Álgebra Superior II: Definición de la suma y sus propiedades básicas

Introducción

Para continuar con nuestra tarea de construir las operaciones más elementales de los números naturales, en esta entrada definimos la conocida operación suma. Un buen ejercicio antes de empezar con el contenido de la entrada, es pensar ¿Cómo podemos definir la suma de dos números enteros? De nuevo nos encontramos con el problema de intentar definir formalmente algo que ha sido intuitivo para nosotros durante la mayor parte de nuestra vida.

Sin embargo, todo el trabajo que hicimos en las entradas anteriores, especialmente en la demostración del teorema de Recursión, nos servirán para poder dar una definición precisa de qué es la suma. Además, usando el principio de Inducción, podremos demostrar las propiedades que nos han sido tan familiares desde hace mucho tiempo.

La idea intuitiva de la suma

La primera forma en la que aprendimos a sumar, al menos de manera intuitiva y tal vez limitada, fue usando nuestros dedos. Ocuparemos esta idea como hilo conductor, para poder llegar a la definición recursiva de la suma. Con esta forma de pensar, si queríamos sumar $3+4$, poníamos frente a nosotros nuestras manos con los dedos abajo, e instantáneamente mencionábamos la palabra «tres«. Después estirábamos un primer dedo y al mismo tiempo, mencionábamos la palabra «cuatro» (a quien ahora conocemos como el sucesor de $3$), después alzábamos un segundo dedo y decíamos «cinco» (el sucesor de $4$) , y continuábamos de la misma manera hasta que tuviéramos cuatro dedos totalmente extendidos; momento en el cual, decíamos el resultado: «siete«.

Analicemos un poco qué es lo que queremos decir con «continuábamos de la misma manera«. Entre cada número que contábamos, varias cosas pasaban por nuestra mente. Al mencionar un número, lo primero que hacíamos era cerciorarnos que aún tuviéramos extendidos menos dedos de los que queríamos añadir. Si esta condición se satisfacía, teníamos que grabarnos el número que habíamos mencionado justo en ese instante (el olvidar dicho número, tenía como consecuencia empezar el procedimiento desde el inicio), después alzábamos el siguiente dedo, y mencionábamos el sucesor del número memorizado (es por esto que recordar ese número era tan importante). Muy a grandes rasgos esto es lo mismo que lo que haremos de manera formal.

Definición de la suma

Esperamos que en los párrafos anteriores puedas encontrar una analogía entre el algoritmo que usábamos para sumar cotidianamente, y el método recursivo que describiremos a continuación. Antes de precisar la definición de la suma, hay que aclarar que no definiremos «de golpe» qué quiere decir «sumar dos números». Más bien, lo que haremos es, para cada natural, decir qué quiere decir «sumarle otro». Lo haremos de esta manera pues esto es lo que nos permite hacer el teorema de Recursión. Así, para cada número natural $m$ (fijo) obtendremos una función que nos sume a ese número fijo, una cantidad arbitraria.

Definición: Sea $m\in\mathbb{N}$. Definimos la función $s_{m}:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$, como la única función que satisface las propiedades siguientes:

  1. $s_{m}(0)=m$
  2. $s_{m}(\sigma(n))=\sigma(s_{m}(n))$.

Denotaremos $s_{m}(n)$ como $m+n$.

Vale la pena hacer un par de comentarios de la definición anterior. Primero mencionamos que esta definición depende totalmente del teorema de Recursión Débil. Si regresas al enunciado del teorema, podemos notar que la función $s_m$ se obtiene tomando $X=\mathbb{N}$, $x_{0}=m$, $f=\sigma$ y $g=s_{m}$.

En segundo lugar, hay que remarcar que a pesar de nuestra intuición, los papeles de $m$ y $n$ en la expresión $m+n$, no son intercambiables. Por definición $m+n=s_{m}(n)$, mientras que $n+m=s_{n}(m)$. A primera vista, estos valores no tienen por qué coincidir. Veremos que en efecto esta y otras propiedades sí son válidas, para que posteriormente podamos utilizarlas de manera directa.

Aprender a sumar cero

De aquí en adelante probaremos varias propiedades de la suma. Debido a la definición recursiva de esta función, la mayor herramienta que ocuparemos es el principio de Inducción.

Antes de lanzarnos a demostrar la primer propiedad, nota que directamente de las definiciones de las funciones $s_{m}$ y de la notación que estamos usando, se tiene que $m+0=s_m(0)=m$. Ahora nos gustaría ver que también $0+m=m$, pero como aún no sabemos que la suma sea conmutativa, tendremos que probarlo por inducción.

Proposición: Para todo $n\in\mathbb{N}$ se tiene que $s_{0}(n)=n$, es decir, $0+n=n$

Demostración. Como se mencionó, procedamos por inducción sobre $n$.

Base inductiva: Por el punto (1) de la definición de $s_0$, tenemos que s_{0}(0)=0.

Hipótesis inductiva: Supongamos que para algún $n\in\mathbb{N}$, se tiene que $s_{0}(n)=n$

Paso inductivo: Demostremos que $s_{0}(\sigma(n))=\sigma(n)$.

La demostración se sigue de la siguiente cadena de igualdades, las cuales justificamos una a una abajo:

\begin{align*}
s_{0}(\sigma(n))&=\sigma(s_{0}(n)) \\&\overset{\text{H.I.}}{=}\sigma(n).
\end{align*}

La primera igualdad sucede por el punto (2) de la definición de $s_0$. La segunda igualdad sucede por la hipótesis inductiva, lo cual estamos indicando con un «H.I.» sobre el símbolo de igualdad.

Esto termina el paso inductivo y entonces la proposición se vale para todos los naturales.

$\square$

Así, ya sabemos «sumar cero».

Aprender a sumar uno

Veamos ahora que nuestra intuición de «sumar uno» en efecto coincide de manera formal con «ir al sucesor».

Observación: Tenemos la siguiente cadena de igualdades \[n+1=s_{n}(1)=s_{n}(\sigma(0))=\sigma(s_{n}(0))=\sigma(n).\]

La primera es por nuestra elección de notación. La segunda por la definición del símbolo 1, pues simplemente es el sucesor de 0. La tercera es por el punto (2) de la definición de $s_n$. Finalmente, la última es por el punto (1) de la definición de $s_n$.

$\square$

Proposición: Para todo $n\in\mathbb{N}$ se tiene que $s_{1}(n)=\sigma(n)$, es decir, que al juntarlo con la observación anterior obtenemos $1+n=\sigma(n)=n+1$.

Demostración. Demostremos que $s_1(n)=\sigma(n)$ por inducción sobre $n$. Tenemos que $s_{1}(0)=1=\sigma(0)$ por el punto (1) de la definición de $s_1$ y por la definición de 1. Esto muestra que la igualdad se cumple en el caso base $n=0$.

Nuestra hipótesis de inducción es suponer que $s_{1}(n)=\sigma(n)$ y a partir de ella debemos demostrar que $s_{1}(\sigma(n))=\sigma(\sigma(n))$. Esto lo logramos mediante la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
s_{1}(\sigma(n))&=\sigma(s_{1}(n))\\ &= \sigma(\sigma(n))
\end{align*}

La primera igualdad se debe al punto (2) de la definición de $s_1$. La segunda, a la hipótesis inductiva.

$\square$

La suma es asociativa

Con los resultados probados en las dos secciones anteriores, continuamos ahora probando propiedades más interesantes de la suma. Aunque las aprendimos desde la educación básica, ahora será momento de justificar por qué se deducen de lo que hemos construido. Empezamos por la asociatividad.

Proposición (asociatividad): Si $a, b, n$, son naturales arbitrarios, entonces $(a+b)+n=a+(b+n)$.

Como es usual, aquí los paréntesis significan «hacer esa operación primero». Si quisiéramos usar la notación formal, tendríamos que enunciar la asociatividad como $$s_{a+b}(n)=s_a(s_b(n)),$$ y cuando hagamos la demostración aprovecharemos la definición de estas funciones $s_{a+b}$, $s_a$ y $s_b$.

Demostración. Procedamos por inducción. Tenemos tres variables naturales. ¿Sobre cuál hacemos inducción? Esto es una decisión importante y el hacer una elección incorrecta puede dificultar la prueba o impedir concluirla. Haremos inducción sobre $n$, pero te recomendamos que intentes hacerlo sobre las otras variables para detectar las dificultades que pueden surgir.

Base inductiva: $(a+b)+0=a+b=a+(b+0)$. En el primer paso usamos el punto (1) de la definición de $s_{a+b}$ y en el segundo usamos el punto (1) de la definición de $s_b$.

Hipótesis inductiva: Supongamos que $(a+b)+n=a+(b+n)$. Recuerda que en una prueba inductiva sólo se hace la hipótesis inductiva para un valor fijo de $n$, pero lo que se quiere suponer es que se vale para todo valor de $n$. Así, no estamos suponiendo que cualquier $n$ pueda asociarse con cualesquiera dos números, solo estamos suponiendo que una $n$ fija puede asociarse con los valores fijos de $a$ y de $b$; más aún, el orden de $a$ y $b$ importa, ya que no hemos demostrado aún la conmutatividad.

Paso inductivo: Demostremos que $(a+b)+\sigma(n)=a+(b+\sigma(n))$.

Hagamos esto mediante la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
(a+b)+\sigma(n)&=\sigma((a+b)+n)\\
&\overset{\text{H.I}}{=}\sigma(a+(b+n))\\
&=a+\sigma(b+n)\\
&=a+(b+\sigma(n)).
\end{align*}

Aquí las igualdades se siguen, respectivamente, de la definición de $s_{a+b}$, de la hipótesis inductiva, de la definición de $s_a$ y de la definición de $s_b$. Con esto, concluimos la prueba del paso inductivo y con ello la prueba por inducción.

$\square$

En la demostración anterior ya no estamos siendo tan específicos con exactamente qué parte de la definición de las funciones estamos usando. Sin embargo, te sugerimos completar estos detalles pues te ayudarán a entender mucho mejor por qué cada uno de los pasos tiene su justificación.

La suma es conmutativa

Otra de las propiedades de la suma que nos enseñan en educación básica es que «el orden de los factores no afecta el resultado». Esto tiene un nombre en matemáticas formales: conmutatividad. El objetivo de la siguiente proposición es demostrar que en efecto la suma es conmutativa.

Proposición (conmutatividad): Si, $n, m$ son naturales, entonces $n+m=m+n$.

En términos de las funciones que construimos mediante el teorema de recursión esto se ve como $s_n(m)=s_m(n)$.

Demostración. De nuevo, procedamos por inducción sobre $n$, por la misma razón remarcamos que entonces $m$ es un número arbitrario pero fijo.

Base inductiva. Por la primer proposición que probamos, tenemos que $0+m=m=m+0$.

Hipótesis de Inducción: Supongamos que $n$ cumple que $n+m=m+n$.

Paso inductivo: Demostremos que $\sigma(n)+m=m+\sigma(n)$.

Hagamos esto mediante la siguiente cadena de igualdades:

\begin{align*}
m+\sigma(n)&=\sigma(m+n)\\
&\overset{H.I.}{=}\sigma(n+m)\\
&=n+\sigma(m)\\
&=n+(1+m)\\
&=(n+1)+m\\
&=\sigma(n)+m.
\end{align*}

Como siempre, es importante justificar cada igualdad. Pero ahora es tu turno. ¿Cuáles son las justificaciones de cada una de estas igualdades? Nota que algunas serán las definiciones, algunas serán la notación que estamos usando y finalmente otras se deducen de propiedades que ya demostramos (como la asociatividad).

$\square$

La suma se cancela

Imagina por un momento que tenemos una igualdad del estilo $x+8=y+8$ en los números naturales. Nos gustaría poder concluir que $x=y$. Sin embargo, no podemos hacer el «truco tradicional» de «restar 8» en cada lado de la igualdad para cancelar al 8, pues en los naturales no existe la operación de resta. Nos encontraremos con ella más adelante, hasta que trabajemos con los números enteros.

Aunque no podamos restar, de cualquier forma podemos realizar cancelaciones de este estilo. La siguiente proposición formaliza este hecho.

Proposición (cancelación por la derecha): Si, $a, b, n$ son naturales, tales que $a+n=b+n$, entonces $a=b$.

Demostración. Como ya esperábamos, sean $a$ y $b$ arbitrarios, y procedamos por inducción sobre $n$.

Base inductiva. Si $a+0=b+0$, por definición de $s_a$ y $s_b$ obtenemos $a=b$.

Hipótesis inductiva. Supongamos que $n$ es tal que cada vez que tengamos $a+n=b+n$, obtenemos que $a=b$.

Paso inductivo. Demostremos que si $a+\sigma(n)=b+\sigma(n)$, entonces $a=b$.

Entonces supongamos que $a+\sigma(n)=b+\sigma(n)$. Por definición $a+\sigma(n)=\sigma(a+n)$ y $b+\sigma(n)=\sigma(b+n)$. Por nuestra hipótesis tendríamos entonces que $\sigma(a+n)=\sigma(b+n)$. Usando el cuarto axioma de Peano, obtendríamos entonces que $a+n=b+n$. Finalmente, la hipótesis inductiva nos garantiza que entonces $a=b$, como buscábamos.

$\square$

Podemos enunciar el resultado anterior en una forma un poco más «funcional».

Corolario: Las funciones $s_{m}$ con $m\in \mathbb{N}$ son inyectivas.

Demostración: Con todas las herramientas que hemos desarrollado, ya no será necesario ocupar la inducción.

Si $s_{m}(a)=s_{m}(b)$, por la conmutatividad de la suma, tenemos que $s_{m}(a)=s_{a}(m)$ y $s_{m}(b)=s_{b}(m)$. Esto quiere decir que $a+m=b+m$, y por la proposición anterior, $a=b$.

$\square$

Con esto hemos demostrado las propiedades más fundamentales de la suma, a partir de las cuales podremos probar muchas más.

Resumen de propiedades de la suma

Para recapitular, en esta entrada demostramos las siguientes propiedades de la suma y por lo tanto podremos usarlas directamente de aquí en adelante:

  • Para todo $n$ natural, se tiene $0+n=n=n+0$.
  • Para todo $n$ natural, se tiene $1+n=\sigma(n)=n+1$.
  • Para $m$ y $n$ naturales cualesquiera, se tiene $m+n=n+m$.
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera, se tiene que $l+(m+n)=(l+m)+n$.
  • Para $l,m,n$ naturales cualesquiera, si $m+l=n+l$, entonces $m=n$.

Tarea moral

  1. Demuestra que si $a, b\in \mathbb{N}$, y $a+b=0$, entonces $a=b=0$.
  2. Demuestra que si $a+a=b+b$, entonces $a=b$. ¡Ten cuidado! En los números naturales no se vale «dividir», así que más bien tendrás que hacer una prueba inductiva.
  3. Sean $m,n,l$ naturales cualesquiera. Demuestra, usando sólo las propiedades que ya mostramos (ya sin inducción), que todas las siguientes expresiones son iguales:
    \begin{align*}
    m+(n+l)\\
    (l+m)+n\\
    n+(m+l)\\
    (n+l)+m\\
    \end{align*}
  4. ¿Cuáles de las funciones $s_{m}$ tienen inversa? ¿Qué significa esto?
  5. Antes de dominar las tablas de multiplicar de memoria, ¿Cómo multiplicabas? Ocupa esta idea para motivar una definición recursiva del producto de números naturales.

Más adelante…

Ya que conocemos las propiedades de la suma, podemos pasar a definir el producto, y análogamente, a como lo hicimos antes, estudiaremos sus propiedades usando el principio de Inducción.

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