Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones diferenciales de orden superior

Introducción

¡Bienvenidos a la segunda unidad del curso de Ecuaciones Diferenciales I!. En la unidad 1 estudiamos las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales de primer orden, en esta segunda unidad comenzaremos a estudiar las ecuaciones diferenciales de orden superior a uno, en particular las ecuaciones lineales de segundo orden.

En la primera entrada del curso vimos que las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar por orden el cual corresponde al orden de la derivada más alta presente en la ecuación diferencial. A las ecuaciones diferenciales de orden mayor a $1$ se le conocen como ecuaciones diferenciales de orden superior. Nuestro enfoque en esta unidad serán las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, pero antes de estudiar los métodos de resolución es necesario establecer una serie de conceptos y teoremas que sustentarán la teoría desarrollada en los métodos de resolución que estudiaremos.

Si bien, la segunda unidad tratará sobre las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, gran parte de esta teoría preliminar la desarrollaremos para el caso general en el que el orden de la ecuación es $n$, con $n$ un número entero mayor a uno, así sólo será suficiente fijar $n = 2$ para referirnos a las ecuaciones de segundo orden.

Ecuaciones Diferenciales lineales de orden superior

Como vimos en la primer entrada, una ecuación diferencial de $n$-ésimo orden en su forma general es

\begin{align}
F(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n)}) = 0 \label{1} \tag{1}
\end{align}

Donde $F$ es una función con valores reales de $n + 2$ variables. La ecuación (\ref{1}) se puede escribir en su forma normal como

\begin{align}
\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} = f(x, y, y^{\prime}, \cdots, y^{(n -1)}) \label{2} \tag{2}
\end{align}

Con $f$ una función continua con valores reales. Para el caso en el que la ecuación es lineal, una ED de $n$-ésimo orden se puede escribir como

\begin{align}
a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x) \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x) \label{3} \tag{3}
\end{align}

Satisfaciendo las propiedades que ya conocemos. La ecuación (\ref{3}) es una ecuación no homogénea, en el caso en el que $g(x) = 0$, decimos que la ecuación es homogénea

\begin{align}
a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x) \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = 0 \label{4} \tag{4}
\end{align}

Las ecuaciones (\ref{3}) y (\ref{4}) serán entonces el tipo de ecuaciones sobre la cual desarrollaremos esta teoría preliminar.

Para comenzar, estudiemos los problemas con valores iniciales y problemas con valores en la frontera para el caso de ecuaciones diferenciales lineales.

Problema con valores iniciales para ecuaciones lineales

En la unidad anterior definimos lo que es una problema con valores iniciales, esta definición fue general, definamos ahora lo que es un problema con valores iniciales para el caso en el que la ecuación es lineal.

Definición: Sea $\delta$ un intervalo que contiene al punto $x_{0}$, el problema de resolver la ecuación lineal

$$a_{n}(x) \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} + a_{n-1}(x) \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x)$$

Sujeta a que se cumpla

$$y(x_{0}) = y_{0}, \hspace{0.5cm} y^{\prime}(x_{0}) = y_{1}, \hspace{0.5cm} \cdots , \hspace{0.5cm} y^{(n -1)}(x_{0}) = y_{n -1}$$

Donde $y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{n -1}$ son constantes reales arbitrarias dadas, se llama problema con valores iniciales (PVI) para ecuaciones lineales.

Para el caso de segundo orden ya hemos mencionado que geométricamente un PVI involucra obtener una curva solución que pase por el punto $(x_{0}, y_{0})$ y la pendiente en dicho punto sea $m = y_{1}$.

Con fines de completez mencionaremos sin demostrar el teorema de existencia y unicidad que contiene las condiciones suficientes para la existencia y unicidad de una solución de un PVI de $n$-ésimo orden para el caso de ED lineales.

Teorema: Sean $a_{n}(x), a_{n -1}(x), \cdots, a_{1}(x), a_{0}(x)$ y $g(x)$ continuas en un intervalo $\delta$, y sea $a_{n}(x) \neq 0$, $\forall x \in \delta$. Si $x = x_{0}$ es cualquier punto en $\delta$, entonces una solución $y(x)$ del problema con valores iniciales para el caso de ED lineales existe en el intervalo y es única.

Podemos enunciar el teorema de existencia y unicidad para el caso de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden ($n = 2$) de la siguiente manera:

Teorema: Sean $a_{2}(x), a_{1}(x), a_{0}(x)$ y $g(x)$ continuas en un intervalo $\delta$, y sea $a_{2}(x) \neq 0$, $\forall x \in \delta$. Si $x = x_{0}$ es cualquier punto en $\delta$, entonces existe una única solución al problema con valores iniciales

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x)$$

Sujeta a que se cumplan las condiciones iniciales

$$y(x_{0}) = y_{0} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y^{\prime}(x_{0}) = y_{1}$$

en el intervalo $\delta$.

No demostraremos este teorema pero es importante notar que dentro del enunciado hemos escrito la definición de PVI para el caso de $n = 2$ (segundo orden). Veamos un ejemplo en donde apliquemos este último teorema.

Ejemplo: Probar que la función $y(x) = 3 e^{2x} + e^{-2x} -3x$ es solución al PVI

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4y = 12x; \hspace{1cm} y(0) = 4, \hspace{0.5cm} y^{\prime}(0) = 1$$

y además es única.

Solución: Primero probemos que es solución al PVI, para ello veamos que satisface la ecuación diferencial y además cumple con las condiciones iniciales.

Tenemos la función $y(x) = 3 e^{2x} + e^{-2x} -3x$, evaluemos en $x = 0$:

$$y(0) = 3 e^{0} + e^{0} -0 = 3 + 1 = 4 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y(0) = 4$$

Se cumple la primera condición inicial. Ahora calculemos la primer derivada y verifiquemos la segunda condición inicial.

$$\dfrac{dy}{dx} = 2(3 e^{2x}) -2(e^{-2x}) -3 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y^{\prime}(x) = 6 e^{2x} -2 e^{-2x} -3$$

Evaluando en $x = 0$:

$$y^{\prime}(0) = 6 e^{0} -2 e^{0} -3 = 6 -2 -3 = 1 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y^{\prime}(0) = 1$$

Se cumple la segunda condición inicial. Para concluir calculemos la segunda derivada y veamos que se satisface la ecuación diferencial.

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2(6 e^{2x}) -2(-2e^{-2x}) \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 12 e^{2x} + 4e^{-2x}$$

Notamos que

\begin{align*}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4y &= (12 e^{2x} + 4e^{-2x}) -4(3 e^{2x} + e^{-2x} -3x) \\
&= 12 e^{2x} + 4e^{-2x} -12 e^{2x} -4e^{-2x} + 12x \\
&= 12x
\end{align*}

Esto es, $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4y = 12x$. Por lo tanto la función $y(x) = 3 e^{2x} + e^{-2x} -3x$ es solución al PVI.

Es claro que el intervalo de solución es $\delta = (-\infty, \infty)$ y que $x_{0} = 0 \in \delta.$ Como $a_{2}(x) = 1 \neq 0, a_{0}(x) = -4$ y $g(x) = 12x$ son funciones continuas en $\delta$, por el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden concluimos que la función $y(x) = 3 e^{2x} + e^{-2x} -3x$ es única.

$\square$

Al haber aumentado el orden de las ecuaciones diferenciales aparece un nuevo problema que estudiaremos a continuación.

Problema con valores en la frontera

En el estudio de las ecuaciones de orden superior existe otro problema similar al PVI conocido como problema con valores en la frontera (PVF) en el que se busca resolver una ecuación diferencial de orden dos o mayor tal que la variable dependiente y/o sus derivadas se especifican en distintos puntos.

Con el propósito de que este concepto quede claro definiremos un problema con valores en la frontera para el caso de una ED lineal de segundo orden, pero siguiendo la idea se puede definir para una ecuación de orden superior a dos.

Definición: Sea un intervalo $\delta$ que contiene a los puntos $a$ y $b$. Un problema en el que se debe resolver la ecuación diferencial lineal

$$a_{2}(x) \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_{1}(x) \dfrac{dy}{dx} + a_{0}(x)y = g(x)$$

Sujeta a que se cumpla

$$y(a) = y_{0} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y(b) = y_{1}$$

Con $y_{0}$ y $y_{1}$ constantes reales arbitrarias dadas, se llama problema con valores en la frontera (PVF).

Definición: Los valores prescritos $y(a) = y_{0}$ y $y(b) = y_{1}$ se llaman condiciones en la frontera.

Así, resolver un PVF es hallar una función $y(x)$ que satisfaga la ecuación diferencial en algún intervalo $\delta$ que contiene a $a$ y $b$ y que cuya curva solución pase por los puntos $(a, y_{0})$ y $(b, y_{1})$.

La razón por la que definimos un PVF para el caso de una ED de segundo orden es porque es posible hacer notar que otros pares de condiciones en la frontera pueden ser

$$y^{\prime}(a) = y_{0} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y(b) = y_{1}$$

$$y(a) = y_{0} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y^{\prime}(b) = y_{1}$$

$$y^{\prime}(a) = y_{0} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} y^{\prime}(b) = y_{1}$$

Sin embargo, las condiciones en la frontera presentadas son sólo casos especiales de las condiciones en la frontera generales

\begin{align*}
\alpha_{1} y(a) + \beta_{1} y^{\prime}(a) &= \gamma_{1} \\
\alpha_{2} y(b) + \beta_{2} y^{\prime}(b) &= \gamma_{2}
\end{align*}

Es así que aumentando el orden de la ecuación, las combinaciones de pares de condiciones en la frontera aumentan.

A diferencia de un PVI en el que si existe una solución entonces ésta es única, en un PVF pueden existir varias soluciones distintas que satisfacen las mismas condiciones en la frontera, o bien, puede sólo existir una solución única o no tener ninguna solución. Veamos un ejemplo que muestre este hecho.

Ejemplo: Probar que la función general $y(x) = c_{1}x^{2} + c_{2}x^{4} + 3$ es solución de la ecuación diferencial $x^{2} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -5x \dfrac{dy}{dx} + 8y = 24$ y además, de acuerdo a las condiciones en la frontera dadas a continuación, se cumplen las siguientes propiedades:

  • $y(-1) = 0, \hspace{0.5cm} y(1) = 4 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}$ No existe una solución.
  • $y(0) = 3, \hspace{0.8cm} y(1) = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}$ Existen infinitas soluciones.
  • $y(1) = 3, \hspace{0.8cm} y(2) = 15 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}$ Existe una única solución.

Solución: De tarea moral verifica que la función $y(x) = c_{1}x^{2} + c_{2}x^{4} + 3$ es solución a la ecuación diferencial dada. Más adelante estudiaremos los métodos de resolución a este tipo de ecuaciones diferenciales de manera que seremos capaces de obtener esta función y probar, de hecho, que es la solución general a la ED. Por ahora sólo verifica que es solución.

Una vez comprobado que $y(x)$ es solución vamos a aplicar las condiciones de frontera de cada caso y veamos que ocurre con dicha solución.

  • Caso 1: $\hspace{0.5cm} y(-1) = 0, \hspace{0.5cm} y(1) = 4$

$$y(-1) = c_{1}(-1)^{2} + c_{2}(-1)^{4} + 3 = c_{1} + c_{2} + 3 = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} c_{1} + c_{2} = -3$$

$$y(1) = c_{1}(1)^{2} + c_{2}(1)^{4} + 3 = c_{1} + c_{2} + 3 = 4 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} c_{1} + c_{2} = 1$$

De ambas condiciones de la frontera obtenemos que $c_{1} + c_{2} = -3$ y a la vez $c_{1} + c_{2} = 1$ lo cual es imposible, por lo tanto en este caso NO existe una solución al PVF.

  • Caso 2: $\hspace{0.5cm} y(0) = 3, \hspace{0.5cm} y(1) = 0$

$$y(0) = c_{1}(0)^{2} + c_{2}(0)^{4} + 3 = 3 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} y(0) = 3$$

$$y(1) = c_{1}(1)^{2} + c_{2}(1)^{4} + 3 = c_{1} + c_{2} + 3 = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} c_{1} + c_{2} = -3$$

Vemos que la primer condición de frontera se cumple y aplicando la segunda obtenemos que $c_{1} + c_{2} = -3$ de donde $c_{2} = -(c_{1} +3)$, sustituyendo en la solución $y(x)$ obtenemos la función

$$y(x) = c_{1}x^{2} -(c_{1} +3) x^{4} + 3$$

Donde $c_{1}$ es un parámetro libre, lo que indica que en este caso existen infinitas soluciones, una por cada posible valor de $c_{1}$.

  • Caso 3: $\hspace{0.5cm} y(1) = 3, \hspace{0.5cm} y(2) = 15$

$$y(1) = c_{1}(1)^{2} + c_{2}(1)^{4} + 3 = c_{1} + c_{2} + 3 = 3 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} c_{1} + c_{2} = 0$$

$$y(2) = c_{1}(2)^{2} + c_{2}(2)^{4} + 3 = 4c_{1} + 16c_{2} + 3 = 15 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} c_{1} + 4c_{2} = 3$$

De ambas condiciones de frontera obtenemos el sistema de ecuaciones

\begin{align*}
c_{1} + c_{2} &= 0 \\
c_{1} + 4c_{2} &= 3
\end{align*}

De la primer ecuación obtenemos que $c_{1} = -c_{2}$, sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos $-c_{2} + 4c_{2} = 3c_{2} = 3$ de donde $c_{2} = 1$ y por tanto $c_{1} = -1$. Sustituyendo en la solución $y(x)$ obtenemos la función $y(x) = -x^{2} + x^{4} + 3$. Por lo tanto, al ser una función sin parámetros, la solución es única.

$\square$

Ahora estudiaremos algunos operadores importantes que nos ayudarán en las posteriores demostraciones de algunos teoremas importantes, además de que nos serán de utilidad en cuestiones de notación.

Operadores Diferenciales

Comencemos por definir el operador de derivada.

Definición: El operador $D = \dfrac{d}{dx}$ se llama operador diferencial y su propósito es considerar a la diferenciación como una operación abstracta que acepta una función derivable y devuelve otra función.

Con ayuda del operador diferencial, la notación de derivada que hemos utilizado ahora la podemos escribir como $Dy = \dfrac{dy}{dx} = y^{\prime}(x)$.

Por ejemplo, ahora podemos escribir $D \{ 2x \sin(x) \} = 2 \sin(x) + 2x \cos(x)$.

Usando el operador diferencial, las expresiones de las derivadas de orden superior se pueden escribir como

$$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{dy}{dx} \right) = \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = D(Dy) = D^{2}y$$

Y de manera general

$$\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}} = D^{n}y$$

Sabemos que la derivada es lineal (en el contexto del álgebra lineal) por tanto el operador diferencial también satisface las propiedades de linealidad:

  • $D \{ f(x) + g(x) \} = D \{f(x) \} + D \{g(x) \}$
  • $D \{cf(x) \} = cD \{f(x) \}$

Por otro lado, una ecuación diferencial como $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2\dfrac{dy}{dx} + 5y = 0$ se puede escribir en términos del operador diferencial como $D^{2}y -2Dy +5y = (D^{2} -2D +5)y = 0$, puedes observar que el lado izquierdo de ésta última expresión corresponde a una expresión polinomial en la que interviene el operador $D$, estas expresiones polinomiales son también un operador diferencial y tiene su nombre.

Definición: El operador

\begin{align}
\mathcal{L} = a_{n}(x)D^{n} + a_{n -1}(x)D^{n -1} + \cdots + a_{1}(x)D + a_{0}(x) \label{5} \tag{5}
\end{align}

Se llama operador diferencial de $n$-ésimo orden u operador polinomial.

Debido a que el operador polinomial esta definido con operadores diferenciales $D$, las propiedades de linealidad de $D$ le atribuyen a $\mathcal{L}$ linealidad. Más general, $\mathcal{L}$ operando sobre una combinación lineal de dos funciones derivables es lo mismo que la combinación lineal de $\mathcal{L}$ operando en cada una de las funciones, esto es

\begin{align}
\mathcal{L} \{ \alpha f(x) + \beta g(x) \} = \alpha \mathcal{L} \{f(x) \} + \beta \mathcal{L} \{g(x) \} \label{6} \tag{6}
\end{align}

Una primera ventaja de usar el operador polinomial es que las ecuaciones (\ref{3}) y (\ref{4}) se pueden escribir como

$$\mathcal{L}(y) = g(x) \hspace{1cm} y \hspace{1cm} \mathcal{L}(y) = 0$$

respectivamente.

A continuación el operador polinomial nos será de mucha utilidad.

Principio de superposición

Es posible obtener varias soluciones a una ecuación diferencial lineal homogénea (\ref{4}) y si sumamos o superponemos todas estas soluciones veremos que dicha función es también solución a la ecuación diferencial. Este hecho se muestra en el siguiente resultado conocido como principio de superposición para ecuaciones homogéneas.

Teorema: Sean $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ soluciones de la ecuación homogénea de $n$-ésimo orden (\ref{4}) en un intervalo $\delta$. Entonces la combinación lineal $y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{k}y_{k}(x)$, donde las $c_{i}$, $i = 1, 2, \cdots, k$ son constantes arbitrarias, también es una solución de (\ref{4}) en el intervalo $\delta$.

Demostración: Sea $\mathcal{L}$ el operador polinomial (\ref{5}) de $n$-ésimo orden y sean $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ soluciones a la ecuación homogénea (\ref{4}) en el intervalo $\delta$. Definamos la combinación lineal $y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{k}y_{k}(x)$ con $c_{i}$, $i = 1,2, \cdots, k$ constantes arbitrarias, vemos que

$$\mathcal{L}(y) = \mathcal{L} \{ c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{k}y_{k}(x) \}$$

Por la linealidad de $\mathcal{L}(y)$ (\ref{6}) tenemos que

$$\mathcal{L}(y) = c_{1} \mathcal{L} \{ y_{1}(x) \} + c_{2} \mathcal{L} \{ y_{2}(x) \} + \cdots + c_{k} \mathcal{L} \{ y_{k}(x) \}$$

Pero cada $y_{i}$, $i = 1, 2, \cdots, k$ es solución de (\ref{4}), entonces $\mathcal{L}(y_{i}) = 0$, para todo $i = 1, 2, \cdots, k$, así la expresión anterior se reduce a lo siguiente

$$\mathcal{L}(y) = c_{1} 0 + c_{2} 0 + \cdots + c_{k} 0 = 0$$

Por lo tanto $\mathcal{L}(y) = 0$, es decir, la combinación lineal $y(x) = c_{1}y_{1}(x) + c_{2}y_{2}(x) + \cdots + c_{k}y_{k}(x)$ es también solución a la ecuación diferencial homogénea (\ref{4}).

$\square$

Algunos corolarios del teorema anterior son:

  • Un múltiplo constante $y(x) =c_{1}y_{1}(x)$ de una solución $y_{1}(x)$ de una ecuación diferencial lineal homogénea es también una solución.

Demostración: Consideremos a la función $y =c_{1}y_{1}(x)$, aplicando el operador polinomial $\mathcal{L}$ tenemos que

$$\mathcal{L}(y) = \mathcal{L} \{ c_{1}y_{1}(x) \} = c_{1} \mathcal{L} \{ y_{1}(x) \} = 0$$

Ya que $y_{1}(x)$ es solución de la ecuación homogénea, es decir, $\mathcal{L} \{y_{1} \} = 0 $. Por lo tanto la función $y(x) =c_{1}y_{1}(x)$ es también solución de la ecuación diferencial homogénea.

$\square$

  • Una ecuación diferencial lineal homogénea tiene siempre la solución trivial $y(x) = 0$.

Usando el teorema anterior y la definición de $\mathcal{L}$ es clara la demostración, inténtalo.

Realicemos un ejemplo para observar que se satisface el principio de superposición.

Ejemplo: Mostrar que las funciones $y_{1}(x) = x^{2}$ y $y_{2}(x) = x^{2} \ln(x)$ son soluciones a la ecuación diferencial lineal homogénea $x^{3} \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} -2x \dfrac{dy}{dx} + 4y = 0$ en el intervalo $\delta = (0, \infty)$. Y mostrar que, por el principio de superposición, la combinación lineal $y(x) = c_{1} x^{2} + c_{2} x^{2} \ln(x)$ es también solución de la ecuación en el mismo intervalo.

Solución: De tarea moral verifica que las funciones $y_{1}(x) = x^{2}$ y $y_{2}(x) = x^{2} \ln(x)$ son soluciones a la ecuación diferencial en el intervalo $\delta = (0, \infty)$.

Una vez asegurado que ambas funciones son solución, de acuerdo al principio de superposición, la combinación lineal de ambas funciones $y(x) = c_{1} x^{2} + c_{2} x^{2} \ln(x)$ debe ser también solución a la ecuación, veamos que es así. Para ello vamos a calcular la primera, segunda y tercera derivada. Para la primer derivada tenemos:

$$\dfrac{dy}{dx} = 2c_{1}x + 2c_{2}x \ln(x) + c_{2} x$$

La segunda derivada es:

$$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = 2c_{1} + 2c_{2} \ln(x) + 3c_{2}$$

Finalmente, la tercer derivada es:

$$\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} = \dfrac{2c_{2}}{x}$$

Sustituyendo los valores correspondientes en la ecuación diferencial, tenemos

\begin{align*}
x^{3} \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} -2x \dfrac{dy}{dx} + 4y &= x^{3} \left( \dfrac{2c_{2}}{x} \right) -2x (2c_{1}x + 2c_{2}x \ln(x) + c_{2} x) + 4(c_{1} x^{2} + c_{2} x^{2} \ln(x)) \\
&= 2c_{2}x^{2} -4c_{1}x^{2} -4c_{2}x^{2} \ln(x) -2c_{2} x^{2} + 4c_{1} x^{2} + 4c_{2} x^{2} \ln(x) \\
&= c_{1}(4x^{2} -4x^{2}) + c_{2}(2x^{2} -2x^{2} + 4x^{2}\ln(x) -4x^{2}\ln(x)) \\
&= c_{1}(0) + c_{2}(0) \\
&= 0
\end{align*}

Hemos recuperado la ecuación diferencial $x^{3} \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}} -2x \dfrac{dy}{dx} + 4y = 0$, por lo tanto, la combinación lineal $y(x) = c_{1} x^{2} + c_{2} x^{2} \ln(x)$ es también solución a la ecuación diferencial verificando el principio de superposición. Es claro que la función $\ln(x)$ restringe los valores de $x$ de manera que el intervalo $\delta = (0, \infty)$ es el intervalo en el que la función $y(x)$ es continua.

$\square$

Dependencia e independencia lineal

El principio de superposición trae consigo el concepto de combinación lineal y, como seguramente recordarás de tu curso de álgebra lineal, si un elemento de un espacio vectorial se puede escribir como combinación lineal de otros elementos del mismo espacio vectorial decimos que dicho elemento es linealmente dependiente y si no es dependiente entonces decimos que es linealmente independiente. Ahora es necesario definir estos conceptos en el contexto de las ecuaciones diferenciales lineales.

Definición: Se dice que un conjunto de funciones $f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ es linealmente dependiente en un intervalo $\delta$ si existen constantes $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$ no todas cero, tales que

$$c_{1}f_{1}(x) + c_{2}f_{2}(x) + \cdots + c_{n}f_{n}(x) = 0$$

para toda $x$ en $\delta$. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en $\delta$, se dice que es linealmente independiente.

Podemos decir que un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo $\delta$ si las únicas constantes para las que

$$c_{1}f_{1}(x) + c_{2}f_{2}(x) + \cdots +c_{n}f_{n}(x) = 0, \hspace{1cm} \forall x \in \delta$$

son $c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{n} = 0$.

Realicemos algunas observaciones para el caso $n = 2$. Dos funciones $f_{1}(x), f_{2}(x)$ son linealmente dependientes en el intervalo $\delta$, donde ambas están definidas, si en dicho intervalo son proporcionales, esto es, si $f_{1}(x) = c_{1}f_{2}(x)$ o $f_{2}(x) = c_{2}f_{1}(x)$ donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son constantes distintas de cero, de esta manera, si $f_{1}(x)$ y $f_{2}(x)$ no son proporcionales en el intervalo $\delta$ entonces ambas funciones son linealmente independientes en dicho intervalo.

De las relaciones de proporcionalidad notamos que $\dfrac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)} = c_{1}$ y $\dfrac{f_{2}(x)}{f_{1}(x)} = c_{2}$, con estas relaciones podemos establecer que $f_{1}(x)$ y $f_{2}(x)$ son linealmente dependientes en el intervalo $\delta$ si cada cociente es una constante a lo largo de todo el intervalo $\delta$ y por otro lado, si los cocientes dependen de $x$ en el intervalo $\delta$ entonces las funciones $f_{1}(x)$ y $f_{2}(x)$ son linealmente independientes.

En definitiva, las funciones $f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ son linealmente dependientes en el intervalo $\delta$ si al menos una de ellas puede expresarse como combinación lineal de las otras. En caso contrario, las funciones son linealmente independientes.

Por ejemplo, dado el conjunto de funciones $f_{1}(x) = 4x^{3}, f_{2}(x) = 2x^{2}, f_{3}(x) = 8x^{3} + 12x^{2}$, es sencillo darse cuenta que $f_{3}(x) = 2f_{1}(x) + 6f_{2}(x)$. Por lo tanto el conjunto de funciones es linealmente dependiente.

Ejemplo: Determinar si las funciones $y_{1}(x) = c_{1} e^{-x}$ y $y_{2}(x) = c_{2}x e^{-x}$ son linealmente dependientes o linealmente independientes. Probar además que dichas funciones por separado son solución a la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$ y verifica que, por el principio de superposición, la combinación lineal $y(x) = c_{1} e^{-x} + c_{2}x e^{-x}$ es también solución a la ecuación diferencial.

Solución: Como vimos, hay distintas formas de verificar si las funciones son linealmente dependientes o linealmente independientes, quizá la forma más práctica es observar si el cociente $\dfrac{y_{1}}{y_{2}}$ o $\dfrac{y_{2}}{y_{1}}$ es constante o dependiente de $x$ en el intervalo $\delta$ en el que ambas están definidas.

Observamos primero que ambas funciones $y_{1}(x) = c_{1} e^{-x}$ y $y_{2}(x) = c_{2}x e^{-x}$ están definidas en el intervalo $(-\infty, \infty)$, por tanto $\delta = (-\infty, \infty)$. Ahora bien, notamos que $\dfrac{y_{1}}{y_{2}} = \dfrac{c_{1}}{c_{2} x}$ o bien $\dfrac{y_{2}}{y_{1}} = \dfrac{c_{2} x}{c_{1}}$, como podemos ver, ambos cocientes son dependientes de la variable independiente $x$ por lo tanto, concluimos que las funciones son linealmente independientes.

Continuando con el ejercicio, vamos a verificar que cada función $y_{1}(x)$ y $y_{2}(x)$ es solución a la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$.

Para la primer función tenemos

$$y_{1}(x) = c_{1} e^{-x} \hspace{0.8cm} \Rightarrow \hspace{0.8cm} \dfrac{dy_{1}}{dx} = -c_{1} e^{-x} \hspace{0.8cm} \Rightarrow \hspace{0.8cm} \dfrac{d^{2}y_{1}}{dx^{2}} = c_{1} e^{-x}$$

Sustituimos en la ED

\begin{align*}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y &= c_{1} e^{-x} + 2(-c_{1} e^{-x}) + c_{1} e^{-x} \\
&= 2c_{1} e^{-x} -2c_{1} e^{-x} \\
&= 0
\end{align*}

Esto es $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$, por lo tanto la función $y_{1}(x) = c_{1} e^{-x}$ satisface la ED.

Para la segunda función tenemos lo siguiente:

$$y_{2}(x) = c_{2}x e^{-x} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \dfrac{dy_{2}}{dx} = c_{2} e^{-x} -c_{2}x e^{-x} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \dfrac{d^{2}y_{2}}{dx^{2}} = -2c_{2} e^{-x} + c_{2}x e^{-x}$$

Sustituyendo en la ED tenemos:

\begin{align*}
\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y &= (-2c_{2} e^{-x} + c_{2}x e^{-x}) + 2(c_{2} e^{-x} -c_{2}x e^{-x}) + c_{2}x e^{-x} \\
&= -2c_{2} e^{-x} + c_{2}x e^{-x} + 2c_{2} e^{-x} -2c_{2}x e^{-x} + c_{2}x e^{-x} \\
&= (2c_{2} e^{-x} -2c_{2} e^{-x}) + (2c_{2}x e^{-x} -2c_{2}x e^{-x}) \\
&= 0
\end{align*}

Esto es $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$, por lo tanto la función $y_{2}(x) = c_{2}x e^{-x}$ satisface la ED.

Ahora que hemos probado que ambas funciones son solución a la ecuación diferencial podemos aplicar el principio de superposición y concluir que la combinación lineal $y(x) = c_{1} e^{-x} + c_{2}x e^{-x}$ es también solución a la ecuación diferencial, de tarea moral verifica que en efecto es solución a la ED.

$\square$

Para finalizar esta entrada definiremos un concepto sumamente importante y el cual estudiaremos con mayor detalle en la siguiente entrada.

En el ejemplo anterior mostramos que las funciones $y_{1}(x) = c_{1} e^{-x}$ y $y_{2}(x) = c_{2}x e^{-x}$ son linealmente independientes y ambas por separado son solución a la ecuación diferencial homogénea $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$. En general, al conjunto de $n$ soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de $n$-ésimo orden se le da el nombre de conjunto fundamental de soluciones.

Definición: Cualquier conjunto $\{y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\}$ de $n$ soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de $n$-ésimo orden en un intervalo $\delta$ es un conjunto fundamental de soluciones en dicho intervalo.

Así, el conjunto $\{ y_{1}(x) = c_{1} e^{-x}, y_{2}(x) = c_{2}x e^{-x} \}$ es un conjunto fundamental de la ecuación diferencial homogénea $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0$, en el intervalo $\delta = (-\infty, \infty)$.

En la siguiente entrada retomaremos este concepto.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Problemas con valores iniciales.
  • La solución general a la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -y = 0$ es $y(x) = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{-x}$ definida en $\delta = (-\infty, \infty)$. Determinar la solución particular que es solución al PVI dadas las condiciones iniciales

$$y(0) = 0, \hspace{1cm} y^{\prime}(0) = 1$$

  • Dado que $x(t) = c_{1} \cos(\omega t) + c_{2} \sin(\omega t)$ es la solución general de $x^{\prime \prime} + \omega^{2} x = 0$ en el intervalo $(-\infty, \infty)$, demuestra que la solución que satisface las condiciones iniciales $x(0) = x_{0}$ y $x^{\prime}(0) = x_{1}$ esta dada por

$$x(t) = x_{0} \cos(\omega t) + \dfrac{x_{1}}{\omega} \sin(\omega t)$$

  1. Problema con condiciones en la frontera.
  • La función $y(x) = c_{1} e^{x} \cos(x) + c_{2} e^{x} \sin(x)$ es una solución de la ecuación diferencial $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -2 \dfrac{dy}{dx} + 2y = 0$ en el intervalo $(-\infty, \infty)$. Determina si se puede encontrar una solución que satisfaga las siguientes condiciones en la frontera.

$$a) \hspace{0.1cm} y(0) = 1, \hspace{0.4cm} y^{\prime}(\pi) = 0; \hspace{1.5cm} b) \hspace{0.1cm} y(0) = 1, \hspace{0.4cm} y(\pi) = -1$$

$$c) \hspace{0.1cm} y(0) = 1, \hspace{0.4cm} y \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 1; \hspace{1.2cm} d) \hspace{0.1cm} y(0) = 0, \hspace{0.4cm} y(\pi) = 0$$

  1. Determina si los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes en el intervalo $(-\infty, \infty )$.
  • $f_{1}(x) = x, \hspace{0.5cm} f_{2}(x) = x^{2}, \hspace{0.5cm} f_{3}(x) = 4x -3x^{2}$
  • $f_{1}(x) = 1+ x, \hspace{0.5cm} f_{2}(x) = x, \hspace{0.5cm} f_{3}(x) = x^{2}$
  • $f_{1}(x) = e^{x}, \hspace{0.5cm} f_{2}(x) = e^{-x}, \hspace{0.5cm} f_{3}(x) = \sinh (x)$
  1. Comprobar que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo que se indica y formar la solución general.
  • $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -\dfrac{dy}{dx} -12y = 0; \hspace{1cm} y_{1} = e^{-3x}, \hspace{0.4cm} y_{2} = e^{4x}; \hspace{1cm} (-\infty, \infty)$
  • $4 \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -4 \dfrac{dy}{dx} + y = 0; \hspace{1cm} y_{1} = e^{\frac{x}{2}}, \hspace{0.4cm} y_{2} = x e^{\frac{x}{2}}; \hspace{1cm} (-\infty, \infty)$
  • $x^{2} \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} -6x \dfrac{dy}{dx} + 12y = 0; \hspace{1cm} y_{1} = x^{3}, \hspace{0.4cm} y_{2} = x^{4}; \hspace{1cm} (0, \infty)$

Más adelante…

Hemos comenzado nuestro estudio sobre las ecuaciones diferenciales de orden superior, vimos que, además del problema con valores iniciales, ahora nos enfrentamos a un nuevo problema conocido como problema con valores en la frontera. Definimos algunos operadores de interés y demostramos el principio de superposición. Finalmente, vimos que si las soluciones son funciones linealmente independientes entonces forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial.

Antes de pasar directamente a estudiar los distintos métodos de resolución que hay para este tipo de ecuaciones vamos a estudiar algunas propiedades de las soluciones mismas. Veremos cuál es la forma de la solución general a estas ecuaciones, la importancia de que las soluciones sean linealmente independientes y definiremos el concepto de Wronskiano, el cual será una herramienta muy importante para determinar la dependencia o independencia lineal de las soluciones. Por supuesto, profundizaremos más en el concepto de conjunto fundamental de soluciones.

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