Ecuaciones Diferenciales l: Ecuación de Bernoulli y ecuación de Riccati

Introducción

Para concluir con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales, en esta entrada presentaremos dos tipos de ecuaciones más, conocidas como la ecuación diferencial de Bernoulli y la ecuación diferencial de Riccati.

Al tratarse de la última entrada sobre el desarrollo de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, presentaremos un breve resumen sobre el tipo de ecuaciones que estudiamos y su respectivo método de resolución.

Ecuación diferencial de Bernoulli

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli en el siglo XVll.

Definición: La ecuación diferencial

\begin{align}
a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x) y = g(x) y^{n} \label{1} \tag{1}
\end{align}

donde $n$ es cualquier número real, se llama ecuación de Bernoulli.

Si a la ecuación de Bernoulli la dividimos por la función $a_{1}(x) \neq 0$ obtenemos

$$\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{a_{0}(x)}{a_{1}(x)} y = \dfrac{g(x)}{a_{1}(x)} y^{n}$$

Definimos las siguientes funciones

$$P(x)=\dfrac{a_{0}(x)}{a_{1}(x)} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x)=\dfrac{g(x)}{a_{1}(x)}$$

Entonces una ecuación de Bernoulli se puede reescribir como

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n} \label{2} \tag{2}
\end{align}

La ecuación (\ref{2}) es también una definición común de ecuación de Bernoulli.

Puedes observar que si $n = 0$, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal no homogénea:

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Y si $n = 1$, la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación diferencial lineal homogénea:

\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y &= Q(x) y \\
\dfrac{dy}{dx} + [P(x) -Q(x)] y &= 0 \\
\dfrac{dy}{dx} + R(x) y &= 0
\end{align*}

Donde definimos $R(x) = P(x) -Q(x)$, ambas ecuaciones ya las sabemos resolver.

Nuestro objetivo será resolver la ecuación de Bernoulli para el caso en el que $n \neq 0$ y $n \neq 1$. Una propiedad de las ecuaciones de Bernoulli es que la sustitución $u(x) = y^{1 -n}$ la convierte en una ecuación lineal y de esta manera podremos resolverla usando el método de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales. Para mostrar este hecho consideremos la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{2}).

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n}$$

Dividimos toda la ecuación por $y^{n}$.

\begin{align}
\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} + P(x) y^{1-n} = Q(x) \label{3} \tag{3}
\end{align}

Si definimos $u = y^{1-n}$, al derivar esta función obtenemos

$$\dfrac{du}{dx} = (1 -n) y^{-n} \dfrac{dy}{dx} = (1 -n) \dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$$

De donde

$$\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -n} \dfrac{du}{dx}$$

Sustituimos este resultado y $y^{1-n} = u$ en la ecuación (\ref{3}):

\begin{align}
\dfrac{1}{1-n} \dfrac{du}{dx} + P(x)u = Q(x) \label{4} \tag{4}
\end{align}

Multiplicamos por $1 -n$ en ambos lados de la ecuación

$$\dfrac{du}{dx} + (1 -n)P(x)u = (1 -n)Q(x)$$

Definimos $R(x) = (1 -n)P(x)$ y $S(x) = (1 -n)Q(x)$. En términos de estas funciones la ecuación (\ref{4}) se puede escribir de la siguiente forma:

\begin{align}
\dfrac{du}{dx} + R(x)u = S(x) \label{5} \tag{5}
\end{align}

Puedes notar que la ecuación (\ref{5}) corresponde a una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea.

En conclusión, una ecuación de Bernoulli (\ref{2}) bajo la sustitución $u(x) = y^{1 -n}(x)$ se vuelve una ecuación diferencial lineal en la forma (\ref{5}) y por tanto podemos aplicar el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales.

Los pasos que se recomiendan seguir para resolver una ecuación diferencial de Bernoulli se presentan a continuación.

Método para resolver ecuaciones de Bernoulli

  1. El primer paso es escribir a la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{2}).
  1. Dividimos toda la ecuación por $y^{n}$ y consideramos el cambio de variable $u = y^{1 -n}$ y la respectiva derivada $\dfrac{du}{dx} = (1 -n)\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$.
  1. Sustituimos $y^{1 -n} = u$ y $\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 -n}\dfrac{du}{dx}$ en la ecuación resultante del paso anterior y haciendo un poco de álgebra podremos reducir la ecuación de Bernoulli en una ecuación lineal de primer orden no homogénea.
  1. Resolvemos la ecuación resultante usando el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales lo que nos permitirá obtener la función $u(x)$.
  1. Regresamos a la variable original.

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos estos pasos.

Ejemplo: Resolver la ecuación de Bernoulli $3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} = 2xy (y^{3} -1)$

Solución: El primer paso es escribir la ecuación de Bernoulli en la forma (\ref{2}):

\begin{align*}
3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} &= 2xy (y^{3} -1) \\
\dfrac{dy}{dx} & =\dfrac{2xy (y^{3} -1)}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2xy^{4}}{3(1 + x^{2})} -\dfrac{2xy}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) y &= \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) y^{4}
\end{align*}

La última relación muestra a la ecuación en la forma (\ref{2}) con $n = 4$, ahora dividamos toda la ecuación por $y^{4}$.

\begin{align}
\dfrac{1}{y^{4}} \dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1+x^{2})} \right) y^{-3} = \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \label{6} \tag{6}
\end{align}

Consideremos la sustitución $u=y^{1-n}=y^{1-4}=y^{-3}=\dfrac{1}{y^{3}}$ y $\dfrac{du}{dx} = -3 y^{-4} \dfrac{dy}{dx}$.

De donde

\begin{align*}
\dfrac{1}{y^{4}} \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{3} \dfrac{du}{dx} \hspace{1.5cm} y \hspace{1.5cm} y^{-3} = u
\end{align*}

Sustituimos estos resultados en la ecuación (\ref{6})

\begin{align*}
-\dfrac{1}{3} \dfrac{du}{dx} + \left( \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \right) u &= \dfrac{2x}{3(1 + x^{2})} \\
\dfrac{du}{dx} +\left( -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right) u &= -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \label{7} \tag{7}
\end{align*}

La última ecuación es una expresión en la forma (\ref{5}), con esto hemos logrado reducir la ecuación de Bernoulli en una ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea. Establecemos las siguientes funciones

\begin{align*}
R(x) = -\dfrac{2x}{1 + x^{2}} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} S(x) = -\dfrac{2x}{1 + x^{2}}
\end{align*}

A partir de aquí aplicamos el método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales. Primero calculemos el factor integrante dado como $\mu (x) = e^{\int {R(x)dx}}$. Resolvamos la integral del exponente omitiendo la constante de integración

\begin{align*}
\int {R(x)dx} &= -\int \dfrac{2x}{1 + x^{2}} dx \\
&= -\ln|1 + x^{2}|
\end{align*}

Sustituyendo en el factor integrante

$$\mu (x) = e^{-\ln|1 + x^{2}|} = \dfrac{1}{1+x^{2}}$$

Por lo tanto el factor integrante es $\mu (x) = \dfrac{1}{1 + x^{2}}$. Multipliquemos a la ecuación (\ref{7}) por el factor integrante:

$$\dfrac{1}{1 + x^{2}} \dfrac{du}{dx} -\dfrac{1}{1 + x^{2}} \left( \dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right) u = -\dfrac{1}{1 + x^{2}} \left( \dfrac{2x}{1 + x^{2}} \right)$$

Identificamos que el lado izquierdo de la ecuación es la derivada del producto del factor integrante por la función $u(x)$, de esta manera

$$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{u}{1 + x^{2}} \right) = -\dfrac{2x}{(1 + x^{2})^{2}}$$

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$. Por tratarse del último paso ahora sí consideramos a la constante de integración

$$\int \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{u}{1 + x^{2}} \right) dx = -\int \dfrac{2x}{(1 + x^{2})^{2}} dx$$

En el lado izquierdo aplicamos el teorema fundamental del cálculo y en el lado derecho consideramos la sustitución $a(x) = 1 + x^{2}$ para resolver la integral, el resultado obtenido es

\begin{align*}
\dfrac{u}{1 + x^{2}} &= \dfrac{1}{1 + x^{2}} + c \\
u &= 1 + (1 + x^{2}) c \\
u &= 1 + c + x^{2}c
\end{align*}

Regresamos a la variable original $u = \dfrac{1}{y^{3}}$

\begin{align*}
\dfrac{1}{y^{3}} &= 1 + c + x^{2}c \\
y^{3} &= \dfrac{1}{cx^{2} + c + 1}
\end{align*}

La ultima ecuación corresponde a la forma implícita de la solución, para obtener la solución explícita sacamos la raíz cúbica obteniendo finalmente

$$y=\sqrt[3]{cx^{2} + c + 1}$$

Por lo tanto, la solución general a la ecuación diferencial de Bernoulli

$$3(1 + x^{2}) \dfrac{dy}{dx} = 2xy (y^{3} -1)$$

es

$$y(x) = \sqrt[3]{cx^{2} + c + 1}$$

$\square$

Ahora revisemos la ecuación de Riccati.

Ecuación diferencial de Riccati

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinara no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVlll por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati.

Definición: La ecuación diferencial

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2} \label{8} \tag{8}
\end{align}

se llama ecuación de Riccati.

Resolver la ecuación de Ricatti requiere del conocimiento previo de una solución particular de la ecuación, llamemos a dicha solución $y_{1}(x)$. Si hacemos la sustitución

\begin{align}
y(x) = y_{1}(x) + u(x) \label{9} \tag{9}
\end{align}

La ecuación de Riccati adquiere la forma de una ecuación de Bernoulli, de tarea moral verifica este hecho. Ya vimos que para resolver una ecuación de Bernoulli debemos reducirla a una ecuación lineal no homogénea así que veamos directamente cómo reducir una ecuación de Riccati a una ecuación lineal no homogénea.

Sea $y_{1}(x)$ una solución particular de la ecuación de Riccati y consideremos la sustitución

\begin{align}
y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)} \label{10} \tag{10}
\end{align}

Derivando esta ecuación obtenemos

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy_{1}}{dx} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \label{11} \tag{11}
\end{align}

Como $y_{1}(x)$ es una solución a la ecuación de Riccati entonces se cumple que

\begin{align}
\dfrac{dy_{1}}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} \label{12} \tag{12}
\end{align}

Sustituyendo (\ref{12}) en (\ref{11}) obtenemos la siguiente ecuación:

\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \label{13} \tag{13}
\end{align}

Ahora podemos igualar la ecuación (\ref{13}) con la ecuación de Riccati (\ref{8})

\begin{align*}
q_{1}(x) + q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2} &= q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2} &= q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{2}(x) y_{1} -q_{2}(x) y + q_{3}(x)y^{2}_{1} -q_{3}(x) y^{2} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{2}(x)(y_{1} -y) + q_{3}(x)(y^{2}_{1} -y^{2})
\end{align*}

En la última ecuación sustituimos la función (\ref{10}):

\begin{align*}
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= q_{2}(x) \left[ y_{1} -\left( y_{1} + \dfrac{1}{u} \right) \right] + q_{3}(x) \left [ y^{2}_{1} -\left( y_{1} + \dfrac{1}{u} \right) ^{2} \right ] \\
&= q_{2}(x) \left( y_{1} -y_{1} -\dfrac{1}{u} \right) + q_{3}(x) \left( y^{2}_{1} -y^{2}_{1} -2 y_{1} \dfrac{1}{u} -\dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= q_{2}(x) \left( -\dfrac{1}{u} \right ) + q_{3}(x) \left( -2\dfrac{y_{1}}{u} -\dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= -\dfrac{q_{2}(x)}{u} -2 q_{3}(x) \dfrac{y_{1}}{u} -\dfrac{q_{3}(x)}{u^{2}}
\end{align*}

Esto es

$$\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} = -\dfrac{q_{2}(x)}{u} -2 q_{3}(x) \dfrac{y_{1}}{u} -\dfrac{q_{3}(x)}{u^{2}}$$

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $u^{2}$

\begin{align*}
\dfrac{du}{dx} &= -q_{2}(x)u -2q_{3}(x) y_{1}u -q_{3}(x) \\
\dfrac{du}{dx} &= -\left( q_{2}(x) + 2q_{3}(x) y_{1} \right) u -q_{3}(x) \\
\dfrac{du}{dx} + \left( q_{2}(x) + 2q_{3}(x) y_{1} \right) u &= -q_{3}(x)
\end{align*}

Definimos las funciones $R(x) = q_{2}(x) + 2q_{3}(x) y_{1}$ y $S(x) = -q_{3}(x)$ de manera que la última ecuación queda como

\begin{align}
\dfrac{du}{dx} + R(x) u = S(x) \label{14} \tag{14}
\end{align}

De esta manera queda demostrado que la sustitución

$$y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$$

Convierte a la ecuación de Riccati en una ecuación diferencial lineal y por tanto puede ser resuelta con el método de resolución de ecuaciones lineales.

Como es usual, desarrollemos una serie de pasos a seguir para resolver las ecuaciones de Riccati.

Método para resolver ecuaciones de Riccati

Con el fin de evitar memorizar los resultados anteriores se recomienda seguir la siguiente serie de pasos para resolver una ecuación diferencial de Riccati.

  1. El primer paso es escribir a la ecuación de Riccati en la forma (\ref{8}) y estar seguros de que conocemos previamente una solución particular $y_{1}(x)$ de la ecuación.
  1. Como queremos reducir la ecuación de Riccati en una ecuación lineal no homogénea consideramos la sustitución $y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$, con $y_{1}(x)$ la solución particular dada.
  1. Debido a que $y_{1}(x)$ es solución a la ecuación de Riccati, el siguiente paso es derivar la sustitución $y = y_{1} + \dfrac{1}{u}$ y en el resultado sustituir $\dfrac{dy_{1}}{dx}$ por la ecuación de Riccati para la solución particular, esto es

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy_{1}}{dx} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y_{1} + q_{3}(x)y^{2}_{1} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx}$$

  1. Igualamos la ecuación anterior con la ecuación de Riccati original en la forma (\ref{8}) y hacemos la sustitución $y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$.
  1. Hecho lo anterior y haciendo un poco de álgebra podremos reducir la ecuación de Riccati en una ecuación lineal de primer orden y así aplicar el método de resolución para este tipo de ecuaciones.
  1. Una vez obtenida la función $u(x)$ la sustituimos en $y(x) = y_{1}(x) + \dfrac{1}{u(x)}$ para así finalmente obtener la solución $y(x)$.

Realicemos un ejemplo para poner en practica este método.

Ejemplo: Resolver la ecuación de Riccati $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2}$ considerando la solución particular $y_{1} = \dfrac{2}{x}$.

Solución: Vemos que la ecuación diferencial que queremos resolver ya prácticamente tiene la forma de la ecuación (\ref{8}), pero para que sea mas claro consideremos la siguiente forma:

$$\dfrac{dy}{dx} = \left( -\dfrac{4}{x^{2}} \right) + \left( -\dfrac{1}{x} \right) y + y^{2}$$

El problema ya nos da la solución particular $y_{1}(x) = \dfrac{2}{x}$ (verifica que, en efecto, es una solución a la ecuación de Riccati). El segundo paso es hacer la sustitución $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$. Por la ecuación (\ref{13}) tenemos

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{1}{x} \left( \dfrac{2}{x} \right) + \left( \dfrac{2}{x} \right)^{2} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx}$$

Igualando el resultado anterior con la ecuación de Riccati tenemos

\begin{align*}
-\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2} &= -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{1}{y^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
-\dfrac{y}{x} + y^{2} &= \dfrac{2}{x^{2}} -\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} \\
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{y}{x} -y^{2}
\end{align*}

En la última ecuación sustituimos $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$

\begin{align*}
\dfrac{1}{u^{2}} \dfrac{du}{dx} &= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{1}{x} \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u} \right) -\left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u} \right)^{2} \\
&= \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{2}{x^{2}} + \dfrac{1}{xu} -\left( \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{4}{xu} + \dfrac{1}{u^{2}} \right) \\
&= \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{1}{xu} -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{4}{xu} -\dfrac{1}{u^{2}} \\
&= -\dfrac{3}{xu} -\dfrac{1}{u^{2}} \\
\end{align*}

De donde

$$\dfrac{du}{dx} + \dfrac{3}{x}u = -1$$

Esta expresión tiene la forma de una ecuación diferencial lineal (\ref{14}), de donde podemos determinar que

$$R(x) = \dfrac{3}{x} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} S(x) = -1$$

Ya que hemos reducido la ecuación de Riccati en una ecuación lineal no homogénea a partir de aquí usamos el método de resolución de ecuaciones lineales.

Calculemos el factor integrante $\mu(x) = e^{\int R(x)dx}$.

\begin{align*}
\int {R(x)dx} = \int {\dfrac{3}{x}dx} = 3\ln| x |
\end{align*}

Entonces, el factor integrante es

$\mu (x) = e^{3 \ln|x|} = x^{3}$

Multiplicamos la ecuación lineal por el factor integrante

\begin{align*}
x^{3} \dfrac{du}{dx} + x^{3} \left( \dfrac{3}{x} \right ) u &= -x^{3} \\
x^{3} \dfrac{du}{dx} + 3x^{2}u &= -x^{3}
\end{align*}

Identificamos el lado izquierdo de la ecuación como la derivada del producto del factor integrante $\mu (x)$ por la función $u(x)$, esto es

$$\dfrac{d}{dx} \left( x^{3}u \right) = -x^{3}$$

Integramos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$

\begin{align*}
\int {\dfrac{d}{dx} \left( x^{3}u \right) dx} &= \int {-x^{3}dx} \\
x^{3}u &= -\dfrac{x^{4}}{4} + c \\
u &= -\dfrac{x}{4} + \dfrac{c}{x^{3}}
\end{align*}

Ya determinamos el valor de $u(x)$ ahora sólo lo sustituimos en la función $y = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{u}$

Por lo tanto, la solución general a la ecuación de Bernoulli

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{x^{2}} -\dfrac{y}{x} + y^{2}$$

es

$$y(x) = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{\dfrac{c}{x^{3}} -\dfrac{x}{4}}$$

$\square$

Hemos concluido con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Para concluir con esta entrada presentaremos un breve resumen sobre los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales que estudiamos y su método de resolución correspondiente.

Resumen de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden

  1. Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

Condiciones de linealidad:

  • La variable dependiente $y$ y todas sus derivadas son de primer grado.
  • Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente $x$ y/o de constantes.

Si $Q(x) = 0$ la ecuación es homogénea y su solución es

$$y(x) = ke^{-\int{P(x)}dx}$$

Si $Q(x) \neq 0$ la ecuación es no homogénea y su solución es

$$y(x) = e^{-\int P(x)dx} \left( \int{e^{\int P(x) dx} Q(x) dx} + k \right)$$

Método del factor integrante: Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$

Método de variación de parámetros: La solución tiene la forma $y(x) = k(x) e^{-\int{P(x)} dx}$ con $k(x) = \int{e^{\int{P(x)} dx} Q(x)}$

Por lo tanto, una lineal puede resolverse: a) Aplicando directamente la formula general; b) por medio de un factor integrante, y c) usando variación de parámetros.

  1. Ecuaciones diferenciales de variables separables

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{g(x)}{f(x)}$$

Método de solución: integración directa.

  1. Ecuaciones diferenciales homogéneas

$$M(x, y) + N(x, y) \dfrac{dy}{dx} = 0$$

Es homogénea si

\begin{align*}
M(tx, ty) = t^{n}M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} N(tx, ty) = t^{n}N(x, y)
\end{align*}

Método de solución: Cambio de variable $y = ux$ y $\dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx}$ para reducirla a una ecuación de variables separables.

  1. Ecuaciones diferenciales exactas

$$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

Se verifica que es exacta usando del criterio de diferencial exacta.

$$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x}$$

Si lo es, definimos

\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)
\end{align*}

Método de solución:

  • Tomar $\dfrac{\partial f}{\partial x} = M(x, y)$ o $\dfrac{\partial f}{\partial y} = N(x, y)$.
  • Integrar en $x$ o integrar en $y$.
  • Derivar con respecto a $y$ o con respecto a $x$.
  • Igualar el resultado a $N(x, y)$ o igualar a $M(x, y)$.
  • Integrar.
  1. Factores integrantes

$\mu (x, y)$ es factor integrante si $\mu (x, y) M(x, y) dx + \mu (x, y) N(x, y) dy = 0$ es exacta.

Si el factor integrante es función de $x$:

$$\mu (x) = exp \left[ \int{ \dfrac{1}{N} \left( \dfrac{\partial M}{\partial y} -\dfrac{\partial N}{\partial x} \right) dx} \right]$$

Si el factor integrante es función de $y$:

$$\mu (y) = exp \left[ \int{ \dfrac{1}{M} \left( \dfrac{\partial N}{\partial x} -\dfrac{\partial M}{\partial y} \right) dx} \right]$$

Método de solución: Se multiplica la ecuación diferencial por el factor integrante y se resuelve por exactas o por variables separables según el caso.

  1. Ecuación diferencial de Bernoulli

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^{n}$$

Método de solución: Para $n \neq 0$ y $n \neq 1$ hacemos el cambio de variable $u = y^{1 -n}$ y $\dfrac{du}{dx} = (1 -n)\dfrac{1}{y^{n}} \dfrac{dy}{dx}$ para reducirla a una ecuación lineal

  1. Ecuación diferencial de Riccati

$$\dfrac{dy}{dx} = q_{1}(x) + q_{2}(x) y +q_{3}(x) y^{2}$$

Método de solución: Conocida una solución particular $y_{1}$ se hace la sustitución $y = y_{1} + u$ para reducir la ecuación a una ecuación de Bernoulli o la sustitución $y = y_{1} + \dfrac{1}{u}$ para reducirla directamente a una ecuación lineal no homogénea.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Resuelve las siguientes ecuaciones de Bernoulli.
  • $\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{x}y = \dfrac{2}{3}x^{4}y^{4}$
  • $3x \dfrac{dy}{dx} -2y = x^{3}y^{-2}$
  • $x^{2} \dfrac{dy}{dx} -2xy = 3y^{4} \hspace{0.8cm}$ con la condición inicial $\hspace{0.5cm} y(1) = \dfrac{1}{2}$
  1. Resuelve las siguientes ecuaciones de Riccati.
  • $x^{3} \dfrac{dy}{dx} = x^{4}y^{2} -2x^{2}y -1 \hspace{0.8cm}$ con solución particular $\hspace{0.5cm} y_{1} = \dfrac{1}{x^{2}}$
  • $\dfrac{dy}{dx} = xy^{2} + y + \dfrac{1}{x^{2}} \hspace{0.8cm}$ con solución particular $\hspace{0.5cm} y_{1} = -\dfrac{1}{x}$
  1. Demuestra que la sustitución

$$y(x) = y_{1}(x) + u(x)$$

convierte a una ecuación de Riccati en una ecuación de Bernoulli.

Más adelante…

Con esta entrada concluimos el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, a lo largo de la unidad vimos una descripción cualitativa y posteriormente una descripción analítica en la que desarrollamos varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales tanto lineales como no lineales. Lo natural es continuar con el estudio de las ecuaciones diferenciales de segundo orden pero antes es importante hacer un estudio con mayor detalle sobre el teorema de existencia y unicidad con el cual justificaremos toda la teoría desarrollada a lo largo de la unidad.

Entradas relacionadas

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.