Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de la transformada de Laplace

Introducción

Bienvenidos a la última entrada de la segunda unidad del curso, donde revisaremos el método de la transformada de Laplace para resolver problemas de condición inicial de la forma $$ay^{\prime \prime}+by’+cy=f(t) \ ; \ y(0)=y_{0} \ , \ y'(0)=y_{1}$$ con $a$, $b$ y $c$ constantes.

Este método nos permite transformar el problema de resolver la ecuación diferencial por los métodos estudiados en esta misma unidad, por un problema algebraico donde encontraremos la expresión de la transformada de Laplace $\mathscr{L} \{y(t)\}$ de la función solución, y debemos hallar quién es la función $y(t)$ cuya transformada de Laplace es $\mathscr{L} \{y(t)\}$.

Comenzaremos definiendo la transformada de Laplace de una función cuyo dominio es el intervalo $[0, \infty)$, y demostraremos algunas de las propiedades más importantes que cumple esta transformada y que utilizaremos para nuestros propósitos.

Posteriormente resolveremos el problema de condición inicial de manera general, mencionaremos el problema de hallar la transformada inversa de Laplace de una función con ayuda de una tabla de transformadas y transformadas inversas, y revisaremos dos ejemplos particulares donde mostraremos cómo se utiliza el método en la práctica.

Para finalizar consideraremos nuevamente el problema de condición inicial $$ay^{\prime \prime}+by’+cy=f(t) \ ; \ y(0)=y_{0} \ , \ y'(0)=y_{1}$$ donde ahora la función $f(t)$ es una función continua por pedazos. Este tipo de problemas suele aparecer con frecuencia en la física, y con la ayuda de la transformada de Laplace vamos a resolver un ejemplo particular, con ayuda de una función auxiliar y un teorema que enunciaremos y probaremos previamente.

Como te podrás dar cuenta, hicimos un cambio en la notación de la derivada de una función. Durante el curso hemos utilizado la notación de Leibniz $\frac{dy}{dt}$, $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}$,…, para denotar a las derivadas de la función $y(t)$. Sin embargo, en esta entrada utilizaremos la notación $y'(t)$, $y^{\prime \prime}(t)$,…, para simplificar la escritura.

Transformada de Laplace y sus propiedades

En el primer video de esta entrada definimos la transformada de Laplace $\mathscr{L} \{y(t)\}$ de una función cuyo dominio es el intervalo $[0, \infty)$, y probamos algunas propiedades que cumple esta transformada y que nos servirán para resolver problemas de condición inicial.

Solución a problemas de condición inicial por método de la transformada de Laplace

En el primer video de esta sección resolvemos el problema de condición inicial $$ay^{\prime \prime}+by’+cy=f(t) \ ; \ y(0)=y_{0} \ , \ y'(0)=y_{1}$$ por el método de la transformada de Laplace.

En el segundo video resolvemos un par de problemas de condición inicial particulares.

Te presentamos una tabla de transformadas y transformadas inversas de Laplace, que aparece en el libro Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, William E. Boyce y Richard C. DiPrima, para que puedas realizar los cálculos presentados en los videos. Esta tabla no es única, por lo que puedes buscar en textos o en internet tablas diferentes según lo requieras.

Tabla de transformadas de Laplace y transformadas inversas
Tabla de transformadas y transformadas inversas de Laplace

Solución a problemas de condición inicial con funciones discontinuas por método de transformada de Laplace

En el último video de esta entrada resolvemos un problema de condición inicial de la forma $$ay^{\prime \prime}+by’+cy=f(t) \ ; \ y(0)=y_{0} \ , \ y'(0)=y_{1}$$ donde $f(t)$ es una función continua por pedazos. Previamente definimos la función auxiliar $$H_{c}(t)= \begin{cases} 1 & 0 \leq t < c \\ 1 & t \geq c \ \end{cases} $$ y probamos un teorema que nos ayudan a resolver el problema de condición inicial.

Tarea moral

  • Encuentra la transformada de Laplace de la función $f(t)=t$.
  • Encuentra la transformada de Laplace de la función $f(t)=\cos{\beta t}$, $\beta$ constante.
  • Prueba que $$\mathscr{L} \{f ^{\prime \prime} (t)\}=s^{2}\mathscr{L}\{f(t)\}-sf(0)-f^{\prime}(0)$$ bajo las hipótesis del último teorema del primer video.
  • Resuelve el problema de condición inicial $$y^{\prime \prime}-2y’+2y=\cos{t} \ \ ; \ \ y(0)=1, \ \ y'(0)=0$$ por el método de la transformada de Laplace.
  • Prueba que bajo las condiciones del primer teorema enunciado en el primer video, se cumplen las siguiente propiedad: $$F^{(n)}(s)=\mathscr{L}\{(-t)^{n}f(t)\}$$ donde $F^{(n)}$ denota a la $n$-ésima derivada de $F$.
  • Resuelve el problema de condiciones iniciales $$y^{\prime \prime}+2y’+2y=f(t) \ \ ; \ \ y(0)=0, \ \ y'(0)=1$$ donde $$f(t)= \begin{cases} 1 & \pi \leq t < 2\pi \\ 0 & 0 \leq t < \pi \ , t \geq 2\pi. \end{cases} $$

Más adelante

Con esta entrada concluimos el estudio a las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Como mencionamos en esta entrada, toda la teoría desarrollada en la segunda unidad se puede extender a ecuaciones de orden $n>2$. Sin embargo, a partir de la tercera unidad utilizaremos un método distinto para resolver ecuaciones de orden $n\geq2$.

Lo primero que haremos, en la siguiente entrada, será transformar una ecuación diferencial que orden $n\geq2$ en un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales de primer orden, hablaremos de las ventajas de hacer esta transformación y daremos una introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, que será el objeto de estudio de la tercera unidad del curso.

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