Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Funciones de Lyapunov

Introducción

En la entrada anterior definimos a los sistemas hamiltonianos, que son aquellos que tienen la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & \frac{\partial{H}}{\partial{y}} \\ \dot{y} & = & -\frac{\partial{H}}{\partial{x}} \end{array}$$ para cierta función $H:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ que llamamos función hamiltoniana. Vimos sus principales propiedades, una de las cuales nos dice que las curvas de nivel de $H$ coinciden con las curvas solución del sistema de ecuaciones. Así, estudiar el plano fase y la estabilidad de los puntos de equilibrio para este tipo de sistemas es bastante sencillo. Lamentablemente no todos los sistemas son hamiltonianos, y por lo tanto no es posible encontrar una función $H$ que sea una cantidad conservada para el sistema.

Comenzaremos estudiando el sistema de ecuaciones que modela el movimiento pendular con fricción. A diferencia del péndulo simple que no tiene fricción, este nuevo sistema no es hamiltoniano. Sin embargo, con ayuda de la función hamiltoniana que define al sistema del péndulo simple, podremos hacer un buen esbozo del plano fase. Esto ocurrirá ya que la derivada de $H$ respecto al tiempo satisface $$\dot{H}(x(t),y(t))\leq 0$$ para cualquier solución $(x(t),y(t))$ del sistema. Esto significa que las curvas solución al sistema recorren las curvas de nivel de $H$ de valores mayores a menores.

Con el análisis realizado para el sistema del péndulo con fricción, lo siguiente que haremos será estudiar un tipo de funciones que comparten las propiedades que satisface la función $H$ antes mencionada, y que llamaremos funciones de Lyapunov. Definiremos formalmente a dichas funciones y veremos sus principales propiedades, entre ellas el teorema de estabilidad de Lyapunov que nos dice que si existe una función de Lyapunov $L:U \rightarrow \mathbb{R}$ definida en una vecindad $U$ de un punto de equilibrio para un sistema de ecuaciones, entonces el punto de equilibrio es estable. Si además $\dot{L}<0$ en $U$, excepto en el punto de equilibrio, entonces este será asintóticamente estable.

¡Vamos a comenzar!

El péndulo con fricción

Comenzamos estudiando el sistema que modela el movimiento de un péndulo con fricción. Revisamos las diferencias y similitudes que mantiene con el sistema para el péndulo simple y esbozamos su plano fase con ayuda de la función hamiltoniana que define al sistema del péndulo simple.

Funciones de Lyapunov

En el video definimos a las funciones de Lyapunov, revisamos algunas propiedades interesantes y demostramos el Teorema de estabilidad de Lyapunov. Mediante un par de ejemplos observamos cuándo aplicar este último teorema.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Esboza el plano fase del sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -xy^{4} \\ \dot{y} & = & x^{4}y. \end{array}$$ Verifica que el sistema no es hamiltoniano. Por lo tanto, existen sistemas no hamiltonianos para los cuales existen funciones que son cantidades conservadas. (Por lo dicho en el video, $L(x,y)=x^{4}+y^{4}$ es una cantidad conservada para el sistema).
  • Considera el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y-2x \\ \dot{y} & = & 2x-y-x^{3}. \end{array}$$ Prueba que el origen es un punto de equilibrio. Demuestra que la función $L(x,y)=(x+y)^{2}+\frac{1}{2}x^{4}$ es una función de Lyapunov para el origen. Determina la estabilidad del punto de equilibrio.
  • Considera el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y \\ \dot{y} & = & -\sin{x}-y. \end{array}$$ Prueba que los puntos de equilibrio de la forma $(m\pi,0)$ con $m$ par son asintóticamente estables, usando el último teorema del segundo video.
  • Prueba que el origen es el único punto de equilbirio para el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -xy \\ \dot{y} & = & x^{2}-y. \end{array}$$ Considera la función $L:U \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $L(x,y)=x^{2}+y^{2}$ donde $U$ es un abierto que contiene a $(0,0)$. Prueba que $L$ es una función de Lyapunov para el punto de equilibrio. ¿Es $(0,0)$ asintóticamente estable?
  • Considera el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -2x \\ \dot{y} & = & x-y. \end{array}$$ y la función $L(x,y)=c_{1}x^{2}+c_{2}y^{2}$, $c_{1}, c_{2}$ constantes. Encuentra valores para las constantes de tal forma que $L$ sea una función de Lyapunov para el sistema.

Más adelante

En la próxima entrada definiremos un tipo particular de sistemas, los llamados sistemas gradiente. Al igual que los sistemas hamiltonianos, veremos sus principales propiedades. Además, probaremos la existencia de funciones de Lyapunov para algunos puntos de equilibrio en particular de dichos sistemas.

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