Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones de Bessel, Chebyshev e Hipergeométrica

Introducción

En la entrada anterior resolvimos 3 de las ecuaciones diferenciales especiales que deseamos resolver, en esta entrada concluiremos con el resto de ecuaciones.

Recordemos que las ecuaciones diferenciales especiales que deseamos resolver son:

  • Ecuación de Hermite:

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2x \dfrac{dy}{dx} + \lambda y = 0$$

  • Ecuación de Laguerre:

$$x \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + (1 -x) \dfrac{dy}{dx} + \lambda y = 0$$

  • Ecuación de Legendre:

$$(1 -x^{2}) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2x \dfrac{dy}{dx} + \lambda(\lambda + 1) y = 0$$

  • Ecuación de Bessel:

$$x^{2} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + x \dfrac{dy}{dx} + (x^{2} -\lambda^{2}) y = 0$$

  • Ecuación de Chebyshev:

$$(1 -x^{2}) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -x \dfrac{dy}{dx} + \lambda^{2} y = 0$$

  • Ecuación Hipergeométrica de Gauss:

$$x(1 -x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + [\gamma -(\alpha + \beta + 1)x] \dfrac{dy}{dx} -\alpha \beta y = 0$$

  • Ecuación de Airy:

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -xy = 0$$

Resolvamos ahora la ecuación de Bessel.

Ecuación de Bessel

La ecuación de Bessel es

$$x^{2} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + x \dfrac{dy}{dx} + (x^{2} -\lambda^{2}) y = 0 \label{1} \tag{1}$$

Con $\lambda \in \mathbb{R}$. La ecuación de Bessel es una ecuación diferencial de segundo orden pero suele denominarse de orden $\lambda$.

Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846) fue un matemático y astrónomo alemán conocido por generalizar las llamadas funciones de Bessel, éstas funciones son soluciones canónicas de la ecuación de Bessel. Las funciones de Bessel fueron definidas primero por el matemático Daniel Bernoulli. Como astrónomo Bessel fue el primero en determinar el paralaje de una estrella, publicando en 1838 los datos que había calculado de 61 Cygni.

Resolvamos la ecuación. Dividamos todo por $x^{2}$ para obtener la forma estándar.

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{1}{x} \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{(x^{2} -\lambda^{2})}{x^{2}} y = 0$$

Identificamos que

$$P(x) = \dfrac{1}{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x) = \dfrac{(x^{2} -\lambda^{2})}{x^{2}}$$

Es claro que ambas funciones no están definidas en $x = 0$, de manera que este punto es un punto singular. Definiendo las funcions $p(x)$ y $q(x)$ obtenemos que

$$p(x) = 1 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} q(x) = x^{2} -\lambda^{2}$$

Si calculamos los límites se tiene lo siguiente

$$\lim_{x \to 0}p(x) = 1 \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \lim_{x \to 0}q(x) = -\lambda^{2}$$

Los límites existen, esto nos indica que el punto $x_{0} = 0$ es un punto singular regular. La solución para este caso es de la forma

$$y(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n + r}$$

Las derivadas son

$$\dfrac{dy}{dx} = \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r -1} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)(n + r -1)c_{n}x^{n + r -2}$$

Sustituimos en la ecuación de Bessel.

$$x^{2} \left[ \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)(n + r -1)c_{n}x^{n + r -2} \right] + x \left[ \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r -1} \right] + (x^{2} -\lambda^{2}) \left[ \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n + r} \right] = 0$$

Expandiendo y simplificando se tiene

$$\sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)(n + r -1)c_{n}x^{n + r} + \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r} + \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n + r + 2} -\lambda^{2}\sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n + r} = 0$$

En la tercer serie hacemos la sustitución $n = k -2$ y en el resto hacemos $k = n$.

$$\sum_{k = 0}^{\infty}(k + r)(k + r -1)c_{k}x^{k + r} + \sum_{k = 0}^{\infty}(k + r)c_{k}x^{k + r} + \sum_{k = 2}^{\infty}c_{k -2}x^{k + r} -\lambda^{2}\sum_{k = 0}^{\infty}c_{k}x^{k + r} = 0$$

Necesitamos extraer los términos para $k = 0$ y $k = 1$ para hacer que todas las series comiencen en $k = 2$.

Para $k = 0$ se obtiene la ecuación indicial.

\begin{align*}
r(r -1)c_{0}x^{r} + rc_{0}x^{r} -\lambda^{2}c_{0}x^{r} &= 0 \\
c_{0}x^{r}[r(r -1) + r -\lambda^{2}] &= 0 \\
r(r -1) + r -\lambda^{2} &= 0
\end{align*}

La ecuación indicial es $r^{2} -\lambda^{2} = 0$, de donde $r_{1} = \lambda$ y $r_{2} = -\lambda$.

Para $k = 1$ se obtiene

\begin{align*}
(r + 1)rc_{1}x^{r + 1} + (r + 1)c_{1}x^{r + 1} -\lambda^{2}c_{1}x^{r + 1} &= 0 \\
c_{1}x^{r + 1}[(r + 1)r + (r + 1) -\lambda^{2}] &= 0 \\
\end{align*}

Como lo que esta entre corchetes no se anula para las raíces de la ecuación indicial, entonces debe ser que $c_{1} = 0$.

Ahora tenemos la ecuación

$$\sum_{k = 2}^{\infty}(k + r)(k + r -1)c_{k}x^{k + r} + \sum_{k = 2}^{\infty}(k + r)c_{k}x^{k + r} + \sum_{k = 2}^{\infty}c_{k -2}x^{k + r} -\lambda^{2}\sum_{k = 2}^{\infty}c_{k}x^{k + r} = 0$$

Reescribiendo todo en una serie se tiene

$$\sum_{k = 2}^{\infty} [(k + r)(k + r -1)c_{k} + (k + r)c_{k} + c_{k -2} -\lambda^{2}c_{k}] x^{k + r} = 0$$

De donde

$$c_{k}[(k + r)(k + r -1) + (k + r) -\lambda^{2}] + c_{k -2} = 0$$

Despejando a $c_{k}$ obtenemos la relación de recurrencia

$$c_{k} = \dfrac{c_{k -2}}{\lambda^{2} -(r + k)^{2}}, \hspace{1cm} k = 2, 3, 4, \cdots$$

Para el caso en el que $r = \lambda$ la relación de recurrencia es

$$c_{k} = -\dfrac{c_{k -2}}{k(k + 2\lambda)}, \hspace{1cm} k = 2, 3, 4, \cdots$$

Determinemos los coeficientes para este caso.

$k = 2$:

$$c_{2} = -\dfrac{c_{0}}{2(2 + 2\lambda)} = -\dfrac{1}{4(1 + \lambda)}c_{0}$$

$k = 3$:

$$c_{3} = \dfrac{c_{1}}{3(3 + 2\lambda)}$$

Pero $c_{1} = 0$, entonces $c_{3} = 0$. En general $c_{1} = c_{3} = c_{5} = \cdots = 0$.

Para $k = 4$ se tiene

$$c_{4} = -\dfrac{c_{2}}{4(4 + 2\lambda)} = \dfrac{1}{(4)(8)(1 + \lambda)(2 + \lambda)}c_{0}$$

$k = 6$:

$$c_{6} = -\dfrac{c_{4}}{6(6 + 2\lambda)} = -\dfrac{1}{(4)(8)(12)(1 + \lambda)(2 + \lambda)(3 + \lambda)}c_{0}$$

En general

$$c_{2k} = \dfrac{(-1)^{k}}{2^{2k}k!(1 + \lambda)(2 + \lambda)(3 + \lambda) \cdots (k + \lambda)}c_{0}$$

Entonces la primer solución a la ecuación de Bessel es

$$\hat{y}(x) = c_{0}y_{1}(x)$$

Con

\begin{align*}
y_{1}(x) &= 1 -\dfrac{1}{4(1 + \lambda)}x^{2} + \dfrac{1}{(4)(8)(1 + \lambda)(2 + \lambda)}x^{4} -\dfrac{1}{(4)(8)(12)(1 + \lambda)(2 + \lambda)(3 + \lambda)}x^{6} + \cdots \\
&\cdots + (-1)^{k} \dfrac{1}{2^{2k}k!(1 + \lambda)(2 + \lambda)(3 + \lambda) \cdots (k + \lambda)}x^{2k + \lambda} + \cdots \label{2} \tag{2}
\end{align*}

No obtendremos la segunda solución para $r = -\lambda$, pero si que aún podemos decir más de la primer solución y con ello conocer la forma de la segunda solución.

La función Gamma nos será de bastante ayuda así que en caso de que no la conozcas basta saber que se define de la siguiente manera:

Definición: La función Gamma se define como

$$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x -1}e^{-t} dt \label{3} \tag{3}$$

La convergencia de la integral requiere que $x -1 > -1$, o bien, $x > 0$.

La función Gamma posee la propiedad conveniente de que

$$\Gamma (1 + x) = x \Gamma(x) \label{4} \tag{4}$$

Debido a esta propiedad es que al valor arbitrario $c_{0}$ de la solución a la ecuación de Bessel se le suele atribuir el valor

$$c_{0} = \dfrac{1}{2^{\lambda} \Gamma(1 + \lambda)}$$

Como

\begin{align*}
\Gamma (1 + \lambda + 1) &= (1 + \lambda)\Gamma(1 + \lambda) \\
\Gamma (1 + \lambda + 2) &= (2 + \lambda)\Gamma(2 + \lambda) = (2 + \lambda)(1 + \lambda)\Gamma(1 + \lambda) \\
&\vdots \\
\Gamma(1 + \lambda + k) &= (1 + \lambda)(2 + \lambda) \cdots (k + \lambda)\Gamma (1 + \lambda)
\end{align*}

Entonces el coeficiente $c_{2k}$ se puede escribir como

\begin{align*}
c_{2k} &= \left( \dfrac{1}{2^{\lambda} \Gamma(1 + \lambda)} \right) \left( \dfrac{(-1)^{k}}{2^{2k}k!(1 + \lambda)(2 + \lambda)(3 + \lambda) \cdots (k + \lambda)} \right) \\
&= \dfrac{(-1)^{k}}{2^{2k + \lambda}k!(1 + \lambda)(2 + \lambda) \cdots (k + \lambda)\Gamma(1 + \lambda)} \\
&= \dfrac{(-1)^{k}}{2^{2k + \lambda}k!\Gamma(1 + \lambda + k)}
\end{align*}

Para $k = 0, 1, 2, 3, \cdots$. Usando esta forma de los coeficientes, la solución a la ecuación de Bessel para $r = \lambda$ se puede escribir de la siguiente manera, usualmente denotada por $J_{\lambda}(x)$:

$$J_{\lambda}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(1 + \lambda + n)} \left( \dfrac{x}{2} \right)^{2n + \lambda} \label{5} \tag{5}$$

Si $\lambda \geq 0$, la serie converge al menos en el intervalo $[0, \infty)$.

De tarea moral demuestra que para $r = -\lambda$ la segunda solución a la ecuación de Bessel es

$$J_{-\lambda}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(1 -\lambda + n)} \left( \dfrac{x}{2} \right)^{2n -\lambda} \label{6} \tag{6}$$

Por lo tanto, la solución general a la ecuación de Bessel es

$$y(x) = C_{1} J_{\lambda}(x) + C_{2} J_{-\lambda}(x) \label{7} \tag{7}$$

Las funciones $J_{\lambda}(x)$ y $J_{-\lambda}(x)$ se llaman funciones de Bessel de primera clase de orden $\lambda$ y $-\lambda$ respectivamente.

Dependiendo del valor de $\lambda$ la solución puede contener potencias negativas de $x$ y, por tanto, converger en $(0, \infty)$.

Debemos tener cuidado con la solución general (\ref{7}).

  • Si $\lambda = 0$ es claro que las soluciones (\ref{5}) y (\ref{6}) son las mismas.
  • Si $\lambda > 0$ y $r_{1} -r_{2} = \lambda -(-\lambda) = 2\lambda$ no es un entero positivo, entonces (\ref{5}) y (\ref{6}) son linealmente independientes y (\ref{7}) es la solución general, pero
  • Si $r_{1} -r_{2} = 2\lambda$ es un entero positivo podría existir una segunda solución en serie y entonces las soluciones (\ref{5}) y (\ref{6}) no son linealmente independientes lo que significa que (\ref{7}) no es la solución general.

Observa que $2\lambda$ es entero positivo si $\lambda$ es un entero positivo, pero también lo es si $\lambda$ es la mitad de un número impar positivo, sin embargo en este último caso se puede demostrar que (\ref{5}) y (\ref{6}) si son linealmente independientes. Por lo tanto, la solución general a la ecuación de Bessel es (\ref{7}) siempre que $\lambda \neq$ entero.

Ecuación de Chebyshev

La ecuación de Chebyshev es

$$(1 -x^{2}) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -x \dfrac{dy}{dx} + \lambda^{2} y = 0 \label{8} \tag{8}$$

Con $\lambda$ una constante real (o compleja) y $|x| < 1$.

Esta ecuación lleva el nombre del matemático ruso Pafnuty Chebyshev (1821-1894) conocido por su trabajo en el área de la probabilidad y estadística.

La ecuación de Chebyshev en su forma estándar es

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{x}{1 -x^{2}} \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{\lambda^{2}}{1 -x^{2}} y = 0$$

Identificamos que

$$P(x) = -\dfrac{x}{1 -x^{2}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x) = \dfrac{\lambda^{2}}{1 -x^{2}}$$

Ambas funciones no están definidas en $x = 1$ ni $x = -1$, pero si en el punto $x_{0} = 0$, entonces dicho punto es un punto ordinario y por tanto la solución es de la forma

$$y(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n}$$

La primera y segunda derivada son

$$\dfrac{dy}{dx} = \sum_{n = 1}^{\infty}nc_{n}x^{n -1} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sum_{n = 2}^{\infty}n(n -1)c_{n}x^{n -2}$$

Sustituimos en la ecuación de Chevyshev.

$$(1 -x^{2}) \left[ \sum_{n = 2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2} \right] -x \left[ \sum_{n = 1}^{\infty}nc_{n}x^{n -1} \right] + \lambda^{2} \left[ \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n} \right] = 0$$

Expandiendo y simplificando se tiene

$$\sum_{n = 2}^{\infty}n(n -1)c_{n}x^{n -2} -\sum_{n = 2}^{\infty}n(n -1)c_{n}x^{n} -\sum_{n = 1}^{\infty}nc_{n}x^{n} + \lambda^{2} \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n} = 0$$

En la primer serie hacemos $k = n -2$ y en el resto $k = n$.

$$\sum_{k = 0}^{\infty}(k + 2)(k + 1)c_{k + 2}x^{k} -\sum_{k = 2}^{\infty}k(k -1)c_{k}x^{k} -\sum_{k = 1}^{\infty}kc_{k}x^{k}+\lambda^{2} \sum_{k = 0}^{\infty}c_{k}x^{k} = 0$$

Extraemos los primeros dos términos, por un lado para $k = 0$ se tiene

$$2c_{2} + \lambda^{2}c_{0} = 0$$

de donde $c_{2} = -\dfrac{\lambda^{2}}{2}c_{0}$. Por otro lado, para $k = 1$ se tiene

\begin{align*}
6c_{3}x -c_{1}x + \lambda^{2}c_{1}x &= 0 \\
[6c_{3} -c_{1} + \lambda^{2}c_{1}]x &= 0 \\
6c_{3} -c_{1} + \lambda^{2}c_{1} &= 0
\end{align*}

De donde $c_{3} = \dfrac{1 -\lambda^{2}}{6}c_{1}$. Ahora tenemos la ecuación

$$\sum_{k = 2}^{\infty}(k + 2)(k + 1)c_{k + 2}x^{k} -\sum_{k = 2}^{\infty}k(k -1)c_{k}x^{k} -\sum_{k = 2}^{\infty}kc_{k}x^{k} + \lambda^{2} \sum_{k = 2}^{\infty}c_{k}x^{k} = 0$$

Si juntamos todo en una serie se obtiene

$$\sum_{k = 2}^{\infty} \left[ (k + 2)(k + 1)c_{k + 2} -k(k -1)c_{k} -kc_{k} + \lambda^{2}c_{k} \right]x^{k} = 0$$

De donde

$$(k + 2)(k + 1)c_{k + 2} -[k(k -1) + k -\lambda^{2}]c_{k} = 0$$

Si despejamos a $c_{k + 2}$ obtenemos la relación de recurrencia

$$c_{k + 2} = \dfrac{k^{2} -\lambda^{2}}{(k + 1)(k + 2)}c_{k}, \hspace{1cm} k = 0, 1, 2, 3, \cdots$$

Ya vimos que para $k = 0$ se tiene

$$c_{2} = -\dfrac{\lambda^{2}}{2!}c_{0}$$

Y para $k = 1$ se obtuvo

$$c_{3} = \dfrac{1 -\lambda^{2}}{3!}c_{1}$$

Para $k = 2$ se tiene

$$c_{4} = \dfrac{2^{2} -\lambda^{2}}{(4)(3)}c_{2} = \dfrac{2^{2} -\lambda^{2}}{(4)(3)} \left( -\dfrac{\lambda^{2}}{2}c_{0} \right) = \dfrac{(2^{2} -\lambda^{2})(-\lambda^{2})}{4!}c_{0}$$

$k = 3$:

$$c_{5} = \dfrac{3^{2} -\lambda^{2}}{(5)(4)}c_{3} = \dfrac{3^{2} -\lambda^{2}}{(5)(4)} \left( \dfrac{1 -\lambda^{2}}{3!}c_{1} \right) = \dfrac{(3^{2} -\lambda^{2})(1 -\lambda^{2})}{5!}c_{1}$$

$k = 4$:

$$c_{6} = \dfrac{4^{2} -\lambda^{2}}{(6)(5)}c_{4} = \dfrac{4^{2} -\lambda^{2}}{(6)(5)} \left( \dfrac{(2^{2} -\lambda^{2})(-\lambda^{2})}{4!}c_{0} \right) = \dfrac{(4^{2} -\lambda^{2})(2^{2} -\lambda^{2})(-\lambda^{2})}{6!}c_{0}$$

Etcétera, con estos resultado podemos observar el patrón

$$c_{2k} = \dfrac{[(2k -2)^{2} -\lambda^{2}][(2k -4)^{2} -\lambda^{2}] \cdots (2^{2} -\lambda^{2})(-\lambda^{2})}{(2k)!}c_{0}$$

y

$$c_{2k + 1} = \dfrac{[(2k -1)^{2} -\lambda^{2}][(2k -3)^{2}-\lambda^{2}] \cdots (3^{2} -\lambda^{2})(1 -\lambda^{2})}{(2k + 1)!}c_{1}$$

Si tomamos como factores comunes a $C_{1} = c_{0}$ y $C_{2} = c_{1}$, entonces la solución general de la ecuación de Chebyshev es

$$y_{1} = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x) \label{9} \tag{9}$$

Con

\begin{align*}
y_{1}(x) &= 1 -\dfrac{\lambda^{2}}{2!}x^{2} + \dfrac{(2^{2} -\lambda^{2})(-\lambda^{2})}{4!}x^{4} + \dfrac{(4^{2} -\lambda^{2})(2^{2} -\lambda^{2})(-\lambda^{2})}{6!}x^{6} + \cdots\\
&\cdots + \dfrac{[(2k -2)^{2} -\lambda^{2}][(2k -4)^{2} -\lambda^{2}] \cdots (2^{2} -\lambda^{2})(-\lambda^{2})}{(2k)!} + \cdots \label{10} \tag{10}
\end{align*}

y

\begin{align*}
y_{2}(x) &= x + \dfrac{1 -\lambda^{2}}{3!}x^{3} + \dfrac{(3^{2} -\lambda^{2})(1 -\lambda^{2})}{5!}x^{5} + \cdots \\
&\cdots + \dfrac{[(2k -1)^{2} -\lambda^{2}][(2k -3)^{2}-\lambda^{2}] \cdots (3^{2} -\lambda^{2})(1 -\lambda^{2})}{(2k + 1)!} + \cdots \label{11} \tag{11}
\end{align*}

Para $\lambda = 0, 1, 2, 3, \cdots$ y con el valor adecuado de $C_{1}$ y de $C_{2}$ se obtienen los conocidos polinomios de Chebyshev:

\begin{align*}
T_{0}(x) &= 1 \\
T_{1}(x) &= x \\
T_{2}(x) &= 2x^{2} -1 \\
T_{3}(x) &= 4x^{3} -3x \\
T_{4}(x) &= 8x^{4} -8x^{2} + 1 \\
T_{5}(x) &= 16x^{5} -20x^{3} + 5x \\
\vdots
\end{align*}

En general el $n$-ésimo polinomio de Chebyshev será solución particular de la ecuación de Chebyshev cuando $\lambda = n$.

Ecuación Hipergeométrica de Gauss

La ecuación Hipergeométrica es

$$x(1 -x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + [\gamma -(\alpha + \beta + 1)x] \dfrac{dy}{dx} -\alpha \beta y = 0 \label{12} \tag{12}$$

Con $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ constantes.

La ecuación hipergeométrica en su forma estándar es

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{\gamma -(\alpha + \beta +1)x}{x(1 -x)} \dfrac{dy}{dx} -\dfrac{\alpha \beta}{x(1 -x)}y = 0$$

Identificamos que

$$P(x) = \dfrac{\gamma -(\alpha + \beta +1)x}{x(1 -x)} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x) = -\dfrac{\alpha \beta}{x(1 -x)}$$

Ambas funciones no están definidas es $x = 1$ ni $x = 0$ eso significa que ambos puntos son singulares, sin embargo nosotros estamos interesados en resolver la ecuación con respecto al punto $x_{0} = 0$, definamos las funciones $p(x)$ y $q(x)$ con respecto a dicho punto.

$$p(x) = \dfrac{\gamma -(\alpha +\beta +1)x}{1 -x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} q(x) = -\dfrac{\alpha \beta x}{1 -x}$$

Ambas funciones son analíticas en $x = 0$ y los límites existen

$$\lim_{x \to 0}p(x) = \gamma \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \lim_{x \to 0}q(x) = 0$$

Por lo tanto, $x_{0} = 0$ es un punto singular regular y la solución para este caso es de la forma

$$y(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n + r}$$

Las derivadas son

$$\dfrac{dy}{dx} = \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r -1} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)(n + r -1)c_{n}x^{n + r -2}$$

Sustituimos en la ecuación hipergeométrica.

$$x(1 -x) \left[ \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)(n + r -1)c_{n}x^{n + r -2} \right] + [\gamma -(\alpha + \beta + 1)x] \left[ \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r -1} \right] -\alpha \beta \left[ \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n + r} \right] = 0$$

Expandiendo la expresión se tiene

\begin{align*}
&x \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)(n + r -1)c_{n}x^{n + r -2} -x^{2} \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)(n + r -1)c_{n}x^{n + r -2} + \gamma \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r -1} \\
&-(\alpha + \beta + 1)x \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r -1} -\alpha \beta \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n + r} = 0
\end{align*}

Simplificamos

\begin{align*}
&\sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)(n + r -1)c_{n}x^{n + r -1} -\sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)(n + r -1)c_{n}x^{n + r} + \gamma \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r -1} \\
&-(\alpha + \beta + 1) \sum_{n = 0}^{\infty}(n + r)c_{n}x^{n + r} -\alpha \beta \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}x^{n + r} = 0
\end{align*}

En la primera y tercera serie hacemos $k = n$ y en el resto hacemos $n = k -1$.

\begin{align*}
&\sum_{k = 0}^{\infty}(k + r)(k + r -1)c_{k}x^{k + r -1} -\sum_{k = 1}^{\infty}(k + r -1)(k + r -2)c_{k -1}x^{k + r -1} + \gamma \sum_{k = 0}^{\infty}(k + r)c_{k}x^{k + r -1} \\
&-(\alpha + \beta + 1) \sum_{k = 1}^{\infty}(k + r -1)c_{k -1}x^{k + r -1} -\alpha \beta \sum_{k = 1}^{\infty}c_{k -1}x^{k + r -1} = 0
\end{align*}

Para $k = 0$ obtenemos la ecuación indicial.

\begin{align*}
r(r -1)c_{0}x^{r -1} + \gamma r c_{0}x^{r-1} &= 0 \\
[r(r -1) + \gamma r]c_{0}x^{r -1} &= 0 \\
r(r -1) + \gamma r &= 0
\end{align*}

La ecuación indicial es $r(r + \gamma -1) = 0$, de donde $r_{1} = 0$ y $r_{2} = 1 -\gamma$. Ahora tenemos la ecuación

\begin{align*}
&\sum_{k = 1}^{\infty}(k + r)(k + r -1)c_{k}x^{k + r -1} -\sum_{k = 1}^{\infty}(k + r -1)(k + r -2)c_{k -1}x^{k + r -1} + \gamma \sum_{k = 1}^{\infty}(k + r)c_{k}x^{k + r -1} \\
&-(\alpha + \beta + 1) \sum_{k = 1}^{\infty}(k + r -1)c_{k -1}x^{k + r -1} -\alpha \beta \sum_{k = 1}^{\infty}c_{k -1}x^{k + r -1} = 0
\end{align*}

Juntemos todo en una sola serie.

$$\sum_{k = 1}^{\infty}[(k + r)(k + r -1)c_{k} -(k + r -1)(k + r -2)c_{k -1} + \gamma (k + r)c_{k} -(\alpha + \beta + 1)(k + r -1)c_{k -1} -\alpha \beta c_{k -1}]x^{k + r -1} = 0$$

De donde

$$(k + r)(k + r -1)c_{k} -(k + r -1)(k + r -2)c_{k -1} + \gamma (k + r)c_{k} -(\alpha + \beta + 1)(k + r -1)c_{k -1} -\alpha \beta c_{k -1} = 0$$

Despejando a $c_{k}$ se obtiene la relación de recurrencia.

$$c_{k} = \dfrac{(k + r -1)(k + r -2) + (\alpha + \beta + 1)(k + r -1) + \alpha \beta}{(k + r)(k + r -1) + \gamma(k + r)}c_{k -1}$$

De tarea moral demuestra que la relación de recurrencia se puede reescribir como

$$c_{k} = \dfrac{(k + r + \alpha -1)(k + r -1 + \beta)}{(k + r)(k + r + \gamma -1)}c_{k -1}, \hspace{1cm} k = 1, 2, 3, \cdots$$

Para $k = 1$ tenemos

$$c_{1} = \dfrac{(r + \alpha)(r + \beta)}{(1 + r)(r + \gamma)}c_{0}$$

$k = 2$:

\begin{align*}
c_{2} &= \dfrac{(r + \alpha + 1)(r + \beta + 1)}{(2 + r)(r + \gamma + 1)}c_{1} \\
&= \dfrac{(r + \alpha + 1)(r + \beta + 1)}{(2 + r)(r + \gamma +1)} \left ( \dfrac{(r + \alpha)(r + \beta)}{(1 + r)(r + \gamma)}c_{0} \right)
\end{align*}

$k = 3$:

\begin{align*}
c_{3} &= \dfrac{(r + \alpha + 2)(r + \beta + 2)}{(3 + r)(r + \gamma + 2)}c_{2} \\
&= \left( \dfrac{(r + \alpha + 2)(r + \beta + 2)}{(3 + r)(r + \gamma + 2)} \right) \dfrac{(r + \alpha + 1)(r + \beta + 1)}{(2 + r)(r + \gamma + 1)} \left( \dfrac{(r + \alpha)(r + \beta)}{(1 + r)(r + \gamma)}c_{0} \right)
\end{align*}

Etcétera. Una forma de escribir las expresiones anteriores es usando el símbolo de Pochhammer que se define de la siguiente manera:

Definición: El símbolo de Pochhammer se define como

$$(\alpha)_{n} = \alpha(\alpha + 1)(\alpha + 2) \cdots (\alpha + n -1); \hspace{1cm} (\alpha)_{0} = 1 \label{13} \tag{13}$$

Con $n$ un entero positivo.

Una relación interesante entre el símbolo de Pochhammer y la función Gamma es

$$(x)_n = \dfrac{\Gamma(x + n)}{\Gamma(x)} \label{14} \tag{14}$$

Siempre que $x$ y $x + n$ no son enteros positivos.

Usando el símbolo de Pochhammer podemos escribir a los coeficientes como

$$c_{1} = \dfrac{(r + \alpha)(r + \beta)}{(1 + r)(r + \gamma)}c_{0}$$

$$c_{2} = \dfrac{(r + \alpha)_{2}(r + \beta )_{2}}{(1 + r)_{2}(r + \gamma)_{2}}c_{0}$$

$$c_{3} = \dfrac{(r + \alpha )_{3}(r + \beta)_{3}}{(1 + r)_{3}(r + \gamma)_{3}}c_{0}$$

Y en general

$$c_{k} = \dfrac{(r + \alpha)_{k}(r + \beta)_{k}}{(1 + r)_{k}(r + \gamma)_{k}}c_{0}$$

Por lo tanto, la solución a la ecuación hipergeométrica es

$$y(x) = c_{0}\hat{y}(x)$$

Donde

\begin{align*}
\hat{y}(x) &= 1 + \dfrac{(r + \alpha)(r + \beta)}{(1 + r)(r + \gamma)}x + \dfrac{(r + \alpha)_{2}(r + \beta )_{2}}{(1 + r)_{2}(r + \gamma)_{2}}x^{2} + \dfrac{(r + \alpha )_{3}(r + \beta)_{3}}{(1 + r)_{3}(r + \gamma)_{3}}x^{3} + \cdots \\
&\cdots + \dfrac{(r + \alpha)_{k}(r + \beta)_{k}}{(1 + r)_{k}(r + \gamma)_{k}}x^{k} + \cdots \label{15} \tag{15}
\end{align*}

Hemos resuelto la ecuación hipergeométrica de manera general, pero recuerda que las raíces indiciales son $r_{1} = 0$ y $r_{2} = 1 -\gamma$ lo que significa que existen dos soluciones linealmente independientes $y_{1}(x)$ y $y_{2}(x)$ tal que la solución general es

$$y(x) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)$$

Para el caso en el que $r = 0$ basta sustituir en (\ref{15}), a esta solución se le conoce como función hipergeométrica, se denota por $_{2}F_{1}(\alpha, \beta; \gamma; x)$ y está dada por

$$_{2}F_{1}(\alpha, \beta; \gamma; x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{(\alpha)_{n}(\beta)_{n}}{n!(\gamma)_{n}}x^{n} \label{16} \tag{16}$$

Donde se ha hecho uso del símbolo de Pochhammer y se requiere que $\gamma \neq 0, -1, -2, \cdots$. La serie (\ref{16}) converge en el intervalo $|x| < 1$.

De tarea moral demuestra que para en caso en el que $r = 1 -\gamma$, $\gamma \neq 2, 3, 4, \cdots$ y $|x| < 1$, la solución denotada por $_{2}F_{1}(1 -\gamma + \alpha, 1 -\gamma + \beta; 2 -\gamma; x)$ es

$$_{2}F_{1}(1 -\gamma + \alpha, 1 -\gamma + \beta; 2 -\gamma; x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{(1 -\gamma + \alpha)_{n}(1 -\gamma + \beta)_{n}}{n!(2 -\gamma)_{n}}x^{n} \label{17} \tag{17}$$

Considerando estos resultados, la solución general a la ecuación hipergeométrica para $|x| < 1$ es

$$y(x) = C_{1} {_{2}F_{1}}(\alpha, \beta; \gamma; x) + C_{2} x^{1 -\gamma} {_{2}F_{1}}(1 -\gamma + \alpha, 1 -\gamma + \beta; 2 -\gamma; x) \label{18} \tag{18}$$

Ecuación de Airy

Como seguramente recordarás, cuando estudiamos el método de resolución con respecto a puntos ordinarios resolvimos como ejemplo la ecuación diferencial

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + xy = 0 \label{19} \tag{19}$$

Y mencionamos que dicha ecuación era una forma de lo que se conoce como ecuación de Airy, por su puesto la ecuación

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -xy = 0 \label{20} \tag{20}$$

es otra forma de lo que se conoce como ecuación de Airy y dado que ya resolvimos la forma (\ref{19}) te será de tarea moral resolver la forma (\ref{20}). ¿Qué diferencias notas?.

Estas ecuaciones llevan el nombre de Airy en honor al astrónomo británico George Biddell Airy (1801 – 1892).

La solución general a la ecuación de Airy (\ref{20}) es

$$y(x) = C_{1} \sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{1 \cdot 4 \cdots (3n -2)}{(3n)!}x^{3n} + C_{2} \sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{2 \cdot 5 \cdots (3n -1)}{(3n + 1)!}x^{3n + 1} \label{21} \tag{21}$$

Hemos concluido, es importante recordar que cada una de estas ecuaciones y sus soluciones tienen propiedades matemáticas muy importantes que no se revisaron debido a que quedan fuera de lo que nos corresponde en este curso, sin embargo en semestres posteriores seguramente aparecerán de nuevo y lo visto en estas dos últimas entradas te será de valiosa utilidad.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Demostrar que la segunda solución a la ecuación de Bessel para $r = -\lambda$ es
    $$J_{-\lambda}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(1 -\lambda + n)} \left( \dfrac{x}{2} \right)^{2n -\lambda}$$
    Es decir, encuentra la relación de recurrencia para $r = -\lambda$, determina la forma de los coeficientes de la solución y determina el valor correcto que debe tener $c_{0}$ usando la función Gamma para finalmente dar con la solución que se desea.
  1. Investigar qué son las funciones de Bessel de segunda clase y mencionar la relación que tienen con las funciones de Bessel de primera clase.
  1. Los primeros 6 polinomios de Chebyshev son solución a la ecuación de Chebyshev para $\lambda = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ respectivamente. Determinar el valor correspondiente de $C_{1}$ y $C_{2}$ tal que se obtengan los primeros 6 polinomios de Chebyshev.
  1. Demostrar que si $|x| < 1$, $\lambda \neq 2, 3, 4, \cdots$ y $r = 1 -\lambda$ la segunda solución a la ecuación hipergeométrica es
    \begin{align*}
    y_{2}(x) &= x^{r}\sum_{n = 0}^{\infty}\hat{c}_{n}x^{n} \\
    &= x^{1 -\lambda}{_{2}F_{1}}(1 -\gamma + \alpha, 1 -\gamma + \beta; 2 -\gamma; x) \\
    &= x^{1 -\lambda} \sum_{n = 0}^{\infty}\dfrac{(1 -\gamma + \alpha)_{n}(1 -\gamma + \beta)_{n}}{n!(2 -\gamma)_{n}}x^{n}
    \end{align*}
    Puedes hacer uso del resultado general (\ref{15}).
  1. Demostrar que la ecuación de Legendre es un caso especial de la ecuación hipergeométrica.

    Al resolver la ecuación hipergeométrica se puede comparar directamente sus soluciones para obtener las soluciones de la ecuación de Legendre, después de realizar las sustituciones necesarias.
  1. Resolver la ecuación de Airy con respecto al punto ordinario $x_{0} = 0$.
    $$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -xy = 0$$

Más adelante…

¡Hemos concluido con la unidad 2 del curso!.

A manera de resumen, en esta unidad estudiamos las ecuaciones diferenciales de orden superior con particular énfasis en las ecuaciones lineales de segundo orden tanto homogéneas como no homogéneas, vimos las propiedades de estas ecuaciones y sus soluciones. Estudiamos problemas con valores iniciales (PVI) y problemas con valores en la frontera (PVF), definimos algunos operadores diferenciales que nos ayudaron a demostrar el principio de superposición y definimos el conjunto fundamental de soluciones que está compuesto por las soluciones de una ecuación diferencial de orden superior tal que son linealmente independientes entre sí y vimos la relación que existe con el Wronskiano.

Una vez estudiadas las propiedades de este tipo de ecuaciones comenzamos a desarrollar distintos métodos de resolución, vimos el método de reducción de orden, resolvimos ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes y para el caso no homogéneo desarrollamos un método un poco limitante conocido como método de coeficientes indeterminados así mismo desarrollamos un método más general conocido como método de variación de parámetros. Estos resultados nos permitieron resolver la ecuación de Euler que corresponde a una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables. Finalmente aplicamos estos conocimientos en el estudio de las oscilaciones mecánicas.

Finalizamos la unidad con el estudio de las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables cuyas soluciones corresponden a series de potencias infinitas, desarrollamos métodos de resolución con respecto a puntos ordinarios y puntos singulares regulares. Aplicando estos resultados resolvimos algunas ecuaciones diferenciales especiales con particular uso en otras ramas del conocimiento, particularmente en la física e ingeniería.

En la siguiente unidad estudiaremos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Entradas relacionadas

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.