificado, es decir con $p$ y $q\neq 0$ enteros primos relativos. Si $\frac{p}{q}$ es raíz de $p(x)$, entonces $p$ divide a $a_0$, y $q$ divide a $a_n$.

Demostración. Por definición, si $\frac{p}{q}$ es una raíz, tenemos que $$0=a_0+a_1\cdot \frac{p}{q} + \ldots + a_n \cdot \frac{p^n}{q^n}.$$

Multiplicando ambos lados de esta igualdad por $q^n$, tenemos que

$$0=a_0q^n+a_1pq^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}q+a_np^n.$$

Despejando $a_0q^n$, tenemos que

\begin{align*}
a_0q^n&=-(a_1pq^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}q+a_np^n)\\
&=-p(a_1q^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-2}q+a_np^{n-1})
\end{align*}

Esto muestra que $a_0q^n$ es múltiplo de $p$. Pero como $\MCD{p,q}=1$, tenemos que $p$ debe dividir a $a_0$.

De manera similar, tenemos que

\begin{align*}
a_np^n&=-(a_0q^n+a_1pq^{n-1}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}q)\\
&=-q(a_0q^{n-1}+a_1pq^{n-2}+\ldots+a_{n-1}p^{n-1}).
\end{align*}

De aquí, $q$ divide a $a_np^n$, y como $\MCD{p,q}=1$, entonces $q$ divide a $a_n$.

$\square$

Como cualquier natural tiene una cantidad finita de divisores, el criterio de la raíz racional nos permite restringir la cantidad posible de raíces de un polinomio con coeficientes enteros a una cantidad finita de candidatos. Veamos un par de ejemplos.

Aplicación directa del criterio de la raíz racional

Ejercicio. Usa el criterio de la raíz racional para enlistar a todos los posibles números racionales que son candidatos a ser raíces del polinomio $$h(x)=2x^3-x^2+12x-6.$$ Después, encuentra las raíces racionales de $p(x)$.

Solución. El polinomio $h(x)$ tiene coeficientes enteros, así que podemos usar el criterio de la raíz racional. Las raíces racionales son de la forma $\frac{p}{q}$ con $p$ divisor de $-6$, con $q$ divisor de $2$ y además $\MCD{p,q}=1$. Los divisores enteros de $-6$ son $$-6,-3,-2,-1,1,2,3,6.$$ Los divisores enteros de $2$ son $$-2,-1,1,2.$$

Pareciera que hay muchas posibilidades por considerar. Sin embargo, nota que basta ponerle el signo menos a uno de $p$ o $q$ para considerar todos los casos. Así, sin pérdida de generalidad, $q>0$. Si $q=1$, obtenemos a los candidatos $$-6,-3,-2,-1,1,2,3,6.$$ Si $q=2$, por la condición de primos relativos basta usar los valores $-3,-1,1,3$ para $p$. De aquí, obtenemos al resto de los candidatos $$-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}.$$

En el peor de los casos, ya solo bastaría evaluar el polinomio en estos $12$ candidatos para determinar si son o no son raíz. Sin embargo, a veces podemos hacer algunos trucos para disminuir todavía más la lista.

Observa que si evaluamos $$h(x)=2x^3-x^2+12x-6$$ en un número negativo, entonces la expresión quedará estrictamente negativa, así que ninguno de los candidatos negativos puede ser raíz. De este modo, sólo nos quedan los candidatos $$1,2,3,6,\frac{1}{2},\frac{3}{2}.$$

Si evaluamos en $x=2$ o $x=6$, entonces la parte de la expresión $2x^3-x^2+12x$ es múltiplo de $4$, pero $-6$ no. De esta forma, $h(x)$ no sería un múltiplo de $4$, y por lo tanto no puede ser $0$. Si evaluamos en $x=1$ o $x=3$, tendríamos que la parte de la expresión $2x^3+12x-6$ sería par, pero $-x^2$ sería impar, de modo que $h(x)$ sería impar, y no podría ser cero. Así, ya sólo nos quedan los candidatos $$\frac{1}{2},\frac{3}{2}.$$

Para ellos ya no hagamos trucos, y evaluemos directamente. Tenemos que
\begin{align*}
h\left(\frac{1}{2}\right) &= 2\cdot \frac{1}{8} – \frac{1}{4} + 12 \cdot \frac{1}{2}-6\\
&=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+6-6\\
&=0.
\end{align*}

y que
\begin{align*}
h\left(\frac{3}{2}\right) &= 2\cdot \frac{27}{8} – \frac{9}{4} + 12 \cdot \frac{3}{2}-6\\
&=\frac{27}{4}-\frac{9}{4}+18-6\\
&=\frac{9}{2}+12\\
&=\frac{33}{2}.
\end{align*}

Habiendo considerado todos los casos, llegamos a que la única raíz racional de $h(x)$ es $\frac{1}{2}$.

$\triangle$

Aplicación indirecta del criterio de la raíz racional

El criterio de la raíz racional lo podemos usar en algunos problemas, aunque en ellos no esté escrito un polinomio de manera explícita.

Problema. Muestra que $\sqrt[7]{13}$ no es un número racional.

Solución. Por definición, el número $\sqrt[7]{13}$ es el único real positivo $r$ que cumple que $r^7=13$. Se puede mostrar su existencia usando que la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^7$ es continua, que $f(0)=0$, que $f(2)=128$, y aplicando el teorema del valor intermedio. Se puede mostrar su unicidad mostrando que la función $f$ es estrictamente creciente en los reales positivos. Lo que tenemos que mostrar es que este número real no es racional.

Si consideramos el polinomio $p(x)=x^7-13$, tenemos que $p(r)=r^7-13=0$, de modo que $r$ es raíz de $p(x)$. Así, para terminar el problema, basta mostrar que $p(x)$ no tiene raíces racionales.

El polinomio $p(x)$ tiene coeficientes enteros, así que podemos aplicarle el criterio de la raíz racional. Una raíz racional tiene que ser de la forma $\frac{p}{q}$ con $p$ divisor de $-13$ y $q$ divisor de $1$.

Sin perder generalidad, $q>0$, así que $q=1$. De esta forma, los únicos candidatos a ser raíces racionales de $p(x)$ son $-13,-1,1,13$. Sin embargo, una verificación de cada una de estas posibilidades muestra que ninguna de ellas es raíz de $p(x)$. Por lo tanto, $p(x)$ no tiene raíces racionales, lo cual termina la solución del problema.

$\square$

Aplicación en polinomio con coeficientes racionales

A veces un polinomio tiene coeficientes racionales, por ejemplo, $$r(x)=\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{3}-4x-1.$$

A un polinomio con todos sus coeficientes en $\mathbb{Q}$ se les conoce como polinomio sobre los racionales y al conjunto de todos ellos se le denota $\mathbb{Q}[x]$. Para fines de encontrar raíces racionales, los polinomios en $\mathbb{Q}[x]$ y los polinomios en $\mathbb{Z}[x]$ son muy parecidos.

Si tenemos un polinomio $q(x)$ en $\mathbb{Q}[x]$, basta con multiplicar por el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes para obtener un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros. Como $q(x)$ y $p(x)$ varían sólo por un factor no cero, entonces tienen las mismas raíces. Por ejemplo, el polinomio $r(x)$ de arriba tiene las mismas raíces que el polinomio $$s(x)=6r(x)=3x^3+2x^2-24x-6.$$ A este nuevo polinomio se le puede aplicar el criterio de la raíz racional para encontrar todas sus raíces racionales.

Ejemplo. Consideremos el polinomio $$q(x)=x^3+\frac{x^2}{3}+5x+\frac{5}{3}.$$ Vamos a encontrar todos los candidatos a raíces racionales. Para ello, notamos que $q(x)$ y $p(x):=3q(x)$ varían sólo por un factor multiplicativo no nulo y por lo tanto tienen las mismas raíces. El polinomio $$p(x)=3x^3+x^2+15x+5$$ tiene coeficientes enteros, así que los candidatos a raíces racionales son de la forma $\frac{a}{b}$ con $a$ y $b$ primos relativos, $a\mid 5$ y $b\mid 3$. Sin pérdida de generalidad $b>0$.

Los divisores de $5$ son $-5,-1,1,5$. Los divisores positivos de $3$ son $1$ y $3$. De esta forma, los candidatos a raíces racionales son $$-5,-1,1,5,-\frac{5}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{5}{3}.$$

Si ponemos un número positivo en $p(x)$, como sus coeficientes son todos positivos, tenemos que la evaluación sería positiva, así que podemos descartar estos casos. Sólo nos quedan los candidatos $$-5,-1,-\frac{5}{3},-\frac{1}{3}.$$

La evaluación en $-5$ da
\begin{align*}
-3\cdot 125 + 25 – 15\cdot 5 +5&=-375+25-75+5\\
&=-295,
\end{align*}

así que $-5$ no es raíz.

La evaluación en $-1$ da
\begin{align*}
-3+1-15+5=-12,
\end{align*}

así que $-1$ tampoco es raíz.

Como tarea moral, queda verificar que $-\frac{5}{3}$ tampoco es raíz, pero que $-\frac{1}{3}$ sí lo es.

$\triangle$

Más adelante

Hemos visto como podemos encontrar algunas raíces de los polinomios con coeficientes en $\mathbb{Q}$, esta herramienta es extremadamente fuerte, porque aún encontrando solo una raíz para el polinomios, usando el teorema del factor, podemos cambiar nuestro polinomio por uno de al menos un grado menor.

La importancia de disminuir el grado de un polinomio, es que si logramos reducirlo a un polinomio de grado cuatro, entonces podremos encontrar todas las raíces, aunque estas pueden ser un poco complicadas.

El justificar la aseveración anterior, requiere esfuerzo, y será nuestra siguiente tarea, dar todas las soluciones a cualquier polinomio de grado menor o igual $4$.

Por lo mientras, para practicar los temas vistos, en la siguiente sección repasaremos algunos ejercicios para familiarizarnos con las técnicas que hemos visto.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Realiza las evaluaciones que faltan en el último ejemplo.
  2. Determina las raíces racionales del polinomio $$x^7-6x^4+3x^3+18x-1.$$
  3. Muestra que $\sqrt[3]{12}$ no es un número racional.
  4. Encuentra todos los candidatos a ser raíces racionales de $$x^3+\frac{2x^2}{3}-7x-\frac{14}{3}.$$ Determina cuáles sí son raíces.
  5. Puede que un polinomio en $\mathbb{Z}[x]$ no tenga raíces racionales, pero que sí se pueda factorizar en $\mathbb{Z}[x]$. Investiga acerca del criterio de irreducibilidad de Eisenstein.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: El teorema de derivadas y multiplicidad

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En entradas anteriores definimos qué quiere decir que un real sea una raíz de un polinomio. Luego, vimos que mediante el teorema del factor se puede definir una relación entre las raíces de un polinomio y los polinomios lineales que lo dividen. Sin embargo, es posible que un real sea una raíz de un polinomio «más de una vez», que fue un concepto que formalizamos en la entrada de desigualdades de polinomios. En esta entrada veremos que a través de las derivadas de polinomios, podemos determinar la multiplicidad de sus raíces.

Como recordatorio, la multiplicidad de una raíz $r$ de un polinomio $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ es el mayor entero $m$ tal que $(x-r)^m$ divide a $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$. También, en esta entrada haremos uso de la regla del producto para derivadas.

El teorema de derivadas y multiplicidad

El siguiente resultado es fundamental para la detección de raíces múltiples. Su demostración es sencilla pues usamos varios de los resultados que hemos obtenido anteriormente.

Teorema (derivadas y multiplicidad). Sea $r$ una raíz del polinomio $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ de multiplicidad $m$. Si $m>1$, entonces $r$ es una raíz de la derivada $p'(x)$, y es de multiplicidad $m-1$. Si $m=1$, entonces $r$ no es raíz de $p'(x)$.

Demostración. Como $r$ es una raíz de $p(x)$ de multiplicidad $m$, entonces se puede escribir $p(x)=(x-r)^m q(x)$, en donde $q(x)$ es un polinomio que ya no es divisible entre $x-r$. Derivando, por regla del producto tenemos que
\begin{align*}
p'(x)&=m(x-r)^{m-1}q(x) + (x-r)^m q'(x)\\
&=(x-r)^{m-1}(mq(x)+(x-r)q'(x)).
\end{align*}

Afirmamos que $x-r$ no divide a $mq(x)+(x-r)q'(x)$. Si lo dividiera, como divide a $(x-r)q'(x)$ entonces también tendría que dividir a $mq(x)$ y por lo tanto a $q(x)$. Pero esto sería una contradicción con la elección de $q(x)$.

De esta forma, si $m=1$ entonces $x-r$ no divide a $p'(x)$ y por el teorema del factor entonces $r$ no es raíz de $p'(x)$. Y si $m>1$, entonces $(x-r)^{m-1}$ divide a $p'(x)$ por la expresión que encontramos de la derivada, pero $(x-r)^m$ no, pues $x-r$ no divide al segundo factor. Esto termina la prueba.

$\square$

Ejemplo. Consideremos al polinomio $p(x)=(x-3)^3(x+1)$. Tanto $3$ como $-1$ son raíces de $p(x)$. La multiplicidad de la raíz $3$ es tres y la multiplicidad de la raíz $-1$ es uno. Si derivamos a $p(x)$ usando la regla del producto, tenemos que
\begin{align*}
p'(x)&=3(x-3)^2(x+1)+(x-3)^3\\
&=3(x-3)^2(x+1+x-3)\\
&=3(x-3)^2(2x-2)\\
&=6(x-3)^2(x-1)
\end{align*}

Observa que $p'(x)$ en efecto tiene a $3$ como raíz de multiplicidad dos y ya no tiene a $1$ como raíz.

$\triangle$

Es muy importante respetar la hipótesis de que $r$ sea raíz de $p(x)$. Por ejemplo, en el ejemplo anterior $1$ es raíz de $p'(x)$ de multiplicidad $1$, pero $1$ no es raíz de $p(x)$ (y mucho menos de multiplicidad $2$).

El teorema de derivadas y multiplicidad es interesante, pero todavía no es útil en aplicaciones prácticas. Sin embargo, tiene dos consecuencias que sí se pueden usar para estudiar polinomios concretos.

Encontrar la multiplicidad de una raíz

El teorema de derivadas y multiplicidad nos dice que la multiplicidad de una raíz «baja en uno» al pasar de un polinomio a su derivada, pero aún no nos dice cuál es esa multiplicidad. Sin embargo, lo podemos aplicar repetidamente para obtener esta información. Recuerda que para $k$ un entero no negativo y $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$, usamos $p^{(k)}(x)$ para denotar $k$-ésima derivada de un polinomio. Aquí $p^{(0)}(x)$ es simplemente $p(x)$.

Proposición. Sea $r$ una raíz del polinomio $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ de multiplicidad $m$. Si $k$ el mayor entero positivo tal que $r$ es raíz de $$p^{(0)}(x), p^{(1)}(x),\ldots,p^{(k)}(x),$$ entonces $m=k+1$.

Demostración. Usando el teorema anterior de manera inductiva, tenemos que para cada entero $0\leq \ell<m$, se tiene que $r$ es raíz de multiplicidad $m-\ell$ de $p^{(\ell)}(x)$ En particular, es raíz de todas estas derivadas. Además, por el mismo teorema, se tiene que $r$ ya no es raíz de $p^{(m)}(x)$. De esta forma, tenemos que $k=m-1$, de donde se obtiene el resultado deseado.

$\square$

La proposición anterior ahora sí nos da una manera de encontrar la multiplicidad de una raíz de un polinomio.

Ejemplo. Sabiendo que $3$ es una raíz del polinomio $$p(x)=x^5-9x^4+28x^3-36x^2+27x-27,$$ vamos a encontrar su multiplicidad.

Para esto, vamos a calcular sus derivadas:
\begin{align*}
p'(x)&=5x^4-36x^3+84x^2-72x+27\\
p^{(2)}(x)&=20x^3-108x^2+168x-72\\
p^{(3)}(x)&=60x^2-216x+168\\
p^{(4)}(x)&=120x-216\\
p^{(5)}(x)&=120\\
p^{(6)}(x)&=0
\end{align*}

Tenemos que
\begin{align*}
p'(3)&=5\cdot 81 – 36 \cdot 27 +84 \cdot 9 -72\cdot 3 + 27\\
&=405-972+756-216+27\\
&=0.
\end{align*}

Hasta aquí, sabemos que $3$ es raíz de multiplicidad al menos dos. Tenemos también que
\begin{align*}
p^{(2)}(3)&=20\cdot 27-108\cdot 9 +168 \cdot 3 – 72\\
&=540-972+504-72\\
&=0.
\end{align*}

Hasta aquí, sabemos que $3$ es raíz de multiplicidad al menos tres. Siguiendo,
\begin{align*}
p^{(3)}&=60\cdot 9-216\cdot 3 +168\\
&=720-648+168\\
&=240.
\end{align*}

Como la tercera derivada ya no se anuló en $3$, la multiplicidad de $3$ como raíz es exactamente tres.

$\triangle$

Es importante que revisemos todas las derivadas, y que sea una por una. En el ejemplo anterior, $p^{(6)}(3)=0$, pero eso no quiere decir que $3$ sea raíz de multiplicidad $7$, pues la evaluación falla desde la tercera derivada.

Simplificar un polinomio para encontrarle sus raíces

Hay otra consecuencia práctica del teorema de multiplicidades y derivadas, que puede ser de utilidad en algunos problemas. Recuerda que para polinomios $p(x)$ y $q(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ usamos $\MCD{p(x),q(x)}$ para denotar al máximo común divisor de dos polinomios. En particular, divide a $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$, de modo que $$\frac{p(x)}{\MCD{p(x),q(x)}}$$ es un polinomio en $\mathbb{R}[x]$.

Proposición. Sea $p(x)$ un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ y $p'(x)$ su derivada. El polinomio $$q(x):=\frac{p(x)}{\MCD{p(x),p'(x)}}$$ es un polinomio en $\mathbb{R}[x]$, con las mismas raíces reales que $p(x)$, pero todas ellas tienen multiplicidad $1$.

Demostración. Factoricemos a todas las raíces reales de $p(x)$ con sus multiplicidades correspondientes para escribir $$p(x)=(x-r_1)^{m_1}\cdot \ldots \cdot (x-r_n)^{m_n} r(x),$$ en donde $r(x)$ ya no tiene raíces reales. De acuerdo al teorema de derivadas y multiplicidad, podemos escribir $$p'(x)=(x-r_1)^{m_1-1}\cdot \ldots \cdot (x-r_n)^{m_n-1} s(x),$$ en donde ningún $x-r_i$ divide a $s(x)$. Es sencillo entonces mostrar, y queda como tarea moral, que $\MCD{p(x),p'(x)}$ es $$(x-r_1)^{m_1-1}\cdot \ldots \cdot (x-r_n) \cdot \MCD{r(x),s(x)}.$$

A partir de esto, concluimos que
\begin{align*}
q(x)&=\frac{p(x)}{\MCD{p(x),p'(x)}}\\
&= (x-r_1)\cdot \ldots \cdot (x-r_n) \cdot \frac{r(x)}{\MCD{r(x),s(x)}}.
\end{align*}

De aquí se ve que $r_1,\ldots,r_n$ son raíces de multiplicidad $1$ de $q(x)$. No hay más raíces reales en $\frac{r(x)}{\MCD{r(x),s(x)}}$, pues si hubiera una raíz $\alpha$, entonces por el teorema del factor $x-\alpha$ dividiría a este polinomio, y por lo tanto a $r(x)$, de donde $\alpha$ sería raíz de $r(x)$, una contradicción.

$\square$

La proposición anterior se puede usar de manera práctica como sigue:

  • Para empezar, tomamos un polinomio arbitrario $p(x)$.
  • Luego, lo derivamos para obtener $p'(x)$.
  • Después, usando el algoritmo de Euclides, encontramos al polinomio $\MCD{p(x),q(x)}$.
  • Ya con el máximo común divisor, hacemos división polinomial para encontrar $q(x)=\frac{p(x)}{\MCD{p(x),q(x)}}$.
  • Si $p(x)$ tenía raíces repetidas, entonces ahora $q(x)$ será de grado menor, y quizás más fácil de estudiar. Encontramos las raíces de $q(x)$. Estas son las raíces de $f(x)$.
  • Finalmente, usamos el teorema de la sección anterior para encontrar la multiplicidad de cada raíz.

Veamos un problema interesante en el que se conjuntan varias ideas de esta entrada.

Problema. Factoriza en $\mathbb{R}[x]$ al polinomio $$-x^5+5x^4+5x^3-45x^2+108.$$

Solución. Este es un polinomio de grado cinco, para el cual hasta antes de ahora no teníamos muchas herramientas para estudiarlo. Vamos a aplicar el método explicado arriba. Lo primero que haremos es factorizar un $-1$ para volver este polinomio mónico. Recordaremos poner este signo al final. Tomemos entonces $$p(x)=x^5-5x^4-5x^3+45x^2-108.$$ Su derivada es $$p'(x)=5x^4-20x^3+15x^2+90x,$$

Se puede verificar, y queda como tarea moral, que el máximo común divisor de $p(x)$ y $p'(x)$ es el polinomio $$M(x)=x^3-4x^2-3x+18.$$ Haciendo la división polinomial, tenemos que $$\frac{p(x)}{M(x)}=x^2-x-6=(x+2)(x-3).$$ Como este polinomio tiene las mismas raíces que $p(x)$, concluimos que $-2$ y $3$ son las raíces de $p(x)$.

Usando la proposición para multiplicidades de raíces (que también queda como tarea moral), se puede verificar que $-2$ es raíz de multiplicidad dos y que $3$ es raíz de multiplicidad $3$. Como $p(x)$ es un polinomio de grado $5$ y es mónico, entonces se debe de dar la igualdad $$p(x)=(x+2)^2(x-3)^3.$$

Al regresar al polinomio original, debemos agregar un signo menos. Concluimos que la factorización del polinomio del problema es $$-(x+2)^2(x-3)^3.$$

$\triangle$

Esta proposición nos da una manera de encontrar raíces. En las siguientes dos entradas veremos otras dos formas de encontrarlas. Para cuando los polinomios son de grado $3$ y $4$, podemos encontrar las raíces de manera explícita. Para cuando los polinomios tienen coeficientes enteros, podemos encontrar una cantidad finita de candidatos a ser raíces racionales.

Más adelante…

En esta entrada dimos varias herramientas para encontrar las raíces de un polinomio y por lo tanto, para poder factorizar los polinomios, nota que estas entradas dependieron fuertemente del uso del cálculo, y del concepto de la derivada. Sin embargo, regresaremos una última vez al terreno algebraico para poder dar más formas de poder encontrar raíces de un polinomio.

Sin embargo, en las entradas siguientes, pondremos a prueba todo lo aprendido en el curso, desde las propiedades de la teoría de los números enteros, hasta la de los números complejos, y obviamente seguiremos ocupando los teoremas que hemos desarrollado en esta sección de polinomios.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Verifica que $1$ es raíz del polinomio $$x^8-x^7-9x^6+19x^5+5x^4-51x^3+61x^2-31x+6$$ y encuentra su multiplicidad.
  2. En la demostración de la última proposición, muestra la igualdad $$\MCD{p(x),p'(x)}=(x-r_1)^{m_1-1}\cdot \ldots \cdot (x-r_n) \MCD{r(x),s(x)}.$$
  3. En el último ejemplo, aplica el algoritmo de Euclides a $p(x)$ y $p'(x)$ para mostrar que el máximo común divisor es el que se afirma.
  4. Aplica la proposición de multiplicidad de raíces en el último ejemplo para verificar que en efecto las multiplicidades de $2$ y $3$ son las que se afirman.
  5. Aplica el mismo método que en la última sección para factorizar el polinomio $$x^6+8x^5+18x^4-4x^3-47x^2-12x+36.$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Desigualdades de polinomios reales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En la entrada anterior mostramos el teorema de factorización para polinomios con coeficientes reales. Lo que haremos ahora es ver que podemos aplicarlo en la resolución de desigualdades de polinomios en $\mathbb{R}[x]$. El objetivo es que, al final de la entrada, entendamos cómo se pueden resolver problemas como los siguientes:

Problema 1. Determina todos los números $x$ en $\mathbb{R}$ para los cuales $$x^6-12x^4-49x^2-30 > 3x^5-48x^3-51x+6.$$

Problema 2. Determina todos los números $x$ en $\mathbb{R}$ para los cuales $$\frac{1}{x}>x^3-x^2+1.$$

Antes de hablar de resolución de desigualdades de polinomios, veremos una forma alternativa de factorizar en $\mathbb{R}[x]$ usando potencias.

Teorema de factorización de polinomios reales con potencias

De acuerdo al teorema de factorización en $\mathbb{R}[x]$, un polinomio $p(x)$ se puede factorizar de manera única en factores lineales y factores cuadráticos con discriminante negativo. De ser necesario, podemos agrupar los factores lineales iguales y reordenarlos para llegar a una factorización de la forma $$a(x-r_1)^{\alpha_1}\cdots(x-r_m)^{\alpha_m}(x^2-b_1x+c_1)\cdots (x^2-b_{n}x+c_{n}),$$ en donde:

  • $a$ es un real distinto de cero,
  • $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ y $n$ son enteros positivos tales que $2n+\sum_{i=1}^m \alpha_i$ es igual al grado de $p(x)$,
  • para cada $i$ en $\{1,\ldots,m\}$ se tiene que $r_i$ es raíz real de $p(x)$ y $r_1<r_2<\ldots<r_m$
  • para cada $j$ en $ \{1,\ldots,n\}$ se tiene que $b_j,c_j$ son reales tales que $b_j^2-4c_j<0$.

Observa que los $r_i$ son ahora distintos y que están ordenados como $r_1<\ldots<r_m$. De aquí, obtenemos que $(x-r_i)^{\alpha_i}$ es la mayor potencia del factor lineal $x-r_i$ que divide a $p(x)$. Este número $\alpha_i$ se usa frecuentemente, y merece una definición por separado.

Definición. Sea $p(x)$ un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ y $r$ una raíz de $p(x)$. La multiplicidad de $r$ como raíz de $p(x)$ es el mayor entero $\alpha$ tal que $$(x-r)^\alpha \mid p(x).$$ Decimos también que $r$ es una raíz de multiplicidad $\alpha$.

Ejemplo. El polinomio $k(x)=x^4-x^3-3x^2+5x-2$ se factoriza como $(x-1)^3(x+2)$. Así, la multiplicidad de $1$ como raíz de $k(x)$ es $3$. Además, $-2$ es una raíz de $k(x)$ de multiplicidad $1$.

$\triangle$

Después hablaremos de una forma práctica en la que podemos encontrar la multiplicidad de una raíz, cuando hablemos de continuidad de polinomios y sus derivadas.

Desigualdades de polinomios reales factorizados

Supongamos que tenemos un polinomio $p(x)$ no constante en $\mathbb{R}[x]$ para el cual conocemos su factorización en la forma $$a(x-r_1)^{\alpha_1}\cdots(x-r_m)^{\alpha_m}(x^2-b_1x+c_1)\cdots (x^2-b_{n}x+c_{n}),$$ y que queremos determinar para qué valores reales $r$ se cumple que $$p(r)>0.$$

Daremos por cierto el siguiente resultado, que demostraremos cuando hablemos de continuidad de polinomios.

Proposición. Las evaluaciones en reales de un polinomio cuadrático y mónico en $\mathbb{R}[x]$ de discriminante negativo, siempre son positivas.

Lo que nos dice este resultado es que, para fines de la desigualdad que queremos resolver, podemos ignorar los factores cuadráticos en la factorización de $p(x)$ pues

$$a(x-r_1)^{\alpha_1}\cdots(x-r_m)^{\alpha_m}(x^2-b_1x+c_1)\cdots (x^2-b_{n}x+c_{n})$$ y $$a(x-r_1)^{\alpha_1}\cdots(x-r_m)^{\alpha_m}$$ tienen el mismo signo.

Por la miasma razón, podemos ignorar aquellos factores lineales con exponente par, y de los de exponente impar, digamos $(x-r)^{2\beta +1}$ obtenemos una desigualdad equivalente si los remplazamos por exponente $1$, pues $(x-r)^{2\beta}$ es positivo y por lo tanto no cambia el signo de la desigualdad si lo ignoramos.

En resumen, cuando estamos resolviendo una desigualdad del estilo $p(x)>0$ podemos, sin cambiar el conjunto solución, reducirla a una de la forma $$q(x):=a(x-r_1)(x-r_2)\ldots(x-r_m)>0.$$ La observación clave para resolver desigualdades de este estilo está resumida en el siguiente resultado.

Proposición. Tomemos un polinomio $q(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ de la forma $$q(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\ldots(x-r_m)$$ con $r_1<\ldots<r_m$ reales.

Si $m$ es par:

  • Para reales $r$ en la unión de intervalos $$(-\infty,r_1)\cup(r_2,r_3)\cup\ldots \cup (r_{m-2},r_{m-1})\cup (r_m,\infty),$$ la evaluación $q(r)$ tiene el mismo signo que $a$
  • Para reales $r$ en la unión de intervalos $$(r_1,r_2)\cup(r_3,r_4)\cup\ldots \cup (r_{m-3},r_{m-2})\cup (r_{m-1},r_m),$$ la evaluación $q(r)$ tiene signo distinto al de $a$.

Si $m$ es impar:

  • Para reales $r$ en la unión de intervalos $$(r_1,r_2)\cup(r_3,r_4)\cup\ldots \cup (r_{m-2},r_{m-1})\cup (r_m,\infty),$$ la evaluación $q(r)$ tiene el mismo signo que $a$.
  • Para reales $r$ en la unión de intervalos $$(-\infty,r_1)\cup(r_2,r_3)\cup\ldots \cup (r_{m-3},r_{m-2})\cup (r_{m-1},r_m),$$ la evaluación $q(r)$ tiene signo distinto al de $a$.

Demostración. El producto $(r-r_1)(r-r_2)\ldots(r-r_m)$ es positivo si y sólo si tiene una cantidad par de factores negativos. Si $r>r_m$, todos los factores son positivos, y por lo tanto $q(r)$ tiene el mismo signo que $a$ cuando $r$ está en el intervalo $(r_m,\infty)$.

Cada que movemos $r$ de derecha a izquierda y cruzamos un valor $r_i$, cambia el signo de exactamente uno de los factores, y por lo tanto la paridad de la cantidad de factores negativos. El resultado se sigue de hacer el análisis de casos correspondiente.

$\square$

Veamos cómo podemos utilizar esta técnica para resolver desigualdades polinomiales que involucran a un polinomio que ya está factorizado en irreducibles.

Problema 1. Determina para qué valores reales $x$ se tiene que $$-2(x-5)^7(x+8)^4(x+2)^3(x+10)(x^2-x+2)^3$$ es positivo.

Solución. Por la discusión anterior, podemos ignorar el polinomio cuadrático del final, pues es irreducible. También podemos ignorar los factores lineales con potencia par, y podemos remplazar las potencias impares por unos. Así, basta con encontrar los valores reales de $x$ para los cuales $$q(x)=-2(x-5)(x+2)(x+10)$$ es positivo. Tenemos $3$ factores, así que estamos en el caso de $m$ impar en la proposición.

Las tres raíces, en orden, son $-10, -2, 5$. Por la proposición, para $x$ en la unión de intervalos $$(-\infty,-10)\cup (-2,5)$$ se tiene que $q(x)$ tiene signo distinto al de $a=-2$ y por lo tanto es positivo. Para $x$ en el conjunto $$(-10,-2)\cup (5,\infty)$$ se tiene que $q(x)$ tiene signo igual al de $a=-2$, y por lo tanto es negativo. De esta forma, la respuesta es el conjunto $$(-\infty,-10)\cup (-2,5).$$

Puedes dar clic aquí para ver en GeoGebra las gráfica de $q(x)$ y del polinomio original, y verificar que tienen el mismo signo en los mismos intervalos.

$\triangle$

Si estamos resolviendo una desigualdad y el valor de $a$ en la factorización es positivo, es un poco más práctico ignorarlo desde el principio, pues no afecta a la desigualdad.

Problema 2. Determina para qué valores reales $x$ se tiene que $$7(x+7)^{13}(x+2)^{31}(x-5)^{18}(x^2+1)$$ es positivo.

Solución. Tras las cancelaciones correspondientes, obtenemos la desigualdad equivalente $$(x+7)(x+2)>0.$$

Las raíces del polinomio que aparece son $-7$ y $-2$. De acuerdo a la proposición, estamos en el caso con $m$ par. De esta forma, la expresión es negativa en el intervalo $(-7,-2)$ y es positiva en la unión de intervalos $$(-\infty,-7)\cup (-2,\infty).$$

$\triangle$

Otras desigualdades de polinomios y manipulaciones algebraicas

Si tenemos otras expresiones polinomiales, también podemos resolverlas con ideas similares, solo que a veces se tienen que hacer algunas manipulaciones previas para llevar la desigualdad a una de la forma $p(x)>0$.

Problema. Determina todos los números $x$ en $\mathbb{R}$ para los cuales $$x^6-12x^4-49x^2-30 > 3x^5-48x^3-51x+6.$$

Solución. El problema es equivalente a encontrar los reales $x$ para los cuales $$x^6-3x^5+12x^4+48x^3-29x^2+51x-36>0.$$ El polinomio del lado izquierdo se puede factorizar como $(x-3)^2(x-1)(x+4)(x^2+1)$, así que obtenemos el problema equivalente $$(x-3)^2(x-1)(x+4)(x^2+1)>0,$$ que ya sabemos resolver. El resto de la solución queda como tarea moral.

Puedes ver la gráfica del polinomio $$(x-3)^2(x-1)(x+4)(x^2+1)$$ en GeoGebra si das clic aquí.

$\triangle$

Tener cuidado al multiplicar por denominadores

Hay que tener cuidado al realizar algunas manipulaciones algebraicas, pues pueden cambiar el signo de la desigualdad que estamos estudiando. Veamos un ejemplo donde sucede esto.

Problema. Determina todos los números $x$ en $\mathbb{R}$ para los cuales $$\frac{1}{x}>x^3-x^2+1.$$

Solución. La expresión no está definida en $x=0$, pues se anula un denominador. Supongamos entonces que $x\neq 0$, y recordémoslo al expresar la solución final. Vamos a multiplicar la desigualdad por $x$, pero tenemos que hacer casos.

Si $x>0$, entonces el signo de desigualdad no se altera y obtenemos la desigualdad equivalente $$0>x^4-x^3+x-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1).$$ El factor cuadrático es irreducible y lo podemos ignorar. Si estuviéramos trabajando en todo $\mathbb{R}$, el conjunto solución sería el intervalo $(-1,1)$. Sin embargo, tenemos que restringir este conjunto solución sólo al caso en el que estamos, es decir, $x>0$. Así, para este caso sólo los reales en $(0,1)$ son solución.

Si $x<0$, entonces el signo de la desigualdad sí se altera, y entonces obtenemos la desigualdad equivalente $$0<x^4-x^3+x-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1).$$ De nuevo podemos ignorar el factor cuadrático. La desigualdad tiene solución en todo $\mathbb{R}$ al conjunto $(-\infty,-1)\cup (1,\infty)$, pero en este caso debemos limitarlo adicionalmente con la restricción $x<0$. De este modo, las soluciones para este caso están en el intervalo $(-\infty,-1)$.

Ahora sí, juntando ambos casos, tenemos que el conjunto solución final es $$(-\infty,-1)\cup(0,1).$$

Puedes ver la gráfica en GeoGebra de $\frac{1}{x}-x^3+x^2-1$ dando clic aquí. Ahí puedes verificar que esta expresión es positiva exactamente en el conjunto que encontramos.

$\triangle$

Más adelante…

Como queda claro, resulta ser útil tener un polinomio en su forma factorizada para resolver desigualdades de polinomios reales. En los ejemplos que dimos en esta entrada, se dieron las factorizaciones de los polinomios involucrados. En el resto del curso veremos herramientas que nos permitirán encontrar la factorización de un polinomio o, lo que es parecido, encontrar sus raíces:

  • Veremos propiedades de continuidad de polinomios para mostrar la existencia de raíces para polinomios reales en ciertos intervalos.
  • El teorema del factor nos dice que si $r$ es raíz de $p(x)$, entonces $x-r$ divide a $p(x)$. Sin embargo, no nos dice cuál es la multiplicidad de $r$. Veremos que la derivada de un polinomio nos puede ayudar a determinar eso.
  • También veremos el criterio de la raíz racional, que nos permite enlistar todos los cantidatos a ser raíces racionales de un polinomio $p(x)$ con coeficientes racionales.
  • Finalmente, veremos que para los polinomios de grado $3$ y $4$ hay formas de obtener sus raíces de forma explícita, mediante las fórmulas de Cardano y de Ferrari.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Completa la solución del problema enunciado en la sección de manipulaciones algebraicas.
  2. Encuentra el conjunto solución de números reales $x$ tales que $$(x+1)(x+2)^2(x+3)^3(x+4)^4>0.$$
  3. Determina las soluciones reales a la desigualdad $$\frac{x-1}{x+2}>\frac{x+2}{x-1}.$$ Ten cuidado con los signos. Verifica tu respuesta en este enlace de GeoGebra, que muestra la gráfica de $f(x)=\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-1}$.
  4. Realiza las gráficas de otros polinomios de la entrada en GeoGebra para verificar las soluciones dadas a las desigualdades de polinomios.
  5. Revisa esta entrada, en donde se hablan de aplicaciones de desigualdades polinomiales para un problema de un concurso de matemáticas.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Irreducibilidad y factorización en polinomios reales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

Los números enteros tiene un teorema de factorización en primos: el teorema fundamental de la aritmética. Los polinomios en $\mathbb{R}[x]$ también. En esta entrada hablaremos de la irreducibilidad y factorización en polinomios reales. Lo primero lo haremos para decir «quiénes son los primos» en $\mathbb{R}[x]$. Para lo segundo usaremos el teorema del factor, que demostramos con anterioridad.

Resulta que el teorema de factorización en polinomios reales depende de un resultado importante de polinomios en $\mathbb{C}[x]$, es decir, los de coeficientes complejos. Esto es algo que sucede con frecuencia: a veces para resolver un problema en los números reales, hay que dar un paso hacia los complejos y luego regresar. Por esa razón, para esta entrada es importante que tengas en mente varias propiedades en los complejos, sobre todo cómo se realizan las operaciones y cuales son las propiedades de la conjugación compleja. Esto nos dará la oportunidad de enunciar (sin demostración) el teorema fundamental del álgebra.

Como recordatorio, un polinomio es irreducible en $\mathbb{R}[x]$ si no es un polinomio constante y no se puede escribir como producto de dos polinomios no constantes en $\mathbb{R}[x]$. Además, el teorema del factor nos dice que si $a$ es raíz de un polinomio $p(x)$, entonces $x-a$ divide a $p(x)$. Diremos que un polinomio es lineal si es de grado $1$ y cuadrático si es de grado $2$.

El teorema fundamental del álgebra

Así como construimos a $\mathbb{R}[x]$, se puede hacer algo análogo para construir a $\mathbb{C}[x]$, los polinomios de coeficientes complejos. Puedes practicar todo lo que hemos visto haciendo la construcción formal. Por el momento, para fines prácticos, puedes pensarlos como expresiones de la forma $$a_0+a_1 x + \ldots + a_n x^n$$ con $a_i$ complejos, digamos, $$(1+i)+2i x -3x^3+(5+2i)x^4.$$

Los polinomios en $\mathbb{C}[x]$ cumplen todo lo que hemos dicho de $\mathbb{R}[x]$: se vale el lema de Bézout, el algoritmo de Euclides, el teorema del factor, el teorema del residuo, etc. Una copia de $\mathbb{R}[x]$, con su estructura algebraica, «vive» dentro de $\mathbb{C}[x]$, es decir, todo polinomio con coeficientes reales se puede pensar como uno con coeficientes complejos.

Sin embargo, los polinomios en $\mathbb{R}[x]$ y en $\mathbb{C}[x]$ son muy diferentes en términos de raíces. Esto se nota, pir ejemplo, en el hecho de que el polinomio $x^2+1$ no tiene raíces en $\mathbb{R}$, pero sí en $\mathbb{C}$, donde la raíz es $i$. Resulta que esta $i$ hace toda la diferencia. Al agregarla no solamente hacemos que $x^2+1$ tenga una raíz, sino que ya todo polinomio tiene raíz. Esto está enunciado formalmente por el teorema fundamental del álgebra.

Teorema (teorema fundamental del álgebra). Todo polinomio no constante en $\mathbb{C}[x]$ tiene al menos una raíz en $\mathbb{C}$.

No vamos a demostrar este teorema durante el curso. Hay desde demostraciones elementales (como la que aparece en el bello libro Proofs from the book), hasta algunas muy cortas, pero que usan teoría un poco más avanzada (como las que se hacen en cursos de análisis complejo). Sin embargo, lo usaremos aquí para obtener algunas de sus consecuencias y, al final de esta entrada, demostrar los teoremas de irreducibilidad y factorización en polinomios reales.

Teorema de factorización en $\mathbb{C}[x]$

En la entrada anterior ya demostramos que los polinomios lineales son irreducibles. Veremos ahora que en $\mathbb{C}[x]$ no hay ningún otro polinomio irreducible.

Proposición. Los únicos polinomios irreducibles en $\mathbb{C}[x]$ son los de grado $1$.

Demostración. Tomemos cualquier polinomio $p(x)$ en $\mathbb{C}[x]$ de grado al menos $2$. Por el teorema fundamental del álgebra, $p(x)$ tiene al menos una raíz $z$ en $\mathbb{C}$. Por el teorema del factor, $$x-z \mid p(x),$$ así que podemos escribir $p(x)=(x-z)q(x)$ con $q(x)$ en $\mathbb{C}[x]$ de grado $\deg(p(x))-1\geq 1$.

De esta forma, pudimos factorizar al polinomio $p(x)$ en dos factores no constantes, y por lo tanto no es irreducible.

$\square$

Con esto podemos mostrar que en $\mathbb{C}[x]$ todo polinomio es factorizable como producto de términos lineales.

Teorema (de factorización única en $\mathbb{C}[x]$). Todo polinomio $p(x)$ en $\mathbb{C}[x]$ distinto del polinomio cero se puede factorizar de manera única como $$p(x)=a(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n)$$ en donde $a$ es un complejo no cero, $n$ es el grado de $p(x)$ y $z_1,\ldots,z_n$ son complejos que son raíces de $p(x)$.

Demostración. Mostraremos la existencia de la factorización. La parte de la unicidad es sencilla, y su demostración queda como tarea moral. Procedemos por inducción en el grado de $p(x)$. Si $p(x)$ es de grado cero, entonces es de la forma $p(x)=a$ con $a$ un complejo, y ya está en la forma que queremos.

Tomemos ahora un entero $n\geq 1$. Supongamos que el resultado es cierto para los polinomios de grado $n-1$ y consideremos un polinomio $p(x)$ de grado $n$. Por el teorema fundamental del álgebra, $p(x)$ tiene al menos una raíz, digamos $z_n$. Usando el teorema del factor, existe un polinomio $q(x)$, que debe de ser de grado $n-1$, tal que $$p(x)=q(x)(x-z_n).$$ Aplicando la hipótesis inductiva a $q(x)$, podemos factorizarlo de la forma $$q(x)=a(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_{n-1}),$$ con $z_1,\ldots,z_{n-1}$ raíces de $q(x)$ (y por lo tanto también raíces de $p(x)$). De esta forma, $$p(x)=(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_{n-1})(x-z_n)$$ es una factorización que cumple lo que queremos. Esto termina la hipótesis inductiva, y por lo tanto la parte de existencia de la demostración.

$\square$

Ejemplo. Consideremos al polinomio $$p(x)=x^4+5x^2+4$$ en $\mathbb{R}[x]$. Este polinomio no tiene raíces reales, pues sus evaluaciones siempre son positivas. Sin embargo, lo podemos pensar como un polinomio en $\mathbb{C}[x]$. Por el teorema fundamental del álgebra, este polinomio debe tener una raíz en $\mathbb{C}$.

Afortunadamente, podemos encontrarla por inspección. Una de estas raíces es $i$, pues $$i^4+5i^2+4=1-5+4=0.$$ Por el teorema del factor, $x-i$ divide a $p(x)$. Al realizar la división, obtenemos $$p(x)=(x-i)(x^3+ix^2+4x+4i).$$ De aquí, por inspección, obtenemos que $-i$ es una raíz de $x^3+ix^2+4x+4i$, y realizando la división entre $x+i$, tenemos que $$p(x)=(x-i)(x+i)(x^2+4).$$

El polinomio $x^2+4$ claramente tiene como raíces a $2i$ y $-2i$. A partir de todo esto concluimos que $$p(x)=(x-i)(x+i)(x-2i)(x+2i)$$ es la factorización de $p(x)$ en polinomios lineales en $\mathbb{C}[x]$.

$\square$

En el ejemplo anterior podemos agrupar los factores $(x-i)$ y $(x+i)$ para obtener el polinomio $x^2+1$. De aquí obtenemos la factorización alternativa $$p(x)=(x^2+1)(x^2+2).$$ Esta factorización tiene puros coeficientes reales. Aquí hay que hacer una observación importante: esta no es una factorización en irreducibles en $\mathbb{C}[x]$, pero sí es una factorización en irreducibles en $\mathbb{R}[x]$. Retomaremos varias de estas ideas más en general en las siguientes secciones.

Raíces complejas de polinomios en $\mathbb{R}[x]$

En el ejemplo de la sección anterior sucedió que $i$ era una raíz de $p(x)$, y que $-i$ también. Cuando tenemos un polinomio de coeficientes reales y $z$ es un complejo que es raíz, entonces su conjugado también.

Proposición. Tomemos $p(x)$ un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ y $z$ un número en $\mathbb{C}$. Si $p(z)=0$, entonces $p(\overline{z})=0$.

Demostración. Si $p(x)$ es el polinomio cero, la afirmación es cierta. En otro caso, sea $n$ el grado de $p(x)$ y escribamos a $p(x)$ como $$p(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n,$$ donde $a_i$ son números en $\mathbb{R}$ para $i=0,\ldots,n$. Por lo que sabemos de la conjugación compleja, $\overline{a_i}=a_i$, y además abre sumas y productos. Así,
\begin{align*}
\overline{p(z)}&=\overline{a_0+a_1z+\ldots+a_nz^n}\\
&=\overline{a_0}+\overline{a_1z}+\ldots +\overline{a_nz^n}\\
&=\overline{a_0} + \overline{a_1}\, \overline{z} + \ldots +\overline{a_n}\, \overline{z}^n\\
&=a_0 + a_1 \overline{z} + \ldots + a_n \overline{z}^n\\
&=p(\overline{z}).
\end{align*}

Como $p(z)=0$, concluimos que $$p(\overline{z})=\overline{p(z)}=\overline{0}=0.$$

$\square$

El resultado anterior no es cierto en general para polinomios con coeficientes en $\mathbb{C}[x]$. Esto debe ser muy claro pues, por ejemplo, $i$ es raíz de $x-i$, pero $-i$ no.

Proposición. Tomemos $p(x)$ un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ y una raíz $z$ de $p(x)$ en $\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$. Entonces el polinomio $$q(x)=x^2-(z+\overline{z})x+z\overline{z}$$ es un polinomio en $\mathbb{R}[x]$ que divide a $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$.

Demostración. Observa que $q(x)=(x-z)(x-\overline{z})$. Recordemos que
\begin{align*}
z+\overline{z}&=2\Rea{(z)} \\
z\overline{z}&=\norm{z}^2 .
\end{align*}

Esto muestra que los coeficientes de $q(x)$ son reales. Usemos el algoritmo de la división en $\mathbb{R}[x]$ para escribir $$p(x)=q(x)h(x)+r(x),$$ con $r(x)$ el polinomio cero, o de grado a lo más $1$.

Evaluando en $z$ y en $\overline{z}$, se obtiene que $r(z)=r(\overline{z})=0$. Como $z$ no es real, entonces $z$ y $\overline{z}$ son distintos. De este modo, $r(x)$ es el polinomio cero. Así, $p(x)=q(x)h(x)$ es una factorización de $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ que usa a $q(x)$.

$\square$

Nuevamente, hay que tener cuidado con las hipótesis del resultado anterior. Es muy importante que usemos que $z$ es una raíz compleja y no real de un polinomio con coeficientes reales. En la tarea moral puedes encontrar un contraejemplo si no se satisfacen las hipótesis.

Ejemplo. Consideremos el polinomio $$p(x)=2x^3-16x^2+44x-40.$$ Una de sus raíces complejas es $3+i$, como puedes verificar. Como es un polinomio con coeficientes reales, el conjugado $3-i$ también es una raíz. Tal como lo menciona la proposición anterior, el polinomio
\begin{align*}
q(x):&=(x-(3+i))(x-(3-i))\\
&=x^2-(3+i+3-i)x+(3+i)(3-i)\\
&=x^2-6x+10
\end{align*}

es un polinomio de coeficientes reales. Además, divide a $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ pues haciendo la división polinomial, tenemos que $$2x^3-16x^2+44x-40=(2x-4)(x^2-6x+10).$$

$\square$

Irreducibilidad y factorización en polinomios reales

Con todo lo que hemos hecho hasta ahora, estamos listos para probar los resultados que queremos en $\mathbb{R}[x]$. Observa que los enunciados de las secciones anteriores involucran a $\mathbb{C}$, pero los de esta sección ya no. Sin embargo, para hacer las demostraciones tenemos que dar un «brinco momentáneo a los complejos».

Recuerda que para un polinomio cuadrático $q(x)=ax^2+bx+c$ su discriminante es $b^2-4ac$.

Teorema (irreducibilidad en polinomios reales). Los únicos polinomios irreducibles en $\mathbb{R}[x]$ son los lineales y los cuadráticos de discriminante negativo.

Demostración. Ya mostramos antes que los polinomios lineales son irreducibles. Si $q(x)=ax^2+bx+c$ es un polinomio cuadrático y $r$ es una raíz real, tenemos que
\begin{align*}
ar^2+br+c&=0\\
r^2+\frac{b}{a}r+\frac{c}{a}&=0\\
r^2+\frac{b}{a}r+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}&=0\\
\left(r+\frac{b}{2a}\right)^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.
\end{align*}

De esta igualdad, obtenemos que $\frac{b^2-4ac}{4a^2}\geq 0$ y por lo tanto que $b^2-4ac \geq 0$. Dicho de otra forma, si $b^2-4ac<0$, entonces $q(x)$ no tiene raíces reales. De esta misma equivalencia de igualdades se puede ver que si $b^2-4ac\geq 0$, entonces $q(x)$ sí tiene por lo menos una raíz real.

Supongamos que $q(x)$ es un polinomio cuadrático con discriminante negativo. Si existiera una factorización en $\mathbb{R}[x]$ de la forma $q(x)=a(x)b(x)$, con ninguno de ellos constante, entonces ambos deben tener grado $1$. Podemos suponer que $a$ es mónico. Pero entonces $a(x)=x-r$ para $r$ un real, y por el teorema del factor tendríamos que $r$ sería raíz de $q(x)$, una contradicción a la discusión anterior. Esto muestra que $q(x)$ es irreducible.

Falta ver que no hay ningún otro polinomio irreducible en $\mathbb{R}[x]$. Cuando $p(x)$ es cuadrático de discriminante no negativo, entonces por la fórmula cuadrática tiene al menos una raíz real $r$ y por lo tanto $x-r$ divide a $p(x)$, mostrando que no es irreducible.

Si $p(x)$ es de grado mayor o igual a $3$ y tiene una raíz real $r$, sucede lo mismo. En otro caso, es de grado mayor o igual a $3$ y no tiene raíces reales. Pero de cualquier forma tiene al menos una raíz compleja $z$. Usando la proposición de la sección anterior, tenemos que $x^2-(z+\overline{z})x+z\overline{z}$ es un polinomio de coeficientes reales que divide a $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$, lo cual muestra que no es irreducible.

Concluimos entonces que los únicos polinomios irreducibles en $\mathbb{R}[x]$ son los lineales y los cuadráticos de discriminante negativo.

$\square$

Ahora sí podemos enunciar el resultado estelar de esta entrada.

Teorema (factorización en polinomios reales). Todo polinomio $p(x)$ en $\mathbb{R}[x]$ distinto del polinomio cero se puede factorizar de manera única como $$a(x-r_1)\cdots(x-r_m)(x^2-b_1x+c_1)\cdots (x^2-b_{n}x+c_{n}),$$ en donde:

  • $a$ es un real distinto de cero,
  • $m$ y $n$ son enteros tales que $m+2n$ es igual al grado de $p(x)$,
  • para cada $i$ en $\{1,\ldots,m\}$ se tiene que $r_i$ es raíz real de $p(x)$ y
  • para cada $j$ en $ \{1,\ldots,n\}$ se tiene que $b_j,c_j$ son reales tales que $b_j^2-4c_j<0$.

Demostración. Mostraremos la existencia de la factorización. La parte de la unicidad es sencilla, y su demostración queda como tarea moral. Si $p(x)$ es irreducible, entonces al factorizar su coeficiente principal $a$ obtenemos la factorización deseada. Si $p(x)$ no es irreducible, procedemos por inducción fuerte sobre el grado $d$ de $p(x)$. El menor grado que debe tener es $2$ para no ser irreducible.

Si $d=2$ y es no irreducible, el resultado es cierto pues se puede factorizar como dos factores lineales y luego factorizar al término $a$ los coeficientes principales de cada factor para que queden mónicos.

Sea $d\geq 3$ y supongamos el resultado cierto para todo polinomio de grado menor a $d$. Tomemos un polinomio $p(x)$ de grado $d$. Por el teorema de irreducibilidad de polinomios reales, $p(x)$ no es irreducible, así que se puede factorizar como $p(x)=r(x)s(x)$ con $r(x)$ y $s(x)$ no constantes, y por lo tanto de grado menor al de $p(x)$. Por hipótesis inductiva, tienen una factorización como la del teorema. La factorización de $p(x)$ se obtiene multiplicando ambas. Esto termina la inducción.

$\square$

Veamos cómo podemos usar todas estas ideas en un problema en concreto de factorización en polinomios reales.

Problema. Factoriza al polinomio $x^{12}-1$ en polinomios irreducibles en $\mathbb{R}[x]$.

Solución. Usando identidades de factorización, podemos avanzar bastante:
\begin{align*}
x^{12}-1&=(x^6-1)(x^6+1)\\
&=(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)\\
&=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1).
\end{align*}

Hasta aquí, $x+1$ y $x-1$ son factores lineales. Además, $x^2+x+1$, $x^2-x+1$ y $x^2+1$ son factores cuadráticos irreducibles pues sus discriminantes son, respectivamente, $-3,-3,-4$.

Aún queda un factor $x^4-x^2+1$ que por ser de grado $4$ no es irreducible. Sumando y restando $2x^2$, y luego factorizando la diferencia de cuadrados, tenemos:
\begin{align*}
x^4-x^2+1 &= x^4+2x^2+1-3x^2\\
&=(x^2+1)^2-3x^2\\
&=(x^2+1-\sqrt{3}x)(x^2+1+\sqrt{3}x).
\end{align*}

Cada uno de estos factores cuadráticos tiene discriminante $-1$, y por lo tanto es irreducible. Concluimos entonces que la factorización en irreducibles de $x^{12}-1$ en $\mathbb{R}[x]$ es
\begin{align*}
(x-1)(x&+1)(x^2+1)(x^2+x+1)\\
&(x^2-x+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1).
\end{align*}

$\square$

Más adelante…

El teorema fundamental del álgebra y sus consecuencias en $\mathbb{R}$ son los resultados algebraicos más importantes que obtendremos en el estudio de polinomios, ya que nos permite caracterizar, al menos en teoría a todos los polinomios a partir de sus raíces.

En las siguientes entradas ocuparemos las herramientas que hemos desarrollado hasta ahora, sin embargo cambiaremos el enfoque de estudio, usaremos también herramientas de los cursos de cálculo para poder dar un análisis más detallado del comportamiento de los polinomios, y que nos servirán para que en muchos casos podamos encontrar las raíces de un polinomio, o cuando menos tener una idea de cómo son.

Tarea moral

  • Haz la construcción formal de $\mathbb{C}[x]$ a partir de sucesiones de complejos. Muestra que se pueden expresar en la notación de $x$ y sus potencias. Prueba los teoremas que hemos visto hasta ahora. Todo debe ser análogo al caso real, por lo que te servirá mucho para repasar los conceptos vistos hasta ahora.
  • Muestra la unicidad de la factorización en $\mathbb{C}[x]$ y en $\mathbb{R}[x]$.
  • Sea $z$ un complejo no real. Muestra que que $x-z$ y $x-\overline{z}$ son polinomios primos relativos en $\mathbb{C}[x]$.
  • Hay que tener cuidado en las hipótesis de los teoremas de esta entrada. Muestra que $3$ es una raíz del polinomio $x^3-6x^2+11x-6$, pero que $x^2-6x+9$ no divide a este polinomio.
  • Argumenta por qué en el teorema de factorización en polinomios reales sucede que $m+2n$ es el grado de $p(x)$.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»