MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
En esta entrada estudiaremos brevemente dos ejemplos importantes de medidas «inducidas», es decir, que se definen en términos de otras medidas mediante funciones que las relacionan.
Medida inducida por una función de densidad
Supongamos que tenemos una distribución de «masa» o «sustancia» en el espacio, donde en algunas regiones la materia está más concentrada que en otras. ¿Cómo podemos medir la «masa» concentrada en un conjunto $E$, suponiendo que conocemos la densidad de masa $f$? La medida inducida por una función de densidad: $\mu_f(E)=\int_Ef \ \mathrm{d}\mu \ \ \forall E\in \mathcal{M}$, es una propuesta natural para este problema. Se puede pensar que $\mu$ da la «geometría» del espacio, mientras que $f$ ajusta la «densidad» de peso en cada región. De esta manera, podemos modelar fenómenos donde la importancia relativa varía, como probabilidades no uniformes o distribuciones físicas.
Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida y $f:X\to [0,\infty]$ una función $\mathcal{M}$-medible no negativa. Definimos la medida inducida por la función de densidad $f$, $\mu_f$ como:
$$\mu_f(E)=\int_Ef \ \mathrm{d}\mu \ \ \ \ \ \forall E\in \mathcal{M}.$$
Proposición. $\mu_f$ es una medida.
Demostración. En primer lugar $\mu_f(\emptyset)=\int_{\emptyset} f \ \mathrm{d}\mu=0$. Además, dados $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{M}$ ajenos, se sigue del teorema de la convergencia monótona:
\begin{align*}
\mu_f\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)&= \int_{\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k} f \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int f\cdot\chi_{\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k} \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int f\left( \sum_{k=1}^{\infty}\chi_{A_k}\right) \ \mathrm{d}\mu \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}\int f\cdot\chi_{A_k} \ \mathrm{d}\mu\\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \int_{A_k}f \ \mathrm{d}\mu \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}\mu_f(A_k).
\end{align*}
$\square$
Observación. $\mu_f$ es una medida finita si y sólo si $f\in L^1(X)$.
La integral respecto a la medida inducida por una función tiene una forma muy particular, en la que por supuesto aparece la función $f$.
Teorema (Integral respecto a la medida inducida). Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida, $f:X\to [0,\infty]$ una función $\mathcal{M}$-medible y $\mu_f$ la medida inducida por la función de densidad $f$. Entonces, para cualquier función $\mathcal{M}$-medible no negativa $g:X\to[0,\infty]$: $$\int g \ \mathrm{d}\mu_f=\int gf \ \mathrm{d}\mu.$$
Demostración. Veamos primero el caso en el que $g=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k\chi_{E_k}\in S$ es una función simple:
$$\int g \ \mathrm{d}\mu_f= \sum_{k=1}^{m}\alpha_k\mu_f(E_k)=\sum_{k=1}^{m}\left(\alpha_k \int_{E_k} f \ \mathrm{d}\mu \right) = \int \left( \sum_{k=1}^{m}\alpha_k \chi_{E_k}\right)f \ \mathrm{d}\mu=\int gf \ \mathrm{d}\mu.$$
Ahora, para el caso general $g:X\to [0,\infty]$ $\mathcal{M}$-medible, tomemos una sucesión de funciones simples $\{s_k \}_{k=1}^{\infty}$ tales que $s_k\uparrow g$ (y en particular $s_kf\uparrow gf$). Aplicando el teorema de la convergencia monótona y el caso anterior:
\begin{align*}
\int g \ \mathrm{d}\mu_f &= \lim_{k\to \infty} \int s_k \ \mathrm{d}\mu_f \\
&= \lim_{k\to \infty} \int s_kf \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int gf \ \mathrm{d}\mu.
\end{align*}
$\square$
Es inmediato generalizar el teorema anterior para funciones en $L^1$. Esto se queda como tarea moral.
La proposición anterior motiva una notación muy sugerente. A la medida $\mu_f$ se le denota comúnmente como $f\mathrm{d}\mu$. La proposición anterior toma la forma: $$\int g \ (f\mathrm{d}\mu )=\int gf \ \mathrm{d}\mu.$$
Observación. Es claro que si $\mu(E)=0$ $\implies$ $\mu_f(E)=(f\mathrm{d}\mu)(E)=\int_Ef \ \mathrm{d}\mu=0$. Esto es precisamente que la medida $\mu_f$ sea absolutamente continua respecto a la medida $\mu$:
Definición. Sean $\mu$ y $\nu$ medidas sobre el mismo espacio $(X,\mathcal{M})$. Decimos que $\nu$ es absolutamente continua respecto a $\mu$ si $\mu(E)=0$ $\implies$ $\nu(E)=0$ y lo denotamos por $$\nu<<\mu.$$
Sorprendentemente, la observación anterior tiene un regreso parcial: El teorema de Radon-Nikodym. Es un resultado bastante técnico por lo que omitimos la demostración.
Teorema (Radon-Nikodym). Sean $\mu$ y $\nu$ medidas $\sigma$-finitas sobre $(X,\mathcal{M})$. Si $\nu << \mu$, entonces existe una función $\mathcal{M}$-medible, $f:X\to[0,\infty]$, tal que $$\nu=\mu_f.$$
Definición. Dadas dos medidas $\nu<<\mu$ sobre $(X,\mathcal{M})$ tales que existe una función medible $f:X\to[0,\infty]$ con $\nu=\mu_f=f\mathrm{d}\mu$ (por ejemplo, en el contexto del teorema de Radon-Nikodym), entonces decimos que $f$ es la derivada de Radon-Nikodym de $\nu$ respecto a $\mu$ y la denotamos como $$f=\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}.$$ En este caso, el teorema de integral respecto a la medida inducida toma la forma: $$\int g \ \mathrm{d}\nu=\int \left(g\cdot \frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu} \right) \ \mathrm{d}\mu .$$
Medida Pushforward
Imaginemos que tenemos un mapeo $F:X\to Y$ que transforma puntos de un espacio en otro. Si tenemos una medida $\mu$ en el espacio original, la medida pushforward nos dice cómo se «redistribuye» esa medida en el nuevo espacio.
Definición. Sean $X$, $Y$ conjuntos y $\mathcal{M}$, $\mathcal{N}$ $\sigma$-álgebras sobre $X$ y $Y$ respectivamente. Diremos que una función $F:X\to Y$ es $(\mathcal{M},\mathcal{N})$-medible si $F^{-1}(E)\in \mathcal{M}$ $ \ \forall E\in \mathcal{N}$.
Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida, $Y$ un conjunto con una $\sigma$-álgebra $\mathcal{N}$ y $F:X\to Y$ una función $(\mathcal{M},\mathcal{N})$-medible. Definimos la medida imágen (o Pushforward) de $\mu$ bajo $F$, $F_*\mu$, por $$F_*\mu (E)=\mu(F^{-1}(E)) \ \ \ \ \ \ \ \forall E\in \mathcal{N} .$$
Es un ejercicio sencillo ver que $F_*\mu$ es efectivamente una medida sobre $Y$ y se queda como tarea moral.
Teorema (Cambio de Variable). Sean $(X,\mathcal{M},\mu)$, $(Y,\mathcal{N})$ y $F:X\to Y$ como antes. Sea $g:Y\to[0,\infty]$ una función $\mathcal{N}$-medible no negativa. Entonces $$\int_Yg \ \mathrm{d}F_*\mu=\int_X g\circ F \ \mathrm{d}\mu.$$
Demostración. Veamos primero el caso de funciones simples. Sea $s=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k\chi_{E_k}\in S$ simple sobre $Y$. Observemos que $s\circ F(x)=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k\chi_{E_k}(F(x))=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k\chi_{F^{-1}(E_k)}(x)$. Luego:
$$\int_Y s \ \mathrm{d}F_*\mu=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k \ F_*\mu(E_k)=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k \mu(F^{-1}(E_k))=\int_X s\circ F \ \mathrm{d}\mu.$$
Veamos ahora el caso general. Sea $g:Y\to[0,\infty]$ una función $\mathcal{N}$-medible. Como ya sabemos, podemos encontrar una sucesión de funciones simples $\{ s_k\}_{k=1}^{\infty}$ tales que $s_k\uparrow g$. Es claro que $s_k\circ F \uparrow g\circ F$, así que por el teorema de la convergencia monótona:
$$\int_Y g \ \mathrm{d}F_*\mu=\lim_{k\to \infty} \int_Y s_k \ \mathrm{d}F_*\mu=\lim_{k\to \infty} \int_X s_k\circ F \ \mathrm{d}\mu =\int_X g\circ F \ \mathrm{d}\mu.$$
$\square$
Corolario. Con las hipótesis del teorema anterior, si $g\in L^1(Y,\mathcal{N},F_*\mu)$, entonces: $$\int_Yg \ \mathrm{d}F_*\mu=\int_X g\circ F \ \mathrm{d}\mu.$$
Más adelante…
Definiremos los espacios $L^p$, uno de los espacios normados más importantes que surgen en la teoría de integración.