Esta es la página del curso de Ecuaciones Diferenciales I.
En este curso se cubre el temario oficial de Ecuaciones Diferenciales I de la Facultad de Ciencias de la UNAM.
Contenido
Organización del curso
El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.
- Unidad 1: Ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de primer orden
- Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de segundo orden
- Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden
- Unidad 4: Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales
El curso ha sido dividido en una sección de notas y una de videos. En ambos se expone el mismo temario, sin embargo funcionan como complemento para entender, desde dos perspectivas distintas, los distintos temas de Ecuaciones Diferenciales, además de que ocasionalmente habrá temas mayormente desarrollados en una sección que en otra.
Notas del curso
Las notas del curso han sido elaboradas por Omar González Franco.
Unidad 1: Ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de primer orden
- Introducción a las ecuaciones diferenciales
- Soluciones a las ecuaciones diferenciales
- Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos
- Campos de pendientes y su ecuación diferencial asociada
- Ecuaciones diferenciales autónomas
- Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden – Método por factor integrante
- Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y el teorema de existencia y unicidad – Método de variación de parámetros
- Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden – Ecuaciones separables y homogéneas
- Ecuaciones diferenciales exactas
- Ecuación de Bernoulli y ecuación de Riccati
- Teorema de Existencia y Unicidad – Ecuación Integral, Funciones Lipschitzianas y Lema de Gronwall
- Teorema de Existencia y Unicidad – Iterantes de Picard y Convergencia
- Demostración del Teorema de Existencia y Unicidad de Picard – Lindelöf
Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de segundo orden
- Método de reducción de orden
- Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes
- Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden – Método de coeficientes indeterminados
- Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden – Método de variación de parámetros
- Ecuación de Cauchy – Euler
- Oscilaciones mecánicas
- Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Soluciones en series de potencias respecto a puntos ordinarios
- Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Soluciones en series de potencias respecto a puntos singulares
- Ecuaciones del Hermite, Laguerre y Legendre
- Ecuaciones de Bessel, Chebyshev e Hipergeométrica
Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden
- Sistemas de ecuaciones diferenciales
- Soluciones a sistemas de ecuaciones diferenciales
- Exponencial de una matriz y matriz fundamental de soluciones
- Método de eliminación de variables
- Valores y vectores propios para resolver sistemas lineales
- Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios distintos
- Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios complejos
- Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios repetidos
- Sistemas lineales no homogéneos – Método de variación de parámetros
- Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales
- Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden
Unidad 4: Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales
- Introducción a la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales
- Sistemas autónomos, puntos de equilibrio y su estabilidad
- Propiedades cualitativas de las trayectorias
- Teoría cualitativa de los sistemas lineales homogéneos – Valores propios reales y distintos
- Teoría cualitativa de los sistemas lineales homogéneos – Valores propios complejos
- Teoría cualitativa de los sistemas lineales homogéneos – Valores propios repetidos
- Teoría cualitativa de los sistemas lineales homogéneos – Valores propios nulos
- El plano Traza – Determinante
- Linealización de los puntos de equilibrio de sistemas no lineales
- Las nulclinas en el estudio cualitativo de los sistemas no lineales
- Teorema de Poincaré – Bendixson en el plano
Videos del curso
Los videos del curso han sido elaborados por Eduardo Vera Rosales.
Unidad 1: Introducción al curso y ecuaciones diferenciales de primer orden
- Introducción al curso y definiciones básicas
- Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial, curvas integrales y método de las isoclinas
- Ecuaciones autónomas, soluciones de equilibrio, línea fase y esbozo de soluciones
- Ecuaciones lineales homogéneas de primer orden
- Ecuaciones lineales no homogéneas. Solución por factor integrante y por variación de parámetros
- Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden
- Ecuaciones no lineales de primer orden separables
- Ecuaciones diferenciales exactas
- Ecuaciones de Bernoulli y Riccati
Unidad 2: Ecuaciones diferenciales de segundo orden
- Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Propiedades del conjunto de soluciones
- Método de reducción de orden
- Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
- Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Solución por variación de parámetros
- Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Solución por coeficientes indeterminados
- Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Solución por series de potencias cerca de un punto ordinario
- Ecuación diferencial de Euler
- Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Solución por series cerca de un punto singular regular
- Ecuaciones de Hermite y Laguerre
- Ecuaciones de Bessel y Legendre
- Ecuaciones de Chebyshev e hipergeométrica
Unidad 3: Sistemas de ecuaciones de primer orden lineales
- Introducción a sistemas de ecuaciones de primer orden
- Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones de primer orden
- Método de eliminación de variables
- La exponencial de una matriz
- Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales de primer orden con coeficientes constantes
- Método de valores y vectores propios para calcular la exponencial de una matriz diagonalizable
- Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios distintos
- Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios complejos
- Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios repetidos
- Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneas. Solución por variación de parámetros
Unidad 4: Teoría cualitativa de sistemas de ecuaciones de primer orden
- Geometría de soluciones a sistemas de dos ecuaciones de primer orden. Plano fase y campo vectorial asociado
- Puntos de equilibrio y estabilidad para sistemas de dos ecuaciones de primer orden
- Plano fase para sistemas lineales con valores propios reales distintos no nulos
- Plano fase para sistemas lineales con valores propios complejos
- Plano fase para sistemas lineales con valores propios repetidos
- Plano fase para sistemas lineales con cero como valor propio
- El plano traza-determinante
- Sistemas de ecuaciones no lineales. Linealización de puntos de equilibrio
- Sistemas de ecuaciones no lineales. Las nulclinas y el plano fase
- Sistemas hamiltonianos
- Funciones de Lyapunov
- Sistemas gradiente
Moodle del curso
Además de las notas y videos del curso, se encuentra en preparación un curso en Moodle en donde habrá mucho más material:
- Foros de discusión divididos por cada unidad temática
- Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
- Tareas y exámenes
Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
La principal bibliografía usada para las notas es:
- Carmona I. & Filio E. (2011). Ecuaciones Diferenciales. (5° ed.). Pearson Educación, México.
- Nagle R. & Saff E. & Snider A. (2005). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera. (O. A. Palmas, Trad.). (4° ed.). Pearson Educación, México.
- Edwards, H. & Penney D. (2009). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con valores en la frontera. Computo y Modelado (R. I. Vivar, Trad.). (4th ed.). Pearson Educación, México.
- Dennis Z. (2013). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. (10th ed.). Brooks/Cole.
- Brannan J. & Boyce W. (2007). Differential Equations. An Introduction to Modern Methods and Applications. (2nd ed.). John Wiley & Sons, Inc.
- Blanchard P. & Devaney R. & Hall G. (1998). Differential Equations. Brooks/Cole.
- Braun M. (1983). Differential Equations and Their Applications. Springer-Verlag, New York.
- Agarwal R. & O´Regan D. (2008). An Introduction to Ordinary Differential Equations. Springer.
La principal bibliografía para los videos es:
- Ecuaciones Diferenciales, Paul Blanchard, Robert L. Devaney y Glen R. Hall.
- Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, William E. Boyce y Richard C. DiPrima.
- Ecuaciones Diferenciales y sus aplicaciones, Braun.
En algunas entradas referentes a videos aparecen enlaces a biografías de diversos matemáticos. Estas biografías son consultadas en la siguiente página web.
- MacTutor History of Mathematics Archive. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/
Créditos
Las siguientes personas han colaborado en crear el material para este curso.
- Omar González Franco
- Eduardo Vera Rosales
- Sandra Cecilia Pérez Valles
- Carlos Joaquín Castañeda Castro