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Álgebra Superior I: Sistemas de ecuaciones lineales

Por Eduardo García Caballero

Introducción

Una de las aplicaciones más importantes de los vectores y matrices tiene que ver con un tema que conociste desde la secundaria y preparatoria: los sistemas de ecuaciones.

Más específicamente, los vectores y matrices nos serán de gran utilidad para resolver sistemas de ecuaciones lineales, determinar cuándo un sistema sí tiene soluciones, y cuáles son todas sus soluciones.

Pero antes, repasemos un poco los conceptos de sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales

Recordemos que una ecuación es una expresión en la que hay variables o valores que no conocemos. En el caso de una ecuación lineal, se trata de ecuaciones en las que todas sus variables se encuentran elevadas a la primera potencia y acompañadas únicamente por coeficientes constantes. Por ejemplo, podemos ver que las expresiones
\[
2x + 9y – z = 3,
\qquad
4w + 3000a = y + \tfrac{1}{2}x
\]
son ecuaciones lineales, mientras que las expresiones
\[
ax^2 + bx + c = 0,
\qquad
2xz = 9y
\]
no lo son, pues contienen al menos una variable elevada a exponentes distintos de $1$, o bien hay variables multiplicándose entre sí.

De manera más formal, una ecuación de lineal es una ecuación que se puede escribir de la forma
\[
a_1x_2 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b,
\]
donde $x_1, \ldots, x_n$ son variables y $a_1, \ldots, a_n, b$ son coeficientes, todos del mismo tipo (en este curso trabajaremos con coeficientes reales, pero en otros cursos podrás encontrar coeficientes de otros tipos, como son números enteros, racionales, y complejos, entre otros).

Por su parte, un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales. Por ejemplo, los siguientes son sistemas de ecuaciones lineales:
\[
\begin{cases}
2x -\tfrac{3}{2}y + 8z = 1 \\
9z + 2w + 5y = 3,
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
2 + 9a = 46b -5c \\
2d + 8x = \sqrt{3} \\
x + y + z = a + b + c \\
x = -y
\end{cases}
\]
Bajo esta definición, una única ecuación se puede considerar un sistema de ecuaciones lineales (con una ecuación).

Notemos que no es necesario que todas las ecuaciones compartan variables, sin embargo, generalmente esto sí sucederá. De hecho, podemos pensar que todas las variables aparecen en todas las ecuaciones. En caso de que esto no suceda, podemos considerar que las variables que no aparecen en una ecuación tienen coeficiente cero. Además, siempre podemos reordenar las variables en las ecuaciones para que en todas ellas aparezcan en el mimo orden. Por ejemplo, a continuación el sistema de ecuaciones a la izquierda lo podemos escribir como el de la derecha, sin alterarlo.

\[
\begin{cases}
2x -\tfrac{3}{2}z + 8y = 11 \\
9z + 2w + 5k = -3,
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
0k+0w+2x + 8y – \tfrac{3}{2}z = 11 \\
5k+2w+0x+0y+9z = -3.
\end{cases}
\]

¿Qué quiere decir resolver un sistema de ecuaciones lineales?

Como recordarás, encontrar una solución de una ecuación corresponde a encontrar valores que, al sustituirlos en las variables, hagan que la expresión sea verdadera. Por ejemplo, si tenemos la ecuación $2x-3y=0$, una solución está dada por $x=3$ y $y=2$, ya que al sustituir en efecto tenemos $(2)(3)-(3)(2)=0$. En ocasiones, una ecuación puede tener más de una solución. Por ejemplo, en este caso otra posible solución es $x=6$ y $y=4$, ya que al sustituir en efecto tenemos $(2)(6)-(3)(4)=0$. Para esta ecuación hemos encontrado entonces dos posibles soluciones. Pero aún no la hemos resuelto. Como veremos un poco más abajo, para resolverla tenemos que alcanzar una meta más grande.

Para el caso de sistemas de ecuaciones lineales, encontrar una solución consiste en dar una asignación de valores a las variables que hagan que todas las ecuaciones sean ciertas simultáneamente. Por ejemplo, podemos verificar que los valores
\[
x = 3 \quad y =5 \quad z = -2
\]
hacen que cada una de las ecuaciones en el sistema
\[
\begin{cases}
x + 2y – z = 15 \\
4x – y + z = 5
\end{cases}
\]
se cumplan simultáneamente. Otra posible solución está dada por la asignación
\[
x = 1 \quad y =15 \quad z = 16.
\]

Cuando hablamos de resolver una ecuación o un sistema de ecuaciones no nos bastará encontrar unas cuantas soluciones que funcionen. Queremos encontrar todas las posibles soluciones.

Como ejemplo más sencillo, tratemos de encontrar todas las soluciones del sigueinte sistema con una única ecuación
\[
\begin{cases}
2x + 3y – z = 5.
\end{cases}
\]

Si despejamos $x$ en la ecuación, obtenemos
\[
x = \frac{-3y+z+5}{2}.
\]
Esto nos indica que podemos escoger valores arbitrarios de $y$ y $z$, y el valor de $x$ quedará determinado por estos valores.

Entonces, la solución de la ecuación son todas las $(x,y,z)$ tales que $x = \frac{-3y+z+5}{2}$; es decir, todas las soluciones del sistema de ecuaciones son de la forma
\[
\left( \frac{-3y+z+5}{2}, y, z \right).
\]

Otra manera de decir esto es que el conjunto de soluciones para el sistema de ecuaciones es el siguiente:

$$S:=\left\{\left( \frac{-3y+z+5}{2}, y, z \right):y,z\in \mathbb{R}\right\}.$$

Esto ahora sí resuelve el sistema, pues hemos encontrado una descripción para todas las posibles soluciones del sistema. Si tomas los valores que quieras para $y$ y $z$, podrás dar una solución. Por ejemplo, al tomar $y=1,z=2$ obtenemos la solución $(2,1,2)$, la cual puedes verificar que es una solución al sistema de ecuaciones de una ecuación con el que comenzamos. Toda posible solución está en $S$. Como $y$ y $z$ pueden valer lo que sea, las llamamos variables libres. A $x$, que queda totalmente determinada una vez fijas las variables libres, la llamamos variable pivote.

¿Qué sucede si tenemos más ecuaciones? Tratemos de encontrar todas las soluciones para el sistema de ecuaciones siguiente
\[
\begin{cases}
y+z =1 \\
3x+2y+5z&=1.
\end{cases}
\]

Podemos intentar lo mismo que arriba y fijar algún valor e intentar poner al resto en términos de ese. Pero hay que ser cuidadosos. Por ejemplo, al fijar el valor de $x$, no podremos despejar a $y$ (ni a $z$) en términos únicamente de $x$. Sin embargo, fijamos el valor de $z$, sí podemos determinar todo completamente.

Al fijar $z$, entonces $y$ queda determinado como $y = -z + 1$. Sustituyendo este valor de $y$ en la segunda ecuación, obtendremos $3x + 2(-z+1) + 5z = 1$, que equivale a $3x +3z = -1$, de donde tenemos que $x = -z -1/3 $. Entonces, podemos pensar a $z$ como la variable libre y como $y$ y $x$ dependen completamente de $z$, las pensamos como variables pivote. La descripción de las soluciones quedaría entonces como

$$R=\{(-z-1/3,-z+1,z):z\in \mathbb{R}\}.$$

Aunque ahora hemos tenido éxito con describir totalmente las soluciones de dos sistemas de ecuaciones y en ambos casos hemos tenido una infinidad de soluciones, lo cierto es que existen sistemas de ecuaciones sin solución. Por ejemplo, consideremos el sistema
\[
\begin{cases}
12x + 9y = 7 \\
4x + 3y = 8.
\end{cases}
\]
Podemos ver que cada una de las ecuaciones, de manera individual, tienen soluciones, y hasta podríamos encontrar todas las posibles soluciones (¿puedes dar un par de ejemplos de cada una?). Sin embargo, no existen valores de $x$ y $y$ que resuelvan ambas ecuaciones al mismo tiempo. Esto lo podemos observar porque, si multiplicamos la segunda ecuación por $3$, obtendremos el sistema
\[
\begin{cases}
12x + 9y = 7 \\
12x + 9y = 24.
\end{cases}
\]
Si hubiera alguna solución, podríamos igualar ambas ecuaciones y llegar a que $7=24$, una contradicción.

Interpretación geométrica

El primer conjunto solución que encontramos arriba se puede reescribir en términos de cada variable $y$ y $z$ usando la suma y producto escalar que estudiamos en entradas anteriores de la siguiente manera:

\begin{align*}
S&=\left\{\left( \frac{-3y+z+5}{2}, y, z \right):y,z\in \mathbb{R}\right\}\\
&=\left\{y(-3/2,1,0) + z(1/2,0,1) + (5/2,0,0):y,z\in \mathbb{R}\right\}.
\end{align*}

Posiblemente hayas visto expresiones en algún curso de geometría analítica. Lo anterior es un plano en $\mathbb{R}^3$ que pasa por el punto $(5/2,0,0)$ y generado a partir de ese punto por los vectores $(-3/2,1,0)$ y $(1/2,0,1)$.

Del mismo modo, en el segundo ejemplo que vimos arriba el sistema de ecuaciones puede reescribirse como:

\begin{align*}
R&=\{(-z-1/3,-z+1,z):z\in \mathbb{R}\}\\
&=\{(-1/3,1,0)+z(-1,-1,1):z\in \mathbb{R}\},
\end{align*}

que posiblemente identifiques como la recta en $\mathbb{R}^3$ que parte del punto $(-1/3,1,0)$ y tiene dirección $(-1,-1,1)$.

Forma matricial de un sistema de ecuaciones

Como vimos en una entrada previa, dos vectores del mismo tamaño son iguales si y sólo si sus respectivas entradas son iguales. Una consecuencia de esta definición es que el sistema de ecuaciones
\[
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n & = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n & = b_2 \\
& \vdotswithin{\mspace{15mu}} \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m
\end{cases}
\]
se cumple si y sólo si
\[
\begin{pmatrix}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots a_{1n}x_n \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots a_{2n}x_n \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots a_{mn}x_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix}.
\]

Más aún, observemos que el lado izquierdo de esta igualdad lo podemos reescribir como un producto de matriz con vector de la siguiente manera
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix},
\]
lo cual podemos denotar como
\[
Ax = b.
\]

Entonces, podemos decir que nuestro sistema tiene solución si existe un vector $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ tal que $Ax = b$, donde
\[
A
=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\quad
\text{y}
\quad
b
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix}.
\]

A la expresión $Ax=b$ le llamamos la forma matricial del sistema de ecuaciones.

Ejemplo de la utilidad de la forma matricial

La forma matricial de un sistema de ecuaciones es sumamente útil, como veremos en las siguientes entradas. Pero veamos un pequeño ejemplo de una de sus aplicaciones. Supongamos que sabemos que la matriz $A$ es invertible con inversa $A^{-1}$. Recordemos que entonces se cumple que$A^{-1}A = \mathcal{I}$. Gracias a esto, podemos comenzar con la forma matricial del sistema de ecuaciones y deducir lo siguiente:
\begin{align*}
&Ax = b \\
\Rightarrow & A^{-1}Ax = A^{-1}b \\
\Rightarrow &x = A^{-1}b.
\end{align*}

Es decir, si conocemos la matriz inversa de $A$, ¡podemos obtener de manera única el vector que resuelve el sistema de ecuaciones mediante una multiplicación de matriz por vector!

Aún cuando no hemos visto el método general para saber si una matriz tiene inversa, ya vimos previamente qué sucede con una matriz de $2\times 2$
\[
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\]

Así, verifiquemos mediante un ejemplo que el método que mostramos sirve para encontrar soluciones de sistemas de ecuaciones. Consideremos el sistema de ecuaciones
\[
\begin{cases}
2x + 8y &= 9 \\
-3x + 4y &= 2.
\end{cases}
\]

Este sistema puede ser representado en forma matricial como
\[
\begin{pmatrix}
2 & 8 \\
-3 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
9 \\
2
\end{pmatrix}.
\]

Como recordarás de entradas pasadas, la matriz inversa de $\begin{pmatrix} 2 & 8 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$ es
\[
\begin{pmatrix}
2 & 8 \\
-3 & 4
\end{pmatrix}^{-1}
=
\frac{1}{2\cdot4 – 8\cdot(-3)}
\begin{pmatrix}
4 & -8 \\
3 & 2
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{32}
\begin{pmatrix}
4 & -8 \\
3 & 2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1/8 & -1/4 \\
3/32 & 1/16
\end{pmatrix}.
\]

Entonces si multiplicamos esta por matriz por la izquierda a ambos lados de la ecuación
\[
\begin{pmatrix}
2 & 8 \\
-3 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
9 \\
2
\end{pmatrix},
\]
obtendremos
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
2 & 8 \\
-3 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
9 \\
2
\end{pmatrix}
\\[5pt]
\begin{pmatrix}
1/8 & -1/4 \\
3/32 & 1/16
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 8 \\
-3 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1/8 & -1/4 \\
3/32 & 1/16
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
9 \\
2
\end{pmatrix}
\\[5pt]
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
5/8 \\
31/32
\end{pmatrix},
\end{align*}
lo que equivale a $x = 5/8$, $y = 31/32$; la solución del sistema. ¡Verifica que es solución!

Más adelante…

En esta entrada repasamos los conceptos y definiciones sobre sistemas de ecuaciones lineales, y nos adentramos a ver cómo existe una relación directa entre los sistemas de ecuaciones lineales y el producto de una matriz por un vector, así como que las matrices invertibles guardan relación con la solución del sistema.

Que la matriz asociada a un sistema de ecuaciones sea invertible en realidad no pasa tanto, y se tienen que desarrollar métodos más generales para resolver sistemas de ecuaciones. En la siguiente entrada conoceremos un algoritmo que nos permitirá resolver sistemas de ecuaciones con una cantidad arbitraria de variables y ecuaciones, y determinar exactamente cómo se ven todas las soluciones.

Tarea moral

Usa el método de las variables libres y las variables pivote para describir al conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones y descríbelo geométricamente. Tendrás que elegir apropiadamente el orden en el que vas fijando las variables.
\begin{cases}
w+2x + 8y + 3z&= 0 \\
-3x + 4y + z&= -1\\
x+z&=2.\\
\end{cases}
Usa el método de la inversa para resolver los siguientes tres sistemas de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
2x + 8y &= 4 \\
-3x + 4y &= 1,
\end{cases} \quad \begin{cases}
2x + 8y &= 3 \\
-3x + 4y &= -2,
\end{cases} \quad \begin{cases}
2x + 8y &= 1 \\
-3x + 4y &= -1.
\end{cases}
\]
Intenta usar el método de las variables libres y pivote en el siguiente sistema de ecuaciones y explica qué dificultad tiene intentar usarlo directamente:
\[
\begin{cases}
x + y &= 4 \\
y+z &= 1\\
z+x&=2.
\end{cases}
\]
¿Cómo describirías a un sistema de ecuaciones en el cuál se puede hacer el método de variables libres y pivote cómodamente?
Considera un sistema de ecuaciones en forma matricial $Ax=b$. Demuestra que si $x$ y $x’$ son soluciones a este sistema, entonces $\frac{x+x’}{2}$ también lo es. Explica cómo puedes usar esto para a partir de dos soluciones $x$ y $x’$ distintas conseguir una infinidad de soluciones. Concluye que cualquier sistema de ecuaciones lineales o bien no tiene solución, o bien tiene una única solución, o bien tiene una infinidad de soluciones.
Encuentra una matriz no invertible $A$ y un vector $b$ tales que el sistema de ecuaciones $Ax=b$ sí tenga solución. En ese sistema que diste, ¿la solución es única o puedes encontrar otra?

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Álgebra Superior I: Operaciones de suma y producto escalar con vectores y matrices

Por Eduardo García Caballero

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Introducción

Anteriormente definimos qué son los vectores y las matrices con entradas reales. Así mismo, mencionamos que existen distintas operaciones que los involucran. En esta entrada conocerás dos de estas operaciones: la suma de vectores/matrices y el producto escalar.

Suma de vectores

Una de las operaciones más sencillas que involucra a los vectores es su suma. Para sumar dos vectores con entradas reales, debemos asegurarnos de que ambos tengan la misma cantidad de entradas. De este modo, podemos ver que los vectores $(1,0,3)$ y $(-2,\sqrt{5})$ no pueden ser sumados, pero los vectores $(7,\frac{1}{2},-5)$ y $(\pi,4,3)$ sí.

Para denotar la suma de dos vectores utilizaremos el símbolo $+$ en medio de ellos. Por ejemplo, la suma de $(7,\frac{1}{2},-5)$ y $(\pi,4,3)$ la escribimos como
\[
(7,\tfrac{1}{2},-5)+(\pi,4,3).
\]

El resultado de esta operación lo obtendremos sumando entrada a entrada los dos vectores originales. Es decir, la primera entrada del nuevo vector será igual a la suma de las primeras entradas de los vectores originales; su segunda entrada será igual a la suma de las segundas entradas de los vectores originales; y así sucesivamente (observemos que, de este modo, el vector resultante tiene el mismo tamaño que los vectores originales). Así, el resultado de sumar $(7,\tfrac{1}{2},-5)$ y $(\pi,4,3)$ es
\[
(7,\tfrac{1}{2},-5)+(\pi,4,3) = (7+\pi, \tfrac{1}{2}+4,-5+3).
\]

Además, ya te habrás dado cuenta de que podemos reducir algunas operaciones de cada entrada del vector (esto por la definición de igualdad de vectores que vimos en la entrada anterior). Así, obtenemos que
\[
(7+\pi,\tfrac{1}{2}+4,-5+3) = (7+\pi, \tfrac{9}{2},-2),
\]
y, al ser la igualdad transitiva, llegamos a que
\[
(7,\tfrac{1}{2},-5)+(\pi,4,3) = (7+\pi, \tfrac{9}{2},-2).
\]

El ejemplo que discutimos aquí es para vectores con tres entradas, pero pudimos hacer exactamente lo mismo con vectores de dos entradas, de cuatro o de más.

Producto escalar de vectores

Otra operación que realizaremos de manera frecuente es el producto escalar. Para efectuar esta operación, requeriremos un número real y un vector, y los denotamos escribiendo primero el número y de manera seguida al vector. De este modo, el producto escalar del número real $4$ y el vector $(3,\sqrt{2},5)$ lo denotaremos por
\[
4(3,\sqrt{2},5).
\]

El resultado es esta operación consiste consiste en multiplicar cada una de las entradas de nuestro vector por el número real escogido. Así, podemos ver que
\[
4(3,\sqrt{2},5) = (4(3), 4(\sqrt{2}), 4(5)),
\]
y, al igual que pasa con la suma, en cada entrada tenemos ahora operaciones en los números reales que podemos simplificar, de modo que
\[
(4(3), 4(\sqrt{2}), 4(5)) = (12,4\sqrt{2},20),
\]
y, por lo tanto,
\[
4(3,\sqrt{2},5) = (12,4\sqrt{2},20).
\]

Al número real por el cual multiplicamos el vector lo denominaremos escalar.

Repaso de propiedades de la suma y producto de números reales

Antes de pasar a ver algunas de las propiedades que cumplen las operaciones vistas anteriormente, será conveniente que repasemos algunas de las propiedades que cumplen los números reales (seguramente estas propiedades las recuerdas de tu curso de Cálculo Diferencial e Integral I). Recordemos que si $a$, $b$ y $c$ son números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Suma:

Es asociativa: $(a+b)+c = a+(b+c)$.
Es conmutativa: $a+b = b+a$.
Tiene neutro: el $0$ es un número real y cumple que $a+0 = 0+a = a$.
Tiene inversos: para cada $a$ existe un número real, denotado $-a$, es cual cumple que $a+(-a) = (-a)+a = 0$.

Producto:

Es asociativo: $(ab)c = a(bc)$.
Es conmutativo: $ab = ba$.
Tiene neutro: el $1$ es un número real y cumple que $a(1) = (1)a = a$.
Tiene inversos: si $a$ es distinto a $0$, entonces existe un número real, denotado $a^{-1}$, el cual cumple que $a(a^{-1}) = (a^{-1})a = 1$.

Suma y producto:

El producto se distribuye sobre la suma: $a(b+c) = ab + ac$ y también $(a+b)c = ac + bc$.

Propiedades de suma y el producto escalar de vectores

En esta sección trabajaremos con vectores en $\mathbb{R}^3$, pero las deducciones son muy parecidas para vectores de cualquier otro tamaño (¿podrías intentarlas para vectores de $\mathbb{R}^4?$).

Primeramente, veamos un ejemplo. Observemos que si $u = (4,6,-2)$ y $v = (1,\tfrac{1}{3},2)$, entonces
\begin{align*}
(4,6,-2) + (1,\tfrac{1}{3}, 2)
&= (4+1,6+\tfrac{1}{3}, -2+2) \\
&= (1+4, \tfrac{1}{3}+6, 2+(-2)) \\
&= (1,\tfrac{1}{3}, 2) + (4,6,-2),
\end{align*}
es decir, $u + v = v+u$. La razón por la cual podemos intercambiar los sumandos en la segunda igualdad es porque las sumas en cada una de las entradas ya son sumas de números reales. Así, la conmutatividad de la suma de reales nos ayudó a ver la conmutatividad de una suma de vectores.

Como puedes ver, para llegar al resultado anterior no nos basamos en ningún valor de $u$ o $v$ en particular. ¡De hecho ni siquiera fue necesario hacer las operaciones! Nos basamos únicamente en las definiciones de igualdad y suma, y en las propiedades de los números reales. Por esta razón, este argumento lo podemos hacer general.

Observemos que cualesquiera vectores $u = (u_1,u_2,u_3)$ y $v=(v_1,v_2,v_3)$ cumplen que
\begin{align*}
u+v
&= (u_1,u_2,u_3)+(v_1,v_2,v_3) \\
&= (u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3) \\
&= (v_1+u_1,v_2+u_2,v_3+u_3) \\
&= (v_1,v_2,v_3)+(u_1,u_2,u_3) \\
&= v+u.
\end{align*}

Otra propiedad bastante interesante tiene que ver con un vector especial que conocimos anteriormente. Recordarás que en la entrada anterior definimos al vector cero. Como su nombre lo sugiere, este vector juega el papel de elemento neutro de la suma. Recordemos que el vector cero en $\mathbb{R}^3$ es $0=(0,0,0)$. Observemos que si $u = (8,\pi,-10)$, entonces
\[
u+0 = (8,\pi,-10) + (0,0,0) = (8+0,\pi+0,-10+0) = (8,\pi,-10) = u.
\]
Aunque pudiera parecer que en este caso sí simplificamos el resultado de la operación, en realidad otra vez hicimos únicamente uso de las definiciones de igualdad y suma de vectores, y esta vez la propiedad de que el $0$ (número real) es neutro para la suma de números reales.

Entonces, podemos ver que para cualquier vector $u = (u_1,u_2,u_3)$ se cumple que
\[
u+0 = (u_1,u_2,u_3) + (0,0,0) = (u_1+0,u_2+0,u_3+0) = (u_1,u_2,u_3) = u.
\]

Otras dos propiedades que cumple la suma de vectores, y que cuya deducción se deja como ejercicio al lector, son las siguientes:

Para cualesquiera vectores $u = (u_1,u_2,u_3)$, $v=(v_1,v_2,v_3)$ y $w=(w_1,w_2,w_3)$ se cumple que $(u+v)+w = u+(v+w)$.
Para cualquier vector $u = (u_1,u_2,u_3)$ existe un vector $v$ que cumple $u+v = 0$ (Recuerda que aquí $0$ denota al vector $(0,0,0)$. Basta con decir cuál es el vector $v$ que cumple esa propiedad). Más aún, podemos demostrar que $v$ es único para cada $u$. Por esta razón, al único vector $v$ que cumple esta propiedad lo denotaremos $-u$.

Por otra parte, revisemos algunas de las propiedades que cumplen en conjunto la suma de vectores y el producto escalar de vectores.

Veamos que para el escalar (número real) $r$ y para los vectores $u = (u_1,u_2,u_3)$ y $v=(v_1,v_2,v_3)$ se cumple que
\begin{align*}
r(u+v)
&= r((u_1,u_2,u_3) + (v_1,v_2,v_3)) \\
&= r(u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3) \\
&= (r(u_1+v_1), r(u_2+v_2), r(u_3+v_3)) \\
&= (ru_1+rv_1, ru_2+rv_2, ru_3+rv_3) \\
&= (ru_1,ru_2+ru_3) + (rv_1,rv_2,rv_3) \\
&= r(u_1,u_2,u_3) + r(v_1,v_2,v_3) \\
&= ru + rv.
\end{align*}

(¿Qué se está usando en cada igualdad? ¿Una definición? ¿Una propiedad de los números reales?)

Asimismo, para cuales quiera $r$ y $s$ escalares, y para cualquier vector $u = (u_1,u_2,u_3)$ se cumple que $(r+s)u = ru + su$. ¿Puedes ver cómo se deduce esta propiedad?

Aunque estas dos propiedades son muy parecidas, realmente dicen cosas distintas: $r(u+v)$ indica que el producto escalar se distribuye sobre la suma de vectores, mientras que $(r+s)u$ indica que el producto escalar se distribuye sobre la suma de escalares (números reales).

Una última propiedad de la suma de vectores y producto de vectores es la siguiente: si $r$ y $s$ son escalares, y $u=(u_1,u_2,u_3)$ es un vector, entonces
\begin{align*}
r(s(u))
&= r(s(u_1,u_2,u_3)) \\
&= r(su_1, su_2, su_3) \\
&= (r(su_1), r(su_2), r(su_3)) \\
&= ((rs)u_1, (rs)u_2, (rs)u_3) \\
&= (rs)(u_1,u_2,u_3) \\
&= (rs)u.
\end{align*}
Aún cuando pudiera parecer trivial, esta última propiedad es muy interesante, pues observemos que $r(su)$ involucra únicamente productos escalares, mientras que en $(rs)u$ aparecen tanto el producto de números reales como el producto escalar.

Conocer estas propiedades nos permitirá manipular con facilidad las operaciones entre vectores. Así, por ejemplo, para saber cuál es el resultado de $((1,4,-1) + 5(0,3,4)) + 5(1,1,-5)$, no tendremos que recurrir a efectuar cada operación por definición: podemos optar por manipular la expresión para obtener
\begin{align*}
((1,4,-1) + 5(0,3,4)) + 5(1,1,-5)
&= (1,4,-1) + (5(0,3,4) + 5(1,1,-5)) \\
&= (1,4,-1) + 5((0,3,4) + (1,1,-5)) \\
&= (1,4,-1) + 5(1,4,-1) \\
&= 1(1,4,-1) + 5(1,4,-1) \\
&= (1+5)(1,4,-1) \\
&= 6(1,4,-1) \\
&= (6,24,-6).
\end{align*}

¿Puedes ver qué propiedad(es) usamos en cada paso?

Suma de matrices

La suma de matrices con entradas reales es muy parecida a la suma de vectores. Al igual que con los vectores, tenemos que asegurarnos que las dos matrices que deseamos sumar tengan el mismo tamaño, es decir, que tengan el mismo número de filas y el mismo de columnas. La suma de matrices también la denotaremos utilizando el símbolo $+$ y de igual manera la realizaremos entrada a entrada, según la fila y columna que estemos calculando.

Así, por ejemplo, la suma de
\[
\begin{pmatrix}
8 & 0 & \sqrt{5} \\
-2 & 10 & 0
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & \sqrt{5} \\
4 & \pi & -2
\end{pmatrix}
\]
es
\[
\begin{pmatrix}
8 & 0 & \sqrt{5} \\
-2 & 10 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & \sqrt{5} \\
4 & \pi & -2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
8+(-3) & 0+1 & \sqrt{5}+\sqrt{5} \\
-2+4 & 10+\pi & 0+(-2)
\end{pmatrix},
\]
lo cual queda simplificado como,
\[
\begin{pmatrix}
8 & 0 & \sqrt{5} \\
-2 & 10 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-3 & 1 & \sqrt{5} \\
4 & \pi & -2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 & 1 & 2\sqrt{5} \\
2 & 10+\pi & -2
\end{pmatrix}.
\]

Producto escalar de matrices

A igual que pasa con la suma, también podemos definir el producto escalar de matrices. Como seguramente ya lo habrás imaginado, esta operación se parece mucho al producto escalar de vectores.

Esta operación involucra a un número real y a una matriz. La denotamos colocando al número real seguido de la matriz, y consiste en multiplicar cada entrada de la matriz por dicho número real.

Por ejemplo, el producto escalar de $-3$ y la matriz
\[
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
\frac{1}{2} & \pi \\
\frac{1}{3} & 4
\end{pmatrix}
\]
es
\[
(-3)
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
\frac{1}{2} & \pi \\
\frac{1}{3} & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(-3)(8) & (-3)3 \\
(-3)(\frac{1}{2}) & (-3)(\pi) \\
(-3)(\frac{1}{3}) & (-3)4
\end{pmatrix},
\]
es decir,
\[
(-3)
\begin{pmatrix}
8 & 3 \\
\frac{1}{2} & \pi \\
\frac{1}{3} & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-24 & -9 \\
-\tfrac{3}{2} & -3\pi \\
-1 & -12
\end{pmatrix}.
\]

Propiedades de suma y producto escalar de matrices

Veamos algunas propiedades que cumplen la suma y el producto escalar de matrices. Para esto, trabajaremos con matrices con tamaño $2 \times 3$, pero verás que las deducciones para matrices de cualquier otro tamaño son muy parecidas.

Recordemos que la matriz cero de tamaño $2 \times 3$ es
\[
\mathcal{O} = \mathcal{O}_{2 \times 3} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]

Observemos que para cualquier matriz
\[
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\]
se cumple que
\begin{align*}
A + \mathcal{O}
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}+0 & a_{12}+0 & a_{13}+0 \\
a_{21}+0 & a_{22}+0 & a_{23}+0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&= A.
\end{align*}

Por otra parte, dada una matriz $A$, como cada entrada $a_{ij}$ de la matriz es un número real, entonces tienen un respectivo inverso aditivo, es decir, un número $(-a_{ij})$ que cumple que $a_{ij}+(-a_{ij}) = 0$. Así, si definimos
\[
B=
\begin{pmatrix}
(-a_{11}) & (-a_{12}) & (-a_{13}) \\
(-a_{21}) & (-a_{22}) & (-a_{23})
\end{pmatrix}.
\]
Entonces, observemos que
\begin{align*}
A + B
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{2_3}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
(-a_{11}) & (-a_{12}) & (-a_{13}) \\
(-a_{21}) & (-a_{22}) & (-a_{23})
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}+(-a_{11}) & a_{12}+(-a_{12}) & a_{13}+(-a_{13}) \\
a_{21}+(-a_{21}) & a_{22}+(-a_{22}) & a_{23}+(-a_{23})
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\mathcal{O}.
\end{align*}

La matriz $B$ la definimos basándonos en la matriz $A$. Entonces, para cada matriz existe una matriz $B$ que cumple que $A + B = \mathcal{O}$. Como te podrás dar cuenta, la matriz $B$ que cumple esta propiedad es única (¿por qué se cumple esto?); por esta razón, a la $B$ que cumple esta propiedad la denotamos como $-A$.

Seguramente notarás que estas dos propiedades se parecen mucho a las que cumple la suma de vectores. ¿Podrías también probar las siguientes propiedades?

Para cuales quiera matrices $A$, $B$ y $C$ de tamaño $2\times 3$ se cumple que

$(A+B)+C = A+(B+C)$.
$A+B = B+A$.

Por otra parte, el producto escalar de matrices también se comporta de manera similar al producto escalar de vectores.

Si $r$ y $s$ son escalares y
\[
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix},
\]
entonces
\begin{align*}
(r+s)A
&=
(r+s)
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
(r+s)a_{11} & (r+s)a_{12} & (r+s)a_{13} \\
(r+s)a_{21} & (r+s)a_{22} & (r+s)a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
ra_{11}+sa_{11} & ra_{12}+sa_{12} & ra_{13}+sa_{13} \\
ra_{21}+sa_{21} & ra_{22}+sa_{12} & ra_{23}+sa_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
ra_{11} & ra_{12} & ra_{13} \\
ra_{21} & ra_{22} & ra_{23}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
sa_{11} & sa_{12} & sa_{13} \\
sa_{21} & sa_{22} & sa_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
r
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
+
s
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
rA + sA.

\end{align*}

Dejamos como ejercicio para el lector probar también las siguientes propiedades:

Para cualquiesquiera escalares $r$ y $s$, y cualesquiera matrices $A$ y $B$ de tamaño $2\times 3$, se cumple que

$r(A+B) = rA + rB$.
$r(sA) = (rs)A$.

Más adelante…

En esta entrada conocimos las suma y el producto escalar de vectores/matrices, y revisamos algunas propiedades que estas operaciones cumple. Emplear sus propiedades nos permitirá calcular de manera más sencilla sus resultados, además de que se integrarán con operaciones que definiremos en entradas futuras.

En la siguiente entrada conoceremos una nueva operación, la cual involucra al mismo tiempo matrices y vectores.

Tarea moral

Sea $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$. Encuentra explícitamente el resultado de la operación $A+2A+3A+4A+5A+6A+7A$. Como sugerencia, si usas apropiadamente las propiedades que hemos discutido, sólo tendrás que hacer un producto escalar.
¿Podrías desarrollar las pruebas de las propiedades de suma y producto escalar para vectores en $\mathbb{R}^4$? ¿Podrías hacerlo para suma y producto escalar de matrices de $3 \times 2$?
Como vimos en esta entrada, para cada vector $u$ existe un vector $v$ que cumple que $u+v = 0$. ¿Puedes ver por qué $v$ es único?
En los reales está el escalar $-1$. Demuestra que el producto escalar $(-1)v$ es precisamente el inverso aditivo $-v$ de $v$. Enuncia y demuestra un resultado similar para matrices.
Podemos definir la resta de vectores (o de matrices) de la siguiente manera: $u-v=u+(-v)$. Determina si esta operación es asociativa, conmutativa, si tiene neutro y/o inversos.

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Álgebra Lineal I: Algunas aclaraciones sobre las formas lineales

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

Uno de los momentos del curso de Álgebra Lineal I en el que se da un brinco de abstracción es cuando se introduce el espacio dual. En ese momento, empiezan a aparecer objetos que tratamos simultáneamente como funciones y como vectores: las formas lineales. De repente puede volverse muy difícil trasladar incluso conceptos muy sencillos (como el de suma vectorial, o el de indepencia lineal) a este contexto. En esta entrada intentaremos dejar esto mucho más claro.

Igualdad de funciones

Para hablar del dual de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$, necesitamos hablar de las funciones $l:V\to F$. Antes de cualquier cosa, debemos de ponernos de acuerdo en algo crucial. ¿Cuándo dos funciones son iguales?

Definición. Dos funciones $f:A\to B$ y $g:C\to D$ son iguales si y sólo si pasan las siguientes tres cosas:

$A=C$, es decir, tienen el mismo dominio.
$B=D$, es decir, tienen el mismo codominio
$f(a)=g(a)$ para todo $a\in A$, es decir, tienen la misma regla de asignación.

Los dos primeros puntos son importantes. El tercer punto es crucial, y justo es lo que nos permitirá trabajar y decir cosas acerca de las funciones. Implica dos cosas:

Que si queremos demostrar la igualdad de dos funciones, en parte necesitamos demostrar que se da la igualdad de las evaluaciones para todos los elementos del conjunto.
Que si ya nos dan la igualdad de las funciones, entonces nos están dando muchísima información, pues nos están diciendo la igualdad de todas las evaluaciones posibles.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo. Tomemos las funciones $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ con las reglas de asignación $f(x,y)=2x+3y$ y $g(x,y)=6x-y$. ¿Son iguales? Los primeros dos puntos en la definición de igualdad se cumplen, pues tienen el mismo dominio y codominio. Entonces, debemos estudiar si tienen la misma regla de asignación.

Al evaluar en $(1,1)$ obtenemos que $f(1,1)=2+3=5$ y que $g(1,1)=6-1=5$. Al evaluar en $(2,2)$ obtenemos que $f(2,2)=4+6=10$ y que $g(2,2)=12-2=10$. Hasta aquí parecería que todo va bien, pero dos ejemplos no son suficientes para garantizar que $f=g$. Necesitaríamos la igualdad en todos los valores del dominio, es decir, en todas las parejas $(x,y)$.

Al evaluar en $(2,0)$ obtenemos que $f(2,0)=4+0=4$ y que $g(2,0)=12-0=12$. Los valores de las funciones fueron distintos, así que las funciones son distintas.

$\square$

Ejemplo. Imagina que $A$ y $B$ son dos números tales que las dos funciones $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ con las siguientes reglas de asignación son iguales:

\begin{align*}
f(x,y)&=2x-5y+A\\
g(x,y)&=Bx-5y+3.
\end{align*}

¿Cuáles tendrían que ser los valores de $A$ y $B$? Por supuesto, una exploración «a simple vista» sugiere que tendríamos que poner $B=2$ y $A=3$. Pero, ¿cómo vemos formalmente esto? ¿Cómo nos aseguramos de que sea la única posibilidad? Lo que tenemos que hacer es usar nuestra definición de igualdad de funciones. Para ello, podemos utilizar los valores $(x,y)$ que nosotros queremos pues la igualdad de funciones garantiza la igualdad en todas las evaluaciones. Así, podemos ponernos creativos y proponer $(3,5)$ para obtener que:

\begin{align*}
f(3,5)&=6-25+A=-19+A\\
g(3,5)&=3B-25+3=3B-22.
\end{align*}

Como las funciones son iguales, debe pasar que $f(3,5)=g(3,5)$, por lo que $-19+A=3B-22$. ¿Esto es suficiente para saber quién es $A$ y $B$? Todavía no, aún hay muchas posibiliades. Propongamos entonces otro valor de $(x,y)$ para evaluar. Veamos qué sucede con $(-2,1)$. Obtenemos:

\begin{align*}
f(-2,1)&=-4-5+A=-9+A\\
g(-2,1)&=-2B-5+3=-2B-2.
\end{align*}

Ahora tenemos más información de $A$ y $B$. Sabemos que $-9+A=-2B-2$. Reordenando ambas cosas que hemos obtenido hasta ahora, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{align*}
A-3B=-3\\
A+2B=7.
\end{align*}

Restando la primera de la segunda obtenemos $5B=10$, de donde $B=2$. Sustituyendo en la segunda obtenemos $A+4=7$, de donde $A=3$, justo como queríamos.

$\square$

En el ejemplo anterior pudimos haber sido más astutos y evitarnos el sistema de ecuaciones. Recordemos que la igualdad $f(x,y)=g(x,y)$ se tiene para todas todas las parejas $(x,y)$, así que nos conviene usar parejas que 1) Sean sencillas de usar y 2) Nos den suficiente información.

Ejemplo. En el ejemplo anterior hicimos un par de sustituciones que finalmente sí nos llevaron a los valores que queríamos. Pero hay «mejores» sustituciones. Si hubiéramos usado la pareja $(0,0)$ obtendríamos inmediatemente $A$ pues: $$A=0-0+A=f(0,0)=g(0,0)=0-0+3=3,$$ de donde $A=3$. Ya sabiendo $A$, pudimos usar la pareja $(1,0)$ para obtener $$B+3=B-0+3=g(1,0)=2-0+3=5.$$ De aquí se obtene nuevamente $B=2$.

$\square$

Veamos un último ejemplo, en el que es imposible encontrar un valor fijo que haga que dos funciones que nos dan sean iguales.

Ejemplo. Veamos que es imposible encontrar un número real $A$ para el cual las dos funciones $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ con las siguientes reglas de asignación sean iguales:

\begin{align*}
f(x,y)&=x^2+Ay^2\\
g(x,y)&=Axy.
\end{align*}

Imaginemos, de momento, que esto sí es posible. Entonces, tendríamos la igualdad de funciones y por lo tanto tendríamos la igualdad para todas las evaluaciones. Evaluando en $(1,0)$ obtendríamos que $$0=A\cdot 1 \cdot 0 = g(1,0)=f(1,0)=1^2+A\cdot 0^2=1.$$ Esto nos lleva a la contradicción $0=1$, lo cual muestra que ningún valor de $A$ podría funcionar.

$\square$

La forma lineal cero

Otra noción básica, pero que es importante de entender, es la noción de la forma lineal cero.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. Sea $0$ el neutro aditivo del campo $F$. La forma lineal cero es la función $L_0:V\to F$ que manda a cualquier vector $v$ de $V$ a $0$, es decir, cuya regla de asignación es $L_0(v)=0$ para todo $v$ en $V$.

En álgebra lineal rápidamente nos queremos deshacer de notación estorbosa, pues muchas cosas son claras a partir del contexto. Pero esto tiene el problema de introducir amgüedades que pueden ser confusas para alguien que apenas está comenzando a estudiar la materia. Lo que prácticamente siempre se hace es que a la forma lineal cero le llamamos simplemente $0$, y dejamos que el contexto nos diga si nos estamos refiriendo al neutro aditivo de $F$, o a la forma lineal cero $L_0$.

En esta entrada intentaremos apegarnos a llamar a la forma lineal cero siempre como $L_0$, pero toma en cuenta que muy probablemente más adelante te la encuentres simplemente como un $0$. Combinemos esta noción con la de igualdad.

Ejemplo. ¿Cómo tienen que ser los valores de $A$, $B$ y $C$ para que la función $l:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con la siguiente regla de asignación sea igual a la forma lineal cero $L_0$? $$f(x,y,z)=(A+1)x+(B+C)y+(A-C)z$$

Debemos aprovechar la definición de igualdad de funciones: sabemos que la igualdad se da para las ternas que nosotros queramos. Evaluando en $(1,0,0)$ obtenemos $$A+1 = f(1,0,0)=L_0(1,0,0)=0.$$

Aquí a la derecha estamos usando que la forma lineal cero siempre es igual a cero. De manera similar, evaluendo en $(0,1,0)$ y $(0,0,1)$ respectivamente obtenemos que \begin{align*}B+C&=f(0,1,0)=L_0(0,0,0)=0\\A-C&=f(0,0,1)=L_0(0,0,0)=0.\end{align*}

Ya tenemos información suficiente para encontrar $A$, $B$ y $C$. De la primer ecuación que obtuvimos, se tiene $A=-1$. De la tercera se tiene $C=A=-1$ y de la segunda se tiene $B=-C=1$.

Pero, ¡momento! Estos valores de $A$, $B$, $C$ funcionan para las tres ternas que dimos. ¿Funcionarán para cualquier otra terna? Si elebimos $A=-1$, $B=1$ y $C=-1$ entonces tendríamos $$f(x,y,z)=0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z.$$ En efecto, sin importar qué valores de $(x,y,z)$ pongamos, la expresión anterior dará cero. Así, se daría la igualdad de reglas de correspondencia entre $f$ y $L_0$ y como tienen el mismo dominio y codominio concluiríamos que $f=L_0$.

$\square$

Suma y producto escalar de formas lineales

Otro aspecto que puede causar confusión es la suma de funciones y el producto escalar. En la duda, siempre hay que regresar a la definición. Enunciaremos los conceptos para formas lineales. Pero en realidad podemos definir la suma de funciones de manera similar siempre que el codominio sea un lugar en donde «se puede sumar». Similarmente, podríamos definir el producto escalar de un elemento con una función siempre que sepamos cómo multiplicar a ese elemento con cada elemento del codominio.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. Sean $l:V\to F$ y $m:V\to F$ formas lineales. Definimos la suma de $l$ con $m$, a la cual denotaremos por $l+m$, como la función $l+m:V\to F$ con la siguiente regla de asignación:$$(l+m)(v)=l(v)+m(v),$$ para cualquier $v$ en $V$.

De nuevo nos estamos enfrentando a un posible problema de ambigüedad de símbolos: por un lado estamos usando $+$ para referirnos a la suma en el campo $F$ y por otro lado para referirnos a la suma de funciones que acabamos de definir.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $F$. Sea $l:V\to F$ una forma lineal y sea $r$ un elemento de $F$. Definimos el producto escalar de $r$ con $F$, al cual denotaremos por $r\cdot l$ como la función $r\cdot l:V\to F$ con la siguiente regla de asignación:$$(r\cdot l)(v)=r\cdot (l(v))$$ para cualquier $v$ en $V$.

Así, estamos usando tanto la suma en $F$ como el producto en $F$ para definir una nueva suma de funciones y un nuevo producto entre un real y una función. En el caso del producto escaler, como con muchos otros productos, usualmente quitamos el punto central y ponemos $rl$ en vez de $r\cdot l$.

Ejemplo. Tomemos las funciones $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con las siguientes reglas de asignación:

\begin{align*}
f(x,y,z)&=2x-y+z\\
g(x,y,z)&=3x+y-5z.
\end{align*}

Mostraremos que la función $3f+(-2)g$ es igual a la función $h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con regla de asignación $h(x,y,z)=-5y+13z$. Lo haremos con todo el detalle posible. Primero, notamos que las dos funciones tienen dominio $\mathbb{R}^3$ y codominio $\mathbb{R}$ así que nos podemos enfocar en la regla de asignación. Debemos ver que ambas coinciden para todas las ternas $(x,y,z)$ en $\mathbb{R}^3$. Tomemos entonces una de estas ternas $(x,y,z)$.

Por definición de producto escalar de funciones, tenemos que $$(3f)(x,y,z)=3(f(x,y,z))=3(2x-y+z)=6x-3y+3z.$$. Aquí estamos usando la distributividad en los reales. Por definición de producto escalar de funciones, tenemos que $$ ((-2)g)(x,y,z)=(-2)(g(x,y,z))=(-2)(3x+y-5z)=-6x-2y+10z.$$ Una vez más estamos usando distributividad. Luego, por definición de suma de funciones obtenemos que

\begin{align*}
(3f+(-2)g)(x,y,z)&=(3f)(x,y,z)+(-2g)(x,y,z)\\
&= (6x-3y+3z)+(-6x-2y+10z)\\
& = -5y+13z\\
&= h(x,y,z).
\end{align*}

$\square$

Usualmente tomamos atajos para seguir simplificando la notación. Por ello, típicamente a veces vemos escrito todo lo anterior simplemente como: $$3(2x-y+z)-2(2x+y-5z)=-5y+13z.$$ De hecho esto es muy práctico, pues se puede mostrar que las funciones «sí podemos operarlas como si fueran expresiones en $x$, $y$, $z$ y usáramos las reglas usuales». Así, podemos «trabajar simbólicamente» y concluir rápidamente que $$(x+y)+(3x+2z)-3(x+y-z)$$ en verdad tiene la misma regla de asignación que $-2y+5z$.

Ahora sí, ¿quién es el espacio dual?

Si tenemos un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ podemos construirnos otro espacio vectorial con otro conjunto base y otras operaciones que no son las del espacio original. Una forma de hacer esto es construir el espacio dual, al que llamaremos $V^\ast$. Los elementos de $V^\ast$ son las formas lineales de $V$, es decir, funciones lineales con dominio $V$ y codominio $F$. Debemos acostumbrarnos a pensar simultáneamente a un elemento de $V^\ast$ tanto como un vector (de $V^\ast$) como una función (de $V$ a $F$).

Para verdaderamente pensar a $V^\ast$ como un espacio vectorial, debemos establecer algunas cosas especiales:

La suma vectorial de $V^\ast$ será la suma de funciones que platicamos en la sección anterior.
El producto escalar vectorial de $V^\ast$ será el producto escalar que platicamos en la sección anterior.
El neutro aditivo vectorial de $V^\ast$ será la forma lineal $L_0$, y se puede verificar que en efecto $l+L_0=l$ para cualquier forma lineal $l$.

Por supuesto, típicamente a la suma vectorial le llamaremos simplemente «suma» y al producto escalar vectorial simplemente «producto escalar». Aquí estamos haciendo énfasis en lo de «vectorial» sólo para darnos cuenta de que nuestras operaciones de funciones se transformaron en operaciones para el espacio vectorial que estamos definiendo.

El espacio dual cumple muchas propiedades bonitas, pero ahorita no nos enfocaremos en enunciarlas y demostrarlas. Esto se puede encontrar en la página del curso de Álgebra Lineal I en el blog. Lo que sí haremos es irnos a los básicos y entender cómo se verían algunas definiciones básicas de álgebra lineal en términos de lo que hemos discutido hasta ahora.

Combinaciones lineales de formas lineales

Para hablar de las nociones de álgebra lineal para formas lineales, hay que pensarlas como vectores y como funciones. ¿Qué sería una combinación lineal de las formas lineales $l_1,\ldots,l_r$ del espacio vectorial, digamos, $\mathbb{R}^n$. Debemos tomar elementos $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ en $\mathbb{R}$ y construir la función $\ell=\alpha_1l_1+\ldots+\alpha_rl_r$. Aquí estamos usando la suma vectorial y el producto escalar vectorial que quedamos que serían la suma como funciones y el producto escalar como funciones. Así, obtenemos un elemento $\ell$ que por un lado es un vector del espacio dual, y por otro es una función $\ell:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$. ¿Cuál es la regla de asignación? Es precisamente la dada por las definiciones de suma y producto escalar para funciones. Para ser muy precisos, se puede mostrar inductivamente que su regla de asignación es:

\begin{align*}
(\alpha_1l_1+&\ldots+\alpha_rl_r)(x_1,\ldots,x_n)=\\
&\alpha_1(l_1(x_1,\ldots,x_n))+\ldots+\alpha_r(l_r(x_1,\ldots,x_n)).
\end{align*}

Entendiendo esto, ahora sí podemos preguntarnos si una forma lineal es combinación lineal de otras.

Ejemplo. La forma lineal $h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ con regla de asignación $h(x,y)=2x-y$ es combinación lineal de las formas lineales $f(x,y):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ y $g(x,y):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ con reglas de asignación

\begin{align*}
f(x,y)&=x+y\\
g(x,y)&=x-y.
\end{align*}

En efecto, tenemos que es igual a la combinación lineal $\frac{1}{2}f + \frac{3}{2} g$, pues su regla de asignación es:

$$\left(\frac{1}{2}f + \frac{3}{2} g\right)(x,y)=\left(\frac{x+y}{2}\right)+\left(\frac{3x-3y}{2}\right)=2x-y,$$

que es justo la regla de asignación de $h$. Así, $h=\frac{1}{2}f+\frac{3}{2}g$.

$\square$

Independencia lineal de formas lineales

Veamos un ejemplo más de cómo entender nociones de álgebra lineal cuando hablamos de formas lineales (o funciones en general). ¿Cómo sería el concepto de independencia lineal para formas lineales $l_1,\ldots,l_r$? A partir de una combinación lineal de ellas igualada a la forma lineal cero $L_0$, debemos mostrar que todos los coeficientes son iguales a cero. Es decir, a partir de $$\alpha_1l_1+\ldots+\alpha_rl_r=L_0,$$ debemos mostrar que $\alpha_1=\ldots=\alpha_r=0.$$ Usualmente el truco en estas situaciones es que ya nos están dando una igualdad de funciones. Entonces, podemos evaluar en los valores que nosotros queramos de ambos lados de la igualdad pues funciones iguales tienen todas sus evaluaciones iguales. Esto se parece a los ejemplos de la sección de igualdad de funciones.

Ejemplo. Vamos a demostrar que las formas lineales de $\mathbb{R}^4$ dadas por $f(w,x,y,z)=4w+2x+z$, $g(w,x,y,z)=4w+2z+y$, $h(w,x,y,z)=4w+2y+x$, $k(w,x,y,z)=w+x+y+z$ son linealmente independientes. Tomemos una combinación lineal de ellas igualda a cero (¡recordemos que en este espacio vectorial el cero es la forma lineal $L_0$!):

$$Af+Bg+Ch+Dk=L_0.$$

Debemos demostrar que $A=B=C=D=0$. ¿Cómo hacemos esto? Lo que haremos es evaluar: pondremos valores convenientes de $(w,x,y,z)$ en la igualdad anterior para obtener información de $A$, $B$, $C$, $D$. Poniendo $(1,0,0,0)$ obtenemos que:

\begin{align*}
0&=L_0(1,0,0,0)\\
&= (Af+Bg+Ch+Dk)\\
&=Af(1,0,0,0)+ Bg(1,0,0,0) +Ch(1,0,0,0) +Dk(1,0,0,0) \\
&=4A + 4B + 4C + D.
\end{align*}

Así, $4A+4B+4C+D=0$. Usando esta ecuación y las evaluaciones $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$ y $(0,0,0,1)$, obtenemos todo lo siguiente:

\begin{align*}
4A+4B+4C+D&=0\\
2A+C+D&=0\\
B+2C+D&=0\\
A+2B+D&=0.
\end{align*}

De aquí se puede mostrar (como puedes verificar como ejercicio) que la única solución posible es $A=B=C=D=0$. De este modo, las formas lineales $f,g,h,k$ son linealmente independientes.

$\square$

Más adelante

Esta es más una entrada auxiliar que una entrada que forma parte del flujo de la teoría principal. Sin embargo, espero que te haya servido para dejar más claros los conceptos de cuándo tenemos formas lineales iguales, cómo se operan, cuándo varias formas lineales son linealmente independientes, etc.

Tarea moral…

Verifica que para cualquier forma lineal $l:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ y la forma lineal cero $L_0:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ en efecto se tiene que $l+L_0=l$. Usa las definiciones de la forma lineal cero, de la igualdad de funciones y de la suma de funciones.
Verifica que $V^\ast$ con las operaciones de suma, producto escalar y el neutro aditivo que dimos en efecto es un espacio vectorial. ¿Cómo tendrían que ser los inversos aditivos?
Considera las formas lineales $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ dadas por $f(x,y,z)=x+3y+z$ y $g(x,y,z)=-x+5y-z$.
1. Demuestra que es imposible encontrar reales $A$ y $B$ ambos distintos de cero tales que $Af+Bg$ sea la forma lineal cero.
2. Encuentra reales $A$ y $B$ tales que $Af+Bg$ sea la forma lineal $h:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con regla de asignación $h(x,y,z) = -x + 21 – z$.
3. Demuestra que es imposible encontrar reales $A$ y $B$ tales que $Af+Bg$ sea la forma lineal $j:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con regla de asignación $j(x,y,z)= -2x + 4y -3z$.
4. ¿Será posible encontrar reales $A$ y $B$ tales que $Af+Bg$ sea la forma lineal $k:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ con regla de asignación $k(x,y,z)=5x+5y+5z$?
Para cada uno de los siguientes casos, determina si las formas lineales son linealmente independientes:
1. $f(x,y)=5x+3y$, $g(x,y)=x-3y$.
2. $f(x,y,z)=5x+2y-z$, $g(x,y,z)=z$, $h(x,y,z)=x-y-z$.
3. $f(w,x,y,z)=w+y$, $g(w,x,y,z)=3x-2z$, $h(w,x,y,z)=x+y+z$, $k=(w,x,y,z)=w+2x-3z$.
Considera el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales $\mathbb{R}[x]$. Considera la función $\text{ev}_k:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}$ que a cada polinomio lo manda a su evaluación en $k$, es decir, con regla de asignación $\text{ev}_k(p)=p(k)$.
1. Demuestra que cualquier $\text{ev}_k$ es una forma lineal.
2. Sean $k_1,\ldots,k_r$ reales distintos. Muestra que $\text{ev}_{k_1},\ldots,\text{ev}_{k_r}$ son formas lineales linealmente independientes.

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Curso de Álgebra Lineal I

Geometría Analítica I: Propiedades de suma y producto escalar

Por Elsa Fernanda Torres Feria

4 respuestas

Introducción

En la actual entrada se estudian propiedades de las dos operaciones (suma vectorial y producto escalar) que se definieron anteriormente. Utilizaremos los axiomas de $\mathbb{R}$ para probar algunas de estas propiedades y las ejemplificaremos.

Propiedades de suma y producto escalar

Aunque nosotros nos enfocaremos por el momento en $\mathbb{R}^2$, el siguiente teorema se puede demostrar para $\mathbb{R}^n$, donde este último es el conjunto de todos los vectores $$x=(x_1,x_2,\ldots, x_n),$$ con $x_i \in \mathbb{R}$, $i=1,2,\ldots,n$. Conforme vayas desarrollando tu intuición matemática, te darás cuenta que realizar la generalización no es tan compleja. Recuerda que la idea es que podemos utilizar los axiomas de $\mathbb{R}$ para demostrar propiedades de las operaciones en $\mathbb{R}^2$.

Teorema. Para todos los vectores $x$, $y$, $z$ $\in \mathbb{R}^2$ y para todos los números $s$, $t$ $\in \mathbb{R}$ se cumple que:

$(x+y)+z=x+(y+z)$
$x+y=y+x$
$x+0=x$
$x+(-x)=0$
$s(tx)=(st)x$
$1x=x$
$t(x+y)=tx+ty$
$(s+t)x=sx+tx$

Por contexto se entiende que el $0$ de los puntos $3$ y $4$ corresponde al vector $(0,0)$, aunque en notación no haya distinción. Además en $4$, estamos usando la definición $-x:=(-1)x$. Aunque todo el teorema está enunciado en términos algebraicos, más adelante, en esta misma entrada, habrá algunos interactivos para que obtengas la intuición geométrica de estas propiedades.

Demostración. Para no caer en repetición del uso de ciertas herramientas, a continuación demostraremos sólo algunos de los ocho puntos. Puedes demostrar los restantes como tarea moral y pensar también en la generalización para $\mathbb{R}^n$. Comencemos.

Sean $x=(x_1,x_2)$, $y=(y_1,y_2)$, $z=(z_1,z_2)$ vectores arbitrarios en $\mathbb{R}^2$.

1. Debemos demostrar la igualdad $(x+y)+z=x+(y+z)$ en vectores.

\begin{align*}
(x+y)+z&=((x_1,x_2)+(y_1,y_2))+(z_1,z_2)\\
&=(x_1+y_1,x_2+y_2)+(z_1,z_2)\\
&=((x_1+y_1)+z_1, (x_2+y_2)+z_2)\\
&=(x_1+(y_1+z_1),x_2+(y_2+z_2))\\
&=(x_1,x_2)+((y_1,y_2)+(z_1,z_2)\\
&=(x+y)+z=x+(y+z).
\end{align*}

Para cada una de las igualdades anteriores existe una justificación. El primer renglón se da meramente por la definición de cada vector. La siguientes dos igualdades resultan de la definición de suma de vectores que, como la definimos, debe ser realizada coordenada a coordenada. Ahora, por asociatividad de la suma de los números reales, el renglón 4 es válido. El penúltimo parece un as sacado de la manga pero en realidad es de nuevo pensar en la definición de suma de vectores: tenemos una igualdad entre la suma de dos vectores y la suma de sus entradas formando el vector suma. Por último sólo sustituimos las entradas por el vector que representan.

5. Debemos demostrar la igualdad $s(tx)=(st)x$ con $s,t$ números reales y $x$ vector.

Por definición del vector $x$ tenemos:

$s(tx)=s(t(x_1,x_2))$

Por definición del producto escalar se cumplen los siguientes dos pasos:

$=s(tx_1,tx_2)$
$=(s(tx_1),s(tx_2))$

Por la asociatividad del producto en $\mathbb{R}$ pasa que:

$=((st)x_1,(st)x_2)$

De nuevo parece que el siguiente paso es otro as, pero piensa en la definición del producto escalar leyéndolo de derecha a izquierda:

$=(st)(x_1,x_2)$
$s(tx)=(st)x.$

7. Debemos demostrar la igualdad $t(x+y)=tx+ty$ con $t$ número real y $x,y$ vectores.

\begin{align*}
t(x+y)&=t((x_1,x_2)+(y_1,y_2))\\
&=t(x_1+y_1,x_2+y_2)\\
&=(t(x_1+y_1),t(x_2+y_2))\\
&=(tx_1+ty_1,tx_2+ty_2)\\
&=(tx_1,tx_2)+(ty_1,ty_2)\\
&=t(x_1,x_2)+t(y_1,y_2)\\
&=tx+ty.
\end{align*}

Resumamos los pasos. El primer paso es por definición de ambos vectores, el siguiente por definición de suma vectorial y el tercero por definición de multiplicación escalar. En este punto, en cada entrada del vector tenemos únicamente números reales por lo que podemos usar distributividad en $\mathbb{R}$. Para finalizar recordemos la definición de la suma vectorial y la multiplicación escalar leyendo ambas de derecha a izquierda.

8. Debemos demostrar la igualdad $(s+t)x=sx+tx$ con $s$ y $t$ reales y $x$ vector.

Por definición de $x$ tenemos:

$(s+t)x=(s+t)(x_1,x_2)$

Por definición del produco escalar:

$=((s+t)x_1,(s+t)x_2)$

Por distributividad de los números reales:

$=(sx_1+tx_1,sx_2+tx_2)$

Por definición de la suma vectorial:

$=(sx_1,sx_2)+(tx_1,tx_2)$

Por definición del producto escalar:

$(s+t)x=s(x_1,x_2)+t(x_1,x_2)$

$\square$

Demostramos algunas de las propiedades. Para el resto de ellas hay que seguir las mismas ideas. Si te das cuenta, lo único que utilizamos en esta demostración fueron los axiomas de los números reales, la definición de las operaciones usadas y algo de intuición para saber qué paso sigue.

Intuición geométrica de las propiedades

Si recuerdas, Descartes asoció el álgebra a la geometría y al menos en este curso, el álgebra que desarrollemos tiene un significado geométrico. A continuación describiremos algunos de los puntos que demostramos e ilustraremos otros con ayuda de GeoGebra.

1. $(x+y)+z=x+(y+z)$. En el siguiente interactivo están representados tres vectores $X$, $Y$, $Z$. En negro se encuentra el vector $X+Y+Z$. Se utiliza el método del paralelogramo de dos formas distintas: Primero, sumando $X+Y$ y al resultado sumandole $Z$. La segunda suma primero a $Y+Z$ y al resultado se suma $X$. Es notorio que por ambos caminos se llega al mismo punto correspondiente a $X+Y+Z$.

5. $s(tx)=(st)x$. En el siguiente interactivo puedes utilizar los deslizadores para cambiar los valores de $s,t \in \mathbb{R}$. Parece que sólo un vector con dos etiquetas de distinto color se mueve, pero son dos vectores (uno por cada etiqueta) ambos dependientes de $s$ y $t$ como lo indica cada lado de la igualdad. Que sólo puedas ver claramente uno, indica que hicimos lo correcto pues son dos vectores iguales.

Para los siguientes dos casos sólo describiremos lo que pasa y lo óptimo sería que lograras usar GeoGebra para hacer la representación gráfica de ellos.

7. $t(x+y)=tx+ty$. Nos indica que el resultado de sumar dos vectores primero y después multiplicarlos por un escalar es el mismo que primero multiplicar cada vector por él y luego sumar los resultados.

8. $(s+t)x=sx+tx$. Nos indica que el resultado de sumar los dos escalares primero y después multiplicar el resultado por el vector, es lo mismo que multiplicar el vector por cada escalar y sumar los resultados.

Existe un término para denotar a un conjunto con dos operaciones (suma vectorial y producto escalar), que cumple con las ocho propiedades del teorema que acabamos de demostrar: espacio vectorial. Así, este teorema se resume al decir que $\mathbb{R}^2$ con la suma vectorial y el producto escalar es un espacio vectorial.

Ecuaciones con vectores

Ahora veamos cómo podemos usar estas propiedades en la resolución de problemas. Nos serán de mucha ayuda cuando tengamos ecuaciones constituidas por vectores, ¿es posible resolverlas igual que cuando se tienen variables numéricas? Resulta que hay cosas que sí podemos realizar de la misma manera, como «pasar del otro lado» un vector sumando o restando y dividir por escalares, veámoslo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Sean $x, u, v$ $\in \mathbb{R}^2$, donde $u=(5,3)$ y $v=(-3,1)$. ¿Es posible encontrar al vector $x$ que cumpla con

$-3u+2x=v-x$?

Nuestra variable es el vector $x$, el paso más lógico es despejarlo. Sumando $3u+x$ de ambos lados tenemos

$3x=v+3u.$

Podemos ahora dividir ambos lados por el escalar $3$ y obtener

$x=\frac{v+3u}{3}$

Esto tiene sentido pues si bien tenemos un vector entre un escalar, podemos re-pensar esto como el vector multiplicado por $1/3$. En este punto podemos sustituir los valores correspondientes para $v$ y $u$ para así obtener al $x$ que buscamos

$x=\frac{(-3,1)+3(5,3)}{3}$
$=\frac{(12,10)}{3}$
$x=(4,10/3)$

$\square$

Aunque haya cosas que podemos hacer de manera equivalente a los reales en casos como el mostrado en el ejemplo, hay otras que no son viables como dividir entre un vector. Aún así, podemos obtener herramientas que nos auxilien. Para cerrar esta entrada enunciaremos y demostraremos dos lemas que servirán para trabajar con operaciones vectoriales.

Lema 1. Si $x \in \mathbb{R}^2$ y $t \in \mathbb{R}$ son tales que $tx=0$ (por contexto $0=(0.0)$), entonces $t=0$ o $x=0$.

Demostración.

Supongamos que $t\neq 0$. P. D. $x=(0,0)$.

Como $t \neq 0$, entonces existe su inverso multiplicativo $t^{-1}$ tal que $t^{-1}t=1$. Multiplicando $t^{-1}$ en ambos lados de la ecuación $tx=0$ tenemos:

$t^{-1}(tx)=t^{-1}0$
$(t^{-1}t)x=t^{-1}0=0$
$x=0$

En el primer renglón sólo multiplicamos por $t^{-1}$; el segundo es válido por el punto $5$ del teorema anterior, y lo último se da por lo enunciado arriba: $t^{-1}t=1$.

Esto ya prueba lo que queremos, pero también podríamos hacer la prueba «al revés», pensando en qué sucede cuando $x\neq 0$.

Supongamos ahora que $x \neq 0$ P.D. $t=0$.

Sea $x=(x_1,x_2)$, entonces

$tx=t(x_1,x_2)$
$=(tx_1,tx_2)=0=(0,0)$

Esto se encuentra igualado al vector $0$ por lo cual tienen que ser iguales entrada a entrada

$tx_1=0$ y $tx_2=0$

ahora, existen 3 casos que cumplen $x \neq 0$. Uno, que $x_1 \neq 0$ pero $x_2=0$. De manera análoga, el segundo es que $x_1=0$ pero $x_2 \neq 0$. Por último que tanto $x_1$ como $x_2$ sean ambos distintos de cero.

Sin perdida de generalidad, supongamos el caso 1. Como $x_1 \neq 0$, entonces

$tx_1=0$ $\rightarrow$ $t=0$,

pues esto se satisface para los números reales. La demostración del segundo caso es análoga, sólo se debe tomar $x_2$. La demostración del tercer caso se puede hacer igual que el primero, o el segundo.

$\square$

Lema 2. Si $x \in \mathbb{R}^2$ es distinto de cero y $t$, $s$ $\in \mathbb{R}$ son tales que $tx=sx$, entonces $t=s$.

Demostración.

Sea $x=(x_1,x_2)$ un vector arbitrario, podemos escribir a $tx=sx$ como

$t(x_1,x_2)=s(x_1,x_2)$
$\Rightarrow$ $(tx_1,tx_2)=(sx_1,sx_2)$

Para que se cumpla la igualdad tienen que ser iguales entrada a entrada

$\Rightarrow$ $tx_1=sx_1$ y $tx_2=sx_2.$

Como $x$ no es el vector cero, alguno de $x_1$ ó $x_2$ es distinto de cero. En este punto ya estamos operando únicamente con números reales, por lo que podemos «cancelar » $x_1$ ó $x_2$ (el que no sea cero). De aquí, concluimos que $s=t$, como queremos.

$\square$

Tarea moral

Realiza la demostración de los puntos faltantes en el teorema enunciado en esta entrada.
Realiza la representación gráfica de estos y también de los puntos que sólo fueron explicados. Puedes usar GeoGebra si así lo deseas.
Considera los vectores $u=(-9,17)$ y $v=(51,-3)$ en $\mathbb{R}^2$. Encuentra el vector $x \in \mathbb{R}^2$ tal que $3x-5u=7v-x$.
Si es posible, encuentra $a,b \in \mathbb{R}$ tales que $au+bv=w$, con $u$ y $v$ los vectores del ejemplo visto en esta entrada y $w=(37,-5)$. Si no es posible, argumenta porqué.
Así como definimos suma vectorial y producto escalar en $\mathbb{R}^2$, podríamos hacer lo mismo en $\mathbb{R}^3$ o $\mathbb{R}^n$, una vez más haciendo las operaciones entrada a entrada. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^4$ tendríamos $2(5,1,0,1)+(3,-1,0,-2)=(10,2,0,2)+(3,-1,0,-2)=(13,1,0,0)$. Demuestra que los resultados que probamos en esta entrada también se valen para $\mathbb{R}^3$ (y más en general, en $\mathbb{R}^n$).

Más adelante…

Las propiedades aquí vistas nos servirán como herramienta a lo largo del curso. Como ya las demostramos, tendremos la libertas de usarlas más adelante. Esto será de suma utilidad para cuando definamos objetos geométricos como rectas, planos, circunferencias, y queramos hablar de sus propiedades.

Geometría Analítica I: El espacio vectorial R²

Por Elsa Fernanda Torres Feria

3 respuestas

Introducción

En la entrada anterior llegamos a una equivalencia entre un punto en el plano euclidiano y parejas de números $(x,y)$, donde $x, y \in \mathbb{R}$. Podemos imaginarnos entonces el conjunto de todas las parejas ordenadas de números reales como $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$, donde $\times$ hace referencia al producto cartesiano (en general para conjuntos $A$ y $B$, $A \times B := \{ (a,b) : a \in A, b \in B \}$).

Con esto en mente, es posible imaginaros a los postulados de Euclides ya no como afirmaciones incuestionables, sino como consecuencias de una geometría construida a partir de las parejas de números reales. Ahora nuestra base será la teoría de conjuntos, los números reales y las parejas ordenadas. Usaremos los axiomas y propiedades que tienen para construir nuestros objetos.

Para entender mejor cómo se trabajará en el espacio formado por todas las parejas $(x,y)$ de reales, comencemos esta entrada hablando de los números reales.

Los números reales

Como advertencia, esta sección tiene muchos símbolos. Es normal. Muy muy a grandes rasgos, lo que queremos recordar aquí es que los reales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (excepto divisiones entre cero). Y que todas estas operaciones tienen propiedades bonitas.

A partir de este punto, pensaremos en los reales como algo que sabemos con seguridad puede ser construido, y tomaremos como ciertos todos los axiomas que éstos cumplen. Los axiomas se pueden resumir en la siguiente frase, que desglosaremos una vez enunciada:

«$\mathbb{R}$ es un campo ordenado y completo»

Que $\mathbb{R}$ sea un campo hace referencia a que como conjunto, tiene las operaciones de suma ($+$) y producto ($\cdot$) definidas tales que:

$\mathbb{R}$ con la suma, es un grupo conmutativo
- La suma es asociativa, es decir: $ \forall a,b,c \in \mathbb{R}$, se tiene que $(a+b)+c=a+(b+c)$ ($\forall$ se lee para todo).
- Existe $ 0 \in \mathbb{R}$ tal que $\forall a \in \mathbb{R}$, $a+0=a=0+a$
- Existe $ b \in \mathbb{R}$ tal que $a+b=0=b+a$. ($b=-a$)
- Es conmutativa, es decir, $\forall a,b \in \mathbb{R}$, se tiene que $a+b=b+a$.
$\mathbb{R} \setminus \{0\}$ (los reales sin el elemento cero) con el producto, es un grupo conmutativo; de manera análoga a la suma tenemos:
- El producto es asociativo: $\forall a,b,c \in \mathbb{R}$, se tiene que $(ab)c=a(bc)$ (nota que estamos omitiendo el símbolo de multiplicación).
- Existe $ 1 \in \mathbb{R}$ tal que $\forall a \in \mathbb{R}$, $a\cdot1=a=1\cdot a$
- Existe $ b \in \mathbb{R}$ tal que $ab=1=ba$. ($b=\frac{1}{a}$)
- Es conmutativo, es decir, $\forall a,b \in \mathbb{R}$, se tiene que $ab=ba$.
La suma y el producto se distribuyen: $\forall a,b,c \in \mathbb{R}$, se tiene que $a(b+c)=ab+ac$

Que sea ordenado nos indica que tenemos una relación que es un orden total y es compatible con la suma y el producto. $\forall a,b \in \mathbb{R}$:

Se cumple exactamente una de las siguientes relaciones: $a<b$, $b<a$, $a=b$.
Si $a \leq b$ y $b \leq c$, entonces $a \leq c$.
Si $a \leq b$, entonces $a+c \leq b+c$
Si $a,b \geq 0$ , entonces $ab \geq 0$

Por último, que sea completo es una noción formal en la cual no nos enfocaremos mucho, pero que a grandes rasgos quiere decir que en los números reales «no hay hoyos», lo cual es muy importante para cuando se quiere usar este sistema numérico para hacer cálculo diferencial e integral.

Por lo que vimos en la entrada anterior, podemos representar cualquier punto en el espacio euclidiano con una pareja de números reales. Ya que hemos dado un pequeño repaso formal de la estructura de $\mathbb{R}$ (todo esto lo cumple cada entrada de un punto $(a,b)$), demos el siguiente paso y exploremos el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$.

Espacio vectorial $\mathbb{R}^2$

Comencemos definiendo formalmente un concepto que exploramos en la entrada anterior: el vector.

Definición. Un vector $v$ con dos entradas, es una pareja ordenada de números reales $v=(x,y)$.

Ejemplos. Algunos vectores en $\mathbb{R}^2$ son:

$(1,4)$
$(-3,2)$
$(\pi,1)$
$(2.3,-e)$

Utiliza el siguiente interactivo de GeoGebra: mueve el punto $C$ y explora cómo el vector cambia con esta acción.

Definición. El conjunto de todos los vectores con dos elementos (ambos reales) es $\mathbb{R}^2$. En símbolos tenemos que:

$\mathbb{R}^2=\{(x,y): x,y \in \mathbb{R} \}$

Si realizaste la tarea moral anterior, te habrás dado cuenta que podemos encontrar ciertas regiones geométricas al imponer condiciones sobre las entradas de un vector. En la tarea se hace referencia a áreas muy determinadas conocidas como cuadrantes, pero no son las únicas regiones existentes. Hagamos un ejercicio de esto.

Problema. Ubica dentro del plano de dos dimensiones las siguientes regiones geométricas definidas al imponer ciertas restricciones en las entradas de un vector:

$\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq 0, y \geq 1 \}$
$\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq \pi , y \leq \pi \}$
$\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq y \}$

Solución. Para encontrar estas áreas basta con ubicar la región en la que se vale cada condición por separado. La intersección de las regiones será la región que buscamos. Esto se vale para los dos primeros incisos.

Utiliza el siguiente interactivo de GeoGebra en el que ya están las condiciones para visualizar la primera región geométrica para localizar la región del segundo inciso.

¿Qué pasa con el inciso 3? Puede parecer más complicado porque ahora las coordenadas están conectadas en una sola restricción. Antes de introducir la condición en GeoGebra, imagina cuál es la región en la que la condición se cumple.

Ahora, utilicemos el siguiente interactivo para usar lo que ya sabemos y determinar intuitivamente cuál es el área que determina la condición $x \geq y$. Pensemos en el caso específico $x = 1$, $y$ puede ser a lo más $1$ ($y \leq 1$); al restringir nuestra $x$ podemos obtener dos condiciones a partir de las cuales ya sabemos cómo encontrar la región en las que se cumplen. Si ves el interactivo, notarás que la intersección de las regiones es únicamente la recta definida por $x=1$ pero no toda, sino que sólo a partir de cuando $y=1$ hacia abajo. ¿qué pasa si mueves los deslizadores para cambiar los valores de $x$ y $y$ ? Se obtienen segmentos de recta correspondientes a un valor de $x$ fijo que comienzan cuando $y$ es menor o igual a ese valor.

Resulta que estos segmentos de recta se obtienen para cualquier valor de $x$. ¿qué pasa ahora cuando unes todas estas líneas? En este punto es importante recordar que en $\mathbb{R}$ hay un real entre cada dos reales. Entonces, se puede construir el segmento de recta del que hemos hablado. Por lo que la únión de todas estas rectas define un área, ¿ya imaginas cuál es? Verifícalo al escribir la condición $y \leq x$ en el interactivo anterior.

$\square$

La suma en $\mathbb{R}^2$

Regresando a la teoría, el siguiente paso lógico después de definir ciertos objetos (en este caso vectores), es averiguar cómo operan. Definamos entonces la suma y el producto escalar de vectores haciendo uso del conocimiento que ya tenemos acerca de las operaciones en los reales.

Definición. Sean $v_1, v_2 \in \mathbb{R}^2$ dados por $v_1=(x_1,y_1)$ y $v_1=(y_1,y_2)$. Su suma está dada por el vector

$v_1+v_2 := (x_1+x_2,y_1+y_2)$

Esto es, que la suma de vectoes se hace entrada a entrada y esta bien definida pues al final lo que estamos sumando son números reales.

Ejemplos.

$(-3,4) + (2,2)=(-3+2,4+2)=(-1,6)$
$(7,4) + (2,1)=(7+2,4+1)=(9,5)$
$(-3.-7) + (1,2)=(-3+1,-7+2)=(-2,-5)$

En el siguiente interactivo podrás ver el primer ejemplo de manera gráfica en el plano, donde los vectores de colores son los que se suman y el vector negro es el resultante.

Además de poder obtener el vector suma de manera algebraica hay otra manera más de hacerlo: En el mismo interactivo hay una copia de cada vector de color, escoge uno de los dos vectores de la suma y transpórtalo por completo y paralelo a sí mismo para que su punto de inicio no sea el origen, si no el punto donde termina el otro vector. Por ejemplo, deja el vector azul en su lugar y transporta al verde para que su punto de partida sea la flecha del vector azul. Si lo hiciste correctamente, notarás que ahora ese vector transportado termina en donde el vector resultante de la suma (negro) termina. Resulta que si quieres sumar dos vectores, puedes avanzar desde el origen hasta las coordenadas de uno de ellos y ahora »tomando» como origen ese punto al que llegaste, avanzar las coordenadas del otro vector. Al final llegarás al punto del vector resultante de la suma. Este método es conocido como el método del paralelogramo.

El producto escalar en $\mathbb{R}^2$

Otra operación importante en $\mathbb{R}^2$ es el producto escalar, que intuitivamente combina a un real y a un vector y «reescala» al vector por el factor dado por el número real.

Definición. Para $r$ un número real y $v_1 \in \mathbb{R}^2$ dado por $v_1=(x,y)$, el producto escalar $rv$ está dado por:

$rv:=(rx,ry)$

Ejemplos.

$4(7,3.5)=(28,14)$
$2(5,3)=(10,6)$
$2.3(6,3)=(13.8,6.9)$

Utiliza el siguiente interactivo moviendo el deslizador del valor $a$ que multiplica al vector $(5,3)$ para interiorizar lo que implica multiplicar un vector por un escalar. Si lo notas, lo único que hace es reescalarlo, y si el escalar es negativo, entonces le cambia el sentido, pero no la dirección.

Una última cosa que es muy importante mencionar es que hasta ahora no hemos dicho cómo multiplicar dos (o más vectores). Sólo tenemos un producto que toma un escalar (un real) y lo multiplica con un vector, cuyo resultado acaba siendo un vector.

Tarea moral

Sean $v=(8,9)$, $w=(3,-2)$, $u=(-5-4)$. Calcula y dibuja las siguientes operaciones de vectores:
- $5v+3u$
- $u-3w$
- $2.5v+9w-u$
Demuestra en $\mathbb{R}$ que si $-1$ es el inverso aditivo de $1$, entonces $-a$ es el inverso aditivo de $a$.
Por los axiomas, sabemos que la conmutatividad se vale para la suma de reales, es decir, que si $a$ y $b$ son reales, entonces $a+b=b+a$. Pero en esta entrada definimos una nueva suma: la de vectores. De entrada, no sabemos qué propiedades cumple. A partir de las definiciones que dimos, y de los axiomas de los reales, demuestra que también se tiene $u+v=v+u$ para $u$ y $v$ vectores en $\mathbb{R}^2$.
Determina, si es posible, las regiones siguientes geométricas. Si dicha región es vacía, argumenta por qué.
- $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq y, y \geq x \}$
- $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq y, y > x \}$
- $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \leq 3, y > \pi \}$
En el interactivo de producto escalar siempre sucede que la línea que pasa por el extremo del vector verde y el extremo del vector rojo siempre pasa por el origen. ¿Por qué sucede esto?

Más adelante…

En esta entrada dimos un breve repaso acerca de los números reales que nos sirvió para entender el espacio $\mathbb{R}^2$ y las operaciones dentro de este. El desarrollo aquí hecho servirá como herramienta para construir la representación algebraica de una recta.