Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones diferenciales autónomas

Introducción

Continuando con la descripción cualitativa de las ecuaciones diferenciales, en esta entrada estudiaremos las ecuaciones diferenciales en las que la función razón no depende explícitamente de la variable independiente $x$.

En la entrada anterior vimos una propiedad geométrica interesante de las ecuaciones diferenciales de la forma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$, dicha propiedad es que los elementos lineales en dos puntos distintos en el plano $XY$ pero con la misma coordenada $y$ tienen la misma pendiente, esta propiedad tiene grandes consecuencias y las estudiaremos en esta entrada.

Ecuaciones de primer orden autónomas

Definición: Una ecuación diferencial ordinaria en la que no aparece explícitamente la variable independiente $f(y, y^{\prime}) = 0$ se llama autónoma.

Una ecuación autónoma en su forma normal se ve como $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$

La ecuación $\dfrac{dy}{dx} = 1 + 2y$ es una ecuación diferencial autónoma mientras que la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = 2xy$ es una ecuación no autónoma ya que la función razón sí depende de la variable independiente $x$, $f(x, y) = 2xy$.

Hay muchos procesos físicos que son modelados con ecuaciones diferenciales autónomas donde la variable independiente puede ser por ejemplo el tiempo $t$, en estos casos dichos procesos no cambiarían en el tiempo.

Puntos críticos

En la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$, las raíces de la función razón son de especial importancia.

Definición: Un número real $k$ es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$ si es una raíz de la función $f$, es decir, si $f(k) = 0$.

Un punto crítico también es llamado punto de equilibrio o punto estacionario.

Definición: Una solución constante $y(x) = k$ de la ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$ se llama solución de equilibrio.

Con estas dos definiciones podemos observar que si $k$ es un punto crítico de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$, entonces $y(x) = k$ es una solución constante de la ecuación diferencial autónoma.

Esquema de fases

En la entrada anterior vimos que una propiedad geométrica de las ecuaciones autónomas $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$ es que los elementos lineales son paralelos a lo largo de líneas horizontales en el plano $XY$, esto quiere decir que si conocemos el campo de pendientes a lo largo de una sola línea vertical $x = x_{0}$ entonces lo conocemos en todo el plano $XY$. Esta propiedad nos permite, en lugar de dibujar todo el plano, dibujar una línea que contiene la misma información. Esta línea se llama línea de fase para la ecuación autónoma.

Definición: La línea fase de una ecuación diferencial autónoma es un diagrama en forma de línea recta que contiene la información del comportamiento de las soluciones a la ecuación diferencial.

Para ver cómo obtener los puntos críticos, soluciones de equilibrio y líneas fase veamos el siguiente ejemplo con una ecuación logística.

Ejemplo: Consideremos la ecuación diferencial autónoma

$$\dfrac{dy}{dx} = y(\alpha -\beta y)$$

donde $\alpha$ y $\beta$ son constantes positivas. Los puntos críticos los podemos obtener haciendo $f(y) = y(\alpha -\beta y) = 0$ $\Leftrightarrow$ $y = 0$ o $\alpha -\beta y = 0$ $\Leftrightarrow$ $y = 0$ o $y = \dfrac{\alpha}{\beta}$, por lo tanto los puntos críticos son $c_{1} = 0$ y $c_{2} = \dfrac{\alpha}{\beta}$ y por tanto las soluciones de equilibrio son $y(x) = 0$ y $y(x) = \dfrac{\alpha}{\beta}$. Lo primero que haremos es colocar sobre una recta vertical (línea fase) los puntos críticos.

Puntos críticos en la línea fase.

En este caso los puntos críticos dividen a la línea fase en tres intervalos: $(-\infty, 0)$, $\left(0, \dfrac{\alpha}{\beta}\right)$ y $\left(\dfrac{\alpha}{\beta}, \infty\right)$ (intervalos en el eje $Y$). Debido a que por definición los puntos críticos son los puntos donde $\dfrac{dy}{dx} = f(k) = 0$, entonces la pendiente de los elementos lineales en los puntos críticos debe ser cero y por encima y por debajo de los puntos críticos la pendiente tiene que ser distinta de cero, así que puede haber elementos lineales con pendiente negativa o pendiente positiva. Veamos en cada uno de los intervalos de nuestro ejemplo que signo tiene la pendiente de los elementos lineales y al tratarse de un diagrama unidimensional dicho valor lo representaremos con flechas sobre la línea fase, si la pendiente es positiva colocaremos una flecha apuntando hacia arriba y si es una pendiente negativa colocaremos una flecha apuntando hacia abajo.

Para ver si la pendiente es positiva o negativa veamos el signo de la función razón, en este caso de $f(y) = y(\alpha -\beta y)$ en cada uno de los intervalos. Comencemos por el intervalo $-\infty < y < 0$, en este caso $y < 0$ $\Rightarrow$ $\beta y < 0$ $\Rightarrow$ $-\beta y > 0$ $\Rightarrow$ $-\beta y + \alpha > \alpha > 0$ $\Rightarrow$ $f(y) = y(\alpha -\beta y) < 0$ $\Rightarrow$ $\dfrac{dy}{dx} = f(y) = y(\alpha -\beta y) < 0$. Este análisis nos indica que la pendiente de los elementos lineales en el intervalo $(-\infty, 0)$ es negativa.

Haciendo el mismo análisis en los intervalos $0 < y < \dfrac{\alpha}{\beta}$ y $\dfrac{\alpha}{\beta} < y < \infty$ obtenemos los siguientes resultados:

  • En $(-\infty, 0)$ $\hspace{0.2cm}$ $\Rightarrow$ $f(y) = y(\alpha -\beta y) < 0$ $\Rightarrow$ La pendiente es negativa.
  • En $\left(0, \dfrac{\alpha}{\beta}\right)$ $\hspace{0.2cm}$ $\Rightarrow$ $f(y) = y(\alpha -\beta y) > 0$ $\Rightarrow$ La pendiente es positiva.
  • En $\left(\dfrac{\alpha}{\beta}, \infty \right)$ $\hspace{0.05cm}$ $\Rightarrow$ $f(y) = y(\alpha -\beta y) < 0$ $\Rightarrow$ La pendiente es negativa.

Como mencionamos antes, en el intervalo $(-\infty, 0)$ de la línea fase colocamos una flecha apuntando hacia abajo debido a que la pendiente es negativa. En el intervalo $\left(0, \dfrac{\alpha}{\beta}\right)$ colocamos una flecha apuntando hacia arriba ya que la pendiente es positiva y finalmente en el intervalo $\left(\dfrac{\alpha}{\beta}, \infty \right)$ colocamos de nuevo una flecha hacia abajo al ser la pendiente negativa. El resultado final de la línea fase es el siguiente:

Línea fase de la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = y(\alpha-\beta y)$.

Como caso particular consideremos la ecuación $\dfrac{dy}{dx} = y(6 -3y)$, las soluciones de equilibrio son $y(x) = 0$ y $y(x) = \dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{6}{3} = 2$. El campo de pendientes para esta ecuación diferencial es:

Campo de pendientes de la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = y(6 -3y)$.

Puedes observar que en efecto el valor de la pendiente de los elementos lineales en las soluciones de equilibrio es cero y que por encima de $y(x) = 2$ y por debajo de $y(x) = 0$ la pendiente es negativa mientras que entre las soluciones de equilibrio la pendiente de los elementos lineales es positiva, tal como lo mostramos en la línea de fase.

$\square$

Recuerda, la línea fase es una gran herramienta para analizar el comportamiento de las soluciones de una ecuación diferencial autónoma gracias a que las pendientes de los elementos lineales en líneas horizontales del plano $XY$ son iguales.

Con el ejemplo en mente ahora podemos establecer los pasos necesarios para dibujar una línea fase de una ecuación diferencial autónoma:

  • Dibujamos una línea vertical que representará el eje $Y$ para cualquier valor de $x$.
  • Encontramos los puntos críticos (los números tales que $f(y) = f(k) = 0$), y los marcamos sobre la línea vertical.
  • Encontramos los intervalos de valores de $y$ en los que $f(y) > 0$ y dibujamos flechas apuntando hacia arriba en esos intervalos.
  • Encontramos los intervalos de valores de $y$ en los que $f(y) < 0$ y dibujamos flechas apuntando hacia abajo en esos intervalos.

Las líneas fase nos permite obtener una aproximación cualitativa de las gráficas de las soluciones, pero algo que predicen muy bien las líneas fase es el comportamiento límite de las soluciones cuando $x$ crece o disminuye.

En algunos textos encontrarás que un punto crítico es lo mismo que una solución de equilibrio o que usan los términos de manera indistinta y de hecho no hay mucho problema si lo haces. Puedes pensar a un punto crítico como el punto $c = k$ que se coloca en la línea fase, mientras que una solución de equilibrio $y(x) = k$ es la gráfica en el plano $XY$ de una función constante para toda $x$, sin embargo cuando estamos analizando líneas fase puede ser que al punto crítico también se le llame solución de equilibrio y es correcto pues la línea fase representa al eje de la variable dependiente $Y$ para cualquier valor de la variable independiente $x$, esto debido a la propiedad que ya hemos mencionado sobre el mismo valor de la pendiente de los elementos lineales a lo largo de líneas horizontales en el plano $XY$. Pero lo importante es que en todo momento tengas presente las definiciones de punto crítico o punto de equilibrio y de solución de equilibrio que establecimos al inicio de esta entrada para evitar confusiones.

Hasta ahora hemos hablado de una descripción cualitativa general de las soluciones de una ecuación diferencial autónoma, ahora veamos que nos dice esta descripción acerca de la forma de una curva solución de una ED autónoma.

Curvas solución de una ecuación diferencial autónoma

En la ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$, la función $f$ es independiente de la variable $x$, esto nos permite suponer que $f$ está definida en $-\infty < x < \infty$ o en $0 \leq x < \infty$. Consideremos una región $U$ en el plano $XY$ en el que se cumple el teorema de existencia y unicidad de una solución, por este teorema existe entonces una solución que pasa por el punto $(x_{0}, y_{0})$. En la región $U$ supongamos que una ecuación diferencial autónoma tiene dos puntos críticos $c_{1}$ y $c_{2}$ tales que $c_{1} < c_{2}$. Las gráficas de las soluciones $y(x) = c_{1}$ y $y(x) = c_{2}$ son rectas horizontales que dividen a la región $U$ en tres regiones: $U_{1}$, $U_{2}$ y $U_{3}$, esto se puede visualizar en la siguiente imagen.

Subregiones $U_{1}$, $U_{2}$ y $U_{3}$ de $U$.

Con estas condiciones podemos establecer las siguientes propiedades:

  • Si el punto $(x_{0}, y_{0})$ está en alguna subregión $U_{i}$, $i = 1, 2, 3$ y $y(x)$ es una solución cuya curva solución pasa por $(x_{0}, y_{0})$ entonces $y(x)$ debe permanecer en esa subregión $U_{i}$ para toda $x$.

Una solución $y(x)$ no puede cruzar la grafica de una solución de equilibrio $y(x) = c$. Para argumentar este hecho consideremos a $k$ como un punto crítico de una ED autónoma tal que $f(k) = 0$, considerando que $f(y)$ es continua, si las soluciones $y(x)$ son cercanas a $k$ entonces el valor de $f$ debe ser pequeño, esto nos indica que las soluciones se están desplazando lentamente cuando están próximas a los puntos críticos, dicho de otra manera, una solución que se acerca a un punto crítico cuando $x$ crece (o decrece) se mueve cada vez más lentamente al acercarse a éste. Por el teorema de existencia y unicidad, una solución que se acerca a un punto crítico nunca llega realmente a él, es decir, la solución de equilibrio se vuelve una asíntota para todas las soluciones $y(x)$ que se aproximan al punto crítico.

En la imagen anterior por ejemplo, la curva $y(x)$ que pasa por el punto $(x_{0}, y_{0})$ debe mantenerse dentro de $U_{2}$ para toda $x$, $y(x)$ está acotada por arriba con $c_{2}$ y por abajo con $c_{1}$, esto es, $c_{1} < y(x) < c_{2}$.

Una propiedad más que podemos enunciar es que

  • Por continuidad de la función $f$, debe ser $f(y) > 0$ o $f(y) < 0$ para toda $x$ en una subregión $U_{i}$, $i = 1, 2, 3$.

También vimos anteriormente que el signo de la pendiente se mantiene igual dentro de toda la región limitada por los puntos críticos, esto hace que nos demos cuenta que una curva solución $y(x)$ no puede oscilar o tener extremos relativos (máximos o mínimos) dentro de una misma región. Esto lo podemos describir con la siguiente propiedad.

  • Debido a que $\dfrac{dy}{dx} = f(y(x))$ es positiva o negativa en una subregión $U_{i}$, $i = 1, 2, 3$, una solución $y(x)$ es estrictamente monótona, por lo tanto no puede oscilar ni tener extremos relativos.

Ahora que conocemos estas propiedades podemos establecer una más que se puede deducir de las anteriores. Basándonos en el caso general de la imagen anterior podemos decir que:

  • Si $y(x)$ es una solución dentro de la región $U_{1}$ entonces está acotada por arriba con el punto crítico $c_{1}$, esto es, $y(x) < c_{1}$, $\forall$ $x$, esto indica que la curva solución $y(x)$ debe tender a la gráfica de la solución de equilibrio $y(x) = c_{1}$ a medida que $x \rightarrow \infty$ o $x \rightarrow -\infty$. Por otro lado, una solución $y(x)$ que este en la región $U_{2}$ está acotada por abajo con $c_{1}$ y arriba con $c_{2}$, esto es $c_{1} < y(x) < c_{2}$, $\forall$ $x$, entonces la curva solución $y(x)$ debe tender a las gráficas de las soluciones de equilibrio $y(x) = c_{1}$ y $y(x) = c_{2}$ conforme $x \rightarrow \infty$ en una y $x \rightarrow -\infty$ en la otra. Finalmente, si la solución está en la region $U_{3}$ entonces está acotada por abajo con $c_{2}$, es decir, $y(x) > c_{2}$, $\forall$ $x$, en este caso la grafica $y(x)$ debe tender a la gráfica de la solución de equilibrio $y(x) = c_{2}$ conforme $x \rightarrow \infty$ o $x \rightarrow -\infty$.

Modelo logístico de la población

En esta entrada ya estudiamos el ejemplo de la ecuación logística $\dfrac{dy}{dx} = y(\alpha-\beta y)$. Usemos los resultados obtenidos para resolver de manera cualitativa el problema del modelo logístico de la población. El modelo que establecimos fue

$$\dfrac{dP}{dt} = k \left(1 -\dfrac{P}{N}\right) P$$

Como puedes notar, se trata de una ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dP}{dt} = f(P)$, así que las curvas solución las podemos describir con la teoría que hemos construido en esta entrada.

Como recordarás, el problema que estábamos analizando era el crecimiento de la población en función de su entorno y los recursos limitados a los que están sujetos. Resolvamos la ecuación diferencial al menos de manera cualitativa usando lo que hemos aprendido hasta ahora e interpretemos los resultados.

Para comenzar, lo primero que hay que hacer es determinar los puntos críticos de la ecuación, para ello hagamos $\dfrac{dP}{dt} = k \left(1 -\dfrac{P}{N}\right) P = 0$ $\Leftrightarrow$ $kP = 0$ o $1 -\dfrac{P}{N} = 0$ $\Leftrightarrow$ $P = 0$ o $P = N$, por lo tanto los puntos críticos son $c_{1} = 0$ y $c_{2} = N$ y las soluciones de equilibrio son $P(t) = 0$ y $P(t) = N$. Colocamos los puntos críticos en la línea fase.

Puntos críticos en la línea fase.

Los puntos críticos definen tres intervalos para $P$, estos son: $(-\infty, 0)$, $(0, N)$ y $(N, \infty)$, sin embargo como se trata de un problema real es claro que no tiene sentido que la variable población $P(t)$ sea negativa (no hay individuos negativos) y así mismo no hay tiempos negativos por lo que $t > 0$, por lo tanto en este problema sólo consideraremos los intervalos $(0, N)$ y $(N, \infty)$ para $P$, mientras que $0 < t < \infty$.

Recordando el ejemplo de la ecuación logística $\dfrac{dy}{dx} = y(\alpha-\beta y)$, podemos decir que en el intervalo $(0, N)$ las pendientes son positivas, así que la función $P(t)$ será creciente, mientras que en el intervalo $(N, \infty)$ las pendientes son negativas así que la función $P(t)$ será decreciente. La línea fase final queda de la siguiente manera:

Línea fase del modelo.

El campo de pendientes correspondiente es el siguiente:

Campo de pendientes de la ecuación logística $\dfrac{dP}{dt} = k \left(1 -\dfrac{P}{N}\right) P$

En la imagen podemos observar el campo de pendientes de la ecuación $\dfrac{dP}{dt} = k \left(1 -\dfrac{P}{N}\right) P$, indicando las soluciones de equilibrio $P(t) = 0$ y $P(t) = N$ y algunas curvas solución de la ecuación. Recuerda que una solución particular de la ED está determinada por las condiciones iniciales del problema.

Puedes notas que las curvas solución cumplen con las hipótesis que establecimos al plantear el modelo las cuales eran:

  • Si la población es pequeña ($P(t) < N$), la tasa de crecimiento de la población es proporcional a su tamaño.
  • Si la población es demasiado grande para ser soportada por su entorno y recursos ($P(t) > N$), la población disminuirá, en este caso la tasa de crecimiento será negativa.

Las soluciones de equilibrio $P(t) = 0$ y $P(t) = N$ tienen sentido pues si la población es cero permanecerá en cero indefinidamente y si la población es exactamente la asociada con la capacidad de soporte entonces no crecerá ni disminuirá.

Es así que a partir de la línea fase y el campo de pendientes de la ecuación diferencial podemos esbozar varias diferentes soluciones con condiciones iniciales diferentes. La única información que necesitamos es el hecho de que $P = 0$ y $P = N$ son soluciones de equilibrio, $P(t)$ crece si $0 < P < N$ y disminuye si $P > N$ o $P < 0$. Los valores exactos de $P(t)$ en cualquier tiempo dado $t$ dependerán de los valores de $P(0)$, $k$ y $N$.

$\square$

Clasificación de puntos de equilibrio

Como vimos, alrededor de un punto de equilibrio las soluciones pueden tener distintos comportamientos. Básicamente hay tres tipos de comportamiento que $y(x)$ puede tener alrededor de un punto crítico y en base a estos comportamientos podemos clasificarlos.

Supongamos que $y(x) = y_{0}$ es una solución de equilibrio (o punto crítico si lo vemos en la línea fase) de la ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$, los tres tipos de comportamiento que $y(x)$ puede tener alrededor del punto crítico $y_{0}$ son:

  • Caso 1: Por arriba de $y_{0}$ la función $y(x)$ es decreciente y por debajo de $y_{0}$ la función $y(x)$ es creciente, en este caso decimos que el punto crítico es un atractor.
$y_{0}$ es un atractor.
  • Caso 2: Por arriba de $y_{0}$ la función $y(x)$ es creciente y por debajo de $y_{0}$ la función $y(x)$ es decreciente, en este caso decimos que el punto crítico es un repulsor.
$y_{0}$ es un repulsor.
  • Caso 3: Tanto por arriba y por abajo de $y_{0}$ la función $y(x)$ es creciente o decreciente, en este caso decimos que el punto crítico es un nodo o semiestable.
$y_{0}$ es un nodo o semiestable.

Como conclusión, podemos resumir lo visto en esta entrada en las siguientes observaciones:
Si $y(x)$ es una solución de una ecuación autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$, entonces:

  • Si $f(y_{0}) = 0$, entonces $y_{0}$ es un punto de equilibrio y $y(x) = y_{0}$, $\forall$ $x$.
  • Si $f(y_{0}) > 0$, entonces $y(x)$ es creciente $\forall$ $x$ y $y(x) \rightarrow \infty$, cuando $x$ se incrementa, o bien $y(x)$ tiende al primer punto de equilibrio mayor que $y_{0}$.
  • Si $f(y_{0}) < 0$, entonces $y(x)$ es decreciente $\forall$ $x$ y $y(x) \rightarrow -\infty$, cuando $x$ se incrementa, o bien $y(x)$ tiende al primer punto de equilibrio menor que $y_{0}$.

Importante mencionar que esto es valido también para $x$ negativas. Cuando $x$ decrece podemos encontrar resultados similares. Si $f(y_{0}) > 0$, entonces $y(x) \rightarrow -\infty$ o al siguiente punto de equilibrio menor, cuando $x$ aumenta en valores negativos y si $f(y_{0}) < 0$, entonces $y(x) \rightarrow \infty$ o al siguiente punto de equilibrio mayor, cuando $x$ aumenta en valores negativos.

Un caso especial

Cuando hacemos estos tipos de análisis debemos tener cuidado de que los resultados sean correctos y tengan sentido matemático. Para ilustrar esto analicemos el siguiente ejemplo:

Consideremos la ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -y}$. ¿Puedes determinar su línea fase?.

Por definición, los puntos críticos son los valores para los que $f(y) = \dfrac{1}{1 -y} = 0$, como puedes notar, no hay un valor para que eso ocurra. Si $y > 1$ entonces $f(y) < 0$ y si $y < 1$, entonces $f(y) > 0$ pero si $y = 0$, $f(y)$ no existe. En este caso decimos que la línea fase tiene un agujero en $y =1$ y lo denotamos como un circulo vacío.

Agujero en la línea fase.

Las soluciones $y(x)$ de la ecuación tienden hacia $y = 1$ cuando $x$ aumenta. Como el valor $f(y) = \dfrac{1}{1 -y}$ es grande si $y$ está cercana a $1$, las soluciones comienzan a acelerarse a medida que se acercan a $y = 1$ y alcanzan este valor para algún valor de $x$ finito. Cuando la solución alcanza el valor $y = 1$ no puede continuar porque ha dejado el dominio de definición de la ecuación diferencial.

Teorema de linearización

Existe un teorema conocido como teorema de linearización que nos ayuda a determinar el tipo de puntos críticos de una ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$ de acuerdo al comportamiento que tiene la función $f(y)$. El enunciado de este teorema es el siguiente.

Teorema: Sea $y_{0}$ solución de equilibrio de la ecuación diferencial autónoma $\dfrac{dy}{dx} = f(y)$ donde $f$ es una función diferenciable continuamente, entonces:

  • Si $f^{\prime}(y_{0}) < 0$, entonces $y_{0}$ es un atractor.
  • Si $f^{\prime}(y_{0}) > 0$, entonces $y_{0}$ es repulsor.
  • Si $f^{\prime}(y_{0}) = 0$ o si $f^{\prime}(y_{0})$ no existe, entonces no podemos concluir nada sobre $y_{0}$.

Si estás interesado en la demostración de este teorema, puedes revisar el video del material complementario a esta entrada en donde encontrarás dicha demostración.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Para las siguientes ecuaciones diferenciales, esboza las líneas fase y clasifica a los puntos críticos como atractores, repulsores o nodos según sea el caso.
  • $\dfrac{dy}{dx} = 3y(1 -y)$
  • $\dfrac{dv}{du} = \dfrac{1}{v -2}$
  • $\dfrac{dy}{dt} = \cos(y)$
  • $\dfrac{dw}{dt} = w^{2} -6w -16$
  1. Describe geométricamente el comportamiento a largo plazo de las soluciones a la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} = y^{2} -4y + 2$$

Con la condición inicial dada.

  • $y(0) = 0$
  • $y(0) = 10$
  • $y(3) = 1$

Más adelante…

En estas dos últimas entradas hemos estudiado a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de manera cualitativa, esto nos permite esbozar las soluciones y encontrar propiedades interesantes sin siquiera conocer la forma explicita de la solución a las EDO, en particular las ecuaciones diferenciales autónomas presentan propiedades que serán útiles al momento de analizar modelos que describen algún fenómeno real.

Ahora ha llegado el momento de aprender a resolver las ecuaciones diferenciales de manera analítica. Comenzaremos con las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden .

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