Ecuaciones Diferenciales I: Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y el teorema de existencia y unicidad

Introducción

En la entrada anterior estudiamos las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Recapitulando, el tipo de ecuaciones que queremos resolver es

\begin{equation}
\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) \tag{1} \label{1}
\end{equation}

Vimos que la solución general $y(x)$ es la suma de la solución homogénea y la solución particular:

$$y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x)$$

La solución homogénea está dada como:

$$y_{h}(x) = k e^{- \int P(x) dx} = \dfrac{k}{\mu (x)}$$

mientras que la solución particular tiene la forma:

$$y_{p}(x) = e^{- \int{P(x) dx}} \left( \int{e^{\int{P(x) dx}} Q(x) dx} \right) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} \right)$$

Donde $\mu (x)$ es el factor integrante, $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$

Así, la solución general a la ecuación diferencial (\ref{1}) es:

\begin{equation}
y(x) = k e^{-\int{P(x) dx}} + e^{-\int{P(x) dx}} \left(\int{e^{\int{P(x) dx}}Q(x) dx}\right) \tag{2} \label{2}
\end{equation}

O de forma más compacta

\begin{equation}
y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} + k \right) \tag{3} \label{3}
\end{equation}

Con $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$.

En la entrada anterior mencionamos que hay dos métodos distintos para la obtención de la solución particular, ya presentamos el método por factor integrante, en este entrada vamos a desarrollar el método conocido como variación de parámetros.

Método de variación de parámetros

En la entrada anterior vimos que la solución a la ecuación homogénea

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = 0$$

es $y_{h}(x) = k e^{- \int P(x) dx}$. Vamos a suponer que para la ecuación

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

la solución particular es $y_{p}(x) = k(x) e^{- \int P(x) dx}$, en este caso $k$ es una función de $x$. Vamos a buscar la expresión explícita de $k(x)$, para ello vamos a sustituir $y_{p}$ en la ecuación diferencial.

\begin{align*}
\dfrac{dy_{p}}{dx} + P(x) y_{p} &= \dfrac{d}{dx} \left(k e^{- \int P(x) dx} \right) + P(x) k e^{- \int P(x) dx} \\
&= \left[k \dfrac{d}{dx} \left( e^{- \int P(x) dx} \right) + \dfrac{dk}{dx} e^{- \int P(x) dx}\right] + P(x) k e^{- \int P(x) dx} \\
&= – k P(x) e^{- \int P(x) dx} + \dfrac{dk}{dx} e^{- \int P(x) dx} + k P(x) e^{- \int P(x) dx} \\
&= \dfrac{dk}{dx} e^{- \int P(x) dx} \\
&= Q(x)
\end{align*}

De la última igualdad obtenemos que

$$\dfrac{dk}{dx} = e^{\int P(x) dx} Q(x)$$

Integrando ambos lados de la ecuación con respecto a $x$ tenemos

\begin{align*}
\int{\left( \dfrac{dk}{dx} \right) dx} &= \int{ \left( e^{\int P(x) dx} Q(x) \right) dx} \\
k(x) + c &= \int{ \left( e^{\int P(x) dx} Q(x) \right) dx} \\
k(x) &= \int{ e^{\int P(x) dx} Q(x) dx}
\end{align*}

Donde consideramos que $c = 0$. Sustituyendo el valor de $k(x)$ en la solución particular $y_{p} = k(x) e^{- \int P(x) dx}$ obtenemos finalmente que

$$y_{p}(x) = e^{- \int P(x) dx} \left( \int{e^{\int P(x) dx} Q(x) dx} \right)$$

Si sustituimos el factor integrante $\mu (x) = e^{\int P(x) dx}$ el resultado queda como

$$y_{p} = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} \right)$$

De esta manera recuperamos el mismo resultado que usando el método del factor integrante visto en la entrada anterior.

Algunas consideraciones

En esta sección queremos aclarar algunos puntos importantes sobre la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales.

Al inicio de la entrada anterior vimos que la solución completa (o solución general) a la ecuación diferencial lineal $\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ es la suma de la solución homogénea $y_{h}(x)$ mas la solución particular $y_{p}(x)$, es importante reconocer este hecho ya que en muchas ocasiones la ecuación homogénea y por tanto la solución homogénea serán muy relevantes si estamos estudiando un fenómeno real, sin embargo, cuando nuestro objetivo es obtener la solución completa no es necesario obtener ambas soluciones por separado para después sumarlas, sino que podemos directamente intentar obtener la solución general. Obtener directamente la solución general está relacionado con la omisión de constantes de integración que hemos hecho, así que es momento de explicar qué está ocurriendo con estas constantes.

Te invito a que desarrolles de nuevo el método de factor integrante y de variación de parámetros pero ahora manteniendo a las constantes de integración, los cálculos serán un poco más extensos pero al final notarás que todas las constantes que resulten se pueden agrupar en una sola constante $C$, es así que en ambos métodos llegarás al siguiente resultado:

$$y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{\mu (x)Q(x) dx} + C \right)$$

Donde $C$ es la constante resultante de juntar todas las contantes de integración que pudieran aparecer y $\mu$ es el factor integrante. Puedes notar que esta es la forma de la solución general que hemos obtenido anteriormente, es decir, si en ambos métodos mantenemos a las contantes de integración podemos obtener la solución general. Lo que nosotros hicimos anteriormente fue que la constante $k$ de la ecuación (\ref{3}) la asociábamos a la solución homogénea $y_{h}(x) = k e^{- \int P(x) dx}$ de manera que al sumar ambas soluciones ya obteníamos la solución general pero en realidad también se puede obtener de ambos métodos manteniendo a las constantes. Decidimos hacerlo así porque es importante el papel que pueden tomar por separado las soluciones homogénea y particular en algunas situaciones, además de que omitir las constantes evitó hacer cálculos extensos en ambos métodos.

Finalmente, como ya mencionamos antes, no se recomienda intentar resolver este tipo de ecuaciones usando las formulas obtenidas para las soluciones sino aplicar cada paso de cualquiera de los métodos desarrollados, sin embargo, a continuación presentamos una serie de pasos que se recomiendan seguir para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Método para resolver ecuaciones lineales

Si bien es cierto que ya conocemos las formulas explícitas de las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales es conveniente seguir una serie de pasos para resolver este tipo de ecuaciones en lugar de sólo sustituir en las formulas y así evitar memorizarlas. Dichos pasos se describen a continuación.

  1. Escribir la ecuación lineal en la forma canónica

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

  1. Calcular el factor integrante $\mu (x)$ mediante la formula $\mu (x) = e^{\int{P(x) dx}}$.
  2. Multiplicar a la ecuación diferencial en su forma canónica por el factor integrante en ambos lados de la ecuación.

$$\mu (x) \dfrac{dy}{dx} + \mu (x) P(x) y = \mu (x) Q(x)$$

  1. Identificar que el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de $\mu(x)$ por $y(x)$ y sustituir.

$$\dfrac{d}{dx} (\mu y) = \mu (x) Q(x)$$

  1. Integrar la última ecuación y dividir por $\mu (x)$ para obtener finalmente la solución general $y(x)$. En la última integración debemos considerar a la constante de integración.

Esta serie de pasos nos permiten obtener directamente la solución general de la ecuación diferencial lineal es por ello que en el último paso sí debemos considerar a la constante de integración, dicha constante representa el resultado de juntar todas las contantes que podremos omitir en pasos intermedios.

Anteriormente resolvimos algunas ecuaciones diferenciales en las que usando las formulas de las soluciones sólo sustituíamos las funciones correspondientes y sumábamos ambos resultados para obtener la solución general, veamos ahora un ejemplo en el que vamos a aplicar estos pasos para resolver la ecuación.

Ejemplo: Determinar la solución general de la ecuación diferencial

$$\left( x^{2} +1 \right) \dfrac{dy}{dx} = x^{2} + 2x -1 -4xy$$

Solución: Para resolver la ecuación diferencial vamos a seguir los pasos establecidos anteriormente. El primer paso será escribir a la ecuación en la forma canónica $\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$:

\begin{align*}
\left( x^{2} +1 \right) \dfrac{dy}{dx} &= x^{2} + 2x -1 -4xy \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{x^{2} + 2x -1 -4xy}{x^{2} +1} \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1} -\left(\dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) y\\
\dfrac{dy}{dx} + \left( \dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) y &= \dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1}
\end{align*}

En la última relación ya podemos determinar que $P(x) = \dfrac{4x}{x^{2} +1}$ y $Q(x) = \dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1}$.

El segundo paso es determinar el factor integrante de acuerdo a la formula $\mu (x) = \large e^{\int{P(x) dx}}$

\begin{align*}
\mu (x) = e^{\int{P(x) xd}} = e^{\int{\left( \dfrac{4x}{x^{2} +1}\right) dx}}
\end{align*}

Vamos a resolver la integral

\begin{align*}
\int{\dfrac{4x}{x^{2} +1} dx} &= 4 \int{\dfrac{x}{x^{2} +1} dx} \\
&= \dfrac{4}{2} \ln{\left( x^{2} + 1 \right)} \\
&= 2 \ln{\left(x^{2} + 1\right)} \\
&= \ln{\left( x^{2} + 1\right)^{2}}
\end{align*}

Como se trata de un paso intermedio podemos omitir a la constante de integración. Sustituyendo en el factor integrante:

\begin{align*}
\mu (x) = e^{\ln{\left( x^{2} + 1\right)^{2}}} = \left( x^{2} + 1\right)^{2}
\end{align*}

Por lo tanto el factor integrante es: $\mu (x) = \left( x^{2} + 1\right)^{2}$

El tercer paso es multiplicar la ecuación diferencial en su forma canónica por el factor integrante:

\begin{align*}
\left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + \left( x^{2} + 1\right)^{2} \left( \dfrac{4x}{x^{2} +1} \right) y &= \left( x^{2} + 1\right)^{2} \left(\dfrac{x^{2} + 2x -1}{x^{2} +1}\right) \\
\left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + 4x \left( x^{2} + 1\right) y &= \left( x^{2} + 1\right) \left(x^{2} + 2x -1\right) \\
\left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + 4x \left( x^{2} + 1\right) y &= x^{4} + 2x^{3} +2x -1
\end{align*}

El cuarto paso es identificar que

$$\dfrac{d}{dx}(\mu (x) y(x)) = \dfrac{d}{dx}\left( y \left( x^{2} + 1\right)^{2}\right) = \left( x^{2} + 1\right)^{2} \dfrac{dy}{dx} + 4x \left( x^{2} + 1\right) y$$

Así que ahora podemos escribir:

$$\dfrac{d}{dx}\left( y \left( x^{2} + 1\right)^{2}\right) = x^{4} + 2x^{3} +2x -1$$

El quinto y último paso es integrar esta relación por ambos lados con respecto a $x$, en esta última integración sí debemos considerar a la constante de integración.

\begin{align*}
\int{\dfrac{d}{dx}\left( y \left( x^{2} + 1\right)^{2}\right) dx} &= \int{\left( x^{4} + 2x^{3} +2x -1\right)}dx \\
y \left( x^{2} + 1\right)^{2} + k &= \int{\left( x^{4} + 2x^{3} +2x -1\right)} dx
\end{align*}

Resolvamos la integral.

\begin{align*}
\int{\left( x^{4} + 2x^{3} +2x -1\right)} dx &= \int{x^{4} dx} + \int{2x^{3} dx} + \int{2x dx} -\int{dx} \\
&= \dfrac{x^{5}}{5} + 2\left(\dfrac{x^{4}}{4}\right) + 2 \left(\dfrac{x^{2}}{2}\right) -x \\
&= \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x
\end{align*}

Omitimos todas las constantes para englobarlas en la constante $K = -k$. Sustituyendo este resultado obtenemos que

\begin{align*}
y \left( x^{2} + 1\right)^{2} + k &= \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x \\
y\left( x^{2} + 1\right)^{2} &= \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x + K \\
y(x) &= \dfrac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left( \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x + K \right)
\end{align*}

Por lo tanto, la solución general a la ecuación diferencial

$$\left( x^{2} +1 \right) \dfrac{dy}{dx} = x^{2} + 2x -1 -4xy$$

es

$$y(x) = \dfrac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left( \dfrac{x^{5}}{5} + \dfrac{x^{4}}{2} + x^{2} -x + K\right)$$

Donde $K$ es la constante que engloba a todas las contantes de integración que omitimos.

$\square$

Para concluir el análisis de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, presentaremos el teorema de existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones.

Teorema de existencia y unicidad

Ya presentamos el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden, podemos usar dicho resultado para justificar el teorema de existencia y unicidad para el caso de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Teorema: Consideremos la ecuación diferencial lineal

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Si $P(x)$ y $Q(x)$ son funciones continuas en un intervalo $\delta \subseteq \mathbb{R}$, entonces existe una única función $\gamma (x)$ tal que satisface el problema de valor inicial (PVI):

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x), \hspace{0.8cm} y(x_{0}) = y_{0}, \hspace{0.8cm} x_{0} \in \delta, \hspace{0.8cm} y_{0} \in Im(y).$$

Demostración: Consideremos la ecuación diferencial

$$\dfrac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$$

Reescribiendo esta ecuación en la forma normal tenemos que

$$\dfrac{dy}{dx} = Q(x) -P(x) y$$

Definimos

$$f(x, y) = Q(x) -P(x) y$$

De manera que

$$\dfrac{dy}{dx} = f(x, y)$$

Debido a que en un intervalo de solución $\delta$ debe satisfacerse que $P(x)$ y $Q(x)$ sean continuas entonces tenemos garantizado que $f(x, y) = Q(x) -P(x) y$ es continua y por tanto $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ también lo es, con esto estamos cumpliendo las hipótesis del teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden que establecimos anteriormente, aplicando dicho teorema obtenemos que entonces existe algún intervalo $\delta_{0}: (x_{0} -h, x_{0} + h)$, $h > 0$, contenido en $\delta$, y una función única $\gamma (x)$, definida en $\delta_{0}$, que satisface la condición inicial $y(x_{0}) = y_{0}$.

$\square$

Apliquemos este resultado a la solución general. Consideremos la condición inicial $y(x_{0}) = y_{0}$ y la solución general a la ecuación (\ref{1})

\begin{align}
y(x) = \dfrac{1}{\mu (x)} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} + k\right) \label{4} \tag{4}
\end{align}

A la solución vamos a aplicarle la condición inicial:

\begin{align}
y_{0} = y(x_{0}) = \dfrac{1}{\mu (x_{0})} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx}\Bigg|_{x =x_{0}} + k\right) \label{5} \tag{5}
\end{align}

De este resultado se puede despejar $k$ obteniendo un único valor, digamos $k = k_{0}$, por lo tanto la función

\begin{align}
\gamma (x) = \dfrac{1}{\mu (x_{0})} \left( \int{ \mu (x) Q(x) dx} + k_{0}\right) \label{6} \tag{6}
\end{align}

es solución al problema de valor inicial (PVI). Así para cada $x_{0} \in \delta_{0}$, encontrar una solución particular a la ecuación (\ref{4}) es exactamente lo mismo que encontrar un valor adecuado de $k$ en la ecuación (\ref{5}), es decir, a toda $x_{0} \in \delta_{0}$ le corresponde un distinto $k$.

Con esto damos por concluido el análisis de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, en la siguiente entrada comenzaremos con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden que no son lineales.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  1. Realizando los pasos del método para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones.
  • $3\dfrac{y}{x} -8 + 3\dfrac{dy}{dx} = 0$
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0$
  • $\dfrac{dy}{dx} + cos(x) (y -1) = 0$
  1. Ya que conoces la solución general a la ecuación diferencial $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0$. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial y analiza cada situación considerando el teorema de existencia y unicidad.
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0, \hspace{1cm} y(0) = 0$
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0, \hspace{1cm} y(0) = y_{0}, \hspace{1cm} y_{0} > 0$
  • $x + \dfrac{y}{x} -\dfrac{dy}{dx} = 0, \hspace{1cm} y(x_{0}) = y_{0}, \hspace{1cm} x_{0} > 0, \hspace{0.3cm} y_{0} > 0$

¿Que puedes concluir al respecto?.

Más adelante…

En esta entrada continuamos con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden lineales y presentamos el teorema de existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones. En la siguiente entrada continuaremos con el estudio de métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden pero ahora estudiaremos las ecuaciones que no son lineales.

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