Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones de Hermite y Laguerre

Introducción

En entradas anteriores desarrollamos métodos para resolver la ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes variables de la forma $a_{0}(t)\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0$ alrededor de puntos ordinarios y cerca de puntos singulares regulares.

Utilizaremos estos métodos para resolver en esta y en las próximas dos entradas algunas ecuaciones especiales que se encuentran en otras áreas del conocimiento, principalmente en la física. Nos enfocaremos exclusivamente en encontrar soluciones a dichas ecuaciones, por lo que no hablaremos de las aplicaciones de éstas. Iniciamos en esta entrada con las ecuaciones de Hermite y Laguerre debidas a los matemáticos Charles Hermite y Edmond Laguerre.

La ecuación de Hermite tiene la forma $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2t\frac{dy}{dt}+\lambda y=0$$ con $t \in \mathbb{R}$ y $\lambda$ constante. Encontraremos una solución general con desarrollo en serie de potencias alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$.

Por otro lado, la ecuación de Laguerre tiene la forma $$t\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+(1-t)\frac{dy}{dt}+\lambda y=0$$ con $\lambda$ constante. Encontraremos una solución particular a dicha ecuación cerca del punto singular regular $t_{0}=0$ y tomando $t>0$. Finalmente veremos las dificultades para encontrar de forma explícita una segunda solución linealmente independiente a la primera, según la fórmula que encontramos en el desarrollo general del método de Frobenius.

Ecuación de Hermite

En el video encontramos la solución general a la ecuación de Hermite alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$, además de hacer una observación importante acerca de la solución general para los casos cuando $\lambda$ es un entero par no negativo.

Ecuación de Laguerre

En el video encontramos una solución particular a la ecuación de Laguerre cerca del punto singular regular $t_{0}=0$. Posteriormente hablamos de la dificultad para encontrar una segunda solución de manera explícita, aún cuando el método de Frobenius nos ofrece la forma que debe tener esta segunda solución. Finalmente hacemos una importante observación acerca de la solución encontrada para los casos cuando $\lambda$ es un entero positivo.

Tarea moral

  • Investiga los primeros cuatro polinomios de Hermite. Prueba que son solución particular a la ecuación de Hermite cuando $\lambda=0,2,4,6$ respectivamente. En general, el $n$-ésimo polinomio de Hermite será solución particular a la ecuación de Hermite cuando $\lambda=2n$.
  • Resuelve la ecuación de Hermite $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2t\frac{dy}{dt}+8y=0$$ alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$, siguiendo paso a paso el método utilizado en el primer video (es decir, no uses únicamente la fórmula final del video).
  • Investiga los primeros cuatro polinomios de Laguerre. Prueba que son solución particular a la ecuación de Laguerre cuando $\lambda=0,1,2,3$ respectivamente. En general, el $n$-ésimo polinomio de Laguerre será solución particular a la ecuación de Laguerre cuando $\lambda=n$.
  • Encuentra una solución a la ecuación de Laguerre $$t\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+(1-t)\frac{dy}{dt}+4y=0$$ alrededor del punto singular regular $t_{0}=0$, siguiendo paso a paso el método de Frobenius (nuevamente, no utilices únicamente la fórmula final del segundo video).

Más adelante

Hemos encontrado soluciones a dos de las seis ecuaciones especiales que revisaremos en esta serie de entradas. En la próxima continuaremos hablando de estas funciones especiales. En particular estudiaremos las ecuaciones de Bessel y Legendre.

Hasta la próxima!

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