Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Raíces reales distintas del polinomio característico

Introducción

En la entrada anterior dimos las definiciones elementales y necesarias para diagonalizar una matriz de coeficientes constantes. Vimos los conceptos de valores y vectores propios y el polinomio característico, todo esto para poder encontrar la matriz $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$. Sabemos que $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ es una matriz fundamental de soluciones al sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, por lo que sus columnas son soluciones linealmente independientes a dicho sistema. Así, de paso encontramos la solución general al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$.

Ahora vamos a olvidarnos un poco de $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$, y vamos a resolver $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$ pero de una manera ligeramente distinta. Lo que haremos será suponer que una solución a tal sistema es de la forma $\textbf{X}(t)=e^{\lambda t}\textbf{v}$ para cierto vector constante $\textbf{v}$. Resultará que $\textbf{X}(t)$ será solución al sistema si y sólo si $\textbf{A}\textbf{v}=\lambda\textbf{v}$. Es decir, si y sólo si $\textbf{v}$ es un vector propio de la matriz $\textbf{A}$ del sistema, y $\lambda$ es el valor propio asociado a $\textbf{v}$.

El método de valores y vectores propios que desarrollamos para diagonalizar una matriz en la entrada anterior, nos servirá de la misma manera para hallar la solución general al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, al menos si $\textbf{A}$ es diagonalizable, pues ya sabemos cómo encontrar los valores y vectores propios de $\textbf{A}$, y al tener $n$ valores propios con sus respectivos vectores propios, entonces seremos capaces de encontrar $n$ soluciones linealmente independientes al sistema y formas la solución general a este.

Una vez establecido cómo debe verse la solución general al sistema, finalizaremos la entrada resolviendo un par de ejemplos de sistemas donde la matriz $\textbf{A}$ es diagonalizable y las raíces del polinomio característico igualado a cero son todas reales y distintas.

La solución general al sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes

Hallamos la solución general al sistema lineal homogéneo $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, suponiendo que $\textbf{A}$ es una matriz diagonalizable.

Método de valores y vectores propios. Raíces reales distintas del polinomio característico

Mediante un par de ejemplos revisamos el caso cuando $\textbf{A}$ es diagonalizable y las raíces del polinomio característico son todas reales y distintas. Además en el segundo ejemplo, verificamos que $\textbf{e}^{t\textbf{A}}=\textbf{X}_{f}(t)\textbf{X}_f^{-1}{0}$, donde $\textbf{X}_{f}(t)$ es una matriz fundamental de soluciones al sistema. La matriz del segundo ejemplo fue diagonalizada en el siguiente video de la entrada anterior, y calculamos $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$. (Compara los resultados obtenidos).

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Resuelve los siguientes sistemas y problemas de condición inicial. Encuentra $\textbf{e}^{t\textbf{A}}$ en cada caso:

  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 4 & -2\end{pmatrix}\textbf{X}$.
  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 3 & 2\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 10\end{pmatrix}$.
  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4\\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1\end{pmatrix}\textbf{X}$.
  • $\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\textbf{X} \, \, \, \, \, ; \, \, \, \, \, \textbf{X}(0)=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$.

Más adelante

Una vez que hemos logrado escribir la solución general al sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{A}\textbf{X}$, cuando $\textbf{A}$ es diagonalizable, continuaremos revisando los posibles casos que se presentan con las raíces del polinomio característico. En particular, en la siguiente entrada revisaremos el caso cuando se presentan raíces complejas, es decir, cuando aparecen valores propios complejos de la matriz $\textbf{A}$.

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