Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y el teorema de existencia y unicidad – Método de variación de parámetros

Las leyes de la naturaleza no son más que los pensamientos matemáticos de Dios.
– Euclides

Introducción

Hemos comenzado a desarrollar métodos de resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El tipo de ecuaciones que queremos resolver es

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \label{1} \tag{1}$$

En la entrada anterior vimos que la solución general $y(x)$ es la suma de la solución homogénea $y_{h}(x)$, más la solución particular $y_{p}(x)$.

$$y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) \label{2} \tag{2}$$

La solución homogénea está dada como

$$y_{h}(x) = k e^{- \int P(x) dx} = \dfrac{k}{\mu (x)} \label{3} \tag{3}$$

Mientras que la solución particular tiene la forma

$$y_{p}(x) = e^{- \int{P(x) dx}} \left( \int{e^{\int{P(x) dx}} Q(x) dx} \right) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} \right) \label{4} \tag{4}$$

Donde $\mu (x)$ es el factor integrante

$$\mu(x) = e^{\int{P(x) dx}} \label{5} \tag{5}$$

Así, la solución general de la ecuación diferencial (\ref{1}) es

$$y(x) = k e^{-\int{P(x) dx}} + e^{-\int{P(x) dx}} \left(\int{e^{\int{P(x) dx}}Q(x) dx}\right) \label{6} \tag{6}$$

O de forma más compacta

$$y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} + k \right) \label{7} \tag{7}$$

En la entrada anterior mencionamos que hay dos métodos distintos para la obtención de la solución particular, ya presentamos el método por factor integrante, en este entrada vamos a desarrollar el método conocido como variación de parámetros.

Método de variación de parámetros

Sabemos que la solución de la ecuación diferencial homogénea

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = 0 \label{8} \tag{8}$$

es

$$y_{h}(x) = k e^{- \int P(x) dx}$$

Este resultado nos incita a suponer que para la ecuación no homogénea

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

la solución particular puede tener la forma

$$y_{p}(x) = k(x) e^{- \int P(x) dx} \label{9} \tag{9}$$

En donde $k$ pasa a ser una función dependiente de $x$. El método de variación de parámetros consiste en determinar justamente la expresión explícita de $k(x)$.

Sustituyamos la solución propuesta (\ref{9}) en la ecuación no homogénea.

\begin{align*}
\dfrac{dy_{p}}{dx} + P(x) y_{p} &= \dfrac{d}{dx} \left(k e^{- \int P(x) dx} \right) + P(x) k e^{- \int P(x) dx} \\
&= \left[k \dfrac{d}{dx} \left( e^{- \int P(x) dx} \right) + \dfrac{dk}{dx} e^{- \int P(x) dx}\right] + P(x) k e^{- \int P(x) dx} \\
&= – k P(x) e^{- \int P(x) dx} + \dfrac{dk}{dx} e^{- \int P(x) dx} + k P(x) e^{- \int P(x) dx} \\
&= \dfrac{dk}{dx} e^{- \int P(x) dx} \\
&= Q(x)
\end{align*}

De la última igualdad obtenemos que

$$\dfrac{dk}{dx} = e^{\int P(x) dx} Q(x) \label{10} \tag{10}$$

Integremos ambos lados de la ecuación con respecto a $x$.

\begin{align*}
\int{\left( \dfrac{dk}{dx} \right) dx} &= \int{ \left( e^{\int P(x) dx} Q(x) \right) dx} \\
k(x) + c &= \int{ \left( e^{\int P(x) dx} Q(x) \right) dx} \\
\end{align*}

Si consideramos $c = 0$ obtenemos que la forma explícita de $k(x)$ es

$$k(x) = \int{ e^{\int P(x) dx} Q(x) dx} \label{11} \tag{11}$$

Sustituyamos este resultado en la solución particular (\ref{9}).

$$y_{p}(x) = \left( \int{e^{\int P(x) dx} Q(x) dx} \right) e^{- \int P(x) dx} \label{12} \tag{12}$$

Si consideramos el factor integrante (\ref{5}) esta función la podemos escribir como

$$y_{p}(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} \right) \label{13} \tag{13}$$

Hemos obtenido la misma expresión que usando el método por factor integrante visto en la entrada anterior.

Algunas consideraciones

La solución completa (o solución general) de la ecuación diferencial lineal (\ref{1}) es la suma de la solución homogénea $y_{h}(x)$, más la solución particular $y_{p}(x)$, es importante reconocer este hecho ya que en muchas ocasiones la ecuación homogénea, y por tanto la solución homogénea, serán muy relevantes si estamos estudiando algún fenómeno real. Sin embargo, cuando nuestro objetivo es obtener la solución completa no es necesario obtener ambas soluciones por separado para después sumarlas, sino que podemos intentar obtener directamente la solución general, esto está directamente relacionado con la omisión de constantes de integración que hemos hecho, así que es momento de explicar qué está ocurriendo con estas constantes.

Es posible desarrollar los métodos por factor integrante y variación de parámetros manteniendo las constantes de integración, aunque los cálculos se vuelven más extensos, sin embargo al final todas las constantes que resulten se pueden agrupar en una sola constante $C$, es así que en ambos métodos siempre llegaremos al resultado

$$y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} + C \right) \label{14} \tag{14}$$

Donde $C$ es la constante resultante de juntar todas las constantes de integración que pudieran aparecer en el proceso.

El resultado (\ref{14}) corresponde a la solución general que hemos obtenido anteriormente, es decir, si en ambos métodos mantenemos a las constantes de integración podemos obtener la solución general. Lo que nosotros hicimos anteriormente fue que la constante $k$ de la ecuación (\ref{7}) la asociábamos a la solución homogénea (\ref{3}), de manera que al sumar ambas soluciones ya obteníamos la solución general, pero en realidad también se puede obtener de ambos métodos manteniendo a las constantes. Decidimos hacerlo así porque es importante el papel que pueden tomar por separado las soluciones homogénea y particular en algunas situaciones, además de que omitir las constantes evitó hacer cálculos extensos en ambos métodos.

Finalmente, como ya mencionamos antes, no se recomienda resolver ecuaciones diferenciales usando las formulas obtenidas para las soluciones, sino aplicar cada paso del método correspondiente, sin embargo, a continuación presentamos una serie de pasos que se recomiendan seguir para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Método para resolver ecuaciones lineales

Si bien es cierto que ya conocemos las formas explícitas de las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales, es conveniente seguir una serie de pasos para resolverlas. Dichos pasos se describen a continuación.

  1. Escribir la ecuación lineal en la forma canónica

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

  1. Calcular el factor integrante $\mu (x)$ mediante la formula

$$\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$$

  1. Multiplicar a la ecuación diferencial en su forma canónica por el factor integrante en ambos lados de la ecuación.

$$\mu (x) \dfrac{dy}{dx} + \mu (x) P(x) y = \mu (x) Q(x)$$

  1. Identificar que el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de $\mu(x)$ por $y(x)$ y sustituir.

$$\dfrac{d}{dx} (\mu y) = \mu (x) Q(x)$$

  1. Integrar la última ecuación y dividir por $\mu (x)$ para obtener finalmente la solución general $y(x)$. En la última integración debemos considerar a la constante de integración.

Esta serie de pasos nos permiten obtener directamente la solución general de la ecuación diferencial lineal es por ello que en el último paso sí debemos considerar a la constante de integración, dicha constante representa el resultado de juntar todas las contantes que podremos omitir en pasos intermedios.

Realicemos un ejemplo en el que apliquemos este algoritmo de resolución.

Ejemplo: Determinar la solución general de la ecuación diferencial

$$\left( x^{2} +1 \right) \dfrac{dy}{dx} = x^{2} + 2x -1 -4xy$$

Solución: El primer paso es escribir a la ecuación diferencial en la forma canónica.

\begin{align*}
\left( x^{2} +1 \right) \dfrac{dy}{dx} &= x^{2} + 2x -1 -4xy \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{x^{2} + 2x -1 -4xy}{x^{2} +1} \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1} -\left( \dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) y
\end{align*}

La forma canónica es

$$\dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) y = \dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1}$$

Identificamos que

$$P(x) = \dfrac{4x}{x^{2} +1} \hspace{1cm} y \hspace{1cm} Q(x) = \dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1}$$

El segundo paso es determinar el factor integrante.

$$\mu(x) = e^{\int{P(x) xd}} = e^{\int{\left( \dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) dx}}$$

Resolvamos la integral omitiendo la constante de integración.

\begin{align*}
\int{\dfrac{4x}{x^{2} +1} dx} &= 4 \int{\dfrac{x}{x^{2} +1} dx} \\
&= \dfrac{4}{2} \ln{\left( x^{2} + 1 \right)} \\
&= 2 \ln{\left(x^{2} + 1\right)} \\
&= \ln{\left( x^{2} + 1\right)^{2}}
\end{align*}

Sustituimos en el factor integrante.

\begin{align*}
\mu (x) = e^{\ln{\left( x^{2} + 1\right)^{2}}} = \left( x^{2} + 1\right)^{2}
\end{align*}

Por tanto, el factor integrante es

$$\mu (x) = ( x^{2} + 1)^{2}$$

El tercer paso es multiplicar a la ecuación diferencial en su forma canónica por el factor integrante en ambos lados.

\begin{align*}
\left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + \left( x^{2} + 1\right)^{2} \left( \dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) y &= \left( x^{2} + 1\right)^{2} \left(\dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1}\right) \\
\left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + 4x \left( x^{2} + 1\right) y &= \left( x^{2} + 1\right) \left(x^{2} + 2x -1\right) \\
\left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + 4x \left( x^{2} + 1\right) y &= x^{4} + 2x^{3} +2x -1
\end{align*}

El cuarto paso es identificar que

$$\dfrac{d}{dx}(\mu (x) y(x)) = \dfrac{d}{dx}\left( y \left( x^{2} + 1\right)^{2}\right) = \left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + 4x \left( x^{2} + 1\right) y$$

Así que ahora podemos escribir

$$\dfrac{d}{dx}\left( y \left( x^{2} + 1\right)^{2}\right) = x^{4} + 2x^{3} +2x -1$$

El quinto y último paso es integrar esta relación por ambos lados con respecto a $x$ considerando a la constante de integración.

\begin{align*}
\int{\dfrac{d}{dx}\left( y \left( x^{2} + 1\right)^{2}\right) dx} &= \int{\left( x^{4} + 2x^{3} +2x -1\right)}dx \\
y \left( x^{2} + 1\right)^{2} + k &= \int{\left( x^{4} + 2x^{3} +2x -1\right)} dx
\end{align*}

Resolvamos la integral.

\begin{align*}
\int{\left( x^{4} + 2x^{3} +2x -1\right)} dx &= \int{x^{4} dx} + \int{2x^{3} dx} + \int{2x dx} -\int{dx} \\
&= \dfrac{x^{5}}{5} + 2\left(\dfrac{x^{4}}{4}\right) + 2 \left(\dfrac{x^{2}}{2}\right) -x \\
&= \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x
\end{align*}

Omitimos todas las constantes de esta integral. Sustituyendo este resultado obtenemos

\begin{align*}
y \left( x^{2} + 1\right)^{2} + k &= \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x \\
y\left( x^{2} + 1\right)^{2} &= \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x + K \\
y(x) &= \dfrac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left( \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x + K \right)
\end{align*}

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial

$$\left( x^{2} +1 \right) \dfrac{dy}{dx} = x^{2} + 2x -1 -4xy$$

es

$$y(x) = \dfrac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left( \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x + K\right)$$

Donde $K$ es la constante que engloba a todas las contantes de integración que omitimos.

$\square$

Para concluir el análisis de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, presentaremos el teorema de existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones.

Teorema de existencia y unicidad

Ya presentamos el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden, podemos usar este resultado para justificar el teorema de existencia y unicidad para el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Teorema: Consideremos la ecuación diferencial lineal

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Si $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo $\delta \in \mathbb{R}$, entonces existe una única función $\gamma (x)$ tal que satisface el problema de valor inicial (PVI):

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x), \hspace{0.8cm} y(x_{0}) = y_{0}, \hspace{0.8cm} x_{0} \in \delta, \hspace{0.8cm} y_{0} \in Im(y).$$

Demostración: Consideremos la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Reescribamos esta ecuación en su forma normal.

$$\dfrac{dy}{dx} = Q(x) -P(x) y$$

Definimos

$$f(x, y) = Q(x) -P(x) y \label{15} \tag{15}$$

De manera que

$$\dfrac{dy}{dx} = f(x, y) \label{16} \tag{16}$$

Debido a que en un intervalo de solución $\delta$ debe satisfacerse que $P(x)$ y $Q(x)$ sean continuas, entonces tenemos garantizado que (\ref{15}) es continua y por tanto $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ también lo es, con esto estamos cumpliendo las hipótesis del teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden que establecimos anteriormente, aplicando dicho teorema obtenemos que entonces existe algún intervalo $\delta_{0}: (x_{0} -h, x_{0} + h)$, $h > 0$, contenido en $\delta$, y una función única $\gamma (x)$, definida en $\delta_{0}$, que satisface la condición inicial $y(x_{0}) = y_{0}$.

$\square$

Apliquemos este resultado a la solución general. Consideremos la condición inicial $y(x_{0}) = y_{0}$ y la solución general de la ecuación diferencial no homogénea (\ref{1})

$$y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} + k \right)$$

Apliquemos la condición inicial.

$$y_{0} = y(x_{0}) = \dfrac{1}{\mu (x_{0})} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} \Bigg|_{x = x_{0}} + k \right) \label{17} \tag{17}$$

De este resultado se puede despejar a $k$ obteniendo un único valor, digamos $k = k_{0}$, por lo tanto la función

$$\gamma (x) = \dfrac{1}{\mu (x_{0})} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} + k_{0} \right) \label{18} \tag{18}$$

es solución del problema de valor inicial. Así, para cada $x_{0} \in \delta_{0}$, encontrar una solución particular de la ecuación (\ref{1}) es exactamente lo mismo que encontrar un valor adecuado de $k$ en la ecuación (\ref{17}), es decir, a toda $x_{0} \in \delta_{0}$ le corresponde un distinto $k$.

Con esto damos por concluido el desarrollo de métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, en la siguiente entrada comenzaremos a desarrollar métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden que no son lineales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. De acuerdo al algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.
  • $3\dfrac{y}{x} -8 + 3\dfrac{dy}{dx} = 0$
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0$
  • $\dfrac{dy}{dx} + \cos(x) (y -1) = 0$
  1. Una vez que se conoce la solución general de la ecuación diferencial
    $$x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0$$
    Resolver los siguientes problemas de valor inicial y analizar cada situación considerando el teorema de existencia y unicidad.
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0, \hspace{1cm} y(0) = 0$
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0, \hspace{1cm} y(0) = y_{0}, \hspace{1cm} y_{0} > 0$
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0, \hspace{1cm} y(x_{0}) = y_{0}, \hspace{1cm} x_{0} > 0, \hspace{0.3cm} y_{0} > 0$

    ¿Que se puede concluir al respecto?.

Más adelante…

Ya sabemos resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden tanto homogéneas como no homogéneas y conocemos el teorema de existencia y unicidad que justifica los métodos que hemos desarrollado.

En la siguiente entrada comenzaremos a desarrollar métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales.

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