Introducción
En la entrada anterior desarrollamos la teoría de soluciones en series de potencias alrededor de un punto ordinario de la ecuación diferencial $$a_{0}(t)\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}+a_{1}(t)\frac{dy}{dt}+a_{2}(t)y=0.$$ En cierta forma el teorema de existencia de soluciones con desarrollo en series de potencias alrededor del punto ordinario que probamos nos facilitó las cosas.
Sin embargo, cuando tenemos puntos singulares la teoría falla. Es por eso que debemos encontrar un método alternativo para estudiar soluciones alrededor de puntos singulares a nuestra ecuación diferencial. Antes de comenzar de manera general, lo primero que haremos será considerar una ecuación diferencial en particular, con $t_{0}=0$ como punto singular, la cual es bastante sencilla de resolver: esta es la ecuación de Euler, debido al famoso matemático Leonhard Euler (si no lo conoces o quieres saber acerca de él, te dejo el siguiente enlace a su biografía), y que tiene la forma $$t^{2}\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}+\alpha t\frac{dy}{dt}+\beta y=0$$ donde $\alpha$ y $\beta$ son constantes.
Resolveremos esta ecuación y en la próxima entrada trataremos de generalizar este mismo resultado a una clase más general de ecuaciones con puntos singulares.
Vamos a comenzar!
Ecuación de Euler
En el primer video resolvemos de manera general la ecuación de Euler para cualquier intervalo que no contenga al punto singular $t_{0}=0$, y en el segundo video resolvemos un ejemplo particular de este tipo de ecuaciones.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Prueba que si $(\alpha -1)^{2}-4\beta=0$ entonces $W[t^{r_{1}}, t^{r_{1}}\ln{t}]\neq0$, donde $r_{1}$ es la única raíz de la ecuación cuadrática $r^{2}+(\alpha -1)r+\beta=0$. Por tanto, la solución general a la ecuación de Euler cuando $(\alpha -1)^{2}-4\beta=0$ y $t>0$ es $y(t)=c_{1}t^{r_{1}}+c_{2}t^{r_{1}}\ln{t}$.
- Si $(\alpha -1)^{2}-4\beta<0$ entonces las raíces $r_{1}$ y $r_{2}$ a la ecuación $r^{2}+(\alpha -1)r+\beta=0$ son complejas. Prueba que $t^{r_{1}}$ y $t^{r_{2}}$ son efectivamente soluciones a la ecuación de Euler, y que además son linealmente independientes. Por tanto, la solución general a la ecuación de Euler cuando $(\alpha -1)^{2}-4\beta<0$ y $t>0$ es $y(t)=c_{1}t^{r_{1}}+c_{2}t^{r_{2}}$. (Sigue el hint dado en el video para hacer las cuentas más sencillas).
- La solución general encontrada en el problema anterior es una función de variable compleja. Haz elecciones adecuadas de $c_{1}$ y $c_{2}$ para ver que si $r_{1}=a+bi$ y $r_{2}=a-bi$, entonces $t^{a}cos(b\ln{t})$ y $t^{a}sin(b\ln{t})$ son soluciones a la ecuación de Euler para el caso del ejercicio anterior. Prueba que éstas son soluciones linealmente independientes, y por tanto $y(t)=k_{1}t^{a}cos(b\ln{t})+k_{2}t^{a}sin(b\ln{t})$ es solución general a la ecuación de Euler, donde $y$ es una función de valores reales.
- Resolver la ecuación $$t^{2}\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}+2t\frac{dy}{dt}+4y=0$$ tanto para $t>0$ como para $t<0$.
- Resuelve el problema de condición inicial $$t^{2}\frac{d^{2}{y}}{dt^{2}}-7t\frac{dy}{dt}+9y=0; \,\,\,\,\, y((1)=0, \frac{dy}{dt}(1)=2, t>0.$$
Más adelante
Una vez que hemos encontrado la solución general a la ecuación de Euler, lo siguiente tratar de utilizar este mismo método para resolver una clase más general de ecuaciones diferenciales con puntos singulares. Dado que algunas de estas ecuaciones serán bastante complicadas de resolver, clasificaremos los puntos singulares en dos tipos: regulares e irregulares, y nos enfocaremos exclusivamente a resolver ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares regulares.
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- Entrada anterior del curso: Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Solución por series de potencias cerca de un punto ordinario
- Siguiente entrada del curso: Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables. Solución por series cerca de un punto singular regular
- Notas escritas relacionadas con el tema: Ecuación de Cauchy – Euler
Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Hola doctor, buen día.
He visto el vídeo de la explicación de los distintos casos, sólo me surgió una duda, ¿Cómo puedo justificar el paso donde se realiza la derivación parcial del operador L evaluado en la función t^r dando como resultado el operador L evaluado en rt^(r-1),? La verdad no tengo idea de por qué se deriva de esa manera.
Agradezco mucho su atención, doctor.
Saludos.
Hola, Miguel. Recuerda que L[t^r] es una manera simplificada de escribir a la ecuación diferencial. Entonces al derivar parcialmente L[t^r] respecto a r, estás derivando parcialmente respecto a r a la ecuación diferencial. Hazlo, y notarás que aparecen derivadas parciales respecto a r de derivadas respecto a t. El paso clave está en verificar que puedes cambiar el orden en que derivas. De ahí sale el resultado L[t^r ln(t)].
Muchas gracias por su respuesta.
Ya veo, podemos usar el teorema de Schwarz para argumentar que las derivadas cruzadas son iguales ¿Verdad? con eso quedaría probado, si no me equivoco.