Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Solución por series cerca de un punto singular regular

Introducción

En la entrada anterior resolvimos la ecuación diferencial de Euler, cerca del punto singular $t_{0}=0$, como un caso particular de las ecuaciones que consideraremos en esta ocasión. Vimos que la forma que tenga la solución general depende de las raíces de la ecuación cuadrática $r^{2}+(\alpha -1)r+\beta=0$.

Es turno de revisar el caso cuando queremos encontrar una solución en forma de serie cerca de un punto singular ecuación diferencial $a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$. Clasificaremos a los puntos singulares en dos tipos: regulares e irregulares. Debido a la complejidad para encontrar soluciones alrededor de puntos singulares irregulares, nos enfocaremos exclusivamente en los puntos singulares regulares, y trataremos de generalizar el método utilizado para resolver la ecuación de Euler, el cual lleva el nombre de método de Frobenius, gracias al matemático Ferdinand Georg Frobenius.

Para facilitar el desarrollo de la teoría, en esta entrada siempre supondremos que el punto singular regular sobre el que trabajaremos es $t_{0}=0$. En la práctica, si tenemos un punto singular $t_{0}\neq 0$, basta con hacer el cambio de variable $z=t-t_{0}$.

Consideraciones generales. Solución cuando la ecuación indicial tiene dos raíces distintas que no difieren por un entero

En el primer video de esta entrada damos las definiciones de punto singular regular e irregular y damos las consideraciones generales con las que trabajaremos a lo largo de toda la entrada. Además presentamos la ecuación indicial de la cual depende la forma de la solución general a la ecuación $a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$ cerca del punto singular regular $t_{0}=0$. Finalmente resolvemos el primer caso del método de Frobenius cuando la ecuación indicial $r^{2}+(b_{0}-1)r+c_{0}=0$ tiene raíces distintas que no difieren por un entero.

Solución cuando la ecuación indicial tienen raíces repetidas

En el segundo video resolvemos el segundo caso del método de Frobenius, cuando la ecuación indicial tiene dos raíces repetidas.

Solución cuando al ecuación indicial tiene raíces que difieren por un entero

Finalizamos esta serie de videos con el último caso del método de Frobenius, cuando la ecuación indicial tiene dos raíces que difieren por un entero.

Tarea moral

  • Prueba que si $r_{1}$, $r_{2}$ son raíces complejas de la ecuación indicial $r^{2}+(b_{0}-1)r+c_{0}=0$, entonces $F(r_{1}+k)$ y $F(r_{2}+k)$ no se anulan para cualquier $k\geq1$. Por lo tanto la solución general a la ecuación diferencial tiene la misma forma que cuando consideramos raíces reales que no difieren por un entero, pero con valores complejos.
  • Encuentra una expresión para la solución general del ejercicio anterior pero con valores únicamente reales.
  • Muestra que las soluciones $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$ encontradas en el caso cuando la ecuación indicial tiene raíces repetidas, son linealmente independientes.
  • Encuentra los radios de convergencia para cada solución dada en forma de series en esta entrada. (Hint: Las demostraciones son análogas al caso de radios de convergencia para soluciones por series de potencias alrededor de puntos ordinarios).

Más adelante

Hemos concluido de desarrollar la teoría que involucra soluciones en series, tanto alrededor de un punto ordinario como cerca de un punto singular regular. Como te pudiste dar cuenta en esta entrada no resolvimos ejemplos, ya que en las siguientes entradas emplearemos esta teoría para resolver algunas ecuaciones especiales que se usan principalmente en la física. En la siguiente entrada en particular, estudiaremos las ecuaciones de Hermite y Laguerre.

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